AP Inter 1st Year Physics Important Questions Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

Students get through AP Inter 1st Year Physics Important Questions 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం which are most likely to be asked in the exam.

AP Inter 1st Year Physics Important Questions 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

Very Short Answer Questions (అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఏ వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా? [TS 22][AP 16]
జవాబు:
అవసరం లేదు. ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవచ్చు, లేకపోవచ్చు. ఉదాహరణకు రింగు విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండదు. కాని అది వస్తువు ఆక్రమించిన స్థలం లోపల ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక బాలిక తన రెండు చేతులలో ఒక దానితో ఒక సంచిని మోయుచున్నది. ఇంకొక బాలిక అంతే బరువున్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ ఇద్దరి స్థితుల మధ్య తేడా ఏమిటి?
జవాబు:
సాధారణముగా ఒక మనిషికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అతని నాభి వద్ద ఉండును. ఒక చేతితో సంచి మోయుచున్న బాలికకు ద్రవ్యరాశి కేంద్రము సంచి మోయుచున్న చేతి వైపునకు జరుగును. బాలిక ఆ చేతికి వ్యతిరేక దిశలో కొంచెం వంగి నడుచుచుండును.

రెండు చేతులతో రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు గల సంచులను మోయుచున్న బాలిక ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానములో మార్పు ఉండదు.

ప్రశ్న 3.
రెండు దృఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది? [Imp.Q]
జవాబు:
K.E = \(\frac{1}{2}\)Iω² ఒకే జడత్వ భ్రామకానికి K.E ∝ ω²
అనగా ఎక్కువ కోణీయ వేగం కలిగిన వస్తువుకు గతిశక్తి ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు ఎందుకు అమర్చుతారు? [Imp.Q][IPE ‘13,14]
జవాబు:
సైకిల్ ఒడిదుడుకులు లేకుండా ఒక సమవడితో ప్రయాణించుటకు దాని జడత్వ భ్రామకము ఎక్కువగా ఉండవలయును. చక్రము ద్రవ్యరాశి ఎక్కువగా పెరగకుండా, జడత్వ భ్రామకమును పెంచుట కొరకు సైకిల్ చక్రమునకు చువ్వలు అమరుస్తారు.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల? [TS 22][AP 16]
జవాబు:
టార్క్ = బలం × లంబదూరం
మడత బందుల వద్ద బలమును ప్రయోగించినపుడు, లంబదూరం శూన్యమగును. కావున టార్క్ శూన్యము. అందువలన మడత బందుల వద్ద బలమును ప్రయోగించి ఒక తలుపును మూయలేము లేక తెరువలేము.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం?
జవాబు:
టార్క్ = బలం × లంబదూరం
ఎక్కువ పొడవు గల స్పానర్ను ఉపయోగించినపుడు, లంబ దూరం ఎక్కువగా ఉండి టార్క్ అధికముగా ఉండును. దాని వలన స్క్రూ త్వరగా తిరుగును. అందువలన ఎక్కువ పొడవు గల స్పానర్ నే ఇష్టపడుతారు.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం? [TS 22]
జవాబు:
ఉడికిన గుడ్డు దృఢ వస్తువులా పనిచేస్తుంది మరియు జడత్వ భ్రామకం తక్కువ. రెండింటిని ఆత్మభ్రమణం చెందించినప్పుడు ఉడికిన గుడ్డు ఎక్కువ కోణీయవేగంతో తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
హెలికాప్టరనకు తప్పని సరిగా రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఎందుకు ఉండవలయును? [Imp.Q]
జవాబు:
హెలికాప్టర్నకు ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉన్నచో, అది తిరుగుచున్నపుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, దానికి వ్యతిరేక దిశలో హెలికాప్టర్ తిరుగును. అందువలన హెలికాప్టర్ నకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండును. ఒకటి, హెలికాప్టర్ పైన ఉండును. రెండవది హెలికాఫ్టర్ తోక భాగమున ఉండును. పైన ఉన్న ప్రొపెల్లర్ ఒక దిశలో భ్రమణము చెందుచున్నపుడు, దానికి వ్యతిరేక దిశలో భ్రమణము చెందవలెనన్న హెలికాప్టర్ స్వభావమును, తోకభాగములో ఉన్న ప్రొపెల్లర్ నిరోధించును.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు కరిగిపోతే ఒక రోజు కాల వ్యవధి ఏవిధంగా ప్రభావితమౌతుంది?
జవాబు:
పెరుగును. ధృవాల వద్ద మంచు కరిగి భూమధ్య రేఖ వైపు ప్రవహించటం వలన భూభ్రమణ వ్యాసార్థం పెరుగుతుంది. దీని కారణంగా జడత్వభ్రామకం పెరుగుతుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమం ప్రకారం, కోణీయ వేగం తగ్గుతుంది. కాబట్టి T పెరుగుతుంది. అనగా ‘రోజు’ కాలవ్యవధి పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు? [mp.Q]
జవాబు:
సైకిల్ చలనములో ఉన్నపుడు, దాని అక్షము దిశలో అనగా క్షితిజ సమాంతర దిశలో దాని కోణీయ ద్రవ్యవేగము ఉండును. బాహ్యటార్క్ ప్రయోగించనంత వరకు, కోణీయ ద్రవ్య వేగములో మార్పు ఉండదు కనుక సైకిల్ ప్రయాణించుచున్న దిశలోనే ప్రయాణించు చుండును. కనుక చలనములో ఉన్న సైకిల్ను సంతులనము చేయుట తేలిక.

