Inter 2nd Year

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 2 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 5x – 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన. స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S, = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
వృత్త సమీకరణము
S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
x. 0 + y. 5 – \(\frac{1}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా
10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 2.
(0, 0) కేంద్రంగా ఉంటూ (-2, 3) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C = (0, 0), P = (-2, 3)
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{(0+2)^2+(0-3)^2}\)
= \(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x – 0)² + (y – 0)² = (\(\sqrt{13}\))²
x² + y² = 13

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = 0 వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (-3, 5)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₁ = 13
C₂ = (2, -7)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₂ = 13
C₁C₂ = \(\sqrt{(-3-2)^2+(5+7)^2}\) = 13
cos θ = \(\left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\right|\) = \(\frac{(13)^2-(13)^2-(13)^2}{2 \times(13)(13)}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
θ = 2\(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయంపై నాభి దూరం \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x₁, y₁) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది
y² = 2x నాభి నుండి దూరం \(\frac{5}{2}\) కనుక
\(y_1^2\) = 2x₁ మరియు x₁ + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ x₁ = 2
∴ \(y_1^2\) = 2(2) = 4 ⇒ y₁ = ±2
∴ కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2)

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 పై ఏ భీందువునుంచైనా అనంత స్పర్శ రేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 a² = 16, b² = 9
అనంత స్పర్శరేఖల మీద అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు నుండి లంబదూరాల లబ్దము
= \(\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\) = \(\frac{16 \times 9}{16+9}\) = \(\frac{144}{25}\)

ప్రశ్న 6.
R మీద \(\int \frac{1}{1+4 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{1+4 x^2}\) dx = \(\int \frac{d x}{4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+x^2\right)}\) = \(\frac{1}{4}\) (2tan^-12x) + c
= \(\frac{1}{2}\) tan^-12x + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) dx, x ∈ I = (-1, 1) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)
t = x³ ⇒ dt = 3x² dx
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) = \(\frac{1}{3} \int \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}\)
= \(\frac{1}{3}\) sin^-1 t + c = \(\frac{1}{3}\) sin^-1(x)

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^4 \frac{x^2}{1+x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
x + y \(\frac{d y}{d x}\) = 0 సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం x + y.\(\frac{d y}{d x}\) = 0
x. dx + y. dy = 0
సమీకరణము చేయగా \(\frac{x^2}{2}\) + \(\frac{y^2}{2}\) = c
లేదా x² + y² = 2 c = c’.

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(-2, 3) కేంద్రంగా ఉంటూ 3x + 4y + 4 = 0 రేఖపై చేసే జ్యా పొడవు 2 అయ్యే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కేంద్రం C (-2, 3) నుండి రేఖ మీదకు దూరం
d = \(\left|\frac{3(-2)+4(3)+4}{\sqrt{9+16}}\right|\) = \(\frac{10}{5}\) = 2
జ్యా AB పొడవు = 2 యూనిట్లు

వృత్త వ్యాసార్ధం (r) అనుకొనిన
⇒ 2 = 2 \(\sqrt{r^2-d^2}\)
⇒ r² – d² = 1
⇒ r² – 4 = 1 ⇒ r² = 5
వృత్త సమీకరణము
(x + 2)² + (y – 3)² = 5
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 4+ 9 – 5 = 0
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0, x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ 2x + 3y = 7 వ్యాస రేఖగా గల వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తం x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0,
x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 లను లంబంగా ఖండిస్తుంది.
2g (-2) + 2f(-3) = 11 + c ______ (i)
2g (-5) + 2f(-2) = 21 + c ______ (ii)
తీసివేయగా
– 6g + 2f = 10 _______ (iii)
వృత్త కేంద్రం 2x + 3y = 7 మీద ఉంది
∴ -2g – 3f = 7 ______ (iv)
(iii), (iv) లను సాధించగా,
f = -1, g = -2, c = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభులు S.S’ లుగా గల దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1(a > b) పై P (x, y) ఏదైనా బిందువు అయితే SP + S’P స్థిరం అని చూపండి.
సాధన.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1, (a > b) ………(1)
నాభులు S, S’ ల అనురూప నియతరేఖలు ZM, Z’ M’ అనుకొందాం. దీర్ఘవృత్తంపై P ఏదైనా బిందువు. P నుంచి X- అక్షంపై లంబం PL1, నియతరేఖల పైకి గీసిన లంబం MM’
దీర్ఘవృత్తం నిర్వచనం నుంచి, SP = ePM = e(LZ).

∴ SP = e(CZ – CL) = e(\(\frac{a}{e}\) – x)
∴ SP = a – xe
∴ S’P = ePM’ = e(LZ’).
= e(CL + CZ’)
= e(x + \(\frac{a}{e}\)) = a + xe
∴ SP + S’ P = a – xe + a + xe
∴ SP + S’ P = 2a (స్థిరం) = దీర్ఘాక్షం పొడవు.

ప్రశ్న 14.
ఒక దీర్ఘ వృత్తం నాభులు S, T లు హ్రస్వాక్షపు ఒక కొన STB ఒక సమబాహు త్రిభుజం అయితే, దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1
S(ae, 0), T(-ae, 0) లు నాభులు
B(0, b) హ్రస్వాక్షం కొన
STB సమబాహు త్రిభుజం
SB = ST ⇒ SB² : ST²
a²e² + b² = 4a²e²
b² = 3a²e²
a²(1 – e²) = 3a²e²
1 – e² = 3e²
4e² = 1
e² = \(\frac{1}{4}\)
∴ దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత = e = \(\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉంటూ అతి పరావలయం x² + 4y² = 4 కు స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{x}{b}\) = 0 మరియు \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{x}{b}\) = 0

అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 20 అయితే
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2 θ = 2tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
sec² θ = 1 + tan²θ = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e²
sec θ = e ⇒ θ = sec^-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము
= 2tan^-1(\(\frac{b}{a}\)) లేదా 2 sec^-1(e)

ప్రశ్న 16.
పరావలయాలు y² = 4x, x² = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 4x ______ (1)
x² = 4y _______ (2)
(\(\frac{x^2}{4}\))² = 4x
\(\frac{x^4}{16}\) = 4x
x⁴ = 64x ⇒ x⁴ = 0 లేదా x³ = 64, x = 4

= \(\left(\frac{4}{3} x^{3 / 2}-\frac{x^3}{12}\right)_0^4\)
= \(\left(\frac{4}{3} \cdot 4^{3 / 2}-\frac{4^3}{12}\right)\)
= \(\frac{4}{3}\).8 – \(\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}\) – \(\frac{16}{3}\) = \(\frac{16}{3}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 17.
(x + y + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1 ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1
\(\frac{d y}{d x}\) – x = y + 1
I.F. = \(e^{\int-d y}\) = e^-y
x. e^-y = ∫ e^-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e^-y + ∫ e^-y.dy
= -(y + 1) e^-y – e^-y
= -(y + 2) e^-y + c
x = -(y + 2) + c. e^y

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శ బిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
C₁ (2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₂ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
– 10x – 24y – 38 = 0
5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ ని 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\))-2(x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0; x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (2, 5), C₂ = (-2, 3)
r₁ = \(\sqrt{4+25-28}\) = 1, r₂ = \(\sqrt{4+9-4}\) = 3
r₁ + r₂ = 4
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\) = \(\sqrt{20}\)
‘C’ బిందువు C₁C₂ ని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

C = [\(\frac{1 .(-2)+3.2}{1+3}\), \(\frac{1.3+3.5}{1+3}\)]
= [\(\frac{4}{4}\), \(\frac{9}{2}\)] = [1, \(\frac{9}{2}\)]
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
\(S_1^2\) = SS₁₁
(x.1 + \(\frac{9}{2}\)y – 2(x + 1) – 5(y + \(\frac{9}{2}\)) + 28)²
= [1 + \(\frac{81}{4}\) – 4 – 10 × \(\frac{9}{2}\) + 28]
(x² + y² – 4x – 10y + 28)
(- x – \(\frac{1}{2}\)y + \(\frac{7}{2}\))² = \(\frac{1}{4}\) (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(- 2x – y + 7)² = (x² + y² – 4x – 10y + 28)
4x² + y² + 4xy – 28x – 14y+ 49 = x² + y² – 4x – 10y + 28
3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
(3x + 4y – 21); (x – 1) = 0
3x + 4y – 21 = 0; x – 1 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి (-2, 3) నియతరేఖ 2x + 3y – 4 = 0 గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. నాభిలంబం పొడవు, అక్షరేఖ సమీకరణాలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) పరావలయం మీది బిందువు.
S(-2, 3) నాభి
sp² = (x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² నియత రేఖ సమీకరణము 2x + 3y -4 – 0
PM = P నుండి నియత రేఖ మీదకు PM = \(\frac{\left|2 x_1+3 y_1-4\right|}{\sqrt{4+9}}\)
పరావలయ నిర్వచనం ప్రకారం SP = PM ⇒ SP² = PM²
= (x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² = \(\frac{\left(2 x_1+3 y_1-4\right)^2}{13}\)
⇒ 13(\(x_1^2\) + 4x₁ + 4 + \(y_1^2\) – 6y₁ + 9) = (2x₁ + 3y₁ – 4)²
⇒ 13 \(x_1^2\) + 13\(y_1^2\) + 52 x₁ – 78 y₁ + 169
⇒ 4\(x_1^2\) + 9\(y_1^2\) + 16 + 12 x₁y₁ – 16x₁ – 24 y₁
⇒ 9\(x_1^2\) – 12 x₁y₁ + 4\(y_1^2\) + 68x₁ – 54y₁ + 153 = 0
బిందు పథము P(x₁, y₁)
9x² – 12xy + 4y² + 68x – 54y + 153 = 0
నాభి లంబము పొడవు = 4a
S నుండి నియత రేఖ మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|2(-2)+3.3-4|}{\sqrt{4+9}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
2a = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
నాభి లంబం పొడవు 4a = \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
అక్షం, నియత రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
నియత రేఖ సమీకరణాన్ని 3x – 2y + k = 0 గా తీసుకొనగలము.
ఈ రేఖ S (-2, 3) గుండా పోతుంది.
– 6 – 6 + k = 0 ⇒ k = 12
అక్షం సమీకరణము 3x – 2y + 12 = 0

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4
= A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B (3 cos x – 4 sin x) + C అనుకోండి
sin x, గుణకాలు సమానం చేయు 3A – 4B = 2
cos x, గుణకాలు సమానం చేయు 4A + 3B = 3

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి.
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E) x
x సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\) ను సాధించండి.
సాధన:
x = X + h y = Y + k అయితే \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలకు h + 2k + 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


x= x – 1, Y = Y + 2 కనుక
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)[log(X + 3Y
– \(\frac{1}{2}\)(log(X + √3Y) + log (X – √3Y) – 2 logX) = log CX
log (X + √3Y)(\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) – \(\frac{1}{2}\)) – log (x – √3Y)
(\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) + log X = log c + log X
\(\frac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\) log (X + √3Y) \(\frac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\) log (X – √3Y) = log c
\(\frac{(2-\sqrt{3})}{2}\) log (X + √3Y) – \(\frac{(2+\sqrt{3})}{2}\)
log (X – √3Y) = √3c’ ఇచ్చట c’ = log c
ఇచ్చట X = x – 1, Y = y + 2

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 1 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే, a, b విలువలు కనుక్కోండి. వృత్తకేంద్రాన్ని వ్యాసార్థాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తాన్ని సూచిస్తే a = 3, h = 0
∴ ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ b = 0, a = 3
3x² + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0
x² + y² – \(\frac{5}{3}\)x + \(\frac{2}{3}\)y – 1 = 0
g = –\(\frac{-5}{6}\); f = \(\frac{2}{6}\) c = -1
C = (-g, -f) = (\(\frac{5}{6}\), –\(\frac{1}{3}\))
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{9}+1}\)
= \(\frac{\sqrt{65}}{6}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
lx + my + n = 0, సరళరేఖ, x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి అభిలంబ రేఖ కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
lx + my + n = 0 రేఖ వృత్తానికి అభిలంబరేఖ
S = x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
⇒ కేంద్రం (-g, -f)
lx + my + n = 0
l (- g) + m(- f) + n = 0
gl + fm = n

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 12x – 6y + 41 = 0; x² + y² + 4x + 6y – 59 = 0 వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (6, 3)
r₁ = (36 + 9 – 41)^1/2
r₁ = 2

C₂ = (-2, -3)
r₂ = (4 + 9 + 59)^1/2
r₂ = (72)^1/2 = 6√2

C₁C₂ = d = \(\sqrt{(6+2)^2+(3+3)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\) = 10
cos θ = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
\(\frac{100-4-72}{2 \times 2 . \sqrt{72}}\) = \(\frac{24}{4 \times 6 \sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = 45°

ప్రశ్న 4.
నాభి S(1, -7), శీర్షం A(1, -2) గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S = (1, -7), A(1, -2) అనుకుందాము.
h = 1, k = -2, a = -2 + 7 = 5
పరావలయం అక్షం Y – అక్షానికి సమాంతరము.
పరావలయ సమీకరణము
(x – h)² = – 4a (y – k)
(x – 1)² = – 20(y + 2)
x² – 2x + 1 = -20y – 40
⇒ x² – 2x + 20y + 41 = 0.

