Inter 2nd Year

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణం x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
⇒ x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 12 + 9 + 4
⇒ (x – 3)² + (y + 2)² = 25
ఇచ్చట h = 3, k = -2 మరియు r = 5
ఇచ్చిన వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + r cos θ , y = k + r sin θ
x = 3 + 5 cos θ , y = -2 + 5 sin θ .

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవ 1 అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² + 2ky = 0 అనుకొనుము
(5, 4) నుంచి 5 = 0 వృత్తానికి గీచన స్పర్శరేఖ పొడవు 1.
⇒ \(\sqrt{S_{11}}\) = 1
⇒ S₁₁ = 1
⇒ 25 + 16 + 8k = 1
⇒ 8k = -40
⇒ k = -5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదాని కొకటి లంబంగా ఖండించి కొంటాయని చూపండి.
x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0, 3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0 _______ (1)
ఇచ్చట 2g = -2, 2f = -2, c = 7
g = -1, f = -1, c = 7
3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
⇒ x² + y² – \(\frac{8}{3}\) x + \(\frac{29}{3}\) y = 0 ______ (2)
ఇచ్చట 2g¹ = –\(\frac{8}{3}\)
⇒ g¹ = –\(\frac{4}{3}\)

2f¹ = –\(\frac{29}{3}\)
⇒ f¹ = –\(\frac{29}{6}\) మరియు c¹ = 0

∴ 2gg¹ + 2ff¹ = 2(-1)(\(\frac{-4}{3}\)) + 2(-1)(\(\frac{29}{6}\))
= \(\frac{8}{3}\) – \(\frac{29}{3}\)
= \(\frac{-21}{3}\)
= -7 + 0
= c + c¹
∴ 2gg¹ + 2ff¹ = c + c¹
∴ (1) మరియు (2) లు లంబంగా ఖండించుకొంటాయి.

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయముపై నాభి దూరము \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
y² = 2x పరావలయముపై నాభిదూరము \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
ఇచ్చట 4a = 2 మరియు x₁ + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ = 2
కావున y₁² = 2x₁
⇒ y₁² = 4
⇒ y₁ = ±2
కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2).

ప్రశ్న 5.
ఒక అతిపరావలయము ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\), అయితే దాని సంయుగ్మ అతిపరావలయవ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు e₁, e₂ అయితే

ప్రశ్న 6.
I = (0, 1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\)
sin^-1 x = t వ్రాయగా

ప్రశ్న 7.
R మీద \(\int e^x \cos x d x\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int e^{a x} \cos b x d x\) = \(\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}\) [a cos bx + b sin bx] + c
∴ \(\int e^x \cos x d x\) = \(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{1+1}\) [1 cos x + 1 sin x] + c
= \(\frac{1}{2}\) e^x(cos x + sin x) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1(1) – Tan^-1(0)]
= \(\frac{1}{a}\) [\(\frac{\pi}{4}\) – 0]
= \(\frac{\pi}{4 a}\)
∴ \(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
y = x² పరావలయముతోను, X – అక్షము x = -1, x = 2 రేఖలతో పరిబద్ధమై ప్రదేశ వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
= \(\int_{-1}^2 y d x\)
= \(\int_{-1}^2 x^2 d x\) = \(\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2\)
= \(\frac{1}{3}\) [8 – (-1)]
= 3

ప్రశ్న 10.
\(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{6 / 5}\) = 6y పరిమాణము, తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలజ సమీకరణం \(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{6 / 5}\) = 6y
పరిమాణము – 2
తరగతి = 6.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + y + 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 రేఖకు ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x + y + z = 0 ______ (1)
యొక్క ధ్రువం P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
S ≡ x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 అనుకొనుము.
S = 0 దృష్ట్యా P ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ – 2(x + x₁) + 3 (y + y₁) – 12 = 0
⇒ (x₁ – 2) x + (y₁ + 3) y + (-2x₁ + 3y₁ – 12) = 0 ______ (2)
(1) మరియు (2) లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి
∴ \(\frac{x_1-2}{1}\) = \(\frac{y_1+3}{1}\) = \(\frac{-2 x_1+3 y_1-12}{2}\) = k