Short Answer Questions (స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభిల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. [AP 22][AP,TS 15,18] [AP,TS 16,17,18]
జవాబు:

ద్రవ్యరాశి కేంద్రం	గరిమనాభి
1. వస్తువులో ఏ బిందువు వద్ద ద్రవ్యరాశి మొత్తం కేంద్రీకృతమైనట్లుగా భావించవచ్చునో, ఆ బిందువును దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం అంటారు.	1. వస్తువులో ఏ బిందువు వద్ద భారం మొత్తం కేంద్రీకృతమవుతుందో దానిని గరిమనాభి అంటారు.
2. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గురుత్వ త్వరణం మీద ఆధారపడదు.	2. గరిమనాభి గురుత్వత్వరణం మీద ఆధారపడుతుంది.
3. ఇది వస్తువు లోపలగాని, బయటగాని ఉంటుంది.	3. ఇది వస్తువు లోపలే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
బాహ్యబల ప్రభావానికి గురైన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా, గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
‘n’ కణాల యొక్క ద్రవ్యరాశులు m₁, m₂ ……….. m_n వాటి త్వరణాలు a₁, a₂……. a_n అయితే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం యొక్క త్వరణం.

అనగా, బాహ్యబల ప్రయోగం లేకపోతే ద్రవ్యరాశి కేంద్ర త్వరణం శూన్యం. అపుడు వస్తువు సమవేగంతోగాని నిశ్చలస్థితిని గాని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
‘భూమి-చంద్రుని వ్యవస్థ’ యొక్క ద్రవ్యరాశికేంద్రం భూమి ఉపరితలం లోపల ఉంటుంది. ‘భూమి-చంద్రుని వ్యవస్థ’ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార పధంలో తిరుగుతుంది. భూమి-చంద్రుడి వ్యవస్థకు గల గురుత్వాకర్షణలు వ్యవస్థ అంతర్ బలాలు. అందువలన భూమి చంద్రుని వ్యవస్థ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార పధంలో తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
సదిశా లబ్దమును నిర్వచించండి. సదిశా లబ్దము ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి. [AP 15,17,18,20,22]
జవాబు:
సదిశా లబ్దము నిర్వచనం :
రెండు సదిశరాశుల సదిశా లబ్ధ పరిమాణం ఆ రెండు సదిశల పరిమాణాల లబ్ధాన్ని ఆ సదిశల మధ్య గల సైన్ కోణంతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధానికి సమానం.

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగమును నిర్వచించండి. v = rω ను ఉత్పాదించండి. [AP 16,17,19][TS 16,17,22]
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశములోని మార్పురేటును కోణీయ వేగం అని అంటారు.
dtకాలంలో వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశం dθ అయితే దాని కోణీయ వేగం ω = \(\frac{d\theta}{dt}\)

v = rω ను ఉత్పాదించుట:

ఒక కణము వృత్తాకార మార్గమములో ప్రయాణించుచున్నదనుకొనుము మరియు
r = వృత్త వ్యాసార్థం
S = t కాలంలో కణం p₁ నుండి p₂ కు వచ్చినపుడు ప్రయాణించిన దూరం
v = కణం రేఖీయ వేగం
ω = కణం కోణీయ వేగం అని అనుకొనుము

S పొడవు గల p₁p₂ వృత్త చాపం వృత్త కేంద్రము వద్ద చేయుచున్న కోణం θ అయితే S = rθ
పై సమీకరణమును కాలం దృష్ట్యా అవకలనము చేసిన