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయానికి, అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 0 మరియు \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = θ
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2θ అయితే
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2θ
2tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
sec² θ = 1 + tan² θ = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e²
secθ = e ⇒ θ sec^-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2tan^-1(\(\frac{b}{a}\)) లేదా 2 sec^-1(e)

ప్రశ్న 6.
గణించండి : \(\int \frac{1}{(x+3) \sqrt{x+2}} d x\)
సాధన:
x + 2 = t²
dx = 2t dt
\(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) = \(\int \frac{2 t d t}{t\left(t^2+1\right)}\)
= \(2 \int \frac{d t}{t^2+1}\)
= 2 tan^-1 (t) + C
= 2 tan^-1 (\(\sqrt{x+2}\)) + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) = ∫ tan⁴ x. sec² x dx
f : I → R ను f(x) గా నిర్వచిద్దాం.
= tan x, f'(x) = sec²x
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) = ∫[f(x)]⁴ . f'(x)dx
= \(\frac{[f(x)]^5}{5}\) + c.
\(\frac{1}{5}\) tan⁵ x + c.

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^1 \frac{\left(x^2+1-1\right)}{x^2+1} d x\) = \(\int_0^1 d x-\int_0^1 \frac{d x}{x^2+1}\)
= \([x]_0^1-\left[\tan ^{-1} x\right]_0^1\)
= 1 – tan^-1 1
= 1 – π/4

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

(1), (2) లను కూడగా
2I = \(\int_0^{\pi / 2} \frac{0 d x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x}\) = 0
⇒ I = 0

ప్రశ్న 10.
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right)^{\frac{6}{5}}\) = 6y అవకలన సమీకరణానికి పరిమాణం, తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right)^{\frac{6}{5}}\) = 6y
i.e., \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + (\(\frac{d y}{d x}\))³ = \((6 y)^{\frac{5}{6}}\)
పరిమాణము = 2, తరగతి = 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (-1, 2) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ x + y + 4x + 6y = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుందని చూపండి. స్పర్శ బిందువులను కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (−1, 2) వద్ద స్పర్శరేఖ S₁ = 0
అంటే x(-1) + y(2) – 2 (x – 1) – 4(y + 2) + 7 = 0
⇒ – 3x – 2y + 1 = 0
⇒ 3x + 2y – 1 = 0
ఈ రేఖ x² + y² + 4x + 6y = 0 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన r = d కావలయును.
ఇచ్చట వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\sqrt{4+9}\) = \(\sqrt{13}\)
d = వృత్త కేంద్రం C (-2, -3) నుండి రేఖ
3x + 2y – 1 = 0 మీదకు లంబదూరం
⇒ d = \(\frac{|3(-2)+2(-3)-1|}{\sqrt{13}}\) = \(\sqrt{13}\)
∴ r = d
⇒ రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
స్పర్శబిందువు P(x₁, y₁) అనుకుంటే, ఇది C ( -2, – 3) నుండి రేఖ మీదకు లంబపాదం అవుతుంది.
\(\frac{x_1+2}{3}\) = \(\frac{y_1+3}{2}\) = – \(-\left(\frac{-6-6-1}{13}\right)\) = 1
⇒ x₁ + 2 = 3 ⇒ x₁ = 1
y₁ + 3 = 2 ⇒ y₁ = -1
∴ స్పర్శబిందువు (1, -1)

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 8x – 6y + 21 = 0, x² + y² – 2x – 15 = 0 వృత్తాల ఖండన బిందువులు (1, 2) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 8x – 6y + 21 = 0 ______ (1)
x² + y² – 2x – 15 = 0 _______ (2)
(1), (2) వృత్తాల ఖండన బిందువు గుండా పోయే వృత్తం
(x² + y² – 8x – 6y + 21) + λ(x² + y² – 2x – 15) = 0 ______ (3)
ఈ వృత్తం (1, 2) గుండా పోతుంది.
(1 + 4 – 8 – 12 + 21) + λ(1 + 4 – 2 – 15) = 0
అంటే 6 + λ(-12) = 0
అంటే λ = \(\frac{1}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 8x – 6y + 21) + \(\frac{1}{2}\) (x² + y² – 2x – 15) = 0
అంటే 3(x² + y²) – 18x – 12y + 27 = 0

ప్రశ్న 13.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తానికి, హ్రస్వ, దీర్ఘాక్షాల పొడవులు, నాభిలంబం పొడవు, ఉత్కేంద్రతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 9x² + 16y² = 144
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2.4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2. 3 = 6
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0, 0); నాభులు (±ae, 0) (± √7, 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ± \(\frac{a}{e}\)
x = ± 4.\(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ± \(\frac{16}{\sqrt{7}}\) (√7x = ± 16

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b) దీర్ఘ వృత్తం యొక్క లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన
బిందువులు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘ వృత్త సమీకరణం + \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b) అనుకొందాం.
దీనికి వాలు-అంతర ఖండ రూపంలో ఏదైనా స్పర్శరేఖ
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొందాం. ఏదో ఒక వాస్తవ విలువ m కు P బిందువు (1) పై ఉంటుంది.
అంటే y₁ = mx₁ ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
∴ (y₁ – mx₁)² = a²m² + b².
(లేదా) (\(x_1^2\) – a²) m² – 2x₁y₁m + (\(y_1^2\) – b²) = 0. ఇది m లో వర్గ సమీకరణం. దీని మూలాలు m₁, m₂ అనుకొందాం. అప్పుడు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు వాలులు m₁, m₂.
m₁m₂ = \(\left(\frac{y_1^2-b^2}{x_1^2-a^2}\right)\)
∴ -1 = \(\left(\frac{y_1^2-b^2}{x_1^2-a^2}\right)\) [స్పర్శ రేఖలు పరస్పర లంబ రేఖలు కాబట్టి m₁m₂ = -1]
అంటే \(x_1^2\) + \(y_1^2\) = a² + b²
అంతేగాక లంబ స్పర్శ రేఖలలో ఒకటి ఊర్ధ్వ రేఖ అయితే అది (± a, ± b) లలో ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి. ఈ బిందువులన్నీ x² + y² = a² + b² ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ S = 0 దీర్ఘ వృత్తం లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువులు
x² + y² = a² + b² అనే వృత్తంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయానికి రెండు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు
x² + y² = a² – b² పై ఉంటుందని చూపండి..
సాధన:
పరస్పర లంబంగా ఉన్న అతిపరావలయాల స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు P(x₁, y₁)
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) గా తీసుకొనవచ్చు.
ఈ స్పర్శరేఖ P(x₁, y₁) గుండా పోతుంది.
y₁, = mx₁ ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
(y₁ – mx₁)² = a²m² – b²
\(y_1^2\) + m²\(x_1^2\) – 2mx₁y₁ = a²m² – b²
m²\(x_1^2\) – a²m² – 2mx₁y₁ + \(y_1^2\) + b² = 0
m²(\(x_1^2\) – a²) – 2mx₁y₁ + (\(y_1^2\) + b²) = 0
స్పర్శరేఖలు లంబాలు ⇒ m₁m₂ = -1
\(\frac{y_1^2+b^2}{x_1^2-a^2}\) = -1 ⇒ \(y_1^2\) + b² = – \(x_1^2\) + a²
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) a² = b²
P(x, y) యొక్క బిందువృత్తం x² + y² = a² – b²
ఈ వృత్తాన్ని అతిపరావలయ నియతవృత్తము అంటారు.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x\) యొక్క లఘాకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
n ధన పూర్ణాంకం, n ≥ 2 అయినప్పుడు


ఇది లఘకరణ సూత్రం.

ప్రశ్న 17.
సాధించండి : (1 + y²) dx = (tan^-1y – x) dy
సాధన:

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(1, 1), (- 6, 0), (- 2, 2), (- 2, – 8) బిందువులు చక్రీయాలని చూపండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (i)
ఈ వృత్తము A (1, 1) గుండా పోతూ
1 + 1 + 2g + 2f + c = 0
⇒ 2g + 2f + c = 2 _______ (ii)
ఈ వృత్తము B (- 6, 0) గుండా పోతూ
36 + 0 – 12g + 0 + c = 0
– 12g + c = -36 _____ (iii)
ఈ వృత్తము C (- 2, 2) గుండా పోతూ
4 + 4 – 4g + 4f + c = 0
– 4g + 4f + c = -8 _______ (iv)
(iii) – (iv) చేయగా – 8g – 4f = 0
⇒ 2g + f = 7
(i) – (ii) చేయగా 14g + 2f = 34
7g + f = 17 ______ (v)
(iv) నుండి (v) సాధించగా g = 2, f = 3
g = 2, f = 3 అని (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 6 + c = – 2
c = -12
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0
(- 2, – 8) ను సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 64 – 8 – 48 – 12 = 68 – 68 = 0
(- 2, – 8) బిందువుపై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² + 22x – 4y – 100 = 0, x² + y² – 22x + 4y + 100 = 0 వృత్తాలకు ప్రత్యక్ష (ఏకపక్ష) ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (-11, 2)
r₁ = \(\sqrt{121+4+100}\) = 15

C₂ = (11, -2)
r₂ = \(\sqrt{121+4-100}\) = 5

y = mx + c స్పర్శరేఖ అనుకొనుము.
mx – y + c = 0
\(\left|\frac{m(-11)-2+c}{\sqrt{1+m^2}}\right|\) = 15 ______ (1)
5 = \(\left|\frac{m(11)+2+c}{\sqrt{1+m^2}}\right|\) _______ (2)
(1) ÷ (2) చేయగా = \(\frac{3}{1}\) = \(\frac{-11 m-2+c}{m(11)+2+c}\)
= \(\frac{3 + 1}{3 – 1}\) = \(\frac{2 c}{-22 m-4}\)
C = – 22m – 4
∴ y = mx – 22m – 4
ఈ రేఖ రెండవ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
∴ \(\frac{|11 m+2-22 m-4|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 5
వర్గీకరించి అడ్డ గుణకారము చేయగా
25 (1 + m²) = (11m + 2 – 22m – 4)²
96m² + 44m – 21 = 0
⇒ 96m² + 72m – 28m – 21 = 0
m = \(\frac{7}{24}\), \(\frac{-3}{4}\)
C = \(\frac{25}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = – \(\frac{3}{4}\) x + \(\frac{25}{2}\)
4y + 3x = 50 3x + 4y – 50 = 0
C = – 22m – 4 = – 22(\(\frac{7}{24}\)) – 4
= \(\frac{-77-48}{12}\) = \(\frac{-125}{12}\)
y = \(\frac{7}{24}\) x – \(\frac{125}{12}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
⇒ 24y = 7x – 250
⇒ 7x – 24y – 250 = 0

ప్రశ్న 20.
y² = 4ax పరావలయంలో అంతర్లిఖించిన త్రిభుజం శీర్షాల y- నిరూపకాలు y₁, y₂, y₃ అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{8 a}\) |(y₁ – y₂) (y₂ – y₃) (y₃ – y₁)| చ.యూ. అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{9 \cos x-\sin x}{4 \sin x+5 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా
dx = sec² θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)

I = \(\int_0^{\pi / 4}[\log (1+\tan \theta) d \theta=\log 2 \cdot(\theta)]_0^{\pi / 4}\)
= (log2) \(\frac{\pi}{2}\)
∴ I = \(\frac{\pi}{8}\)log2

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+y+3}{2 y+x+1}\) ను సాధించండి.
సాధన:
(2x + y + 3) dx = (2y + x + 1) dy
దత్త సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా రాయవచ్చు.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+y+3}{2 y+x+1}\) ______ (i)
ఇక్కడ a = 2, b = 1, a’ = 1, b’ = 2
అందువల్ల b ≠ a’, \(\frac{a}{a}\) ≠ \(\frac{b}{b}\)
(i) లో x = X + h, y = Y + k అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d Y}{d X}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 X+Y+2 h+k+3}{2 Y+X+2 k+h+1}\) ________ (ii)
2h + k + 3 = 0, h + 2k + 1 = 0
అయ్యే విధంగా h, k లను ఎంపిక చేసుకొంటే
h = –\(\frac{5}{3}\), k = \(\frac{1}{3}\)
కనుక (ii) నుంచి \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2 X+Y}{2 Y+X}\) ______ (iii)
ఇది ఒక సమఘాతీయ సమీకరణం, Y = VX అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{d Y}{d X}\) = V + X\(\frac{d V}{d X}\)
కనుక (iii) కింది విధంగా మారుతుంది.

సమాకలనం చేస్తే, –\(\frac{3}{2}\) log (1 – V) –\(\frac{1}{2}\) log (1 + V) = 2 log X – log c
అంటే 3 log (1 – V) + log (1 + V) + 4 log X = 2 log c
అంటే log [(1 – V)³ (1 + V)X⁴] = log c²
కనుక x⁴ (1 – V)³ + (1 + V) = c²
అంటే X⁴(1 – \(\frac{Y}{X}\))³ (1 + \(\frac{Y}{X}\)) = c² [V = \(\frac{Y}{X}\) కనుక]
అంటే (X + Y) (X – Y)³ = c²
X, Y లకు ప్రతిక్షేపిస్తే,
(x + \(\frac{5}{3}\) + y – \(\frac{1}{3}\)) ( x + \(\frac{5}{3}\) – y + \(\frac{1}{3}\) )³ = c³
లేదా (x + y + \(\frac{4}{3}\))(x – y + 2)³ = c²
ఇది దత్త సమీకరణ సాధన.