∴ x₁ – 2 = k
⇒ x₁ = 2 + k

y₁ + 3 = k
y₁ = k – 3

– 2x₁ + 3y₁ – 12 = 2k
– 2(2 + k) + 3 (k – 3) – 12 = 2k.
– 4 – 2k + 3k – 9 – 12 = 2k
-25 = k

∴ x₁ = 2 – 25 = -23
y₁ = – 25 – 3 = -28
∴ ధృవము p = (-23, -28)

ప్రశ్న 12.
క్రింది వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణాన్ని, దాని పొడవును కనుక్కోండి. x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0, x² + y² + 4x + 3y + 2 =0
సాధన:
S ≡ x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0,
S ≡ x² + y² + 4x + 3y + 2 = 0 అనుకొనుము.
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము S – S¹ = 0
⇒ -2x – y – 1 = 0
⇒ 2x + y + 1 = 0 ______ (1)
S = 0 వృత్తకేంద్రం C(-1, -1)
r = \(\sqrt{1+1-1}\)
= 1
d = C నుండి (1) కి గల లంబదూరం
= \(\frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{4+1}}\)
= \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
ఉమ్మడి జ్యా పొడవు = \(2 \sqrt{r^2-d^2}\)
= \(2 \sqrt{1-4 / 5}\)
= \(2 \sqrt{\frac{1}{5}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

ప్రశ్న 13.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి lx + my + n = 0 స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సరళరేఖ సమీకరణము lx + my + n = 0
⇒ my = -lx-n
⇒ y = (\(\frac{-l}{m}\))x + (\(\frac{-n}{m}\)) _______ (1)
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము.
c² = a²m² + b²
⇒ (\(\frac{-n}{m}\))² = a²(\(\frac{-l}{m}\))² + b²
⇒ \(\frac{n^2}{m^2}\) = \(\frac{a^2 l^2}{m^2}\) + b²
⇒ n² = a²l² + b² m²
కావడానికి నియమము a²l² + b² m² = n².

ప్రశ్న 14.
3x² + y² – 6x – 2y – 5 = 0 దీర్ఘ వృత్తానికి ఉత్కేంద్రత, నాభుల నిరూ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
3x² + y² – 6x – 2y – 5 = 0
⇒ 3x² – 6x + 3 + y² – 2y + 1 = 5 + 3 + 1
⇒ 3(x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 9
⇒ 3 (x – 1)² + (y – 1)² = 9
⇒ \(\frac{(x-1)^2}{3}\) + \(\frac{(y-1)^2}{9}\) = 1
ఇచ్చట h = 1, k = 1
a² = 3, b² = 9 ⇒ b = 3
ఉత్కేంద్రత e = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{9-3}{9}}\)
= \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) = \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
నాభులు = (h, k ± be)
= (1, 1 ± 3\(\frac{\sqrt{6}}{3}\))
= (1, 1 ± √6)

ప్రశ్న 15.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి y = x – 7 రేఖకు
(i) సమాంతరముగాను ; (ii) లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{3}\) = 1
a² = 4, b² = 3
‘స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా y = x – 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = 1
సమాంతర స్పర్శరేఖల సమీకరణం
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4-3}\)
y = x ± 1

ii) స్పర్శరేఖ లంబంగా y – x = 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = (-1)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = (-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}\)
= – x ± 1
x + y = ±1.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy సాధించండి.
సాధన:

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5) మరియు (0, C) బిందువు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (2, 0), B (0, 1), C = (4, 5) మరియు D = (0, C) అనుకొనుము.
A, B, C బిందువుల ద్వారా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ________ (1) అనుకొనుము
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k = -4 ______ (2)
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k = -1 _______ (3)
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0
⇒ 8g + 10f + k = -41 _______ (4)
(4) – (2) ⇒ 4g + 10f = – 37
⇒ 4g + 10f + 37 = 0 _____ (5)
(4) – (3) ⇒ 8g + 8f = -40
⇒ 8g + 8f + 40 = 0
⇒ 4g + 4f + 20 = 0 ______ (6)
(5) – (6) ⇒ 6f + 17 = 0
⇒ 6f = -17
⇒ f = \(\frac{-17}{6}\)
(6) నుండి 4g + 4(\(\frac{-17}{6}\)) + 20 = 0
⇒ 24g – 68 + 120 = 0
⇒ 24g + 52 = 0
⇒ 6g + 13 = 0
⇒ 6g = -13
⇒ g = \(\frac{-13}{6}\)
సమీకరణం (2) నుండి
4 (\(\frac{-13}{6}\)) + k = -4
-52 + 6k = -24
6k = 28
k = \(\frac{14}{3}\)
∴ g = \(\frac{-13}{6}\), f = \(\frac{-17}{6}\), k = \(\frac{14}{3}\)
∴ A, B, C ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
⇒ x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y+ 14 = 0 ______ (7)
A, B, C, D లు చక్రీయాలు కావున
∴ D బిందువు (7) పై ఉంటుంది
∴ 0 + 3C² – 0 – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 3C – 14C + 14 = 0
⇒ 3C (C – 1) -14 (C – 1) = 0
⇒ (C – 1) (3C – 14) = 0
⇒ C = 1 లేదా \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
వాధన:
ఇచ్చిన వృత్త సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0 ______ (1)
S¹ ≡ x² + y² = 1 ______ (2) అనుకొనుము
C₁ = (1, 3), C₂ = (0, 0)
r₁ = \(\sqrt{1+9-6}\) r₂ = 1
= 2
C₁C₂ = d = \(\sqrt{1+9}\) = \(\sqrt{10}\) > r₁ + r₂
∴ C₁C₂ > r₁ + r₂
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాల సంఖ్య = 4
S = 0, S’ = 0 వృత్తాలకు అంతర, బాహ్య సరూప కేంద్రాల వరుసగా A₁ మరియు A₂ అనుకొనుము
∴ C₁C₂ ను A₁ బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా ఖండిస్తుంది.
∴ A₁(\(\frac{2(0)+1(1)}{2+1}\), \(\frac{2(0)+1(3)}{2+1}\))
= (\(\frac{1}{3}\), 1)
C₁C₂ ను A₂ బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో బాహ్యంగా ఖండిస్తుంది.
∴ A₂(\(\frac{2(0)-1(1)}{2-1}\), \(\frac{2(0)-1(3)}{2-1}\))
= (-1, -3)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుగ్మ సమీకరణము S₁¹² = S¹S₁¹¹
⇒ [(x(\(\frac{1}{3}\)) + y(1) – 1]² = (x² + y² – 1) – (\(\frac{1}{9}\) + 1 – 1)
⇒ (\(\frac{x+3 y-3}{3}\))² = (x² + y² – 1)(\(\frac{1}{9}\))
⇒ (x + 3y – 3)² = (x² + y² – 1)
⇒ x² + 9y² + 9 + 6xy – 18y – 6x = x² + y² – 1
⇒ 8y² + 6xy – 6x – 18y + 10 = 0
⇒ 4y² + 3xy – 3x – 9y + 5 = 0
⇒ (y – 1) (3x + 4y – 5) = 0
⇒ y – 1 = 0, 3x + 4y – 5 = 0
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుగ్మ సమీకరణము S₁¹² = S¹S₁¹¹
⇒ [x (-1) + y (-3) – 1]² = (x² + y² – 1) (1 + 9 – 1)
⇒ (- x – 3y – 1)² = 9 (x² + y² – 1)
⇒ x² = + 9y² + 1 + 6xy + 6y + 2x = 9x² + 9y² – 9
⇒ 8x² – 6xy – 2x – 6y – 10 = 0
⇒ 4x² – 3xy – x – 3y – 5 = 0
⇒ (x – 1) (4x – 3y – 5) = 0
⇒ x – 1 = 0, 4x – 3y – 5 = 0.
∴ S = 0, S¹ = 0 వృత్తాలకు గీయగల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు,
y – 1 = 0, 3x + 4y – 5 = 0
x – 1 = 0, 4x – 3y – 5 = 0