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణము మరియు టార్క్ ను నిర్వచించండి. వాని మధ్య సంబంధమును రాబట్టండి. [AP 15, 19] [TS 17, 18, 20]
జవాబు:
కోణీయ త్వరణం :
కణం “కోణీయ వేగం” లోని మార్పురేటును “కోణీయ త్వరణం” అని అంటారు.
α = \(\frac{d\omega}{dt}\)

బలభ్రామకం లేక టార్క్ :
ఒక బిందువు పరంగా భ్రమణం చెందగల వస్తువు మీద బలాన్ని ప్రయోగిస్తే అది భ్రమణం చెందుతుంది. బల పరిమాణం మరియు భ్రమణాక్షం నుండి బలం యొక్క చర్యా రేఖకు గల లంబ దూరముల లబ్దముగా టార్క్న కొలుస్తారు. టార్క్ = లంబదూరం × బలం
\(\bar{\tau}=\bar{r} \times \overline{\mathrm{F}}\)

కోణీయ త్వరణం (α) , టార్క్ τ మధ్య సంబంధం:
ఒక ధృడ వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘O’ అనుకొనుము. ‘O’ గుండా పోవుచున్న ఒక స్థిర అక్షం AB పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I అనుకొనుము. ధృడ వస్తువుపై పని చేయుచున్న టార్క్ τ అనుకొనుము.

ధృడ వస్తువును m₁, m₂, m₃ ……అను ద్రవ్యరాశులు గల కణముల సముదాయముగా ఊహించుము. AB అక్షము నుండి ఆ కణముల దూరములు వరుసగా r₁, r₂, r₃ …… అని, వాని రేఖీయ త్వరణములు వరుసగా a₁, a₂, a₃,…. అని అనుకొనుము. వేర్వేరు కణములకు వేర్వేరు రేఖీయ త్వరణములు ఉండును కాని అన్ని కణములకు ఒకే కోణీయ త్వరణం ఉండును. ఆ విలువ α అనుకొనుము.

రేఖీయ త్వరణం = వ్యాసార్ధం × కోణీయ త్వరణం కనుక
a₁ = r₁α, a₂ = r₂α, a₃ = r₃α…..
m₁ ద్రవ్యరాశి పై పనిచేయు బలం, f₁ = m₁a₁ = m₁r₁α

AB అక్షం పరంగా m₁ ద్రవ్యరాశి పై పనిచేయు టార్క్ = m₁r₁α × r₁
= m₁r₁²α
ఇదేవిధంగా, m₂, m₃, ….ద్రవ్యరాశుల పై పనిచేయుచున్న టార్క్లు వరుసగా m₂r₂²α, m₃r₃²α, …..అగును
ఈ అన్ని టార్క్ మొత్తము వస్తువు పై పనిచేయు బాహ్యటార్క్ τనకు సమానం.
కనుక τ = (m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ….)α
τ = (∑mr²)α ⇒ τ = Iα
∑ = mr² = I, అనునది AB అక్షం పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం.

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షము పరంగా భ్రమణము చేయుచున్న ఒక కణమునకు చలన సమీకరణములు వ్రాయండి. [AP 19]
జవాబు:
కోణీయ త్వరణం = α అయితే చలన సమీకరణములు:

తొలి కోణీయ వేగం = ω₀, తొలి కోణీయ స్థానభ్రంశం = θ₀, ‘t’ కాలం తరువాత కోణీయ వేగం = ω
‘t’ కాలం తువాత కోణీయ స్థానభ్రంశం = θ

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి జారకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుదివేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:

ఒక గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలముపై M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల ఒక ధృడవస్తువు(ఉదా: ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ) జారకుండ, దొర్లుచున్నదనుకొనుము. ఏదైనా ఒక క్షణము వద్ద తలమును స్పృశించుచున్న వస్తువులోని కణము P అనుకొనుము. P గుండా పోవుచూ, వస్తువు తలమునకు లంబంగా ఉండు రేఖ, ఆ క్షణమునకు భ్రమణాక్షముగా పని చేయును. ఆ అక్షము పరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకం I_P అయితే దొర్లుచున్న వస్తువు గతిశక్తి, K.E = \(\frac{1}{2}\)I_Pω²…….(1) ω అనునది వస్తువు కోణీయ వేగం. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘O’ గుండా పోవుచూ పై భ్రమణాక్షము నకు సమాంతరముగా ఉండు అక్షం పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I_cm అయితే సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
I_P = I_cm + MR² …..(2)

