Inter 1st Year

Students get through AP Inter 1st Year Chemistry Important Questions 1st Lesson Atomic Structure which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Chemistry Important Questions 1st Lesson Atomic Structure

Very Short Answer Questions

Question 1.
What is the charge, mass and ‘charge to mass ratio’ of an electron?
Answer:
Charge of an electron = -1.602 × 10^-19 C;
Mass of an electron = 9.11 × 10^-31 kg
Charge to mass ratio (\(\frac{e}{m}\)) = 1.76 × 10^-31 C kg^-1

Question 2.
Calculate the charge of one mole of electrons.
Answer:
Charge of one mole of electrons
= Charge of electron × Avogadro number
= 1.6021 × 10^-19 × 6.023 × 10²³
= 9.6500 × 10⁴ = 96500 C = 1 Faraday

Question 3.
Calculate the mass of one-mole of electrons.
Answer:
Mass of one mole of electrons
= Mass of electron × Avagadro number
= 9.1 × 10^-31 × 6.023 × 10²³ = 54.8 × 10^-8 Kg
= 5.48 × 10^-7 Kg

Question 4.
Calculate the mass of one mole of protons.
Answer:
Mass of one mole of proton
= Mass of proton × Avagadro number
= 1.6726 × 10^-27 × 6.023 × 10²³ = 10.07 × 10^-8Kg
= 1.007 × 10^-3 Kg

Question 5.
Calculate the mass of one mole of neutrons.
Answer:
Mass of one mole of neutrons
= Mass of neutron × Avagadro number.
= 1.6749 × 10^-27 × 6.023 × 10²³
= 10.087 × 10^-4 Kg = 1.0087 × 10^-3 Kg

Question 6.
How many neutrons and electrons are present in the nuclei of ¹³₆C, ¹⁶₈O, ²⁴₁₂Mg, ⁵⁶₂₆Fe, and ⁸⁸₃₈Sr.
Answer:

→ Electrons are not present in nucleus.

Question 7.
What is a black body?
Answer:
The ideal body, which emits and absorbs all frequencies of radiation is called a black body.
Ex: A hollow sphere coated inside with platinum black and having a small hole in its walls acts as a near black body.

Question 8.
Which part of electromagnetic spectrum does Balmer series belong?
Answer:
Balmer series (n₁ = 2) belongs to visible region of electromagnetic spectrum.

Question 9.
What is an atomic orbital?
Answer:
Atomic orbital is the three dimensional space around the nucleus in an atom, where the probability of finding the electron is maximum (95%).

Question 10.
When an electron is transferred in hydrogen atom from n = 4 orbit to n = 5 orbit to which spectral series does this belong?
Answer:
When an electron is transferred from n = 4 to n = 5, we get the Brackett series in IR region.

Explanation :
By absorbing sufficient energy, the electron in the orbit n = 4 jumps to the orbit n = 5. Now when the electron present in n = 5 returns to the orbit n = 4, it releases energy in the form of Spectral lines, which belongs to Brackett series.

Question 11.
How many ‘ p’ electrons are present in sulphur atom?
Answer:
The atomic number of sulphur is 16.
So its configuration is 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁴
The total number of ‘p’ electrons = 6 + 4 = 10.

Question 12.
What are the values of principal quantum number (n), azimuthal quantum number (1) for a 3d electron?
Answer:
For 3d-electron, principal quantum number n = 3 and Azimuthal quantum number l = 2

Question 13.
What is the complete symbol for the atom with the given atomic number (Z) and atomic mass (A)? (I) Z = 4, A = 9; (II) Z = 17, A = 35; (III) Z = 92, A = 233
Answer:
(I) ⁹₄Be. (II) ³⁵₁₇Cl (III) ²³³₉₂U

Question 14.
Draw the shape of d_Z² orbital.
Answer:

Question 15.
Draw the shape of d_x²-y² orbital.
Answer:

Question 16.
What is the frequency of radiation of wavelength 600nm?
Answer:
Given that λ = 600nm,
We know c= 3,0 × 10⁸ms^-1
Formula: c = vλ
⇒ v = \(\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3.0 \times 10^8 \mathrm{~ms}^{-1}}{600 \times 10^{-9} \mathrm{~m}}\) = 5 × 10¹⁴ s^-1

Question 17.
What is Zeeman effect?
Answer:
The splitting of spectral lines in the presence of external magnetic field is called Zeeman effect.

Question 18.
What is Stark effect?
Answer:
The splitting of spectral lines in the presence of strong electric field is called Stark effect.

Question 19.
To which element does the following electronic configuration correspond?
(I) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p¹ (II) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ (III) 1s² 2s² 2p⁵ (IV) 1s² 2s² 2p²
Answer:
I) Total no.ofelectrons = 2 + 2 + 6 + 2 + 1 = 13
Hence the element with atomic number 13 is Aluminium.

II) Total no.of electrons = 2 + 2 + 6 + 2 + 6 = 18
Hence the element with atomic number 18 is Argon.

III) Total no.of electrons = 2 + 2 + 5 = 9
Hence the element with atomic number 9 is Fluorine.

IV) Total no.of electrons = 2 + 2 + 2 = 6
Hence the element with atomic number 6 is Carbon.

Question 20.
Electrons are emitted with zero velocity from a metal surface when it is exposed to radiation of wavelength 4000A. What is the threshold frequency (ν₀)?
Answer:
Given that Wavelength λ = 4000Å.
=4000 × 10^-8cm
We know that c = 3 × 10¹⁰ cm s^-1
velocity v = 0. Then K.E = 0
From the Photoelectric equation, we have
hν = hν₀ + KE ⇒ hν = hν₀ + 0
∴ hν = hν₀ ⇒ ν = ν₀ . We know that v = c/λ
∴ ν = ν₀ = \(\frac{\mathrm{c}}{\lambda}=\frac{3 \times 10^{10}}{4000 \times 10^{-8}}\) = 7.5 × 10¹⁴ s^-1

Question 21.
Explain Pauli’s exclusion principle.
Answer:
Pauli’s exclusion principle :
No two electrons in an atom can have the same set of all four quantum numbers.

They differ atleast in one of their quantum numbers.

Question 22.
What is Aufbau principle? [AP 19]
Answer:
Auf – bau principle :
‘In the ground state of the atoms, the orbitals are filled with electrons, in their increasing order of energies’.

Question 23.
What is Hund’s rule? [AP 19]
Answer:
Hund’s rule :
‘In degenerate orbitals pairing of electrons takes place only after the filling up of available orbitals with one electron each’.

Question 24.
Explain Heisenberg’s uncertainty principle?
Answer:
Heisenberg’s uncertainty principle :
It is impossible to determine simultaneously the exact position and exact momentum of a moving electron around the nucleus.
Mathematically, ∆x.∆p ≥ h / 4 π
Where ∆x = uncertainty in the position,
∆p = uncertainty in momentum,
h = Planck’s constant.

Question 25.
What is the wavelength of an electron moving with a velocity of 2.0 × 10⁷ms^-1?
Answer:
Velocity of electron= 2.0 × 10⁷ms^-1.
Mass of electron =9.11 × 10^-31 kg
Planck’s constant h = 6.625 × 10^-34

Question 26.
An atomic orbital has n = 2, what are the possible values of 1 and m₁?
Answer:

Value of n	l	ml
2	0	0
	1	-1, 0, +1

Question 27.
Which of the following orbitals are possible? 2s, 1p, 3f, 2p.
Answer:
1^st energy level has only 1s subshell.
2^nd energy level has only 2s, 2p subshells.
3^rd energy level has only 3s, 3p, 3d subshells.
Hence the possible orbitals among the given are 2s and 2p only.

Question 28.
The static electric charge on the oil drop is -3.2044 × 10^-19C. How many electrons are present on it?
Answer:
Charge of one electron = -1.602 × 10^-19 C
Total Charge on the oil drop = -3.2044 × 10^-19C

Question 29.
Arrange the following type of radiation in increasing order of frequency: (a) X-rays (b) visible radiation (c) microwave radiation and (d) radiation from radio waves.
Answer:
Increasing order of frequencies:
Radio waves < microwaves < visible radiation < X-rays.

Question 30.
How many electrons in an atom may have n = 4, and ms = +1/2?
Answer:
If n = 4 then number of electrons in 4^th orbit is 2n² = 2(4)² = 32.
Now out of 32 e^–, only 16e^– have m_s = +1/2

Question 31.
How many sub -Shells are associated with n = 5?
Answer:
If n = 5, then possible T values are l = 0, 1, 2, 3, 4. i.e. s, p, d, f, g (five) subshells.

Question 32.
Explain the particle nature of electromagnetic radiation.
Answer:

1. Particle nature of electromagnetic radiation was explained by Max Planck and each particle of light is named as ‘Quanta’.
2. The energy of quanta is given by the equation E = hν.
3. The particle nature of electro magnetic radiation is explained by Photoelectric effect.

Question 33.
Explain the significance of Heisenberg’s Uncertainty principle.
Answer:

1. This principle is significant only for motion of micro particles and is negligible for that of macroscopic objects.
2. This principle rules out existence of definite paths (or) trajectories of electrons.

Question 34.
What series of lines are observed in hydrogen spectra?
Answer:
The series of lines in hydrogen spectra:

Name of series	Spectra region
1) Lyman	Ultraviolet
2) Balmer	Visible
3) Paschen	Near Infrared
4) Brackett	Infrared
5) Pfund	Far Infrared

Short Answer Questions

Question 1.
What is the wavelength of light emitted when the electron in a hydrogen atom undergoes transition from an energy level with n = 5 to an energy level with n = 3?
Answer:
Given that n₁ = 3, n₂ = 5.
We know that R_H = 109677cm^-1.
From the Rydberg’s equation, we have

Question 2.
An atom of element contains, 29 electrons and 35 neutrons. Deduce (i) the number of protons and (ii) the electronic configuration of the element?
Answer:
(i) For a neutral atom,
No. of protons = number of electrons = 29

ii) Electronic configuration of element with atomic number Z = 29:
1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s¹3d¹⁰

Question 3.
Explain giving reasons, which of the following set of quantum numbers are not possible.
(a) n = 0, I = 0, m_l = 0, m_s = +1/2
(b) n = 1, I = 0, m_l = 0, m_s = +1/2
(c) n = 1, I = 1, m_l = 0, m_s = +1/2
(d) n = 2, I = 1, m_l = 0, m_s = +1/2
(e) n = 3, I = 3, m_l = -3, m_s = +1/2
(f) n = 3, I = 1, m_l = 0, m_s = +1/2
Answer:
Among the given, the following set of quantum numbers are not possible.
(a) n = 0, l = 0, m_l = 0, m_s = +1/2
Reason :
The values of the principle quantum number ‘n’ are from 1 to n.
Hence n = 0 is not possible.

(c) n = 1, l = 1, m_l = 0, m_s = +1/2
Reason :
Values of ‘l’ are from 0 to (n – 1) . Thus, if n = 1 then the value of ‘l’ should be 1 – 1 = 0. Hence when n = 1, l = 1 is not possible,

(e) n = 3, l = 3, m_l = -3, m_s = +1/2
Reason:
If n = 3, possible values of 7′ should be 0,1,2. Hence when n=3,1=3 is not possible.

Question 4.
Show that the circumference of the Bohr orbit for the hydrogen atom is an integral multiple of the Broglie wavelength associated with the electron revolving around the orbit.
Answer:
From Bohr’s model of atom, we have,

∴ 2πr = nλ, where n is an integer.
Thus the circumference of the orbit is equal to integral multiple of de-Brogile wave length(λ).

Question 5.
The longest wavelength doublet absorption transition is observed at 589.0 and 589.6 nm. Calculate the frequency of each transition and energy difference between two excited states.
Answer:
(i) Given that λ₁ = 589nm = 589 × 10^-9m

Question 6.
What are the main features of quantum mechanical model of an atom?
Answer:
Important features of quantum mechanical model of atom:

1. The energy of electrons in an atom is quantized (it can only have certain specific values)
2. The energy levels in an atom are the allowed solutions of Schrodinger wave equation.
3. All the information about the orbiting electron in an atom is contained in the orbital wave function ‘Ψ’.
4. The exact path of the electron can never be determined accurately. Therefore, we find only the probability of the electron at different points in space, around the nucleus.
5. Significance of Ψ² : The probability of finding an electron at a point within an atom is proportional to the square of the orbital wave function Ψ². This Ψ² is known as probability density and is always positive.
   From the value of Ψ², it is possible to predict the orbital.

Question 7.
What is a nodal plane? How many nodal planes are possible for s, p, d orbitals?
Answer:
Nodal plane is the plane or line passing through the nucleus where the probability of finding an electron is zero.

The number of nodal planes of an orbital is equal to its azimuthal quantum number (l).

Thus No.of nodal planes for ‘s’ orbital = 0 Thus number of nodal planes for any ‘p’ orbital = 1

Thus number of nodal planes for any ‘d’ orbital = 2 (Except dz² = 0)

Question 8.
The Lyman series occurs between 91.2 nm and 121.6 nm, the Balmer series occurs between 364.7nm and 656.5 nm and the Paschen series occurs between 820.6 nm and 1876 nm. Identify the spectral regions to which these wavelengths correspond.
Answer:

Name of Series	Spectral Region
1) Lyman	Ultra violet
2) Balmer	Visible
3) Paschen	Near infrared

Question 9.
How are the quantum numbers n, l, m_l for hydrogen atom are obtained?
Answer:
The quantum numbers for hydrogen are obtained as follows:
The atomic number of Hvdrogen = 1
Its electronic configuration is 1s¹.
Hence, the electron revolves in the first orbit. Thus the Principal quantum number is n = 1.
If n = 1 then the Azimuthal quantum number l = n – 1 = 1 – 1 = 0
Its Magnetic quantum number m_l = 0

Question 10.
A line in Lyman series of hydrogen atom has a wavelength of 1.03 × 10^-7m. What is the initial energy level of the electron?
Answer:
For the line, in Lyman series n₁ = 1;
Given Wavelength λ = 1.03 × 10^-7m.
Rydbergs constant R_H = 1.09 × 10^-7m^-1.

So the electron belongs to 3rd energy level.

Question 11.
If the position of the electron is measured within an accuracy of ±0.002nm. Calculate the uncertainty in the momentum of the electron.
Answer:
Uncertainty in position (∆x) = 0.002nm
Uncertainty in momentum(∆p) = ?
From Heisenberg’s uncertainty principle,

Question 12.
If the velocity of the electron is 1.6 × 10⁶ms^-1, calculate the de-Brogile wave length associated with this electron.
Answer:
Velocity of electron v= 1.6 × 10⁶
Mass of electron (m) = 9.1 × 10^-31 kg
Planck’s constant (h) = 6.626 × 10^-34 Js

Question 13.
Explain the differences between emission spectra and absorption spectra. |TS 22|
Answer:

Emission spectrum	Absorption spectrum
1) Emission spectrum is produced due to emission of energy, by an excited substance.	1) Absorption spectrum is produced due absorption of energy, by a substance.
2) It is produced when electrons jump from higher orbits to lower orbits.	2) It is produced when electrons transmit from lower orbits to higher orbits.
3) It consists of bright lines or bands on a dark back ground.	3) It consists of dark lines or bands on a bright back ground.
4) It can be continuous or discontinuous.	4) It is always discontinuous.

Question 14.
The quantum numbers of electrons are given below. Arrange them in order of increasing energies.
a) n = 4, 1 = 2, m_l = -2, m_s = +1/2
b) n = 3, 1 = 2, m_l = -1, m_s = -1/2
c) n = 4, 1 = 1, m_l = 0, m_s = +1/2
d) n = 3, 1 = 1, m_l = -1, m_s = -1/2
Answer:
Rules:
1) The energy of an electron is calculated by its (n + l) value.( The contributions of m and s are negligible)
2) If two electrons have the same (n + l) value, then the electron enters into lower energy level.
a) If n = 4, l = 2 then n + l = 4 + 2 = 6; 4d
b) If n = 3, l = 2 then n + l = 3 + 2 = 5; 3d
c) If n = 4, l = 1 then n + l = 4 + 1 = 5; 4p
d) If n = 3, l = 1 then n + l = 3 + 1 = 4; 3p

Increasing order of energies:
3p < 3d < 4p < 4d

Question 15.
The work functions for Cesium atom is 1.9eV. Calculate the threshold frequency of the radiation. If the Cesium element is irradiated with a wavelength of 500 nm, calculate the kinetic energy of the ejected photoelectron.
Answer:
Given that Work function(W) = h ν₀ = 1.9 eV
= 1.9 × 1.6022 × 10^-19 = 3.044 × 10^-19J
Wave length(λ) = 500nm = 5 × 10^-7m
Now W = h ν₀

K. E= h(ν – ν₀)
= 6.626 × 10^-34(6 × 10¹⁴ – 4.594 × 10¹⁴)
= 6.626 × 10^-34 × 10¹⁴(6 – 4.594)
= 6.626 × 10²⁰ × 1 .406 = 9.316 × 10^-20J

Question 16.
Calculate the wavelength for the emission transition if it starts from the orbit having radius 1.3225 mil and ends at 2II.6 pm. Name the series to which this transition belongs and the region of the spectrum.
Answer:
Calculation of n₁ and n₂:
Given radius of the orbit in the beginning is r = 1.3225 nm = 1.3225 × 10^-9 m
Formula : Radius of the orbit r = 0.529 × n²

Question 17.
Write the difference between Orbit and Orbital.
Answer:

Orbit	Orbital
1) Orbit is a well defined circular path of a revolving electron around the nucleus.	1) Orbital is the 3-dimensional spaced around the nucleus where the probability of finding an electron is maximum.
2) It represents 2- dimensional planar motion of an electron.	2) It represents three dimensional motion of an electron.
3) The maximum number of electrons in an orbit is 2n², where ‘n’ stands for number of the orbit	3) The maximum number of electrons in an orbital is 2.
4) Orbits are circular in shape.	4) Shape of s-orbital is spherical, shape of p-orbital is dumb bell.
5) Orbits are non – directional. They cannot explain shape of molecules.	5) Orbitals (except s-orbital) are directional. Hence they can account for shapes of molecules.
6) Concept of well-defined orbit is against to Heisenberg’s principle.	6) Concept of orbital is in accordance with Heisenberg’s principle.

Question 18.
Explain photo electric effect on the basis of Einstein’s theory.
Answer:
Einstein’s generalisation of photo electric effect using planck’s quantum theory:
Energy emitted/absorbedby a body, takes place in the form of‘particles of light’ called ‘photons’. A particle in the form of photons, emits energy when it falls from an excited state (E₂) to a ground state (E₁).

This energy difference ∆E = E₂ – E₁ is equal to energy of quantum.
Thus, ∆E = E₂ – E₁ = hν

When a photon strikes the surface of the metal, the energy (hν) of the photon is absorbed by the electron in the metal. A part of this energy is used to ‘set free’ the electron from the ‘attractive forces in the metal’. The remaining part of energy of photons transform in the form of KE of the released electron.
Thus hν = w + KE = hν₀ + \(\frac{1}{2}\) m_eV²

Here,‘w’ is called the work function, ‘w’ denotes the energy required to over come the attractive force on the electron in the metal.

Long Answer Questions

Question 1.
Explain Rutherford’s nuclear model of an atom. What are its drawbacks?
Answer:
Rutherford’s model of atom is based on his ‘α- particle scattering experiment’.
The observations and conclusions of the experiment are given here.
Observation 1 : Most of the α – particles passed through the gold foil were undeflected.
Conclusion : Most of the space in the atom is empty.

Observation 2 : A small fraction of α – particles were deflected by small angles.
Conclusion : The positive charge is not spread through out the atom, as Thomson predicted.

Observation 3 : A ‘very few’ α – particles were bounced back (reflected by 180°).
Conclusion : The positive charge is concentrated in a ‘very small volume’ of the atom.

Rutherford’s nuclear model of atom :

1. The positive charge and most of the mass of the atom are concentrated in very small region called Nucleus. (Size of Nucleus = 10^-15m)
2. The electrons move around the nucleus in circular paths called orbits.
   (Thus, Rutherford’s model resembles the solar system, in which the nucleus takes the role of sun and the electrons play the role of revolving planets).
3. Electrons and nucleus are held together by electro static forces of attraction.Here two equal and opposite forces; centripetal force(towards the nucleus) and centrifugal force(directed away from the orbiting path) balance each other.Hence the electron continues to move in its orbit.

Drawbacks of Rutherford’s model :

1. The accelerating electron should emit radiation. Then, by loosing energy, the electron should spiral into the nucleus and hence ultimately the atom should collapse.In fact, this doesn’t happen.
2. Else otherwise, if it is assumed that, the electrons won’t accelerate, then they should remain stationary (Just like, in Thomson’s model). In such a case, the dense positive nucleus should pull the negative electrons. But this is also not happening.
3. Thus, Rutherford’s model could not explain the stability of atom.
4. Rutherford’s model could not explain the electronic structure of atoms. That is, how the electrons are distributed around the nucleus and what are the energies associated with these electrons.

Question 2.
Explain briefly the Planck’s quantum theory.
Answer:
Planck’s quantum theory explains the black body radiation.lt supports particle nature of electro magnetic radiation

Black body :
An ideal body, which emits and absorbs all frequencies of electro magnetic radiation.

Quantum :
The smallest quantity of energy that can be emitted or absorbed discretely in the form of electro magnetic radiation. Quantum is just an energy packet & it has no mass.

Features of Planck’s Quantum theory :

1. The emissions of radiation is due to vibrations of charged particles (electrons ) in the body.
2. The emissions of radiant energy is not continuous. It happens in the form of small discrete packets of energy called ‘Quanta’.
3. The energy of quantum is given by E = hν
   Here, h is planck’s constant and ν is the frequency of radiation h = 6.63 × 10^-27 erg.s
4. More over, E = n(hν), n = 1, 2, 3, ……….. Thus, energy is quantised.
   That is, the energy emitted or absorbed by a black body, is an integral multiple of ‘quanta’.
5. ‘Quantums’ will propagate in the form of waves.
6. The frequency distribution of the emitted radiations from a black body depends only on its temperature.

Question 3.
What are the postulates of Bohr’s model of hydrogen atom? Discuss the importance of this model to explain various series of line spectra in hydrogen atom. [AP 15,16,18,19,20,22][TS 16,17,18,20,22]
Answer:
I) Postulates of Bohr’s model of hydrogen atom:
(a) Orbits:
1) The electron in the hydrogen atom can move around the nucleus in a circular path of fixed radius and energy. These paths are called orbits or stationary’ states.
These orbits are arranged concentrically around the nucleus.

2) These orbits are numbered 1, 2, 3, 4 These are known as principal quantum numbers.
As the value of’n’ increases, the size and energy of orbit increases.

(b) Energy of electrons in the orbits :

1. The energy of an electron in the orbit does not change with time.
2. When sufficient energy is absorbed by the electron, it jumps from the lower orbit to a higher orbit.
3. At higher orbits, energy is more but stability’ is less.
4. If an electron jumps from higher orbit to lower orbit then it emits energy in the form of photons.
5. The photonic transmission causes line spectrum.
6. The ‘energy change’ does not take place in a continuous manner.

(c) Frequency of radiation :
If the energy of electron in a lower orbit is E₁ and higher orbit is E₂ then the change in energy is ∆E = E₂ – E₁ = h ν. Here, h is Planck’s constant, v is Frequency.
Hence, Frequency ot radiation ν = \(\frac{\Delta \mathrm{E}}{\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{E}_2-E_1}{h}\)

(d) Angular momentum of electron :
The angular momentum (mvr) of moving electron is quantised to \(\frac{h}{2 \pi}\). Thus, mvr = n × \(\frac{h}{2 \pi}\)
Here, m = mass of the electron, v = velocity, r = radius of the orbit,
h = Planck’s constant, n = simple integer 1, 2, 3…..

II) Hydrogen spectrum-Bohr’s Explanation:
1) When electric discharge is passed through gaseous hydrogen the electrons in various hydrogen atoms absorb various amounts of energies.

2) Then they enter into higher energy orbits.

3) In higher orbits,the energy is more but stability is less.

4) So, the excited electrons fall back to lower orbits.

5) This happens in one step (or) in multiple steps.

6) Energy is released (in the form of photons) during this process and it appears in the form of spectral lines of Hydrogen spectrum.

7) The transmission of energy of electrons from any higher orbit to
i) n = 1 produces spectral lines in the UV region.This is named as Lyman series.
ii) n = 2 produces spectral lines in the visible region.This is named as Balmer series.
iii) n =3, 4, 5 produces spectral lines in the IR region.These are named as Paschen,Brackett and P-fund series respectively.

8) Formula to find wavenumber(\(\overline{\mathrm{ν}}\)) & wavelength(λ) of spectral lines : \(\overline{\mathrm{ν}}=\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}_{\mathrm{H}}\left[\frac{1}{\mathrm{n}_1^2}-\frac{1}{\mathrm{n}_2^2}\right]\)

9) The hydrogen spectrum is shown here:

Question 4.
Explain the success of Bohr’s theory for hydrogen atom.
Answer:
Success of Bohr’s theory for hydrogen atom:
1) Bohr’s theory established the quantum numbers :
The stationary states for electron revolving around the nucleus are numbered n = 1, 2, 3 …….. which are known as principal quantum numbers.

2) Bohr’s theory explained the stability of atom :
According to Bohr’s model,an electron revolving in a particular orbit, cannot loose energy. Hence it cannot fall into nucleus. Thus atom remains stable.

3) Bohr’s theory could explain the atomic spectrum of hydrogen :
The different spectral lines in hydrogen spectrum are due to the emission of energy in the form of quanta of radiation. This happens when the excited electron jumps from a higher energy level to a lower energy level.

4) Frequency of radiation :
If the energy of electron in a lower energy level is E₁ and higher energy level is E₂ then the change in energy is given by ∆E = E₂ – E₁ = hν.
Here, h is Planck’s constant and ν is Frequency of radiation.
Hence,Frequency of radiation ν = \(\frac{\Delta \mathrm{E}}{\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{E}_2-E_1}{h}\) (This is called Bohr’s frequency rule)
The experimentally determined frequencies are in excellent agreement with those calculated by Bohr’s theory.

5) Bohr’s theory is applied to calculate the radius of n^th orbit in hydrogen atom using the formula r_n = 0.529 × n² Å
From the above equation it is clear that, as ‘n’ increases the value of ‘r’ increases.
When n = 1, the radius of the first stationary state is named as “Bohr Orbit”.

6) Bohr’s theory is applied to calculate the energy of an electron in n^th orbit using the
formula E_n = -R_H(\(\frac{1}{n^2}\)), n = 1, 2, 3……… (or) E_n = –\(\frac{13.6}{n^2}\)eV/atom
Here, R_H is called Rydberg constant and its value is 2.178 × 10^-18J
The energy level diagram for hydrogen spectrum is drawn using the above formula.
When the electron is free from the influence of nucleus, the energy is taken as ‘zero’ and in this case ‘n’ is assigned ‘∞’.

When the electron is attracted by the nucleus and is present in the orbit ‘n’ then energy is emitted and its energy is lowered. Hence the expression for energy is given the negative sign.

7) Using Bohr’s theory, it is possible to calculate the velocities of electrons moving in the orbits.

8) The angular momentum of electron can be calculated using Bohr’s theory.

9) Bohr’s theory can also be applied to the ions like He⁺, Li²⁺, Be³⁺ which contain only one electron.

Question 5.
What are the consequences that lead to the development of quantum mechanical model of an atom?
Answer:
Classical mechanics prior to quantum mechanical model of atom failed to explain the complete
structure of atom. For example,

1. Bohr’s model of atom failed to explain the structure of multi-electronxxx` atoms.
2. Classical mechanics failed to explain the motion of microscopic particles like electrons.
3. Classic mechanics ignores the dual behaviour of matter.
4. The particle nature of electron puts some restriction on finding its position precisely. Heisenberg rectified this limitation in the form of uncertainty principle.

Heisenbergs uncertainty principle :
It is not possible to determine simultaneously the position and momentum of a small moving particle, such as electron with entire certainty. This principle rules out the existence of definite paths or trajectories of electrons and other similar particles.

Thus the precise statements of the position and momentum of electrons are replaced by the. statements of probability of an electron at a given point.

The behaviour of micro particles cannot be explained on the basis of classical mechanics. In order to explain the behaviour of electrons a new branch of science called quantum mechanical model of atom was developed. Quantum mechanics is a theoretical science that takes into account the dual nature of matter.

Louis de-Broglie proposed the dual nature of matter. According to him, microscopic particles such as electrons have both wave & particle-like properties.

Louis de-Broglie derived an equation to calculate the wavelength(λ) of the wave associated with a particle of mass m, moving with velocity v, which is given by
λ = \(\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}\)
where ‘h’ is Planck’s constant and p is momentum of the particle.

Question 6.
What are the main features of quantum mechanical model of an atom?
Answer:
Classical mechanics deals with the motion of macroscopic objects (like planets), while
Quantum mechanics deals with the motion of microscopic objects(like electrons).
The microscopic bodies exhibit dual nature. They possess both particle nature and wave nature.
The wave nature of electrons can be depicted from the Schrodinger wave equation.

Here, Ψ = amplitude of the electron wave (Ψ is wave function satisfying the wave equation)
m = mass of electron
h = Planck’s constant
E = Total energy ( KE + PE) of the electron
v = Potential energy of the electron
(E-v) = Kinetic energy of the electron
(x, y, z) denote the three dimensional co-ordinates of electron in space.

Main features of quantum mechanical model of atom;

1. The energy of electrons in an atom is quantized (it can only have certain specific values)
2. The energy levels in an atom are quantised, which are the allowed solutions of Schrodinger wave equation.
3. All the information about the orbiting electron in an atom is contained in the orbital wave function ‘Ψ’.
4. The exact path of the electron can never be determined accurately. Therefore, we find only the probability of the electron at different points in space, around the nucleus of an atom.
5. Significance of Ψ² : The probability of finding an electron at a point within an atom is proportional to the square of the electron wave function Ψ²
   Ψ² is known as probability density function and is always positive.
   From the value of Ψ² it is possible to predict the orbital, that is the space where electron will most probably be found around the nucleus.

Question 7.
What are the limitations of Bohr’s model of an atom? [Mar’ 13][AP 15,18]
Answer:
Limitations of Bohr’s model:

1. Bohr’s theory’ could not explain the fine structure ( splitting of spectral lines ) of H-atom.
2. Bohr’s theory fails to explain the spectra of multi-electron atoms like He, Li, Be etc.,
3. Bohr’s theory could not explain the Zeeman effect (splitting of spectral lines in the presence of magnetic field)
4. Bohr’s theory could not explain the Stark effect (splitting of spectral lines in the presence of electric field).
5. Bohr’s theory could not explain the ability of atoms to form molecules by chemical bonds.
6. Bohr’s theory could not explain de-Broglie’s dual nature of electrons.

Question 8.
What are the evidences in favour of dual behaviour of electron?
Answer:
Particle nature of electron :
Planck’s quantum theory and photoelectric effect support the particle nature of electrons. Also, according to Newton, light travels in the form of particles. This theory explains reflection and refraction of light.

Wave nature of electron :
Heisenberg’s uncertainty principle supports the wave nature of electron. Also, according to Huygens, light travels in the from of waves. This theory explains diffraction and interference of light.

Louis de-Broglie proposed the dual nature of matter. According to him, microscopic particles such as electrons have both wave-like & particle- properties.

Louis de-Broglie derived an equation to calculate the wavelength (λ) of the wave associated with a particle of mass m, moving with velocity v. It is given by
λ = \(\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}\)
where ‘h’ is Planck’s constant and p is momentum of the particle.

Experimental Evidence :
The wave nature of electrons was verified experimentally by Davisson and Germer by carrying out diffraction experiments with a beam of fast moving electrons. The wave nature of electrons is utilised in the construction of electron microscope.

Question 9.
How are the quantum numbers n, l and m_l arrived at? Explain the significance of these quantum numbers. [IPE’ 04, 06, 10, 10, 13, 14][AP, TS 15, 16, 17, 19]
Answer:
To explain the position of electron in the space around the nucleus, quantum numbers were proposed.

Various types of orbitals can be distinguished by their size, shape, and orientation. This can be done by means of quantum numbers.

The quantum numbers n, l, and m_l are obtained when Schrodinger wave equation is solved for the wave function Ψ.

1) Principal quantum number :
i) It was proposed by Bohr.
ii) It is denoted by ‘n’.
iii) The values of ‘n’ are 1, 2, 3, 4 ……. These values correspond the shells K, L, M, N ………..

Significance :
The value of ‘n’ indicates (i) size of the orbit (rn) (ii) energy of the orbit (E_n)
• The maximum number of electrons in n^th orbit = 2n².

2) Azimuthal quantum number :

1. It was proposed by Sommerfeld.
2. It is denoted by ‘l’.
3. The values of ‘l’ are 0, 1, 2,….,(n – 1).

Significance : The value of ‘l’ indicates
i) shape of the subshell,
ii) angular momentum of electron

• The ‘l’ values 0, 1, 2, 3 correspond the sub shells s, p, d, f respectively.
• The shape of s-orbital is spherical, the shape of p-orbital is dumb-bell, the shape of d-orbital is double dumb-bell, the shape of f-orbital is ‘four fold dumb-bcIP.
• The angular momentum of electron is given by mvr = \(\sqrt{l(l+1)} \cdot \frac{\mathrm{h}}{2 \pi}\)
  Hence, 7’ is also called ‘angular momentum quantum number’.

3) Magnetic quantum number :

1. It was proposed by Lande.
2. It is denoted by ‘m’(or) m_l
3. The values of ‘m’ range from “-l to +l” including ‘O’.
   For a given value of ‘l’, the total number of ‘m values’ = 2l + 1.

Significance :
The value of ‘m’ indicates the ‘orientation’ of the orbital in space.
It explains the ZEEMAN effect.

4) Also, we have one more quantum number called Spin Quantum number(s), which was proposed by Uhlenbeck and Goudsmith. This quantum number signifies the spin (clockwise or anticlockwise) of the revolving electron.

Question 10.
Explain the dual behavior of matter. Discuss its significance to microscopic particles like electrons.
Answer:
de-Broglie proposed that micro particles like electrons exhibit both particle and wave like properties. Thus, electron should also have momentum as well as wave length.

1) According to Planck’s quantum theory of radiation, the energy of photon is given by

de Broglie hypothesized that equation (3) applicable to photons, can be extended to all micro particles like electrons, moving with high speeds.
Hence in (3), the velocity of photon (c) can be replaced by the velocity of microparticle (v).
∴ Equation (3) be re-written as λ = \(\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}\) …….. (4)

This equation (4) is called de Broglie equation.

This λ is known as particle wave length (or) de Broglie wave length

Thus, the microparticle electron possess wave length λ, given by the above expression. Hence, electron is associated with wave nature.

Significance :
Equation (4) should hold true for all the moving material bodies.
In (4) ‘m’ is in the denominator. For macroscopic bodies like planets, the value of m is very large. Hence λ becomes very small, so that it is neglected.

But, microscopic particles like electrons possess very low masses. Hence, the value of λ is very significant.

Further, for an electron moving around the nucleus in circular path, two different types of waves of different wave lengths are possible.

One is due to constructive interference ( when nλ = 2πr )
and the other is due to destructive interference (nλ ≠ 2πr )
If the circumference of the electron orbit is an integral multiple of λ, then electron waves are said to be ‘in – phase’. Otherwise, they are ‘out of phase’.

(6) is nothing but the relation of Bohr’s quantization of angular momentum.

Thus, de Broglie’s theory and Bohr’s theory are in well agreement with each other, in the quantization of angular momentum.

Question 11.
What arc the various ranges of electromagnetic radiation? Explain the characteristics of electromagnetic radiation.
Answer:
According to Maxwell, “electromagnetic radiation” is made up of electromagnetic waves. They contain two components, one is varying electric field and the other is the varying magnetic field. These two fields are perpendicular to each other and are also perpendicular to the direction of propagation of wave.

Characteristics of electromagnetic radiations :
1) These radiations are produced by oscillating charged particles in a body.

2) The radiations can pass through vacuum also. So medium for transmission is not required.

3) The wavelength (λ) is the distance between two neighbouring crests or troughs of the wave.
Units of λ : cm, m, nm, Å

4) Frequency(v)of a wave is the number of waves which cross a particular point in one second.

Units of frequency: cps (cycles per sec) or Hz (hertz)

5) Velocity (c) of a wave is the distance travelled by the wave in one second.
Velocity = wavelength × frequency ⇒ c = λ × ν where c = 3 × 10¹⁰ cm/s.
Velocity of all electromagnetic radiations in space or in vaccum is the same.

6) Wave number (\(\overline{\mathrm{ν}}\)) is the number of wavelength per centimeter.
It is reciprocal of wavelength. \(\overline{\mathrm{ν}}\) = \(\frac{1}{\lambda}\) Units Wave number: cm^-1

7) Amplitude (A) is the height of the crest or depth of trough of a wave.
It determines the intensity or brightness of the light.

Various ranges of Electromagnetic spectrum:
(Wave length λ in meters and Frequency ν in Hz)

Question 12.
Define atomic orbital.Explain the shapes of s, p, d orbitals with the help of diagrams.
Answer:
An atomic orbital is defined as the 3-dimensional space, around the nucleus in an atom, where the probability of finding an electron is maximum (95%).

I) Shape of s-orbital :

1. The shape of s-orbital is spherical.
2. As the value of ‘n’ increases, the size of the orbital increases.
   That is, 1s < 2s < 3s <
3. s-orbital does not possess any directional property.
4. The number of nodal planes for s-orbital is ‘zero’. That is, l =0.
5. Various possible quantum numbers for s-orbitals are :
   n = 1, 2, 3 ….; l = 0, m = 0.
   

II) Shape of p-orbitals :

1. The shape of p-orbital is dumb-bell with 2 lobes.
2. The p-subshell contains 3 sub-orbitals.They are p_x, p_y, p_z degenerate orbitals.
3. All the 3 sub-orbitals are mutually perpendicular.
4. Each p-orbital has 1 nodal plane. That is, l = 1.
5. Various possible quantum numbers for p-orbital are: n = 2,3,4,….; l = 1; m = -1, 0, 1
   

III) Shape of d-orbitals :

1. The shape of d-orbital is double dumb-bell with 4 lobes.
2. The d -subshell contains 5 sub-orbitals. They are d_xy, d_yz, d_zx, d_x²-y² and d_z²
3. The shapes of first 3 orbitals are similar and their lobes are in between their axes.
4. Each d-orbital has 2 nodal planes.That is, l = 2
5. Various possible quantum numbers for d-orbital are: n = 3, 4, 5 ; l = 2; m = -2, -1, 0, 1, 2.
   

Question 13.
Explain diagrammatically the boundary surfaces for three 2p orbitals and five 3d orbitals.
Answer:
1) Shape of 2p-orbital :
Shape Of p-orbital is dumb-bell. There are three 2p- orbitals. They are 2p_x, 2p_y and 2p_z orbitals. Each orbital has two lobes. These lobes are oriented along their respective axes. Each p orbital has one nodal plane.

2) Shape of 3d- orbital :
d-orbital has double dum-bell shape. There are five d- orbitals. They are d_xy, d_yz, d_zx, d_x²-y² and d_z². Each d orbital has 4 lobes. In d_xy orbital, the lobes are placed in between the x and y axes. Similar is the case with other orbitals d_yz, d_zx. In d_x²-y² orbital, the lobes lie along x and y – axes. Each d orbital has two nodal planes. In d_z² orbital, two lobes lie along z axis and there is a ring of electron cloud around the centre.

Question 14.
Illustrate the reasons for the stability of completely filled and half-filled subshells.
Answer:
The completely filled and half-filled orbitals give stability to the atoms due to following reasons.

1. Symmetrical arrangement of electrons in sub-shells.
2. More number of exchange energies.

These can be illustrated by taking the electronic configurations of Chromium and Copper.

The expected configurations for Cr and Cu are:
Cr(Z = 24) : [Ar] 4s²3d⁴
u(Z = 29): [Ar] 4s²3d⁹

The two sub-shells 4s and 3d differ very’ slightly in their energies. When an electron shifts from a sub-shell of lower energy (4s) to (3d) the electronic configuration of Cr and Cu changes as follows:
Cr(Z = 24) : [Ar]4s¹3d⁵
Cu(Z = 29) : [Ar]4s¹3d¹⁰

Thus, Cr gets half filled 3d – shell electronic configuration and
Cu gets full filled 3d-shell electronic configuration.

1) Symmetrical arrangement of electrons :
We know that symmetry leads to stability. The completely filled or half-filled subshells have symmetrical distribution of electrons in them and are therefore more stable. Electrons in the same subshell (here 3d) have equal energy but different spatial distribution. Consequently, their shielding of one another is relatively small and the electrons are more strongly attracted by the nucleus. Hence the atom gets more stability.

2) Exchange energies :
The shifting of electrons from one orbital to another orbital in the same subshell is called exchange.The energy released due to this exchange is called exchange energy.

When two or more electrons with the same spin in the degenerate orbitals, exchange their positions then some energy is released. Then the energy of the atom decreases and it becomes more stable. The more the number of ‘exchange pair’ of electrons, the greater would be the decrease of energy and hence the greater is the stability of the atom.
Ex : In 3d⁵ configuration, the electron pair exchanges can happen in 10 ways.

In other words, the extra stability of half-filled and completely filled subshell is due to (i) relatively small shielding (ii) smaller coulombic repulsion energy (iii) larger exchange energy.

Question 15.
Explain emission and absorption spectra. Discuss the general description of the spectra in hydrogen atom.
Answer:
Emission spectrum:

1. Emission spectrum is formed due to emission of radiation in quanta.
2. It is produced when electrons jump from higher orbits to lower orbits.
3. It consists of bright lines on a dark back ground.

Absorption spectrum:

1. Absorption spectrum is formed due to absorption of energy in quanta.
2. It is produced when electrons jump from lower orbits to higher orbits.
3. It consists of dark lines on a bright back ground.

Hydrogen Spectrum :
When an electric discharge is passed through hydrogen gas at low pressure, a bright light is emitted by hydrogen atoms.

When this light is passed through a prism, a discontinuous line spectrum of several sharp, distinct lines is produced. It is called hydrogen emission spectrum.

The transmission of energy of electrons from any higher orbit to

1. n = 1 produces spectral lines in the UV region. This is named as Lyman series.
2. n = 2 produces spectral lines in the visible region. This is named as Balmer series.
3. n = 3, 4, 5 produces spectral lines in the IR region. These are named as Paschen, Brackett and Pfund series respectively

The energy level diagram is shown below

Multiple Choice Questions

Question 1.
Calculate the number neutrons and electrons in
1) 25, 45
2) 25, 35
3) 35, 45
4) 30, 40
Answer:
3) 35, 45
Solution:
For ⁸⁰₃₅Br, Atomic mass number A = 80 and
Atomic number Z = 35.
For a neutral atom,
No. of protons = No. of electrons = Z = 35
No.of neutrons = A – Z = 80 – 35 = 45

Question 2.
The number of electrons, protons, and neutrons in a species are equal to 18,16 and 16 respectively. Then the proper symbol to the species is

Answer:
2
Solution:
Given No.of electrons = 18,
Number of protons =16, No.of neutrons = 16
The atomic number(Z) = No. of protons =16.
∴ The element is sulphur(S).
Atomic mass number(A)
= No.of protons + No.of neutrons = 16 + 16 = 32
The number of protons is not equal to electrons.
∴ The species is riot neutral.
It is an anion with charge equal to excess number of electrons = 18 – 16 = 2.
∴ The Symbol is ³²₁₆S^2-

Question 3.
The Vividh Bharati station of AH India Radio, Delhi broadcasts on a frequency of l,368KHz(Kilo Hertz). Calculate the wavelength of the electromagnetic radiation emitted by transmitter. Which part of the electromagnetic spectrum does it belong to?
1) 215.3 m, Radio waves
2) 217.3 m, Radio waves
3) 216.3 m, Radio waves
4) 219.3 rh, Radio waves
Answer:
4) 219.3 rh, Radio waves
Solution:
Frequency ν = 1,368 KHz = 1368 × 10³ s^-1
Velocity of radiation c = 3 × 10⁸ m.s^-1
Formula :
Wavelength (λ) = \(\frac{c}{ν}\)
= \(\frac{3 \times 10^8}{1368 \times 10^3}\) = 219.3m
This wave length belongs to Radio waves.

Question 4.
The wavelength range of the visible spectrum extends from violet (400nm) to red (750nm). Express these wavelengths in frequencies (Hz).(1nm = 10^-9m)
1) 6.50 × 10¹⁴Hz; 3.00 × 10¹⁴Hz
2) 7.50 × 10¹⁴Hz; 4.00 × 10¹⁴Hz
3) 8.50 × 10¹⁴Hz; 4.00 × 10¹⁴Hz
4) 6.05 × 10¹⁴Hz; 3.00 × 10¹⁴Hz
Answer:
2) 7.50 × 10¹⁴Hz; 4.00 × 10¹⁴Hz
Solution:
Frequency of violet

Question 5.
Calculate the frequency (v) and wave number (\(\overline{\mathrm{ν}}\)) of the yellow light of wave length 5800Å, emitted from Sodium lamp.
1) 5.1724 × 10¹⁴Hz; 1.724 × 10⁶m^-1
2) 5.1824 × 10¹⁴Hz; 1.624 × 10⁶m^-1
3) 6.1724 × 10¹⁴Hz; 1.724 × 10⁶m^-1
4) 4.1724 × 10¹⁴Hz; 2.724 × 10⁶m^-1
Answer:
1) 5.1724 × 10¹⁴Hz; 1.724 × 10⁶m^-1
Solution:
Velocity of light c = 3 × 10⁸m /s
wavelength of yellow light λ = 5800Å = 5800 ×10^-10m

Question 6.
Calculate energy of one mole of photons of radiation whose frequency is 5 × 10¹⁴ Hz.
1) 196.51 kJmol^-1
2) 199.51 kJmol^-1
3) 190.51 kJ mol^-1
4) 191.51 kJmol^-1
Answer:
2) 199.51 kJmol^-1
Solution:
Given Frequency v = 5 × 10¹⁴ s^-1
We know h = 6.626 × 10^-34 Js;
Energy (E) of one photon is E = hν;
E = (6.626 × 10^-34 Js) × (5 × 10¹⁴s^-1)
= 3.313 × 10^-19 J
Energy of one mole of photons
= (3.313 × 10^-19J) × (6.023 × 10²³ mol^-1)
= 199.51 kJ mol^-1.

Question 7.
A 100 watt bulb emits monochromatic light of wavelength 400nm. Calculate the number of photons emitted per second by the bulb.
1) 2.312 × 10¹⁹S^-1
2) 2.111 × 10²⁰S^-1
3) 2.012 × 10¹⁸S^-1
4) 2.012 × 10²⁰S^-1
Answer:
4) 2.012 × 10²⁰S^-1
Solution:
Power of the bulb = 100watt = 100Js^-1.
Energy of one photon E = hν = hc/λ

Question 8.
When electromagnetic radiation of wavelength 300nm falls on the surface of sodium, electrons are emitted with a kinetic energy of 1.68 × 10⁵J mol^-1. What is the minimum energy needed to remove an electron from sodium? What is the maximum wavelength that will cause a photoelectron to be emitted?
1) 3.84 × 10^-19J, 517 nm
2) 4.84 × 10^-19J, 519 nm
3) 5.84 × 10^-19J, 617 nm
4) 3.84 × 10^-19J, 717 nm
Answer:
1) 3.84 × 10^-19J, 517 nm
Solution:
Given Wavelength(λ) = 300nm = 300 × 10^-19m

The energy of one mole of photons
= 6.626 × 10^-19J × 6.022 × 10²³mol^-1.
= 3.99 × 10⁵Jmol^-1.
The minimum energy needed to remove one mole of electrons from sodium. hν₀ = hν – KE
= (3.99 – 1.68)10⁵Jmol^-1 = 2.31 × 10⁵Jmol^-1
The minimum energy for one electron

Wavelength 517 nm corresponds to green light.