ప్రశ్న 20.
ప్రామాణిక రూపములో పరావలయ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
వాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై S లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ \(\overline{Y A Y^{\prime}} \cdot \overline{Z X Z}{ }^{\prime}\) ను X – అక్షంగాను, \(\overline{Y Y^{\prime}}\) ను Y-అక్షంగాను తీసుకొందాం. అప్పుడు A(0,0) మూలబిందువు. S = (a, 0), (a > 0) అనుకొంటే, Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం x + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}\) = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
⇒ (x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = \(\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = |x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y² = 4ax.

ప్రశ్న 21.
ధన పూర్ణాంకము n ≥ 2, I_n = ∫sin x dx కు లఘాకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి దాని నుంచి ∫sin⁴ x dx విలువ రాబట్టండి.
సాధన:
I_n = \(\int \sin ^n x d x\)
= \(\int \sin ^{n-1} x \sin x d x\)

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:
t = tan \(\frac{x}{2}\) ⇒ dx = \(\frac{2 d t}{1+t^2}\)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) కనుక్కోండి.
సాధన:



2I = π² – 2π
I = \(\frac{\pi^2}{2}\) – π
∴ \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) = \(\frac{\pi^2}{2}\) – π

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+3}{2 x-2 y+5}\) ని సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన అవకలజ సమీకరణము
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+3}{2 x-2 y+5}\)
ఇచ్చట, a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = 3
a₂ = 2, b₂ = -2, c₂ = 5
a₁b₂ – a₂b₁ = 1(-2) – (-1) (2)
= – 2 + 2
= 0
x – y = z
అప్పుడు 1 – \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d z}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{d z}{d x}\) + 1
ఈ విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
–\(\frac{d z}{d x}\) + 1 = \(\frac{z+3}{2 z+5}\)
–\(\frac{d z}{d x}\) = \(\frac{z+3}{2 z+5}\) – 1
= \(\frac{z+3-2 z-5}{2 z+5}\)
= \(\frac{-z-2}{2 z+5}\)
⇒ \(\frac{d z}{d x}\) = \(\frac{z+2}{2 z+5}\)
⇒ \(\frac{2 z+5}{z+2}\)dz = dx
(2 + \(\frac{1}{z+2}\))dz = dx
Integrating
⇒ ∫(2 + \(\frac{1}{z+2}\))dz = ∫dx + c
⇒ 2z + log |z + 2| = x + c
⇒ 2 (x – y) + log |x – y + 2| = x + c
⇒ x – 2y + log |x – y + 2| = c
(1) యొక్క సాధారణ సాధన
x – 2y + log |x – y + 2 | = c.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0 ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తే ‘a’ విలువను, వృత్త వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0
∴ a = 2
⇒ x² + y² – \(\frac{3}{2}\)x + y = –\(\frac{1}{2}\) = 0
ఇచ్చట 2g = –\(\frac{3}{2}\) ⇒ g = \(\frac{-3}{4}\)
2f = 1 ⇒ f = \(\frac{1}{2}\) = మరియు c = –\(\frac{1}{2}\)
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)
= \(\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)
= \(\sqrt{\frac{9+4+8}{16}}\)
= \(\frac{1}{4}\) \(\sqrt{21}\)

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీచిన స్పర్శ రేఖ పొడవు ‘1’ అయితే ‘k’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
S = x² + y² + 2ky = 0 అనుకొనుము.
S = 0 వృత్తానికి (5, 4) నుండి స్పర్శరేఖ పొడవు 1 కావున
⇒ \(\sqrt{S_{11}}\) = 1
⇒ \(\sqrt{25+16+8 k}\) = 1
⇒ \(\sqrt{41+8 k}\) = 1
⇒ 41 + 8k = 1
⇒ 8k = 40
⇒ k = -5