ఇటువంటి ధృడ వస్తువును ‘h’ ఎత్తుగల ఒక గరుకు వాలు తలముపై నుండి క్రిందికి జారకుండ దొర్లించినపుడు ‘h’ ఎత్తు వద్ద గల స్థితిశక్తి = వాలు తలము అడుగు భాగము వద్ద మొత్తము గతిశక్తి అనగా

Long Answer Questions (దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు)

ప్రశ్న 1.
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతమును నిర్వచించి నిరూపించండి. పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం K. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం కనుక్కోండి. [Imp.Q]

జవాబు:
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం :
ఏదేని అక్ష పరంగా ఒక దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఈ క్రింది వాటి మొత్తానికి సమానం.
(a) వస్తు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గుండా పోయే సమాంతరాక్షం పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం I_G
(b) వస్తు ద్రవ్యరాశి, రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్య లంబ దూరాల వర్గాల లబ్ధము (Mx²)
అనగా I = I_G + Mx²

‘M’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక దృఢ వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘G’. ‘m’ ద్రవ్యరాశిగల కణం AB అక్షం నుండి ‘r’ దూరంలో ఉంది అనుకొనుము. G గుండా పోతున్న సమాంతరాక్షం CD అనుకొనుము. రెండు సమాంతర అక్షాల మధ్యలంబ దూరం ‘x’ అనుకొనుము.
AB అక్ష పరంగా దృఢ వస్తువు జడత్వ భ్రామకం I = ∑mr² ——–(1)

వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ‘G’ గుండా పోయే సమాంతర అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_G = ∑mb² ——–(2)

∆OPE నుండి OP² = OE² +EP²= (OG + GE)² + EP²
= OG² + GE² +2.OG.GE + EP²
∆GPE నుండి GE² + EP² = GP²
∴ OP² = OG² + GP² + 2.OG..GE
⇒ r² = x² + b² + 2.xa
ఇప్పుడు, I = Σm r² = Σm(x² +b² +2xa)
⇒ I = Σmx² + Σmb² + Σm(2xa) = Mx² + I_G + 2Σm(xa)
కాని వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దృష్ట్యా అన్ని కణాలపై గురుత్వాకర్షణ
బలభ్రామకాల మొత్తం సున్నాకు సమానం (Σmx).a = 0
∴ I = I_G + Mx²
కావున సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

Problem:
పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M, వ్యాసార్థం R అయితే దాని వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం.

ప్రశ్న 2.
(a) లంబాక్షాల సిద్ధాంతమును నిర్వచించి నిరూపించండి. [Imp.Q]
(b) ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్లలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
(a) సిద్ధాంతం :
ఒక సమతల పటలంలోని ఏదైనా ఒక బిందువు గుండా పటతలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా,జడత్వ భ్రామకం’ ఆ పటలం తలంలో పరస్పరం లంబంగా ఉండి, అదే బిందువు గుండా పోయే రెండు అక్షాల జడత్వ భ్రామకాల మొత్తానికి సమానం. అనగా I_z = I_X + I_Y

ఒక సమతల పటలం తలంలో ఖండన బిందువు ” గుండా పోతూ పటలం తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం (OZ) అనుకోండి. OX మరియు OY, ‘0’ గుండా పోతూ పటలంలో ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉన్న అక్షాలు.

P కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి ‘m’ అనుకోండి దాని నిరూపకాలు (x, y). అక్షం OZ నుండి P యొక్క దూరం ‘r’

OZ అక్షం పరంగా పటలం జడత్వ భ్రామకం I_z = Σmr²
మరియు X అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_X = ΣmY²
Y అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I_Y = Σmx²
కానీ r² = x² + y²
∴ I_Z = Σmr² = Σm(x² + y²) = Σmx² + Σmy² ⇒ I_z = I_X + I_Y
కావున లంబాక్ష సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

(b) వృత్తాకార ఉంగరము ద్రవ్యరాశి M వ్యాసార్ధము R₁ అయితే దాని వ్యాసము అక్షముగా

వృత్తాకార ఉంగరము వ్యాసార్థం: వృత్తాకార బిళ్ళ వ్యాసార్థం = 1 : √2

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి. [Imp.Q] [AP 16]
జవాబు:
నియమం :
భ్రమణంలో ఉన్న వ్యవస్థపై ఫలిత బాహ్య టార్క్ పనిచేయకపోతే వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగం పరిమాణంలోను మరియు దిశలోనూ స్థిరం. అనగా L = Iω = స్థిరరాశి.