Question 9.
The threshold frequency v0 for a metal is 7.0 × 10¹⁴ s^-1. Calculate the kinetic energy of an electron emitted when radiation of frequency v = 1.0 × 10¹⁵ s^-1 hits the metal.
1) 1.555 × 10^-19 J
2) 1.987 × 10^-19 J
3) 1.987 × 10^-17 J
4) 1.787 × 10^-15 J.
Answer:
2) 1.987 × 10^-19 J
Solution:
Threshold Frequency ν₀ = 7.0 × 10¹⁴ sec^-1
Frequency of radiation ν
= 1.0 × 10¹⁵sec^-1 = 10 × 10¹⁴ sec^-1
Plancks constant h = 6.626 × 10^-34 Js
Formula: KE = h (ν – ν₀)
= 6.626 × 10^-34(10 × 10¹⁴ – 7 × 10¹⁴)
= 1.987 × 10^-19J.

Question 10.
What are the frequency and wavelength of a photon emitted during a transition from n = 5 state to the n = 2 state in the hydrogen atom?
1) 0.6914 × 10¹⁶ Hz; 4.429 × 10^-8m
2) 0.6914 × 10¹⁵ Hz; 3.329 × 10^-7m
3) 0.6814 × 10¹⁷ Hz; 4.329 × 10^-9m
4) 0.6914 × 10¹⁵ Hz; 4.329 × 10^-7m
Answer:
4) 0.6914 × 10¹⁵ Hz; 4.329 × 10^-7m
Solution:
Let n₁ = 2, n₂ = 5; we take R = 1.1 × 10^–m^-1

Question 11.
Calculate the energy associated with the first orbit of He+. What is the radius of this orbit?
1) -8.72 × 10^-17J, 0.2745Å
2) -7.92 × 10^-16J, 0.2645Å
3) -8.72 × 10^-18J, 0.2645Å
4) -7.52 × 10^-14J, 0.2545Å
Answer:
3) -8.72 × 10^-18J, 0.2645Å
Solution:

Question 12.
What will be the wavelength of a ball of mass 0.1 Kg moving with a velocity of 10ms^-1?
1) 6.6469 × 10^-34m
2) 6.62 69 × 10^-34m
3) 6.6469 × 10^-32m
4) 6.6969 × 10^-32m
Answer:
2) 6.62 69 × 10^-34m
Solution:
Given Mass m = 0.1kg ; Velocity = 10ms^-1
We know h = 6.626 × 10^-34Js

Question 13.
The mass of an electron is 9.1 × 10^-31kg. If its K.E is 3.0 × 10^-25J. Calculate its wave length.
1) 896.7 nm
2) 859.7 nm
3) 876.7 nm
4) 866.7 nm
Answer:
1) 896.7 nm
Solution:

Question 14.
Calculate the mass of a photon with wavelength 3.6 A
1) 6.137 × 10^-32Kg
2) 6.135 × 10^-11Kg
3) 6.135 × 10^-33Kg
4)6.135 × 10^-27Kg
Answer:
3) 6.135 × 10^-33Kg
Solution:
Wavelength λ = 3.6 Å = 3.6 × 10^-10 m
Velocity of photon = Velocity of light
v = 3 × 10⁸ m.sec^-1
Planck’s constant h = 6.626 × 10^-34 Js

Question 15.
A microscope using suitable photons is employed to locate an electron in an atom within a distance of 0.1 A. What is the uncertainty involved in the measurement of its velocity?
1) 6.79 × 10⁸ms^-1
2) 5.79 × 10⁶ms^-1
3) 5.79 × 10⁸ms^-1
4) 6.79 × 10⁶ms^-1
Answer:
2) 5.79 × 10⁶ms^-1
Solution:
From Heisenberg uncertainty principle,

= 0.579 × 10⁷ ms^-1 =5.79 × 10⁶ ms^-1 (∵ 1J = lkgm²s^-1)

Question 16.
A golf ball has a mass of 40g, and a speed of 45m/s. If the speed can be measured with in accuracy of 2%. Calculate the uncertainty in the position.
1) 1.46 × 10^-36m
2) 1.49 × 10^-33m
3) 1.42 × 10^-33m
4) 1.46 × 10^-33m
Answer:
4) 1.46 × 10^-33m
Solution:
Given mass m = 40g =40 × 10^-3kg
The uncertainty in the speed is

Question 17.
The number of protons, neutrons and electrons in ¹⁷⁵₇₁Lu respectively are
1) 71,104 and 71
2) 104, 71 and 71
3) 71,71 and 104
4) 175, 104 and 71
Answer:
1) 71,104 and 71

Question 18.
Two atoms are said to be isobars, if
1) they have same atomic number but different mass number.
2) they have same number of electrons but different number of neutrons.
3) they have same number of neutrons but different number of electrons.
4) sum of the number of protons and neutrons is same but the number of protons is different.
Answer:
4) sum of the number of protons and neutrons is same but the number of protons is different.

Question 19.
Which of the following properties of atom could be explained correctly by Thomson Model of atom?
1) Overall neutrality of atom.
2) Spectra of hydrogen atom.
3) Position of electrons, protons and neutrons in atom.
4) Stability of atom.
Answer:
1) Overall neutrality of atom.

Question 20.
Which of the following conclusions could not be derived from Rutherford’s a-particle scattering experiment?
1) Most of the space in the atom is empty.
2) The radius of the atom is about 10_1° m while that of nucleus is 10-15 m.
3) Electrons move in a circular path of fixed energy called orbits.
4) Electrons and the nucleus are held together by electrostatic forces of attraction.
Answer:
3) Electrons move in a circular path of fixed energy called orbits.

Question 21.
Which of the following statements about the electron is incorrect?
1) It is a negatively charged particle
2) The mass of electron is equal to the mass of neutron
3) It is a basic constituent of all atoms
4) It is a constituent of cathode rays
Answer:
2) The mass of electron is equal to the mass of neutron

Question 22.
Which of the following is responsible to rule out the existence of definite paths or trajectories of electrons?
1) Pauli’s exclusion principle
2) Heisenberg’s uncertainty principle
3) Hund’s rule of maximum multiplicity
4) Aufbau principle
Answer:
2) Heisenberg’s uncertainty principle

Question 23.
Orbital angular momentum depends on ……….
1) 1
2) n and l
3) n and m
4) m and s
Answer:
1) 1

Question 24.
Total number of orbitals associated with third shell will be
1) 2
2) 4
3) 9
4) 3
Answer:
3) 9

Question 25.
A particular station of All India Radio, New Delhi, broadcasts on a frequency of l,368KHz (kilohertz). The wavelength of the electro magnetic radiation emitted by the transmitter is
[speed of light, c = 3 × 10⁸ ms^–]
1)21.92 cm
2) 219.3 m
3) 219.2 m
4) 2192 m
Answer:
2) 219.3 m

Question 26.
Which of the following series of transition in the spectrum of hydrogen atom falls in visible region?
1) Brackett series
2) Lyman series
3) Balmer series
4) Paschen series
Answer:
3) Balmer series

Question 27.
Number of angular nodes for 4d orbital is …………
1) 4
2) 3
3) 2
4) 1
Answer:
3) 2

Question 28.
The number of radial nodes for 3p orbital is ………….
1) 3
2) 4
3) 2
4) 1
Answer:
4) 1

Question 29.
Orbital having 3 angular nodes and 3 total nodes is ………….
1) 5p
2) 3d
3) 4f
4) 6d
Answer:
3) 4f

Question 30.
4d, 5p, 5f and 6p orbitals are arranged in the order of decreasing energy. The correct option in the order of decreasing energy
1) 5f > 6p > 4d > 5p
2) 5f > 6p > 5p > 4d
3) 6p > 5f > 5p > 4d
4) 6p > 5f > 4d > 5p
Answer:
2) 5f > 6p > 5p > 4d

Question 31.
Which of the following options does not represent ground state electronic configuration of an atom?
1) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d⁸ 4s²
2) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d⁹ 4s²
3) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s¹
4) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d⁵ 4s¹
Answer:
2) 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d⁹ 4s²

Question 32.
The pair of ions having same electronic configuration is ……………
1) Cr³⁺, Fe³⁺
2) Fe³⁺, Mn³⁺
3) Fe³⁺, CO³⁺
4) Sc³⁺, Cr³⁺
Answer:
2) Fe³⁺, Mn³⁺

Question 33.
From the following pairs of ions which one is not an iso-electronic pair?
1) Fe²⁺, Mn²⁺
2) O^2-, F^–
3) Na⁺, Mg²⁺
4) M²⁺, Fe³⁺
Answer:
1) Fe²⁺, Mn²⁺

Question 34.
In hydrogen atom, the de Broglie wavelength of an electron in the second Bohr orbit is
[Given that Bohr radius, a₀ = 52.9 pm]
1) 211.6 pm
2) 211.6 πpm
3) 52.9 πpm
4) 105.8 pm
Answer:
2) 211.6 πpm

Question 35.
If travelling at same speeds, which of the following matter waves have the shortest wavelength?
1) Electron
2) Alpha particle (He²⁺)
3) Neutron
4) Proton
Answer:
2) Alpha particle (He²⁺)

Question 36.
Chlorine exists in two isotopic forms, Cl-37 and Cl-35 but its atomic mass is 35.5. This indicates the ratio of Cl-37 and Cl-35 is approximately
1) 1 : 2
2) 1 : 1
3) 1 : 3
4) 3 : 1
Answer:
3) 1 : 3

Question 37.
Which one is a wrong statement?
1) Total orbital angular momentum of electron in s-orbital is equal to zero
2) An orbital is designated by three quantum numbers while an electron in an atoms is designated by four quantum numbers
3) The value of m for d_z² is zero
4) The electronic configuration of N atom

Answer:
4) The electronic configuration of N atom

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
స్వేచ్ఛా పథమధ్యమమును నిర్వచించండి. [Imp.Q][AP 15,17,18,19,19,20,22][TS 15,17,18]
జవాబు:
రెండు వరుస అభిఘాతముల మధ్య ఒక అణువు ప్రయాణించు సగటు దూరమును సగటు స్వేచ్ఛా పథము అని అంటారు.
\(\bar{l}=\frac{1}{\sqrt{2} \mathrm{n} \pi \mathrm{d}^2}\)

ప్రశ్న 2.
అణుచలనానికి నిర్ణయాత్మక రుజువును ఇచ్చే రెండు ప్రధాన దృగ్విషయాలను తెలపండి.
జవాబు:
బ్రౌనియన్ చలనము, వ్యాపనము

ప్రశ్న 3.
అణుచలన సిద్ధాంతం అవగాడ్రో పరికల్పనను ఏవిధంగా సమర్థిస్తుంది? వివిధ వాయువులు ఉండే అవగాడ్రో సంఖ్య ఒకటే అయి ఉంటుందని చూపుము.
జవాబు:
అవగాడ్రో నియమం :
ఒకే ఉష్ణోగ్రత మరియు ఒకే పీడనము వద్ద ఉన్న వాయువుల ఘనపరిమాణములు సమానమైతే వానిలోని అణువుల సంఖ్య కూడా సమానముగా ఉండును. ఒకే పీడనం P, ఒకే ఘనపరిమాణం V ఒకే ఉష్ణోగ్రత T కలిగిన వేర్వేరు వాయువులు ఆదర్శవాయువు సమీకరణం ప్రకారం PV = µRT

P, V,R,T లు అన్ని వాయువులకు ఒకే విలువలు కనుక వానిలోని మోల్ల సంఖ్య కూడా సమానముగా ఉండవలయును
మోల్ల సంఖ్య µ = \(\frac{M}{M_0}=\frac{N}{N_A}\)
ఇక్కడ M అనునది N అణువులు గల వాయువు ద్రవ్యరాశి
M₀ అనునది అవగాడ్రో సంఖ్య N_A అణువుల గల వాయుద్రవ్యరాశి

ప్రశ్న 4.
నిజవాయువు, ఆదర్శ వాయువు వలె ఎప్పుడు ప్రవర్తించును? [AP 19,22] [TS 15,16,18,19,22]
జవాబు:
అల్పపీడనముల వద్ద మరియు అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒక నిజవాయువు, ఆదర్శవాయువు వలె ప్రవర్తించును.

ప్రశ్న 5.
బాయిల్ నియమమును, ఛార్లెస్ నియమమును వ్రాయండి. [AP 20] [TS 17][Imp.Q]
జవాబు:
బాయిల్ నియమము :
ఒక స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం V దాని పీడనమునకు
P విలోమాను పాతంలో ఉండును అనగా V ∝ \(\frac{1}{P}\) లేక PV = స్థిరాంకము

ఛార్లెస్ నియమము :
ఒక స్థిర పీడనము వద్ద (P స్థిరము) నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమాను పాతంలో ఉండును.
V ∝ T ( P స్థిరము) (లేక ) \(\frac{V}{T}\) = స్థిరాంకము

ప్రశ్న 6.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనముల నియమమును వ్రాయండి. [TS 17,18,20,22][AP 16]
జవాబు:
కొన్ని ఆదర్శ వాయువుల మిశ్రమము యొక్క పీడనము, ఆ ఆదర్శ వాయువుల పాక్షిక పీడనముల మొత్తమునకు సమానం.

P₁, P₂, P₃, ….ఆదర్శ వాయువుల పాక్షిక పీడనములైన మొత్తము పీడనము P = P₁ + P₂ + P₃ + ———

ప్రశ్న 7.
ఒక పాత్రలోని ఆదర్శవాయువు కలుగజేయు పీడనం, పాత్ర ఆకారముపై ఆధారపడి ఉండదు. వివరించండి. [AP 15]
జవాబు:
ఒక పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు కలుగజేయు పీడనమునకు సూత్రము P = \(\frac{1}{3}\)nm\(\overline{\mathrm{v}}^2\)

ఇందులో m = అణువు ద్రవ్యరాశి, n = ఏకాంక ఘనపరిమాణంలోని అణువుల సంఖ్య
\(\overline{\mathrm{V}}\) = అణువుల సగటు వేగం (వేగం)
అనగా పీడనం, పాత్ర యొక్క వైశాల్యం A లేక ఎత్తు లేక పాత్ర యొక్క ఆకారమును సూచించు ఏ అంశము పైనను ఆధారపడి లేదు. అంతేకాక పాస్కల్ నియమం ప్రకారం సమతాస్థితిలో వాయువు యొక్క పీడనం ఒక చోట ఉన్న విధముగానే అన్ని చోట్ల ఉండును. అందువలన ఆదర్శ వాయువు పీడనం, పాత్ర ఆకారముపై ఆధారపడి ఉండదు.

ప్రశ్న 8.
వాయు అణువుల స్వేచ్ఛాంశ అనగా ఏమి? (లేక) స్వతంత్ర పరిమితులు అనగా ఏమి?
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థలోని కణములు మొత్తము ఎన్ని స్వతంత్ర పద్ధతులలో శక్తిని గ్రహించగలవో ఆ సంఖ్యను స్వేచ్ఛాంశలు అని అంటారు.
ఉదా: అంతరాళములో స్వేచ్ఛగా చలించగల కణమునకు 3 స్థానాంతర స్వేచ్ఛాంశలు ఉండును.

ఏక పరమాణుక వాయువుల లోని అణువులకు 3 స్థానాంతర స్వేచ్ఛాంశలు మాత్రమే ఉండును. ద్విపరమాణుక వాయువులలోని అణువులకు 3 స్థానాంతర, 2 భ్రమణ చలన అనగా మొత్తము 5 స్వేచ్ఛాంశలు ఉండును.

ప్రశ్న 9.
పీడనమునకు, వాయువులోని ఒక అణువు గతిశక్తికి మధ్యగల సంబంధము ఏమిటి? [AP 15,16,17,18]
జవాబు:

ప్రశ్న 10.
ఒక వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతను 3 రెట్లు పెంచిన, వాయు అణువుల r. m.s వేగము లోని పెరుగుదల ఎంత? [AP, TS 15, 19, 20]
జవాబు:

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణోగ్రతకు అణుచలన వివరణ ఏమిటి?
జవాబు:
ఒక అణువు సగటు గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)m\(\overline{\mathrm{v}}^2\) = \(\frac{3}{2}\) K_BT
K_B అనునది బోల్షమన్ స్థిరాంకం, T పరమ ఉష్ణోగ్రత పై సమీకరణమును బట్టి, ఒక అణువు సగటు గతిజశక్తి వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతములో ఉన్నదని తెలియును. అణువు సగటు గతిజశక్తి వాయువు పీడనం, ఘనపరిమాణం లేక వాయువు స్వభావం వంటి వానిపై ఆధారపడి ఉండదు. వాయువు ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన అణువు సగటు గతిజశక్తి పెరుగును. వాయువు కొంత ఉష్ణమును కోల్పోయిన అణువు సగటు గతిజశక్తి తగ్గును. అనగా ఒక వాయువులోని అణువు సగటు గతిశక్తి కి కొలమానము ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 2.
ఏక పరమాణుక, ద్విపరమాణుక మరియు బహు పరమాణుక విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని శక్తి సమవిభాజన నియమం ఆధారంగా ఏ విధంగా వివరించవచ్చు? [Mar 13][AP 16,17][TS 18]
జవాబు:
శక్తి సమ విభజన నియమం ప్రకారం, స్థానాంతర, భ్రమణ మరియు కంపన స్వతంత్ర పరిమితులు ఒక్కొక్కటి \(\frac{1}{2}\) K_BT చొప్పున అణువునకు శక్తిని సమకూర్చును.

ఏక పరమాణుక వాయువు :
ఏక పరమాణుక వాయు అణువులకు స్థానాంతర చలనము మాత్రమే ఉండును. దీని వలన ఒక అణువుకు 3 స్వతంత్ర పరిమితులు ఉండును.

ద్విపరమాణుక వాయువు :
కొన్ని ద్విపరమాణుక వాయువు అణువులకు స్థానాంతర చలనము వలన 3 స్వతంత్ర పరిమితులు భ్రమణ చలనము వలన 2 స్వతంత్ర పరిమితులు ఉండును. అనగా వీనికి మొత్తము స్వతంత్ర పరిమితుల సంఖ్య 5.

బహుపరమాణుక వాయువు :
బహుపరమాణుక వాయువులోని అణువుకు స్థానాంతర చలనము వలన 3 స్వతంత్ర పరిమితులు, భ్రమణ చలనము వలన 3 స్వతంత్ర పరిమితులు, కంపన చలనము వలన 1 గాని లేక అంతకన్న ఎక్కువ గాని స్వతంత్ర పరిమితులు ఉండును.

ప్రశ్న 3.
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతము ఆధారముగా పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత భావనను వివరించండి.
జవాబు:

ఉష్ణోగ్రత T = 0 అయినపుడు అణువు సగటు వేగం లేక r.m.s వేగం V, 0. అనగా వాయు అణువుల సగటు వేగం శూన్యమగు ఉష్ణోగ్రతను పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత అని అనవచ్చును.

ఇంకొక విధముగా చెప్పవలెనన్న పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయు అణువులకు చలనము ఉండదు. ఇది కేవలము ఆదర్శవాయువులకు మాత్రమే వర్తించును. ఆదర్శ వాయువులకు పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత విలువ -273.15°C . కాని వాయువులు ఈ ఉష్ణోగ్రతను చేరు లోపల అవి ద్రవములుగా ఆ తరువాత ఘనపదార్థాములుగా మారిపోయి ఉండును.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఆదర్శ వాయువులోని ఒక అణువు సగటు గతిశక్తి వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉండునని చూపుము.
జవాబు:

∴ ఒక అణువు సగటు గతిశక్తి వాయువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమాను పాతంలో ఉండను.

ప్రశ్న 5.
V₁ మరియు V₂ ఘనపరిమాణం గల రెండు ఉష్ణ బంధక పాత్రలు గాలితో నింపబడి ఒక కవాటముతో కలపబడి ఉన్నవి. వాని ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా (T₁, T₂) మరియు పీడనములు వరుసగా P₁ మరియు P₂ ఇపుడు కవాటమును తెరచిన, సమతాస్థితి చేరిన తరువాత పాత్రల లోపలి ఉష్ణోగ్రత ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 6.
ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల ఆక్సిజన్ మరియు హైడ్రోజన్ వాయువులు r.m.s వేగాల నిష్పత్తి ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 7.
ఒక వాయువులోని నాలుగు అణువుల వేగాలు 1,2,3 మరియు 4 కి.మీ/సె అయిన వాని r.m.s వేగం ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 8.
ఒక వాయువునకు ‘f’ స్వేచ్ఛాంశలు ఉన్న, దాని Cp మరియు C విలువల నిష్పత్తి ఎంత?
జవాబు:
శక్తి సమవిభజన నియమం ప్రకారం, ఒక్కొక్క స్వేచ్ఛాంశ వలన అణువుకు వచ్చు శక్తి \(\frac{1}{2}\) K_BT వాయువునకు ‘f’ స్వేచ్ఛాంశలు ఉన్నవి కనుక. ‘? స్వేచ్ఛాంశల వలన ఒక అణువుకు వచ్చు శక్తి = f × \(\frac{1}{2}\) K_BT
1 మోల్లో అవగాడ్రో సంఖ్యకు NA సమానమైన అణువులు ఉండును.
∴ 1 మోల్ వాయువునకు ఉండు అంతర్గత శక్తి = U = f × \(\frac{1}{2}\) K_BT × N_A
కాని N_A × K_B = R విశ్వవాయు స్థిరాంకం ∴ U = f × \(\frac{1}{2}\)RT

ప్రశ్న 9.
1 గ్రాము ‘హీలియం (అణుభారం = 4) గతిశక్తిని 127°C వద్ద కనుగొనండి. R = 8.31 J mol^-1 K^-1.
జవాబు:

ప్రశ్న 10.
ఒక వాయువు పీడనం 2% పెరిగితే, ఘనపరిమాణములోని తగ్గుదల శాతం ఎంత? బాయిల్ నియమం పాటించబడుచున్నది అని అనుకొనుము.
జవాబు:
బాయిల్ నియమం ప్రకారం, PV = స్థిరాంకము

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
అణు చలన సిద్ధాంతం నుంచి ఒక పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనానికి సమాసం రాబట్టి, తద్వారా ఉష్ణోగ్రతకు గతిక అర్థ వివరణను ఇవ్వండి.
జవాబు:

‘l’ భుజముగా గల ఒక ఘనాకార పాత్రను ఊహించుము. పటములో చూపినట్లు ఘనము యొక్క భుజములకు సమాంతరముగా X, Y, Z అక్షములను తీసికొనుము. (V_x, V_y, V_z) వేగము ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక అణువు Y, Z తలమునకు సమాంతరముగా ఉన్న ఘనము తలమును ఢీకొన్నదనుకొనుము. ఈ తలము వైశాల్యము A(=l²) కు సమానం. ఇది సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక అభిఘాతము కనుక Y, Z వేగాంశములలో మార్పు ఉండదు. X వేగాంశ మాత్రము పరిమాణములో స్థిరంగా ఉండి దిశ వ్యతిరేకమగును. అనగా అభిఘాతము తరువాత అణువు వేగము (−V_x, V_y, V_z).
అణువు ద్రవ్య వేగములోని మార్పు = -mV_x(+mV_x) = -2mV_x.

ద్రవ్యవేగనిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, అభిఘాతము ద్వారా పాత్రగోడకు ఒక అణువు అందించిన ద్రవ్యవేగం = (−2mV_x) = 2mV_x.

ఏకాంక ఘనపరిమాణంలో ఉన్న అణువుల సంఖ్య ‘n’ అయితే (V_x, V_y, V_z) వేగంతో ∆t కాలంలో గోడను ఢీ కొట్టు అణువుల సంఖ్య ∆t = \(\frac{1}{2}\)AV_x∆tn

K_B అనునది బోల్షమన్ స్థిరాంకం, T పరమ ఉష్ణోగ్రత పై సమీకరణమును బట్టి, ఒక అణువు సగటు గతిజశక్తి వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతములో ఉన్నదని తెలియును. అణువు సగటు గతిజశక్తి వాయువు పీడనం, ఘనపరిమాణం లేక వాయువు స్వభావం వంటి వానిపై ఆధారపడి ఉండదు. వాయువు ఉష్ణోగ్రత పెరిగిన అణువు సగటు గతిజశక్తి పెరుగును. వాయువు కొంత ఉష్ణమును కోల్పోయిన అణువు సగటు గతిజశక్తి తగ్గును. అనగా ఒక వాయువులోని అణువు సగటు గతిశక్తి కి కొలమానము ఉష్ణోగ్రత.

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
STP వద్ద ఆక్సిజన్ అణువుల ఘనపరిమాణం, ఆక్సిజన్ వాయు ఘనపరిమాణంలో ఎంత భాగము ఉండునో లెక్క గట్టుము.ఆక్సిజన్ అణువు వ్యాసము 3A° అనుకొనుము.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
STP వద్ద 1 మోల్ వాయువు ఘనపరిమాణం 22.4 లీటర్లు అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ఒక గది ఘనపరిమాణం 25.0 m³ అయిన 27°C ఉష్ణోగ్రత 1 అట్మాస్పియర్ పీడనము వద్ద ఆ గది లోని గాలిలో గల అణువుల సంఖ్య ఎంత? (ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్, నీటి ఆవిరి మొదలైన)
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ఒక హీలియం పరమాణువు సగటు ఉష్ణ(గతి) శక్తి (i) గది ఉష్ణోగ్రత (27°C) వద్ద (ii) సూర్యుని ఉపరితలము పై (6000K) (iii) 10 మిలియన్ కెల్విన్ ఉష్ణోగ్రత ఎంత?
సాధన:

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణ సమతాస్థితి అనగా ఏమి? అది ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమమునకు ఎట్లు దారి తీయునో వివరింపుము. [Imp.Q]
జవాబు:
ఉష్ణసమతాస్థితి :
రెండు వ్యవస్థల ఉష్ణోగ్రతలు సమానముగా ఉండి, వాని మధ్య ఉష్ణ ప్రసారము జరుగుటకు వీలు ఉన్నప్పటికి, ఉష్ణము ప్రవహించనప్పుడు ఆ రెండు వ్యవస్థలు ఉష్ణసమతా స్థితిలో ఉన్నవని అంటారు.

ఉష్ణగతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమం :
రెండు వ్యవస్థలు మూడవ వ్యవస్థతో వేరువేరుగా ఉష్ణ సమతాస్థితిలో ఉన్నపుడు ఆ రెండు వ్యవస్థలు ఒక దానికొకొటి ఉష్ణ సమతాస్థితిలో ఉండును.

ప్రశ్న 2.
కెలోరిని నిర్వచించండి. కెలోరికి ఉష్ణయాంత్రిక తుల్యాంకమునకు మధ్యగల సంబంధము ఏమి? [Imp.Q]
జవాబు:
కెలోరీ :
1 గ్రాము ద్రవ్యరాశి గల నీటి యొక్క ఉష్ణోగ్రతను 1 atm పీడనం వద్ద 1°C పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని “కెలోరీ” అని అంటారు.

ఉష్ణయాంత్రిక తుల్యాంకము (J) :
1 కెలోరి ఉష్ణమును జనింపచేయుటకు చేయవలసిన పనిని ఉష్ణయాంత్రిక తుల్యాంకము అని అంటారు.
1 కెలోరి = 4.186 జౌల్

ప్రశ్న 3.
(a) శూన్యాంక నియమం (b) ప్రథమ లేక మొదటి నియమం ద్వారా నిర్వచించ కల్గిన ఉష్ణగతిక చర రాశులు ఏవి? [Imp.Q]
జవాబు:
(a) ఉష్ణగతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమము నుండి వ్యవస్థ యొక్క ఉష్ణోగ్రతను నిర్వచించవచ్చును.

(b) ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమము నుండి వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత శక్తి లేక అంతరిక శక్తిని నిర్వచించవచ్చును.

ప్రశ్న 4.
ఒక పదార్థము యొక్క విశిష్టోష్టమును నిర్వచించి, అది ఏఏ అంశాలపై ఆధారపడి ఉండునో వివరింపుము. [Imp.Q]
జవాబు:
విశిష్టోష్ణం ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు యొక్క ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేక 1K పెంచడానికి అవసరమైన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థ విశిష్టోష్ణం అని అంటారు. దీనిని c లేక s తో సూచిస్తారు. m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువునకు dQ ఉష్ణమును

ఇచ్చినపుడు దాని ఉష్ణోగ్రతలోని పెరుగుదల dT అయితే దాని విశిష్టోష్టం S = \(\frac{1}{m}(\frac{dQ}{dT})\)
ఒక పదార్థము యొక్క విశిష్టోష్ణం ఆ పదార్థ స్వభావం మరియు ఉష్ణోగ్రత పై ఆధారపడి ఉండును.

ప్రశ్న 5.
మోలార్ విశిష్టోష్టమును నిర్వచించండి. [Imp.Q][May 13]
జవాబు:
1 మోల్ ద్రవ్యరాశి గల పదార్థ ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేక 1K పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని మోలార్ విశిష్టోష్ణము అని అంటారు. n మోల్ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువునకు dQ ఉష్ణమును ఇచ్చినపుడు దాని ఉష్ణోగ్రతలోని పెరుగుదల dT అయితే దాని మోలార్ విశిష్టోష్ణం C = \(\frac{1}{m}(\frac{dQ}{dT})\)

ఒక పదార్థము యొక్క మోలార్ విశిష్టోష్ణం ఆ పదార్థ స్వభావం, ఉష్ణోగ్రత మరియు పదార్థమును వేడిచేయు పరిస్థితుల పై ఆధారపడి ఉండును.

ప్రశ్న 6.
ఒక ఘన పదార్థంలో డోలకం మొత్తం శక్తి ఎంత? [Imp.Q]
జవాబు:
ఏకమితీయముగా డోలకం చేయు ఒక కణము సగటు శక్తి = 2 × \(\frac{1}{2}\)K_BT = K_BT
త్రిమితీయముగా డోలకం చేయు ఒక కణము సగటు శక్తి = 3K_BT
1 మోల్ పదార్థమునకు, మొత్తము శక్తి U= 3K_BT × N_A = 3RT (∵ R = N_AK_B)
ఇక్కడ N_A అనునది అవగాడ్రో సంఖ్య.

ప్రశ్న 7.
నీటి విశిష్టోష్ణం ఉష్ణోగ్రతతో పాటు మారడాన్ని గ్రాఫ్ ద్వారా చూపుము. దీని ప్రాముఖ్యత ఏమిటి?
జవాబు:

ప్రాముఖ్యత :
కెలోరిని ఖచ్చితంగా నిర్వచించుటకు తీసుకోవలసిన ఉష్ణోగ్రత 14.5°C నుండి 15.5°C అని సూచించును.

ప్రశ్న 8.
స్థితి చరరాశులను, స్థితి సమీకరణాన్ని నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక ఉష్ణ గతిక వ్యవస్థ యొక్క సమతాస్థితిని పూర్తిగా వర్ణించు లేక వివరించు పీడనము, ఘనపరిమాణము, ఉష్ణోగ్రత లేక ద్రవ్యరాశి విలువలను స్థితి చరరాశులు అని అంటారు.

స్థితి సమీకరణం :
స్థితి చరరాశుల మధ్య సంబంధమును సూచించు సమీకరణమును స్థితి సమీకరణం అని అంటారు.
ఉదా: ఒక ఆదర్శ వాయువునకు, PV = nRT అనునది స్థితి సమీకరణం.

ప్రశ్న 9.
100% దక్షతో పనిచేసే ఉష్ణయంత్రాన్ని తయారు చేయడం సాధ్యం కాదు. ఎందుకు? [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక ఉష్ణయంత్రము యొక్క దక్షత, η = 1 – \(\frac{T_2}{T_1}\)

శీతలాశయం ఉష్ణోగ్రత T₂ = 0K అయినపుడు లేక ఉష్ణాశయం ఉష్ణోగ్రత T₁ = అనంతం అయినపుడు η = 1 అగును. అనగా ఉష్ణయంత్రం దక్షత 100% ఉండును. కాని T₂ = 0 లేక T₁ = అనంతం అనునవి అసాధ్యం. అందువలన 100% దక్షత గల ఉష్ణయంత్రములను నిర్మించలేము.

ప్రశ్న 10.
వేసవికాలంలో సైకిల్ ట్యూబు నుంచి గాలిని తొలగిస్తున్నప్పుడు ఆ గాలి చల్లగా అనిపించడానికి కారణం ఏమిటి? [Imp.Q]
జవాబు:
సైకిల్ ట్యూబులోని గాలి అధిక పీడనం వద్ద ఉండును. ట్యూబు వాల్ను తెరచినపుడు, బయటకు వచ్చుగాలి స్థిరోష్ణ ప్రక్రియలో వ్యాకోచించును. వ్యాకోచము చెందునపుడు, బయటకు వచ్చు గాలి పరిసరాలపై కొంత పని చేయును. పని చేయుటకు తనలోని శక్తిని (అనగా అంతర్గత శక్తిని) ఉపయోగించును. అందు వలన దాని ఉష్ణోగ్రత తగ్గును. దీని వలన బయటకు వచ్చిన గాలి చల్లగా ఉన్నట్టు అనిపించును.

ప్రశ్న 11.
ఒక మోటారు వాహనాన్ని ఏటవాలు రోడ్డుపై దిగువకు స్థిరవడితో ప్రయాణం చేసేటట్లు బ్రేకులకు ఉపయోగిస్తే బ్రేక్ డ్రమ్ములు ఎందుకు వేడెక్కుతాయి? [Imp.Q]
జవాబు:
వాహనం వడి స్థిరముగా ఉన్నది కనుక దాని గతిశక్తిలో మార్పు ఉండదు. క్రిందకు వచ్చుచున్నది కనుక అది కొంత స్థితి శక్తిని కోల్పోవును. అది కోల్పోయిన స్థితిశక్తిలో కొంత భాగము ఉష్ణశక్తిగా మారును. అందువలన దాని బ్రేక్ డ్రమ్ వేడెక్కును.

ప్రశ్న 12.
విద్యుత్ శీతలీకరణ యంత్రాన్ని (రిఫ్రిజరేటర్) తెరచి ఉంచి గదిని చల్లబరచడం సాధ్యమవుతుందా? [Imp.Q]
జవాబు:
చల్లబరచలేము.
రిఫ్రిజరేటర్(ఫ్రిడ్జ్) లో ఉంచిన వస్తువుల నుండి కొంత ఉష్ణమును గ్రహించి (దీని కొరకు ఫ్రిజ్లో ఉన్న విద్యుత్ మోటారు పని చేయును) ఆ ఉష్ణమును ఫ్రిడ్జ్ బయట ఉన్న పరిసరాలలోనికి విసర్జించును. ఇది ఫ్రిడ్జ్ పని చేయు విధానము. ఇపుడు ఫ్రిడ్జ్ తలుపు తీసి ఉంచిన, అది మరింత ఉష్ణమును పరిసరాలలోనికి వదులును. దీని వలన గది కొంచెం వేడెక్కును.

ప్రశ్న 13.
వ్యవస్థ ఘనపరిమాణాన్ని 50% కి తగ్గించినప్పుడు, స్థిరోష్ణక లేదా సమఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలలో దేనిలో పీడనం అధికంగా పెరుగుతుంది?
జవాబు:
స్థిరోష్ణ ప్రక్రియలో పీడనములోని పెరుగుదల ఎక్కువ.

సమ ఉష్ణోగ్రత ప్రక్రియ :
తొలి ఘన పరిమాణము V₁ = V(అనుకొనుము),

ప్రశ్న 14.
ఒక థర్మాస్ ఫ్లాస్క్లో ఉన్న ద్రవాన్ని బాగా కుదిపితే, దాని ఉష్ణోగ్రత ఏమవుతుంది? [Imp.Q].
జవాబు:
థర్మాస్ ఫ్లాస్క్ ను బాగుగా కుదిపినపుడు ద్రవము పై పని జరుగును. ఈ పని వలన ఆంతరిక శక్తి పెరుగును. అందువలన ద్రవము ఉష్ణోగ్రత పెరుగును.

ప్రశ్న 15.
వాయువుతో నిండి ఉన్న గొట్టంలోకి ఒక ధ్వని తరంగాన్ని పంపితే దాని అంతరిక శక్తి మారుతుందా?
జవాబు:
మారును. ధ్వని తరంగ ప్రసారము ఒక స్థిరోష్ణప్రక్రియ. అందువలన వాయువు అంతర్గత శక్తి పెరుగును.

ప్రశ్న 16.
i) సమఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ ii) స్థిరోష్ణ ప్రక్రియలలో అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు ఎంత? [Imp.Q]
జవాబు:
అంతర్గత శక్తి వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రత పై ఆధారపడి ఉండును.
i) సమ ఉష్ణోగ్రత ప్రక్రియలో వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రత స్థిరముగా ఉండును. కావున వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తిలో మార్పు ఉండదు.
i.e ∆U = 0

ii) స్థిరోష్ణ ప్రక్రియలో ∆Q = 0
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమం ప్రకారం ∆U = -∆W
వ్యవస్థ పని చేసినట్లయితే ∆W ధనాత్మకం. కనుక ∆U ఋణాత్మకం అనగా వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి తగ్గును. వ్యవస్థపై పని జరిగినట్లయితే ∆W ఋణాత్మకం. కనుక ∆U ధనాత్మకం. అనగా వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి పెరుగును.

ప్రశ్న 17.
రసాయనిక లేదా అణుకేంద్రాలలో వాడే శీతలీకరణి అధిక విశిష్టోష్టతను కలిగి ఉంటుంది. ఎందుకు? [Imp.Q]
జవాబు:
కేంద్రక రియాక్టర్ వంటి వ్యవస్థలలో చాలా ఎక్కువ ఉష్ణము జనించును. శీతలీకరణ ద్రవమునకు ఎక్కువ విశిష్టోష్ణము ఉన్నచో, ఉష్ణోగ్రతలో ఎక్కువ మార్పు లేకుండా, ఎక్కువ ఉష్ణమును గ్రహించుటకు అవకాశము ఉండును. అందువలన శీతలీకరణ ద్రవమునకు ఎక్కువ విశిష్టోష్ణము ఉండవలయును.

ప్రశ్న 18.
ఈ క్రింది వానిని వివరించండి. i) స్థిర ఘనపరిమాణ ప్రక్రియ ii) స్థిర పీడన ప్రక్రియ [Imp.Q]
జవాబు:
i) స్థిర ఘనపరిమాణ ప్రక్రియ :
వ్యవస్థ ఘనపరిమాణం స్థిరముగా ఉండి జరుగు ప్రక్రియను స్థిర ఘనపరిమాణ ప్రక్రియ అని అంటారు.
ఉదా: ధృడమైన గోడలు మరియు స్థిర ముషలకము కలిగిన సిలిండర్ లోని వాయువును వేడి చేసినపుడు వాయువు ఘనపరిమాణములో మార్పు ఉండదు. పీడనం, ఉష్ణోగ్రత పెరుగును.
∆Q = ∆U + P∆V కనుక ∆Q – ∆U అగును (∵ ∆V = 0)
అనగా వ్యవస్థకు అందించిన ఉష్ణశక్తి, దాని అంతర్గత శక్తిని పెంచుటకు ఉపయోగపడును.

ii) స్థిర పీడన ప్రక్రియ:
వ్యవస్థ పీడనం స్థిరముగా ఉండి, జరుగు ప్రక్రియను స్థిరపీడన ప్రక్రియ అని అంటారు.
ఉదా: ఒక మూతలేని గిన్నెలో నీరు తీసుకొని వాతావరణ పీడనం వద్ద వేడి చేయుట.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమాన్ని తెలిపి వివరించండి. [TS 22]
జవాబు:
నిర్వచనం :
ఒక వ్యవస్థకు సరఫరా అయిన ఉష్ణరాశి వ్యవస్థ అంతరిక శక్తి పెరుగుదలకు మరియు అది చేసిన బాహ్య పనుల మొత్తానికి సమానం.

ఒక వ్యవస్థకు సరఫరా చేసిన ఉష్ణరాశి dQ, అంతరిక శక్తి పెరుగుదల dU మరియు బాహ్య పని dW అయిన dQ = dU + dw.

వ్యవస్థ వలన పని జరిగితే dW ధనాత్మకం. వ్యవస్థపై పని జరిగితే dW ఋణాత్మకం.

ఇదే విధంగా వ్యవస్థకు ఉష్ణం అందితే dQ ను ధనాత్మకంగానూ, వ్యవస్థ నుంచి ఉష్ణం పొందితే dQను ఋణాత్మకంగాను తీసుకొంటారు. మొదటి నియమం ద్రవ్యం యొక్క అంతర్గత శక్తిని నిర్వచిస్తుంది. ఒక వియుక్త వ్యవస్థకు పరిసరాలతో సంబంధం ఉండదు. వ్యవస్థ మీద లేదా వ్యవస్థ చేసినపని dW = 0 మరియు dQ = 0 dU = 0 (లేదా) U = స్థిరరాశి. అనగా ఒక వియుక్త వ్యవస్థ యొక్క అంతర్గత శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులేకుండా ఒక వ్యవస్థ అందజేసిన ఉష్ణరాశి మొత్తం పనిగామారితే ఆ వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. అనగా dU = 0.

పరిమితులు:

1. ఉష్ణము ప్రవహించు దిశ గురించి తెలియచేయలేదు.
2. ఉష్ణశక్తిలో ఎంత భాగము వరకు పనిగా మార్చవచ్చునో తెలియజేయదు.

ప్రశ్న 2.
వాయువునకు గల రెండు ప్రధాన విశిష్టోష్టములను నిర్వచించి వానిలో దేని విలువ ఎక్కువ? ఎందువలన? వివరింపుము? [Imp.Q][TS 15]
జవాబు:
స్థిర పీడనం వద్ద విశిష్టోష్ణం (C_p):
స్థిర పీడనం వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల ఒక వాయు ఉష్ణోగ్రతను ఒక డిగ్రీ పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని, స్థిరపీడనం వద్ద, ఆ వాయు విశిష్టోష్ణం అంటారు.

స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద విశిష్టోష్ణం (C_v) :
స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల ఒక వాయు ఉష్ణోగ్రతను ఒక డిగ్రీ పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని,స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద, ఆ వాయు విశిష్టోష్ణం అంటారు. స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వ్యవస్థకు అందజేసిన ఉష్ణం, వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి పెరుగుదలకు కారణమవుతుంది. కాని స్థిర పీడనం వద్ద వ్యవస్థకు సరఫరా అయ్యే ఉష్ణరాశి రెండు విధాలుగా ఉపయోగపడుతుంది.

1. వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి పెరుగుదలకు
2. బాహ్య పని జరుగుటకు

అందువలన స్థిర పీడనం వద్ద వ్యవస్థకు, స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద కంటే ఎక్కువ ఉష్ణశక్తిని ఒకే ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలకు అందించాలి. అందువలన C_p > C_v.

ప్రశ్న 3.
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమమును ఆధారము చేసుకొని ఒక వాయువు యొక్క రెండు విశిష్టోష్టముల మధ్య సంబంధమును ఉత్పాదించండి. [TS 15]
జవాబు:
ఒక మోల్ ద్రవ్యరాశి గల ఆదర్శవాయువును ఘర్షణ లేని ముషలకంతో ఒక స్థూపాకార పాత్రలో బంధించామనుకోండి. ముషలకం వైశాల్యం A, వాయు పీడనం, ఘనపరిమాణం, ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా P, V, T అనుకోండి. వాయువును వేడిచేసినపుడు అది వ్యాకోచించి dx స్థానభ్రంశం చెందుతుంది.

Case – I :
స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వాయువును వేడిచేసినపుడు, సరఫరా అయ్యే ఉష్ణశక్తి dQ = c_v dT
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం నుండి dQ = dU + dW
కాని ఈ సందర్భంలో dW = 0 ∴ dQ = dU = c_vdT …………(1)

Case – II :
స్థిర పీడనం వద్ద వాయువును వేడిచేస్తే,
సరఫరా అయ్యే ఉష్ణశక్తి dQ = c_pdT ………..(2)
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం నుండి dQ = dU + dW………(3)
ఇక్కడ వాయువు వలన జరిగిన పని dW = F.S = (PA)dx = PdV, [Adx = dv కావున]
∴ dw = Pdv …………..(4)
1, 2, 3 మరియు 4 సమీకరణంల నుండి C_pdT = C_v dT + PdV …………. (5)
ఆదర్శ వాయు సమీకరణం నుండి PV = RT,
స్థిర పీడనం వద్ద PdV = RdT
కావున సమీకరణం 5 నుండి C_pdT = C_v dT + RdT = C_p = C_v + R
∴ C_p – C_v = R

ప్రశ్న 4.
సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియను తెలిపి, ఈ ప్రక్రియలో వాయువు చేసిన పనికి సమీకరణాన్ని తెలిపి వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ :
ఏ వ్యవస్థలోనైతే స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద పీడనం, ఘన పరిమాణాలలో మార్పులు కలుగుతాయో ఆ ప్రక్రియను సమ ఉష్ణోగ్రత ప్రక్రియ అంటారు.

పని :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయువును వేడిచేస్తే ఘనపరిమాణం V₁ నుంచి V₂కి, పీడనం P₁ నుంచి P₂ కు పెరిగినదనుకొనుము.

ప్రశ్న 5.
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియను తెలిపి, ఈ ప్రక్రియలో వాయువు చేసిన పనికి సమీకరణాన్ని తెలిపి వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ :
ఏ వ్యవస్థలోనైతే స్థిర ఉష్ణశక్తి వద్ద పీడనం, ఘనపరిమాణాలలో మార్పులు కలుగుతాయో ఆ ప్రక్రియను స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ అంటారు.

పని :
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం V₁ నుండి V₂ కు వ్యాకోచించింది. పీడనం P₁ నుండి P₂ కు, ఉష్ణోగ్రత T₁ నుండి T₂ కు మారింది.

ప్రశ్న 6.
సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ, స్థిరోష్ణక ప్రక్రియల మధ్య బేధాలను తెలుపుము. [TS 22]
జవాబు:

సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ	స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ
1) ఈ ప్రక్రియలో ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉంటుంది.	1) ఉష్ణోగ్రత మారుతుంది.
2) పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు ఉష్ణబదిలీ జరుగుతుంది.	2) పరిసరాలకు, వ్యవస్థకు మధ్య ఉష్ణరాశి బదిలీ ఉండదు.
3) ఉత్తమ వాహక పదార్థం గల పాత్రలో ఈ చర్య జరుగుతుంది.	3) ఉత్తమ బంధక పదార్ధం గల పాత్రలో ఈ చర్య జరుగుతుంది.
4) ఇది నెమ్మదిగా జరిగే చర్య.	4) ఇది వేగంగా జరిగే చర్య.
5) PV = స్థిరం,అనే వాయు నియమం వర్తిస్తుంది.	5) PVγ = స్థిరం,అనే వాయు నియమం వర్తిస్తుంది.
6) విశిష్టోష్ణం అనంతం.	6) విశిష్టోష్ఠం శూన్యం.
7) ఈ ప్రక్రియలో dQ = dW కు సమానం.	7) ఈ ప్రక్రియలో dU = -dW కు సమానం.