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2022 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2022 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – B 5 × 4 = 20

I. అతి స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

సూచన:

1. ఏవైనా పది ప్రశ్నలకు సమాధానములు రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 2 మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(sinθ, cosθ) సంకీర్ణ సంఖ్యకు గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 2.
(a + ib)² = (x + iy) అయితే, (x² + y²) విలువను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 3.
Z₁ = (2, -1), Z₂, – (6, 3), అయితే Z₁ – Z₂ కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 4.
x = cisθ అయితే, (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 5.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే, (\(\) + \(\)) విలువను a, b, c కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 6.
1, 2 లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 7.
x³ + 2x² – 4x + 1 = 0 సమీకరణం మూలాలకు 3 రెట్లు ఉన్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 8.
x⁴ + 5x³ + 11x + 3 = 0 సమీకరణం మూలాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగిన సంఖ్యలు మూలాలుగా గల రూపాంతర సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 9.
5 విభిన్న గణితశాస్త్ర పుస్తకాలు, 4 విభిన్న భౌతికశాస్త్ర పుస్తకాలు, 3 విభిన్న రసాయనశాస్త్ర పుస్తకాలను ఒక వరుసలో ఒక శాస్త్రానికి సంబంధించిన పుస్తకాలన్నీ ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?

ప్రశ్న 10.
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 11.
ⁿP₃ = 1320 అయిన ‘n’ విలువను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 12.
(1 – \(\frac{x^2}{3}\)^-4 విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 13.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16

ప్రశ్న 14.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1. 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంతో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?

ప్రశ్న 15.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(x = 1) = P(x = 2) ను తృప్తిపరుస్తుంది. P(x = 5)ను కనుక్కోండి.

విభాగం – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

సూచన :

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 4 మార్కులు.

ప్రశ్న 16.
\(\frac{(1+i) x-2 i}{3+i}\) + \(\frac{(2-3 \mathrm{i}) \mathrm{y}+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}\) అయ్యేటట్లు, x, y వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను నిర్ధారించండి.

ప్రశ్న 17.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta}\) అయితే, 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.

ప్రశ్న 18.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘనమూలాలు 1, ω, ω² అయితే, (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω²) (2 – ω²) = 49 అని నిరూపించండి.

ప్రశ్న 19.
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) సమాసానికి వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.

ప్రశ్న 20.
x³ – 7x² + 14x – 8 = 0 సమీకరణ మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.

ప్రశ్న 21.
1, 2, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే నాలుగు అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి. (పునరావృతం కాకుండా)

ప్రశ్న 22.
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4(38-r) C_4\) ను సూక్ష్మీకరించండి.

ప్రశ్న 23.
\(\frac{x^2+5 x+7}{(x-3)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.

ప్రశ్న 24.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.

ప్రశ్న 25.
\(\frac{2 x+3}{(x-1)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.

ప్రశ్న 26.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఘటనలు A, B ఉన్నాయను కోండి.
(i) A జరగకపోవడానికి
(ii) A గానీ B గానీ (A, Bలు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 27.
సంభావ్యతను గణన సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించి, నిరూపించండి.

విభాగం – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

సూచన :

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు 7 మార్కులు.

ప్రశ్న 28.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αn + βn = ^{2n + 1} cos(\(\frac{\mathrm{n} \pi}{3}\)) అని చూపండి.

ప్రశ్న 29.
a, b, c ∈ R, a ≠ 0 అనీ, ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు వాస్తవ సంఖ్యలు, α < β అనుకుందాం. అప్పుడు x < α లేదా x < β అయినప్పుడు ax² + bx + c మరియు ‘a’ లకు ఒకే గుర్తు ఉంటుందని నిరూపించండి.

ప్రశ్న 30.
x⁴ – 4x² + 8x + 35 = 0 సమీకరణానికి ఒక మూలం 2 + i√3 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.

ప్రశ్న 31.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² + 17x – 11 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 32.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే (పునరావృతం లేకుండా) ఆ క్రమంలో PRISON పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 33.
x = 8, y = 3 అయినప్పుడు (3x – 4y)¹⁴ విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదాలు కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 34.
ఒక పెట్టెలోని 15 బల్బులలో 5 పనిచేయనివి. పెట్టెలో నుంచి యాదృచ్ఛికంగా 5 బల్బులను తీసినప్పుడు కింది ఘటనల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
i) వాటిలో ఏ బల్బు పనిచేయనిది కాదు
ii) వాటిలో ఒకటి మాత్రమే పనిచేయనిది
iii) వాటిలో కనీసం ఒకటి పనిచేయనిది

ప్రశ్న 35.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ P(A ∩ \(\overline{\mathrm{B}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{C}}\)) = \(\frac{1}{4}\),
P(\(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ B ∩ \(\overline{\mathrm{C}}\)) = \(\frac{1}{8}\), P(\(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{B}}\)∩\(\overline{\mathrm{C}}\)) = \(\frac{1}{4}\) అయినప్పుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 36.
P(X = -2) = P(X = -1) = P(X = 2) = P(X = 1) = \(\frac{1}{6}\), P(X = 0) = \(\frac{1}{3}\) ను తృప్తిపరిచేటట్లు X యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతిలను -కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 37.
ఒక ద్విపద చలరాశి మధ్యమం, విస్తృతిల మధ్య భేదం \(\frac{5}{9}\) అయితే, ప్రయోగాన్ని 5 సార్లు నిర్వహించినప్పుడు 2 సార్లు సఫలం అయ్యే ఘటన సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper April 2022 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper April 2022 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ప్రశ్నా పత్రం నందు A, B, C అను మూడు సెక్షన్లు కలవు.

సెక్షన్ – A 10 × 2 = 20

I. “అతి స్వల్ప” సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(1 + 2i)³ అను సంకీర్ణ సంఖ్యను a + ib రూపంలో వ్రాయండి.

ప్రశ్న 2.
1 + i√3 సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప-అయాను రూపంలో వ్యక్తపరచండి.

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు (ఒకటి ఘనమూలాలు 1, ω, ω అయితే
(2 – 0) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49 అని నిరూపించండి.

ప్రశ్న 4.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 5.
0, 0, 2, 2, -2, -2 మూలాలుగా గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణం కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 6.
ⁿP₇ = 42. (ⁿP₅) అయితే n విలువ కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 7.
¹⁰P₅ + 2. (¹⁰P₄) + ¹⁰P₄ విలువ కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 8.
(2 + 5x)^-1/2 కు ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటయ్యేటట్లు X విలువలుంటే సమితి E ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 9.
3, 6, 10, 4,. 9, 10 అను దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంక మధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభజనాన్ని సంధానించి P(X ≥ 1)ని కనుక్కోండి.

సెక్షన్ – B 5 × 4 = 20

II. “స్వల్ప” సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవేని ఐదు ప్రశ్నలకు జవాబులు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{3}{2+{Cos} \theta+\mathrm{i}{Sin} \theta}\) అయితే, x² + y² = 4x – 3 అని చూపండి.

ప్రశ్న 12.
ax² + bx + c = 0 వర్గసమీకరణం మూలాలు x₁, x₂ లు c = 0 అయితే (ax₁ + b)^-2 + (ax₂ + b)^-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 \cdot 5 \ldots(4 n-1)}{[1.3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)]^2}\) అని నిరూపించండి.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) భిన్నాన్ని పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టుము.

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P (A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఘటనలు A, B ఉన్నాయనుకోండి.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A గానీ B గానీ (A, B లు రెండూ) జరగక పోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 17.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుగాని, ఇస్పేటుగాని అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?

సెక్షన్ – C 5 × 7 = 35

III. “దీర్ఘ” సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవేని ఐదు ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ఒక పూర్ణాంకము అయితే (1 + Cosθ + iSinθ)ⁿ + (1 + Cosθ – iSinθ)ⁿ
= 2^{n + 1}Cosⁿ(\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\)) Cos(\(\frac{\mathrm{n} \theta}{2}\)) అని చూపండి.

ప్రశ్న 19.
x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 = 0 అను సమీకరణానికి మూడు సమాన మూలాలు ఉంటాయని
చూపండి. ఆ మూలాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకము అయితే C₀ + \(\frac{C_1}{2}\) + \(\frac{C_2}{3}\) + ………. + \(\frac{C_n}{n+1}\) = \(\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.

ప్రశ్న 21.
\(\frac{3.5}{5.10}\) + \(\frac{3.5 .7}{5.10 .15}\) + \(\frac{3.5 .7 .9}{5.10 .15 .20}\) + …… ∞ అనే అనంత శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును వ్రాసి నిరూపించండి.

ప్రశ్న 24.

అనేది ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యత విభాజనం K విలువ, X విస్తృతిలను కనుక్కోండి.

Maths 2B Inter 2nd Year Previous Question Papers, AP TS Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers 2024-25, Intermediate 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers, AP TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Papers 2024, AP TS Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers, Maths 2B Model Papers Inter 2nd Year 2024, Maths 2B Inter Second Year Previous Question Papers.

AP TS Intermediate 2nd Year Maths 2B Model Papers Previous Question Papers Telangana

AP TS Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers 2024-2025 with Answers

• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 2
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 3

AP Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers

• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2016
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2016
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2017
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2017
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2018
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2018
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2019
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2019
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2020
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper April 2022
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2023

AP Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers Telugu Medium

• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 2
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 3
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 4
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 5
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 6
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 7
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 8
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 9
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 10
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2016
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2016
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2017
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2017
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2018
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2018
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2019
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2019
• AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper April 2022

TS Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers Telangana

• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2017
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2017
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2018
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2018
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2019
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2019
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2020
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2022
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2023

TS Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers Telugu Medium

• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2016
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2017
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2017
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2018
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2018
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2019
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2019
• TS Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2022

Maths 2B Inter 2nd Year Previous Question Papers, TS AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers 2024-25, Intermediate 2nd Year Maths 2B Model Papers, TS AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Papers 2024, TS AP Inter 2nd Year Maths 2B Previous Question Papers, Maths 2B Model Papers Inter 2nd Year 2024, Inter Second Year Maths 2B Previous Question Papers.

AP Inter 2nd Year Model Papers

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 i}{7+i}\) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మాన్ని వ్రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1, z₂ = -i అయితే, Arg(z₁, z₂) ను కనుక్కోండి..
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π ⇒ Arg(z₁) = π
z₂ = -i = 0 + i(-1) = cos(\(\frac{-\pi}{2}\)) + i sin (\(\frac{-\pi}{2}\) )
Arg z₂ = \(\frac{-\pi}{2}\)
Arg(z₁, z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= π + (\(\frac{-\pi}{2}\))
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\).

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² అయితే
(a + b) (aw + bw)² (aw² + bw) = a³ + b³ అని చూపండి.
సాధన:
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² కావున
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
(a + b) (aw + bw²) (aw² + bw)
= (a + b) (a²w³ + abw² + abw⁴ + b²w³)
= (a + b) [a².1 + ab(w² + w³.w) + b².1]
= (a + b) [a² + ab(w² + w) + b²]
= (a + b) [a² + ab(-1) + b²]
= (a + b) (a² – ab + b²)
= a³ – b³
∴ (a + b) (aw + bw²) (aw² + bw) = a³ – b³.

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే α² + β² విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β కావున
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) మరియు αβ = \(\frac{c}{a}\)
α² + β² = (a + β)² – 2αβ
= (\(\frac{-b}{a}\))² – 2(\(\frac{c}{a}\))
= \(\frac{\mathbf{b}^2}{\mathbf{a}^2}\) – \(\frac{2 c}{\mathrm{a}}\)
∴ α² + β² = \(\frac{\mathrm{b}^2-2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^2}\)

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల లబ్దం 9 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల 9
⇒ \(\frac{-(-a)}{4}\) = 9
⇒ \(\frac{a}{4}\) = 9
⇒ a = 36.

ప్రశ్న 6.
SINGING పదంలోని అక్షరాలను I తో మొదలయి, I తో అంతమయ్యేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:

SINGING పదంలో 2I’లు, 2N’లు, 2G’లు కలవు.
కావలసిన అమరిక కొరకు I తో మొదలయి, I తో అంతమయ్యేలా ఈ రెండు స్థానాలను నింపగల విధానాల సంఖ్య \(\frac{2!}{2!}\) = 1
మిగిలిన 5 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలతో నింపగల విధానాల సంఖ్య \(\frac{5!}{2!2!}\) = 30
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 30.

ప్రశ్న 7.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5} అయితే, r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5}
⇒ r + 1 = 3r – 5 (లేదా) 12 = r + 1 + 3r – 5
⇒ 1 + 5 = 3r – r (లేదా) 12 = 4r – 4
⇒ 6 = 2r. (లేదా) 16 = 4r.
⇒ r = 3 (లేదా) 4.

ప్రశ్న 8.
(3 – 4x)^3/4 సమాసానికి ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటు అయ్యే × విలువల సమితిని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3 – 4x)^3/4 = 3^3/4(1 – \(\frac{4 x}{3}\))^3/4
|\(\frac{4 x}{3}\)| < 1 అయిన (3 – 4x) ^3/4 సమాసం ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటు అగును.
⇒ |x| < \(\frac{3}{4}\) ⇒ x ∈ (\(\frac{-3}{4}\), \(\frac{3}{4}\))

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశము : 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16
మధ్యమం = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}\) = \(\frac{80}{8}\) = 10
మధ్యమం నుండి పరమ మూల్య విలువలు |6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |12 – 10|, |13 – 10|, |4 – 10|, |12 – 10|, |16 – 10|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2, 6
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+3+0+2+3+6+2+6}{8}\)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25.