నిరూపణ : ఫలిత బాహ్య టార్క్ τ మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం L కు మధ్య సంబంధం τ = \(\frac{dL}{dt}\)
ఫలిత బాహ్య టార్క్ శూన్యం అయితే τ = 0 అపుడు \(\frac{dL}{dt}\) = 0
⇒ L = స్థిరరాశి (స్థిరరాశి యొక్క అవకలనం శూన్యం ‘0’)
Iω = స్ధిరం ; I ∝ \(\frac{1}{\omega}\)

ఉదా (1) : ఈతకొలనులోకి దూకే వ్యక్తి, డైవింగ్ బోర్డునుండి దూకుతున్నపుడు తన చేతులను మరియు కాళ్ళను శరీరానికి దగ్గరగా ముడుచుకోవడం వల్ల కోణీయవేగం పెరుగుతుంది (జడత్వ భ్రామకం తగ్గుతుంది). కానీ కోణీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తం స్థిరం.

ఉదా (2) : నాట్యం చేసే ఒక నర్తకి తన చేతులను బయటకు చాపడం వల్ల లేదా లోపలికి ముడుచుకొనుట వల్ల తన కోణీయ వడిని తగ్గించుకోవడం లేదా పెంచుకోవడం జరుగుతుంది.

Solved Problems (సాధించిన సమస్యలు)

ప్రశ్న 1.
0.5 మీ భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100గ్రా, 150గ్రా, 200గ్రా. [AP 18][TS 15,18]
సాధన:
O, A మరియు B నిరూపకములు వరుసగా (0,0), (0.5,0), (0.25, 0.25√3) అగును. O, A మరియు B ల వద్ద ద్రవ్యరాశులు వరుసగా 100గ్రా, 150గ్రా, 200గ్రా.

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజకార పటలము యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రమును కనుక్కొండి.
సాధన:
LMN ఒక సమరీతి త్రిభుజాకార పటలము అనుకొనుము. దాని భూమి (MN) కు సమాంతరముగా దానిని చిన్న చిన్న ముక్కలుగా విభజించితిమి అనుకొనుము.

సౌష్టవ ధర్మాన్ని అనుసరించి ప్రతిముక్క యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము దాని మధ్య బిందువు వద్ద ఉండును. వాటన్నింటి మధ్య బిందువులను వరుసగా కలిపిన మధ్యగత రేఖ LP వచ్చును కాబట్టి త్రిభుజాకార పటలము యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ఖచ్చితముగా LP రేఖ పై ఏదో ఒక బిందువు వద్ద ఉండవలయును. ఇదే విధముగా ఆలోచించిన, ద్రవ్యరాశి కేంద్రము మిగిలిన రెండు మధ్యగత రేఖలపై గూడ ఉండవలయునని చెప్పవచ్చును. అనగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రము మూడు మధ్య గత రేఖల ఖండన బిందువు వద్ద ఉండును. అందువలన త్రిభుజము యొక్క కేంద్రభాసం (Centroid) ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అగును.

ప్రశ్న 3.
\(\overline{\mathrm{a}}=3\overline{\mathrm{i}}-4\overline{\mathrm{j}}+5\overline{\mathrm{k}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}=-2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-3\overline{\mathrm{k}}\) అయిన వాని బిందు లబ్దమును, వజ్రలబ్దమును కనుగొనుము [TS 20]
సాధన:

ప్రశ్న 4.
మూల బిందువు దృష్ట్యా బలం \(\overline{\mathrm{F}}=7\overline{\mathrm{i}}+3\overline{\mathrm{j}}-5\overline{\mathrm{k}}\) యొక్క టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం పని చేయుచున్న కణము యొక్క స్థాన సదిశ \(\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\) [Imp.Q] [IPE’ 13, 13, 14]
సాధన:

ప్రశ్న 5.
ఒక వృత్తాకార పళ్ళెం (disc) యొక్క ఏదేని వ్యాసము పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం ఎంత? [Imp.Q]
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ తలమునకు లంబముగా ఉంటూ, బిళ్ళ కేంద్రము ద్వారా పోవు అక్షము పరముగా దాని జడత్వ భ్రామకం MR²/2 అగును. ఇక్కడ బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M, బిళ్ళ వ్యాసార్థము R లంబ అక్ష సిద్ధాంతము ప్రకారం,
I_z = I_x + I_y