ప్రశ్న 7.
ఈ క్రింది వానిని వివరించండి. [Imp.Q]
i) చక్రియ ప్రక్రియ ఉదాహరణతో
ii) చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ
జవాబు:
చక్రియ ప్రక్రియ :
ఒక వ్యవస్థ పీడనం, ఘనపరిమాణం ఉష్ణోగ్రత వంటి వానిలో మార్పులను పొందుచూ చివరికి తన తొలి స్థితిని (అనగా తొలి పీడనం, ఘనపరిమాణం, ఉష్ణోగ్రత) పొందినచో అటువంటి ప్రక్రియను చక్రీయ ప్రక్రియ అని అంటారు.

ఒక వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి దాని స్థితి మీద మాత్రమే ఆధారపడి ఉండును. అంతే కాని వ్యవస్థ పయనించిన మార్గము పై కాదు. చక్రీయ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ చివరికి తన తొలి స్థితిని పొందినది కనుక దాని అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు శూన్యము. అనగా ∆U = 0.
ఉష్ణ గతిగ శాస్త్ర మొదటి నియమం ప్రకారం ∆Q = ∆U + ∆W.
చక్రీయ ప్రక్రియలో ∆U = 0. కనుక ∆Q = ∆W.
అనగా చక్రీయ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ గ్రహించిన ఉష్ణరాశి, వ్యవస్థ చేసిన పనికి సమానం.
ఉదా: కార్నో చక్రీయ ప్రక్రియ

చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ :
వ్యవస్థ అనేకమైన మార్పులకు లోనైన తరువాత చివరకు తన తొలి దశను పొందకపోతే అది చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ.
చక్రీయ ప్రక్రియ కాని ప్రతి ప్రక్రియ చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ.
ఉదా: ఒక సిలిండర్లో బంధించిన వాయువును వేడి చేసినపుడు అది చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ.

ప్రశ్న 8.
అర్థస్థితిక ప్రక్రియపై ఒక లఘుటీక వ్రాయుము
జవాబు:
ఒక ఉష్ణగతిక వ్యవస్థ యొక్క స్థితిని పీడనము(P), ఘనపరిమాణము (V), ఉష్ణోగ్రత (T) అంతర్గత శక్తి (u) ద్రవ్యరాశి (m) మొదలైనవి సూచించును. వీటిని ఉష్ణగతిక వ్యవస్థ చరరాశులు అని అంటారు. కాలముతో ఈ చరరాశుల విలువలలో మార్పు లేకుండా ఉన్నచో అపుడు ఆ వ్యవస్థ ఉష్ణగతిక సమతా స్థితిలోఉన్నదని అంటారు. ఒక పాత్రలో సులువుగా కదల గల ముషలకం సహాయంతో కొంత వాయువు బంధించబడి ఉన్నదనుకొనుము. ఇపుడు వాయువు పీడనం, మరియు ఉష్ణోగ్రత బయట వాతావరణ పీడనము సమానముగా ఉంటే ఆ వాయువు పరిసరాలతో ఉష్ణసమతాస్థితిలో ఉన్నదని అంటారు.

ఇపుడు ముషలకమును క్రిందికి ఒక్కసారిగా నెట్టినచో, పాత్రలోని వాయువు అకస్మాత్తుగా సంపీడ్యము చెందును.సంపీడ్యము చెందు సమయములో వాయువు పీడనము, ఉష్ణోగ్రతల విలువలు త్వరిత గతిన మారుచు చివరకు పరిసరాలతో మరల ఉష్ణసమతాస్థితికి వచ్చును. అనగా వాయువునకు, పరిసరాల మధ్య కొంతసేపటి వరకు ఉష్ణ సమతాస్థితి ఉండదు. ఆ విధముగా కాక, వ్యవస్థ అనుక్షణం తన పరిసరాలతో సమతాస్థితిలో ఉండునట్లుగా ఒక ప్రక్రియను ఊహించుము. అటువంటి ప్రక్రియను అర్థస్థితిక ప్రక్రియ అని అంటారు.

నిర్వచనం :
ప్రతిదశలో, ప్రక్రియ పూర్తయ్యేవరకు, వ్యవస్థ పరిసరాలతో ఉష్ణ మరియు యాంత్రిక సమతా స్థితిలో ఉండే విధంగా అత్యంత మంద గమనంతో జరిగే ప్రక్రియను అర్థస్థితిక ప్రక్రియ అని అంటారు. ఇది పూర్తిగా ఊహాజనిత ప్రక్రియ.

ప్రశ్న 9.
ఉష్ణ యంత్రం పనిచేసే విధానం తెలుపుము. [Imp.Q][May 13]
జవాబు:
ఉష్ణయంత్రం :
ఉష్ణశక్తిని యాంత్రిక శక్తిగా మార్చే పరికరాన్ని ఉష్ణయంత్రం అంటారు.
ఇది మూడుభాగాలు కలిగివుంటుంది.

(i) జనకం :
అధిక ఉష్ణోగ్రత T₁ వద్ద ఉండే ఒక వస్తువు. దీనినే ఉష్ణాశయం అని కూడా అంటారు.
ఈ వస్తువు నుండి ‘Q₁‘ పరిమాణం గల ఉష్ణాన్ని తీసుకోవడం జరుగుతుంది. కాబట్టి దీనిని ‘జనకం’ అంటారు.

(ii)పనిచేసే పదార్థం :
పనిచేసే పదార్థాన్ని కలిగి ఉన్న యంత్రంలోని ఒక వస్తువు.
ఉదా : ఆవిరి యంత్రంలో పనిచేసే పదార్థం నీటి ఆవిరి.

(iii) సింక్ లేదా రిజర్వాయరు : తక్కువ ఉష్ణోగ్రత T₂ వద్ద ఉండే ఒక వస్తువు. దీనినే శీతలాశయం అని అంటారు. పనిచేసే పదార్థం Q₂ ఉష్ణాన్ని ఈ వస్తువుకు వదిలి పెడుతుంది. ఆవిరి వలన జరిగిన పని W = Q₁ – Q₂

ఉష్ణ యంత్రం దక్షత :
యంత్రంతో జరిగిన పని (W) మరియు యంత్రం శోషించుకున్న ఉష్ణం (Q₁) ల మధ్య నిష్పత్తిని ఆ ఉష్ణ యంత్ర దక్షత (η) అంటారు.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఉత్రమణీయ మరియు అనుత్రమణీయ ప్రక్రియలు అనగా ఏమి? కార్నో యంత్రము పనిచేయు విధానమును వివరింపుము దాని దక్షతకు సమీకరణమును రాబట్టుము. [IPE ’14] [TS 15,17,19][AP 16,17,18,19,20,22]
జవాబు:
ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ(ఏకగత ప్రక్రియ) :
ఒక ప్రక్రియ ఏఏ దశల గుండా ప్రయాణం చేసిందో తిరిగి అవే దశల గుండా తన తొలి దశకు రాగలిగితే ఆ ప్రక్రియను ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ అని అంటారు.
ఉదా: మంచు ద్రవీభవనం చెందుట మరియు నీరు భాష్పీభవనం చెందుట

అనుత్రమణీయ ప్రక్రియ(ద్విగత ప్రక్రియ) :
ఒక ప్రక్రియ వ్యతిరేక దిశలో తన తొలి దశకు రాలేకపోతే ఆ ప్రక్రియను అనుత్ర్కమణీయ ప్రక్రియ అని అంటారు.
ఉదా: ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా జరిగే పని

కార్నో యంత్రము :
రెండు ఉష్ణోగ్రతలు మధ్య పనిచేయు ఉత్రమణీయ ఉష్ణయంత్రమును కార్నో యంత్రము అని అంటారు.

కార్నో యంత్రములో ఒక ఆదర్శ వాయువు “పని చేయు పదార్థము” గా పనిచేయును. ఈ క్రింది వివరించిన నాలుగు దశలకు పనిచేయు పదార్థము లోనగునట్లు చేస్తారు.

కార్నో యంత్రము దశలు:

a) ఒక వాయువు స్థితి(P₁, V₁, T₁) నుండి (P₂, V₂, T₁).
అగునట్లు జరుగు సమ ఉష్ణోగ్రత వ్యాకోచ ప్రక్రియ:
T₁ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న రిజర్వాయర్ నుండి వాయువు గ్రహించిన ఉష్ణశక్తి(Q₁) వాయువు పరిసరాలపై చేసిన పని(W₁) కి
సమానం. W₁ = Q₁ = nRT₁log_e(\(\frac{V_2}{V_1}\)) ……….. (1)

b) వాయువు స్థితి (P₂, V₂, T₁) నుండి (P₃, V₃, T₂) అగునట్లు జరుగు స్థిరోష్ణ వ్యాకోచ ప్రక్రియ:

c) వాయువు స్థితి (P₃, V₃, T₂) నుండి (P₄, V₄, T₂) అగునట్లు జరుగు సమఉష్ణోగ్రత సంపీడ్య ప్రక్రియ :
T₂ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల రిజర్వాయర్ ను వాయువు ఇచ్చి వేసిన ఉష్ణం (Q₂), పరిసరాలు వాయువుపై చేసిన పనికి సమానం.
W₃ = Q₂ = nRT₂log_e(\(\frac{V_3}{V_4}\)) ………….. (3)

d) వాయువు స్థితి (P₄, V₄T₂) నుండి (P₁, V₁, T₁) అగునట్లు జరుగు స్థిరోష్ణ సంపీడ్య ప్రక్రియ. వాయువు పై

ప్రశ్న 2.
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమమును వ్రాయండి. ఉష్ణయంత్రమునకు, శీతలీకరణ యంత్రమునకు తేడా ఏమిటి? [Imp.Q][AP 15,16,19][TS 16,18,20]
జవాబు:
క్లాసియస్ వివరణ :
ఏ విధమైన బాహ్య ప్రమేయం లేకుండా, ఏ స్వయం పోషక యంత్రమైనా ఒక వస్తువు నుంచి తనకంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న వస్తువుకు ఉష్ణాన్ని అవిచ్ఛిన్నంగా సరఫరా చేయలేదు”. ఈ వివరణ ఉష్ణప్రసార దిశను తెలియజేస్తుంది. దీనినే ఇంకొక విధంగా “ఉష్ణం తనంతట తాను చల్లని వస్తువు నుండి వేడి వస్తువుకు ప్రవహించదు” అని చెప్పవచ్చు.

కెల్విన్ వివరణ :
ఒక ఉష్ణగతిక వ్యవస్థ నుంచి పొందిన మొత్తం ఉష్ణాన్ని పూర్తిగా యాంత్రిక పనిగా మార్చడం అసాధ్యం. ఇంకో విధంగా చెప్పాలంటే ఏ ఉష్ణయంత్రం కూడా దానికి అందజేసిన మొత్తం ఉష్ణాన్ని పూర్తిగా యాంత్రిక శక్తిగా మార్చలేదు.

ఉష్ణయంత్రమునకు, శీతలీకరణ యంత్రమునకు భేదములు

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
N.T.P వద్ద 1 లీటరు ఘనపరిమాణం గల ఏక పరమాణుక వాయువును (i) స్థిరోష్ణ ప్రక్రియలో ఘనపరిమాణం సగము అగునట్లుగా (ii) సమ ఉష్ణోగ్రత ప్రక్రియలో ఘనపరిమాణము సగము అగునట్లుగా సంపీడ్యము చేసిన పని ఎంత? (γ = 5/3)
సాధన:

ప్రశ్న 2.
5 మోల్ హైడ్రోజను 10⁵ న్యూ/ మీ² స్థిర పీడనం వద్ద ఉష్ణోగ్రత 20 కె. పెరుగునట్లుగా వేడి చేసిన దాని ఘనపరిమాణం 8.3 × 10^-3 m³ పెరిగినది. C_v = 20J/mole K, అయిన C_P ఎంత?
సాధన:
C_P – C_v = R
ఇరువైపుల n∆T తో గుణించగా n∆T (C_p – C_v) = n∆TR
⇒ n∆T (C_P – C_v) = P∆V (∵ n∆TR = P∆V)
ఇక్కడ n = 5, P = 10⁵ నూ/మీ², ∆T= 20K మరియు ∆V = 8.3 × 10^-3 m³
⇒ 5 × 20 (C_P – 20) = 10⁵ × 8.3 × 10^-3 ⇒ C_P – 20 = 8.3.
∴ C_P = 20 + 8.3 = 28.3 J/mole K

ప్రశ్న 3.
20°C వద్ద ఉన్న 100 గ్రాముల నీటి లోనికి 100°C వద్ద ఉన్న ఎంత నీటి ఆవిరిని పంపించిన నీరు ఉష్ణోగ్రత 5°C.పెరుగును? నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణము 540 cal/g, నీటి విశిష్టోష్ణము 1cal /g°C
సాధన:
మిశ్రమ పద్ధతిలో, నీటి ఆవిరి కోల్పోయిన ఉష్ణం = నీరు గ్రహించిన ఉష్ణం
m_SL_S + m_SS(100 – t) = m_wS(t – 20)
ఇందులో m_S = నీటి ఆవిరి ద్రవ్యరాశి = ? L_S = నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణము = 540 cal/g
S = నీటి విశిష్టోష్ణము = 1cal/g°C m_w = నీటి ద్రవ్యరాశి = 100 గ్రాము t = 20 + 5 = 25°C
∴ m_S × 540 + m_s × 1(100 – 25) 100 × 1(25 – 20) ⇒ 615 m_s = 500 ⇒ m_S = \(\frac{500}{615}\) = 0.813g
పంపించవలసిన నీటి ఆవిరి ద్రవ్యరాశి = 0.813 గ్రాములు.

ప్రశ్న 4.
రిఫ్రిజరేటర్ లో ఉంచిన వస్తువుల ఉష్ణోగ్రత 9°C ఉండవలయును. గది ఉష్ణోగ్రత 36°C అయిన రిఫ్రిజరేటర్ పధాత్మక గుణకం ఎంత? [AP 20]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న 2.0 × 10^-2 కి.గ్రా నైట్రోజను ఉష్ణోగ్రతను స్థిర పీడనం వద్ద 45°C పెంచుటకు కావలసిన ఉష్ణం ఎంత? ( N2 అణువు ద్రవ్యరాశి = 28, R = 8.3 J/ mol. K)
సాధన:
స్థిర పీడనం వద్ద అందించవలసిన ఉష్ణం dQ_P = nC_PdT

ప్రశ్న 6.
స్వేచ్ఛగా కదల గల ముషలకము గల సిలిండర్ నందు S.T.P వద్ద 3 మోల్ల హైడ్రోజన్ ఉన్నది. సిలిండర్ గోడలు ఉష్ణ బంధక పదార్థముతో నిర్మితము. మరియు ముషలకము పై ఇసుకను పోసి ఉష్ణ బంధకము చేసారు. ఇపుడు అకస్మాత్తుగా వాయువు ఘనపరిమాణం సగము అగునట్లు సంపీడ్యము నొందించిన పీడనము ఎంత పెరుగును?
సాధన:

అనగా తుది పీడనం తొలి పీడనమునకు 2.64 రెట్లు ఉండును.

ప్రశ్న 7.
ఒక వాయువును స్థిరోష్ణముగా A అను సమతాస్థితి నుండి B అను సమతాస్థితికి తీసుకొని పోవుటకు వాయువు పై చేసిన పని 22.3 J వేరొక పద్ధతిలో అదే వాయువును A నుండి B కు తీసుకొని పోవుచున్నపుడు వాయువు గ్రహించిన ఉష్ణం 9.35 కెలోరి అయిన వాయువు చేసిన పని ఎంత? (1 కెలోరి = 4:19 J)
సాధన:
స్థిరోష్ణముగా వాయువు స్థితి నుండి B స్థితికి వెళ్ళినపుడు. ∴ ∆Q = 0
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం ప్రకారం, ∆Q = ∆U + ∆W ⇒ 0 = ∆U + ∆W ⇒ ∆U = -∆W
వాయువు పై చేసిన పని, ∆W= −22.3 J
∴ ∆U = -(-22.3) = 22.3 J
రెండవ సందర్భములో, ∆Q = 9.35 cal = 9.35 × 4.19 = 39.18 J
∴ ∆Q = ∆U + ∆W ⇒ ∆W = ∆Q – ∆U = 39.18 – 22.3 = 16.88 J
వాయువు చేసిన పని = 16.88 J

ప్రశ్న 8.
ఒక ఎలక్ట్రిక్ హీటర్ ఒక వ్యవస్థకు 100W చొప్పున ఉష్ణమును ఇచ్చుచున్నది. వ్యవస్థ సెకనుకు 75 జౌలు చొప్పున పని చేయుచున్నది. అయితే వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి ఏ రేటు చొప్పున పెరుగుచున్నది.
సాధన:

∴ వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి పెరుగుచున్న రేటు – 25 JS^-1

ప్రశ్న 9.
వ్యవస్థకు 20 kcal ఉష్ణం అందించినపుడు, వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి లోని పెరుగుదల 8400 J అయిన వ్యవస్థ చేసిన బాహ్యపని ఎంత? ( J=4200 J/kcal).
సాధన:
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమం ప్రకారం, ∆Q = ∆U + ∆w
ఇక్కడ ∆U = 8400J = \(\frac{8400}{4200}\) = 2kcal, ∆Q = 20kcal
∴ వ్యవస్థ చేసిన బాహ్య పని, ∆W = ∆Q – ∆U= 20 – 2 = 18 kcal

ప్రశ్న 10.
ఉష్ణజనకం ఉష్ణోగ్రత 100°C, సింక్ ఉష్ణోగ్రత 27°C అయితే ఉష్ణ యంత్రం దక్షత ఎంత?
సాధన:
సూత్రం : η = 1 – \(\frac{T_2}{T_1}\)
ఇక్కడ T₁ = ఉష్ణజనకం ఉష్ణోగ్రత = 373K, T₂ = సింక్ ఉష్ణోగ్రత= 300K
∴ η = 1 – \(\frac{300}{373}\) = 1 – 0.8043 = 0.1957 (లేక) η = 19.57 %

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణోగ్రతను నిర్వచించండి. ఉష్ణము మరియు ఉష్ణోగ్రతల మధ్య తేడాను వ్రాయండి. [TS-15,20] [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక వస్తువు యొక్క వేడిమి లేదా చల్లదనాన్ని తెలియజేయు సాపేక్ష కొలమానమునే ఉష్ణోగ్రత అంటారు.

ఉష్ణము మరియు ఉష్ణోగ్రతల మధ్య భేదాలు :

ఉష్ణము (Q)	ఉష్ణోగ్రత (T)
1. ఉష్ణము శక్తి యొక్క ఒక రూపము.	1. ఒక వస్తువు యొక్క వేడిమి లేదా చల్లదనాన్ని తెలియజేయు సాపేక్ష కొలమానమునే ఉష్ణోగ్రత
2. ప్రమాణాలు : కెలోరీ లేదా జౌలు	2. ప్రమాణాలు : సెంటీగ్రేడ్ లేదా ఫారెన్ హీట్
3. ఉష్ణమును కారణముగా భావించవచ్చు.	3. ఉష్ణోగ్రతను ఫలితముగా భావించవలెను.
4. ఉష్ణము ఎల్లప్పుడూ అధిక ఉష్ణోగ్రత నుండి అల్పఉష్ణోగ్రత వైపుకు ప్రవహించును.	4. ఉష్ణోగ్రత అనే భౌతిక రాశి ఉష్ణప్రవాహ దిశను సూచించును.

ప్రశ్న 2.
సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలలో అధో, ఊర్ధ్వ స్థిర విలువలను తెలపండి. [AP 19][IPE’14][Imp.Q]
జవాబు:
నిమ్న స్థిర బిందువు : 0°C ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు : 100°C (సెల్సియస్ మానంలో)
నిమ్న స్థిర బిందువు : 32°F ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు : 212°F (ఫారన్హీట్ మానంలో)

ప్రశ్న 3.
ఉష్ణోగ్రతలను సెల్సియస్ లేదా ఫారన్హీట్ మానాలలో కొలిస్తే, వ్యాకోచ గుణకాల విలువలు మారతాయా? [Imp.Q]
జవాబు:
మారతాయి. a,B మరియు వ్యాకోచ గుణకాలు సెల్సియస్ మానంలో మరియు ఫారన్హీట్ మానంలో సమానంకాదు.

ప్రశ్న 4.
వేడి చేస్తే పదార్థాలు సంకోచిస్తాయా? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి. [AP 18][Imp.Q][TS 16,18]
జవాబు:
సంకోచిస్తాయి. ఉదా: ఇండియన్ రబ్బరు, పోత ఇనుము, సిలికా, సిల్వర్ అయోడైడ్.

ప్రశ్న 5.
రైల్వే ట్రాక్పై రెండు వరుస రైలు పట్టాల మధ్య ఖాళీ ప్రదేశం ఎందుకు వదులుతారు? [AP 15,16,17,19,19,22]
జవాబు:
రైలు పట్టాలు వేసేటప్పుడు వేసవి కాలంలో ఉష్ణ వ్యాకోచాన్ని దృష్టిలో ఉంచుకుని రెండు రైలు పట్టాల మధ్య కొంత ఖాళీ వదులుతారు.

ప్రశ్న 6.
ద్రవాలకు దైర్ఘ్య, విస్తీర్ణ వ్యాకోచాలు ఉండవు. ఎందువల్ల ? [TS 19][Imp.Q]
జవాబు:
ద్రవాలకు నిర్ధిష్ట ఆకారము ఉండదు. పాత్రలో నింపినప్పుడు అది పాత్ర ఆకారమును పొందును. కావున దైర్ఘ్య, విస్తీర్ణ వ్యాకోచాలు ఉండవు.

ప్రశ్న 7.
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటే ఏమిటి? [AP 17]
జవాబు:
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల పదార్ధాన్ని ఘనస్థితి నుంచి పూర్తిగా ద్రవస్థితికి మార్చడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్ధ ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటారు.

ప్రశ్న 8.
బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం అనగానేమి? [Imp.Q] [Mar 13]
జవాబు:
బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల ద్రవాన్ని పూర్తిగా బాష్పంగా మార్చడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని బాష్పీభవన గుప్తోష్టం అంటారు.

ప్రశ్న 9.
విశిష్ట వాయు స్థిరాంకం అంటే ఏమిటి? దీని విలువ అన్ని వాయువులకు సమానమా? [Imp.Q]
జవాబు:
PV/T యొక్క విలువ ఒక స్థిరాంకం. ఒక గ్రాము వాయువు విషయంలో ఈ స్థిరాంకంను విశిష్టవాయు స్థిరాంకం (r) అంటారు. దీని విలువ వివిధ వాయువులకు వివిధ రకాలుగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
విశిష్ట వాయు స్థిరాంకం ప్రమాణాలు వ్రాయండి [IPE ’14][Imp.Q]
జవాబు:
ప్రమాణాలు : J Kg^-1K^-1 మితి ఫార్ములా L²T^-2K^-1.

ప్రశ్న 11.
వంట పాత్రల బాహ్యతలాలకు నలుపు రంగు పూస్తారు. ఎందుకు? పాత్రల అడుగు భాగమును రాగితో ఎందుకు చేస్తారు? [AP,TS 18][Imp.Q]
జవాబు:
నలుపు రంగు ఉత్తమ శోషిణి, అందువలన వంట పాత్రల బాహ్యతలాలకు నలుపు రంగు పూసినపుడు, ఎక్కువ మోతాదులో ఉష్ణమును గ్రహించి, పాత్ర లోపలి పదార్థాలకు సరఫరా చేయును.

రాగి ఉత్తమ ఉష్ణవాహకము. పాత్రల అడుగు భాగము రాగితో చేసినపుడు, అది ఎక్కువ ఉష్ణమును గ్రహించి, పాత్ర అన్ని వైపులకు సమముగా ఉష్ణమును ప్రసరింప చేసి, లోపలి పదార్ధములు సమముగా వేడి అగునట్లు చేయును.

ప్రశ్న 12.
వీన్ స్థానభ్రంశ నియమమును వ్రాయండి. [AP 17,19][TS 20][Imp.Q]
జవాబు:
ఒక వస్తువు ఉద్గారించు వికిరణములలో గరిష్ట శక్తిగల వికిరణ తరంగదైర్ఘ్యం (λ_m), ఆ వస్తువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రత (T) కు విలోమానుపాతంలో ఉండును.

ఈ స్థిరాంకమును వీన్ స్థిరాంకం అని అంటారు. దీనిని b తో సూచిస్తారు. దీని విలువ 2.9 × 10^-3 mK

ప్రశ్న 13.
పై కప్పుకు కొంచెం క్రింది భాగం వద్ద వెంటిలేటర్లను అమర్చుతారు. ఎందువలన? [AP 20][Imp.Q]
జవాబు:
తలుపులు మరియు కిటికీల ద్వారా చల్లటి గాలి లోపలికి ప్రవేశించినపుడు వెంటిలేటర్ల ద్వారా వేడిగాలి బయటకుపోతుంది. ఎందుకనగా వేడిగాలి యొక్క సాంద్రత తక్కువ.

ప్రశ్న 14.
0°K వద్ద మానవ దేహం ఉష్ణాన్ని వికిరణం చేస్తుందా? 0°C కూడా అది వికిరణం చేస్తుందా? [Imp.Q]
జవాబు:

1. లేదు. 0°K వద్ద మానవ దేహం వికిరణం చెందదు. (ప్రీవోస్ట్ ఉష్ణ వినిమయ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
2. అవును. 0°C వద్ద మానవ దేహం వికిరణం చెందుతుంది.

ప్రశ్న 15.
ఉష్ణ బదిలీకి సంబంధించి వివిధ విధానాలను తెలపండి. వీటిలో ఏ విధానాలకు యానకం అవసరం? [TS 18]
జవాబు:

1. ఉష్ణ వహనం
2. ఉష్ణ సంవహనం
3. ఉష్ణ వికిరణం.
   వహనం మరియు సంవహనంలకు యానకం అవసరం.

ప్రశ్న 16.
ఉష్ణ వహన గుణకం మరియు ఉష్ణోగ్రతా ప్రవణతను నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
ఉష్ణ వహన గుణకం :
పదార్ధం ఏకాంక అడ్డుకోత వైశాల్యానికి లంబంగా, ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా ప్రవణత ద్వారా సెకనుకు జరిగే ఉష్ణరాశి ప్రవాహాన్ని ఉష్ణ వహన గుణకం అంటారు.

ప్రశ్న 17.
వాహకం యొక్క ఉష్ణ నిరోధం అనగానేమి ? అది ఏ అంశాలపై ఆధారపడుతుంది? [Imp.Q]
జవాబు:
ఉష్ణ ప్రసారమునకు వాహకము చూపు నిరోధమును “ఉష్ణ నిరోధం” అని అంటారు.

ఉష్ణ నిరోధం ఈ క్రింది అంశాలపై ఆధారపడి ఉండును.

1. వాహక స్వభావము (అనగా పదార్థ ఉష్ణవాహకత్వ గుణకం K)
2. వాహక జ్యామితీయ కొలతల పై (అనగా పొడవు, వైశాల్యము d/A).

ప్రశ్న 18.
ఉష్ణ సంవహన గుణకం ప్రమాణాలు, మితులు తెలపండి. [Imp.Q]
జవాబు:

ప్రశ్న 19.
ఉద్గార సామర్థ్యము మరియు ఉద్గారతలను నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
ఉద్గార సామర్థ్యము :
ఒక ఉష్ణోగ్రత వద్ద, ఒక తరంగదైర్ఘ్యంలో, ఏకాంక వైశాల్యం సెకనుకు జరిపే శక్తి వికిరణాన్ని ఆ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యంగా నిర్వచిస్తారు.

ఉద్గారత :
ఒక వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి, అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి గల నిష్పత్తిని ఆ వస్తువు ఉద్గారత అంటారు.

ప్రశ్న 20.
హరితగృహ ప్రభావం అంటే ఏమిటి? గ్లోబల్ వార్మింగ్ గురించి వివరించండి. [Mar 13][AP 15][TS 16]
జవాబు:
హరితగృహ ప్రభావం :
భూ ఉపరితలం ఉద్గారించు ఉష్ణ వికిరణమును వాతావరణములోని కార్బన్ డయాక్సైడ్, మీథేన్ వంటి హరిత గృహ వాయువులు శోషించుకొనును. ఇది వాతావరణాన్ని భూ ఉపరితలాన్ని వేడెక్కించును. దీనినే హరిత గృహ ప్రభావం (Green House Effect) అని అంటారు.

గ్లోబల్ వార్మింగ్ :
మానవుల చర్యల వల్ల హరిత గృహ వాయువుల గాఢత అధికమై భూమి వేడిగా తయారవుతుంది. ఒక అంచనా ప్రకారం ఈ శతాబ్దం ప్రారంభం నుంచి భూమి సగటు ఉష్ణోగ్రత 0.3 నుండి 0.60°C వరకు పెరిగింది. దీనినే గ్లోబల్ వార్మింగ్ అని అంటారు.

ప్రశ్న 21.
పదార్థ శోషణ సామర్థ్యం అనగా నేమి? పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు యొక్క శోషణ సామర్థ్యం ఎంత ? [IPE’14]
జవాబు:
శోషణ సామర్థ్యం :
ఒక నిర్ణీత కాలవ్యవధిలో శోషణం చేసుకున్న శక్తి అభివాహానికి మరియు అదే కాలవ్యవధిలో పతనమయిన మొత్తం శక్తి అభివాహానికి మధ్య నిష్పత్తిని శోషణ సామర్ధ్యం అంటారు.
పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు యొక్క శోషణ సామర్థ్యం 1.

ప్రశ్న 22.
న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రం తెలపండి. [TS 18][Imp.Q][AP 15,16,17,18,20]
జవాబు:
ఒక వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రత భేదం తక్కువగా ఉండి, వికిరణం చెందే వస్తువు తలం మారనప్పుడు ఆ వస్తువు పొందే ఉష్ణ నష్టపు రేటు ఆ వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 23.
ఏ నియమాల వద్ద న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రం వర్తింపచేయవచ్చు? [TS 15]
జవాబు:

1. వహనం ద్వారా ఉష్ణ నష్టం విస్మరించదగినంత తక్కువగా, కేవలం సంవహనం ద్వారానే ఉష్ణ నష్టం జరుగుతున్నప్పుడు.
2. ఉష్ణ నష్టం బలాత్కృత సంవహనం జరిగేటప్పుడు, అంటే ధారా రేఖలుగా గాలి వీచేటప్పుడు.
3. వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రత సమవితరణలో ఉన్నప్పుడు.

ప్రశ్న 24.
వేసవి కాలంలో ఇంటిపై కప్పుకు తెల్లటి రంగు వేస్తారు. ఎందువల్ల? [Imp.Q][TS 15,17][AP 16]
జవాబు:
అల్పశోషకం అల్ప ఉద్గారకం అవుతుంది. ఇంటి పైకప్పుకు తెల్లటి రంగు వేయడం వలన తక్కువ ఉష్ణశక్తిని శోషించుకుంటుంది. అందువలన వేసవికాలంలో చల్లగా ఉంటుంది.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సెల్సియస్ మరియు ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానముల గురించి వ్రాసి వాని మధ్య గల సంబంధమును రాబట్టండి? [TS 22]
జవాబు:
సెల్సియస్ ఉష్ణోగ్రతా మానము :
దీనిని సెల్సియస్ అను శాస్త్రవేత్త రూపొందించెను. దీనిని ఎక్కువగా విజ్ఞాన శాస్త్ర రంగములలో ఉపయోగిస్తారు. ఈ ఉష్ణోగ్రతా మానములో సాధారణ పీడనము వద్ద మంచు కరుగు ఉష్ణోగ్రతను 0°C అని, నీరు మరుగు ఉష్ణోగ్రతను 100°C గా తీసుకొనిరి. ఈ రెండింటికి మధ్య గల భాగమును 100 సమభాగములుగా చేసి, ఒక్కొక్క భాగము 1°C అని పేరు పెట్టిరి. దీనిలో 100 సమ భాగములున్నవి కనుక దీనిని సెంటిగ్రేడు మానము అని కూడ అంటారు.

ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతామానము :
దీనిని ఫారన్హీట్ అను శాస్త్రవేత్త రూపొందించెను. దీనిని ఎక్కువగా శరీర ఉష్ణోగ్రతలను కొలవడానికి, వాతావరణ రంగములలో ఉపయోగిస్తారు. దీనిలో సాధారణ పీడనం వద్ద మంచు కరుగు ఉష్ణోగ్రతను 32°F అని, నీరు మరుగు ఉష్ణోగ్రతను 212°F అని తీసుకొనిరి. ఈ రెండింటికి మధ్యగల భాగమును 212-32=180 సమభాగములుగా చేసి, ఒక్కొక్క భాగమునకు 1°F అని పేరు పెట్టిరి.

మంచు మరియు నీరు భాష్పీభవన స్థానాల మధ్య ఉష్ణోగ్రతలో తేడా సెల్సియస్, ఫారెన్ హీట్ మానాలలో సమానంగా ఉండాలి కాబట్టి (100 – 0) సెల్సియస్ డిగ్రీలు – (212–32) ఫారెన్ హీట్ డిగ్రీలు
100 సెల్సియస్ డిగ్రీల తేడా = 180 ఫారెన్ హీట్ డిగ్రీల తేడా.

సెల్సియస్, ఫారెన్ హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలలో ఒక వస్తువు ఉష్ణోగ్రతను కొలిచినప్పుడు రీడింగులు వరుసగా, C, F

ప్రశ్న 2.
రాగితో, ఉక్కుతో చేసిన రెండు సర్వ సమాన లోహ పట్టీలను ఒకదానితో ఒకటి కలిపి సంయోగ పట్టీగా తయారు చేశారు. ఆ సంయోగ పట్టీని వేడిచేస్తే ఏమవుతుంది?
జవాబు:
ఉక్కు కంటె రాగికి దైర్ఘ్యవ్యాకోచ గుణకం విలువ ఎక్కువ. అందువలన ఆ సంయుక్త ముక్కను వేడి చేసినపుడు ఉక్కు -కంటె రాగి ఎక్కువగా వ్యాకోచించి రాగి ఉన్న వైపు కుంభాకార తలము వచ్చునుట్లుగా వంగును.

ప్రశ్న 3.
లోలక గడియారాలు శీతాకాలంలో వేగంగా, వేసవి కాలంలో నెమ్మదిగా నడుస్తాయి. ఎందువల్ల? [TS 17,19] [AP 19]
జవాబు:
ఆవర్తన కాలం T = 2π√1/g అనగా T ∝ √l g స్థిరముగా ఉన్నపుడు

1. వేసవికాలంలో లోలకం పొడవు పెరగటం ద్వారా ఆవర్తనకాలం పెరుగుతుంది. తద్వారా సమయం తగ్గుతుంది.
2. శీతాకాలంలో లోలకం పొడవు తగ్గడం ద్వారా ఆవర్తనకాలం తగ్గుతుంది. తద్వారా సమయం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
నీటి అసంగత వ్యాకోచం ఏవిధంగా జలచర సంబంధమైన జంతువులకు లాభం చేకూరుస్తుంది? [AP 17,22]
జవాబు:

అతిశీతల ప్రదేశాలలో, వాతావరణ ఉష్ణోగ్రత తగ్గినప్పుడు, సరస్సులోని తలం మీద నీరు చల్లబడి సాంద్రత పెరిగి క్రిందికి దిగుతుంది. ఇది నీటి ఉష్ణోగ్రత 4oC చేరేవరకూ జరుగుతూ ఉంటుంది. 4°C కన్నా నీరు చల్లబడితే సాంద్రత తగ్గుతుంది. కాబట్టి అది కిందకు దిగక ఉపరితలం దగ్గరే ఉంటుంది. ఈ నీటి ఉష్ణోగ్రత క్రమ క్రమంగా తగ్గి మంచుగడ్డ ఏర్పడుతుంది.

మంచుగడ్డ నీటి మీద తేలుతూ ఉంటుంది. మంచు, నీరు అధమ ఉష్ణవాహకాలు కావటం వల్ల అడుగు. నీరు చల్లబడడానికి చాలా కాలం పడుతుంది. కాబట్టి సరస్సు ఉపరితలంలోని నీరు గడ్డ కట్టినప్పటికీ అడుగు నీరు గడ్డ కట్టకుండా 4°C వద్ద ఉంటుంది. జలచరాలు నీటిలో జీవించగలుగుతున్నాయి.

ప్రశ్న 5.
ఉష్ణవహనము, సంవహనము మరియు వికిరణములను ఉదాహరణలతో వివరించండి. [AP,TS 18][AP 15,16,19,20] [TS 15,16,18,20]
జవాబు:
ఉష్ణవహనము :
యానకంలోని కణములు చలించకుండా ఉష్ణం ఒక చోట నుండి వేరొక చోటుకు ప్రసరించే ప్రక్రియను ఉష్ణవహనము అని అంటారు.
ఉదా: ఇనుప కడ్డీ యొక్క ఒక చివర వేడి చేసినపుడు కొంత సేపటికి ఉష్ణవహనం వలన రెండవ చివర వేడెక్కును.

ఉష్ణసంవహనము :
యానకంలోని కణములు చలించుచూ, ఉష్ణం ఒక చోట నుండి వేరొక చోటుకు ప్రసరించే ప్రక్రియను ఉష్ణసంవహనము అని అంటారు.
ఉదా: సముద్ర పవనాలు, భూ పవనాలు, వ్యాపార పవనాలు.

ఉష్ణ వికిరణము :
యానకముతో సంబంధము లేకుండా ఉష్ణము ఒక చోటు నుండి వేరొక చోటుకు ప్రసరించే ప్రక్రియను ఉష్ణ వికిరణము అని అంటారు.
ఉదా: సూర్యుని నుండి ఉష్ణము భూమికి చేరుట.

ప్రశ్న 6.
నీటి త్రికబిందువును వివరింపుము. [TS 15][AP 16]
జవాబు:
నీటి త్రికబిందువు :
ఏ నిర్ధిష్ట బిందువు వద్ద పదార్ధం యొక్క మూడు ప్రావస్థలు సమతాస్థితిలో ఉంటాయో ఆ బిందువును త్రికబిందువు అంటారు. ఆ బిందు నిరూపకాలు (273.16K, 4.58 mm of Hg).ఒక పదార్ధ వివిధ ప్రావస్థల మధ్య హద్దులను సూచిస్తూ ఆ పదార్ధ పీడనం, ఉష్ణోగ్రతల వంటి రెండు పరామితుల మధ్య గీసిన రేఖాపటాన్ని ప్రావస్థపటం అంటారు.

మంచువక్రరేఖ(PB) :
ఈ వక్రరేఖ వెంబడి మంచు నీరు సమతాస్థితిలో ఉండును. ఈ వక్రరేఖ పైభాగంలో ద్రవపదార్థం క్రింది భాగంలో ఘనపదార్థం ఉండును.

నీటి ఆవిరి వక్రరేఖ(PA) :
ఈ వక్రరేఖ వెంబడి నీరు-నీటి ఆవిరి సమతాస్థితిలో ఉండును. ఈ వక్రరేఖ పైభాగంలో ద్రవపదార్థం, క్రింది భాగంలో వాయు పదార్థం ఉండును.

ఉత్పన్నరేఖ :
ఈ వక్రరేఖ వెంబడి మంచు నీటి ఆవిరి సమతాస్థితిలో ఉండును. ఈ వక్రరేఖ పైభాగంలో ఘనపదార్థం, క్రింది భాగంలో వాయు పదార్థం ఉండును. ఈ 3 వక్రరేఖలు PA, PB మరియు PCలు ఒకే బిందువు’P’ వద్ద కలుస్తాయి. ఈ బిందువునే త్రికబిందువు అంటారు.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
బాయిల్ నియమమును, ఛార్లెస్ నియమమును నిర్వచించి ఆదర్శ వాయు సమీకరణమును ఉత్పాదించండి. ఈ రెండు నియమములలో ఏది ధర్మామీటర్ నిర్మాణమునకు మేలైనది? ఎందువలన?. [Imp.Q][AP,TS 15][AP 18][AP 18]
జవాబు:
బాయిల్ నియమం :
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయు పీడనం(P) దాని ఘనపరిమాణమునకు (V) విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

చార్లెస్ మొదటి నియమము :
స్థిర పీడనం (P) వద్ద నియమిత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం (V) దాని పరమ ఉష్ణోగ్రత (T) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఆదర్శ వాయువు :
అన్ని పీడనములు మరియు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద బాయిల్ మరియు ఛార్లెస్ నియమములను పాటించు వాయువును ఆదర్శ వాయువు అని అంటారు.

ఆదర్శ వాయు సమీకరణం :
ఒక మోల్ ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఆదర్శ వాయువు తొలి పీడనం P₀, తొలి ఘనపరిమాణం V₀, తొలి ఉష్ణోగ్రత T₀ Kఅనుకొనుము.

⇒ PV = RT …….(4) ఒక మోల్ వాయువునకు ‘n’ మోల్ల ఆదర్శ వాయువునకు PV = nRT ……(5) థర్మామీటర్ నిర్మాణములో ఛార్లెస్ నియమము అనువైనది. ఈ నియమం ప్రకారం, వాయు ఘనపరిమాణాన్ని స్థిరంగా ఉంచినపుడు, P ∝ T అవుతుంది. కాబట్టి స్థిర ఘనపరిమాణం వాయు థర్మామీటర్ లో పీడనం పరంగా ఉష్ణోగ్రతను కొలుస్తాం. (ఇక్కడ పీడనానికి, ఉష్ణోగ్రతకు మధ్య సంబంధం సరళరేఖలో ఉంటుంది.)

వాయువు ద్రవ్యరాశి m అణుభారము M అయితే మోల్ల సంఖ్య n =m/M. అపుడు PV = \(\frac{m}{M}\)RT……..(7) ఇందులో r = R/M. ను వాయు స్థిరాంకము అని అంటారు. దీని విలువ వాయు స్వభావముపై ఆధారపడి ఉండును.
∴ PV = mrT ….(7)

ప్రశ్న 2.
ఉష్ణ వహనత, ఉష్ణ వహన గుణకాలను వివరించండి.
ఒక రాగి కడ్డి ఉష్ణవహన గుణకం 401 W/(mk) దాని పొడవు 0.10 మీ మరియు మధ్యచ్చేద వైశాల్యము 1.0 × 10^-6 m². కడ్డి ఒక చివర ఉష్ణోగ్రత 104°C మరియు రెండవ చివర ఉష్ణోగ్రత 24°C అయిన కడ్డీ ద్వారా ప్రవహించే ఉష్ణం రేటు ఎంత?
జవాబు:
ఉష్ణవహనం :
ఘనపదార్థాలలో ఉష్ణవహనం చెందే సామర్థ్యాన్ని ఉష్ణవహనత అంటారు.

ఉష్ణవహన గుణకం :
‘A’ వైశాల్యం గల దీర్ఘచతురస్రాకార దిమ్మెను తీసుకొనుము. వాటి తలాలు E, F మరియు θ₂°C, θ₁°Cఉష్ణోగ్రతలు కలిగిఉంటే ‘t’ కాలంలో, రెండు చివరల ‘7′ పొడవు వెంబడి ప్రసారమయ్యే ఉష్ణశక్తి Q
(i) ముఖతల వైశాల్యానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును ⇒ Q ∝ A
(ii) ఉష్ణోగ్రత బేధానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును ⇒ Q ∝ (θ₂ – θ₁)
(iii) కాలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును ⇒ Q ∝ t
(iv) దిమ్మె పొడవుకు విలోమానుపాతంలో ఉండును ⇒ Q ∝ 1/l

ఇక్కడ K ను పదార్థ ఉష్ణవహన గుణకం అంటారు.
కావున పదార్థం ఏకాంక అడ్డుకోత వైశాల్యానికి లంబంగా, ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా ప్రవణత ద్వారా సెకనుకు జరిగే ఉష్ణరాశి ప్రసారాన్నే ఉష్ణవహన గుణకం అంటారు.

ఉష్ణవహనం :
వస్తువులోని అణువులు బదిలీ కాకుండా వస్తువు యొక్క వేడి భాగం నుండి చల్లని భాగం వైపునకు జరుగు ఉష్ణ ప్రసారమును ఉష్ణ వహనం అని అంటారు.
ఘన పదార్థలలో ఉష్ణవహనం చెందే సామర్థ్యాన్ని ఉష్ణవహనత అని అంటారు.

ప్రశ్న 3.
న్యూటను శీతలీకరణ నియమమును వ్రాసి వివరించండి. ఏ నిమయాల వద్ద న్యూటను శీతలీకరణ నియమమును వర్తింప చేయవచ్చు. [May 13][TS 16, 17,22]
ఒక వస్తువు ఉష్ణోగ్రత 60°C నుండి 50°C కు మొదటి 5 నిమిషాలలో తగ్గినది. తరువాత 8 నిమిషాలలో దాని ఉష్ణోగ్రత 50°C నుండి 40°C కు తగ్గినది. అయిన పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత ఎంత?
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ సూత్రం :
ఒక వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రత భేదం తక్కువగా ఉండి, వికిరణం చెందే వస్తువు తలం మారనప్పుడు ఆ వస్తువు పొందే ఉష్ణ నష్టపు రేటు ఆ వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

న్యూటను శీతలీకరణ నియమమునకు వర్తించు షరతులు:

1. ఉష్ణ వహనం ద్వారా కోల్పోవు ఉష్ణ నష్టం విస్మరించదగినంత తక్కువగా ఉండవలయును.
2. ఉష్ణ నష్టం ప్రధానముగా ఉష్ణ సంవహనము వలన జరుగవలయును.
3. వస్తువును బలాత్కృత ఉష్ణ సంవహన పద్ధతిలో అనగా గాలిధారా రేఖలుగా వీచుచుండవలయును.
4. వస్తువు యొక్క అన్ని భాగములు ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉండవలయును.
5. వస్తువునకు, పరిసరాలకు మద్యగల ఉష్ణోగ్రతా భేదము ఎక్కువగా ఉండరాదు.

లెక్క :
మొదటి సందర్భంలో θ₁ = 60°C, θ₂ =50°C, t = 5 min

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
కెల్విన్ మరియు ఫారన్ హీట్ ఉష్ణోగ్రత మానములలో ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద విలువలు సమానముగా ఉండును? [May’2010]
సాధన:

ప్రశ్న 2.
అల్యూమినియం కడ్డి పొడవు 1% పెరుగుటకు, కడ్డి ఉష్ణోగ్రత ఎంత పెంచవలయును? (α = 25 × 10^-6°C). [AP 15,22]
సాధన:
కడ్డి తొలి పొడవు, l₁ =1 అనుకొనుము ఇచ్చినది α = 25 × 10^-6 °C

∴ కడ్డి పొడవు 1% పెరుగుటకు కడ్డీ ఉష్ణోగ్రతలోని పెరుగుదల 400°C ఉండవలయును.