ప్రశ్న 10.
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగురవేశారు. 6 బొమ్మలు పడడానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగురవేసిన 6 బొమ్మలు, పడే ఘటన A అని మరియు S శాంపుల్ ఆవరణము అనుకొనుము.
∴ n(S) = 2⁸ = 256
n(A) = ⁸C₆ = ⁸C₂ = \(\frac{8.7}{2}\) = 28
p(A) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{28}{256}\) = \(\frac{7}{64}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x² + y = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:


(1) మరియు (2) ల నుండి
x² + y² = 4x – 3

ప్రశ్న 12.
x ∈ R అయితే \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) సమాసపు వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) = y అనుకొనుము.
⇒ x + 2 = 2yx² + 3xy + 6y
⇒ 2yx² + (3y – 1) x + (6y – 2) = 0
x ∈ R ⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y 2) ≥ 0
⇒ 9y² – 6y + 1 – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y (3y – 1) + (3y – 1) < 0
⇒ (13y + 1) (3y − 1) ≤ 0
⇒ y ∈ [\(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)]
∴ \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) కు వ్యాప్తి \(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
MASTER పదం లోని అక్షరాలను ప్రస్తావించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే, ఆ వరుసలో REMAST పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
MASTER అను పదంలోని అక్షరాలను ఒక క్రమంలో వ్రాయగా


∴ REMAST పదం కోటి 391.

ప్రశ్న 14.
ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్థుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.
సాధన:
కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఈ క్రింది మూడు రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

	భారతీయులు (6)	అమెరికన్లు (5)	ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
మొదటి రకం	5	0	6C5 . 5C0
రెండవ రకం	4	1	6C4 . 5C1
మూడవ రకం	3	2	6C3 . 5C2

∴ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
= ⁶C₅ . ⁵C₀ + ⁶C₄ . ⁵C₁ + ⁶C₃ . ⁵C₂
= 6.1 + 15.5 + 20.10
= 6 + 75 + 200
= 281

ప్రశ్న 15.
భిన్నాన్ని పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+2\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\)
⇒ 2x² + 3x + 4 = A(x² + 2) + (Bx + C) (x – 1) ……… (1)
x = 1 వ్రాయగా
2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
⇒ 9 = 3A
⇒ A = 3
(1) లో ఇరువైపులా x² గుణకాలను మరియు స్థిర పదాలను పోల్చగా
2 = A + B
⇒ 2 = 3 + B
⇒ B = -1
(1) లో ఇరువైపులా స్థిరపదాలను పోల్చగా
4 = 2A – C
⇒ C = 2A – 4
⇒ C = 2(3) – 4 = 2
⇒ C = 6 – 4 = 2
∴ C = 2
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{-x+2}{x^2+2}\)
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{2-x}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుండి ఒక ముక్కను తీస్తే, అది ఆసుగాని, ఇస్పేటు గాని అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుకార్డు అయ్యే ఘటన A అని, ఇస్ఫేటుకార్డు అయ్యే ఘటన B అని అనుకొనుము మరియు S అనునది శాంపుల్ ఆవరణము.
n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(A) = ⁴C₁ = 4
n(B) = C₁ = 13.
n(A ∩ B) = ¹³C = 1
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{52}\)
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}\) = \(\frac{13}{52}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\)
= \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\)

ప్రశ్న 17.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15 అయ్యేట్లు. A మరియు B లు రెండు ఘటనలు అప్పుడు P(AC) + P(BC) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A ∪ B) = 0.65 అయితే P(A ∩ B) = 0.15
P(A^C) + P(B^C) = 1 – P(A) + 1 – P(B)
= 2 – [P(A) + P(B)]
= 2 – [P(A ∪ B) + P(A ∩ B)]
(∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B))
= 2 – [0.65 + 0.15]
= 2 – 0.8
= 1.2
∴ P(A^C) + P(B^C) = 1.2.

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకము అయితే (1 + i)ⁿ + (1 – i)ⁿ = \(\) cos (\(\))
సాధన:

ప్రశ్న 19.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 అనుకొనుము.
-2 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)⁴ – 5(x + 2)³ + 7(x + 2)² – 17x + 11 = 0
⇒ x⁴ + 4.x³.2 +6.x² 4 + 4.x.8 + 16 – 5(x³ + 3.x².2 + 3.x.4 + 8) + 7(x² + 4x + 4) – 17(x + 2) + 11 = 0
⇒ x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16 – 5x³ – 30x² – 60x – 40 + 7x² + 28x + 28 – 17x – 34 + 11 = 0
⇒ x⁴ + 3x³ + x² – 17x – 19 = 0.

ప్రశ్న 20.
r = 0, 1, 2, …….. n కు C₀. C_r + C₁. C_{r + 1} + C₂.C_{r + 2} + …………
+ C_{n – r}. C_n = ²ⁿC_{n + r} అని చూపి తద్వారా \(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + …… + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n అని రాబట్టండి.
సాధన:

x^{n + r} గుణకాలను ఇరువైపులా పోల్చగా
²ⁿC_{n + r} = C₀. C_r + C₁. C_{r + 1} + C₂.C_{r + 2} + ………… + C_{n – r}. C_n ______ (3)
(3) లో r = 0 వ్రాయగా
\(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + ………. + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n
(3) లో r = 1 వ్రాయగా
C₀C₁ + C₁C₂ + C₂C₃ + ………. + C_{n – 1}
С_n = ²ⁿC_{n + 1}.

ప్రశ్న 21.
\(\frac{3}{4.8}\) + \(\frac{3.5}{4.8 .12}\) + \(\frac{3.5 .7}{4.8 .12 .16}\)
అనంతశ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
క్రింది ఇచ్చిన విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి మరియు ప్రామాణిక విచలనంను గణించండి.

సాధన:
పట్టికను తయారుచేయగా

ఇచ్చట N = Σf_i = 30
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\) = \(\frac{430}{30}\) = 14
విస్తృతి (σ²) \(\frac{1}{N}\)Σf_i(x_i – \(\bar{x}\))²
= \(\frac{1374}{30}\) = 45.8
= 45.8
ప్రామాణిక విచలనము = \(\sqrt{45.8}\) = 6.77.

ప్రశ్న 23.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు. A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5} ఘటనలను తీసుకోండి. అయితే
i) P = (A ∪ B)
ii) P (A/B)
iii) P = (A/C)
iv) P = (B/C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3} మరియు C = {2, 3, 4, 5}
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు.
∴ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ n(S) = 6
∴ p(A) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
p(B) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\) మరియు p(C) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

i) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ⇒ n(A ∪ B) = 4
∴ p(A ∪ B) = \(\frac{n(A \cup B)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

ii) A ∩ B = {3} ⇒ n(A ∩ B) = 1
⇒ p(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైంది.

k విలువను, X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన.
x యొక్క వ్యాప్తి = [1, 2, 3, 4, 5]
∴ p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) = 1
\(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
అంకమధ్యమం μ = \(\sum_{r=1}^5 r \cdot p\left(X=x_i\right)\)
= \(\sum_{r=1}^5 r(r k)\)
= 1.(k) + 2.(2k) + 3.(3k) +4.(4k) + 5.(5k) = 55k
= 55 × \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి (σ²) = (1)². k + (2)² 2k + (3)² 3k + (4)² 4k + (5)² (5k) – μ²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – (\(\frac{11}{3}\))²
= 225 k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 × \(\frac{1}{15}\) – \(\frac{121}{9}\)
= \(\frac{135 – 121}{9}\) = \(\frac{14}{9}\)

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(2 + 5i) (-4 + 6i) అను సంకీర్ణ సంఖ్య సంయుగ్మమును వ్రాయుము.
సాధన.
Z = (2 + 5i) (-4 + 6i) అనుకొనుము.
= – 8 + 12i – 20i + 30i²
= – 8 – 8i – 30
= – 38 – 8i
∴ \(\overline{\mathrm{z}}\) = – 38 – 8i
∴ (2 + 5i) (-4 + 6i) యొక్క సంయుగ్మము – 38 – 8i.

ప్రశ్న 2.
-√3 + i ను మాప ఆయామ రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
Z = -√3 + i అనుకొనుము.
∴ Z = 2[\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) + i\(\frac{1}{2}\)]
Z = 2[cos\(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin\(\frac{5 \pi}{6}\)]
∴ -√3 + i యొక్క మాప ఆయామ రూపము 2[cos\(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin\(\frac{5 \pi}{6}\)

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, w, w² అయితే \(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\) అని చూపండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w²
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
\(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\)
= \(\frac{(1+2 w)(1+w)+(2+w)(1+w)-(2+w)(1+2 w)}{(2+w)(1+2 w)(1+w)}\)

ప్రశ్న 4.
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 (b ≠ c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే b + c + 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
x² + bx + c = 0 మరియు x² + cx + b = 0 ఆ సమీకరణాల ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అనుకొనుము.
∴ α² + bα + c = 0
α² + cα + b = 0
bα – cα + c – b = 0
⇒ (b – c)α = b – c
= α = 1
∴ 1² + b(1) + c = 0
⇒ 1 + b + c = 0
⇒ b + c + 1 = 0

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 యొక్క మూలాలు 1, 1, α అయితే α ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 యొక్క మూలాలు 1, 1, α
∴ S₁ = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ 2 + α = 6
⇒ α = 6 – 2
= α = 4.

ప్రశ్న 6.
ⁿP₃ = 1320 అయితే n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿP₃ = 1320
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 10.132
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 10.11.12
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 12.11.10
∴ n = 12.

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿC₅ = ⁿC₆
∴ n = 5 + 6 = 11
¹³C_n = ¹³C₁₁
= ¹³C₂
= \(\frac{13.12}{2}\)
= 78
¹³C_n = 78

ప్రశ్న 8.
(1 + x)²ⁿ మరియు (1 + x)^{2n – 1} విస్తరణలో xⁿ గుణకాలు వరుసగా A, B అయితే
\(\frac{A}{B}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= \(\frac{\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n)!}}{\frac{(2 n-1)!}{n!(2 n-1-n)!}}\)
= \(\frac{(2 n)!}{n!n!} \cdot \frac{n!(n-1)!}{(2 n-1)!}\)
= \(\frac{2 n}{n}\)
= 2
∴ \(\frac{A}{B}\) = 2.

ప్రశ్న 9.
3, 6, 10, 4, 9, 10 దత్తాంశంనకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం 3, 6, 10, 4, 9, 10
మధ్యమం = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= \(\frac{42}{6}\)
= 7
పరమ మూల్య విలువలు |3 – 7|, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|,. 10-7
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\)
= 2.66

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}\)
P (X = 1) = P(X = 2)
∴ \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!}\)
⇒ λ = \(\frac{\lambda^2}{2}\)
⇒ 2λ = λ²
⇒ λ² – 2λ = 0
⇒ λ(λ – 2) = 0
λ > 0 కావున
∴ λ – 2 = 0 ⇒ λ = 2
P(X = 5) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^5}{5!}\) = \(\frac{e^{-2} \cdot 2^5}{120}\)
= \(\frac{32}{120 e^2}\)
= \(\frac{4}{15 e^2}\)
∴ P(X = 5) = \(\frac{4}{15 e^2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
-2 + 7i, \(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో సమచతుర్భుజి (రాంబస్) సూచిస్తాయని నిరూపించండి.
సాధన:
ఆర్లాండ్ తలంలో బిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.
∴ A = (2, 7), B = (\(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)), C = (4, -3), D = (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{7}{2}\))
AB = \(\sqrt{\left(\frac{-3}{2}+2\right)^2+\left(\frac{1}{2}-7\right)^2}\) BC = \(\sqrt{\left(4+\frac{3}{2}\right)^2+\left(-3-\frac{1}{2}\right)^2}\)

ఇచ్చట AB = BC = CD = DA మరియు AC ≠ BD
∴ ABCD సమచతుర్భుజిని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి ? (పునరావృతం కానట్లుగా)
సాధన:
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 0, 2, 4, 7, 8
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తము
= (0 + 2 + 4 + 7 + 8) [^{5 – 1}P_{4 – 1} (1111) – ^{5 – 2}P_{4 – 2} (1
11)]
= 21[⁴P₃ (1111) – ³P₂ (111)]
= 21 [24(1111) – 6(111)]
= 21[26664 – 666]
= 21 (25998]
= 5,45,958

ప్రశ్న 14.
²⁵C₄ + \(-\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄ అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S = ²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄
= ²⁵C₄ + ²⁹C₃ + ²⁸C₃ + ²⁷C₃ + ²⁶C₃ + ²⁵C₃
= ²⁵C₄ + ²⁵C₃ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ +²⁸C₃ + ²⁹C₃
కావున ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} + ^{n + 1}C_r
= ²⁶C₄ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁷C₄ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁸C₄ + ²⁸C₃ = ²⁹C₃
= ²⁹C₄ + ²⁹C₃
= ³⁰C₄
∴ L.H.S = R.H.S
∴ ²⁵C₄ + \(-\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄

ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{A x^2(x+3)+B x(x+3)+C(x+3)+D x^3}{x^3(x+3)}\)
⇒ 3x – 18 = Ax²(x + 3) + Bx (x + 3) + C(x + 3) + Dx³ ……….. (1)
x = 0 వ్రాయగా
0 – 18 = 0 + 0 + C(0 + 3) + 0
-18 = 3C
⇒ C = 6
x = -3 వ్రాయగా
3(-3) – 18 = 0 + 0 + 0 +D(-3)³
– 9 – 18 = D(-27)
-27 = -27D
D = 1
(1) లో, ఇరువైపులా x³ గుణకాలను పోల్చగా
0 = A + D
⇒ A = -D
⇒ A = -1
(1) లో, ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
0 = ЗА + В
⇒ B = -3A
⇒ B = -3(1) = -3
∴ A = -1, B = -3, C = -6, D = 1
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{-1}{x}\) + \(\frac{-3}{x^2}\) + \(\frac{-6}{x^3}\) + \(\frac{1}{x+3}\)
= \(\frac{1}{x+3}\) – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{3}{x^2}\) + \(\frac{6}{x^3}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, మరియు P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు A, B ఉన్నాయనుకోండి.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A గానీ B గానీ (A, Bలు రెండూ)
సాధన:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 మరియు P(A ∩ B) = 0.3

i) A జరగకపోవడానికి సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{A}}\))
= 1 – P(A)
= 1 – 0.5
= 0.5

ii) A గానీ, B గానీ జరగకపోవడానికి సంభావ్యత
= P(\(\overline{\mathrm{A}}\) N \(\overline{\mathrm{B}}\))
= 1 – P(\(\overline{A \cap B}\))
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 [0.5 + 0.4 – 0.3]
= 1 – 0.6 = 0.4