సౌష్టవత వలన ఏ వ్యాసము పరముగా అయినను బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము ఒకటే ఉండును. ఒక వ్యాసమును x- అక్షముగా, దానికి లంబముగా ఉండు ఇంకొక వ్యాసమును y- అక్షముగా ఊహించుము. అనగా I_x = I_y మరియు I_z = 2I_x
కాని I_z = MR²/2 ⇒ I_x = I_z/2 = MR²/4
కాబట్టి ఏదేని వ్యాసం పరంగా బిళ్ళ జడత్వభ్రామకం= MR²/4

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు గల కడ్డీ తలమునకు లంబముగా కడ్డీ ఒక చివర ఉండు అక్షం పరంగా కడ్డీ జడత్వభ్రామకం ఎంత? [TS 19]
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు గల కడ్డీ తలమునకు లంబముగా కడ్డీ మధ్య బిందువు ద్వారా పోవు అక్షము పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం I = Ml²/12.
సమాంతర అక్షసిద్ధాంతము ప్రకారం, I’ = I + Ma².

ప్రశ్న 7.
ఒక కంకణం స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం ఎంత?
సాధన:
కంకణం ద్రవ్యరాశి M, కంకణం వ్యాసార్థం R అయితే కంకణం యొక్క ఏదేని వ్యాసం పరంగా దాని జడత్వభ్రామకం MR²/2 కు సమానం. కంకణం తలములో, కంకణమునకు స్పర్శరేఖ గీచిన అది ఏదో ఒక కంకణం వ్యాసమునకు సమాంతరముగా ఉండును. ఆ వ్యాసమునకు, స్పర్శరేఖకు మధ్యగల దూరం R కు సమానం. సమాంతర అక్షసిద్ధాంతము ప్రకారం

Exercise Problems

ప్రశ్న 1.
\(\overline{\mathrm{a}},\overline{\mathrm{b}},\overline{\mathrm{c}}\) భుజములుగా గల సమాంతర చతుర్భుజ ఘనం ఘనపరిమాణము \(\overline{\mathrm{a}}.(\overline{\mathrm{b}}\times\overline{\mathrm{c}})\) కు సమానమని చూపుము.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ఒక గుల్ల స్థూపము ద్రవ్యరాశి 3 కి. గ్రా. మరియు వ్యాసార్థము 40 సెం.మీ. దాని చుట్టూ ఒక ద్రవ్యరాశి రహిత త్రాడును కట్టి, తాడు చివర 30 న్యూటను బలమును ప్రయోగించి లాగిన స్థూపము కోణీయ త్వరణం ఎంత? త్రాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత? తాడు స్థూపం పై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
గుల్ల స్థూపము ద్రవ్యరాశి, M = 3kg
వ్యాసార్థము, R = 40 cm = \(\frac{40}{100}\) = 0.4 m
స్థూపము పై ప్రయోగించిన బలం, F = 30N
స్థూపము జడత్వ భ్రామకం, I = MR² = 3 × (0.4)² = 3 × 0.16 = 0.48 కిగ్రామీ²
స్థూపము పై పనిచేయుచున్న టార్క్, τ = Fr = 30 × 0.4 = 12 Nm
స్థూపము కోణీయ త్వరణము α అయిన τ = Iα, ప్రకారం

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్తాకార తిరుగు బల్ల కేంద్రము నుండి 10 సెం.మీ దూరములో ఒక నాణెమును ఉంచిరి. బల్లకు, నాణెమునకు మధ్యగల స్థితిక ఘర్షణ గుణకము 0.8 అయిన బల్ల ఏ పౌనఃపున్యముతో తిరుగునప్పుడు నాణెము జారిపోవుట ఆరంభించును.
సాధన:
నాణెము వృత్తాకార బల్లపై వృత్తాకార మార్గములో తిరుగుటకు కావలసిన అభికేంద్ర బలమును నాణెమునకు బల్లకు మధ్య గల ఘర్షణ బలము సమకూర్చును. అనగా అభికేంద్ర బలము విలువ స్థితిక ఘర్షణ సీమాంతర విలువకు సమానముగా లేక అంతకన్న తక్కువగా ఉన్నంత వరకు నాణెము బల్లపై తిరుగుచుండును.
అనగా అభికేంద్ర బలం ≤ f_ms
∴ అభికేంద్ర బలం f_ms అయినపుడు నాణెము జారుట ఆరంభించును.
⇒ mrω² = μ_smg ⇒ r(2πf)² = μ_sg (∵ ω = 2πf)