ప్రశ్న 3.
1 లీటరు ఘనపరిమాణం 0°C ఉష్ణోగ్రత, 76 సెం.మీ పీడనం వద్ద ఒక వాయువు ద్రవ్యరాశి 1.562 గ్రాము. ఉష్ణోగ్రతను, 250°C కు, పీడనమును 78సెం. మీకు పెంచినపుడు 1 లీటరు ఘనపరిమాణంలోని ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ m₁ = 1.562g, V₁ = 1 L, P₁ = 76cm of Hg.
T₁ = 0°C = 273°K, P₂ = 78cm of Hg, V₂ = 1 L, T₂ = 250°C = 250 + 273 = 523 K

ప్రశ్న 4.
కొంత ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఘనపరిమాణం 37°C మరియు 75 సెం.మీ Hg పీడనం వద్ద 620cc అయితే అదే వాయువు ఘనపరిమాణం N.T.P. వద్ద ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ P₁ = 75cm of Hg, V₁ = 620cc, T₁ = 273 + 37 = 310°K
NTP, వద్ద P₂ = 76cm of Hg, T₂ = 273K

ప్రశ్న 5.
20°C వద్ద ఉన్న 100 గ్రాముల నీటి లోనికి 100°C వద్ద ఉన్న ఎంత నీటి ఆవిరిని పంపించిన నీరు ఉష్ణోగ్రత 5°C పెరుగును? నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణము 540 cal/g, నీటి విశిష్టోష్ణము 1 cal/g°C
సాధన:
మిశ్రమ పద్ధతిలో, నీటి ఆవిరి కోల్పోయిన ఉష్ణం = నీరు గ్రహించిన ఉష్ణం
m_sL_s + m_sS(100-t) = m_wS(t – 20)
ఇందులో m_s నీటి ఆవిరి ద్రవ్యరాశి =? L_s = నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణము = 540 cal/g
S = నీటి విశిష్టోష్ణము = 1 cal/g°C m_w = నీటి ద్రవ్యరాశి = 100 గ్రాము t = 20 + 5 = 25°C
∴ m_s × 540 + m_s × 1(100 – 25) = 100 × 1(25 – 20) ⇒ 615 m_s = 500 ⇒ m_s = \(\frac{500}{615}\) = 0.813g
పంపించవలసిన నీటి ఆవిరి ద్రవ్యరాశి = 0.813 గ్రాములు.

ప్రశ్న 6.
స్థిరఘనపరిమాణం వద్ద 2 కి.గ్రాల గాలిని వేడి చేసిరి. దాని ఉష్ణోగ్రత 293K నుండి 313K కు పెరిగినది -స్థిరఘనపరిమాణం వద్ద గాలి విశిష్టోష్టం 0.718 kJ/kg K అయిన గాలి గ్రహించిన ఉష్ణమును kJ మరియు kcal లలో కనుగొనుము. (J = 4.2 kJ/kcal)
సాధన:
ఇక్కడ m = 2kg, T₁ = 273 K, T₂ = 313 K
C_V = 0.718kJ/Kg K, J = 4.2
స్థిరఘనపరిమాణం గాలి గ్రహించు ఉష్ణం
∴ Q = mC_v (T₂ – T₁) = 2 × 0.718 × (313 – 273) = 28.72 kJ = \(\frac{28.72}{4.2}\) = 6.838 kcal.

ప్రశ్న 7.
ఇత్తడి లోలకముతో చేసిన ఒక గడియారం 20°C వద్ద సరియైన సమయమును సూచించును. కాని 30°C వద్ద రోజుకు 8.212 సె. కోల్పోవును. అయిన ఇత్తడి దైర్ఘ్యవ్యాకోచ గుణకం ఎంత?
సాధన:
గడియారం ఒక రోజుకు కోల్పోవు కాలం = 8.212 sec = \(\frac{1}{2}\) α ∆t × 86400sec
∆t = (30 – 20) = 10°C
⇒ 8.212 = \(\frac{1}{2}\) α × 10 × 86400
∴ α = \(\frac{8.212\times2}{10\times86400}\) = 0.019 × 10^-3 = 19 × 10^-6/°C

ప్రశ్న 8.
14 కి.గ్రా నైట్రోజన్ ఘనపరిమాణం 30°C వద్ద 0.4 మీ’ అయిన పీడనం ఎంత?
సాధన:
PV = nRT
ఇక్కడ V = 0.4 m³, T= 30 + 273 = 303K, R = 8.314 J/mole x K

ప్రశ్న 9.
ఒక వస్తువు ఉష్ణోగ్రత 60°C నుండి 40°C 7 నిమిషాలలో తగ్గినది. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత 10°C అయిన 7 నిమిషాల తరువాత దాని ఉష్ణోగ్రత ఎంత ఉండును.?
సాధన:

⇒ 160 – 4x = x + 20
⇒ 5x = 140 ⇒ x = 28°C

ప్రశ్న 10.
ఒక కృష్ణ వస్తువునకు గరిష్ట వికిరణ తీవ్రత 2.65 um వద్ద ఉన్నది. అయిన ఆ వస్తువు ఉష్ణోగ్రత ఎంత? [TS 19]
సాధన:
సూత్రము λ_mT = b
ఇక్కడ λ_m = గరిష్ట తీవ్రత గల వికిరణ తరంగదైర్ఘ్యం = 2.65 µm = 2.65 × 10^-6 m
b = వీన్స్ స్థిరాంకం = 2.9 × 10^-3 mK,

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సగటు పీడనమును నిర్వచించి, దాని ప్రమాణములను, మితి ఫార్ములాను వ్రాయండి. అది అదిశరాశా లేక సదిశరాశా? [AP 17,20]
జవాబు:
ఏకాంక వైశాల్యము పై పని చేయు అభిలంబ బలమును సగటు పీడనము అని అంటారు.

వైశాల్యము పై పని చేయుచున్న అభిలంబ బలము F అయితే ఆ వైశాల్యము పై సగటు పీడనం P_ave = \(\frac{F}{A}\)
S.I ప్రమాణం నూ.మీ^-2 (లేక ) పాస్కల్
మితి ఫార్ములా: [ML^-1T^-2]
సగటు పీడనం అదిశరాశి

ప్రశ్న 2.
స్నిగ్ధతను నిర్వచించి, ప్రమాణములు మరియు మితి ఫార్ములా వ్రాయండి? [Imp.Q][May 13][TS 15, 18][AP 16]
జవాబు:
స్నిగ్ధత :
ఒక ప్రవాహిలోని విభిన్న పొరల మధ్య గల సాపేక్ష చలనము ను నిరోధించు ప్రవాహి ధర్మమును స్నిగ్ధతలని అంటారు.
S.I ప్రమాణము స్వాజూలీ (లేక) pa s
మితి ఫార్ములా: [ML^-1T^-1]

ప్రశ్న 3.
ఒక మోటారు వాహనములోని కార్బ్యురేటర్ పనిచేయు సూత్రము ఏమిటి? [TS 17,18][AP 15,19,19]
జవాబు:
మోటారు వాహనములోని కార్బురేటర్ బెర్నూలీ సిద్ధాంతము ఆధారముగా పనిచేయును.

పనిచేయు విధానము :
కార్బురేటర్ నందు సన్నని ముఖ ద్వారము గల ఒక వెంటూరి గొట్టము ఉండును. దీని ద్వారా గాలి చాలా ఎక్కువ వేగముతో ప్రవహించును. అపుడు సన్నని ద్వారము వద్ద పీడనము బాగుగా తగ్గును. దీని వలన దహనము చెందుటకు కావలసిన పాళ్ళలో గాలి, పెట్రోలు వచ్చునట్లుగా పెట్రోలు పైకి పీల్చబడును.

ప్రశ్న 4.
మాగ్నస్ ప్రభావం అనగా ఏమి? [Imp.Q][AP 15,17,18][TS 19,22]
జవాబు:
ఆత్మ భ్రమణం చేయుచూ (ముందుకు) ప్రయాణిస్తున్న బంతి పై భాగమున గాలి వేగము ఎక్కువ గాను, క్రింది భాగమున గాలి వేగము తక్కువగాను ఉండును. దీని వలన బంతి పై భాగమున తక్కువ పీడనం, క్రింది భాగమున ఎక్కువ పీడనం కలుగును.పీడనాల తేడా వలన భ్రమణంతో విసిరి వేయ బడ్డ బంతి పై నికరమైన ఊర్ధ్వాభి బలం పని చేస్తుంది. ఈ కారణం చేత బంతి పథం వక్రంగా ఉంటుంది. ఈ ప్రభావాన్ని మాగ్నస్ ఫలితం అని అంటారు.

ప్రశ్న 5.
ద్రవ బిందువులు మరియు బుడగలు గోళాకారంగా ఎందుకు ఉంటాయి? [AP 22][AP,TS 16,17,18]
జవాబు:
ద్రవం ఉపరితలము ఎల్లప్పుడు కనిష్ట వైశాల్యమును పొందుటకు ప్రయత్నించును. నియమిత ఘనపరిమాణంకు అన్ని ఆకారముల లోను గోళాకారమునకు కనిష్ట వైశాల్యము ఉండును. అందువలన ద్రవ బిందువులు మరియు బుడగలు గోళాకారంగా ఉండును.

ప్రశ్న 6.
ఒక ద్రవ బిందువులోని అధిక పీడనమునకు సమీకరణమును వ్రాయండి. [AP 19] [TS 17, 20]
జవాబు:
ద్రవ బిందువు లోపలి అధిక పీడనము = P_inside – P_outside ⇒ P_excess = \(\frac{2T}{r}\)
ఇక్కడ r = ద్రవ బిందువు వ్యాసార్థము, T = ద్రవము యొక్క తలతన్యత

ప్రశ్న 7.
ఒక ద్రవములోని గాలి బుడుగ లోపలి అధిక పీడనమునకు సమీకరణమును వ్రాయుము. [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక ద్రవములోని గాలి బుడుగకు ఒక స్వేచ్ఛా ఉపరితలము మాత్రమే ఉండును. అందువలన గాలి బుడుగ
లోపలి అధిక పీడనం P = \(\frac{2T}{r}\)

ప్రశ్న 8.
గాలిలో ఉన్న సబ్బు బుడగ లోపలి అధిక పీడనమునకు సమీకరణమును వ్రాయండి. [AP 19][TS 22]
జవాబు:
గాలిలో ఉన్న సబ్బు బుడగకు రెండు స్వేచ్ఛా ఉపరితలములు ఉండును. అందువలన సబ్బు బుడగలో అధిక
పీడనం = P_inside – P_outside ⇒ P_excess = \(\frac{4T}{r}\)
ఇక్కడ r = సబ్బు బుడగ వ్యాసార్థము, T = సబ్బు నీటి తలతన్యత

ప్రశ్న 9.
జల సంసక్తకాలు మరియు జల అసక్తకాలు అనగా ఏమి? అవి ఏమి చేయును? [Imp.Q]
జవాబు:
నీరు చొచ్చుకొని పోవుటకు వీలు కాని పదార్థము లేక గుడ్డను జల అసక్తకాలు అని అంటారు. ఇవి నీటికి, పదార్థమునకు లేక గుడ్డకు మధ్య గల స్పర్శ కోణమును పెంచును.

సబ్బులు,డిటర్జెంట్లు మరియు వస్త్రములకు రంగు అద్దు పదార్థములు జల సంసక్తకాలకు ఉదాహరణ.

ఇవి స్పర్శకోణమును మరియు నీటి తలతన్యతను తగ్గించుట ద్వారా నీరు వస్తువులలోనికి చొచ్చుకొని పోవునట్లు చేయును.

ప్రశ్న 10.
గాజు ఉపరితలమును నీటి బిందువులు తడుపును కాని తామరాకుని నీటి బిందువులు తడపవు ఎందువలన? [AP 20][TS 15]
జవాబు:
గాజు ఉపరితలమునకు స్పర్శకోణం 90°ల కంటే తక్కువ. కావున నీటి బిందువులు గాజు ఉపరితలమును తడుపును. తామరాకు యొక్క స్పర్శకోణం 90°ల కంటే ఎక్కువ. కావున నీటి బిందువులు తామరాకును తడపవు.

ప్రశ్న 11.
స్పర్శ కోణము అనగా ఏమి? [Imp.Q][AP 16][TS 20]
జవాబు:
స్పర్శ కోణం :
ఘన తలానికి, ఘన తలం ద్రవం కలిసే బిందువు వద్ద ద్రవ అంతర్భాగంలో ద్రవతలాన్ని స్పృశిస్తూ గీసిన స్పర్శరేఖకు మధ్యగల కోణాన్ని ఆ ఘనద్రవాల జంటకు సంబంధించిన స్పర్శకోణం అని అంటారు.

ప్రశ్న 12.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతమునకు రెండు ఉదాహరణలిచ్చి, వివరించండి. [AP 18][Imp.Q][TS 15]
జవాబు:
i) గతిక ఉత్థాపన :
ఒక ప్రవాహిలో గమనంలో ఉన్న వస్తువుపై పనిచేసే ఊర్ధ్వ బలాన్నే గతిక ఉత్థాపన అంటారు.

ii) విమానం రెక్కలపై గతిక ఉత్థాపనం :
విమానం రెక్క మధ్యచ్ఛేద ఆకారంలో రెక్క క్రింది వైపు పుటాకార ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

బెర్నౌలీ సమీకరణం ప్రకారం పై తలం మీద తక్కువ పీడనం, దిగువ తలం మీద ఎక్కువ పీడనం ఉండడం వల్ల ఏర్పడిన పీడన వ్యత్యాసం విమానానికి కావలసిన ఉత్థాపనాన్ని కలిగిస్తుంది.

iii) భ్రమణంలో ఉన్న బంతిపై గతిక ఉత్థాపన :
ఒక బంతి గాలిలో కొంత వేగంతో (v) ప్రయాణిస్తుంటే, ఆత్మభ్రమణం వలన దాని చుట్టూ ధారారేఖలు ఏర్పడతాయి.

బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ప్రవాహి యొక్క వేగం పెరిగితే, అక్కడ పీడనం తగ్గుతుంది. వేగం తగ్గితే పీడనం పెరుగుతుంది. ఈ వేగాల తేడా వల్ల బంతిపై పనిచేసే ఫలిత ఊర్ధ్వబలాన్ని గతిక ఉత్థాపనం అంటారు.

ప్రశ్న 13.
ఒక గొట్టము గుండా నీరు ప్రవహిస్తున్నపుడు ఏ పొర వేగముగాను మరియు నిదానముగాను కదులును ?[Imp.Q] [TS 15]
జవాబు:
గొట్టము యొక్క గోడలను ఆనుకుని ఉండే పొరలు నిదానముగా కదులును. మరియు కేంద్రభాగములో ఉండే పొరలు వేగముగా కదులును.

ప్రశ్న 14.
ఒక వస్తువు ఉపరితల వైశాల్యం పెరిగితే దాని చరమవేగం పెరుగుతుంది. ఒప్పా లేక తప్పా? వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
సత్యము. చరమవేగం V_t α r² ⇒ V_t α 4πr² ⇒ V_t α A, [A = 4πr² = గోళం ఉపరితల వైశాల్యం]

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
వాతావరణ పీడనం అంటే ఏమిటి? భారమితి సహాయంతో దీన్ని ఎలా నిర్ధారిస్తారు? [Imp.Q]
జవాబు:
వాతావరణ పీడనం :
ఏదైనా ఒక బిందవు వద్ద వాతావరణ పీడనం, ఆ బిందువు నుంచి విస్తరిస్తూ వాతావరణపు పై అంచుదాకా కొనసాగే ఏకాంక మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల వాయుస్తంభం యొక్క బరువుకు సమానం.

భారమితి :
ఒక కొనవైపు మూసి ఉన్నటువంటి ఒక గాజు గొట్టంలో పాదరసాన్ని నింపి, దానిని ఒక పాదరసం తొట్టెలో పటంలో చూపిన విధంగా బొర్లిస్తారు. ఈ పరికరాన్నే పాదరస భారమితి అని అంటారు. గొట్టంలో నిలిచిన పాదరస స్తంభం ఎగువన ఉన్న ప్రదేశంలో ఉండేదల్లా పాదరస భాష్పం మాత్రమే. దీని పీడనమును నిర్లక్ష్యము చేయవచ్చు. స్తంభం లోపల ఒక బిందువు A వద్ద ఉన్న పీడనం అదే మట్టం వద్ద ఉన్న బిందువు B వద్ద ఉండే పీడనంతో సమానం. B వద్ద పీడనం వాతావరణ పీడనము P_a కు
సమానం. P_a = hρg
ఇక్కడ ρ = పాదరసం సాంద్రత
h = గాజు గొట్టములో పాదరస స్తంభం ఎత్తు
p_a = వాతావరణ పీడనం
g = గురుత్వ త్వరణం

ప్రశ్న 2.
గేజ్ పీడనం అంటే ఏమిటి? మానోమీటర్ సహాయంతో పీడన వ్యత్యాసాన్ని ఎలా కనుక్కొంటారు? [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ పీడనము (P) నకు, వాతావరణ పీడనము (P_a) నకు మధ్యగల తేడా (P – P_a) ను గేజ్ పీడనం అని అంటారు.

మానోమీటర్ :
పీడన వ్యత్యాసాలను కొలవడానికి ఉపయుక్తమైన ఒక పరికరం తెరచిన గొట్టం ఉన్న మానోమీటర్. ఇందులో ఒక అనువైన ద్రవంతో నింపిన U గొట్టం ఉంటుంది. ఈ U గొట్టంలో ఒక కొన వాతావరణంతో సంబంధం ఉండేటట్లుగా తెరచి ఉన్నది కాగా, మరో కొన, మనం ఏ వ్యవస్థ పీడనాన్నైతే కొలవదలుచుకొన్నామో, ఆ వ్యవస్థకు కలపబడి ఉంటుంది.
A వద్ద పీడనం = B వద్ద పీడనం
P = P_a + hρg ⇒ P – P_a = గేజ్ పీడనం P_g = hρg

మానోమీటర్ లోని రెండు పాదరస స్తంభముల ఎత్తులలోని తేడా (h) కు గేజ్ పీడనం అనులోమాను పాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
పాస్కల్ నియమాన్ని తెలిపి ఒక ప్రయోగం సహాయంతో దాన్ని నిరూపించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
పాస్కల్ నియమం :
విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహిలో ఒకే ఎత్తులో ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద, పీడనం ఒకే విలువ కలిగి ఉంటుంది. దీనిని పాస్కల్ నియమం అని అంటారు.

ప్రయోగం :
విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహి లోపల ABC – DEF అను ఒక స్వల్పాంశ లంబకోణ పట్టకాకృతిని ఊహించుము. దాని ప్రతిభాగం ద్రువ ఉపరితలం నుండి ఒకే లోతులో ఉండును. కావున అన్ని బిందువులపై గురుత్వ ప్రభావం సమానం. BEFC, ADFC మరియు ADEB ముఖాల వైశాల్యంశములు వరుసగా A_a, A_b మరియు A_c. వీని పై పని చేయుచున్న అభిలంబ బలాలు F_a, F_b మరియు F_c. వీని వల్ల ప్రవాహి కలుగ జేయుచున్న పీడనములు P_a, P_b మరియు P_c.
అపుడు F_bsinθ₂ = F_c, F_bcosθ₂ = F_a (సమతాస్థితి వల్ల)

కనుక నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవములో సమాన లోతు వద్ద గల బిందువుల వద్ద సమానమైన పీడనములు ఉండును. (లేక) నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవములోని ఏదేని ఒక బిందువు వద్ద కలుగజేసిన పీడనము ద్రవములోని అన్ని బిందువుల వద్దకు అదే విధముగా వ్యాప్తి చెందును.

ప్రశ్న 4.
హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్ (ద్రవ ఆధారిత లిఫ్ట్) మరియు హైడ్రాలిక్ బ్రేక్ (ద్రవ ఆధారిత బ్రేకు) లను వివరించండి.
జవాబు:

హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్ లోని రెండు ముషలకాలు వాటి మధ్య నింపిన ద్రవంతో వేరయి ఉంటాయి. అల్పమధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A₁ కలిగిన ముషలకాన్ని ద్రవం పై నేరుగా F₁ అనే బలాన్ని ప్రయోగించడానికి వాడతారు. పాస్కల్ నియమం ప్రకారం, దీని వలన కలిగిన పీడనం P₁ = \(\frac{F_1}{A_1}\) ఎక్కువ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A₂ గల మరొక ముషలకానికి అందుతుంది. ఇది PA₂ అనే ఉర్థ్వబలం ఉత్పన్నమగుటకు కారణమవుతుంది. అందువల్ల ఆ ముషలకం పెద్ద పెద్ద భారాలను మోయగలుగుతుంది.

కావున చిన్న ముషలకము పై ప్రయోగించిన F₁ అనే స్వల్ప బలం, పెద్ద ముషలకము పై F₂ అనే అధిక బలమును కలుగజేయును. ఇదే హైడ్రాలిక్ యంత్రం యొక్క సూత్రం.

హైడ్రాలిక్ బ్రేకులు :
మన పాదంతో పెడల్ పైన మనం ఒక స్వల్ప బలాన్ని ప్రయోగిస్తే, మాస్టర్ స్థూపంలోని మాష్టర్ ముషలకం కదులుతుంది. ఇందువల్ల కలిగే పీడనం బ్రేక్ నూనె ద్వారా ప్రసరితమై దీని కంటే ఎక్కువ వైశాల్యం గల ముషలకం పైన చర్య జరుపుతుంది. ఇందువల్ల ఒక అత్యధిక బలం ఆ ముషలకంపై చర్య జరిపి, అది కిందకు నెట్టబడుతుంది. తద్వారా బ్రేక్ లైనింగ్కు వ్యతిరేకంగా బ్రేక్షూలు వ్యాకోచం చెంది, అంటే అవి ముందుకు జరిగి, బ్రేక్ లైనింగ్ను గట్టిగా ఒడిసిపట్టుకుంటాయి.

ప్రశ్న 5.
ద్రవ స్థితిక విరోధ భాసం అనగా ఏమి? [TS 19]
జవాబు:
హైడ్రాస్టిక్ పారడాక్స్ :
పాత్ర ఆకారము, ఆధార వైశాల్యము పై ఆధారపడకుండ, ఒకే క్షితిజ సమాంతర తలములో ఉండు అన్ని బిందువుల వద్ద ద్రవ పీడనము సమానముగా ఉండును.

ఉదాహరణ:
పటములో చూపినట్లు వేర్వేరు ఆకారము గల A, B, C అను మూడు పాత్రలను తీసుకొని వాని అడుగు భాగములను ఒక క్షితిజ సమాంతర గొట్టముతో కలపండి. ఇపుడు నీటితో నింపిన, వేర్వేరు పాత్రలలో వేర్వేరు మొత్తములలో నీరు ఉన్నప్పటికి, అన్నిటిలోను నీటిమట్టము ఒకే ఎత్తులో ఉండును. ప్రతి పాత్ర అడుగున క్షితిజ సమాంతర గొట్టములో ఒకే పీడనము ఉండుట దీనికి కారణము.

ప్రశ్న 6.
లోతుతో పీడనము ఎలా మారుతుందో వివరించండి.
జవాబు:
ఒక పాత్రలో నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న ద్రవమును ఊహించుము. పటములో చూపినట్లు ఆధార వైశాల్యము A ఎత్తు h గల ఒక స్థూపాకార ద్రవ మూలకమును ఊహించుము. 1 మరియు 2 బిందువుల వద్ద పీడనములు వరుసగా p₁, p₂ అని అనుకొనుము. స్థూపాకార ద్రవ మూలకము యొక్క వక్రతా ఉపరితలము పై పనిచేయు క్షితిజ సమాంతర బలములు పరస్పరము సంతులనము చేసుకొనును. ద్రవ మూలకము పై పనిచేయుచున్న నిలువు తలములోని బలములు మూడు. అవి

i) ద్రవ మూలకము పై భాగమున నిట్టనిలువుగా క్రింది దిశలో పనిచేయు బలము P₁A
ii) ద్రవ మూలకము అడుగు భాగము పై నిట్టనిలువుగా పై దిశలో పనిచేయు బలము P₂A
iii) స్థూపాకార ద్రవమూలకము యొక్క భారము mg ఇది నిట్ట నిలువుగా క్రింది దిశలో ద్రవమూలకము యొక్క గరిమనాభి స్థానము నుండి పని చేయు చుండును. ద్రవమూలకము సమతా స్థితిలో ఉన్నది కనుక

∴ ∑F_Y = 0
P₁A + mg – P₂A = 0 (or) (P₂ – P₁)A = mg
ద్రవము యొక్క సాంద్రత ρ అయితే ద్రవ మూలకము లోని ద్రవము ద్రవ్యరాశి m = hA ρ
∴ (P₂ – P₁)A = hA ρ g (లేక) P₂ – P₁ = hρ g. …….. (1)
బిందువు 1 ను ద్రవ ఉపరితలము వద్ద ఊహించిన P₁ = P_a, వాతావరణ పీడనమునకు సమానమగును. అదే విధముగా p₂ = p అనుకొనుము. ఇపుడు (1) వ సమీకరణమును ఈ క్రింది విధముగా వ్రాయవచ్చును.
P – P_a = hρg (లేక) P = P_a + hρg ………….. (2)

అనగా ద్రవ ఉపరితలము నుండి లోతుకు వెళ్ళుచున్న కొలది పీడనము పెరుగుచుండును.

ప్రశ్న 7.
టోరిచెల్లి సిద్ధాంతము ఏమిటి? ఒక ప్రయోగంతో బహిస్రావ వడిని ఎలా నిర్ధారిస్తారో వివరించండి.
జవాబు:
టోరిచెల్లి సిద్ధాంతం :
ఒక సన్న రంధ్రం ద్వారా బహిర్గతమయ్యే ద్రవపు బహిస్రావ వేగము, ఆ ద్రవపు ఉపరితలం నుండి రంధ్రము వరకు స్వేచ్ఛగా ద్రవం నిట్టనిలువుగా పడునపుడు ద్రవం (లేదా వస్తువు) పొందే తుది వేగానికి సమానం.

ద్రవం ఉపరితలం వద్ద పీడనం P₁,వేగం v₁, ద్రవం ఎత్తు h₁ అనుకొనుము. రంధ్రం వద్ద వీని అనురూప విలువలు P₂, v₂ మరియు h₂ అనుకొనుము. ద్రవసాంద్రత ‘ρ’ అనుకొనుము.

బెర్నౌలి సమీకరణం ప్రకారం

కాని P₁ = P₂ = వాతావరణ పీడనం ఎందువలన అనగా రంధ్రము, ద్రవ ఉపరితలము వాతావరణ పీడనమునకు తెరచి ఉన్నవి. రంధ్రం వైశాల్యం A₂ తో పోల్చిన ద్రవ ఉపరితల వైశాల్యం A₁ చాలా ఎక్కువ. కనుక v₁ << v₂, కనుక v₁² ను నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 8.
వెంటూరి మీటర్ అనగా ఏమి? దీన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తారో వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
ఇంజనీర్ G.B. వెంటూరీ ఈ సాధనాన్ని నిర్మించాడు. కావున దీనిని వెంటూరీ మీటర్ అని అంటారు. ద్రవ వేగంతో పీడనం మారే విధానం ఆధారంగా వెంటూరీ మీటర్ పని చేస్తుంది. ఈ సాధనాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్న గొట్టంలోని ద్రవ ప్రవాహ వేగాన్ని (లేదా ప్రవాహపు రేటు కనుక్కోవడానికి ఉపయోగిస్తారు.

పటములో చూపిన విధంగా ఒక విశాలమైన వ్యాసంతో, మధ్యలో ఒక చిన్న నొక్కును కలిగి ఉన్న ఒక గొట్టం ఉంటుంది. U ఆకారంలో ఉన్న ఒక మానోమీటర్ దీనికి అనుసంధానించి ఉంటుంది. మానోమీటర్ లోని ద్రవసాంద్రత ρ_m అనుకొనుము. వెడల్పైన కుత్తుక వద్ద మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యము A, ద్రవ పీడనం P₁ ద్రవ వేగము V₁ అనుకొనుము. సన్నని కుత్తుక వద్ద మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం a ద్రవ పీడనంP₂, ద్రవ వేగం V₂ అనుకొనుము. సాంతత్య సమీకరణం ప్రకారం

ప్రశ్న 9.
రేనాల్డ్స్ సంఖ్య అనగా ఏమి? దాని ప్రాముఖ్యత ఏమిటి? [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక గొట్టములో ప్రవహించు ద్రవపు లక్షణము లేక రకమును నిర్ణయించు మితిరహిత సంఖ్యను రేనాల్డు సంఖ్య అని అంటారు.
R_C = \(\frac{\rho v d}{\eta}\)
ఇక్కడ ρ = ద్రవ సాంద్రత
v = ద్రవ వేగము
d = గొట్టము యొక్క వ్యాసము
η = ద్రవము యొక్క స్నిగ్ధతా గుణకం

ప్రాముఖ్యత:

1. జడత్వ బలమునకు, చలనములో ఉన్న ద్రవపు స్నిగ్ధతా బలమునకు మధ్య నిష్పత్తిని రేనాల్డు సంఖ్య సూచించును.
2. R_Cకు సమానమగు సందిగ్ధ వేగముల వద్ద జ్యామితీయంగా ఒకే పోలిక గల ప్రవాహములు సంక్షుబ్ద ప్రవాహములు అగునని నిరూపితమయినది. ఇందువలన పెద్ద పెద్ద ఓడలు, సబ్మెరైన్లు, విమానములు, పోటీలలో పాల్గొను కార్ల నిర్మాణము, మరియు ప్రయోగశాలలో ద్రవ ప్రవాహ లక్షణములను తెలుసుకొనుటకు చిన్న చిన్న నమూనాలు తయారుచేయుట సాధ్యమగును.
3. స్తరీయ గతికి రేనాల్డు సంఖ్య 1000 కంటే తక్కువగా ఉండును.
4. రేనాల్డు సంఖ్య 2000 దాటినచో అది సంక్షుబ్ద ప్రవాహనము.
5. రేనాల్డు సంఖ్య 1000కి 2000కి మధ్య ఉన్నచో ప్రవాహము స్తరీయగతి సంక్షుబ్ద ప్రవాహముల మధ్య మారుచుండును.అనగా అది నిలకడ రహిత ప్రవాహంగా మారుతుంది.

ప్రశ్న 10.
గతిక ఉత్థాపనాన్ని ఉదాహరణలతో సహా వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
గతిక ఉత్థాపన :
ఒక ప్రవాహిలో ఒక వస్తువు చలనంలో ఉన్నపుడు ఆ వస్తువు పై ఊర్ధ్వ బలము పనిచేయును. దీనినే గతిక ఉత్థాపన అని అంటారు.

ఉదాహరణ : విమానం రెక్కల పై గతిక ఉత్థాపన :
విమానం ప్రయాణించు చున్నపుడు, విమానపు రెక్కల పై భాగమున గాలి వేగము ఎక్కువగాను, దిగువ భాగమున తక్కువ గాను ఉండునట్లు రెక్కల నిర్మాణం ఉండును. అందుచేత బెర్నౌలి సిద్ధాంతం ప్రకారం రెక్కల పై భాగాన (P₁) పీడనం తక్కువ గాను, అడుగు తలం మీద పీడనం (P₂) ఎక్కువగాను ఉంటుంది. అంటే(P₂ > P₁). ఈ పీడనాల భేదం (P₂ – P₁) విమానము రెక్కలపై పనిచేసే ఊర్థ్వ పీడనానికి సమానం. దీనిని రెక్కల వైశాల్యంతో గుణిస్తే ఊర్థ్వ బలం తెలుస్తుంది. రెక్కల వైశాల్యం ఎక్కువగా ఉండుట వలన ఈ ఊర్థ్వ బలం విమానం బరువు కన్న ఎక్కువగా ఉంటుంది. అందువలన విమానం గాలిలో పైకి ఎగురగల్గుతుంది.

ప్రశ్న 11.
తలతన్యతను మరియు ఉపరితల శక్తిని వివరించండి. [Imp.Q][Mar 13]
జవాబు:
తలతన్యత :
సమతాస్థితిలో ఉన్న ఒక స్వేచ్ఛాతలంపై ఒక ఊహారేఖకు ఇరువైపులా రేఖకు లంబంగా ప్రమాణ పొడవు పై తలానికి స్పర్శియంగా పనిచేసే బలాన్ని తలతన్యత అంటారు.

ఉపరితల శక్తి :
అణు ఆకర్షణ బలాల వల్ల ప్రమాణ ఉపరితల వైశాల్యం పొందిన అధిక స్థితిజశక్తిని ఉపరితల శక్తి అంటారు.
తలతన్యతకు(T)ఉపరితల శక్తికి (W) మధ్య సంబంధం T = \(\frac{\mathrm{W}}{\Delta A}\)
∆A అనునది వైశాల్యంలోని పెరుగుదల.

ప్రశ్న 12.
ప్రయోగాత్మకంగా తలతన్యతను కనగొను విధానమును వివరించండి.
జవాబు:
ఒక ద్రవము యొక్క తలతన్యతను కనుగొను ప్రయోగము లోని పరికరముల అమరిక పటములో చూపినట్లు ఉండును. తలతన్యత కనుగొన వలసిన ద్రవమును ఒక పాత్రలో తీసుకుంటారు. ఒక త్రాసు యొక్క ఒక భుజము నుండి సమతల అంచు గల ఒక నిట్టనిలువు గాజు పలకను నిట్టనిలువుగా పాత్రలోని ద్రవమునకు కొంచెముపైన ఉండునట్లు అమరుస్తారు. దీని కోసం త్రాసు రెండవ భుజము నుండి వ్రేలాడదీసిన పళ్ళెములోని బరువులు ఉపయోగపడతాయి.

గాజు పలకను ద్రవ ఉపరితలము తాకునట్లుగా పాత్రను కొంచెం పైకి జరుపుతారు. తలతన్యత వలన గాజు పలక కొంచెం క్రిందికి లాగబడును. గాజుపలక ద్రవ ఉపరితలము నుండి కేవలము పైకి వచ్చుటకు కావలసిన బరువులను రెండవ వైపు పళ్ళెములో వేయవలయును. వేసిన భారము W అయిన ద్రవము తలతన్యతను ఈ క్రింది సూత్రము ద్వారా కనుగొనవచ్చును
తలతన్యత, S = \(\frac{W}{2l}=\frac{mg}{2l}\)

‘m’ అనునది పళ్ళెములో వేసిన అధిక ద్రవ్యరాశి మరియు ‘l’ అనునది గాజు పలక అంచు యొక్క పొడవు.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించండి. గొట్టంలో ప్రవహిస్తున్న ద్రవానికి శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం ద్వారా బెర్నౌలి సిద్ధాంతంను ఉత్పాదించండి. బెర్నౌలి సిద్ధాంతానికి ఒక అనువర్తనాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
బెర్నౌలి సిద్ధాంతం :
ఒక గొట్టంలో, నిలకడరీతిలో ప్రవహిస్తున్న అసంపీడ్య, స్నిగ్ధతలేని ప్రవాహంలో, ఏకాంక ఘనపరిమాణం గల ప్రవాహి పీడనశక్తి, గతిజశక్తి, స్థితిశక్తి ఏ బిందువు వద్దనైనా స్థిరం.
బెర్నౌలి సమీకరణం P + ρgh + = \(\frac{1}{2}\)ρv² = స్థిరం

పటంలో చూపిన విధంగా స్నిగ్ధతలేని అసంపీడ్య ప్రవాహం నిలకడ రీతిలో ఒక గొట్టంలో ప్రవహిస్తుంది. ఈ గొట్టం A వైపు అడ్డుకోత వైశాల్యం, a₁ కలిగి, h₁ ఎత్తులో, v₁ వేగంతో ప్రవాహి ప్రవేశించి, గొట్టం చివర B వద్ద అడ్డుకోత వైశాల్యం a₂ కలిగి, h₂ ఎత్తులో v₂ వేగంతో ద్రవం బహిర్గతమవుతుంది.

గొట్టంలో ప్రవేశించే ప్రవాహి ద్రవ్యరాశి = గొట్టం నుండి బహిర్గతమయ్యే ప్రవాహి ద్రవ్యరాశి.
⇒ m = ρ₁a₁ v₁dt = ρ₂a₂v₂dt
ప్రవాహి అసంపీడ్యమైతే ⇒ ρ₁ = ρ₂ = ρ

i) గతిక ఉత్థాపన :
ఒక ప్రవాహిలో గమనంలో ఉన్న వస్తువుపై పనిచేసే ఊర్ధ్వ బలాన్నే గతిక ఉత్థాపన అంటారు.

ii) విమానం రెక్కలపై గతిక ఉత్థాపనం :
విమానం రెక్క మధ్యచ్ఛేద ఆకారంలో రెక్క క్రింది వైపు పుటాకార ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

బెర్నౌలీ సమీకరణం ప్రకారం పై తలం మీద తక్కువ పీడనం, దిగువ తలం మీద ఎక్కువ పీడనం ఉండడం వల్ల ఏర్పడిన పీడన వ్యత్యాసం విమానానికి కావలసిన ఉత్థాపనాన్ని కలిగిస్తుంది.

iii) భ్రమణంలో ఉన్న బంతిపై గతిక ఉత్థాపన :
ఒక బంతి గాలిలో కొంత వేగంతో (v) ప్రయాణిస్తుంటే, ఆత్మభ్రమణం వలన దాని చుట్టూ ధారారేఖలు ఏర్పడతాయి.

బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ప్రవాహి యొక్క వేగం పెరిగితే, అక్కడ పీడనం తగ్గుతుంది. వేగం తగ్గితే పీడనం పెరుగుతుంది. ఈ వేగాల తేడా వల్ల బంతిపై పనిచేసే ఫలిత ఊర్ధ్వబలాన్ని గతిక ఉత్థాపనం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్నిగ్ధతా గుణకమును నిర్వచించండి. స్ట్రోక్ నియమమును వివరించి ఒక వాన బిందువు ఏ పరిస్థితులలో చరమ లేక అంత్య వేగమును పొందుతుందో వివరించండి. అంత్య వేగానికి సమీకరణమును వ్రాయండి.
జవాబు:
స్నిగ్ధతా :
ప్రవాహిలో ప్రవాహి పొరల మధ్య సాపేక్ష గమనాన్ని నిరోధించే ధర్మాన్నే స్నిగ్ధత అంటారు.

స్నిగ్ధతా గుణకం :
ప్రవాహి దిశకు లంబంగా పొరల మధ్య ఏకాంక వేగ ప్రవణత ఉన్నప్పుడు ఏకాంక వైశాల్యం గల పొరల మీద పనిచేసే స్నిగ్ధతా బలపరిమాణమే స్నిగ్ధతాగుణకం.

స్టోక్ నియమం :
ప్రవాహిలో క్రిందికి పడుతున్న నునుపైన గోళాకారపు వస్తువుపై పనిచేసే నిరోధక బలం క్రింది వాటిపై ఆధారపడుతుంది.
i) ప్రవాహి యొక్క స్నిగ్ధతా గుణకం (η)
ii) గోళాకారపు వస్తువు వ్యాసార్ధం (r)
iii) ప్రవాహిలో వస్తువు వేగం(v)
అనగా F_v ∝ ηrV ⇒ F_v = kηrv.
ప్రయోగ పూర్వకంగా ‘k’ విలువ 6π గా కనుగొనబడింది.
∴ F_v = 6π ηrv

చరమ వేగం (V_t):
ఏదైనా ప్రవాహిలో ఒక వస్తువును స్వేచ్ఛగా జారవిడిస్తే అది ఆ ద్రవంలో కొంతదూరం ప్రయాణించి ఆ తరువాత స్థిరవేగాన్ని పొందుతుంది. ఆ స్థిరవేగాన్ని అంత్యవేగం లేక చరమ వేగం అంటారు.

అంత్యవేగానికి సమీకరణం :
‘r’ వ్యాసార్ధం ‘ρ’ సాంద్రత గల ఒక గోళము ρ₀ సాంద్రతగల ప్రవాహి గుండా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు దానిపై పనిచేసే బలాలు

‘m’ అనునది గోళము ద్రవ్యరాశి.
గోళము యొక్క వేగము పెరుగుచున్న కొలది స్నిగ్ధతా బలం F_v పెరుగుచుండును.
ఒకానొక F_v విలువ వద్ద, W = F_B + F_v అగును.

అపుడు గోళము పై పనిచేయు ఫలిత బలము శూన్యమగును. గోళము స్థిర వేగముతో ప్రయాణించుట ఆరంభించును. ఈ స్థిర వేగమునే చరమ వేగము (V_T) అని అంటారు.

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
సరస్సు తలమునకు 10 మీటర్ల లోతులో ఉన్న ఈతగాని పై మొత్తము పీడనం ఎంత? (Take g = 10ms^-2)
సాధన:
మొత్తము పీడనం, P = వాతావరణ పీడనం + నీరు కలుగజేయు పీడనం P = P_a + ρgh
ఇక్కడ P_a = 1.01 × 10⁵ Pa, h= లోతు = 10m, ρ = నీటి సాంద్రత = 1000 కి. గ్రామీ^-3 g = 10 మీసె^-2.
P = 1.01 × 10⁵ + 1000 × 10 × 10 = 2.01 × 10⁵ Pa ≅ 2 అట్మాస్పియర్

ప్రశ్న 2.
సముద్ర మట్టము వద్ద వాతావరణ (గాలి) సాంద్రత 1.29 kg/m³ ఎత్తునకు వెళ్ళినప్పటికి సాంద్రత విలువలో మార్పు లేదు అని అనుకొనిన, ఎంత ఎత్తు వరకు వాతావరణము ఉండును?
సాధన:
P_a = ρgh. ఇక్కడ వాతావరణ పీడనం, P_a = 1.01 × 10⁵ Pa, g = 9.8 మీ సె^-2, ρ = 1.29 కి. గ్రామీ^-3
1.01 × 10⁵ = 1.29 × 9.8 × h

ప్రశ్న 3.
రెండు సిరంజిల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యములు A₁, A₂ మరియు పొడవులు L₁, L₂ (సూదులు లేకుండా). వీనిని నీటితో నింపి ఒక రబ్బరు గొట్టముతో బిగుతుగా ఈ రెండింటిని కలిపిరి. వీనిపై ఉన్న ముషలకములలో చిన్నదాని వ్యాసం 1.0సెం.మీ, పెద్ద దాని వ్యాసం 3.0 సె.మీ అయిన (a) చిన్న ముషలకముపై 10 N బలం ప్రయోగించిన పెద్ద ముషలకముపై ప్రయోగింపబడు బలం ఎంత? (b)చిన్న ముషలకమును 6.0 సె.మీ లోపలికి నెట్టిన, పెద్ద ముషలకము బయటకు ఎంత దూరము జరుగును?
సాధన:

ప్రశ్న 4.
కార్లను పైకి లేపు లిఫ్టు వంటి పరికరములో 5.0 సెం.మీ వ్యాసార్థము గల చిన్న ముషలకముపై సంపీడ్యము చెందించిన గాలి F₁ అను బలమును ప్రయోగించును. పైకి లేపవలసిన కారు ద్రవ్యరాశి 1350కి.గ్రా అది 15 సెం.మీ వ్యాసార్థముగల ముషలకము పై ఉన్నది. అయిన F₁ విలువ ఎంత ఉండవలయును? g = 9.8 ms^-2 అయిన ఈ పని చేయుటకు కావలసిన పీడనం ఎంత?
సాధన:
పాస్కల్ నియమం ప్రకారం, ఒక ప్రవాహిలో పీడనం మార్పు లేకుండా ఒక చోటు నుండి వేరొక చోటునకు ప్రసారమగును. అనగా చిన్న ముషలకం వద్ద పీడనం = పెద్ద ముషలకం వద్ద పీడనం
ఇది దాదాపు వాతావరణ పీడనమునకు రెట్టింపు.

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
తలతన్యత బలమునకు వ్యతిరేకముగా 0.6 సెం.మీ వ్యాసము గల సబ్బు బుడగను ఊదుటకు చేయవలసిన పని ఎంత? (సబ్బు నీటి తలతన్యత = 2.5 × 10^-2 Nm^-1)
సాధన:
సబ్బు నీటి తలన్యత S = 2.5 × 10^-2 Nm^-2
సబ్బు బుడగ వ్యాసము = 0.6cm = 0.6 × 10^-2m
⇒ సబ్బు బుడగ వ్యాసార్థము r = 0.3 × 10^-2m.
సబ్బు బుడగను ఊదుటకు చేసిన పని W = 8πr²S = 8 × 3.14 ×(0.3 × 10^-2)² × 2.5 × 10^-2 = 5.652 × 10^-6 Joule.

ప్రశ్న 2.
0.06 సెం.మీ వ్యాసము గల గాజు గొట్టము లో ఎంత ఎత్తు వరకు మీథైల్ ఆల్కహాల్ ఎగబ్రాక గలదు? మీథైల్ ఆల్కహాల్ తలతన్యత = 0.023 Nm^-1 మీథైల్ ఆల్కహాల్ సాంద్రత = 0.8 gmcm^-3 స్పర్శ కోణము = 0°
సాధన:

ప్రశ్న 3.
ఒక కేశనాళికలో 6 సెం.మీ ఎత్తునకు నీరు ఎగబ్రాగుటకు కేశనాళిక వ్యాసార్థము ఎంత ఉండవలయును? నీటి తలతన్యత = 7.2 × 10^-2N/m, g = 10m/sec², స్పర్శ కోణము = 0°
సాధన:

ప్రశ్న 4.
0.4 మి.మీ వ్యాసముగల కేశనాళికను పాదరసము గల బీకరులో ముంచిన కేశనాళికలో పాదరసపు అవరోహణ ఎంత? పాదరసము సాంద్రత = 13.6 × 10³kg m^-3, తలతన్యత 0.49 Nm^-1 స్పర్శకోణం 135°
సాధన:

θ = 135° అందువలన h ఋణాత్మకముగా ఉండును. అనగా కేశనాళికలోని పాదరస మట్టము బీకరులోని పాదరస మట్టము ఉన్న తక్కువగా ఉండును.
పాదరస సాంద్రత p = 13.6 × 10³ kg/m³, కేశనాళిక వ్యాసార్థం a = 0.2 × 10^-3m,
పాదరస తలతన్యత S = 0.49 Nm^-1, స్పర్శకోణం θ = 135°

ప్రశ్న 5.
ఒక సబ్బు బుడగ వ్యాసము 10 మి.మీ మరియు దాని తలతన్యత 0.04 Nm^-1 అయిన బుడగలోని అధిక పీడనం ఎంత? [IPE ’14][TS 16,18][AP 15]
సాధన:

ప్రశ్న 6.
R వ్యాసార్థం గల బుడగను ఊదుటకు చేసిన పని W అయితే దాని వ్యాసార్థమును 2R చేయుటకు కావలసిన శక్తి ఎంత?
సాధన:
R వ్యాసార్థము గల సబ్బు బుడగను ఊదుటకు చేయవలసిన పని 8πR²S కు సమానం అనగా W = 8πR²S.
సబ్బు బుడగ వ్యాసార్ధమును r₁ నుండి r₂ కు పెంచుటకు చేయ వలసిన పని 2R = 8πS(r₂² – r₁²) ఇక్కడ r₁ = R మరియు r₂ = 2R కనుక చేయువలసిన పని
= 8πS((2R)² – R²) = 3(8πR²S) = 3W

ప్రశ్న 7.
వ్యాసార్థములు R₁ మరియు R₂ గల రెండు సబ్బు బుడగలు శూన్యములో సమ ఉష్ణోగ్రత పరిస్థితులలో ఏకమై ఒక సబ్బు బుడగ ఏర్పడిన దాని వ్యాసార్థము ఎంత? సబ్బు నీటి తలతన్యత T అనుకొనుము.
సాధన:
R₁ వ్యాసార్థము గల సబ్బు బుడగను ఊదుటకు చేయవలసిన పని = R₁ = W₁ = 8πR₁²T
R₂ వ్యాసార్ధము గల సబ్బు బుడగను ఊదుటకు చేయవలసిన పని R₂ = W₂ = 8πR₂²T
మొత్తము పని W = W₁ + W₂ = 8πR₁²T + 8πR₂²T = 8π(R₁² + R₂²)T
రెండు సబ్బు బుడగలు ఏకమైన తరువాత ఏర్పడిన సబ్బు బుడగ వ్యాసార్థం R అయితే దానిని ఊదుటకు చేయవలసిన పని W = 8πR²T

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలో హుక్ నియమాన్ని తెలపండి? [Imp.Q]
జవాబు:
హుక్ నియమం :
స్థితిస్థాపక అవధిలోపల, ప్రతిబలం, వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
ప్రతిబలం ∝ వికృతి ⇒ ప్రతిబలం = E (వికృతి) ఇక్కడ E ను స్థితిస్థాపక గుణకం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
ప్రతిబలానికి మితులు, ప్రమాణాలు తెలపండి. [Imp.Q]
జవాబు:
S.I. ప్రమాణం : Nm^-2 లేదా పాస్కల్
మితి ఫార్ములా : [M¹ L^-1 T^-2]

ప్రశ్న 3.
స్థితిస్థాపక గుణకం యొక్క ప్రమాణాలు, మితిఫార్ములాలు తెలపండి? [Imp.Q]
జవాబు:
S.I. ప్రమాణాలు : Nm^-2 లేదా పాస్కల్
మితి ఫార్ములా : [M¹ L^-1 T^-2]

ప్రశ్న 4.
యంగ్ గుణకం యొక్క S.I. ప్రమాణం, మితి ఫార్ములా తెలపండి ? [Imp.Q]
జవాబు:
యంగ్ గుణకం :
C.G.S ప్రమాణం : dyne cm^-2
S.I ప్రమాణం : N m^-2 (లేదా) pascal
మితి ఫార్ములా : [M¹ L^-1 T^-2]

ప్రశ్న 5.
ధృడతా గుణకం యొక్క S.I. ప్రమాణం, మితి ఫార్ములా తెలపండి ? [Imp.Q]
జవాబు:
ధృడతా గుణకం :
C.G.S ప్రమాణం : dyne cm^-2
S.I ప్రమాణం : N m^-2 (లేదా) pascal
మితి ఫార్ములా : [M¹ L^-1 T^-2]

ప్రశ్న 6.
ఆయత గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి. [Imp.Q]
జవాబు:
స్థూల గుణకం:
C.G.S ప్రమాణం : dyne cm^-2
S.I ప్రమాణం : N m^-2 (లేదా) pascal
మితి ఫార్ములా : [ML^-1T^-2]

ప్రశ్న 7.
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక, ప్లాస్టిక్ లకు సమీపంగా ఉండే వస్తువులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. [Imp.Q]
జవాబు:

1. దాదాపు పరిపూర్ణ స్థితిస్థాపక వస్తువులు: క్వార్ట్జ్ మరియు ఫాస్పర్ బ్రాంజ్.
2. దాదాపు పరిపూర్ణ అస్థితిస్థాపక వస్తువులు: తడి బంకమన్ను, మైనము (parrafix wax) గోధుమపిండి ముద్ద మొదలైనవి.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
హుక్ స్థితిస్థాపక నియమం, అనుపాత అవధి, శాశ్వత స్థితి, విచ్చేదన ప్రతిబలాలను నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
హుక్ నియమం :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల, వస్తువులోని వికృతి, ప్రతిబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అనగా స్థితిస్థాపక అవధిలోపల ప్రతిబలం α వికృతి. ప్రతిబలం = E వికృతి

అనుపాత అవధి :
ఏ గరిష్ట ప్రతిబలం వరకు వికృతి, ప్రతిబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందో దానిని అనుపాత అవధి అంటారు.