ప్రశ్న 17.
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు, P(A) = 0.2, P(B) = 0.5.
(i) P(A|B)
(ii) P(B |A)
(iii) P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = 0.2,
P(B) = 0.5
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
(i) P(A|B) = P(A) = 0.2

(ii) P(B |A) = P(B) = 0.5

(iii) P(A ∩ B) = P(A). P(B)
= (0.2) (0.5)
= \(\frac{2}{10}\).\(\frac{5}{10}\)
= \(\frac{10}{100}\)
= 0.1

(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A). P(B)
= 0.2 + 0.5 (0.2) (0.5)
= 0.2 + 0.5 – 0.1
= 0.6

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β+ sin γ అయితే
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin (α + β + γ) అని చూపండి.
సాధన:
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β+ sin γ
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
∴ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
(cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³
= 3(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) (cos γ + i sin γ)
⇒ (cos 3α + i sin 3α) + (cos 3β + i sin 3β) + (cos 3γ + i sin 3γ)
= 3(cis α) (cis β) (cis γ)
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i(sin 3α + sin 3β + sin 3γ)
= 3cis (α + β + γ)
= 3[cos (α + β + γ) + i sin(α + β + γ]
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
∴ cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3cos (α + β + γ)
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3sin (α + β + γ).

ప్రశ్న 19.
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 సమీకరణం ఒక మూలం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగమైతే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 యొక్క మూలాలు α, β, γ అనుకొనుము.
∴ S₁ = \(\frac{-81}{18}\) α + β + γ = \(\frac{-9}{2}\) ………. (1)
S₂ = \(\frac{121}{18}\) ⇒ αβ + βγ + γα = \(\frac{121}{18}\) ……… (2)
S₃ = \(\frac{-60}{18}\) ⇒ αβγ = \(\frac{-10}{3}\) ………… (3)
ఒక మూలం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగం కావున
α = \(\frac{\beta+\gamma}{2}\) అనుకొనుము 2α = β + γ
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
α + 2α = \(\frac{-9}{2}\) ⇒ 3α = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\)
∴ β + γ = 2(\(\frac{-3}{2}\)) ⇒ β + γ = -3 ……….. (4)
(3) నుండి, \(\frac{-3}{2}\)(βγ) = \(\frac{-10}{3}\) ⇒ βγ = \(\frac{20}{9}\)
(β + γ)² – (β – γ)² = 4βγ
⇒ (β – γ)² = (β + γ)² – 4βγ
= (-3)² – 4(\(\frac{20}{9}\))
= 9 – \(\frac{80}{9}\)
= \(\frac{81 – 80}{9}\) = \(\frac{1}{9}\)
∴ β – γ = \(\frac{1}{3}\) ……….. (5)
(4) + (5) ⇒ 2β = -3 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{-9+1}{3}\) = \(\frac{-8}{3}\)
⇒ β = \(\frac{-4}{3}\)
(4) – (5) ⇒ 2γ = -3 – \(\frac{1}{3}\) ⇒ 2γ = \(\frac{-9-1}{3}\) = \(\frac{-10}{3}\)
⇒ γ = \(\frac{-5}{3}\)
∴ ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{-4}{3}\), \(\frac{-5}{3}\).

ప్రశ్న 20.
C₀ + C₁.\(\frac{x}{2}\) + C₂.\(\frac{x^2}{3}\) + C₃.\(\frac{x^3}{4}\) + ……. +
C_n.\(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
If x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3 .5 .7}{3 \cdot 6 \cdot 9.12}\) + …….., అయితే 9x² + 24x = 11 అని నిరూపించండి.
సాధన:


⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
= 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాజనిత మధ్యమం A = 35 అనుకొనుము
అపుడు d₁ = \(\frac{x_i-35}{10}\)

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))_n
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10
= 35 – 1.6 = 33.4
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σfi|xi – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18

ప్రశ్న 23.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తాపత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% ని, 16% Bని, 14% C ని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, C
రెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటిని చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = \(\frac{20}{100}\)
P(B) = \(\frac{16}{100}\)
P(C) = \(\frac{14}{100}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\)
P(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\)
P(C ∩ A) = \(\frac{5}{100}\)
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{2}{100}\)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
\(\frac{20}{100}\) + \(\frac{16}{100}\) + \(\frac{14}{100}\) \(\frac{8}{100}\) + \(\frac{4}{100}\) + \(\frac{5}{100}\) \(\frac{2}{100}\)
= \(\frac{20+16+14-8-4-5+2}{100}\)
= \(\frac{35}{100}\)
∴ కనీసం ఒక వార్తా పత్రికను చదివే జనాభా శాతం = \(\frac{2}{100}\) × 100 = 35%

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఇవ్వబడినది.

(i) k విలువ (ii) అంకమధ్యమం (iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
Σ P(X = x) = 1 అని తెలియును.
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k.k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (10k – 1) (k + 1) = 0
⇒ k + \(\frac{1}{10}\), -1
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k = 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\)) = 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
z = 2 – 3i అయితే z² – 4z + 13 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
2 = 2 – 3i
⇒(z – 2) = 3i
⇒(z – 2)² = 9i²
⇒ z² – 4z + 4 = – 9
⇒ z² – 4z + 13 = 0.

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1 మరియు z₂ = + i అయితే Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1
= -1 + i(0)
= cos π + i sin π
∴ Arg (z₁) = π
z₂ = i
= 0 + i(1)
= cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
∴ Arg (z₂) = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg (z₁) – Arg (z₂)
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
x = cisθ అయితే (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cisθ
= cosθ + i sinθ
⇒ x⁴ = (cosθ + i sinθ)⁴ = cos 4θ + i sin 4θ
\(\frac{1}{x^4}\) = \(\frac{1}{\cos 4 \theta+i \sin 4 \theta}\)
∴ x⁴ + \(\frac{1}{x^4}\) = cos4θ + i sin 4θ + cos 4θ – i sin 4θ
= 2cos 4θ.

ప్రశ్న 4.
7 ± 2√5 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α = 7 + 2 √5 మరియు β = 7 – 2 √5 అనుకొనుము.
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ(7 + 2√5) (7 – 2√5)
= 49 – 20
= 29
α, β లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణము
x² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² – 14x + 29 = 0.

ప్రశ్న 5.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, a అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 యొక్క మూలాలు -1, 2, a కావున,
∴ s₁ = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ – 1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α + 1 = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-1}{2}\) – 1
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\)

ప్రశ్న 6.
MATHEMATICS పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
MATHEMATICS అను పదంలో 11 అక్షరాలు కలవు. వాటిలో 2 m’ లు 2A’లు మరియు 2Tలు కలవు మిగిలినవి విభిన్నము.
∴ MATHEMATICS పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{11!}{2!2!2!}\) = \(\frac{11!}{(2!)^3}\)

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
ⁿC₅ = ⁿC₆
⇒ n = 5 + 6 = 11
∴ ¹³C_n = ¹³C₁₁
= ¹³C₂ [∵ ⁿC_r = ⁿC_{n -r} ]
= \(\frac{13.12}{2}\)
= 78

ప్రశ్న 8.
C₀ + 2.C₁ + 4.C₂ + 8.C₃ + ……… + 2ⁿ. C_n = 3ⁿ అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + X)ⁿ = C₀ + C₁X + C₂X² + …….. + C_nXⁿ అని తెలియును.
X = 2 వ్రాయగా
(1 + 2)ⁿ C₀ + C₁.2 + C₂.2² + ……. C_n . 2ⁿ
∴ C₀ + 2.C₁ + 4.C₂ + 8.C₃ + ……… + 2ⁿ . C_n = 3ⁿ.

ప్రశ్న 9.
కింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి. 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ క్రమములో వ్రాయగా 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13
∴ మధ్యగతము = 6.
పరమ మూల్య విలువలు |6 – 2|,|6 – 3|,|6 – 4|,|6 – 6|, |6 – 9|,|6 – 10|,|6 – 13|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7
∴ మధ్యగతము నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\)
= \(\frac{23}{7}\)
= 3.28.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
X అనునది ( λ > 0) పరామితిగా పాయిజాన్ విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో, 2 + 2i, -2 -2i, -2√3 + i2√3 లను సూచించే బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
సాధన:
ఆర్గాండ్ తలంలోని బిందువులు A, B, C అనుకొనుము.
∴ A = (2, 2)
B = (-2, -2)
C = (-2√3, 2√3)

∴ AB = BC = CA
∴ A, B, C లు సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అంకెలు 1, 3, 5, 7, 9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄ = 120
ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. ఇదే విధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒక స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం ⁴P₃ × 1 + ⁴P₃ × 3 + ⁴P₃ × 5 + ⁴P₃ × 7 + ⁴P₃ × 9
= ⁴P₃ × (1 + 3 + 5 + 7 + 9)
= ⁴P₃ × 25 అవుతుంది.
ఇదేవిధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా వచ్చే అంకెల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 10
ఇదేవిధంగా వందల స్థానంలోని మరియు వేలస్థానంలోని అంకెల సంఖ్యల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 100 మరియు P × 25 × 1000
∴ 1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం
= ⁴P₃ × 25 × 1 + ⁴P₃ × 25 × 10 + ⁴P₃ × 25× 100 + ⁴P₃ × 25× 1000
= ⁴P₃ × 25 × (1 + 10 + 100 + 1000)
= ⁴P₃ × 25 × 1111
= 24 × 25 × 1111
= 6,66,600.

ప్రశ్న 14.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బేలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బేలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆ . ⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅ . ⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 42 + 21 = 63.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+2\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\)
⇒ 2x² + 3x + 4 = A(x² + 2) + (Bx + C) (x – 1) ……… (1)
x = 1 వ్రాయగా
2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
⇒ 9 = 3A
⇒ A = 3
(1) లో ఇరువైపులా x గుణకాలను మరియు స్థిర పదాలను పోల్చగా
2 = A + B ⇒ 2 = 3 + B
⇒ B = -1
4 = 2A – C ⇒ 4 = 2(3) – C
⇒ C = 6 – 4
⇒ C = 2
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{-x+2}{x^2+2}\)
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{2-x}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అపుడు
i) P(A ∩ B)
ii) P(A ∪ B)
iii) P(B/A)
iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
i) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C). P(B^C)
A^C, B^C లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 17.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయితే A, B, C లు ఆ పందెం గెలవగల సంభావ్యతలేవి ?
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయిన cos² α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\)
= sin² α + sin² β + sin² γ అని చూపండి.
సాధన:
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
⇒ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) = cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
= (cos α + cos β + cos γ) i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i (0) = 0
⇒ ab + bc + ca = 0
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 0 = a² + b² + c² + 2(0)
⇒ a² + b² + c² = 0
⇒ (cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 1 – 2 sin²α + 1 – 2 sin² β + 1 – 2 sin²γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin²α + sin² β + sin²γ)
⇒ sin²α + sin² β + sin²γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos²α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
⇒ 2(cos²α + cos²β + 2 cos²γ) = 3
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos²α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\) = sin²α + sin² β + sin²γ

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0
⇒ x² – 10x + 26 – 10.\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) = 0
⇒ (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 10(x + \(\frac{1}{x}\)) + 26 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అపుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = t² – 2
∴ (t² – 2) – 10t + 26 = 0
⇒ t² – 2 – 10t + 26 = 0
⇒ t² – 10t + 24 = 0
⇒ t² – 4t – 6t + 24 = 0
⇒ t(t – 4) – 6(t – 4) = 0
⇒ (t – 4) (t – 6) = 0
⇒ t = 4 (లేదా) t = 6

∴ కావలసిన మూలాలు = 2 ± √3, 3 ± 2√2.

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో r, (r + 1) (r + 2) వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో n² – (4r + 1) n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr (r + 1), (r + 2) వ పదాల గుణకాలు వరుసగా ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1}
దత్తాంశము నుండి ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1} లు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
∴ ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r + 1} = 2 ⁿC_r

⇒ (n – r)(n – r + 1) = (r + 1)(2n – 3r + 2)
⇒ n² – 2nr + r² + n – r = 2nr – 3r² + 2r +2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3 .5}{3.6 .9}\) + \(\frac{1.3 .5 .7}{3.6 .9 .12}\) + …….. + అయితే 9x² + 24x = 11 అని నిరూపించండి.
సాధన:


⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
కింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము
a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

∴ అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘట
E₁, E₂ అయితే P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₁)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఉంది.

i) k విలువ
ii) అంకమధ్యమం
iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(3 + 4i) (2 – 3i) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
Z = (3 + 4i) (2 – 3i)
= 6 – 9 + 8i – 12i²
= 6 – i – 12(-1)
= 6 – i + 12
= 18 – i
∴ \(\bar{Z}\) = 18 + i
∴ (3 + 4i) (2 – 3i) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మమం 18 + i.