ప్రశ్న 3.
(x – a)² + (y – b)² = c², (x – b)² + (y – a)² = c², (a ≠ b) వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణమును కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ (x – a)² + (y – b)² – c² = 0 అనుకొనుము
⇒ S ≡ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – c²) = 0
S¹ ≡ (x – b)² + (y – a)² – c² = 0
⇒ S¹ ≡ x² + y² – 2bx – 2ay + (a² + b² – c² ) = 0
S = 0, S¹ = 0 వృత్తాలకు ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము
S – S¹ = 0 is
⇒ -2ax – 2by + 2bx + 2ay = 0
⇒ -ax – by + bx + ay = 0
⇒ (b – a)x – (b – a)y = 0
⇒ x – y = 0

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయంపై నాఖీదూరం \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x₁, y₁) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది
y² = 2x నాభి నుండి దూరం \(\frac{5}{2}\) కనుక
\(y_1^2\) = 2x₁) మరియు x₁) + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ x₁ = 2
∴ \(y_1^2\) = 2(2) = 4 ⇒ y₁ = ±2
∴ కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2)

ప్రశ్న 5.
లంబ అతిపరావలయమును నిర్వచించి, దాని ఉత్కేంద్రతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక అతిపరావలయానికి తిర్యక్ అక్షము పొడవు, సంయుగ్మాక్షము పొడవు సమానమయితే ఆ అతిపరావలయాన్ని దీర్ఘచతురస్ర (లంబ) అతిపరావలయము అని అంటారు. దీర్ఘచతురస్ర అతి పరావలయానికి ఉత్కేంద్రీయత √2.
[b² = a² (e² – 1) ⇒ a² = a² (e² – 1)
⇒ 1 = e² – 1
⇒ e² = 2
⇒ e = √2]