శాశ్వత స్థితి :
స్థితిస్థాపక అవధి తరువాత తీగలో ఏర్పడిన శాశ్వతమైన విరూపణనే శాశ్వత స్థితి అంటారు. విచ్చేదన ప్రతిబలం : విచ్చేదన బిందువు వద్ద తీగలో ఏర్పడిన ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్థితిస్థాపక గుణకం, ప్రతిబలం, వికృతి, పాయిజాన్ నిష్పత్తులను నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
స్థితిస్థాపక గుణకం :
స్థితిస్థాపక అవధిలోపల ప్రతిబలం మరియు వికృతిల నిష్పత్తిని పదార్ధం యొక్క స్థితిస్థాపక గుణకం అంటారు.

ప్రశ్న 3.
యంగ్ గుణకం, ఆయత గుణకం, ధృడతా గుణకాలను నిర్వచించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
యంగ్ గుణకం (Y) :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలానికి, అనుదైర్ఘ్య వికృతికి మధ్య గల నిష్పత్తిని యంగ్ గుణకం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిబలంను నిర్వచించి, ప్రతిబలంలో రకాలను వివరించండి. [AP 19,19] [Imp.Q]
జవాబు:
ప్రతిబలం :
వస్తువులోపల ప్రమాణ వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

1. అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం (లేదా) వ్యాపన ప్రతిబలం :
వస్తువు పొడవులో మార్పు కలగజేసే అభిలంబ ప్రతిబలాన్ని అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం లేక తన్యజ ప్రతిబలం అని అంటారు.

2. స్థూల ప్రతిబలం (లేదా) ఘనపరిమాణ ప్రతిబలం :
ఒక వస్తువు యొక్క ఘన పరిమాణంలో మార్పు కలిగించే అభిలంబ ప్రతిబలాన్ని ఘనపరిమాణ ప్రతిబలం (లేదా) స్థూల ప్రతిబలం అంటారు.

3. విమోటన ప్రతిబలం లేదా విరూపణ ప్రతిబలం :
తలానికి సమాంతరంగా బలాలను ప్రయోగించడం వల్ల ప్రతిబలం తలానికి స్పర్శీయంగా ఉంటే ఆ ప్రతిబలాన్ని విమోటన లేదా విరూపణ ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 5.
వికృతి నిర్వచించి, వికృతిలో రకాలను వివరించండి. [AP 22][Imp.Q][TS 16]
జవాబు:
వికృతి :
వస్తువు యొక్క మితులలో వచ్చిన మార్పుకు వస్తువు తొలి మితులకు గల నిష్పత్తినే వికృతి అంటారు.

1. అనుదైర్ఘ్య వికృతి :
వస్తువుపై బాహ్యబలం పనిచేసినపుడు, పొడవులో మార్పునకు తొలిపొడవుకు గల నిష్పత్తిని అనుదైర్ఘ్య వికృతి అంటారు.

2. ఘనపరిమాణ వికృతి (లేదా) స్థూల వికృతి :
వస్తువుపై బాహ్యబలం పనిచేసినపుడు ఘనపరిమాణంలో మార్పుకు, తొలి ఘనపరిమాణానికి గల నిష్పత్తిని ఘనపరిమాణ వికృతి లేదా స్థూల వికృతి అంటారు.

3. విమోటన వికృతి :
వస్తువుపై సమాంతర బలం కలిగించడం వలన వస్తువు యొక్క స్థిర ఉపరితలానికి లంబంగా ఉన్న తలం తొలి మరియు తుది స్థానాల మధ్య కోణాన్ని విమోటన వికృతి అంటారు.

ప్రశ్న 6.
వికృతిశక్తి అనగానేమి? వికృతి శక్తికి సమీకరణం రాబట్టండి. [TS 18,19][IPE ‘14,14][Imp.Q]
జవాబు:
వికృతి శక్తి :
వస్తువు విరూపణ వల్ల దానిలో నిలువ ఉండే స్థితిజశక్తిని వికృతి శక్తి అంటారు.

వికృతి శక్తికి సమీకరణం :
L పొడవు గల ఒక సన్నని ఏకరీతి తీగపై F బాహ్యాబలం ప్రయోగించినప్పుడు తీగలో సాగుదల ‘e’ అనుకొనుము.

తీగపై ప్రయోగిస్తున్న బలం పరిమాణాన్ని ఏకరీతిగా సున్న నుండి F వరకు పెంచామనుకుందాం.

∴ తీగలో ప్రమాణ ఘనపరిమాణంకు వికృతిశక్తి = 1/2 ప్రతిబలం × వికృతి

ప్రశ్న 7.
భారీ పని యంత్రాలలోనూ, నిర్మాణరంగ రూపకల్పనలోనూ రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియంలతో పోల్చితే ఉక్కును ఎందుకు వాడతారు?
జవాబు:
రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియం కంటె స్టీలుకు యంగ్ గుణకం విలువ ఎక్కువ. అనగా మిగిలిన వాని కన్న స్టీలు (ఉక్కు) కు స్థితిస్థాపకత ఎక్కువగా ఉండును. అందువలన బలమైన విరూపణ బలమును ప్రయోగించినప్పటికి, స్టీలుతో చేసిన వస్తువుల ఆకారము గాని, పొడవు గాని పెద్దగా మారవు. అందువలన భారీపని యంత్రములందు,కట్టడాల నిర్మాణముల యందు స్టీలును ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 8.
క్రమంగా భారం పెంచుతూ పోయినప్పుడు తీగ ప్రవర్తన ఏవిధంగా ఉంటుందో విశదీకరించండి. [AP 15,16,17,18,20] [TS 15,16,17,18,20,22] [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక లోహపు తీగను ధృఢమైన ఆధారం నుంచి వ్రేలాడదీసి, తీగ రెండవ చివర కొంత భారాన్ని వ్రేలాడదీయాలి. లోహపు తీగ ప్రవర్తన అధ్యయనం చేయడానికి ప్రతిబలాన్ని y-అక్షంపై మరియు వికృతిని X-అక్షంపై తీసుకుని పటంలో చూపిన విధంగా ఒక గ్రాఫు గీయాలి.

1) అనుపాత అవధి(A) :
గ్రాఫులో A వరకు ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటూ, తీగ హుక్ సూత్రాన్ని పాటిస్తుంది.
A బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

2) స్థితిస్థాపక అవధి(B) :
ప్రతిబలాన్ని ఇంకా పెంచితే తీగ హుక్ నియమాన్ని పాటించదు. కాని తీగ స్థితిస్థాపక అవధిలో ఉంటుంది. గ్రాఫులో B బిందువును స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.

3) ఈగే స్థానం(C) :
B బిందువు తరువాత ఈగేస్థానం మొదలవుతుంది. భారం పెంచకుండానే తీగలో వికృతి వేగంగా పెరిగితే దానిని ఈగే స్థానం అంటారు.

4) శాశ్వత స్థితి (OO’):
స్థితిస్థాపక అవధి తరువాత తీగలో శాశ్వతమైన విరూపణ ఏర్పడితే దానిని శాశ్వత స్థితి అంటారు. గ్రాఫులో 00’ను శాశ్వతస్థితి అంటారు.

5) విచ్చేదన బిందువు(E) :
C బిందువు తరువాత తీగపై ప్రతిబలం మరింత పెంచితే తీగ మందం క్రమంగా తగ్గిపోతూ ఉంటుంది మరియు గ్రాఫులో E బిందువు వద్ద తెగిపోతుంది. ఈ బిందువు E ను విచ్చేదన బిందువు అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఏనుగు దంతముతోను, బంకమన్నుతోను చేసిన రెండు సర్వసమానమైన బంతులను ఒకే ఎత్తునుండి నేల మీదకు జార విడిచిరి. నేలకు తగిలిన తరువాత ఏ బంతి ఎక్కువ ఎత్తునకు లేచును? ఎందువలన?
జవాబు:
ఏనుగు దంతముతో చేసిన బంతి ఎక్కువ ఎత్తునకు లేచును. ఎందు వలన అనగా ఏనుగు దంతముతో చేసిన బంతికి ఎక్కువ స్థితి స్థాపకత కలదు. అందువలన అది నేలకు తగిలినపుడు దాని ఆకారములో కొద్దిగా మార్పు వచ్చినప్పటికీ, స్థితి స్థాపకత వలన తన సహజ ఆకారమును పొంది, మరల పైకి లేచును.

కాని బంకమన్ను దాదాపు పరిపూర్ణ ప్లాస్టిక్ వస్తువు దానితో చేసిన బంతి నేలకు తగిలినపుడు, దాని ఆకారము మారి, దాదాపు అదే స్థితిలో ఉండిపోవును. అందువలన అది ఎక్కువ ఎత్తు లేవలేదు.

ప్రశ్న 10.
భవంతులను, వంతెనలను నిర్మించునపుడు గుండ్రని చివరలు గల స్తంభములు కంటె పరిచినట్లుండే చివరలు గల (distributed ends) స్తంభములను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు?
జవాబు:
భారం వితరణ చెందని స్తంభాల కంటే వితరిత స్తంభాలు ఎక్కువ బరువును మోయగలవు. అందువలన భవనములు మరియు వంతెనల వంటి నిర్మాణములలో వితరిత స్తంభములను ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 11.
భూమిపై ఒక పర్వతాల గరిష్ట ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ మాత్రమే ఎందుకు ఉంటుందో వివరించండి.
జవాబు:
పర్వతము అడుగు భాగమున గల రాళ్ళపై మిగిలిన పర్వతములోని రాళ్ళు మరియు ఇతర పదార్థములు నిట్టనిలువుగా క్రింది దిశలో సంపీడ్య బలములనే కాక విరూపణ బలములను కూడ ప్రయోగించును. ఈ విరూపణ బలముల వలన కలుగు విరూపణ ప్రతిబలం ఒక సందిగ్ధ విలువ కంటే ఎక్కువయినపుడు పర్వతము అడుగుభాగమున గల రాళ్ళు ఒక ద్రవము వలె ప్రవహించును. ఆ సందిగ్ధ విరూపణ ప్రతిబలమును ఈ క్రింది విధముగా కనుగొనవచ్చును. పర్వతము పెరగ గల గరిష్ట ఎత్తు h_max అనుకొనుము పర్వతములోని రాళ్ళ సగటు సాంద్రత ‘ρ’ అనుకొనుము పర్వతము మొత్తము మీద సగటు గురుత్వత్వరణం g అయితే అడుగు భాగమున గల రాళ్ళపై ఏర్పడు విరూపణ ప్రతిబలం h_max ρg కు సమానగమును

పర్వతపు మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యము ‘a’ అయిన పర్వతపు అడుగుభాగాన ప్రతిబలం h = \(\frac{\mathrm{h}_{\max } \mathrm{a} \rho \mathrm{g}}{\mathrm{a}}\) = h_max ρg ఒక రాయి సగటు స్థితిస్థాపక అవధి = 3 × 10⁸Nm^-2 అనగా రాయిపై పనిచేయు విరూపణ ప్రతిబలం (h_maxρg) 3 × 10⁸Nm^-2 కంటె తక్కువగా ఉన్నపుడు మాత్రమే రాయి గట్టిగా ఉండును లేనిచో ద్రవము వలె ప్రవహించును. ఒక రాయి సగటు సాంద్రత ρ = 3 × 10³kgm^-3, g = 10మీ/సె² అనుకుంటే
∴ h_maxρg < 3 × 10⁸ (or) h_max = 10km
అనగా భూమిపై పర్వతముల గరిష్ట ఎత్తు 10 కి.మీ కంటే తక్కువగా ఉండును.

ప్రశ్న 12.
సాగదీసిన తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి భావనను వివరించి దానికి సమాసాన్ని రాబట్టండి. [AP 15,17,18]
జవాబు:
ఒక తీగ పొడవులో మార్పును కలుగచేసినపుడు, అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలం ఏర్పడి, తీగలోని పరమాణువుల మధ్యగల ఆకర్షణ బలములకు వ్యతిరేకముగా పని జరుగును. ఈ పని తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిశక్తిగా నిల్వ ఉండును.

సమీకరణమును రాబట్టుట :
ఒక ధృడ ఆధారము నుండి L పొడవు A సమ మద్యచ్ఛేద వైశాల్యము గల ఒక తీగను వ్రేలాడ తీసితిమి అని అనుకొనుము.

స్వేచ్ఛగా ఉన్న తీగ రెండవ చివర ‘F’ అను బలము ప్రయోగించి తీగలో ‘de’ అను స్వల్ప సాగుదలను కలుగుజేయుటకు చేసిన పని, dw = F de అగును.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలోని హుక్ నియమాన్ని నిర్వచించి, తీగ పదార్థపు యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కొనే ప్రయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హుక్ స్థితిస్థాపక నియమం :
స్థితిస్థాపక అవధి లోపల, ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.
అనగా ప్రతిబలం ∝ వికృతి
లేక ప్రతిబలం = E × వికృతి
‘E’ ఒక అనుపాత స్థిరాంకం. దీనిని స్థితిస్థాపక గుణకం అని అంటారు.

పరికరముల అమరిక మరియు వర్ణన:

ఏ పదార్థమునకు యంగ్ గుణకము కనుగొన వలయునో ఆ పదార్థముతో చేసిన రెండు తిన్నని పొడవైన తీగలు A మరియు B . వాని పొడవులు మరియు వ్యాసార్థములు సమానము. వానిని ఒక ధృడ ఆధారము నుండి ప్రక్క ప్రక్కన వ్రేలాడదీయుదురు.

తీగ Aను నిర్దేశ తీగ అని అంటారు. దీనికి ఆనుకొని మిల్లిమీటర్లలో రీడింగులు ఉన్న M అను ఒక ప్రధాన స్కేలు ఉండును. మరియు తీగ రెండవ చివర బరువులు వేయుటకు వీలుగా ఒక పళ్ళెము ఉండును.

B ను ప్రయోగ తీగ అని అంటారు. దీని చివర కూడ బరువులు వేయుటకు వీలుగా ఒక పళ్ళెము ఉండును. పటములో చూపినట్లుగా ఈ తీగ చివర ఒక వెర్నియర్ అమరిక ఉండును. ప్రధానస్కేలు M, మరియు ఈ వెర్నియర్ V అమరిక సహాయముతో B తీగలో కలుగు సాగుదలను కనుగొనవచ్చును.

ప్రయోగ పద్ధతి :
B తీగ పొడవు (L) ను ఒక మీటరు స్కేలుతోను, వ్యాసార్థము (r) ను ఒక స్క్రూగేజి సహాయముతో కనుగొనవలయును. A, B తీగలు తిన్నగా ఉండుటకు కావలసిన బరువులు పళ్ళెములలో వేసి వెర్నియర్ రీడింగ్ను తీసుకొనవలయును.

ఇపుడు B తీగకు తగిలించిన పళ్ళెములో క్రమక్రమముగా బరువులు పెంచుచూ ప్రతిసారి వెర్నియర్ రీడింగ్లను తీసుకొనవలయును.

రెండు వెర్నియర్ రీడింగ్ల మధ్యతేడా తీగలోని సాగుదల (∆L) ను ఇచ్చును. ఆ సాగుదలను కలుగ చేసిన ద్రవ్యరాశి M అయితే తీగ యంగ్ గుణకము (Y) ను ఈ క్రింది సూత్రము ద్వారా కనుగొనవచ్చును.
Y = \(\frac{\mathrm{gL}}{\pi \mathrm{r}^2} \times \frac{\mathrm{M}}{\Delta \mathrm{L}}\)

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
1 మి.మీ వ్యాసము గల రాగి తీగను 10N బలమును ప్రయోగించి సాగదీసిరి. తీగలోని ప్రతిబలం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 2.
20 సెం.మీ పొడవు గల టంగ్స్టన్ తీగను 0.1 సెం.మీ సాగతీసిరి తీగలోని వికృతి ఎంత?
సాధన:
సూత్రం : తీగలోని వికృతి = e/L;
ఇక్కడ L = 20cm, e = 0.1cm
∴ వికృతి = \(\frac{e}{L}=\frac{0.1}{20}\) = 0.005

ప్రశ్న 3.
ఒక ఇనుప తీగను 1% సాగదీసిన దానిలోని వికృతి ఎంత?
సాధన:
తీగ తొలి పొడవు = L అనుకొనుము

ప్రశ్న 4.
ఒక ఇత్తడి తీగ వ్యాసము 1 మి.మీ మరియు పొడవు 2 మీ దానిపై 20N బలమును ప్రయోగించినపుడు దాని పొడవులోని పెరుగుదల 0.51 మి.మీ అయిన i) ప్రతిబలము ii) వికృతి iii)యంగ్ గుణకమును కనుగొనుము.
సాధన:
ఇక్కడ వ్యాసము d = 1 mm ⇒ వ్యాసార్థం r = 0.5mm = 5 × 10^-4m;
పొడవు L = 2 m; బలం F = 20N; సాగుదల ∆L = 0.51 mm = 51 × 10^-5 m.

ప్రశ్న 5.
ఒక రాగి తీగ, ఒక అల్యూమినియం తీగ పొడవుల నిష్పత్తి 3:2, వ్యాసముల నిష్పత్తి 2:3, వాని పై ప్రయోగించిన బలము నిష్పత్తి 4:5 అయిన వాని పొడవుల లోని పెరుగుదలల నిష్పత్తి ఎంత (Y_cu = 1.1 × 10¹¹ Nm^-2, Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2).
సాధన:

ప్రశ్న 6.
2mm² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఇత్తడి తీగ ఒక కొనను దృఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు 100 cm3 ఘనపరిమాణం ఉన్న వస్తువును కట్టారు. వస్తువును నీటిలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు తీగ పొడవు 0.11 mm తగ్గింది. తీగ సహజ పొడవును కనుక్కోండి. (Y_{ఇత్తడి} = 0.91 × 10¹¹ Nm^-2, ρ_నీరు = 10³ kg m^-3).
సాధన:
దత్తాంశం నుండి A = 2 mm² = 2 × 10^-6m²; V = 100 cm³ = 10^-4 m³,
∆L = 0.11 mm = 11 × 10^-5m; Y_b = 0.91 × 10¹¹Nm^-2; ρ_w = 10³ kg m^-3

ప్రశ్న 7.
ఒకే పదార్థముతో చేసిన రెండు తీగల వ్యాసార్థముల నిష్పత్తి 1 : 2 పొడవుల నిష్పత్తి 1 : 2 వానిలోని సాగుదల సమానమైన వానిపై ప్రయోగించిన బలముల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 8.
వేర్వేరు పదార్థములతో చేసిన రెండు తీగల పొడవులు, మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యములు సమానం. వానిపై ప్రయోగించిన బలములు సమానమైన వానిలోని సాగుదల నిష్పత్తి ఎంత? (Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2, Y₂ = 3.6 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
ఇక్కడ, L₁ = L₂ = L; A₁ = A₂ = A; F₁ = F₂ = F; Y₁ = 0.90 × 10¹¹ Nm^-2; Y₂ = 3.6 × 10¹¹ Nm^-2

ప్రశ్న 9.
ఒక లోహపు తీగ పొడవు 2.5 మీ, మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 1.5×10- 6m 2 యంగ్ గుణకం 1.25 × 10^-6m² యంగ్ గుణకం 1.25 × 10¹¹m²
దానిని 2 మి.మీ సాగదీసిన తీగలోని తన్యత ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ పొడవు L = 2.5m; మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A = 1.5 × 10^-6m²;
సాగుదల ∆L = 2 × 10^-3m; యంగ్ గుణకం Y = 1.25 × 10¹¹ Nm^-2

ప్రశ్న 10.
ఒకే పొడవు, ఒకే మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యము గల ఒక అల్యూమినియం తీగ, ఒక ఉక్కుతీగ ఉన్నవి. ఒక తీగ చివర, ఇంకొక తీగ ఉండి ఒక పొడవైన తీగగా చేసి ఒక ధృడ ఆధారము నుండి దానిని వ్రేలాడదీసి, స్వేచ్ఛగా ఉన్న రెండవ చివర కొంత బరువును వ్రేలాడ దీసిరి. మొత్తము తీగలోని సాగుదల 1.35 మి.మీ అయిన (i) తీగలోని ప్రతిబలముల నిష్పత్తి ఎంత? (ii) తీగలలోని వికృతుల నిష్పత్తి ఎంత? (Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2; Y_stcel = 2 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
ఇక్కడ L₁ = L₂ = L; A₁ = A₂ = A; F₁ = F₂ = F; Y₁ = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2; Y₂ = 2 × 10¹¹ Nm^-2

ప్రశ్న 11.
2 సెం.మీ భుజముగా గల ఒక ఘనము ఉపరితలముపై 0.3N స్పర్శీయ బలమును ప్రయోగించినపుడు, అడుగు తలము స్థిరముగా ఉండి పై ఉపరితలము 0.15 సెం. మీ స్థాన భ్రంశము చెందినది. అయిన ఆ ఘనమును తయారు చేసిన పదార్థ ధృడతా గుణకం ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ బలం F = 0.3N; స్థానభ్రంశం ∆L = 0.15cm = 0.15 × 10^-2m; పొడవు L = 2cm = 2 × 10^-2m;

ప్రశ్న 12.
ఒక గోళాకార బంతి ఘన పరిమాణం 1000సెం. మీ³ దాని పై 10 అట్మాస్పియర్ల పీడనమును ప్రయోగించినపుడు దాని ఘనపరిమాణంలోని మార్పు 10^-2 cm³. బంతి ఇనుముతో చేసిరి. అయిన దాని స్థూల గుణకం ఎంత?
(1 అట్మాస్పియర్ = 1 × 10⁵Nm^-2) .
సాధన:
ఇక్కడ ఘనపరిమాణం V = 1000 cm³ = 10^-3 m³; పీడనం P = 10atm = 10 × 10⁵Nm^-2 = 10⁶ Nm^-2;
ఘనపరిమాణంలోని మార్పు ∆V = 10^-2cm³ = 10^-8m³.

ప్రశ్న 13.
ఒక రాగి ఘనము యొక్క భుజము 1 సెం.మీ దాని పై 100 అట్మాస్పియర్ల పీడనము ప్రయోగించినపుడు దాని ఘనపరిమాణం లోని మార్పు ఎంత? రాగి స్థూల గుణకం 1.4 × 10¹¹ Nm^-2.
సాధన:
ఘనము యొక్క భుజము L = 1 సెం.మీ = 1 × 10^-2మీ ⇒ ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం V = L³ = 10^-6మీ³ ; పీడనం P = 100atm = 100 × 10⁵ Nm^-2; స్థూల గుణకం K = 1.4 × 10¹¹ Nm^-2

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన నీటి ఘనపరిమాణంను 2% తగ్గించుటకు కావలసిన పీడనం ఎంత?
నీటి స్థూల గుణకం = 2.2 × 10⁹ Nm^-2
సాధన:
తొలి ఘనపరిమాణం V = 100 అనుకొనుము
ఘనపరిమాణం మార్పు ∆V = 2

ప్రశ్న 15.
20 సెం.మీ పొడవు గల ఉక్కు తీగ పొడవు 0.2 సెం.మీ పెరుగునట్లు సాగదీసిరి. తీగ పాయిజాన్ నిష్పత్తి 0.19 అయిన తీగ పార్శ్వీయ వికృతి ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ తీగ పొడవు L = 20cm = 2 × 10^-1m; పొడవులోని సాగుదల ∆L = 0.2cm = 2 × 10^-3m. σ = 0.19

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
విశ్వ గురుత్వస్థిరాంకం ప్రమాణాలను, మితులను తెలపండి? [Imp.Q]
జవాబు:
విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం యొక్క S.I. ప్రమాణం : N m²kg^-2
మితిఫార్ములా : M^-1L³T^-2

ప్రశ్న 2.
న్యూటను విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమమును సదిశా రూపములో వ్రాయండి. [Imp.Q]
జవాబు:
న్యూటను విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమమును సదిశా రూపములో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.

\(\overrightarrow{F}\) = m₂ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు m, ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు పై ప్రయోగించిన బలం.
r = m₁,m₂ ద్రవ్యరాశుల మధ్యగల దూరం \(\hat{r}\) = m₂, m₁ వస్తు కేంద్రములను కలుపుచూ గీయు సరళరేఖ దిశలో యూనిట్ సదిశ. దీని దిశ m₂ నుండి m₁ వైపునకు ఉండును.
m₁పై m₂ ప్రయోగించు బలం \(\overrightarrow{F}\) దిశకు \(\hat{r}\) దిశ వ్యతిరేకం కనుక ఋణసంజ్ఞను ఉపయోగించవలయును.

ప్రశ్న 3.
చంద్రునిపై భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం F అయితే, భూమిపై చంద్రుని గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత? ఈ బలాలు చర్య-ప్రతిచర్య జంటను ఏర్పరుస్తాయా?
జవాబు:
భూమి పై చంద్రుని గురుత్వాకర్షణ బలం కూడా F కు సమానం. ఈ రెండు బలములు చర్య – ప్రతిచర్య అగును.

ప్రశ్న 4.
భూమి ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచుతూనే, భూమి వ్యాసార్థం 2% తగ్గిస్తే, దాని ఉపరితలం వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ (g) లో వచ్చే మార్పు ఎంత ఉంటుంది?
జవాబు:
వ్యాసార్థములోని తగ్గుదల శాతం \(\frac{dR}{R}\) =-2% భూ ఉపరితలము పై g = \(\frac{GM}{R^2}\)
ఇరువైపుల సంవర్గమానములు తీసుకొనగా log g = log GM R^-2 = log GM + logR^-2 = logGM – 2log R
ఇరువైపుల అవకలనము చేయగా \(\frac{dg}{g}=\frac{-2dR}{R}\) = -2 × (−2%) = 4%
∴ కావున భూ ఉపరితలము పై g విలువ 4% పెరుగును.

ప్రశ్న 5.
మనం ఒక గ్రహం నుంచి మరొక గ్రహానికి మారుతూ ఉంటే వస్తువు (a) ద్రవ్యరాశి (b) భారం ఎలా మారుతుంటాయి? [Imp.Q]
జవాబు:
a) మన శరీర ద్రవ్యరాశి మారదు.
b) g విలువలో మార్పు వలన ఒక్కొక్క గ్రహానికి వస్తువు యొక్క భారం మారుతుంది.
మరియు g = \(\frac{GM}{R^2}\) ⇒ w = m\(\frac{GM}{R^2}\) ⇒ w \(\frac{M}{R^2}\)
కావున వస్తువు భారం, గ్రహము ద్రవ్యరాశికి అనులోమానుపాతంలోను, గ్రహము వ్యాసార్థము యొక్క వర్గమునకు విలోమానుపాతములో ఉండును. అందువలన గ్రహము నుండి గ్రహమునకు వస్తు భారము మారుచుండును.

ప్రశ్న 6.
ఒక లఘులోలకం పొడవును స్థిరంగా ఉంచినప్పుడు, అన్ని గ్రహాల మీద దాని డోలనావర్తన కాలం సమానంగా ఉంటుందా? కారణంతో సహా మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు:
లఘులోలకం ఆవర్తనకాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) ;పొడవు ‘l’ ను స్థిరంగా ఉంచితే T ∝ \(\frac{l}{\sqrt{g}}\)
వేరు వేరు గ్రహాలపై g విలువ వేరువేరుగా ఉంటుంది. కాబట్టి లోలక ఆవర్తన కాలం మారుతుంది.

ప్రశ్న 7.
భూఉపరితలం నుండి ‘d’ లోతు ఉన్న బిందువు వద్ద గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి. భూకేంద్రం వద్ద g విలువ ఎంత?
జవాబు:
భూ ఉపరితలంపై గురుత్వ త్వరణం విలువ g మరియు భూమి వ్యాసార్థం R అయితే భూ ఉపరితలం నుండి ‘d’
లోతు వద్ద గురుత్వత్వరణం g_d = g(1 – \(\frac{d}{R}\))
భూమి కేంద్రం వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ సున్న.

ప్రశ్న 8.
g విలువ భూమధ్య రేఖ వద్ద కనిష్టంగా, ధ్రువాల వద్ద గరిష్టంగా ఉండే విధంగా చేసే అంశాలేమిటో తెలపండి.
జవాబు:
1. భూమి ఆకారం :
భూమి సంపూర్ణ గోళాకృతిలో లేదు. భూమధ్యరేఖ వద్ద ఉబ్బెత్తుగా, ధ్రువాల వద్ద నొక్కుకు పోయినట్లుగా ఉండును. దీని వలన భూమధ్యరేఖ వద్ద భూవ్యాసార్థం ఎక్కువగాను, ధ్రువాల వద్ద తక్కువగా ఉండును.
g = \(\frac{GM}{R^2}\) “కనుక భూమధ్యరేఖ వద్ద g విలువ కనిష్టముగాను, ధ్రువాల వద్ద గరిష్టముగాను ఉండును.

2. భూభ్రమణం :
భూభ్రమణం వలన అక్షాంశము 9 గల ప్రదేశము వద్ద గురుత్వత్వరణం g_θ = g – Rω² cos² θ
భూమధ్యరేఖ వద్ద θ = 0 అందువలన g_θ = g – Rω²
ధ్రువాల వద్ద θ = 90° అందువలన g_θ = g – 0 = g
అనగా భూభ్రమణం వలన భూమధ్యరేఖ వద్ద g విలువ తగ్గును. ధ్రువాల వద్ద తగ్గదు.

ప్రశ్న 9.
“హైడ్రోజన్ సూర్యుని చుట్టూ పుష్కలంగా ఉంది. కాని భూమి చుట్టూ అంత పుష్కలంగా లేదు”. వివరించండి.
జవాబు:
సూర్యునిపై పలాయన వేగం భూమిపైన పలాయన వేగం కంటే చాలా ఎక్కువ. అందువలన హైడ్రోజన్ సూర్యుని ఆవరణ నుండి పలాయనం చెందదు.

ప్రశ్న 10.
ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం పరిభ్రమణావర్తన కాలం ఎంత? అది పశ్చిమం నుంచి తూర్పుకి లేదా తూర్పు నుంచి పశ్చిమానికి తిరుగుతుందా?
జవాబు:
కక్ష్యావర్తన కాలం 24 గంటలు. ఇది పడమర నుండి తూర్పునకు తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 11.
ధ్రువీయ ఉపగ్రహాలు అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
భూమి ఉపరితలము నుండి తక్కువ ఎత్తులలో (సుమారుగా 500 నుండి 800km ఎత్తు) భూమి ఉత్తర, దక్షిణ ధ్రువముల మీదుగా ప్రయాణించు ఉపగ్రహములను ధ్రువీయఉపగ్రహాలు అని అంటారు. దీని కక్ష్యావర్తన కాలం సుమారుగా 100 నిమిషాలు. ఇవి భూమికి దగ్గరగా తిరుగుట వలన భూమిపై ప్రదేశములను చాలా స్పష్టముగా చిత్రీకరించును.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
కెప్లర్ గ్రహ గమన నియమములను వ్రాయండి.? [TS 17, 20] [Imp.Q]
జవాబు:
కెప్లర్ గ్రహ నియమములు మూడు. అవి

1. కక్ష్యా నియమం :
సూర్యుని ఒక నాభిగా చేసుకొని సూర్యుని చుట్టూ వేర్వేరు గ్రహములు వేర్వేరు దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలలో పరిభ్రమించు చుండును.

2. విస్తీర్ణ నియమం :
సూర్యుడుని, గ్రహాన్ని కలిపే సదిశ త్రిజ్య (లేక సరళ రేఖ) సమాన కాల వ్యవధులలో సమాన విస్తీర్ణములను (వైశాల్యములను ) విరజిమ్మును.

3. పరిభ్రమణ కాల నియమం :
సూర్యుని చుట్టూ తిరిగే ఒక గ్రహము పరిభ్రమణ కాల వర్గము(T²), ఆ గ్రహము సూర్యుని చుట్టూ తిరిగే దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్య అర్థ గురు అక్ష ఘనమునకు (a³) అనులోమాను పాతంలో ఉండును.

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రహం ఉపరితలంపై గురుత్వ త్వరణం విలువ (g), విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం (G) ల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి. [AP 19][Imp.Q]
జవాబు:
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం గల ఒక గ్రహంపై ఉందనుకుందాం. న్యూటన్ రెండవ గమన నియమం ప్రకారం వస్తువుపై పనిచేసేబలం F = mg ….(1)

ప్రశ్న 3.
సమాన విలువలు కలిగిన ఎత్తు ‘h’ మరియు లోతు ‘d’ లకు గురుత్వ త్వరణం విలువ ఏవిధంగా మారుతుంది? [Imp.Q]
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
కక్ష్యావేగం అంటే ఏమిటి? దాని సమీకరణం రాబట్టండి. [AP 17, 18] [IPE’ 10, 10, 14, 14]
జవాబు:
కక్ష్యావేగం :
ఒక ఉపగ్రహం, ఒక గ్రహం చుట్టూ ఒక నిర్ణీత కక్ష్యలో పరిభ్రమించుచున్నపుడు, దానికి ఉండే వేగాన్ని కక్ష్యావేగం (Vo) అని అంటారు.

కక్ష్యావేగమునకు సమీకరణం రాబట్టుట :
భూమి ద్రవ్యరాశి M మరియు భూమి వ్యాసార్థం R అనుకొనుము. భూమి ఉపరితలం నుండి ‘h’ ఎత్తు గల కక్ష్యలో m ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఉపగ్రహము Vo వేగంతో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించుచున్నదనుకొనుము. Vo ను కక్ష్యా వేగం అని అంటారు. ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ తిరుగుటకు కావలసిన అభికేంద్ర బలమును, భూమికి ఉపగ్రహమునకు మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలము సమకూర్చును.

ప్రశ్న 5.
పలాయన వేగం అంటే ఏమిటి? దాని సమీకరణం రాబట్టండి. [AP 15,16,17,18,19] [TS 16,17,19,22]
జవాబు:
పలాయన వేగం :
ఒక గ్రహం గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం నుంచి తప్పించుకుని పోవడానికి ఒక వస్తువునకు ఉండవలసిన కనీస వేగాన్ని ఆ గ్రహము మీద పలాయన వేగం అని అంటారు.

పలాయన వేగమునకు సమీకరణం రాబట్టుట:
భూమి ద్రవ్యరాశి M, భూమి వ్యాసార్థం R అనుకొనుము. భూమి ఉపరితులము పై ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువునకు ఉండు స్థితిశక్తి = \(\frac{-GMm}{R}\)
భూమిపై పలాయన వేగం V_e. అనుకొనుము. ఇపుడు ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును V_e వేగంతో పైకి విసిరితిమి అని అనుకొనుము. అపుడు వస్తువునకు గల గతి శక్తి = \(\frac{1}{2}\)mV_e²

∴ వస్తువు భూమి పై ఉన్నపుడు మొత్తం శక్తి = స్థితి శక్తి + గతి శక్తి ⇒ మొత్తం శక్తి = –\(\frac{GMm}{R}\) + \(\frac{1}{2}\)mV_e² ……. (1)
భూమిపై పలాయన వేగము అనగా భూమి గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం నుండి తప్పించుకుని పోవుటకు వస్తువునకు కావలసిన కనీస వేగం కనుక భూమి గురుత్వాకర్షణ పరిధిని దాటిన తరువాత ఆ వస్తువు వేగం శూన్యము అని అనుకొనుము. అనగా దాని గతి శక్తి సున్న. వస్తువుపై భూమి గురుత్వాకర్షణ లేదు. కనుక దాని స్థితిశక్తి కూడా సున్న. అనగా మొత్తం శక్తి సున్నా.
∴ శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, (1) నుండి

ప్రశ్న 6.
భూస్థావర ఉపగ్రహము అనగా ఏమి? దాని ఉపయోగాలను వ్రాయండి. [AP 22][AP, TS 15,16,18,20,22]
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహం :
ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం యొక్క కక్ష్యావర్తన కాలం భూమి భ్రమణావర్తన కాలానికి సమాన మైతే అలాంటి ఉపగ్రహాన్ని భూస్థావర ఉపగ్రహం అని అంటారు.

ఉపయోగాలు:

1. రేడియో, టెలివిజన్ కార్యక్రమములను ప్రసారం చేయడానికి.
2. వాతావరణంలో వచ్చే మార్పులను ముందే పసిగట్టడానికి.
3. సూర్యుని నుండి, బాహ్యవిశ్వము నుండి వచ్చుచున్న వికిరణములను పరిశీలించుట కొరకు
4. భూమి పై వాతావరణమును పరిశీలించుట కొరకు ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 7.
సరాసరి సముద్ర మట్టం నుండి రెండు ప్రదేశాలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయనుకొందాం. ఒకటి పర్వతం మీద ఉంది. మరొకటి గాలిలో ఉంది. ఎక్కడ g విలువ ఎక్కువగా ఉండును? మీ సమాధానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
పర్వతముపైన గల ప్రదేశము వద్ద g విలువ ఎక్కువగా ఉండును. కారణం g = \(\frac{GM}{(R+h)^2}\)
రెండు ప్రదేశములు ఒకే ఎత్తు (h) వద్ద ఉన్నవి కనుక g ∝ M
పర్వతము వద్ద ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృతమవుట వలన అక్కడ g విలువ అధికము.

ప్రశ్న 8.
ఒక వస్తువు భారం భూమధ్యరేఖ వద్ద కంటె ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒకే బరువుకు ఈ రెండు ప్రదేశాల్లో ఎక్కడ ఎక్కువ చక్కెర వస్తుంది? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు భారము W = mg
g విలువ భూమధ్యరేఖ వద్ద కంటే ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువ. అందువలన ఒక వస్తువు భారము ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువగా ఉండును. (ద్రవ్యరాశి స్థిరముగా ఉన్నది కనుక)

కాని భారం, W స్థిరముగా ఉన్నపుడు అనగా mg స్థిరముగా ఉన్నపుడు m ∝ \(\frac{1}{g}\)
ధ్రువాల వద్ద g విలువ ఎక్కువ కనుక m విలువ తక్కువగా ఉండును. భూమధ్యరేఖ వద్ద g విలువ తక్కువ కనుక m విలువ ఎక్కువగా ఉండును. కాబట్టి ఒకే భారమునకు భూమధ్యరేఖ వద్ద ఎక్కువ పంచదార వచ్చును.

ప్రశ్న 9.
భూమి చుట్టూ తిరుగుచున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహంలోని ఒక చీల వదులై దాని నుంచి వేరైతే అది భూమి వైపు క్రిందకు పడుతుందా? లేదా భూమి చుట్టూ తిరుగుతుందా? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
చీల(నట్) భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించుచుండును.

కారణం :
మొదట నట్ ఉపగ్రహములో ఉన్నది కనుక ఉపగ్రహమునకు ఉన్న కక్ష్యావేగముతో అది భూమి చుట్టూ తిరుగుచుండును. ఉపగ్రహం నుండి విడి పడిన తరువాత కూడ నట్ పై పనిచేయు బలములలో మార్పు ఉండదు. అందువలన చలన జడత్వముతో అది భూమి చుట్టూ తిరుగుచుండును.

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును 11.2 కి.మీ సె^-1 వేగంతో లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు అది తిరిగి భూమికి చేరుకోలేదు. కారణాలతో వివరించండి.
జవాబు:
భూమి పై ఏ వస్తువుకైనా పలాయన వేగం 11.2 కి. మీసె^-1 కావున ఏదైనా వస్తువును ఆ వేగంతో లేక అంతకన్న ఎక్కువ వేగంతో విసిరినపుడు అది భూమి గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటి వెళ్ళును కనుక మరల భూమిపై పడదు.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
గురుత్వ స్థితిజ శక్తిని నిర్వచించండి. m1, m2 ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు కణాలకు సంబంధించిన గురుత్వ స్థితిజశక్తికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
గురుత్వ స్థితిజ శక్తి :
గురుత్వాకర్షణ బలమునకు వ్యతిరేకంగా అనంత దూరము నుండి ఒక వస్తువును ఒక బిందువు వద్దకు తీసుకొని వచ్చుటకు చేసిన పనిని ఆ బిందువు వద్ద ఆ వస్తువునకు గల గురుత్వ స్థితిజ శక్తి అని అంటారు.

రెండు కణాల వ్యవస్థ యొక్క గురుత్వ స్థితిజ శక్తికి సమీకరణం :
m₁ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు యొక్క గురుత్వక్షేత్రములో దాని నుండి r దూరంలో గల బిందువు వద్దకు m₂ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును అనంత దూరము నుండి తీసుకొని వచ్చుటకు చేయవలసిన పనిని కనుక్కొందాము.

ప్రశ్న 2.
గురుత్వ త్వరణం (a) భూమి ఉపరితలంపైన (b) భూమి ఉపరితలం లోపల ఎలా మారుతుందో తెలిపే సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
(a) h ఎత్తులో గురుత్వత్వరణంలో (g)మార్పు :
భూమి ఉపరితలంపై ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును పరిగణిద్దాం.

భూమి లోపల భూమి ఉపరితలం నుండి ‘d’ లోతు వద్ద గల ఒక బిందువును ఊహించుము. భూమి కేంద్రము నుండి ఆ బిందువు దూరము (R-d) అగును. ‘O’ కేంద్రముగా (R-d) వ్యాసార్థముతో ఒక గోళమును ఊహించిన, ఆ గోళము లోని భూద్రవ్యరాశి మాత్రమే వస్తువును భూమి కేంద్రమువైపు ఆకర్షించును. ఆ ద్రవ్యరాశి m అనుకొనుము. ఆ లోతు వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ g_d అనుకుంటే

లోతుకు వెళ్ళుచున్న కొలది గురుత్వ త్వరణం మారు విధానమును పై సమీకరణం సూచించును.