ప్రశ్న 4.
1గ్రాము, 2 గ్రాము, 3 గ్రాము 100 గ్రాము ద్రవ్యరాశులు గల కణములు వరుసగా ఒక మీటరు స్కేలు యొక్క 1 సెం.మీ, 2 సెం.మీ, 3సెం. మీ…… 100 సెం.మీ గుర్తుల వద్ద ఉన్నవి. మీటర్ స్కేలు లంబ సమద్విఖండన రేఖను భ్రమణాక్షముగా తీసుకొని ఈ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకమును కనుక్కోండి.
సాధన:

49 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₁ = mr² = 49 (1)² gmcm
51 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 1 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₂ = 51 (1)² gmcm²
48 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 2 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₃ = 48(2)² gmcm².
52 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 2 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వ భ్రామకం I₄ = 52(2)² gmcm².
1 గ్రాము కణము భ్రమణాక్షము నుండి 49 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వభ్రామకము = (1) (49)² gmcm².
99 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 49 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది
కావున దాని జడత్వభ్రామకము = (99)(49)² gmcm²
100 గ్రాముల కణము భ్రమణాక్షము నుండి 50 సెం.మీ దూరములో ఉన్నది.
కావున దాని జడత్వభ్రామకము (100) (50)² gmcm²

లంబ సమద్వి ఖండన రేఖ పరంగా మొత్తము జడత్వ భ్రామకం
= 49(1)² + 51(1)² + 48(2)² + 52(2)² + 47(3)² + 53(3)² +……+ (1)(49)² + 99(49)² + 100(50)².
⇒ (1)² [49+51] + 22[48+52] +(3)²[47+53] +…….+ (49)²[1+99] + 100(50)²
⇒ (1)²[100] + 22[100] + (3)²[100] +……(49)²(100) + (50)²(100)
⇒ 100[1² + 2² + 3² + 4² +……+ 49² + 50²]

ప్రశ్న 5.
10 సెం.మీ భుజము గల ఒక సమబాహు త్రిభుజ మూడు శీర్షముల వద్ద ఒక్కొక్కటి 100 గ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల మూడు కణములు ఉన్నవి. త్రిభుజ కేంద్రాభాసం గుండా పోవుచూ త్రిభుజ తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా ఆ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 6.
10సెం.మీ భుజముగా గల ఒక చతురస్రము నాలుగు శీర్షముల వద్ద ఒక్కొక్కటి 100గ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల నాలుగు కణములు ఉన్నవి. చతురస్ర మధ్య బిందువు గుండా పోవుచూ, చతురస్ర తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా ఆ కణ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత? భ్రామక వ్యాసార్థం ఎంత.
సాధన:

A,B,C మరియు D ల వద్ద ద్రవ్యరాశులు సమానం. ఒక్కొక్కదాని విలువ 100గ్రాములు.
∴ చతురస్ర మధ్య బిందువు ‘O’ ద్వారా పోవుచూ చతురస్ర తలమునకు లంబంగా ఉండు అక్షము పరంగా కణ వ్యవస్థ జడత్వభ్రామకం 4 × ఒక్కొక్క కణం జడత్వ భ్రామకం (అదే అక్షం పరంగా)

ప్రశ్న 7.
1కిగ్రా. ద్రవ్యరాశి, 20 సెం.మీ వ్యాసార్థము గల రెండు సమరీతి వృత్తాకార బిళ్ళలు ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ వెంబడి తాకునట్లు (పటములో చూపినట్లుగా) ఉంచిరి. ఆ స్పర్శరేఖ పరంగా వాని జడత్వభ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 8.
వ్యాసము 2a ద్రవ్యరాశి ‘m’ గల నాలుగు గోళములు నీ భుజముగా గల ఒక చతురస్రము నాలుగు శీర్షముల వద్ద ఉన్నవి.ఏదేని ఒక భుజము పరంగా ఆ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం ఎంత?
సాధన:

ఒక్కొక్క గోళము యొక్క వ్యాసము = 2a
∴ కావున ఒక్కొక్క గోళపు వ్యాసార్థము = a
ఒక్కొక్క గోళపు ద్రవ్యరాశి = m
AB భుజమును భ్రమణాక్షముగా తీసుకొనుము.
∴ A, B ల వద్ద ఉన్న గోళములకు భ్రమణాక్షము వాని వ్యాసము అగును.