ప్రశ్న 2.
Arg \(\bar{Z}_1\), Arg Z₂ లు వరసగా \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{3}\) అయితే Arg Z₁ + Arg Z₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Arg \(\bar{Z}_1\) = \(\frac{\pi}{5}\) ⇒ Arg Z₁ = –\(\frac{\pi}{5}\)
Arg Z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ Arg Z₁ + Arg Z₂ = \(\frac{-\pi}{5}\) + \(\frac{\pi}{3}\)
= π(\(\frac{1}{3}\) – \(\frac{1}{5}\))
= π(\(\frac{5 – 3}{15}\))
= \(\frac{2 \pi}{15}\)

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w² అయితే \(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\) అని చూపండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w²
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1

ప్రశ్న 4.
m యొక్క ఏ విలువలకు x² – 15 – m(2x – 8) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానం అవుతాయి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x² – 15 – m (2x – 8) = 0
⇒ x² – 15 – 2mx + 8m = 0
⇒ x² – 2mx + 8m – 15 = 0
ఇచ్చిన సమీకరణమునకు మూలాలు సమానము కావున
∴ (-2m)² – 4(1) (8m – 15) = 0
⇒ 4m² – 32m + 60 = 0
⇒ m² – 8m + 15 = 0
⇒ m² – 3m – 5m + 15 = 0
⇒ m(m – 3) – 5(m – 3) = 0
⇒ (m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m = 3, 5

ప్రశ్న 5.
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 యొక్క మూలాల α, β, 1
∴ మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-2)}{1}\)
⇒ α + β + 1 = 2
⇒ α + β = 1 ………. (1)
మూలాల లబ్ధం = \(\frac{(-6)}{1}\)
⇒ a . β . 1 = -6
(α – β)² = (a + β)² – 4αβ
= 1² – 4(-6)
= 1 + 24
= 25
⇒ α – β = 5
(1) + (2) ⇒ 2α = 6
⇒ α = 3
(1) నుండి
3 + β = 1
⇒ α = 3β = -2
∴ α = 3, β -2

ప్రశ్న 6.
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలో పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య
= \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\)
= 36

ప్రశ్న 7.
3, 6, 10, 4, 9, 10 దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మధ్యమం
\(\bar{x}\) = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= \(\frac{42}{6}\) = 7
పరమ మూల్య విచలనాలు
|3 – 7|, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 1, 1, 3, 3, 2, 3
4+1+3 +3 +2+3
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\) = 2.666

ప్రశ్న 8.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి B కి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n(A) = 5 మరియు n(B) = 7
∴ A నుండి B కు గల అన్వేక ప్రమయాల సంఖ్య
n(B)_pn(A) = ⁷p₅
= 7.6.5.4.3
= 2,520

ప్రశ్న 9.
⁹C₃ + ⁹C₄ = ¹⁰C_r అయితే r కనుక్కోండి.
సాధన:
⁹C₃ + ⁹C₄ = ¹⁰C_r
ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} ^{n + 1} C_r
అని తెలియును.
∴ ¹⁰C₄ = ¹⁰C_r
(లేదా)
⇒ r = 4 (or) 10 = 4 + r
(లేదా)
⇒ r = 4 (or) r = 6

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద చలరాశి x అంకమధ్యమము, విస్తృతిలు వరుసగా 2.4, 1.44 అయితే n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా గల ద్విపద చలరాశి X అనుకొనుము.
∴ అంకమధ్యమము n = 2.4 మరియు
విస్తృతి npq = 1.44
\(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}\) = \(\frac{1.44}{2.4}\) ⇒ q = 0.6
p = 1 – q = 1 – 0.6 = 0.4
np = 2.4 ⇒ n(0.4) = 2.4
⇒ n = 6

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
2 + i, 4 + 3i, 2 + 5i, 3i అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ సమతలంలో ఒక చతురస్ర శీర్షాలను తెలుపుతాయని చూపండి.
సాధన:
A, B, C, Dలు సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు,
∴ A = (2, 1), B = (4, 3), C = (2, 5), D = (0, 3)

∴ AB = BC = CD = DA and AC = BD
∴ A, B, C, Dలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) సమాస వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ x²y – xy + y = x² + x + 1
⇒ (y – 1)x² – x(y + 1) + y – 1 = 0
x ∈ R ⇒ b² – 4ac ≥ 0
⇒ [-(y + 1)]² – 4(y – 1) (y – 1) ≥ 0
⇒ (y + 1)² – 4(y – 1)² ≥ 0
⇒ y² + 2y + 1 – 4(y² – 2y + 1) ≥ 0
⇒ y² + 2y + 1 – 4y² + 8y – 4 ≥ 0
⇒ -3y² + 10y – 3 ≥ 0
⇒ 3y² – 10y + 3 ≤ 0
⇒ 3y² – 9y – y + 3 ≤ 0
⇒ 3y(y – 3) -1 (y – 3) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (y – 3) ≤ 0
⇒ y ∈ [\(\frac{-1}{3}\), 3]
∴ y యొక్క వ్యాప్తి [\(\frac{-1}{3}\), 3]

ప్రశ్న 13.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 – x²
= (x² + 1)² – x²
= (x² + 1 + x) (x² + 1 – x)
= (x² + x + 1) (x² – x + 1)
= \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{A x+B}{x^2+x+1}\) = \(\frac{C x+D}{x^2+x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ 3x³ – 2x² – 1 = (Ax + B) (x² – x + 1) + (Cx + D) (x² + x + 1)
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
A + C = 3 ….. (1) ⇒ C = 3 – A
– A + B + C + D = -2 ……… (2)
A – B + C + D = 0 ……….(3)
B + D = -1 ……. (4) ⇒ D = – 1 – B
C, D లను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– A + B + 3 – A – 1 – B = -2
⇒ -2A = -4
⇒ A = 2
∴ C = 3 – 2 ⇒ C = 1
C, D లను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
A – B + 3 – A – 1 – B = 0
⇒ 2B = -2 ⇒ B = 1
D = – 1 – 1 ⇒ D = -2
∴ A = 2, B = 1, C = 1, D = -2
∴ \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\) = \(\frac{x-2}{x^2-x+1}\)

ప్రశ్న 14.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తా పత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% Aని, 16% Bని, 14% Cని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, Cరెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటిని చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
p(A) = \(\frac{20}{100}\) = p(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\)
p(B) = \(\frac{16}{100}\) = p(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\)
p(C) = \(\frac{14}{100}\) = p(A ∩ C) = \(\frac{5}{100}\)
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{20}{100}\)
P(A ∩ B ∪ C) = P(A) + p(B) + p(C) – p(A ∩ B) – p(B ∩ C) – p(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
ఆని తెలియమ
= \(\frac{20}{100}\) + \(\frac{16}{100}\) + \(\frac{14}{100}\) – \(\frac{8}{100}\) – \(\frac{4}{100}\) – \(\frac{5}{100}\) + \(\frac{2}{100}\)
= \(\frac{35}{100}\)
∴ కనీసం ఒక వార్తా పత్రిక చదివే జనాభా శాతం
= \(\frac{35}{100}\) × 100 = 35%

ప్రశ్న 15.
నియత సంభావ్యతను నిర్వచించండి. సంభావ్యత గుణన సిద్ధాంతం నిర్వచించి, నిరూపించండి.
సాధన:
సాధన:
i) నియత ఘటన : A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగానికి చెందిన రెండు ఘటనలు అనుకొనుము. A ఘటన జరిగిన అనంతరం B ఘటన జరిగితే అప్పుడు “A
జరిగిన తరువాత B జరగడం” అనే ఘటనను నియత ఘటన అని అంటారు.
దీనిని \(\frac{B}{A}\) గా సూచిస్తారు.
నియత సంభావ్యత : A, B లు శాంపుల్ ఆవరణం S చెందిన రెండు ఘటనలు, P(A) = 0 అయితే, ఘటన A జరిగిన తరువాత B సంభావ్యతను “A జరిగినప్పుడు
B నియత సంభావ్యత” అని అంటారు. దీనిని P(\(\frac{B}{A}\))తో తో సూచిస్తారు.
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) P(A) ≠ 0

ii) సంభావ్యతకు గణన సిద్ధాంతం : P(A) > 0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A ∩ B) = P(A) P (\(\frac{B}{A}\)) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ఉపపత్తి : యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపుల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొనుము.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు, అప్పుడు నియత సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
∴ P(B ∩ A) = P(A) P(\(\frac{B}{A}\))
P(B) > 0 కావున పై సమీకరణం A, B లను తారుమారు చేయగా
P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))

ప్రశ్న 16.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో PRISON పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
I, N, O, P, R, S
స్థానాలు 1, 2, 3, 4, 5, 6 పదాల సంఖ్య
I ______ = 5!
N ______= 5!
O ______ = 5!
P I ______ = 4!
P N ______ = 4!
P O ______ = 4!
P R I N ______ = 2!
P R I O ______ = 2!
P R I S N = 11
కనుక PRISON అనే పదం కోటి.
= 3(5!) + 3(4!) + 2(2!) + 1! + 1
= 3(120) + 3(24) + 2(2) + 1 + 1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1
= 438

ప్రశ్న 17.
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) సూక్ష్మీకరించుము.
సాధన:
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁴C₅ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄ + ³⁴C₄
= ³⁴C₅ + ³⁴C₄ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ +³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁶C₅ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁷C₅ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁸C₅ + ³⁸C₄
= ³⁹C₅
∴ ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁹C₅

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)n + (1 – i)n = \(2^{\frac{n+2}{2}}\) cos(\(\frac{n \pi}{4}\))
సాధన:

ప్రశ్న 19.
2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0
దత్త సమీకరణం మొదట కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ -1 ఒక మూలం.

∴ దత్త సమీకరణానికి x + 1 ఒక కారణాంకం.
2x⁴ – x³ – 11x² – x + 2 = 0
∴ 2x² – x – 11 – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = t² – 2
∴ 2 (t² – 2) – t – 11 = 0
⇒ 2t² – 4 – t – 11 = 0
⇒ 2t² – 1 – 15 = 0
⇒ 2t² – 6t + 5t – 15 = 0
⇒ 2t²(t – 3) + 5 (t – 3) = 0
⇒ (t – 3) + (2t + 5) = 0
⇒ t = 3 (లేదా) -5/2
t = 3 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x² – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{9-5}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
t = \(\frac{-5}{2}\) అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
2x² + 2 = -5x
2x² + 5x + 2 = 0
2x² + 4x + x + 2 = 0
2x (x + 2) + (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0
⇒ x = -2, –\(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), -2, –\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 20.
(1 + x)n విస్తరణలో 4 వరస పదాల గుణకాలు వరుసగా a1, a2, a3, a4 అయితే \(\frac{a_1}{a_1+a_2}\) + \(\frac{a_3}{a_1+a_2}\) = \(\frac{2 a_2}{a_2+a_3}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో 4 వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా a₁, a₂, a₃, a₄.
a₁ = ⁿC_{r – 1}, a₂ = ⁿC_r, a₃ = ⁿC_{r + 1}, a₄ = ⁿC_{r + 2} అనుకొనుము.

ప్రశ్న 21.
1 – \(\frac{4}{5}\) + \(\frac{4.7}{5.10}\) – \(\) + …….. అనంత శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))h
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10 = 35 – 1.6 = 33.4
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18

ప్రశ్న 23.
మూడు పెట్టెలు B₁, B₂, B₃ లలోని బంతులు క్రింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.

	తెల్లనివి	నల్లనివి	ఎర్రనివి
B1	2	1	2
B2	3	2	4
B3	4	3	2

ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B₁ ను ఎన్నుకొంటారు. 3 లేదా 4 వస్తే B₂ ను ఎన్నుకొంటారు. 5 లేదా 6 వస్తే B₃ ను ఎన్నుకొంటారు. ఒక పెట్టెను ఎన్నుకొన్నాక, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B₂ నుంచి వచ్చే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
E₁, E₂, E₃, పెట్టెలను ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా B₁, B₂, B₃ అనుకొనుము.
∴ p(E₁) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
p(E₂) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
p(E₃) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

= \(\frac{\frac{4}{9}}{\frac{18+20+10}{45}}\)
= \(\frac{4}{9}\). \(\frac{45}{48}\)
= \(\frac{5}{12}\)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి X is{0, 1, 2} P(X = 0) = 3c³, P(X = 1) = 4c – 10c², P(X = 2) = 5c – 1 అయినపుడు
i) c నిలువ
ii) P(X < 1)
iii) P(1 < X ≤ 2) మరియు P(0 ≤ X ≤ 3) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
యాదృచ్ఛిక చలరాశి X కు వ్యవాస్త {0, 1, 2}
(i) ∴ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3c³ + 4c – 10c² + 5c – 1 = 1
⇒ 3c³ – 10c² + 9c – 2 = 0
⇒ (c – 1) (3c² – 7c + 2) = 0

⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 (లేదా) 2 (లేదా) \(\frac{1}{3}\)
⇒ c = 1 (లేదా) 2 అయితే P(X = 0) > 1
∴ c ≠ 1 మరియు c ≠ 2
∴ c = \(\frac{1}{3}\)

(ii) P(X < 1) = P(X = 0)
= 3c³
= 3(\(\frac{1}{3}\))³
= 3(\(\frac{1}{27}\))
= \(\frac{1}{9}\)

(iii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2)
= 5c – 1
= 5(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{5 – 3}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)

(iv) P(0 < X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= 4c – 10c² + 5c – 1
= -10c² + 9c – 1
= -10(\(\frac{1}{9}\)) + 9(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{-10+27-9}{9}\)
= \(\frac{8}{9}\)

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(1 + 2i)³ అను సంకీర్ణ సంఖ్యను a + ib రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన:
(1 + 2i)³ = 1 + 3.i².2i + 3.1. (2i)² + (2i)³
= 1 + 6i + 12i² + 8i³
= 1 + 6i – 12(-1) + 8(-i)
= 1 + 6i -12 – 8i
= -11 – 2i
= a + ib ఇచ్చట a = -11, b = -2

ప్రశ్న 2.
1 + i√/3 సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
1 + i√3 = 2(\(\frac{1}{2}\) + i \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= 2 (cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\)
= 2 cis (\(\frac{\pi}{3}\))

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘనమూలాలు 1, ω, ω² అయితే (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49 అని నిరూపించండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = = 1
L.H.S. = (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹)
= (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω⁹. ω) (2 – ω⁹. ω²)
= (2 – ω) (2 – ω²) (2 – 1.ω) (2 – 1.ω²) (∵ ω⁹ = (ω³)³ = 1
= (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω) (2 – ω²)
= (2 – ω²) (2 – ω²)
= [(2 – ω²) (2 – ω²)]²
= [4 – 2ω² – 2ω + ω³]²
= [4 – 2 (ω² + ω) + 1]²
= [4 – 2 (-1) + 1]²
= (4 + 2 + 1)²
= 7²
= 49
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S
∴ (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49

ప్రశ్న 4.
x² – 6x + 5 = 0, x² – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 6x + 5 = 0 మరియు x² – 12x + p = 0 సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అనుకొనుము.
∴ α² – 6α + 5 = 0 మరియు α² – 12α + p = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
= α = 1, 5
α = 1 అయితే 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయితే 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ P = 11 (లేదా) 35.