ప్రశ్న 3.
న్యూటను విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని పేర్కొనండి. కావెండిష్ పద్ధతి ద్వారా విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం విలువను ఎలా కనుక్కోంటారో వివరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ విశ్వగురుత్వాకర్షణ నియమం :
విశ్వంలోని ప్రతికణం మరొక కణాన్ని ఆకర్షిస్తుంది. ఈ ఆకర్షణ బలం ఆ’ రెండు కణాల ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమానుపాతంలోను, వాటి మధ్య దూర వర్గానికి విలోమానుపాతంలోను ఉంటుంది. ఈ బలం ఆ రెండు కణాల్ని కలిపే సరళరేఖ వెంబడి పనిచేస్తుంది.
రెండు కణాల ద్రవ్యరాశులు m, m, వాటి మధ్య దూరం అయితే గురుత్వాకర్షణబలం పరిమాణం F = \(\frac{Gm_1m_2}{r^2}\)
ఇక్కడ G ఒక స్థిరాంకం, దీనిని విశ్వగురుత్వాకర్షణ స్థిరాంకం అంటారు.
దీని విలువ G = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2
G యొక్క S.I ప్రమాణం : N m²kg^-2

కావెన్హీష్ పద్ధతిలోG ను కనుగొనుట:

ఒక ధృడమైన ఆధారము నుండి AB అను ఒక కడ్డి ఒక తీగతో వ్రేలాడ దీయబడి ఉండును. ఈ కడ్డి చివర చిన్నవైన రెండు సీసపు గోళములు అతికించబడి ఉండును. పెద్దవైన రెండు సీసపు గోళములను ఈ రెండు చిన్నని సీసపు గోళముల వద్ద పటములో చూపినట్లు వ్యతిరేక దిశలో ఉంచినపుడు అవి చిన్న గోళములను సమానమైన ఆకర్షణ బలములను వ్యతిరేక దిశలో ప్రయోగించును. ఈ రెండు బలములు కలిసి బలయుగ్మముగా ఏర్పడి AB కడ్డీని భ్రమణము చెందించును. దీని వలన తీగ పురిపెట్టబడుతుంది. కాబట్టి తీగలో పునఃస్థాపక టార్క్ ఉద్భవిస్తుంది. పై రెండు టార్క్ విలువలు సమాన మైనపుడు తీగ నిశ్చల స్థితిని పొందుతుంది. తీగ θ కోణం చేసిన తరువాత నిశ్చల స్థితిని పొందినది అని అనుకొనుము. తీగను ప్రమాణ పురిపెట్టటానికి అవసరమైన బలయుగ్మ భ్రామకం τ అయితే పునఃస్థాపక టార్క్ = τθ పెద్ద సీసపు గోళం ద్రవ్యరాశి M చిన్న సీసపు గోళం ద్రవ్యరాశి m అనుకుందాం. పెద్ద సీసపు గోళకేంద్రానికి, దానికి దగ్గరగా యున్న చిన్న సీసపు గోళ కేంద్రానికి మధ్యదూరం d అయితే వాని మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలం,

θ ను ప్రయోగము ద్వారా తెలిసికొని G విలువను కనుగొనవచ్చు.
ప్రస్తుతము ఉపయోగించుచున్న G విలువ = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
భుజము పొడవు l గా ఉన్న ఒక చతురస్రం యొక్క ప్రతీ శీర్షం వద్ద ఒక్కో కణాన్ని ఉంచితే, ఆ నాలుగు కణాల వ్యవస్థ మొత్తం స్థితిజశక్తిని కనుక్కోండి. ఆ చతురస్ర కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్ను కూడా గణించండి.
సాధన:
భుజము పొడవు l గల చతురస్రము యొక్క ప్రతీ శీర్షం వద్ద m ద్రవ్యరాశి గల కణాలు కలవు.
పటము నుండి l దూరంలో నాలుగు ద్రవ్యరాశుల జతలు, √2l దూరంలో కర్ణాల పరంగా రెండు ద్రవ్యరాశుల

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది దత్తాంశముతో భూమి ద్రవ్యరాశి ని కనుక్కోండి.
g = 9.81 ms^-2, R_E = 6.37 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2
సాధన:

ప్రశ్న 3.
భూమి చుట్టూ 2R_E వ్యాసార్థము ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో 400 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి గల ఉపగ్రహము తిరుగుచున్నది. దానిని 4R_E వ్యాసార్థము గల వృత్తాకార కక్ష్యలోనికి పంపించుటకు కావలసిన శక్తి ఎంత? దాని స్థితిశక్తి, గతి శక్తులలో మార్పులు ఎంత?
సాధన:
భూ ఉపరితలము నుండి h ఎత్తులో భ్రమణము చేయుచున్న m ద్రవ్యరాశి గల ఉపగ్రహము మొత్తము శక్తి

ఎత్తునకు వెళ్ళుచున్న కొలది ఉపగ్రహము కక్ష్యావేగము తగ్గుచుండును. కావున గతిశక్తి తగ్గును. గతిశక్తిలోని తగ్గుదల -∆E, = −3.13 × 10⁹ J.
స్థితి శక్తి పెరుగును. స్థితిశక్తి లోని పెరుగుదల 2 × ∆E,= 6.26 × 10⁹ J.

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
1 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి గల రెండు గోళాకార బంతులు 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నవి. వాని మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ m₁ = m₂ = 1 కి.గ్రా, r = 1 సెం.మీ = 10^-2 మీ. Also, G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2

ప్రశ్న 2.
ఒక బంతి ద్రవ్యరాశి రెండవ బంతి ద్రవ్యరాశికి 4 రెట్లు . వీని మధ్య దూరం 10 సెం.మీ ఉన్నపుడు వీని మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలం 6.67 × 10^-7 N అయిన వాని ద్రవ్యరాశులను కనుక్కొండి.
సాధన:
ఇక్కడ m₁ = M అయితే m₂ = 4 M, r = 10 సెం.మీ = 10^-1 మీ, F = 6.67 × 10^-7 N, G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2

∴ ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 5 కి.గ్రా, రెండవ వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 4 × 5 = 20కి. గ్రా

ప్రశ్న 3.
1కి.గ్రా, 2 కి.గ్రా మరియు 3కి. గ్రా ద్రవ్యరాశులు గల మూడు బంతులు 1 మీటరు భుజముగా గల ఒక సమబాహు త్రిభుజ మూడు శీర్షముల వద్ద ఉన్నవి. 1కి.గ్రా బంతిపై 2కి.గ్రా, 3కి.గ్రా ద్రవ్యరాశులు కలుగజేయు గురుత్వాకర్షణ బలం పరిమాణం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 4.
భూ ఉపరితలం నుండి కొంత ఎత్తులో గురుత్వత్వరణం విలువ భూమి ఉపరితలము పై ఉండు విలువలో 4% ఉన్నది .అయితే ఆ ఎత్తు ఎంత.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
భూమి నుండి 1000 కి.మీ ఎత్తులో తిరుగుచున్న ఉపగ్రహం కక్ష్యా వేగం ఎంత?
సాధన:
ఇక్కడ h = 1000 కి.మీ, R = 6400 కి. మీ. Also, G = 6.67 × 10^-11 Nm²/kg², ME = 6 × 10²⁴kg

ప్రశ్న 6.
భూమి ఉపరితలం నుండి భూ వ్యాసార్థమునకు సమానమైన ఎత్తులో ఒక ఉపగ్రహం తిరుగుచున్నది. దాని i) కక్ష్యావేగమును ii) పరిభ్రమణ కాలమును కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇక్కడ h = R = 6.4 × 10⁶ మీ. Also, G = 6.67 × 10^-11 Nm²/kg²; M_E = 6 × 10²⁴ కి. గ్రా

ప్రశ్న 7.
రెండు వస్తువుల మధ్య ఉన్న దూరమును 4 మీ పెంచిన వాని మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలం 36% తగ్గును. అయిన వాని మధ్యగల తొలి దూరమును కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
1 కి.గ్రా మరియు 4 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశులు గల రెండు బంతుల మధ్య దూరం 12 సెం.మీ. 1కి.గ్రా బంతి నుండి ఎంత దూరములో గల బిందువు వద్ద ఏ వస్తువు నుంచినా దానిపై ఫలిత గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యమగును.
సాధన:
ఇక్కడ m₁ = 1 kg; m₂ = 4 kg రెండు బంతుల మధ్యదూరం d = 12 cm

ప్రశ్న 9.
ఒక్కొక్కటిm ద్రవ్యరాశి గల నాలుగు కణములను a భుజముగా గల ఒక చతురస్రము నాలుగు శీర్షముల వద్ద ఉంచిరి. ఏదైనా ఒక కణము పై మిగిలిన మూడు కణముల ఫలిత గురుత్వాకర్షణ బలమును కనుక్కోండి.
సాధన:
m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = m

ప్రశ్న 10.
m ద్రవ్యరాశి R వ్యాసార్థము గల మూడు సర్వసమాన గోళములను, ఒకటి మిగతా రెండింటిని తాకునట్లుగా ఉంచిరి. ఏదైనా ఒక గోళము పై మిగిలిన రెండు గోళముల ఫలిత గురుత్వాకర్షణబలం ఎంత?
సాధన:
m₁ = m₂ = m₃ = m రెండు గోళముల మధ్యదూరం, r = 2R

ప్రశ్న 11.
రెండు ఉపగ్రహములు భూమి ఉపరితలము నుండి వేర్వేరు ఎత్తులలో తిరుగుచున్నవి. వాని కక్ష్యావేగముల నిష్పత్తి 2 : 1. అందులో ఒకటి 100 కి.మీ ఎత్తులో ఉన్న రెండవ దాని ఎత్తు ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
భూమి చుట్టూ ఒక ఉపగ్రహం కొంత ఎత్తులో 8 కి.మీసె^-2 వేగంతో పరిభ్రమించుచున్నది. ఆ ఎత్తు వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ 8 ms^-2. భూమి వ్యాసార్థం 6000 కి.మీ అనుకుంటే ఆ ఉపగ్రహం భూమి ఉపరితలం నుండి ఎంత ఎత్తులో ఉన్నది?
సాధన:
ఇక్కడ కక్ష్యావేగం V₀ = 8 కి.మీ/సె = 8000మీ/సె, భూవ్యాసార్థం, R = 6000 కి.మీ = 6 × 10⁶ మీ, g_h = 8 మీ సె^-2.

ప్రశ్న 13.
(a) భూమి ఉపరితలముపై ఒక వస్తువునకు గల పలాయన వేగమును లెక్క కట్టండి. (b) భూమి చెక్కతో తయారై ఉన్నట్లయితే, దాని ద్రవ్యరాశి ప్రస్తుతము ఉన్న ద్రవ్యరాశిలో 10% ఉండేది. అపుడు భూ ఉపరితలముపై పలాయన వేగం ఎంత ఉండేది?
సాధన:
భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴ కి.గ్రా; g = 9.8మీ సె^-2 భూమి వ్యాసార్థం R = 6400 కి.మీ = 6.4 × 10⁶ మీ

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 8th Lesson డోలనాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 8th Lesson డోలనాలు

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
డోలనాత్మకం కాని ఆవర్తక చలనాలకు రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:

1. సూర్యుని చుట్టూ గ్రహాల భ్రమణము.
2. న్యూక్లియస్ చుట్టూ ఎలక్ట్రాన్ భ్రమణం.

ప్రశ్న 2.
సరళ హరాత్మక చలన స్థానభ్రంశాన్ని y=asin(20t+4) తో సూచించారు. కాలాన్ని 2T/O పెంచితే దాని స్థానభ్రంశం ఎంత? [Imp.Q]
జవాబు:
\(\frac{2 \pi}{\omega}\)అనునది ఆవర్తన కాలమునకు సమానము. ఆవర్తన కాలము గడిచిన పిమ్మట కణము అదే స్థానమునకు వచ్చును. కనుక స్థానభ్రంశము అంతే ఉండును.

ప్రశ్న 3.
ఒక బాలుడు ఊయలపై కూర్చుని డోలనాలు చేస్తున్నాడు. అతడు నిలబడితే పౌనఃపున్యం ఏ విధంగా మారుతుంది. [Imp.Q]
జవాబు:
బాలుడు నిలబడడం వలన లోలకం పొడవు తగ్గుతుంది. T ∝ √l కావున ఆవర్తనకాలం తగ్గుతుంది. పౌనఃపున్యం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
లఘు లోలకం గుండు నీటితో నిండిన ఒక బోలు గోళం. గోళం నుంచి నీరు కారిపోతుంటే దాని డోలనావర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది?
జవాబు:
గోళము పూర్తిగా నీటితో నిండి ఉన్నపుడు, లఘులోలకం ఆవర్తన కాలం T అనుకొనుము. లోలకం ఆవర్తన కాలం లోలకము యొక్క పొడవుపై ఆధారపడి ఉండును. నీరు గోళము నుండి బయటకు పోవుచున్న కొలది లోలకం యొక్క ఫలిత పొడవు పెరుగుచుండును. అందువలన ఆవర్తన కాలం కూడా పెరుగుచుండును. నీరు పూర్తిగా బయటకు పోయిన తర్వాత లోలకం యొక్క ఫలిత పొడవు తొలి విలువకు సమానమగును. అందువలన ఆవర్తన కాలం కూడా తొలి విలువకు సమానమగును.

ఆధార బిందువు నుండి గోళము ద్రవ్యరాశి కేంద్రము వరకు గల దూరమును లోలకం పొడవు అని అంటారు. గోళము నుండి నీరు బయటకు పోవుచున్నపుడు (నీరు + గోళము) వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము క్రిందకు జరుగుచుండును. అందువలన లఘులోలకం యొక్క ఫలిత పొడవు పెరుగుచుండును. నీరు అంతయు బయటకు పోయిన తరువాత ద్రవ్యరాశి కేంద్రము తొలి స్థానమునకు వచ్చును.

ప్రశ్న 5.
లఘులోలకానికి కట్టిన చెక్క గుండుకు బదులు దాన్ని పోలి ఉండే అల్యూమినియం గుండును ఉపయోగిస్తే దాని ఆవర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది?
జవాబు:
ఒక లఘులోలకం యొక్క ఆవర్తన కాలం గోళము యొక్క పదార్థముపై గాని, పరిమాణము పై గాని, ఆకారము పై గాని ఆధారపడి ఉండదు. కేవలం లోలకం పొడవుపై ఆధారపడి ఉండును. కావున చెక్క గోళమునకు బదులు అల్యూమినియం గోళమును ఉపయోగించినప్పటికి ఆవర్తన కాలములో మార్పురాదు.

ప్రశ్న 6.
లోలక గడియారాన్ని పర్వతంపైకి తీసుకొని వెళితే అది సమయాన్ని పొందుతుందా? కోల్పోతుందా? [Imp:Q]
జవాబు:
ఒక లఘులోలకం ఆవర్తన కాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\); లోలకం పొడవు స్థిరముగా ఉన్నపుడు, T ∝ \(\frac{l}{\sqrt{g}}\)

పర్వతము పైన g విలువ తక్కువగా ఉండును. (భూఉపరితలము పై పోల్చినపుడు). అందువలన ఆవర్తన కాలం (T) పెరుగును. అనగా ఒక కంపనము పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలము పెరుగును. అందువలన అది తక్కువ కంపనములు చేయును. కావున లోలకం సమయమును కోల్పోవును. అనగా లోలకం నిదానమగును.

ప్రశ్న 7.
ఒక లోలక గడియారం భూమధ్యరేఖ వద్ద సరియైన సమయమును సూచించుచున్నది. దానిని ధ్రువాల వద్దకు తీసుకొనిపోయిన అది సమయమును కోల్పోవునా లేక పొందునా? కారణమేమి? [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక లఘులోలకం ఆవర్తన కాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) లోలకం పొడవు స్థిరముగా ఉన్నపుడు, T ∝ \(\frac{l}{\sqrt{g}}\)

భూమధ్య రేఖ వద్ద కంటె ధ్రువాల వద్ద g విలువ అధికం. అందువలన లోలకమును భూమధ్యరేఖ వద్ద నుండి ధ్రువాల వద్దకు తీసుకొని పోయినపుడు దాని ఆవర్తనకాలం (T) తగ్గును. అనగా ఒక కంపనమును పూర్తి చేయుటకు పట్టు కాలము తగ్గును. కనుక అది ఎక్కువ డోలనములు చేయును. అందువలన అది ఎక్కువ సమయమును చూపును. అనగా గడియారం వేగం అయినది అని అంటారు.

ప్రశ్న 8.
స.హ.చ లోగల ఒక కణము స్థానభ్రంశము, దాని కంపన పరిమితిలో సగము ఉన్నపుడు, మొత్తము శక్తిలో గతిశక్తి ఎంత భాగం?
జవాబు:
కంపన పరిమితి A, కోణీయ వేగం ω, స్థానభ్రంశముy అయిన స.హ.చ. లో గల కణం రేఖీయ వేగం,

ప్రశ్న 9.
సరళ హరాత్మక డోలకం కంపన పరిమితిని రెట్టింపు చేస్తే దాని శక్తి ఏవిధంగా మారుతుంది? [Imp.Q]
జవాబు:
కంపన పరిమితి A, కోణీయ వేగం ω, ద్రవ్యరాశి m అయిన స.హ.చ. లో గల కణం మొత్తం శక్తి T.E = \(\frac{1}{2}\)mω²A² కావున కంపన పరిమితి A ని రెట్టింపు చేసిన మొత్తం శక్తి నాలుగు రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కృత్రిమ ఉపగ్రహంలో లఘులోలకాన్ని ఉపయోగించవచ్చా?
జవాబు:
కృత్రిమ ఉపగ్రహములో ఫలిత త్వరణం g = 0 లఘు లోలకం ఆవర్తన కాలం T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\), కనుక T = అనంతం అగును. అనగా లఘు లోలకం కంపించదు. కాబట్టి ఒక లఘు లోలకమును కృత్రిమ ఉపగ్రహములో ఉపయోగించలేము.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సరళ హరాత్మక చలనమును నిర్వచించండి. ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం :
ఒక ఆవర్తన చలనంలో, త్వరణం ఎప్పుడూ స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటూ; త్వరణం దిశ, స్థానభ్రంశ దిశకు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటూ, త్వరణం దిశ ఎల్లప్పుడూ ఒక స్థిర బిందువు వైపుకు పనిచేస్తూ ఉండే చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు.

సరళ హర్మాతక చలనంలో ఉన్న ఒక వస్తువు త్వరణం a అని, మధ్య బిందువు నుంచి దాని స్థానభ్రంశం x అని అనుకుంటే a∝ -x

⇒ a = -kx,( k అనుపాత స్థిరాంకము)

ఇక్కడ ఋణ గుర్తు, స్థానభ్రంశం x మరియు త్వరణం a లు వ్యతిరేకదిశలో ఉండునని సూచించును.
ఉదా : 1) వృత్తవ్యాసము పై లంబ పాదము యొక్క చలనము.
2) స్వల్ప స్థానభ్రంశాలు గల లఘులోలకం డోలనాలు.
3) భార స్ప్రింగ్ డోలనాలు
4) u – గొట్టంలోని ద్రవస్తంభాన్ని నొక్కి వదిలితే, అది చేసే డోలనాలు.

ప్రశ్న 2.
స.హ.చ.లో గల కణం స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాలు కాలం ధృష్ట్యా మారే విధానాన్ని గ్రాఫ్ ద్వారా వివరించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 3.
దశ లేక ప్రావస్థ అనగా ఏమి? స.హ.చ.లో గల ఒక కణం స్థానభ్రంశం, వేగం మరియు త్వరణం మధ్యగల ప్రావస్థ సంబంధములను వివరించండి.
జవాబు:
దశ: స.హ.చ.లో గల ఒక కణం స్థానభ్రంశం y = asinωt అనుకొనుము t కాలం వద్ద, దాని వేగం,

కావున స్థానభ్రంశమునకు, వేగమునకు దశా ‘భేదం = T/2 రేడియన్.
మరల త్వరణం a =\(\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\) (aωcos ωt) = -aω² sin ωt = -ω²y

కావున స్థానభ్రంశమునకు, త్వరణమునకు దశా భేదం = π రేడియన్
వేగమునకు, త్వరణమునకు దశాభేదం = π/2రేడియన్

ప్రశ్న 4.
ఒక స్ప్రింగ్ బలస్థిరాంకం k. దానికి ఒక చివర m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును తగిలించినపుడు అది చేయు కంపనముల పౌనఃపున్యమునకు ఒక సమీకరణమును ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మెను ధృడమైన ఆధారం నుండి భారరహిత స్ప్రింగ్ ద్వారా పటంలో చూపిన విధంగా వ్రేలాడ దీసి ఉన్నదనుకొనుము. దానిని కొద్దిగా కిందికి లాగి వదిలితే, అది సరళహరాత్మక చలనం చేస్తుంది.

దిమ్మె మీద పనిచేసే పునఃస్థాపక బలం ‘F’, స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలోనూ మరియు దిశలో వ్యతిరేకంగానూ ఉంటుంది.
∴ F ∝ -y
⇒ F = -ky ఇక్కడ k ను స్ప్రింగ్ బలస్థిరాంకం అంటారు.
కాని F = ma ∴ ma = – ky
⇒ a = (\(\frac{-k}{m}\))y ………….(1)

అనగా త్వరణం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటూ, వ్యతిరేక దిశలో పనిచేస్తుంది. అందువల్ల డోలనాలు సరళహరాత్మకంగా ఉన్నాయంటాం.
1 వ సమీకరణాన్ని a = – ω²y తో పోల్చగా,

ప్రశ్న 5.
స.హ.చ.లో గల కణము గతిశక్తికి, స్థితిశక్తికి సమీకరణములను రాబట్టండి.
జవాబు:
స.హ.చ.లో గల కణము యొక్క స్థాన భ్రంశము y = A sinωt

స్థితిశక్తికి సమీకరణం ఉత్పాదించుట :
పునఃస్థాపక బలం, స్థానభ్రంశానికి (y) వ్యతిరేకదిశలో ఉండటం వల్ల పున:స్థాపక బలాన్ని నిరోధిస్తూ జరిగే పని స్థితిశక్తి రూపంలో నిల్వ ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
డోలనాలు చేసే లఘులోలకం ఒక అంత్యస్థానం నుంచి మరో అంత్యస్థానానికి చలించే సమయంలో శక్తి ఏవిధంగామారుతుంది?
జవాబు:
మొత్తం శక్తి ఎల్లప్పుడూ స్థిరం. చరమస్థానం వద్ద స్థితిశక్తి (P.E) గరిష్టం మరియు గతిశక్తి శూన్యం అవుతుంది. మాధ్యమిక బిందువు వద్ద గతిశక్తి గరిష్టం మరియు స్థితిశక్తి శూన్యం అవుతుంది. మిగిలిన బిందువుల వద్ద దాని శక్తి కొంత స్థితిశక్తి రూపంలోను, కొంత గతిశక్తిరూపంలోను ఉంటుంది.

ప్రశ్న 7.
స.హ.చ.లో గల కణం స్థానభ్రంశం, వేగం మరియు త్వరణములకు సమీకరణములను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం :
ఒక ఆవర్తన చలనంలో, త్వరణం ఎప్పుడూ స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటూ త్వరణం దిశ, స్థానభ్రంశ దిశకు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటూ, త్వరణం దిశ ఎల్లప్పుడూ ఒక స్థిర బిందువు వైపుకు పనిచేస్తూ ఉండే చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు.

‘A’ వ్యాసార్థం గల వృత్తపరిధిపై సమకోణీయ వేగం ‘ω’తో గమనంలో ఉన్న కణం ‘P’ అనుకొనుము. కణం వృత్త పరిధిపై ఒక భ్రమణం పూర్తి చేసినపుడు ఆ కణం యొక్క లంబపాదం N, వృత్త వ్యాసంపై ఒక డోలనం చేస్తుంది. కణం ఏదైనా బిందువు ‘P’ వద్ద ఊహిస్తే,

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సరళహరాత్మక చలనమును నిర్వచించండి. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం చేసే కణం విక్షేపం (ఏదైనా) వ్యాసంపై సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుందని చూపండి. [AP 19][AP,TS 18] [IPE’14][Imp.Q][TS 15,16,19]
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం: ఒక ఆవర్తన చలనంలో, త్వరణం ఎల్లప్పుడూ స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటూ, త్వరణం దిశ స్థానభ్రంశ దిశకు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటూ, త్వరణం దిశ ఎల్లప్పుడూ ఒక స్థిర బిందువు వైపుకు పనిచేస్తూ ఉండే చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు.

‘A’ వ్యాసార్థం గల వృత్తపరిధిపై సమకోణీయ వేగం ‘ఎ’తో గమనంలో ఉన్న కణం ‘P’ అనుకొనుము. కణం వృత్త పరిధిపై ఒక భ్రమణం పూర్తి చేసినపుడు ఆ కణం యొక్క లంబపాదం N, వృత్త వ్యాసంపై ఒక డోలనం చేస్తుంది. కణం ఏదైనా బిందువు ‘P’ వద్ద ఊహిస్తే,

పైన చూపిన విధంగా వృత్తవ్యాసంపై ఏకరీతి వృత్తాకార గమనం సరళహరాత్మక చలనం.

ప్రశ్న 2.
లఘులోలకం చలనం సరళ హరాత్మకమని చూపించండి. లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలానికి సమీకరణం ఉత్పాదించండి. సెకన్ల లోలకం అంటే ఏమిటి ? [AP 15,16,17,18,20,22][TS 15,16,17,18,20,22]
జవాబు:
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక లోహపు గోళాన్ని ‘l’ పొడవు గల దారానికి ఒక చివర కట్టి ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీయబడినది. ఏదైనా కాలంలో గోళం యొక్క కోణీయ స్థానభ్రంశం θ. గోళం భారం (mg) ను రెండు లంబాంశాలుగా విడగొట్టవచ్చు. దాని సమాంతరాంశం mg cosθ, తన్యత బలంకు మరియు లంబాంశం mg sinθ పునఃస్థాపక బలంకు సమానం.
∴ పునఃస్థాపక బలం F = -mg sinθ
కాని F = ma
∴ ma = -mg sinθ ⇒ a = -g sinθ
θ విలువ బాగా తక్కువైనప్పుడు sinθ = θ
∴ a = -g(θ)


సెకన్ల లోలకం :
ఆవర్తన కాలం 2 సెకన్లుగా ఉన్న లోలకమును సెకన్ల లోలకం అందురు.

ప్రశ్న 3.
సరళహరాత్మక డోలకం గతిజ, స్థితిజ శక్తులకు సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి. సరళ హరాత్మక చలనంలోని కణం పథంపై అన్ని బిందువుల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరం అని చూపండి. [AP 19][Imp.Q]
జవాబు:
గతిజ శక్తి :
స.హ.చ. లో గల కణము యొక్క స్థాన భ్రంశము y = A sin ωt

స్థితిజ శక్తి :
పునఃస్థాపక బలం, స్థానభ్రంశానికి (y) వ్యతిరేకదిశలో ఉండటం వల్ల పునఃస్థాపక బలాన్ని నిరోధిస్తూ జరిగే పని స్థితిశక్తి రూపంలో నిల్వ ఉంటుంది.
సరాసరి బలం = \(\frac{0+F}{2}=\frac{F}{2}\)

కావున సరళహరాత్మక డోలకం యొక్క సంపూర్ణ శక్తి స్థిరాంకమని, స్థానాన్ని మరియు కాలాన్ని బట్టి అది మారదని గ్రహించవచ్చు.
మాధ్యమిక బిందువు వద్ద T.E = K.E [∵ P.E = 0] మరియు
అంత్య బిందువుల వద్ద T.E P.E [∵ K.E = 0]

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
సగటున ఒక మనిషి గుండె నిమిషమునకు 75 సార్లు కొట్టుకొనును. (స్పందించును) అయిన దాని పౌనఃపున్యము, ఆవర్తన కాలం ఎంత? [AP 19][Imp.Q]
సాధన:
హృదయ స్పందన పౌనఃపున్యం = 75 / (1 నిమిషం) = 75 / (60సె) = 1.25 s^-1 = 1.25 Hz
ఆవర్తన కాలం T = 1/(1.25 s^-1) = 0.8 s.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది కాలప్రమేయములలో ఏవి (a)స.హ.చ (b) ఆవర్తన చలనమే కాని స.హ.చ కావు? ప్రతి సందర్భములో ఆవర్తన కాలము ఎంత?
(a) sinωt – cosωt (b) sin²ωt
సాధన:

ఇది ఆవర్తన చలనము కాని స.హ.చ కాదు. దీని ఆవర్తన కాలం, T = π/ω.

ప్రశ్న 3.
స.హ.చ చేయుచున్న ఒక కణము స్థానభ్రంశ సమీకరణము x = 5cos[2πt + π/4] SI ప్రమాణములు.
t = 1.5 సెకను వద్ద (a) స్థానభ్రంశము (b) వడి (c) త్వరణము కనుగొనుము.
సాధన:
కోణీయ వేగం = 2 π s^-1 ఆవర్తన కాలం T = 1s.
t = 1.5 s.వద్ద

ప్రశ్న 4.
సెకనుల లోలకం పొడవు ఎంత? [Imp.Q][AP 15,18][TS 15]
సాధన:

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
ఒక లఘులోలకం గుండు ఇత్తడితో చేసిన బోలు గోళము. దానిని పూర్తిగా నీటిని నింపిన లోలకం ఆవర్తనకాలం ఏమగును?
సాధన:
ఆవర్తన కాలములో మార్పు ఉండదు. నీటితో నింపినప్పటికి లోలకం యొక్క ఫలిత పొడవులో మార్పు ఉండదు. అందువలన ఆవర్తన కాలములో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
‘K’ స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం గల రెండు స్ప్రింగ్లను శ్రేణిలో కలిపిన ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకమును కనుక్కోండి.
సాధన:
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ‘K’ గల రెండు స్ప్రింగ్లను శ్రేణిలో కలిపి, ‘mg’ అను భారమును ఆ సంయోగమునకు వ్రేలాడ దీసిరి అని అనుకొనుము. అపుడు ప్రతి స్ప్రింగ్ లోను పునఃస్థాపక బలం ‘F’=mg అగును. బల స్థిరాంకములు సమానం కావున స్ప్రింగ్లో కలుగు సాగుదలలు కూడ సమానముగా ఉండును. ఒక్కొక్క స్ప్రింగ్ లోని సాగుదల y అయితే మొత్తము సాగుదల 2y అగును.

పునఃస్థాపక బలం = బల స్థిరాంకం × సాగుదల కనుక
F = బల స్థిరాంకం × 2y
⇒ బల స్థిరాంకం = \(\frac{F}{2y}\) ……(1)
‘K’ బల స్థిరాంకం గల ఒక స్ప్రింగ్ను తీసుకొని దానికి m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును తగిలించిన, స్ప్రింగ్లో ఏర్పడు పునఃస్థాపక బలం, F = mg మరియు సాగుదల y అగును. కావున
K = \(\frac{F}{y}\) ………….. (2)

(1) మరియు (2), సమీకరణముల నుండి శ్రేణిలో కలిపిన స్ప్రింగ్ ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం = \(\frac{K}{2}\)

ప్రశ్న 3.
స.హ.చలో మధ్యమ స్థానము వద్ద ఏ ఏ భౌతిక రాశుల విలువలు గరిష్టముగా ఉండును?
సాధన:
మధ్యమ స్థానము వద్ద, వేగం మరియు గతిశక్తి విలువలు గరిష్టముగా ఉండును.

ప్రశ్న 4.
స.హ.చలో గల ఒక కణమునకు, గరిష్ట వేగము విలువ సంఖ్యాత్మకముగా గరిష్ట త్వరణములో సగమునకు సమానమైన దాని ఆవర్తన కాలము ఎంత? [TS 15]
సాధన:
స.హ.చ లో గల కణము కంపన పరిమితి A మరియు కోణీయ వేగం ω అయిన గరిష్ట వేగం, v_max = Aω
గరిష్ట త్వరణం, a_max = Aω²

ప్రశ్న 5.
ఒక స్ప్రింగ్ యొక్క స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం 260 Nm-1. దాని చివర 2 కి.గ్రా తగిలించిరి. అది 100 కంపనములు చేయుటకు పట్టు కాలం ఎంత? [TS 19]
సాధన:
స్ప్రింగ్కు తగిలించిన ద్రవ్యరాశి, m = 2 కి.గ్రా
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం, K = 260 Nm^-1
కంపనముల సంఖ్య, N = 100
100 కంపనములు చేయుటకు పట్టు కాలం (t) = ?
స్ప్రింగ్ లోలకమునకు ఆవర్తన కాలము, T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) ⇒ T = 2π\(\sqrt{\frac{2}{260}}\) = 2 × 3.14 × 0.088 = 0.55 sec
∴ 100 కంపనములు చేయుటకు పట్టు కాలం t = 100 × 0.55 = 55 సె

ప్రశ్న 6.
స్థిరముగా ఉన్న లిఫ్ట్లో ఉన్న ఒక లఘులోకం ఆవర్తన కాలం T. (i) లిఫ్ట్ సమవేగంతో పైకి పోవుచున్నపుడు (ii) సమవేగముతో క్రిందికి పోవుచున్నపుడు (iii) పైకి సమత్వరణం ‘a’ తో పోవుచున్నపుడు (iv) క్రిందికి సమత్వరణం ‘a’ తో పోవుచున్నపుడు (v) స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుచున్నపుడు
సాధన:
లఘులోలకం ఆవర్తన కాలం, T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\)
1. లిఫ్ట్ సమవేగముతో పైకి పోవుచున్నపుడు ఫలిత త్వరణములో మార్పు ఉండదు. కనుక దాని ఆవర్తన కాలములో మార్పు ఉండదు.
2. లిఫ్ట్ సమవేగముతో క్రిందికి పోవుచున్నపుడు కూడ ఫలిత త్వరణములో మార్పు ఉండదు. అందువలన T లో మార్పు ఉండదు.
3. లిఫ్ట్ ‘a’ అను సమత్వరణంతో పైకి పోవుచన్నపుడు, ఫలిత త్వరణం g+a అగును.

ప్రశ్న 7.
స.హ.చలో ఉన్న కణము కంపన పరిమితి 4 సెం.మీ కణము మధ్యమ స్థానము నుండి 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నపుడు దాని త్వరణం 3 సెం. మీ సె – 2 అయిన మధ్యమ స్థానము అది 2 సెం.మీ దూరములో ఉన్నపుడు దాని వేగం ఎంత?
సాధన:
కంపన పరిమితి (A) = 4 సెం.మీ
స.హ.చ.లో కణం స్థానభ్రంశం X అయితే దాని త్వరణం, a = ω²x (పరిమాణంలో )
లెక్క ప్రకారం a = 3సెం. మీసె^-2 మరియు x = 1సెం.మీ
∴ 3 = ω² × 1 ⇒ ω² = 3 ⇒ ω = √3 rad / sec

ప్రశ్న 8.
స.హ.చ.లో గల కణం ఆవర్తనకాలం 2 సెకన్లు. కణం మధ్యమ స్థానం దాటిన 0.25 సె తరువాత దాని దశ లేక ప్రావస్థ ఎంత?
సాధన:
ఆవర్తన కాలము, T = 2 సె
ఇచ్చిన కాలము, t = 0.25 సె
దశలోని తేడా = ?
T, = 2 సె అను ఆవర్తన కాలములో దశలో కలుగు మార్పు = 2π రేడియన్

ప్రశ్న 9.
స.హ.చలో గల కణం కంపన పరిమితి 5 సెం.మీ, ఆవర్తన కాలం 0.2 సె .కణం స్థానభ్రంశం (a) 5 సెం.మీ (b) 3 సెం.మీ (c) 0 సెం.మీ వద్ద దాని త్వరణం, వేగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కణం కంపన పరిమితి (A) = 5 సెం.మీ= 5 × 10^-2 మీ
ఆవర్తన కాలం (T) = 0.2సెకను
(a) స్థానభ్రంశం = 5 సెం.మీ

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రహము ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థము విలువలు భూమి విలువలకు రెట్టింపు. భూమి పై ఒక లఘులోలకం ఆవర్తనకాలం T అయితే ఆ గ్రహము మీద ఎంత? [AP 20]
సాధన:
భూమి ద్రవ్యరాశి = M భూమి వ్యాసార్ధము = R అయితే
గ్రహము ద్రవ్యరాశి = 2M గ్రహము వ్యాసార్థం = 2R
భూమి పై గురుత్వ త్వరణం, g_E = \(\frac{GM}{R^2}\)

ప్రశ్న 11.
ఒక లఘులోలకం ఆవర్తనకాలం 2 సెకన్లు అయినపుడు దాని పొడవు 1 మీటరు. ఆవర్తన కాలం 1.5 సె అయితే లోలకం పొడవు లోని మార్పు ఎంత? [TS 18]
సాధన:
లోలకం తొలి పొడవు, l₁ = 1 మీ
తొలి ఆవర్తన కాలం T₂ = 2 సె
తుది ఆవర్తన కాలం T₂ = 1.5 సె
తుది పొడవు = l₂. అనుకొనుము
పొడవు లోని మార్పు = l₁ – l₂ = ?

ప్రశ్న 12.
ఒక గ్రహము మీద 8 మీటర్ల ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా పడుచున్న వస్తువు నేలను తాకుటకు 2 సెకన్లు తీసుకున్నది. గ్రహము మీద ఒక లోలకం ఆవర్తన కాలం T సెకను అయితే లోలకం పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన:
స్వేచ్ఛగా పడుచున్న వస్తువునకు తొలి వేగం, u = 0
నేలను తాకుటకు పట్టిన కాలం t = 2s
ఎత్తు = ప్రయాణించిన దూరం (s) = 8m
ఆ గ్రహము పై గురుత్వత్వరణం (a) = g అనుకొనుము
s = ut + \(\frac{1}{2}\)at² ⇒ 8 = 0 + \(\frac{1}{2}\)g × 4 ⇒ 8 = 2g ⇒ g = 4ms-2
లఘులోలకం ఆవర్తన కాలం T = π s లఘులోలకం పొడవు, l = ?

ప్రశ్న 13.
ఒక లఘులోలకం పొడవు 0.6 మీ. పెంచినపుడు ఆవర్తన కాలం 50% పెరిగినది. అయిన లఘులోలకం తొలి పొడవు, తొలి ఆవర్తన కాలము కనుక్కోండి. g = 9.8 ms-2,
సాధన:
లోలకం తొలి పొడవు = l అనుకొనుము
తుది పొడవు = (l + 0.6)m
లోలకం తొలి ఆవర్తన కాలం = T అనుకొనుము

ప్రశ్న 14.
ఒక సెకనుల లోలకం సరియైన సమయమును సూచించుచున్నది. వేసవి కాలములో దాని పొడవు 1.02 మీటరుకు పెరిగినది. అయిన ఒక రోజులో ఎంత సమయము ఎక్కువ లేక తక్కువ చూపును?
సాధన:
సెకనుల లోలకం ఆవర్తన కాలం T₁ = 2 సె ; సెకనుల లోలకం పొడవు l₁ = 1 మీ
వేసవి కాలములో లోలకం పొడవు, l₂ = 1.02 మీ; లోలకం కొత్త ఆవర్తన కాలం, T₂ = ?

పొడవు పెరిగినది కనుక ఆవర్తన కాలము పెరిగినది. అందువలన అది తక్కువ కంపనములు చేయును. అందువలన గడియారం తక్కువ సమయమును చూపును.
లోలకం ఒక కంపనం పూర్తి చేయునప్పటికి తక్కువ చూపు కాలము = 2.02 – 2 = 0.02 సె

ఒక రోజులో ఒక సెకనుల లోలకం చేయు కంపనముల సంఖ్య \(\frac{86,400}{2}\) = 43,200
∴ 43200 కంపనములు పూర్తి చేయునప్పటికి తక్కువ చూపు కాలం = 43200 × 0.02 = 864
∴ అందువలన గడియారం రోజుకి 864 సెకన్లు తక్కువ చూపును.

ప్రశ్న 15.
ఒక స్ప్రింగ్ నుండి వ్రేలాడ దీసిన ఒక వస్తువు డోలనావర్తన కాలం T .ఆ స్ప్రింగ్ను రెండు సమాన భాగములు చేసి అదే వస్తువును (i) ఒక స్ప్రింగ్ ముక్క తగిలించినపుడు (ii) ఒకే సారి రెండు స్ప్రింగ్ ముక్కల నుండి వ్రేలాడ తీసినపుడు దాని ఆవర్తన కాలము ఎంతెంత ఉండును?
సాధన:
స్ప్రింగ్ యొక్క బల స్థిరాంకము K స్ప్రింగ్ నుండి వ్రేలాడ దీసిన m ద్రవ్యరాశి అయితే దాని ఆవర్తన కాలం
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) ……….(1)
స్ప్రింగ్ను రెండు సమ భాగములు చేసినపుడు, ఒక్కొక్క స్ప్రింగ్ ముక్క బల స్థిరాంకం 2k అగును. అదే ద్రవ్యరాశిని వ్రేలాడదీసినపుడు

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఏ వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా? [TS 22][AP 16]
జవాబు:
అవసరం లేదు. ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవచ్చు, లేకపోవచ్చు. ఉదాహరణకు రింగు విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండదు. కాని అది వస్తువు ఆక్రమించిన స్థలం లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక బాలిక తన రెండు చేతులలో ఒక దానితో ఒక సంచిని మోయుచున్నది. ఇంకొక బాలిక అంతే బరువున్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ ఇద్దరి స్థితుల మధ్య తేడా ఏమిటి?
జవాబు:
సాధారణముగా ఒక మనిషికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అతని నాభి వద్ద ఉండును. ఒక చేతితో సంచి మోయుచున్న బాలికకు ద్రవ్యరాశి కేంద్రము సంచి మోయుచున్న చేతి వైపునకు జరుగును. బాలిక ఆ చేతికి వ్యతిరేక దిశలో కొంచెం వంగి నడుచుచుండును.

రెండు చేతులతో రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు గల సంచులను మోయుచున్న బాలిక ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానములో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
రెండు దృఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది? [Imp.Q]
జవాబు:
K.E = \(\frac{1}{2}\)Iω² ఒకే జడత్వ భ్రామకానికి K.E ∝ ω²
అనగా ఎక్కువ కోణీయ వేగం కలిగిన వస్తువుకు గతిశక్తి ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు ఎందుకు అమర్చుతారు? [Imp.Q][IPE ‘13,14]
జవాబు:
సైకిల్ ఒడిదుడుకులు లేకుండా ఒక సమవడితో ప్రయాణించుటకు దాని జడత్వ భ్రామకము ఎక్కువగా ఉండవలయును. చక్రము ద్రవ్యరాశి ఎక్కువగా పెరగకుండా, జడత్వ భ్రామకమును పెంచుట కొరకు సైకిల్ చక్రమునకు చువ్వలు అమరుస్తారు.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల? [TS 22][AP 16]
జవాబు:
టార్క్ = బలం × లంబదూరం
మడత బందుల వద్ద బలమును ప్రయోగించినపుడు, లంబదూరం శూన్యమగును. కావున టార్క్ శూన్యము. అందువలన మడత బందుల వద్ద బలమును ప్రయోగించి ఒక తలుపును మూయలేము లేక తెరువలేము.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం?
జవాబు:
టార్క్ = బలం × లంబదూరం
ఎక్కువ పొడవు గల స్పానర్ను ఉపయోగించినపుడు, లంబ దూరం ఎక్కువగా ఉండి టార్క్ అధికముగా ఉండును. దాని వలన స్క్రూ త్వరగా తిరుగును. అందువలన ఎక్కువ పొడవు గల స్పానర్ నే ఇష్టపడుతారు.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం? [TS 22]
జవాబు:
ఉడికిన గుడ్డు దృఢ వస్తువులా పనిచేస్తుంది మరియు జడత్వ భ్రామకం తక్కువ. రెండింటిని ఆత్మభ్రమణం చెందించినప్పుడు ఉడికిన గుడ్డు ఎక్కువ కోణీయవేగంతో తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
హెలికాప్టరనకు తప్పని సరిగా రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఎందుకు ఉండవలయును? [Imp.Q]
జవాబు:
హెలికాప్టర్నకు ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉన్నచో, అది తిరుగుచున్నపుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, దానికి వ్యతిరేక దిశలో హెలికాప్టర్ తిరుగును. అందువలన హెలికాప్టర్ నకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండును. ఒకటి, హెలికాప్టర్ పైన ఉండును. రెండవది హెలికాఫ్టర్ తోక భాగమున ఉండును. పైన ఉన్న ప్రొపెల్లర్ ఒక దిశలో భ్రమణము చెందుచున్నపుడు, దానికి వ్యతిరేక దిశలో భ్రమణము చెందవలెనన్న హెలికాప్టర్ స్వభావమును, తోకభాగములో ఉన్న ప్రొపెల్లర్ నిరోధించును.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు కరిగిపోతే ఒక రోజు కాల వ్యవధి ఏవిధంగా ప్రభావితమౌతుంది?
జవాబు:
పెరుగును. ధృవాల వద్ద మంచు కరిగి భూమధ్య రేఖ వైపు ప్రవహించటం వలన భూభ్రమణ వ్యాసార్థం పెరుగుతుంది. దీని కారణంగా జడత్వభ్రామకం పెరుగుతుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమం ప్రకారం, కోణీయ వేగం తగ్గుతుంది. కాబట్టి T పెరుగుతుంది. అనగా ‘రోజు’ కాలవ్యవధి పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు? [mp.Q]
జవాబు:
సైకిల్ చలనములో ఉన్నపుడు, దాని అక్షము దిశలో అనగా క్షితిజ సమాంతర దిశలో దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగము ఉండును. బాహ్యటార్క్ ప్రయోగించనంత వరకు, కోణీయ ద్రవ్య వేగములో మార్పు ఉండదు కనుక సైకిల్ ప్రయాణించుచున్న దిశలోనే ప్రయాణించు చుండును. కనుక చలనములో ఉన్న సైకిల్ను సంతులనము చేయుట తేలిక.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభిల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. [AP 22][AP,TS 15,18] [AP,TS 16,17,18]
జవాబు:

ద్రవ్యరాశి కేంద్రం	గరిమనాభి
1. వస్తువులో ఏ బిందువు వద్ద ద్రవ్యరాశి మొత్తం కేంద్రీకృతమైనట్లుగా భావించవచ్చునో, ఆ బిందువును దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం అంటారు.	1. వస్తువులో ఏ బిందువు వద్ద భారం మొత్తం కేంద్రీకృతమవుతుందో దానిని గరిమనాభి అంటారు.
2. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గురుత్వ త్వరణం మీద ఆధారపడదు.	2. గరిమనాభి గురుత్వత్వరణం మీద ఆధారపడుతుంది.
3. ఇది వస్తువు లోపలగాని, బయటగాని ఉంటుంది.	3. ఇది వస్తువు లోపలే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
బాహ్యబల ప్రభావానికి గురైన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా, గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
‘n’ కణాల యొక్క ద్రవ్యరాశులు m₁, m₂ ……….. m_n వాటి త్వరణాలు a₁, a₂……. a_n అయితే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క త్వరణం.

అనగా, బాహ్యబల ప్రయోగం లేకపోతే ద్రవ్యరాశి కేంద్ర త్వరణం శూన్యం. అపుడు వస్తువు సమవేగంతోగాని నిశ్చలస్థితిని గాని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
‘భూమి-చంద్రుని వ్యవస్థ’ యొక్క ద్రవ్యరాశికేంద్రం భూమి ఉపరితలం లోపల ఉంటుంది. ‘భూమి-చంద్రుని వ్యవస్థ’ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార పధంలో తిరుగుతుంది. భూమి-చంద్రుడి వ్యవస్థకు గల గురుత్వాకర్షణలు వ్యవస్థ అంతర్ బలాలు. అందువలన భూమి చంద్రుని వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార పధంలో తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
సదిశా లబ్దమును నిర్వచించండి. సదిశా లబ్దము ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి. [AP 15,17,18,20,22]
జవాబు:
సదిశా లబ్దము నిర్వచనం :
రెండు సదిశరాశుల సదిశా లబ్ధ పరిమాణం ఆ రెండు సదిశల పరిమాణాల లబ్ధాన్ని ఆ సదిశల మధ్య గల సైన్ కోణంతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధానికి సమానం.

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగమును నిర్వచించండి. v = rω ను ఉత్పాదించండి. [AP 16,17,19][TS 16,17,22]
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశములోని మార్పురేటును కోణీయ వేగం అని అంటారు.
dtకాలంలో వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశం dθ అయితే దాని కోణీయ వేగం ω = \(\frac{d\theta}{dt}\)

v = rω ను ఉత్పాదించుట:

ఒక కణము వృత్తాకార మార్గమములో ప్రయాణించుచున్నదనుకొనుము మరియు
r = వృత్త వ్యాసార్థం
S = t కాలంలో కణం p₁ నుండి p₂ కు వచ్చినపుడు ప్రయాణించిన దూరం
v = కణం రేఖీయ వేగం
ω = కణం కోణీయ వేగం అని అనుకొనుము

S పొడవు గల p₁p₂ వృత్త చాపం వృత్త కేంద్రము వద్ద చేయుచున్న కోణం θ అయితే S = rθ
పై సమీకరణమును కాలం దృష్ట్యా అవకలనము చేసిన

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణము మరియు టార్క్ ను నిర్వచించండి. వాని మధ్య సంబంధమును రాబట్టండి. [AP 15, 19] [TS 17, 18, 20]
జవాబు:
కోణీయ త్వరణం :
కణం “కోణీయ వేగం” లోని మార్పురేటును “కోణీయ త్వరణం” అని అంటారు.
α = \(\frac{d\omega}{dt}\)

బలభ్రామకం లేక టార్క్ :
ఒక బిందువు పరంగా భ్రమణం చెందగల వస్తువు మీద బలాన్ని ప్రయోగిస్తే అది భ్రమణం చెందుతుంది. బల పరిమాణం మరియు భ్రమణాక్షం నుండి బలం యొక్క చర్యా రేఖకు గల లంబ దూరముల లబ్దముగా టార్క్న కొలుస్తారు. టార్క్ = లంబదూరం × బలం
\(\bar{\tau}=\bar{r} \times \overline{\mathrm{F}}\)

కోణీయ త్వరణం (α) , టార్క్ τ మధ్య సంబంధం:
ఒక ధృడ వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘O’ అనుకొనుము. ‘O’ గుండా పోవుచున్న ఒక స్థిర అక్షం AB పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I అనుకొనుము. ధృడ వస్తువుపై పని చేయుచున్న టార్క్ τ అనుకొనుము.