M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్థం గల గోళమునకు వ్యాసము పరంగా జడత్వభ్రామకం = \(\frac{5}{2}\)ma² కనుక
∴ AB పరంగా A వద్ద ఉన్న గోళము జడత్వభ్రామకం = \(\frac{5}{2}\)ma² …………. (1)
AB పరంగా B వద్ద ఉన్న గోళము జడత్వ భ్రామకం \(\frac{5}{2}\)ma² ……….. (2)

C వద్ద ఉన్న గోళమునకు భ్రమణాక్షము, దాని వ్యాసమునకు సమాంతరముగా b దూరములో ఉన్నది. కనుక సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
C వద్ద ఉన్న గోళము యొక్క జడత్వ భ్రామకం AB = \(\frac{5}{2}\)ma² + mb² …. (3)
అదే విధంగా, D వద్ద ఉన్న గోళము యొక్క జడత్వభ్రామకం AB = \(\frac{5}{2}\)ma² + mb² …. (4)
∴ AB పరంగా నాలుగు గోళముల మొత్తము జడత్వభ్రామకం

ప్రశ్న 9.
ఒక మోటారు 200 రేడియన్/సె. అను ఏకరీతి కోణీయ వేగముతో భ్రమణము చేయుటకు ఒక ఇంజను 180Nm అను టార్క్్ను ప్రయోగించవలయును. అయిన ఇంజను సామర్థ్యము ఎంత? ఇంజను దక్షత 100% అనుకొనుము.
సాధన:
ఏకరీతి కోణీయ వేగము (ω) = 200 rad s^-1
టార్క్ (τ) = 180 Nm
ఇంజను సామర్థ్యము, p = ?
p = τω కనుక p = 180 × 200 = 36000 W = 36 kW

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటరు బద్దను దాని మధ్య బిందువు వద్ద కత్తి మొన ఉంచి సమతా స్థితిలో ఉంచిరి. ఇపుడు ఒక్కక్కటి 5 గ్రాము ద్రవ్యరాశి గల రెండు నాణెములను ఒక దానిపై ఒకటి 12 సెం.మీ. గుర్తు వద్ద ఉంచిరి. అపుడు స్కేలును సమతాస్థితిలో ఉంచుటకు కత్తిమొనను 45 సెం.మీ. వద్ద ఉంచవలసి వచ్చిన మీటరు బద్ద ద్రవ్యరాశి ఎంత?
సాధన:

AB మీటరు బద్ద అనుకొనుము. దాని భారము ‘W’ బద్ద మధ్య బిందువు C వద్ద నుండి నిట్ట నిలువుగా క్రింది దిశలో పని చేయు చుండును.

ఒక్కొక్కటి 5 గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల రెండు నాణెములను ఒక దాని పై ఒకటి 12 సెం.మీ గుర్తు వద్ద ఉంచినపుడు, బద్ద 45 సెం.మీ అనగా C’ వద్ద సమతాస్థితిలో ఉంటున్నది.

∴ సవ్యదిశలో భ్రామకం= అపసవ్యదిశలో 10 గ్రాముల భ్రామకం బలం × లంబదూరం = బలం × లంబదూరం
⇒ w × (50 – 45) = 10 × g × (45 – 12)
⇒ (m × g)5 = 10 × g × 33 ⇒ m × 5 = 10 × 33 ⇒ m = 66 గ్రా

ప్రశ్న 11.
ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి 5 కి. గ్రా. వ్యాసార్థం 1 మీ. దాని వృత్త పరిధిపై గల ఒక బిందువు గుండా పోవుచూ, దాని తలమునకు లంబముగా ఉండు అక్షము పరంగా అది నిమిషమునకు 60 భ్రమణములు చేయుచున్నది. అయిన దాని గతిశక్తి ఎంత?
సాధన:
ఒక వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M వ్యాసార్ధము R. బిళ్ళ కేంద్రము ద్వారా పోవుచూ, బిళ్ళ తలమునకు లంబముగా

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటి mద్రవ్యరాశి, u వేగం గల రెండు కణముల దూరంలో గల రెండు సమాంతర రేఖల వెంబడి ఒక దాని కొకటి వ్యతిరేక దిశలో ప్రయాణించుచున్నవి. వాని కోణీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తము ఏ బిందువు పరముగా అయినను
సాధన:

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణములు చేయుచున్న ఒక గతిపాలక చక్రము జడత్వ భ్రామకము 0.3 kgm². దానిని 20 సెకనులలో విరామ స్థితికి తెచ్చుటకు కావలసిన టార్క్ ఎంత? [TS 20]
సాధన:

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలక చక్రము పై 100 జౌ. పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం నిమిషానికి 60 భ్రమణములు నుండి నిమిషానికి 180 భ్రమణములకు పెరిగినది. అయిన ఆ చక్రము జడత్వ భ్రామకము ఎంత?
సాధన:
లెక్క ప్రకారం W = 100J