ప్రశ్న 5.
0, 0, 2, 2, -2, -2 మూలాలుగా గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
0, 0, 2, 2, -2, -2 మూలాలు గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 0) (x – 2) (x – 2) (x + 2) (x + 2) = 0
⇒ x² (x – x)² (x + 2)² = 0
⇒ x² [(x – 2) (x + 2)]² = 0
⇒ x² (x² – 4)² = 0
⇒ x² (x⁴ – 8x² + 16) = 0
⇒ x⁶ – 8x⁴ + 16x² = 0

ప్రశ్న 6.
ⁿP₇ = 42 (ⁿP₅) అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿP₇ = 42 (ⁿP₅)
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6)
= 42. n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n-5) (n 6) = 7 × 6
⇒ (n – 5) = 7
∴ n = 12

ప్రశ్న 7.
¹⁰C₅ + 2 (¹⁰C₄) + ¹⁰C₃ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹⁰C₅ + 2 (¹⁰C₄) + ¹⁰C₃
= ¹⁰C₅ + ¹⁰C₄ + ¹⁰C₄ + ¹⁰C₃
= ¹¹C₅ + ¹¹C₄ [∵ ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r
= ¹²C₅
∴ ¹⁰C₅ + 2 (¹⁰C₄) + ¹⁰C₃ = ¹²C₅

ప్రశ్న 8.
(2 + 5x)^-1/2 కు ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటయ్యేటట్లు x విలువలుంటే సమితి E ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(2 + 5x)^-1/2 = 2^-1/2 (1 + \(\frac{5 x}{2}\))
(2 + 5x)^-1/2 కు ద్విపద విస్తరణ వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{5 x}{2}\)| < 1
⇒ -1 < \(\frac{5 x}{2}\) < 1
\(\frac{-2}{5}\) < x < \(\frac{2}{5}\)
∴ E = (\(\frac{-2}{5}\), \(\frac{2}{5}\))

ప్రశ్న 9.
3, 6, 10, 4, 9, 10 అను దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 3, 6, 10, 4, 9, 10
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం = \(\) = \(\frac{42}{6}\) = 7
విచలనాల పరమ మూల్యాలు = |3 – 7|, |16 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{6}\) (4 + 1 + 3 + 3 + 2 + 3)
= \(\frac{1}{16}\)(16)
= 2.6667

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంక మధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి P (X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అంక మధ్యమం np = 4
విస్తృతి npq = 3
\(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
np = 4 ⇒ n(\(\frac{1}{4}\)) = 4
⇒ n = 16
∴ n = 16, p = \(\frac{1}{4}\) మరియు q = \(\frac{3}{4}\)
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
= 1 – ¹⁶C₀p⁰q^{16 – 0} = 1 – q¹⁶ = 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x² + y² = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\)


(1) మరియు (2) ల నుండి
x² + y² = 4x – 3

ప్రశ్న 12.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు x₁, x₂ లు c ≠ 0 అయితే (ax₁ + b)^-2 + (ax₂ + b)^-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు x₁, x₂ కావున
∴ x₁, x₂ + \(\frac{-b}{a}\) మరియు x₁x₂ = \(\frac{c}{a}\)

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి. సాధన:
EAMCET అను పదంలోని అక్షరాలను నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా
A, C, E, E, M, T
A ——– తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{1}{2}\) = 60
C ——— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{1}{2}\) = 60
EAC —— = 3! = 6
EAE —— = 3! = 6
తరువాత పదం EAMCET = 1
EAMCET పదం కోటి = 60 +60 +6 +6 + 1 = 133

ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(4 n-1)}{[1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)]^{-2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) భిన్నాన్ని పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టుము.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x^2}\) + \(\frac{C}{x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A x(x+1)+B(x+1)+c x^2}{x^2(x+1)}\)
⇒ 2x² + 2x + 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + cx²
x = 0 వ్రాయగా
0 + 0 + 1 = 0 + B(0 + 1) + 0
⇒ B = 1
x = – 1 వ్రాయగా
2(-1)² + 2(-1) + 1 = 0 + 0 + c(-1)²
⇒ 2 – 2 + 1 = c
⇒ C = 1
ఇరువైపులా x² పదాల గుణకాలను పోల్చగా
⇒ 2 = A + C
⇒ 2 = A + 1
⇒ A = 1
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) + \(\frac{1}{x+1}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఘటనలు A, B ఉన్నాయనుకోండి.
i) A జరగకపోవడానికి ii) A గానీ B గానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 మరియు P(A ∩ B) = 0.3
A జరగకపోయే ఘటనను \(\overline{\mathrm{A}}\) తో సూచిస్తారు.
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P(A)
= 1 – 0.5
= 0.5
A గానీ B గానీ జరగకపోయే ఘటనను \(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{B}}\) తో సూచిస్తారు.
∴ P(\(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{A}}\)) = P(\(\overline{A \cup B}\))
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P (A ∩ B)]
= 1 – [0.5 + 0.4 – 0.3]
= 1 – 0.6
= 0.4

ప్రశ్న 17.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుగాని, ఇస్ఫేటు గాని అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసు అయ్యే ఘటనను E₁ అని మరియు ఇస్ఫేటు అయ్యే ఘటనను E₂ అని మరియు S శాంపుల్ ఆవరణము అనుకొనుము.
∴ n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(E₁) = ¹³C₁ = 13 మరియు n(E₂) = ⁴C₁ = 4
n(E₁ ∩ E₂) = ¹C₁ = 1
∴ P(E₁) = \(\frac{13}{52}\), P(E₂) = \(\frac{4}{52}\)
మరియు P(E₁ ∩ E₂) = \(\frac{1}{52}\)
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతమును అనుసరించి
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
= \(\frac{13}{52}\) + \(\frac{4}{52}\) – \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{13 + 4 – 1}{52}\)
= \(\frac{16}{52}\)
= \(\frac{4}{13}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ఒక పూర్ణాంకము అయితే (1 + cos θ + i sin θ)ⁿ + (1 + cos θ – i sin θ)ⁿ = 2^{n + 1} cosⁿ(\(\frac{\theta}{2}\)) cos(\(\frac{n \theta}{2}\)) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 = 0 అను సమీకరణానికి మూడు సమాన మూలాలు ఉంటాయని చూపండి. ఆ మూలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 అనుకొనుము.
f'(x) = 5x⁴ – 15x² + 10x
= 5x (x³ – 3x + 2)
f(1) = 5(1)(1 – 3 + 2) = 0

f”(x) = 20x³ – 30x + 10
f”(1)= 20 – 30 + 10 = 0
∴ f(x), f'(x) మరియు f”(x) లకు x – 1 ఒక కారణాంకం.

∴ x⁵ – 5x³ + 5x² – 1 = 0 కు మూడు సమాన మూలాలు ఉంటాయి మరియు అ మూలం ‘1’.

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకము అయిత C₀ + \(\frac{C_1}{2}\) + \(\frac{C_2}{3}\) ……….. + \(\frac{C_n}{n+1}\) = \(\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
\(\frac{3.5}{5.10}\) + \(\frac{3.5 .7}{5.10 .15}\) + \(\frac{3.5 \cdot 7.9}{5.10 .15 .20}\) …………… ∞ అనే అనంత శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:


⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
= 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము A = 65 మరియు h= = 10 పట్టికను నిర్మిద్దాం.

అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\sum f_i y_i}{N}\))h
= 65 + (\(\frac{-15}{50}\))10
= 65 – 3 = 62
విస్తృతి (σ²) = \(\)[N Σ f_i y_i² – (Σ f_i y_i)²]
= \(\frac{100}{2500}\) [50 (105) – (-15)²]
= \(\frac{1}{25}\)[5250 – 225]
= \(\frac{1}{25}\)[5025] = 201
ప్రామాణిక విచలనము σ = \(\frac{\mathrm{h}^2}{\mathrm{~N}^2}\) = 14.18

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును వ్రాసి నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, ………..E_n లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు
P(E_i) > 0 (i = 1, 2, 3, ………… n) అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.

అనే ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యత విభాజనం K విలువ, X విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {- 2, – 1, 0, 1, 2, 3}
సంభావ్యతల మొత్తం = 1
⇒ P(X = – 2) + P(X = – 1) + P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
⇒ 0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1
⇒ 0.6 + 4k = 1
⇒ 4k = 0.4
⇒ k = 0.1
అంక మధ్యమం μ = (-2) (0.1) + (-1) k + 0 (0.2) + 1 (2k) + 2(0.3) + 3(k)
= -0.2k + 0 + 2k + 0.6 + 3k
= 4k + 0.4
= 4(0.1) + 0.4)
= 0.4 + 0.4
= 0.8
విస్తృతి (σ²)
= (- 2)² (0.1) + (-1)² k + 0² (0.2) + 1² (2k) + 2²(0.3) + 3²(k) – μ²
= 4(0.1) + 1(k) + 0 + 1(2k) + 4 (0.3) + 9k – (0.8)²
= 0.4 + k + 2k + 1.2 + 9k – 0.64
= 12k + 1.6 – 0.64
= 12(0.1) + 1.6 – 0.64
= 1.2 + 1.6 – 0.64
= 2.8 – 0.64
= 2.16

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24i యొక్క వర్గమూలం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
1 – i సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
x = cis θ, అయితే x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cis θ
⇒ x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶
= cos 6 θ + i sin 6 θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = \(\frac{1}{\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta}\)
= cos 6θ – i sin 6θ
∴ x⁶ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – i sin 6θ
= 2 cos 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = 2 cos 6θ.

ప్రశ్న 4.
7 ± 2√5లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α = 7 + 2√5 మరియు β = 7 – 2√5 అనుకొనుము.
α + β = 7+ 2√5 +7 – 2√5
= 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2√5)
= 49 – (2√5)²
= 49 – 4(5)
= 49 – 20
= 29
∴ కావలసిన వర్గ సమీకరణము
x² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² – 14x + 29 = 0

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు మూలాలు 1, 1, α అయితే ‘α’ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
1, 1, α మూలాలుగా గల సమీకరణము x³ – 6x² + 9x – 4 = 0
∴ మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ α = 6 – 2
⇒ α = 4

ప్రశ్న 6.
4 ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమూ దానికి సంబంధించిన కవరులోకి పోకుండా ఉండేలా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
4 ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమూ దానికి సంబంధించిన కవరులోకి పోకుండా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య
4!\(\frac{1}{2!}\)(\(\frac{1}{3!}\) – \(\frac{1}{4!}\) + )
= 24(\(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{24}\))
= 12 – 4 + 1
= 9

ప్రశ్న 7.
INDEPENDENCE పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రసార్తాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదం INDEPENDENCE అనే పదంలో 12 అక్షరాలు ఉన్నాయి. వాటిలో మూడు N లు, రెండు Dలు, నాలుగు E లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = \(\frac{(12)!}{3!2!4!}\)

ప్రశ్న 8.
(1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a²x² + …… + a_2nx²ⁿ అయితే a₀ + a₁ + a₂ + …… + a_2n = 3ⁿ అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a²x² + …… + a_2nx²ⁿ
x = 1 వ్రాయగా
∴ (1 + 1 + 1)ⁿ = a₀ + a₁ + a₂ + …….. a_2n
∴ a₀ + a₁ + a₂ + ……. + a_2n = 3ⁿ

ప్రశ్న 9.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 దత్తాంశంనకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16
దత్తాంశానికి మధ్యమము \(\bar{x}\) = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}[latex]
= [latex]\frac{80}{8}\)
= 10
పరమమూల్య విచలనాలు
|6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |12 – 10|, |13 – 10|, |4 – 10|| |12 – 10|, 16 – 10|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2,
∴ మధ్యమము నుంచి మధ్యమ విచలనం
\(\frac{1}{n}\) ∈ |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{8}\)(4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6)
= \(\frac{1}{8}\) (26)
= 3.25

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = 1) = P(X = 2)
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) కావున

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయిన 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
EAMCET అను పదంలోని అక్షరాలను నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, C, E, E, M, T
A ————— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60
C ————— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
తరువాత పదం EAMCET = 1
EAMCET పదం కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133

ప్రశ్న 14.
7 గురు బ్యాట్స్మెన్, 6 గురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆.⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅.⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య : = 42 + 21 = 63

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) = 1 + \(\frac{A}{x-a}\) + \(\frac{B}{x-b}\) – \(\frac{C}{x-c}\) అనుకొనుము.
= x³ = (x – a) (x – b) (x – c) + A(x- b) (x − c) + B(x – a) (x – c) + C(x – a) (x − b)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే
i) P(A ∩ B)
ii) P(A ∪ B)
iii) P(B/A) మరియు
iv) P(AC ∩ BC) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
i) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C).P(B^C)
A^C, B^C లు కూడ· స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 17.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే A^C, B^C రెండూ స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
∴ P(A ∩ B) = = P(A). P(B)
P(A^C ∩ B^C) = P[(A ∪ B)^C]
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A). P(B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A). P(B)
= [1 – P(A)] – P(B) [1 – P(A)]
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= P(A^C). P(B^C)
∴ A^C, B^C లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు.