ధృడ వస్తువును m₁, m₂, m₃ ……అను ద్రవ్యరాశులు గల కణముల సముదాయముగా ఊహించుము. AB అక్షము నుండి ఆ కణముల దూరములు వరుసగా r₁, r₂, r₃ …… అని, వాని రేఖీయ త్వరణములు వరుసగా a₁, a₂, a₃,…. అని అనుకొనుము. వేర్వేరు కణములకు వేర్వేరు రేఖీయ త్వరణములు ఉండును కాని అన్ని కణములకు ఒకే కోణీయ త్వరణం ఉండును. ఆ విలువ α అనుకొనుము.

రేఖీయ త్వరణం = వ్యాసార్ధం × కోణీయ త్వరణం కనుక
a₁ = r₁α, a₂ = r₂α, a₃ = r₃α…..
m₁ ద్రవ్యరాశి పై పనిచేయు బలం, f₁ = m₁a₁ = m₁r₁α

AB అక్షం పరంగా m₁ ద్రవ్యరాశి పై పనిచేయు టార్క్ = m₁r₁α × r₁
= m₁r₁²α
ఇదేవిధంగా, m₂, m₃, ….ద్రవ్యరాశుల పై పనిచేయుచున్న టార్క్లు వరుసగా m₂r₂²α, m₃r₃²α, …..అగును
ఈ అన్ని టార్క్ మొత్తము వస్తువు పై పనిచేయు బాహ్యటార్క్ τనకు సమానం.
కనుక τ = (m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ….)α
τ = (∑mr²)α ⇒ τ = Iα
∑ = mr² = I, అనునది AB అక్షం పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం.

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షము పరంగా భ్రమణము చేయుచున్న ఒక కణమునకు చలన సమీకరణములు వ్రాయండి. [AP 19]
జవాబు:
కోణీయ త్వరణం = α అయితే చలన సమీకరణములు:

తొలి కోణీయ వేగం = ω₀, తొలి కోణీయ స్థానభ్రంశం = θ₀, ‘t’ కాలం తరువాత కోణీయ వేగం = ω
‘t’ కాలం తువాత కోణీయ స్థానభ్రంశం = θ

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి జారకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుదివేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:

ఒక గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలముపై M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల ఒక ధృడవస్తువు(ఉదా: ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ) జారకుండ, దొర్లుచున్నదనుకొనుము. ఏదైనా ఒక క్షణము వద్ద తలమును స్పృశించుచున్న వస్తువులోని కణము P అనుకొనుము. P గుండా పోవుచూ, వస్తువు తలమునకు లంబంగా ఉండు రేఖ, ఆ క్షణమునకు భ్రమణాక్షముగా పని చేయును. ఆ అక్షము పరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకం I_P అయితే దొర్లుచున్న వస్తువు గతిశక్తి, K.E = \(\frac{1}{2}\)I_Pω²…….(1) ω అనునది వస్తువు కోణీయ వేగం. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘O’ గుండా పోవుచూ పై భ్రమణాక్షము నకు సమాంతరముగా ఉండు అక్షం పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I_cm అయితే సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
I_P = I_cm + MR² …..(2)

ఇటువంటి ధృడ వస్తువును ‘h’ ఎత్తుగల ఒక గరుకు వాలు తలముపై నుండి క్రిందికి జారకుండ దొర్లించినపుడు ‘h’ ఎత్తు వద్ద గల స్థితిశక్తి = వాలు తలము అడుగు భాగము వద్ద మొత్తము గతిశక్తి అనగా

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతమును నిర్వచించి నిరూపించండి. పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం K. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం కనుక్కోండి. [Imp.Q]

జవాబు:
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం :
ఏదేని అక్ష పరంగా ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఈ క్రింది వాటి మొత్తానికి సమానం.
(a) వస్తు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే సమాంతరాక్షం పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం I_G
(b) వస్తు ద్రవ్యరాశి, రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్య లంబ దూరాల వర్గాల లబ్ధము (Mx²)
అనగా I = I_G + Mx²

‘M’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక దృఢ వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘G’. ‘m’ ద్రవ్యరాశిగల కణం AB అక్షం నుండి ‘r’ దూరంలో ఉంది అనుకొనుము. G గుండా పోతున్న సమాంతరాక్షం CD అనుకొనుము. రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్యలంబ దూరం ‘x’ అనుకొనుము.
AB అక్ష పరంగా దృఢ వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I = ∑mr² ——–(1)

వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘G’ గుండా పోయే సమాంతర అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_G = ∑mb² ——–(2)

∆OPE నుండి OP² = OE² +EP²= (OG + GE)² + EP²
= OG² + GE² +2.OG.GE + EP²
∆GPE నుండి GE² + EP² = GP²
∴ OP² = OG² + GP² + 2.OG..GE
⇒ r² = x² + b² + 2.xa
ఇప్పుడు, I = Σm r² = Σm(x² +b² +2xa)
⇒ I = Σmx² + Σmb² + Σm(2xa) = Mx² + I_G + 2Σm(xa)
కాని వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దృష్ట్యా అన్ని కణాలపై గురుత్వాకర్షణ
బలభ్రామకాల మొత్తం సున్నాకు సమానం (Σmx).a = 0
∴ I = I_G + Mx²
కావున సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

Problem:
పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M, వ్యాసార్థం R అయితే దాని వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం.

ప్రశ్న 2.
(a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతమును నిర్వచించి నిరూపించండి. [Imp.Q]
(b) ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్లలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
(a) సిద్ధాంతం :
ఒక సమతల పటలంలోని ఏదైనా ఒక బిందువు గుండా పటతలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా,జడత్వ భ్రామకం’ ఆ పటలం తలంలో పరస్పరం లంబంగా ఉండి, అదే బిందువు గుండా పోయే రెండు అక్షాల జడత్వ భ్రామకాల మొత్తానికి సమానం. అనగా I_z = I_X + I_Y

ఒక సమతల పటలం తలంలో ఖండన బిందువు ” గుండా పోతూ పటలం తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం (OZ) అనుకోండి. OX మరియు OY, ‘0’ గుండా పోతూ పటలంలో ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉన్న అక్షాలు.

P కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి ‘m’ అనుకోండి దాని నిరూపకాలు (x, y). అక్షం OZ నుండి P యొక్క దూరం ‘r’

OZ అక్షం పరంగా పటలం జడత్వ భ్రామకం I_z = Σmr²
మరియు X అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_X = ΣmY²
Y అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_Y = Σmx²
కానీ r² = x² + y²
∴ I_Z = Σmr² = Σm(x² + y²) = Σmx² + Σmy² ⇒ I_z = I_X + I_Y
కావున లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

(b) వృత్తాకార ఉంగరము ద్రవ్యరాశి M వ్యాసార్ధము R₁ అయితే దాని వ్యాసము అక్షముగా

వృత్తాకార ఉంగరము వ్యాసార్థం: వృత్తాకార బిళ్ళ వ్యాసార్థం = 1 : √2

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి. [Imp.Q] [AP 16]
జవాబు:
నియమం :
భ్రమణంలో ఉన్న వ్యవస్థపై ఫలిత బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం పరిమాణంలోను మరియు దిశలోనూ స్థిరం. అనగా L = Iω = స్థిరరాశి.

నిరూపణ : ఫలిత బాహ్య టార్క్ τ మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L కు మధ్య సంబంధం τ = \(\frac{dL}{dt}\)
ఫలిత బాహ్య టార్క్ శూన్యం అయితే τ = 0 అపుడు \(\frac{dL}{dt}\) = 0
⇒ L = స్థిరరాశి (స్థిరరాశి యొక్క అవకలనం శూన్యం ‘0’)
Iω = స్ధిరం ; I ∝ \(\frac{1}{\omega}\)

ఉదా (1) : ఈతకొలనులోకి దూకే వ్యక్తి, డైవింగ్ బోర్డునుండి దూకుతున్నపుడు తన చేతులను మరియు కాళ్ళను శరీరానికి దగ్గరగా ముడుచుకోవడం వల్ల కోణీయవేగం పెరుగుతుంది (జడత్వ భ్రామకం తగ్గుతుంది). కానీ కోణీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తం స్థిరం.

ఉదా (2) : నాట్యం చేసే ఒక నర్తకి తన చేతులను బయటకు చాపడం వల్ల లేదా లోపలికి ముడుచుకొనుట వల్ల తన కోణీయ వడిని తగ్గించుకోవడం లేదా పెంచుకోవడం జరుగుతుంది.

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
0.5 మీ భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100గ్రా, 150గ్రా, 200గ్రా. [AP 18][TS 15,18]
సాధన:
O, A మరియు B నిరూపకములు వరుసగా (0,0), (0.5,0), (0.25, 0.25√3) అగును. O, A మరియు B ల వద్ద ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100గ్రా, 150గ్రా, 200గ్రా.

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజకార పటలము యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రమును కనుక్కొండి.
సాధన:
LMN ఒక సమరీతి త్రిభుజాకార పటలము అనుకొనుము. దాని భూమి (MN) కు సమాంతరముగా దానిని చిన్న చిన్న ముక్కలుగా విభజించితిమి అనుకొనుము.

సౌష్టవ ధర్మాన్ని అనుసరించి ప్రతిముక్క యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము దాని మధ్య బిందువు వద్ద ఉండును. వాటన్నింటి మధ్య బిందువులను వరుసగా కలిపిన మధ్యగత రేఖ LP వచ్చును కాబట్టి త్రిభుజాకార పటలము యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ఖచ్చితముగా LP రేఖ పై ఏదో ఒక బిందువు వద్ద ఉండవలయును. ఇదే విధముగా ఆలోచించిన, ద్రవ్యరాశి కేంద్రము మిగిలిన రెండు మధ్యగత రేఖలపై గూడ ఉండవలయునని చెప్పవచ్చును. అనగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రము మూడు మధ్య గత రేఖల ఖండన బిందువు వద్ద ఉండును. అందువలన త్రిభుజము యొక్క కేంద్రభాసం (Centroid) ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అగును.

ప్రశ్న 3.
\(\overline{\mathrm{a}}=3\overline{\mathrm{i}}-4\overline{\mathrm{j}}+5\overline{\mathrm{k}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}=-2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-3\overline{\mathrm{k}}\) అయిన వాని బిందు లబ్దమును, వజ్రలబ్దమును కనుగొనుము [TS 20]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
మూల బిందువు దృష్ట్యా బలం \(\overline{\mathrm{F}}=7\overline{\mathrm{i}}+3\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}}\) యొక్క టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం పని చేయుచున్న కణము యొక్క స్థాన సదిశ \(\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\) [Imp.Q] [IPE’ 13, 13, 14]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఒక వృత్తాకార పళ్ళెం (disc) యొక్క ఏదేని వ్యాసము పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం ఎంత? [Imp.Q]
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ తలమునకు లంబముగా ఉంటూ, బిళ్ళ కేంద్రము ద్వారా పోవు అక్షము పరముగా దాని జడత్వ భ్రామకం MR²/2 అగును. ఇక్కడ బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M, బిళ్ళ వ్యాసార్థము R లంబ అక్ష సిద్ధాంతము ప్రకారం,
I_z = I_x + I_y

సౌష్టవత వలన ఏ వ్యాసము పరముగా అయినను బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము ఒకటే ఉండును. ఒక వ్యాసమును x- అక్షముగా, దానికి లంబముగా ఉండు ఇంకొక వ్యాసమును y- అక్షముగా ఊహించుము. అనగా I_x = I_y మరియు I_z = 2I_x
కాని I_z = MR²/2 ⇒ I_x = I_z/2 = MR²/4
కాబట్టి ఏదేని వ్యాసం పరంగా బిళ్ళ జడత్వభ్రామకం= MR²/4

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు గల కడ్డీ తలమునకు లంబముగా కడ్డీ ఒక చివర ఉండు అక్షం పరంగా కడ్డీ జడత్వభ్రామకం ఎంత? [TS 19]
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు గల కడ్డీ తలమునకు లంబముగా కడ్డీ మధ్య బిందువు ద్వారా పోవు అక్షము పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం I = Ml²/12.
సమాంతర అక్షసిద్ధాంతము ప్రకారం, I’ = I + Ma².

ప్రశ్న 7.
ఒక కంకణం స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం ఎంత?
సాధన:
కంకణం ద్రవ్యరాశి M, కంకణం వ్యాసార్థం R అయితే కంకణం యొక్క ఏదేని వ్యాసం పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం MR²/2 కు సమానం. కంకణం తలములో, కంకణమునకు స్పర్శరేఖ గీచిన అది ఏదో ఒక కంకణం వ్యాసమునకు సమాంతరముగా ఉండును. ఆ వ్యాసమునకు, స్పర్శరేఖకు మధ్యగల దూరం R కు సమానం. సమాంతర అక్షసిద్ధాంతము ప్రకారం

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
\(\overline{\mathrm{a}},\overline{\mathrm{b}},\overline{\mathrm{c}}\) భుజములుగా గల సమాంతర చతుర్భుజ ఘనం ఘనపరిమాణము \(\overline{\mathrm{a}}.(\overline{\mathrm{b}}\times\overline{\mathrm{c}})\) కు సమానమని చూపుము.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ఒక గుల్ల స్థూపము ద్రవ్యరాశి 3 కి. గ్రా. మరియు వ్యాసార్థము 40 సెం.మీ. దాని చుట్టూ ఒక ద్రవ్యరాశి రహిత త్రాడును కట్టి, తాడు చివర 30 న్యూటను బలమును ప్రయోగించి లాగిన స్థూపము కోణీయ త్వరణం ఎంత? త్రాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత? తాడు స్థూపం పై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
గుల్ల స్థూపము ద్రవ్యరాశి, M = 3kg
వ్యాసార్థము, R = 40 cm = \(\frac{40}{100}\) = 0.4 m
స్థూపము పై ప్రయోగించిన బలం, F = 30N
స్థూపము జడత్వ భ్రామకం, I = MR² = 3 × (0.4)² = 3 × 0.16 = 0.48 కిగ్రామీ²
స్థూపము పై పనిచేయుచున్న టార్క్, τ = Fr = 30 × 0.4 = 12 Nm
స్థూపము కోణీయ త్వరణము α అయిన τ = Iα, ప్రకారం

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్తాకార తిరుగు బల్ల కేంద్రము నుండి 10 సెం.మీ దూరములో ఒక నాణెమును ఉంచిరి. బల్లకు, నాణెమునకు మధ్యగల స్థితిక ఘర్షణ గుణకము 0.8 అయిన బల్ల ఏ పౌనఃపున్యముతో తిరుగునప్పుడు నాణెము జారిపోవుట ఆరంభించును.
సాధన:
నాణెము వృత్తాకార బల్లపై వృత్తాకార మార్గములో తిరుగుటకు కావలసిన అభికేంద్ర బలమును నాణెమునకు బల్లకు మధ్య గల ఘర్షణ బలము సమకూర్చును. అనగా అభికేంద్ర బలము విలువ స్థితిక ఘర్షణ సీమాంతర విలువకు సమానముగా లేక అంతకన్న తక్కువగా ఉన్నంత వరకు నాణెము బల్లపై తిరుగుచుండును.
అనగా అభికేంద్ర బలం ≤ f_ms
∴ అభికేంద్ర బలం f_ms అయినపుడు నాణెము జారుట ఆరంభించును.
⇒ mrω² = μ_smg ⇒ r(2πf)² = μ_sg (∵ ω = 2πf)

ప్రశ్న 4.
1గ్రాము, 2 గ్రాము, 3 గ్రాము 100 గ్రాము ద్రవ్యరాశులు గల కణములు వరుసగా ఒక మీటరు స్కేలు యొక్క 1 సెం.మీ, 2 సెం.మీ, 3సెం. మీ…… 100 సెం.మీ గుర్తుల వద్ద ఉన్నవి. మీటర్ స్కేలు లంబ సమద్విఖండన రేఖను భ్రమణాక్షముగా తీసుకొని ఈ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకమును కనుక్కోండి.
సాధన:

49 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₁ = mr² = 49 (1)² gmcm
51 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₂ = 51 (1)² gmcm²
48 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 2 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₃ = 48(2)² gmcm².
52 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 2 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₄ = 52(2)² gmcm².
1 గ్రాము కణము భ్రమణాక్షము నుండి 49 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వభ్రామకము = (1) (49)² gmcm².
99 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 49 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది
కావున దాని జడత్వభ్రామకము = (99)(49)² gmcm²
100 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 50 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వభ్రామకము (100) (50)² gmcm²

లంబ సమద్వి ఖండన రేఖ పరంగా మొత్తము జడత్వ భ్రామకం
= 49(1)² + 51(1)² + 48(2)² + 52(2)² + 47(3)² + 53(3)² +……+ (1)(49)² + 99(49)² + 100(50)².
⇒ (1)² [49+51] + 22[48+52] +(3)²[47+53] +…….+ (49)²[1+99] + 100(50)²
⇒ (1)²[100] + 22[100] + (3)²[100] +……(49)²(100) + (50)²(100)
⇒ 100[1² + 2² + 3² + 4² +……+ 49² + 50²]

ప్రశ్న 5.
10 సెం.మీ భుజము గల ఒక సమబాహు త్రిభుజ మూడు శీర్షముల వద్ద ఒక్కొక్కటి 100 గ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల మూడు కణములు ఉన్నవి. త్రిభుజ కేంద్రాభాసం గుండా పోవుచూ త్రిభుజ తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా ఆ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 6.
10సెం.మీ భుజముగా గల ఒక చతురస్రము నాలుగు శీర్షముల వద్ద ఒక్కొక్కటి 100గ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల నాలుగు కణములు ఉన్నవి. చతురస్ర మధ్య బిందువు గుండా పోవుచూ, చతురస్ర తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా ఆ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత? భ్రామక వ్యాసార్థం ఎంత.
సాధన:

A,B,C మరియు D ల వద్ద ద్రవ్యరాశులు సమానం. ఒక్కొక్కదాని విలువ 100గ్రాములు.
∴ చతురస్ర మధ్య బిందువు ‘O’ ద్వారా పోవుచూ చతురస్ర తలమునకు లంబంగా ఉండు అక్షము పరంగా కణ వ్యవస్థ జడత్వభ్రామకం 4 × ఒక్కొక్క కణం జడత్వ భ్రామకం (అదే అక్షం పరంగా)

ప్రశ్న 7.
1కిగ్రా. ద్రవ్యరాశి, 20 సెం.మీ వ్యాసార్థము గల రెండు సమరీతి వృత్తాకార బిళ్ళలు ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ వెంబడి తాకునట్లు (పటములో చూపినట్లుగా) ఉంచిరి. ఆ స్పర్శరేఖ పరంగా వాని జడత్వభ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 8.
వ్యాసము 2a ద్రవ్యరాశి ‘m’ గల నాలుగు గోళములు నీ భుజముగా గల ఒక చతురస్రము నాలుగు శీర్షముల వద్ద ఉన్నవి.ఏదేని ఒక భుజము పరంగా ఆ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ఒక్కొక్క గోళము యొక్క వ్యాసము = 2a
∴ కావున ఒక్కొక్క గోళపు వ్యాసార్థము = a
ఒక్కొక్క గోళపు ద్రవ్యరాశి = m
AB భుజమును భ్రమణాక్షముగా తీసుకొనుము.
∴ A, B ల వద్ద ఉన్న గోళములకు భ్రమణాక్షము వాని వ్యాసము అగును.

M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల గోళమునకు వ్యాసము పరంగా జడత్వభ్రామకం = \(\frac{5}{2}\)ma² కనుక
∴ AB పరంగా A వద్ద ఉన్న గోళము జడత్వభ్రామకం = \(\frac{5}{2}\)ma² …………. (1)
AB పరంగా B వద్ద ఉన్న గోళము జడత్వ భ్రామకం \(\frac{5}{2}\)ma² ……….. (2)

C వద్ద ఉన్న గోళమునకు భ్రమణాక్షము, దాని వ్యాసమునకు సమాంతరముగా b దూరములో ఉన్నది. కనుక సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
C వద్ద ఉన్న గోళము యొక్క జడత్వ భ్రామకం AB = \(\frac{5}{2}\)ma² + mb² …. (3)
అదే విధంగా, D వద్ద ఉన్న గోళము యొక్క జడత్వభ్రామకం AB = \(\frac{5}{2}\)ma² + mb² …. (4)
∴ AB పరంగా నాలుగు గోళముల మొత్తము జడత్వభ్రామకం

ప్రశ్న 9.
ఒక మోటారు 200 రేడియన్/సె. అను ఏకరీతి కోణీయ వేగముతో భ్రమణము చేయుటకు ఒక ఇంజను 180Nm అను టార్క్్ను ప్రయోగించవలయును. అయిన ఇంజను సామర్థ్యము ఎంత? ఇంజను దక్షత 100% అనుకొనుము.
సాధన:
ఏకరీతి కోణీయ వేగము (ω) = 200 rad s^-1
టార్క్ (τ) = 180 Nm
ఇంజను సామర్థ్యము, p = ?
p = τω కనుక p = 180 × 200 = 36000 W = 36 kW

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటరు బద్దను దాని మధ్య బిందువు వద్ద కత్తి మొన ఉంచి సమతా స్థితిలో ఉంచిరి. ఇపుడు ఒక్కక్కటి 5 గ్రాము ద్రవ్యరాశి గల రెండు నాణెములను ఒక దానిపై ఒకటి 12 సెం.మీ. గుర్తు వద్ద ఉంచిరి. అపుడు స్కేలును సమతాస్థితిలో ఉంచుటకు కత్తిమొనను 45 సెం.మీ. వద్ద ఉంచవలసి వచ్చిన మీటరు బద్ద ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:

AB మీటరు బద్ద అనుకొనుము. దాని భారము ‘W’ బద్ద మధ్య బిందువు C వద్ద నుండి నిట్ట నిలువుగా క్రింది దిశలో పని చేయు చుండును.

ఒక్కొక్కటి 5 గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల రెండు నాణెములను ఒక దాని పై ఒకటి 12 సెం.మీ గుర్తు వద్ద ఉంచినపుడు, బద్ద 45 సెం.మీ అనగా C’ వద్ద సమతాస్థితిలో ఉంటున్నది.

∴ సవ్యదిశలో భ్రామకం= అపసవ్యదిశలో 10 గ్రాముల భ్రామకం బలం × లంబదూరం = బలం × లంబదూరం
⇒ w × (50 – 45) = 10 × g × (45 – 12)
⇒ (m × g)5 = 10 × g × 33 ⇒ m × 5 = 10 × 33 ⇒ m = 66 గ్రా

ప్రశ్న 11.
ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి 5 కి. గ్రా. వ్యాసార్థం 1 మీ. దాని వృత్త పరిధిపై గల ఒక బిందువు గుండా పోవుచూ, దాని తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా అది నిమిషమునకు 60 భ్రమణములు చేయుచున్నది. అయిన దాని గతిశక్తి ఎంత?
సాధన:
ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M వ్యాసార్ధము R. బిళ్ళ కేంద్రము ద్వారా పోవుచూ, బిళ్ళ తలమునకు లంబముగా

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటి mద్రవ్యరాశి, u వేగం గల రెండు కణముల దూరంలో గల రెండు సమాంతర రేఖల వెంబడి ఒక దాని కొకటి వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణించుచున్నవి. వాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తము ఏ బిందువు పరముగా అయినను
సాధన:

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణములు చేయుచున్న ఒక గతిపాలక చక్రము జడత్వ భ్రామకము 0.3 kgm². దానిని 20 సెకనులలో విరామ స్థితికి తెచ్చుటకు కావలసిన టార్క్ ఎంత? [TS 20]
సాధన:

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలక చక్రము పై 100 జౌ. పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం నిమిషానికి 60 భ్రమణములు నుండి నిమిషానికి 180 భ్రమణములకు పెరిగినది. అయిన ఆ చక్రము జడత్వ భ్రామకము ఎంత?
సాధన:
లెక్క ప్రకారం W = 100J

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
బలం వల్ల పని జరగని పరిస్థితులను తెలపండి. [Imp.Q][TS 15]
జవాబు:
పని W = \(\overline{\mathrm{F}}.\overline{\mathrm{S}}\) = |F||S|cos θ; θ = 90° అయితే cos90° = 0 ⇒ W = 0

1. బలం మరియు స్థానభ్రంశం పరస్పరం లంబంగా ఉన్నపుడు పని శూన్యమగును.
2. బలం పనిచేసినపుడు స్థానభ్రంశం శూన్యమైనపుడు కూడా పని శూన్యమగును.

ప్రశ్న 2.
పని, శక్తి, సామర్థ్యాలను నిర్వచించండి. వాటి SI ప్రమాణాలు తెలపండి. [Imp.Q]
జవాబు:
పని (W) :
ఒక వస్తువుపై స్థిరబలం పనిచేసినప్పుడు, ఆ వస్తువు బలం దిశలో స్థానభ్రంశం చెందితే అక్కడ పని జరిగింది అంటాం.
SI ప్రమాణం: 1 జౌల్ (J)

శక్తి : పని చేయగల ధారుడ్యాన్ని లేదా స్తోమతను శక్తి అంటారు.
SI ప్రమాణం-జౌల్; CGS ప్రమాణం – ఎర్గ్

సామర్ధ్యం (P) :
ఒక బలం వల్ల జరిగిన పని రేటును సామర్ధ్యం అని అంటారు. సామర్ధ్యం (P) = కాలం
SI ప్రమాణం : వాట్ (W) (లేదా) జౌల్ / సెకను; CGS ప్రమాణం : ఎర్గ్ / సెకను

ప్రశ్న 3.
గతిజశక్తి మరియు ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధాన్ని వ్రాయండి. [Imp.Q]
జవాబు:

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది సందర్భాలలో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
a) బకెటు బిగించిన తాడు సహాయంతో బావిలో నుంచి బకెట్ను తీసే సందర్భంలో మనిషి చేసిన పని
b) పై సందర్భంలో గురుత్వబలం చేసిన పని
జవాబు:
a) బావిలో నుండి బొక్కెనను పైకి లాగుచున్నపుడు మనిషి ప్రయోగించిన బలం, బొక్కెన స్థానభ్రంశము రెండూ పై వైపునకు ఉండును. కావున మనిషి చేసిన పని ధనాత్మకం.

b) బొక్కెనపై పని చేయు గురుత్వాకర్షణ బలం క్రింది దిశలో ఉండును. బొక్కెన స్థానభ్రంశం పై దిశలో ఉండును. కావున గురుత్వాకర్షణ బలం వలన జరిగిన పని ఋణాత్మకం.

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది సందర్భాలలో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
a) ఒక వస్తువు వాలు తలంపై క్రిందికి జారుతున్నప్పుడు ఘర్షణ చేసిన పని
b) పై సందర్భంలో గురుత్వబలం చేసిన పని [Imp.Q]
జవాబు:
a) వాలు తలంపై జారుతున్న వస్తువు విషయంలో గమనదిశకు వ్యతిరేక దిశలో ఘర్షణ బలం పనిచేస్తుంది. అందువలన అక్కడ జరిగిన పని ఋణాత్మకము.

b) జరిగిన పని ధనాత్మకం. ఎందుకనగా గురుత్వబలానికి మరియు స్థానభ్రంశానికి మధ్య అల్పకోణం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
ఈ క్రింది సందర్భాలలో బలం వలన జరిగిన పని సంజ్ఞను తెల్పండి.
a) ఒక వస్తువు సమవేగంతో ఘర్షణ ఉన్న క్షితిజ సమాంతర తలంపై చలిస్తూ ఉంటే అనువర్తించిన బలం చేసిన పని
b) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితిలోకి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసే పని
జవాబు:
a) వస్తువు పై పనిచేయుచున్న బలం, వస్తువు స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉన్నవి కావున ఆ బలం వలన జరిగిన పని ధనాత్మకం.

b)గాలి ప్రయోగించు నిరోధ బలం ఎల్లప్పుడూ లోలకము స్థానభ్రంశమునకు వ్యతిరేక దిశలో ఉండును. అందువలన నిరోధ బలం వలన జరిగిన పని ఋణాత్మకం.

ప్రశ్న 7.
ఈ క్రింది ప్రతిపాదనలు సరియైనవో కాదో చెప్పండి. తగిన కారణములను ఇవ్వండి.
a) ఏ అంతర్భలాలు, బాహ్య బలాలు పనిచేస్తున్నప్పటికి ఒక వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
b) చంద్రుడు భూమి చుట్టూ ఒక భ్రమణం చేయడానికి భూమి గురుత్వ బలం చేసిన పని శూన్యం.
జవాబు:
a) ఈ ప్రతిపాదన సరియైనదే. వ్యవస్థ వియుక్త వ్యవస్థ (isolated system) అయినపుడు ఆ వ్యవస్థ మొత్తము శక్తి స్థిరముగా ఉండును.
గమనిక: శక్తి యొక్క అన్ని రూపములను గణనలోనికి తీసుకోవలయును.

(b) ఈ ప్రతిపాదన సరియైనదే. గరుత్వాకర్షణ బలం నిత్యత్వ బలం (conservative force). నిత్యత్వ బలం వలన ఒక సంవృత వలయంలో జరిగిన పని శూన్యము.

ప్రశ్న 8.
క్రింది సందర్భాలలో ఏ భౌతికరాశి స్థిరంగా ఉంటుంది? [Imp.Q]
i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
జవాబు:
i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో ద్రవ్యవేగం మరియు గతిజశక్తి రెండూ స్థిరంగా ఉంటాయి.

ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో కేవలం ద్రవ్యవేగం మాత్రమే స్థిరంగా వుంటుంది.

ప్రశ్న 9.
‘h’ ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా క్రిందకు పడిన ఒక వస్తువు చదునైన నేలను తాకిన తరువాత h/2 ఎత్తుకు పైకి లేస్తే ఆ వస్తువుకు, నేలకు మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ఎంత? [TS 18][Imp.Q]
జవాబు:
ఇక్కడ h₁ = h మరియు h₂ = h/2

ప్రశ్న 10.
స్వేచ్ఛగా కొంత ఎత్తు నుండి భూమిపై పడ్డ వస్తువు అనేకసార్లు అదేచోట పడిలేచిన తరువాత అభిఘాతాలు ఆగిపోయేలోపు దాని మొత్తం స్థానభ్రంశం ఎంత? వస్తువుకు, భూమికి మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ‘e’ అనుకోండి.
జవాబు:
మొత్తం స్థానభ్రంశం = h. ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం = h (\(\frac{1+e^2}{1-e^2}\))

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
స్థితిజశక్తి అంటే ఏమిటి ? గురుత్వ స్థితిజశక్తి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

స్థితిజశక్తి :
తన స్థానము లేదా స్థితి వలన కాని వస్తువుకు ఉండే శక్తిని స్థితిజశక్తి అంటారు. ఉదా : రిజర్వాయర్లో గల నీటికి, చుట్టబడిన స్ప్రింగ్కు స్థితిశక్తి ఉంటుంది.

స్థితిశక్తి సమీకరణము :
‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు భూమిఉపరితలంపై నిశ్చలస్థితిలో ఉంది అనుకొనుము. ఆ వస్తువుపై పనిచేసే బలం దాని భారం mg కి సమానం. ఆ వస్తువును ‘h’ ఎత్తుకు లేవనెత్తడానికి అవసరమయ్యే బలం mg.
జరిగిన పని W = బలము × స్థానభ్రంశము = mg × h = mgh
వస్తువు మీద జరిగిన పని దానిలో శక్తి రూపంలో స్థితిశక్తిగా నిల్వఉంటుంది. కావున పని = P.E
∴ స్థితిశక్తి P.E = mgh

ప్రశ్న 2.
ఒకే ద్రవ్యవేగం కలిగి ఉన్న ఒక లారీ మరియు కార్లను విరామ స్థితికి తీసుకురావడానికి ఒకే బ్రేకు బలాన్ని ఉపయోగించారు. ఏ వాహనం తక్కువ కాలంలో విరామ స్థితికి వస్తుంది? ఏ వాహనం తక్కువ దూరంలో ఆగుతుంది. [Imp.Q]
జవాబు:
లారీ, కారు ఒకే ద్రవ్యవేగంతో చలిస్తున్నాయి మరియు వాటిపై పనిచేసే వ్యతిరేకబలం సమానం.

⇒ F × t = mv – mu ప్రకారం (తొలి వేగం = v, తుది వేగం = 0)
లారీ మరియు కారు తొలి ద్రవ్యవేగాలు mv సమానం. మరియు వానిపై ప్రయోగించిన బ్రేకుల బలాలు (F) సమానం. కనుక t లు కూడ సమానం. అనగా లారీ, కారు ఒకేసారి విరామ స్థితికి వచ్చును.

ప్రశ్న 3.
నిత్యత్వ మరియు అనిత్యత్వ బలాల మధ్య తేడాలను వ్రాయండి. వాటికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణ ఇవ్వండి. [Imp.Q]
జవాబు:

నిత్యత్వ బలాలు	అనిత్యత్వ బలాలు
1. సంవృత వలయంలో ఏదైనా బలం వలన జరిగిన పని శూన్యమైతే దానిని నిత్యత్వ బలం అంటారు.	1. సంవృత వలయంలో ఏదైనా బలం వలన జరిగిన పని శూన్యం కాకపోతే దానిని అనిత్యత్వ బలం అంటారు.
2. ఈ బలాల వలన జరిగిన పని, దాని మార్గంపై ఆధారపడదు.	2. ఈ బలాల వలన జరిగిన పని, దాని మార్గంపై ఆధారపడుతుంది.
3. ఉదా || గురుత్వ బలం.	3. ఉదా || ఘర్షణ బలం.

ప్రశ్న 4.
ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో అభిఘాతానికి ముందు రెండు వస్తువుల అభిగమన సాపేక్ష వేగం అభిఘాతం తరువాత వాటి నిగమన సాపేక్ష వేగానికి సమానమని చూపండి? [Imp.Q] [TS 18] [AP 20]
జవాబు:
A మరియు B అనే గోళాల ద్రవ్యరాశులు m₁, m₂ కలిగి, u₁ మరియు u₂ తొలివేగాలతో ప్రయాణిస్తూ అభిఘాతం చెందాయి. వాటి తుది వేగాలు v₁ మరియు v₂ అనుకొనుము.

రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం
అభిఘాతం ముందు మొత్తం ద్రవ్యవేగం = అభిఘాతం తర్వాత మొత్తం ద్రవ్యవేగం
m₁ u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂
m₁(u₁ – v₁) = m₂(v₂ – u₂) ——–(1)
గతిశక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం.

అనగా అభిఘాతం ముందు అభిగమన సాపేక్షవేగం = అభిఘాతం తర్వాత నిగమన సాపేక్షం.

ప్రశ్న 5.
రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు ఏటవాలు స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందినప్పుడు రెండవ వస్తువు మొదట్లో విరామ స్థితిలో ఉన్నది. అభిఘాతం తరువాత అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా చలిస్తాయని చూపండి.
జవాబు:

m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు u₁ వేగంతో X- అక్షము దిశలో ప్రయాణించుచూ విరామస్థితిలో ఉన్న m ద్రవ్యరాశి గల B అను వస్తువుతో స్థితిస్థాపక ద్విమితీయ అభిఘాతం జరిపినది అని అనుకొనుము.

అభిఘాతము తరువాత A అను వస్తువు X- అక్షముతో θ కోణం చేయుచూ v₁ వేగంతో చలించుచున్నదను కొనుము. అభిఘాతము తరువాత B అను వస్తువు X- అక్షముతో Φ కోణం చేయుచూ v₂ వేగంతో చలించుచున్నదను కొనుము.

స్థితి స్థాపక అభిఘాతం కనుక గతిశక్తి నియమం ప్రకారం

కావున ఆ రెండు వస్తువుల ద్విమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతం తరువాత పరస్పర లంబదిశలలో ప్రయాణించును.

ప్రశ్న 6.
కొంత ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిన వస్తువు భూమితో ‘n’ అభిఘాతాలు చెందిన తరవాత అది పొందిన ఎత్తుకు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
‘h’ ఎత్తు నుంచి ఒక బంతిని నేలపై జారవిడిచామనుకుందాం. బంతి u₁ వేగంతో నేలను ఢీకొని h₁ ఎత్తుకు లేస్తుంది అనుకోండి. అభిఘాతం ముందు అభిఘాతం తరువాత కూడా నేల వేగం శూన్యం (u₂ = v₂ = 0).

ప్రశ్న 7.
శక్తి నిత్యత్వ నియమును వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
ఒక వియుక్త వ్యవస్థ (isolated system) మొత్తము శక్తి స్థిరముగా ఉండును. అనగా వ్యవస్థలో శక్తి ఒక రూపములో నశించిన, అంతే శక్తి వేరొక రూపములలో జనించును. అనగా శక్తిని సృష్టించలేము లేక నశింపచేయలేము.

ఒక వ్యవస్థ యొక్క యాంత్రిక శక్తి వరకు ఆలోచించిన, వ్యవస్థ పై పనిచేయు బలములు నిత్యత్వమైనప్పుడు, యాంత్రిక శక్తి (స్థితిశక్తి + గతిశక్తి) స్థిరముగా ఉండును. కాని వ్యవస్థపై పనిచేయు బలములలో కొన్ని అనిత్యత్వములైనచో, యాంత్రిక శక్తిలోని కొంత భాగము ఉష్ణము, కాంతి, ధ్వని వంటి శక్తి రూపములలోనికి మారవచ్చును. కాని వ్యవస్థ యొక్క మొత్తము శక్తి స్థిరముగా ఉండును.

మొత్తము విశ్వమును ఒక వియుక్త వ్యవస్థగా భావించిన, ఈ విశ్వము మొత్తము శక్తి స్థిరము. విశ్వంలోని ఒక భాగం శక్తిని కోల్పోయిన, ఇంకొక భాగం అంతే శక్తిని గ్రహించును.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
పని, గతిజశక్తి భావనలను అభివృద్ధి పరచి ఇది పని శక్తి సిద్ధాంతానికి దారితీస్తుందని చూపండి. [AP 17][TS 15, 22]
జవాబు:
పని :
ఒక వస్తువు పై బలం ప్రయోగించినపుడు, బల ప్రయోగదిశలో వస్తువునకు స్థానభ్రంశం ఉన్నపుడు ఆ బలం వలన పని జరిగినది అని అంటారు. ప్రయోగించిన బలం \(\overrightarrow{F}\) వస్తువు స్థానభ్రంశం \(\overrightarrow{S}\) అయితే పని W = \(\overrightarrow{F}.\overrightarrow{S}\)

గతిశక్తి :
ఒక వస్తువునకు తన చలనం వలన సంక్రమించే శక్తిని గతిశక్తి అని అంటారు.
ఉదా : గమనంలో ఉన్న రైలు, ప్రవహించుచున్న నీరు మొదలైనవి. ‘m’ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు v వేగంతో చలించుచున్నపుడు
దాని గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)mv²

పని శక్తి సిద్ధాంతము ఉత్పాదన :
‘m’ ద్రవ్యరాశి కలిగి, తొలివేగం ‘u’ తో చలించే వస్తువుపై ‘F’ అనే స్థిర బలం పనిచేస్తుందని అనుకుందాం. t కాలంలో వస్తువు పొందిన స్థానభ్రంశం S మరియు తుది వేగం ‘ అనుకొనుము.

W = తుదిగతిశక్తి – తొలిగతిశక్తి
కావున పనిశక్తి సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నియమాలు :
మారుతున్న బలాలతో పనిచేస్తున్న ఒక వ్యవస్థలోని కణాలపై పని-శక్తి సిద్ధాంతం అనువర్తింపచేయవచ్చు.

ప్రశ్న 2.
అభిఘాతములు అనగా ఏమి? అభిఘాతములు ఎన్ని రకములుగా ఉండవచ్చును? ఏకమితీయ స్థితి స్థాపక అభిఘాత సిద్ధాంతమును వివరించండి. [TS 22][AP 19,20,22][Imp.Q]
జవాబు:
అభిఘాతము :
ఇతర బలాల ప్రభావం లేకుండా, రెండు వస్తువుల మధ్య అతి తక్కువ కాల వ్యవధిలో జరిగే అంతర చర్యల వల్ల ద్రవ్యవేగం వినిమయం జరుగుతుంది. దీనినే అభిఘాతం అంటారు.

అభిఘాతములు రెండు రకములు:
(i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతం
(ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం

(i) స్థితిస్థాపక అభిఘాతం:
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం, గతిశక్తి నిత్యత్వ నియమం రెండూ పాటించబడు అభిఘాతములను స్థితిస్థాపక అభిఘాతములు అని అంటారు.
ఉదా : రెండు బిలియర్డ్స్ బంతుల మధ్య అభిఘాతము, వాయు అణువుల మధ్య అభిఘాతములు

(ii) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతం:
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం పాటించబడి, గతిశక్తి నిత్యత్వ నియమం పాటించబడని అభిఘాతములను అస్థితి స్థాపక అభిఘాతములు అని అంటారు.
ఉదా : బ్యాట్ తో బంతిని కొట్టుట, బుల్లెట్ను చెక్కదిమ్మె లోనికి పేల్చుట.

m₁ ద్రవ్యరాశి గల ఒక గోళం u₁ వేగంతో చలిస్తూ, m₂ ద్రవ్యరాశి కలిగి అదే దిశలో u₂ వేగంతో చలించే మరొక గోళాన్ని ఢీ కొన్నదనుకోండి. అభిఘాతం తర్వాత వాటి వేగాలు వరుసగా v₁, v₂ అనుకోండి.

ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం
అభిఘాతం ముందు మొత్తం ద్రవ్యవేగం = అభిఘాతం తర్వాత మొత్తం ద్రవ్యవేగం.
⇒ m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ ⇒ m₁(u₁ – v₁) = m₂(v₂ – u₂) ——–(1)
గతిశక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి

ప్రశ్న 3.
శక్తి నిత్యత్వ నియమమును నిర్వచించి, స్వేచ్ఛగా పడు వస్తువు విషయంలో దానిని నిరూపించండి. [Imp.Q] [AP,TS 15,16,17,18,19,20]
జవాబు:
శక్తి నిత్యత్వ నియమం :
శక్తిని సృష్టించలేము, నాశనం చేయలేము, కాని ఒక రూపంలోని శక్తిని మరొక రూపంలోకి మార్చవచ్చును.
వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం శక్తి ఎల్లప్పుడూ స్థిరము.

స్వేచ్ఛాపతన వస్తువు :
‘m’ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు భూమి నుంచి ‘h’ ఎత్తులో ఉండే A అనే బిందువు నుంచి స్వేచ్ఛగా పడుతుంది అనుకొనుము.

‘A’ బిందువు వద్ద :
స్థితిశక్తి P.E = mgh
A వద్ద వేగం v_A = u = 0
గతిశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\)mv²_A = m(0)² = 0
మొత్తంశక్తి T.E= P.E + K.E = mgh + 0 = mgh …..(1)

‘B’ బిందువు వద్ద :
స్థితిశక్తి P.E = mg(h – x) = mgh – mgx
మరియు B బిందువు వద్ద s = x, u = 0, v = v_B, a = +g
∴ v² – u² = 2as ⇒ v²_B = 2gx
ఇక్కడ K.E = \(\frac{1}{2}\)mv²_B = \(\frac{1}{2}\)m(2gx) = mgx
∴ T.E = P.E + K.E = mgh – mgx + mgx = mgh …….(2)

‘C’ బిందువు వద్ద :
స్థితిశక్తి P.E = mg (0) = 0, ‘C’ బిందువు వద్ద h = 0 కావున
మరియు C బిందువు వద్ద s = h, u = 0, v = v_c, a = +g
∴ v² – u² = 2as ⇒ v² = 2gh

ఇక్కడ K.E = \(\frac{1}{2}\)mv²_C = \(\frac{1}{2}\)m(2gh) = mgh
మొత్తంశక్తి T.E = P.E + K.E = 0 + mgh = mgh …….(3)
(1),(2),(3) ల నుండి మొత్తం శక్తి ‘స్థిరం’ అని తెలియచున్నది.
కావున శక్తి నిత్యత్వ నియమం నిరూపించబడింది.

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
బలము \(\overline{\mathrm{F}}=(3\overline{\mathrm{i}}+4\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}})\) ప్రమాణములు మరియు స్థాన భ్రంశము \(\overline{\mathrm{d}}=(5\overline{\mathrm{i}}+4\overline{\mathrm{j}}+3\overline{\mathrm{k}})\) ప్రమాణములు. వీని మధ్య కోణము ఎంత? \(\overline{\mathrm{d}}\) సదిశ దిశలో \(\overline{\mathrm{F}}\) విక్షేపాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
సైకిలు పై పోవు వ్యక్తి జారుతూ 10 మీటర్ల దూరములో సైకిల్ ను అపివేసెను. ఈ ప్రక్రియలో సైకిల్ మీద రోడ్డు ప్రయోగించిన బలం 200 న్యూ. (a) రోడ్డు సైకిలు పై చేసిన పని ఎంత? (b) సైకిలు రోడ్డు పై చేసిన పని ఎంత?
సాధన:
(a) సైకిలును ఆపుటకు ప్రయోగించబడిన బలము, సైకిలు స్థానభ్రంశమునకు వ్యతిరేకదిశలో ఉండును. అనగా వాని మధ్య కోణము 180°.
కాబట్టి రోడ్డు చేసిన పని W_r = Fd cosθ = 200 × 10 × cos180° = -2000 J

(b) న్యూటను 3 వ గమన నియమం ప్రకారం, సైకిలు రోడ్డు పై 200 న్యూ. బలమును ప్రయోగించును. కాని రోడ్డు స్థాన భ్రంశము చెందదు. కాబట్టి సైకిలు రోడ్డు పై చేసిన పని శూన్యం.

ప్రశ్న 3.
ఒక పోలీసు అధికారి 50 గ్రా. బుల్లెట్ను 200 మీ/సె. వేగంతో ప్రేల్చెను. బుల్లెట్ 2 సెం.మీ. మందము గల చెక్క నుండి బయటకు వచ్చుచున్నప్పటికి దాని గతి శక్తి తొలి గతి శక్తిలో 10% ఉన్నచో చెక్క నుండి బయటకు వెలువడునపుడు దాని వేగం ఎంత? [TS 15]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ఒక లిఫ్ట్ మోయగలిగిన గరిష్ట భారం (లిఫ్ట్ + వ్యక్తులు) 1800 కి.గ్రా. ఆ లిఫ్ట్ 2 మీ/సె. స్థిరవేగంతో పైకి పోవుచున్నది. దాని చలనమును నిరోధించుచున్న బలం 4000 న్యూ. ఒక మోటారు లిఫ్టునకు అందించవలసిన కనీస సామర్ధ్యము ను వాట్టులలోను, అశ్వసామర్థ్యములలోను కనుగొనుము.
సాధన:
లిఫ్టు పై క్రింది దిశలో పని చేయుచున్న మొత్తము బలము F = mg + F_f = (1800 × 10) + 4000 = 22000N
లిఫ్ట్ 2మీ/సె స్థిర వేగంతో పైకి పోవుటకు మోటారు ప్రయోగించవలసిన కనీస బలం, ఈ బలమునకు సమానం. కనుక సామర్థ్యం, P = F.v = 22000 × 2 = 44000 W
మోటారు సామర్థ్యం (అశ్వ సామర్థ్య ప్రమాణములలో) = 59 hp (∵ 1 hp = 746W)

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
10 గ్రాములు ద్రవ్యరాశి గల ఒక పరీక్షనాళికలో కొంత ఈధర్ను 1 గ్రాము ద్రవ్యరాశి గల మూతతో బంధించిరి. పరీక్ష నాళికను వేడిచేసినపుడు ఈథర్ ప్రయోగించు ఒత్తిడితో మూత ఎగిరిపోవును. 5 సెం.మీ పొడవు గల తేలికైన దృఢ కడ్డీతో పరీక్ష నాళికను క్షితిజ సమాంతరముగా వ్రేలాడదీసిరి. దృఢ కడ్డీని ఆధారము చేసుకొని, పరీక్ష నాళిక నిలువు తలములో ఒక వృత్తమును పూర్తి చేయుటకు, మూత ఎంత కనీస వేగంతో పరీక్ష నాళిక నుండి బయటకు రావలయును? ఈథర్ ద్రవ్యరాశిని నిర్లక్ష్యము చేయవచ్చును.
సాధన:
పరీక్ష నాళిక ద్రవ్యరాశి, m_T = 10 గ్రా = 10 × 10^-3 కి.గ్రా
మూత ద్రవ్యరాశి, mc = 1 గ్రా = 1 × 10^-3 కి.గ్రా
కడ్డీ పొడవు = పరీక్ష నాళిక తిరుగు వృత్త వ్యాసార్థము = r = 5 సెం.మీ = 5 × 10^-2 మీ

వేడి చేయుటకు ముందు, పరీక్ష నాళిక మరియు దాని మూత విరామ స్థితిలో ఉండును. కావున వాని తొలి ద్రవ్యవేగము సున్న. ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, వేడి చేసిన తరువాత కూడ వాని మొత్తము ద్రవ్యవేగము సున్నకు సమానముగా ఉండవలయును.
మూత ద్రవ్యవేగం = పరీక్ష నాళిక ద్రవ్యవేగం

ప్రశ్న 2.
ఒక మర తుపాకి నిమిషమునకు 360 బుల్లెట్లను ప్రేల్చును. ఒక్కొక్క బుల్లెట్ వేగము 600 మీ/సె మరియు ద్రవ్యరాశి 5 గ్రా. అయిన మరతుపాకి సామర్థ్యము ఎంత? [TS 18][IPE’ 13, 13][AP 15, 16, 18, 19]
సాధన:
ఒక్కొక్క బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి (m) = 5గ్రా = 5 × 10^-3 కి.గ్రా, ఒక్కొక్క బుల్లెట్ వేగము (v) = 600 మీ/సె
తుపాకి గుండ్ల సంఖ్య (n) = 360; కాలం (t) = 1 నిమిషం = 60 సె; సామర్థ్యం (p) =?

ప్రశ్న 3.
8 మీటర్ల లోతు గల బావి నుండి ఉపరితలమునకు గంటకు 3425 మీ3 నీటిని పైకి తోడుటలో ఒక మోటారు సామర్థ్యములో ఉపయోగపడిన సామర్థ్యము ఎంత? మోటారు అశ్వసామర్థ్యము లో 40% వృధా అయిన దాని అసలు అశ్వ సామర్థ్యం ఎంత?
సాధన:
పైకి తోడిన నీటి ఘన పరిమాణం, v = 3425 మీ³., నీటి సాంద్రత d = 1000 కి.గ్రా/మీ³.
∴ పైకి తోడిన నీటి ద్రవ్యరాశి, m = ఘనపరిమాణంxసాంద్రత= 3425 × 10³ కి.గ్రా
నీరు పైకి వచ్చిన ఎత్తు(h) = 8 మీ, గురుత్వ త్వరణం(g) = 9.8 మీ. సె^-2
1 గంటలో మోటారు పంప్ చేసిన పని = mgh
= 3425 × 10³ × 9.8 × 8 = 268520 × 10³J

ప్రశ్న 4.
25 మీటర్ల లోతు గల బావి నుండి నిమిషమునకు 600 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల నీటిని తోడి ఆ నీటిని 50 మీ/సె. వేగంతో బయటకు వదులుటకు ఒక మోటారు పంపనకు కావలసిన సామర్థ్యం ఎంత? [AP 15,18][TS 16,19,20,22]
సాధన:
బయటకు తోడవలసిన నీటి ద్రవ్యరాశి (m) = 600 కి.గ్రా
బావి లోతు (h) = 25 మీ
నీటిని పైకి తోడుటకు మోటారు చేయు వలసిన పని(W₁) = mgh = 600 × 9.8 × 25 = 147000 J
నీటి వేగము (v) = 50 మీ. సె^-1
నీటి ద్రవ్యరాశి(m) = 600 కి. గ్రా
నీటికి గతిశక్తి నిచ్చుటకు మోటారు చేయవలసిన పని, w₂ = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\) × 600 × 2500 = 750000 J
మొత్తము చేయవలసిన పని, w = w₁ + w₂ = 147000 + 750000 = 897000J
కాలం (t) = 1 నిమిషం 60 సె.

ప్రశ్న 5.
ఒక నిరూపక వ్యవస్థ మూల బిందువు వద్ద 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు విరామస్థితిలో ఉన్నది. దానిపై F = (20 + 5x) న్యూ. బలం ధన X- అక్షము దిశలో పనిచేయుచున్నది. అయిన ఆ వస్తువును x = 0 నుండి x = 4 మీ దూరము వరకు జరుపుటకు ఆ బలం చేయవలసిన పని ఎంత?
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (m) = 5 కి.గ్రా
వస్తువు పై బలం (F) = (20 + 5x) న్యూ
వస్తువును dx అను స్వల్ప దూరమును జరుపుటకు చేయవలసిన పని dw = Fdx
∴ x = 0 నుండి x = 4 వరకు వస్తువును జరుపుటకు చేయవలసిన మొత్తము పని

ప్రశ్న 6.
పటములో చూపినట్లు 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల ఒక దిమ్మె నునుపైన వాలు తలము పై నుండి జారుచున్నది. వాలు తలము క్రింది చివరన అమర్చిన స్ప్రింగ్ యొక్క బలస్థిరాంకము 600నూ/మీ. దిమ్మె వేగము కనిష్టమగు సమయములో స్ప్రింగ్ లోని సంపీడ్యము ఎంత?
సాధన:
దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 5 కి.గ్రా, K = 600 న్యూ/మీ, g = 10 మీ/సె², స్ప్రింగ్లోని సంపీడ్యము x =?

పటము నుండి, sinθ = 3/5
న్యూటను మూడవ గమన నియమం ప్రకారం,
దిమ్మె స్ప్రింగ్ పై ప్రయోగించు బలం F_B
= – స్ప్రింగ్ లోని పునః స్థాపక బలం F_R
F_B = F_R ⇒ mgsinθ = Kx.
⇒ 5 × 10 × \(\frac{3}{5}\) = 600 × x
⇒ 5 × 10 × \(\frac{3}{5}\) = 600 × x ⇒ x = \(\frac{30}{600}\) = 0.05m = 5cm

ప్రశ్న 7.
F = –\(\frac{K}{x^2}\)(x ≠ 0) అను బలము ఒక కణము పై X అక్షము దిశలో పని చేయుచున్నది. ఆ కణమును x = +a నుండి x = +2a వరకు స్థానభ్రంశము చెందించుటలో ఆ బలం చేసిన పని ఎంత? K ఒక ధనాత్మక స్థిరాంకము అనుకొనుము.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
కణము స్థానము X తో కణము పై పనిచేయు బలం F మారు విధానము గ్రాఫ్ చూపబడినది. కణమును x = +a నుండి x = +2a వరకు స్థానభ్రంశము చెందించుటకు బలం చేయు పని ఎంత?

సాధన:
బలం చేసిన పని = x అక్షమునకు, f-x రేఖకు మధ్య గల వైశాల్యము
= OAB త్రిభుజ వైశాల్యము + OCD త్రిభుజ వైశాల్యము
= \(\frac{1}{2}\)× OB × AB – \(\frac{1}{2}\)× OD × CD (బలం దిశ వ్యతిరేకమయినది)
= \(\frac{1}{2}\)× 2a × 2b – \(\frac{1}{2}\) × b × a = 2ab – \(\frac{ab}{2}=\frac{3ab}{2}\)

ప్రశ్న 9.
క్షితిజ సమాంతర తలము నుండి 20 మీటర్ల ఎత్తుగల బిందువు వద్ద నుండి ఒక బంతిని 20 మీ/సె. వేగంతో నిట్టనిలువుగా క్రిందికి విసిరిరి. బంతి నేలను తాకి మరల 20 మీ. ఎత్తునకు లేచినది. అయిన క్షితిజ సమాంతర తలమునకు, బంతికి ‘మధ్యగల ప్రత్యవస్థాన గుణకము ఎంత? (g = 10m/s²)
సాధన:
క్రిందికి వచ్చున్నపుడు బంతి తొలి వేగం, u = 20 మీసె^-1.
బంతి నేలను తాకు లోపల ప్రయాణించు దూరం, s = h = 20 మీ
బంతి నేలను తాకునపుడు వేగం, u₁ = ?

బంతిని మొదటి వస్తువుగా నేలను రెండవ వస్తువుగా భావించుము. బంతికి, నేలకు జరిగిన అభిఘాతములో, అభిఘాతమునకు ముందు మరియు తరువాత నేల విరామస్థితిలో ఉండును. అభిఘాతమునకు ముందు బంతిదిశ, అభిఘాతము తరువాత బంతి దిశకు వ్యతిరేకముగా ఉండును.

ప్రశ్న 10.
ఒక బంతి 10 మీటర్ల ఎత్తు నుండి ఒక క్షితిజ సమాంతర గట్టి ఉపరితలము పై పడి అనేక సార్లు పైకి, క్రిందికి ప్రయాణించినది. ఆ తలముల మధ్య ప్రత్యవస్థాన గుణకం 1/√2 అయిన బంతి విరామ స్థితికి (అనగా పైకి లేవకుండ) వచ్చు లోపల ప్రయాణించిన దూరం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 11.
కొంత ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుతూ ఉన్న 5 kg ద్రవ్వరాశి గలవస్తువు భూమి నుండి 10 m ఎత్తులో ఉన్నపుడు నిలువుగా క్రిందికి 20 m/s వేగం ఉన్న సందర్భంలో ఆ వస్తువు యొక్క మొత్తం శక్తిని కనుక్కోండి. (గురుత్వ త్వరణం 10 m/s² గా తీసుకోండి). [TS 16]
సాధన:
వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి(m) = 5kg; వస్తువు యొక్క ఎత్తు (h) = 10m
వస్తువు యొక్క వేగం (v) = 20m/s, గురుత్వ త్వరణం (g) = 10 m/s
స్థితిజ శక్తి = mgh = 5 × 10 × 10 = 500 J
= -×5 × 400=1000J
గతిజ శక్తి = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\) × 5 × (20)² = \(\frac{1}{2}\)× 5 × 400 = 1000J
∴ మొత్తం శక్తి = స్థితిజ శక్తి + గతిజశక్తి = 500 + 1000 = 1500J

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 5th Lesson గమన నియమాలు which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 5th Lesson గమన నియమాలు

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
జడత్వం అనగానేమి? జడత్వ కొలతను ఏది ఇస్తుంది?. [AP 19][IPE ’14][TS 17]
జవాబు:
జడత్వం :
ఒక వస్తువు దాని స్థితిలో మార్పును వ్యతిరేకించే ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి జడత్వానికి కొలమానంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ మూడవ గమన నియమము ప్రకారం, చర్యకు ప్రతిచర్య ఉంటే, గమనం అనేది ఏవిధంగా సాధ్యమవుతుంది?
జవాబు:
బలాల జంట ఒకే వస్తువుపై పనిచేయవు. అందువలన ఆ రెండు బలాలు రద్దుకావు. కావున గమనం సాధ్యమగును.

ప్రశ్న 3.
ఒక తుపాకీ నుంచి బుల్లెట్ను పేల్చినపుడు, తుపాకీని వెనకకు నెట్టివేసినట్లు అనిపిస్తుంది. వివరించండి. [AP 15]
జవాబు:
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం తుపాకీ నుంచి బుల్లెట్ను పేల్చినపుడు, తుపాకీ ద్రవ్యవేగం బుల్లెట్ ద్రవ్యవేగమునకు పరిమాణంలో సమానంగానూ దిశలో వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. బుల్లెట్ ముందుకు పోతుంటే తుపాకీ వెనుకకు వస్తుంది. ఈ చలనాన్ని తుపాకీ ప్రత్యావర్తకం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
ఒకే గుళ్ళను ఉపయోగించినా బరువుగా ఉన్న రైఫిల్ తేలికైన రైఫిల్ కంటే తక్కువ వేగంతో వెనుకకు చలిస్తుంది. ఎందువల్ల? [TS 17] [Imp.Q]
జవాబు:
రైఫిల్ ప్రత్యావర్తనం V = \(\frac{mu}{M}\)
రైఫిల్ ద్రవ్యరాశి (M) అధికము. M విలువ హారములో ఉన్నది కావున రైఫిల్ ప్రత్యావర్తనం తక్కువ.

ప్రశ్న 5.
విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు రెండు ముక్కలుగా పేలితే దాని ముక్కలు వ్యతిరేకదిశలో చలిస్తాయి. వివరించండి. [TS 15, 22]
జవాబు:
బాంబు నిశ్చల స్థితిలో ఉన్నపుడు దాని రేఖీయ ద్రవ్యవేగం శూన్యం. అంతర్గత బలాల వలన బాంబు పేలి రెండు ముక్కలయినపుడు, రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం ఆ రెండు ముక్కల మొత్తము ద్రవ్యవేగము శూన్యమవ్వాలి. అందువలన ఆ రెండు ముక్కలకు సమానం మరియు వ్యతిరేకమయిన ద్రవ్యవేగాలు ఉంటాయి. కావున అవి ప్రయాణం చేసే దిశలు వ్యతిరేకంగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 6.
బలాన్ని నిర్వచించండి. ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలను పేర్కొనండి. [Imp.Q]
జవాబు:
బలం :
ఒక వస్తువు స్థితిని మార్చేది లేదా మార్చడానికి ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలం అంటారు.

ప్రకృతిలో ప్రాధమిక బలాలు :
గురుత్వబలం, విద్యుత్ అయస్కాంతబలం, కేంద్రక బలాలు. (ప్రబల కేంద్రక బలం మరియు దుర్బల కేంద్రక బలం)

ప్రశ్న 7.
ఘర్షణ గుణకం విలువ ఒకటికంటే ఎక్కువ ఉంటుందా? [TS 18]
జవాబు:
సాధారణంగా ఘర్షణ గుణకం 1 కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. అయితే స్పృశించే రెండు తలాలను వాటి అణు దూరాల వరకు వేరుచేస్తే అణువుల మధ్య ఆకర్షణ బలాలు పెరిగి ఘర్షణ గుణకం విలువ ఒకటికంటే ఎక్కువ అయ్యే అవకాశం ఉంటుంది. కానీ సాధారణంగా ఇది సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న 8.
గాలి నిండిన టైర్లను కలిగి ఉన్న కారు కంటే గాలి లేని టైర్లు ఉన్న కారు తొందరగా ఆగుతుంది. ఎందుకు? [AP 20]
జవాబు:
స్పర్శలో ఉన్న తలాల రూపం మారితే దొర్లుడు ఘర్షణ పెరుగుతుంది. గాలి ఉన్న టైరు కన్నా గాలి లేని టైరుకు విరూపం ఎక్కువ. అందువల్ల ఘర్షణ పెరిగి గాలిలేని కారు టైరు త్వరగా ఆగిపోతుంది.

ప్రశ్న 9.
గుర్రం చలనంలో ఉన్నప్పటి కంటే, అది బయలుదేరుట ప్రారంభించే సమయంలో ఎక్కువ బలాన్ని ఎందుకు ఉపయోగిస్తుంది? [AP 22][AP, TS 16,18]
జవాబు:
గుర్రంబండి నిశ్చలస్థితిలో ఉన్నప్పుడు, గమనంలోకి తేవడానికి గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ బలాన్ని అధిగమించే ఘర్షణ బలం పని చేయాలి. బండి గమనంలోకి వచ్చిన తర్వాత ఘర్షణబలం తగ్గుతుంది. అందువలన గమనానికి ముందు గుర్రంబండిపై ఎక్కువ బలం ప్రయోగించాలి.

ప్రశ్న 10.
వస్తువు భారాన్ని రెట్టింపు చేస్తే ఘర్షణ గుణకం ఏమవుతుంది.? [TS 19, 22][AP 16, 19]
జవాబు:
ఘర్షణ గుణకం వస్తువు భారంపై ఆధారపడి ఉండదు. ఘర్షణ గుణకం విలువ ఎప్పుడూ మారదు.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
0.1 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి గల రాయిని నిలువుగా పైకి విసిరారు. క్రింది సందర్భాలలో రాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం దిశను తెలపండి. (a) నిలువుగా పైకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు (b) క్రిందికి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు (c) గరిష్ట ఎత్తు వద్ద (ఎక్కడైతే క్షణం పాటు రాయి విరామ స్థితికి వస్తుందో)
జవాబు:
పై మూడు సందర్భములలోనూ రాయిపై పనిచేయు ఏకైక బలము గురుత్వాకర్షణ బలం. రాయి భూమికి సమీప ఎత్తులో ఉన్నంత వరకు రాయిపై పనిచేయు గురుత్వాకర్షణ బలం పరిమాణంలోనూ, దిశలోను స్థిరముగా ఉండును. రాయి పై పని చేయు గురుత్వాకర్షణ బలం m = 0.1kg, g = 9.8 మీసె^-2.
∴ F = mg= 0.1 × 9.8 = 0.98 N ఈ బలం ఎల్లప్పుడు క్రింది దిశలో పని చేయును.

ప్రశ్న 2.
ద్రవ్యవేగం, ప్రచోదనాలను నిర్వచించండి? రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని నిర్వచించి, వివరించండి. ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. [Imp.Q][TS 15,18][AP 20]
జవాబు:
ద్రవ్యవేగము(p) :
ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు వేగముల లబ్దాన్ని ద్రవ్యవేగము అంటారు.

ప్రచోదనం(J) :
బలం మరియు కాలముల లబ్ధాన్ని ప్రచోదనంగా నిర్వచిస్తారు. లేదా ఒక వస్తువు మీద కొంత బలం ప్రయోగించినపుడు దాని రేఖీయ ద్రవ్యవేగంలో సంభవించే మార్పును ప్రచోదనం అంటారు.
ప్రచోదనం = బలం × కాలం

రేఖీయ ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నిమయం :
అన్యోన్య చర్యగల కణాలు కలిగిఉన్న ఒక వియుక్త వ్యవస్థపై ‘ఫలిత బాహ్యబలం’ పనిచేయనపుడు, ఆ వ్యవస్థయొక్క మొత్తం ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.

అభిఘాతం ముందు మొత్తం ద్రవ్యవేగం = అభిఘాతం తరువాత మొత్తం ద్రవ్యవేగం.

కావున, అభిఘాతం ముందు ద్రవ్యవేగం = అభిఘాతం తర్వాత మొత్తం ద్రవ్యవేగం

ఉదా -1 : విస్ఫోటనం చెందే బాంబు :
నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న బాంబు విస్ఫోటనం చెంది రెండు ముక్కలుగా విడిపోతే ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం,
విస్ఫోటనానికి ముందు మొత్తం ద్రవ్యవేగం = విస్ఫోటనం తర్వాత మొత్తం ద్రవ్యవేగం
⇒ 0= m₁v₁ + m₂v₂ → m₁v₁ = -m₂v₂
అనగా విస్ఫోటనం చెందిన రెండు ముక్కల యొక్క ద్రవ్యవేగం అభిఘాతానికి ముందు, తర్వాత సమానము మరియు వ్యతిరేకం
ఉదా -2 : రాకెట్ మరియు జెట్ విమానంల ‘చలనం’ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని పాటించును.

ప్రశ్న 3.
మోటారు సైకిళ్లు, కార్లకు షాక్ అబ్జార్బర్లను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు? [AP 15]
జవాబు:
గతుకుల రోడ్లపై వాహనాలు ప్రయాణించేటపుడు షాక్ అబ్జార్బర్ల వలన ప్రచోదనకాలం పెరుగుతుంది. ఫలితంగా ప్రచోదన బలం తగ్గుతుంది. అందువల్ల ప్రయాణికుడు సౌకర్యమైన ప్రయాణాన్ని పొందుతాడు.

ప్రశ్న 4.
సీమాంత స్థితిక ఘర్షణ, గతిక ఘర్షణ మరియు దొర్లుడు ఘర్షణలను వివరించండి. [Imp.Q]
జవాబు:
1) సీమాంత స్థితిక ఘర్షణ (fms) :
నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న వస్తువు కదలడానికి సిద్ధంగా ఉన్నప్పుడు వాటి తాకే తలాల మధ్య పని చేసే గరిష్ట స్థితిక ఘర్షణ బలాన్ని సీమాంత స్థితిక ఘర్షణ అంటారు.

2) గతిక (లేదా) జారుడు ఘర్షణ (f) :
తలంపై జారుతున్న వస్తు గమనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక (లేదా) జారుడు ఘర్షణ అని అంటారు.

3) దొర్లుడు ఘర్షణ (fr) :
ఒక తలంపై దొర్లుతున్న వస్తువు గమనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.

ప్రశ్న 5.
ఘర్షణ వలన కలిగే లాభాలు, నష్టాలను వివరించండి. [*Imp.Q][AP 15,19][TS 15,17,22]
జవాబు:
ఉపయోగాలు :

1. పాదాలకు, భూమికి మధ్య ఘర్షణ లేకపోతే మనం భూమిపై నడవలేం.
2. బ్రేకులు ఉపయోగించి వాహనాలను రోడ్లపై ఆపడానికి ఘర్షణ బలమే కారణం.
3. టేబుల్పై ఉన్న బుక్ను పట్టుకోగలగటానికి గల కారణం చేతికి, బుక్కి మధ్య గల ఘర్షణ బలం.
4. యంత్రానికి అమర్చిన బెల్టుద్వారా యాంత్రికశక్తి యొక్క ప్రసరణ ఘర్షణబలం వల్లే సాధ్యమవుతుంది.

నష్టాలు :

1. ఘర్షణ వల్ల యంత్రభాగాలలో శక్తి నష్టం జరుగుతుంది.
2. ఘర్షణ వల్ల యంత్రభాగాలలోని వివిధ భాగాలు అరిగిపోవడం, కోతకు గురికావడం జరుగుతుంది. దీనివల్ల
   జీవితకాలం తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఘర్షణను తగ్గించే పద్ధతులను తెలపండి. [AP 18,22] [IPE ‘14,14][TS 16,17,19]
జవాబు:
1) పాలిష్ చేయడం :
తలాలను పాలిష్ చేయడం వల్ల ఆ తలాల మధ్య ఘర్షణను తగ్గించవచ్చు.

2) స్నేహకాలను వాడటం :
ఘర్షణను తగ్గించడానికి స్పర్శలో గల రెండు తలాల మధ్య స్నేహకాలను ఉపయోగిస్తారు.

3) బాల్ బేరింగులు ఉపయోగించడం :
సైకిళ్ళు, ద్విచక్ర వాహనాలు, మోటారు కార్లు, డైనమో లాంటి స్వేచ్ఛగా తిరిగే వాహన చక్రాల నడిమి భాగాలకు బాల్ బేరింగులను ఘర్షణ తగ్గించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

4) ధారావాహికాకారం :
మోటారు వాహనాలు, విమానాలు మొదలైన వాటిని ఘర్షణను తగ్గించడానికి ప్రత్యేకమైన ఆకారంలో రూపొందిస్తారు. దీనినే ధారావాహికాకారం అంటారు.

ప్రశ్న 7.
దొర్లుడు ఘర్షణ నియమములను వ్రాయండి. [Imp.Q] [TS 20,22]
జవాబు:
దొర్లుడు ఘర్షణ (f_r) :
ఒక తలంపై దొర్లుతున్న వస్తువు గమనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.

దొర్లుడు ఘర్షణ నియమాలు :

1. స్పర్శా వైశాల్యం తక్కువగా ఉంటే దొర్లుడు ఘర్షణ కూడా తక్కువగా ఉంటుంది.
2. దొర్లుతున్న వస్తువు వ్యాసార్థం ఎక్కువగా ఉంటే, దొర్లుడు ఘర్షణ తక్కువగా ఉంటుంది.
3. దొర్లుడు ఘర్షణ, అభిలంబ ప్రతిచర్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అనగా (f_r ∝ N)
   ⇒ f_r ∝ N ⇒ f_r = µ_rN. ఇక్కడ µ_r అనునది దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం.

ప్రశ్న 8.
లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కంటే లాగడం తేలిక. ఎందుకు? [Imp.Q]
జవాబు:
క్షితిజ సమాంతరంతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ ‘F’ బలం ఉపయోగించి లాన్ రోలర్ను లాగారనుకోండి. F ను పరస్పరం లంబాంశాలుగా విభజిస్తే అవి Fcosθ మరియు Fsinθ అగును.

ఊర్థ్వదిశలో మొత్తం బలం = అధోదిశలో మొత్తం బలం
N + Fsinθ = W ⇒ N = W – Fsinθ
కాని ఘర్షణ బలం f = µN
⇒ f = μ(W – Fsinθ) ——–(1)
లాన్ రోలరు క్షితిజ సమాంతరంతో ‘θ’ కోణం చేస్తున్న ‘F’ బలం తో నెట్టినారనుకోండి.
ఇక్కడ బలం ‘F’ ను పరస్పరం లంబాంశాలుగా విభజిస్తే అవి Fcosθ మరియు Fsinθ.

ఊర్ధ్వదిశలో మొత్తం బలం = అధోదిశలో మొత్తం బలం
N = W + Fsinθ
ఘర్షణ బలం f = µN
⇒ f = µ(W + Fsinθ) ——–(2)
(1), (2) సమీకరణాలను పోల్చగా లాన్ రోలర్ను నెట్టుట కంటే లాగడం సులభం అని తెలియుచున్నది.

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
న్యూటన్ రెండవ గమన నియమాన్ని తెలపిండి. దాని నుంచి గమన సమీకరణం F = ma ను రాబట్టండి. ఒక వస్తువు వృత్తపథంలో ఎప్పుడూ సమవడితో చలిస్తూ ఉంటే దాని మీద బలం పనిచేస్తుందా? [TS 18][Mar 13, May 13][AP 16,17,19]
జవాబు:
న్యూటన్ రెండవ గమన నియమం : “ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు రేటు ఆ వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలో ఉంటుంది”.
F = ma అని చూపుట:
m = వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి,
v = వస్తువు యొక్క వేగం
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి ‘m’ మరియు వేగం’v’ ల లబ్దమే ద్రవ్యవేగం ‘p’. ∴ p = mv
F = వస్తువుపై పనిచేసే బాహ్యబలం
dp అనునది dt కాలంలో వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు అయితే.

ఏకాంక బలం వద్ద m = 1, a = 1, f = 1 అయితే k = 1 అగును. అపుడు పై సమీకరణము F = ma అగును.

వృత్తాకార మార్గంలో స్థిర వడితో చలించే వస్తువుపై పనిచేసే బలం :
వృత్తాకార మార్గంలో స్థిర వడితో ప్రయాణించే వస్తువుకు వేగం ఉంటుంది. ఈ వేగం యొక్క దిశ ఆ బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ వెంబడి పనిచేస్తుంది. అందువల్ల వేగ దిశ క్షణక్షణానికి మారుతుంది. కావున ఆ వస్తువుపై త్వరణము తద్వారా బలము పనిచేస్తున్నట్లే.

ప్రశ్న 2.
ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణాలను నిర్వచించండి. గరుకు వాలు తలం విషయంలో ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణానికి సమానమని చూపండి.
గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలముపై 4 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక చెక్క దిమ్మె విరామస్థితిలో కలదు. దిమ్మెపై 30N క్షితిజ సమాంతర బలాన్ని ప్రయోగిస్తే అది కదలడానికి సిద్ధం అయ్యింది. g = 10 ms^-2 అయితే, దిమ్మెపై ఆ తలం ప్రయోగించే మొత్తం స్పర్శా బలాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఘర్షణ కోణం (θ):
అభిలంబ ప్రతిచర్య N మరియు సీమాంతర ఘర్షణల ఫలితబలం \(\overline{\mathrm{f_{ms}}}\)ms, అభిలంబ ప్రతిచర్యతో చేసే కోణాన్ని ఘర్షణ కోణం అంటారు.

పటము నుండి tan θ = \(\frac{A D}{O A}=\frac{f_{m s}}{N}\) = µ_s ………. (1)

విశ్రామ కోణం(Φ) :
క్షితిజ సమాంతరంతో వాలుతలం చేస్తున్న కోణం యొక్క ఏ విలువకైతే వస్తువు జారడానికి సిద్ధంగా ఉంటుందో ఆ కోణాన్ని విశ్రామ కోణం (Φ) అంటారు.

గురుకు వాలు తలం విషయంలో ఘర్షణకొణం, విశ్రామ కోణము నకు సమానమని చూపుట.

1. క్షితిజ సమాంతరముతో Φ కోణం చేయుచున్న OA అను వాలు తలముపై w భారము గల వస్తువు ఉన్నదనుకొనుము. వస్తువు భారం దాని గరిమనాభి బిందువు వద్ద నుండి నిట్ట నిలువుగా క్రింది దిశలో పని చేయుచుండును.
2. వాలు తలము కోణమును క్రమ క్రమముగా పెంచుచున్నపుడు, ఒకానొక కోణం వద్ద వస్తువు జారుట ఆరంభించును. ఆ కోణమును విశ్రామ కోణం అని అంటారు. ఆ కోణం Φ అనుకొనుము. Φ విలువ స్పృశించుకొను రెండు తలముల స్వభావము పై ఆధారపడి ఉండును.
3. వస్తువు భారము W ను రెండు అంశలుగా విభజించినపుడు (a) వాలు తలమునకు లంబ దిశలో wcos Φ మరియు వాలు తలమునకు సమాంతరముగా wsinΦ అగును. wcosΦ విలువ లంబ ప్రతీకార చర్య N కు తుల్యమగును మరియు wsinΦ విలువ సీమాంతర స్థితిక ఘర్షణకు సమానమగును.

వస్తువు జారుటకు సిద్ధముగా ఉన్నది కనుక wsinΦ = f_ms మరియు wcosΦ = N

∴ tanθ = tanΦ ⇒ θ = Φ విశ్రామ కోణం = ఘర్షణ కోణం

లెక్క:
ఘర్షణ బలము, అభిలంబ చర్యలు స్పర్శ బలములు. అవి రెండు పరస్పరము లంబముగా ఉన్నవి. కావున వాని
ఫలిత బలమే మొత్తము స్పర్శ బలము అగును.
ఇచ్చినది m = 4kg and g = 10ms^-2.

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
అంతరాళములో నక్షత్రముల మద్య ఒక చిన్న విమాన నౌక 100 మీసె^-2. సమత్వరణంతో ప్రయాణించుచున్నది. అనుకోనట్టుగా దానిలోని ఒక వ్యోమగామి అంతరిక్ష నౌక నుండి బయటకు పడి పోయెను. బయట పడిన మరుక్షణం ఆ వ్యోమగామి త్వరణం ఎంత? అంతరిక్షనౌకకు సమీపములో నక్షత్రములు గాని మరి ఏ ఇతర గ్రహములు గాని అతనిపై గురుత్వాకర్షణ బలములను ప్రయోగించుట లేదు అని అనుకొనుము.
సాధన:
అతని పై గురుత్వాకర్షణ బలములు ఏవియు పని చేయుట లేదు. కనుక అంతరిక్ష నౌక నుండి బయటపడిన మరుక్షణం నుండి అతని పై పనిచేయు బలములు శూన్యము. అందువలన న్యూటన్ మొదటి గమన నియమం ప్రకారం అతని త్వరణం కూడ శూన్యము.

ప్రశ్న 2.
0.04 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల బుల్లెట్ 90 మీ/సె. వేగంతో ఒక చెక్క దిమ్మెలోనికి ప్రవేశించి 60 సెం.మీ. దూరం ప్రయాణించిన తరువాత ఆగిపోయినది. అయిన చెక్క దిమ్మె బుల్లెట్ పై ప్రయోగించిన సగటు నిరోధ బలం ఎంత?
సాధన:
బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి (m) = 0.04 కి.గ్రా, బుల్లెట్ తొలివేగం (u) = 90 మీ/సె, బుల్లెట్ తుదివేగం (v) = 0 ప్రయాణించిన దూరం (s) = 60 సెం.మీ = 0.6 మీ, బుల్లెట్ ఋణత్వరణం =?

ప్రశ్న 3.
m ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణము యొక్క చలన సమీకరణం y = ut + \(\frac{1}{2}\)gt² అయిన కణము పై పని చేయుచున్న బలం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 4.
ఒక క్రికెట్ బంతి ద్రవ్యరాశి 0.15 కి.గ్రా. ఒక బౌలర్ ఆ బంతిని 12 మీ/సె. వేగంతో ఒక బ్యాట్స్మెన్ వైపు విసరగా అతడు బంతి వేగము మారకుండా దిశ మాత్రము వ్యతిరేకము అగునట్లు కొట్టెను. అయిన ఆ బంతి పై ప్రచోదనము ఎంత? [AP 17][TS 20]
సాధన:
ప్రచోదనము = ద్రవ్యవేగములోని మార్పు, బంతి ద్రవ్యరాశి m = 0.15 కి.గ్రా, బంతి తొలి వేగము u = 12 మీ/సె
బంతి తుది వేగము v = – 12 మీ/సె (దిశ వ్యతిరేకమయినది కనుక)

బంతి ద్రవ్యవేగములోని మార్పు = తుది ద్రవ్యవేగము – తొలి ద్రవ్యవేగము =(0.15 × 12) – (-0.15 × 12) = 3.6 Ns
ప్రచోదనము = ద్రవ్యవేగములోని మార్పు = 3.6 న్యూ. సె

ప్రశ్న 5.
ఒక రైలు పెట్టె లోపల నేలపై ఒక పెట్టె విరామస్థితిలో ఉన్నది. నేలకు, పెట్టెకు మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.15 అయిన రైలు గరిష్టముగా ఎంత త్వరణముతో వెళ్ళు వరకు పెట్టె విరామ స్థితిలో ఉండును.
సాధన:
రైలు పెట్టెతో పోల్చినపుడు పెట్టె విరామ స్థితిలో ఉన్నది. అనగా రైలు త్వరణమునకు సమానముగా పెట్టె త్వరణము ఉండవలయును. ఈ త్వరణమును పెట్టెకు, రైలు నేలకు మధ్యగల స్థితిక ఘర్షణ బలము సమకూర్చును. పెట్టె ద్రవ్యరాశి m, రైలు త్వరణము a అయితే
∴ a_max = µ_sg = 0.15 × 10 మీసె^-2 = 1.5 మీసె^-2

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
కాలము t తో ఒక కణము ద్రవ్యవేగము p మారు విధానము p = a + bt తో సూచించిన కణము పై పనిచేయు బలం ఎంత? a, b లు ధన స్థిరాంకములు.
సాధన:
ద్రవ్యవేగము p = a + bt, బలం, F = ?
బలం = ద్రవ్యవేగములోని మార్పు రేటు
F = \(\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\)(a + bt) = b
∴ కణము పై బలం = b

ప్రశ్న 2.
10 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు వేగము ఎంత కాలములో 2 మీ/సె. మారును? వస్తువు పై పని చేయుచున్న బలం 5 న్యూ. [TS 16]
సాధన:
వస్తువు పై బలం, F = 5 న్యూ
వస్తువు ద్రవ్యరాశి, m = 10 కి.గ్రా
వస్తువు వేగములోని మార్పు, v – u = 2 మీ సె^-1

ప్రశ్న 3.
m ద్రవ్యరాశి గల బంతి నిట్ట నిలువుగా పైకి విసిరినపుడు అది చేరిన గరిష్ట ఎత్తు h అయిన బంతి గమన సమయములో గురుత్వాకర్షణ బలము వలన పొందిన ప్రచోదనము ఎంత? గురుత్వత్వరణం g అనుకొనుము.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
3కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు పై ఒక స్థిర బలము పని చేసి దాని వేగమును 25 సెకనులలో 2 మీ/సె. నుండి 3.5 మీ/సె. కు మార్చినది. వస్తువు చలన దిశలో మార్పులేదు. అయిన బలము పరిమాణము ఎంత మరియు దిశ ఏది?
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి, m = 3 కి.గ్రా
తొలి వేగం, u = 2 మీసె^-1
తుది వేగం, v = 3.5 మీసె^-1
కాలం t = 25 సె
బలం F = ?

వస్తువు వేగము పెరిగినది కనుక వస్తువు చలన దిశలోనే బలము ప్రయోగించబడినది.

ప్రశ్న 5.
ఒక లిఫ్ట్ గురుత్వత్వరణంలో 1/3 వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి చలిస్తున్నప్పుడు లిఫ్ట్ లో ఉన్న వ్యక్తి దృశ్యభారం W. అదే లిఫ్ట్ గురుత్వత్వరణములో 1/2 వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి చలిస్తున్నప్పుడు అతడి దృశ్యభారం ఎంత?
సాధన:
వ్యక్తి నిజ భారము mg అనుకొనుము. లిఫ్ట్ పై దిశలో ‘a’ త్వరణంతో వెళ్ళుచున్నపుడు వ్యక్తి దృశ్య భారము mg + ma అగును.

ప్రశ్న 6.
పై కప్పులేని ఒక ట్రక్ వెనుక భాగమున 200 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఉన్నది. ట్రక్ 1.5 మీ/సె². త్వరణముతో ప్రయాణించుచున్నది. వస్తువు జారకుండ ఉండుటకు వస్తువునకు, ట్రక్ నేలకు మధ్య ఉండవలసిన కనిష్ట ఘర్షణ గుణకం ఎంత?
సాధన:
వస్తువునకు ట్రక్ నకు ఉన్న త్వరణము ఉన్నపుడు మాత్రమే వస్తువు జారకుండ ఉండును. ఈ త్వరణమునకు కావలసిన బలమును వస్తువునకు, ట్రక్ నేలకు మధ్యగల ఘర్షణ బలము సమకూర్చును.
కావున F = ma = 200 × 1.5 = 300 N
∴ ఘర్షణ గుణకం (f) = 300 = µN = 300 ⇒ µmg = 300

ప్రశ్న 7.
నేల నుండి 40 మీటర్ల ఎత్తులో విరామ స్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు అకస్మాత్తుగా రెండు సమానమైన ముక్కలుగా పేలి పోయినది. ఒక ముక్క నిట్టనిలువుగా క్రింది దిశలో 10 మీ/సె. వేగంతో పడిపోవుట ఆరంభించినది.
g = 10 మీ/సె² అయిన బాంబు ప్రేలిన 2 సెకనుల తరువాత రెండు ముక్కల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన:
విరామ స్థితిలో ఉన్న బాంబు రెండు సమానమైన ముక్కలుగా విడిపోయి, ఒక ముక్క 10 మీ/సె వేగంతో క్రింది దిశలో ప్రయాణించుట ఆరంభించినది. కావున ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం రెండవ ముక్క నిట్టనిలువుగా పై దిశలో 10మీ/సె వేగంతో ప్రయాణించుట ఆరంభించును.
పై దిశలో ప్రయాణించు ముక్కకు, ఆరోహణకాలం (t_a) = \(\frac{u}{g}=\frac{10}{10}\) = 1 sec

అనగా 1 సెకనులో అది గరిష్ట ఎత్తును చేరి, ఇంకొక 1 సెకనులో అది మరల బాంబు పేలిన స్థానమునకు వచ్చును. క్రింది దిశలో ప్రయాణించు చున్న ముక్కకు తొలి వేగం (u) = 10 మీసె^-1
గురుత్వత్వరణం (a) = g = 10 మీసె^-2, కాలం (t) = 2 సె, ప్రయాణించు దూరం (s) = ?

s = ut + \(\frac{1}{2}\)at² ⇒ s =10 × 2 + \(\frac{1}{2}\) × 10 × 4 = 20 + 20 = 40m
అనగా రెండవ ముక్క నేలను తాకును. అందువలన 2 సెకనుల తరువాత రెండు ముక్కల మధ్య దూరం = మొదట్లో బాంబు నేల నుండి ఉన్న ఎత్తు = 40 మీ.

ప్రశ్న 8.
ఘర్షణ లేని ఒక స్థిర కప్పీ గాడి ద్వారా వెళ్ళుచున్న ఒక తేలికైన త్రాడు ఒక చివర 4 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు, రెండవ చివర 3 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఉన్నవి. ఇంకొక తేలికైన త్రాడు సహాయముతో 3కి.గ్రా. వస్తువునకు ఇంకొక 3 కి.గ్రా. వస్తువును పటములో చూపినట్లు కలిపారు. ఈ వ్యవస్థను విరామస్థితి నుండి వదిలిన ఉమ్మడి త్వరణమును కనుక్కోండి. (g = 10ms²)

సాధన:
వ్యవస్థను విరామస్థితి నుండి వదిలినపుడు A పై దిశలో, B మరియు C క్రింది దిశలో ఒక ఉమ్మడి త్వరణంతో పయనించును. ఆ ఉమ్మడి త్వరణం ” అనుకొనుము. A,B లు ఒకే త్రాడు చివరల ఉన్నవి కనుక వానిపై దిశలో పనిచేయు తాడు తన్యత సమానముగా ఉండును. A యొక్క త్వరణం పై దిశలో a కనుక:

ప్రశ్న 9.
ఒక గరుకు వాలు తలము క్షితిజ సమాంతర దిశలో 30° కోణము చేయుచున్నది. ఆ వాలు తలము పై 2 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఉన్నది. వస్తువు, వాలు తలముల మధ్య ఘర్షణ గుణకం √3/2.
(a) వస్తువు వాలు తలము పై క్రింది దిశలో స్థిర వేగముతో పయనించుటకు వసువు పై ప్రయోగించవలసిన బలం ఎంత?
(b) వస్తువు వాలు తలము పై దిశలో స్థిర వేగముతో పయనించుటకు వస్తువు పై ప్రయోగించవలసిన బలం ఎంత?
సాధన:

వస్తువు వాలు తలము పై క్రింది వైపునకు స్థిర వేగముతో ప్రయాణించుటకు ప్రయోగించ వలసిన బలం F₁ అయితే
F₁ + mg sin θ = f_ms
⇒ F₁ + 9.8 = 14.7
⇒ F₁ = 4.9 N

(b) వస్తువు వాలు తలము పై పైకి జరుగుచున్నపుడు mg sinθ ఘర్షణబలం క్రింది దిశలో ఉండును. కాబట్టి వస్తువును స్థిరవేగముతో పైకి జరుపుటకు ప్రయోగించవలసిన బలం f_ms అయితే
F = mg sinθ + f_ms = 9.8 + 14.7 = 24.5 N

ప్రశ్న 10.
y = x²/20 సమీకరణముతో సూచించబడు పరావలయ ఆకారములో ఒక చెక్క ఉన్నది. దానిపై ఒక చెక్క దిమ్మె ఉన్నది. ఆ రెండింటికి మధ్య ఘర్షణ గుణకం µ_s = 0.5, అయిన నేల నుండి ఎంత ఎత్తులో ఉంచినంత వరకు చెక్క దిమ్మె పరావలయ తలము పై జారకుండ ఉండును?
సాధన:
లెక్క ప్రకారం µ_s = 0.5

ప్రశ్న 11.
ఒక క్షితిజ సమాంతర బల్ల పై 2 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల లోహపు దిమ్మె ఉన్నది. దానికి తేలికైన త్రాడు కట్టి బల్ల అంచున ఏర్పాటు చేసిన ఘర్షణ రహిత కప్పీ మీదుగా త్రాడును పంపి ఆ త్రాడు చివర 0.45 కి.గ్రా ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును వ్రేలాడదీసినారు. 0.45 కి.గ్రా వస్తువు క్రిందికి జారునపుడు 2 కి.గ్రా. దిమ్మెపై ఒక క్షితిజ సమాంతర బలము పని చేయును. బల్లకు, దిమ్మెకు మధ్యగల ఘర్షణ గుణకం 0.2 అయిన

(a) దిమ్మె తొలి త్వరణమును (b) త్రాడులోని తన్యతను (c) దిమ్మె కదిలిన 2 సె. తరువాత త్రాడు తెగిపోయిన
లోహపు దిమ్మె ఎంత దూరం వచ్చి ఆగిపోవును?
సాధన:
లోహపు దిమ్మె ద్రవ్యరాశి M₁ = 2 కి.గ్రా, వ్రేలాడ దీసిన వస్తువు ద్రవ్యరాశి, M₁ = 0.45 కి.గ్రా
ఘర్షణ గుణకం µ = 0.2

(a) M₁ విషయంలో దిమ్మె a త్వరణంతో కుడి వైపునకు ప్రయాణించుచున్నది కనుక, T – µM₁g = M₁a. ….(1)
M₂ విషయంలో M₂ క్రిందికి త్వరణంతో ప్రయాణించును కనుక M₂, M₂g – T = M₂a……….(2)

(c) దిమ్మె విరామ స్థితినుండి బయలు దేరి 2 సెకనులు బల్ల పై పయనించిన తరువాత త్రాడు తెగినది. కనుక 2 సెకనుల తరువాత అనగా త్రాడు తెగు సమయములో లోహపు దిమ్మె వేగం v అయితే u = 0, a = 0.2 మీ/సె², t = 2s v = u + at ప్రకారం ⇒ v = 0 + 0.2 × 2 = 0.4 మీ/సె²

త్రాడు తెగిన తరువాత వస్తువు ఘర్షణకు వ్యతిరేకముగా పని చేయుచూ దూరం ప్రయాణం చేసి ఆగిపోయినది అని అనుకొనిన పనిశక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం చేసిన పని = గతి శక్తిలోని మార్పు

ప్రశ్న 12.
నునుపైన ఒక క్షితిజ సమాంతర తలము పై 10 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల A అను దిమ్మె ఉన్నది. దాని పై 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల B అను దిమ్మె ఉన్నది. A,B దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.4 పటములో చూపినట్లు దిమ్మె పై 30 న్యూ. బలం ప్రయోగించిరి. అయిన దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ బలం ఎంత?

సాధన:
రెండు దిమ్మెలు కలిసి ప్రయాణించుటకు క్రింది దిమ్మె పై ప్రయోగించ గల గరిష్ట బలం
F_max = μ_sg(m_A + m_B) = 0.4 × 10 (10 + 5) = 4 × 15 = 60N
ప్రయోగించిన బలం, ఈ గరిష్ట బలము కన్నా తక్కువగా ఉన్నది. కనుక రెండు దిమ్మెలు కలసి ఒకే త్వరణముతో ప్రయాణించును. ఆ ఉమ్మడి త్వరణం ‘a’ అయితే

దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ బలం f = m_Ba = 5 × 2 = 10 న్యూ