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ = 2^{n + 1} cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
x² – 2x + 4 = 0

ప్రశ్న 19.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 అనుకొనుము.
– 2 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)⁴ – 5(x + 2)³ + 7(x + 2)² – 17(x + 2) + 11 = 0

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో r, r + 1, + 2 వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో n² – (4r + 1) n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr (r + 1), (r + 2) వ పదాల గుణకాలు వరుసగా ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1}
దత్తాంశము నుండి ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1} లు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
∴ ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r + 1} = 2 ⁿC_r

⇒ (n – r)(n – r + 1) = (r + 1)(2n – 3r + 2)
⇒ n² – 2nr + r² + n – r = 2nr – 3r² + 2r +2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3 .5}{5.10 .15}\) + ……… ∞ అయితే 3x² + 6x విలువను కావున.
సాధన:


3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x + 3 = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్య విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
a రాధన. ఊహాత్మక అంకమధ్యమము a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

∴ అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘట E₁, E₂ అయితే P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₁)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్య విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణము S అనుకొనుము మరియు ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X అనుకొనుము.

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a + ib యొక్క గుణన విలోమము \(\frac{a}{a^2+b^2}\) – i\(\frac{b}{a^2+b^2}\)
∴ 7 + 24i యొక్క గుణన విలోమము
= \(\frac{7}{7^2+24^2}\) – i\(\frac{24}{7^2+24^2}\)
= \(\frac{7}{49+576}\) – i\(\frac{24}{49+576}\)
= \(\frac{7}{625}\) – i\(\frac{24}{625}\)

ప్రశ్న 2.
Z₁ = -1, Z₂ = + i అయితే Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Z₁ = -1
= -1 + i 0
= cos π + i sin π
= cos π
∴ Arg (Z₁) = π
Z₂ = i
= 0 + i
= cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
= cos(\(\frac{\pi}{2}\))
∴ Arg (Z₂) = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg (Z₁) – Arg (Z₂)
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘన మూలాలు 1, w, w² అయితే (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶ = 128 అని చూపుము.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w²
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
L.H.S. = (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶
= (- w – w)⁶ + (- w² – w²)⁶
= (-2w)⁶ + (-2w²)⁶
= 2⁶w⁶ +2⁶w¹²
= 2⁶(w³)² + 2⁶(w³)⁴
= 2⁶(1)² + 2⁶(1)⁴
= 2⁶(1 + 1)
= 2⁶(2)
= 2⁷
L.H.S. = R.H.S.
∴ (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶ = 2⁷ = 128

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β అయితే \(\frac{1}{\alpha^2}\) + \(\frac{1}{\beta^2}\) విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 యొక్క సమీకరణ మూలాలు α, β
⇒ α + β = \(\frac{-b}{a}\) మరియు αβ = \(\frac{c}{a}\).

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్దం 9 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్దం
⇒ \(\frac{-(-a)}{4}\) = 9
⇒ a = 36

ప్రశ్న 6.
‘6’ వేర్వేరు రంగుల పూసలతో ఎన్ని రకాలుగా గొలుసులు తయారు చేయవచ్చు ?
సాధన:
6 వేర్వేరు రంగుల పూసలతో తయారు చేయగల గొలుసుల సంఖ్య
= \(\frac{1}{2}\) = (6 – 1)!
= \(\frac{1}{2}\)(5!)
= \(\frac{1}{2}\)(120) = 60

ప్రశ్న 7.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5} అయితే ‘r’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5}

ప్రశ్న 8.
\((2+3 x)^{-\frac{2}{3}}\) ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటయ్యే ‘x’ ల సమితులు కనుక్కోండి.
సాధన:
(2 + 3x)^-2/3 = 2^-2/3 (1 + \(\frac{3 x}{2}\))^-2/3
∴ (2 + 3x)^-2/3 ‘కు ద్విపద విస్తరణ వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{3 x}{2}\)| < 1
⇒ |x| < \(\frac{2}{3}\)
⇒ x (\(\frac{-2}{3}\), \(\frac{2}{3}\))

ప్రశ్న 9.
ఒక అవర్గీకృత దత్తాంశానికి “వ్యాప్తి” ని నిర్వచించి, దత్తాంశము 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44 నకు వ్యాప్తిని కనుగొనుము.
సాధన:
వ్యాప్తి : ఒక అవర్గీకృత దత్తాంశానికి వ్యాప్తిని దత్తాంశంలోని పరిశీలనల శ్రేణి విలువలలో గరిష్ఠ విలువకు, కనిష్ఠ విలువకు మధ్యగల భేదంగా నిర్వచిస్తాం.
ఇచ్చిన దత్తాంశం 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44
గరిష్ఠ విలువ = 70
కనిష్ఠ విలువ = 38
∴ వ్యాప్తి = 70 – 38 = 32.

ప్రశ్న 10.
ఒక యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1; 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
x అనునది n, p లు పరామితులుగా గల ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
ఇచ్చ n = 10 మరియు p = 0.1 = \(\frac{1}{10}\)
p + q = 1 ⇒ q = 1 – p
⇒ q = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత
p(X = 1) = ¹⁰C₁, p¹q^{10 – 1}
= ¹⁰C₁ (\(\frac{1}{10}\))(\(\frac{9}{10}\))⁹
= 10(\(\frac{1}{10}\)) (0.9)⁹
= (0.9)⁹

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
-2 + 7i, \(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i)
అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో ఒక సమచతుర్భుజ (రాంబస్) శీర్షాలను సూచిస్తాయని
నిరూపించండి.
సాధన:
ఆర్గాండ్ తలంలో బిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.

ఇచ్చట AB = BC = CD = DA మరియు AC ≠ BD
∴ ABCD సమచతుర్భుజిని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షరాలలో ఏర్పడే అక్షరాల పదాలన్నింటిని నిఘంటువు క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో MASTER పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
REMAST పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, E, M, R, S, T
A తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
E తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
MAE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MAR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MASE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
MASR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
తర్వాత పదం MASTER = 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 120 + 120 +6 +6 + 2 + 2 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
ఉంటే వాటి నుండి ఒక విద్యార్థి ఏదైనా 6 ప్రశ్నలను ఏ విభాగం నుంచి 4 కి మించకుండా ఎంచుకొనే విధానాలెన్ని?
సాధాన.
దత్తాంశం ప్రకారం ఒక వ్యక్తి 6 ప్రశ్నలను ఎంచుకొనే మూడు విభాగాలు ( క్రింది విధంగా ) విభజించవచ్చు.
i) విభాగము A నుండి 4, B నుండి 2 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50

ii) ఒక్కో విభాగం నుండి 3 ప్రశ్నలు చొప్పున ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100

iii) విభాగం A నుండి 2, B నుండి 4 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50
∴ ఒక విద్యార్థి ఇచ్చిన 10 ప్రశ్నల నుండి కోరిన విధంగా 6 ప్రశ్నలను ఎంచుకొనే De 50+ 100 + 50 = 200

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x⁴ ను x² – 3x + 2 చే భాగించగా
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) = x² – 3x + 7 + \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B}{x-2}\) అనుకొనుము.
15 – 14 = A (x – 2) + B(x – 1)
x = 1 వ్రాయగా 15 – 14 = A (1 – 2)
1 = – A ⇒ A = -1
x = 2 వ్రాయగా
30 – 14 = B(2 – 1)
⇒ 16 = B ⇒ B = 16
= \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{16}{x-2}\)
= \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = x² + 3x + 7 – \(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{16}{x-2}\)

ప్రశ్న 16.
25 మంది సభ్యులు గల ఒక కమిటీలో ప్రతి సభ్యుడు గణితంలో గాని, సాంఖ్యక శాస్త్రంలో గాని లేదా రెండింటిలో గాని ప్రవీణులై ఉంటారు. వీరిలో 19 మంది గణితంలోను, 16 మంది సాంఖ్యకశాస్త్రంలోను ప్రవీణులైతే, కమిటీ నుంచి ఎంపిక చేసిన ఒక సభ్యుడు రెండింటిలోను ప్రవీణుడై ఉండే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
25 మంది సభ్యులు గల కమిటీలో ఎంపిక చేసిన సభ్యులు గణితంలో ప్రవీణుడు అయ్యే ఘటనను A అని, సాంఖ్యకశాస్త్రంలో ప్రవీణుడు అయ్యే ఘటనను B అని మరియు శాంపుల్ ఆవరణము S అని అనుకొనుము.
P(A) = \(\frac{19}{25}\)
P(B) = \(\frac{16}{25}\)
ప్రతి సభ్యుడు గణితంలో గాని, సాంఖ్యకశాస్త్రంలోని లేదా రెండింటిలో గాని ప్రవీణుడు కావున
∴ A ∪ B = S
⇒ P(A ∪ B) = P(S)
⇒ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1
⇒ P(A) + P(B) – 1 = P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{19}{25}\) + \(\frac{19}{25}\) – 1
= \(\frac{19+16-25}{25}\)
= \(\frac{10}{25}\)
= \(\frac{2}{5}\)
∴ కమిటీ నుంచి ఎంపిక చేసిన సభ్యుడు రెండింటిలోను ప్రవీణుడై ఉండే సంభావ్యత \(\frac{2}{5}\)

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు. 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
⇒ P(\(E_1^c\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(E₂) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
⇒ P(\(E_2^c\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొనుము. ఇది రెండు పరస్పర వివర్జిత విధాలుగా జరుగవచ్చును.
i) A నిజం చెబుతాడు, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం చెబుతాడు, B నిజం చెబుతాడు.
∴ P(E) = P(E₁ ∩ \(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\) ∩ E₂)
= P(E₁) . P(\(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\)) . P(E₂)
= (\(\frac{3}{4}\))(\(\frac{1}{5}\)) + (\(\frac{1}{4}\))\(\frac{4}{5}\))
= \(\frac{3}{20}\) + \(\frac{4}{20}\)
= \(\frac{7}{20}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) యొక్క విలువ – 1 అని చూపండి.
సాధన:

∴ \(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) యొక్క ఒక విలువ
= (cos \(\frac{3 \pi}{8}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{8}\))^8/3 యొక్క ఒక విలువ
= cos π + i sin π = – 1 + i(0) = -1

ప్రశ్న 19.
– 3 తో మార్పు చెందిన x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 అనుకొనుము.
– 3 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణము f(x + 3) = 0
∴ (x + 3)⁵ − 4(x + 3)⁴ + 3(x + 3)² – 4(x + 3) + 6 = 0
రూపాంతర సమీకరణమును సింధటిక్ భాగహారము ద్వారా పొందవచ్చును.
f(x + 3) = A₀x⁵ + A₁x⁴ + A₂x³ + A₃x² + A₄x + A₅
అనుకొనిన A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ లను ఈ క్రింది విధంగా పొందవచ్చును.

ప్రశ్న 20.
(a + x)ⁿ విస్తరణలో 2, 3, 4 పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080 అయితే a, x, n ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(a + x)ⁿ విస్తరణలో 2, 3, 4 పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080
T₂ = 240 ⇒ ⁿC₁ a^{n – 1} x = 240 ______ (1)
T₃ = 720 ⇒ ⁿC₂ a^{n – 2} x² = 720 ______ (2)
T₄ = 1080 ⁿC₃ a^{n – 3} x³ = 1080 _______ (3)

⇒ 4n – 8 = 3n – 3
⇒ n = 5
(4) నుండి 4x = 6a ⇒ x = \(\frac{3 a}{2}\)
(1) నుండి 5C₁a⁴. \(\frac{3}{2}\).a = 240
⇒ 5(3a⁵) = 480
⇒ a⁵ = 32
⇒ a = 2
∴ x = \(\frac{3}{2}\)(2) = 3
∴ a = 2, x = 3, n = 5

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ………, అయితే
9x² + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ……..

⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాజనిత మధ్యమం A = 35 అనుకొనుము.
అపుడు d_i = \(\frac{x_i-35}{10}\)

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))_n
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10
= 35 – 1.6 = 33.4
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(659.2) = 13.8

‘బేయీ సిద్ధాంతం’ వ్రాసి, నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1, E2, …… En లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(Ei) > 0 (i = 1, 2, 3, అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఉంది.

i) k విలువ
ii) అంకమధ్యమం
iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8