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{e^x(1+x \log x)}{x} d x\) ను కనుగొనుము.
సాధన:
\(\int \frac{e^x(1+x \log x)}{x} d x\) = \(\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}\)
\(\int e^x\left[f(x)+f^1(x)\right] d x\) = e^x f(x) + c కావున
= e^x log x + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x[latex], x ∈ R ను కనుగొనుము.
సాధన:
[latex]\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x[latex]
Tan^-1 x = t అనుకొనుము
అపుడు [latex]\frac{1}{1+x^2}\) dx = dt
= ∫ sin t dt
= – cos t + c
= – cos(Tan^-1 x) + c
∴ \(\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x\) = – cos(Tan^-1 x) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) ను కనుగొనుము.
సాధన:
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) = \(\frac{5-1}{5+4}\) . \(\frac{5-3}{5+4-2}\). \(\frac{4-1}{5+4-4}\). \(\frac{4-3}{5+4-6}\)
= \(\frac{4}{9}\) . \(\frac{2}{7}\) . \(\frac{3}{5}\) . \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{8}{315}\)
∴ \(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) = \(\frac{8}{315}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^2|1-x| d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
A, B యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్యలయితే y = A cos 3x + B sin 3x కు అనుగుణంగా వున్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:
y = A cos 3x + B sin 3x
y’ = A (- sin 3x) (3)+ B (cos 3x) (3)
= – 3A sin 3x + 3B cos 3x
y” = – 3A (cos 3x) (3) + 3B (- sin 3x) (3)
= – 9A cos 3x – 9B sin 3x
=-9(A cos 3x + B sin 3x)
= – 9y
⇒ y” + 9y = 0 అనునది కావలసిన అవకలజ సమీకరణము.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
వృత్త కేంద్రం x-అక్షంపై వుంటు (-2, 3) మరియు (4, 5) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (1)
అనుకొనుము
కేంద్రం = (-g, -f)
కేంద్రం X – అక్షం పై బిందువు కావున
∴ -f = 0 ⇒ f = 0
(1) వ సమీకరణము (-2, 3) మరియు (4, 5) బిందువుల గుండా పోతుంది. కావున
∴ 4 + 9 – 4g + 6f + c = 0
⇒ 4g – c – 13 = 0 _______ (2)
∴ 16 + 25 + 8g + 10f + c = 0
⇒ 8g + c + 41 = 0
(2) & (3)లను సాధించగా
(2) + (3) ⇒ 12g + 28 = 0
⇒ 3g + 7 = 0
⇒ g = \(\frac{-7}{3}\)
(2) నుండి
4(\(\frac{-7}{3}\)) – c – 13 = 0
⇒ – 28 – 3c – 39 = 0
⇒ 3c = – 67
c = –\(\frac{67}{3}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2(\(\frac{-7}{3}\)) x + 2(0) y – \(\frac{67}{3}\) = 0
⇒ 3(x² + y²) – 14x – 67 = 0.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x + 4y – 8 – 0, వృత్తానికి AB ఒక జ్యా అయి దీని సమీకరణము x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0
L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y (4 + λ) – 8 – 3λ = 0 ______ (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\) f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ – (\(\frac{(-2+\lambda)}{2}\)) – (\(\frac{(4+\lambda)}{2}\)) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
⇒ – 2λ = 8 ⇒ λ = – 4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 2x + 4y – 8) -4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 13.
ఒకటో పాదంలో నాభి లంభాగ్రం వద్ద 9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ. అభిలంబరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన. ఇచ్చిన దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
9x² + 16y² = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
ఇచ్చట a² = 16, b² = 9
e = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
మొదటి పాదంలో నాభి లంబాగ్రం
= (ae, \(\frac{b^2}{a}\))
= (4. \(\frac{\sqrt{7}}{4}\), \(\frac{9}{4}\))
= (√7, \(\frac{9}{4}\))
∴ (√7, \(\frac{9}{4}\)) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x x_1}{a^2}\) + \(\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
= \(\frac{x \sqrt{7}}{16}\) + \(\frac{y \cdot \frac{9}{4}}{9}\) = 1
= √7x + 4y = 16
⇒ √7x + 4y – 16 = 0
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము 4x – √7 y + λ = 0 అనుకొనుము
(√7, \(\frac{9}{4}\)) బిందువు గుండా పోతుంది కావున
⇒ 4√7 – √7 \(\frac{9}{4}\) + λ = 0
⇒ 16√7 – 9√7 + 4λ = 0
⇒ 4λ = -7√7
⇒ λ = \(\frac{-7 \sqrt{7}}{4}\)
∴ కావలసిన లంబరేఖ సమీకరణము 4x – √7y – \(\frac{-7 \sqrt{7}}{4}\) = 0
⇒ 16x – 4√7y – 7√7 = 0

ప్రశ్న 14.
x² + 3y² = 3 దీర్ఘ వృత్తానికి 4x + y + k = 0 సర్శరేఖ అయితే ‘k’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
x² + 3y² = 3
⇒ \(\frac{x^2}{3}\) + \(\frac{y^2}{1}\) = 1 _____ (1)
ఇచ్చట a² = 3, b² = 1
దత్త సమీకరణము 4x + y + k = 0
ఇచ్చట l = 4, m = 1, n = k
(2) వ రేఖ (1) కు స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము
a²l² + b²m² = n²
⇒ 3(4)² + 1(1)² = k²
⇒ 48 + 1 = k²
⇒ k² = 49
⇒ k = ± 7

ప్రశ్న 15.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి y = x – 7 రేఖకు,
i) సమాంతరంగాను మరియు
ii) లంబంగాను ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) + \(\frac{y^2}{3}\) = 1
a² = 4, b² = 3
స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా y = x – 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = 1
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4-3}\)
y = x ± 1

ii) స్పర్శరేఖ లంబంగా y – x = 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = (-1)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = (-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}\)
= – x ± 1
x + y = ± 1.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{4+5 \cos x}\) ను కనుగొనుము.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(xy² + x) dx + (yx² + y) dy = 0
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణము
(xy² + x) dx + (yx² + y) dy = 0 ______ (1)
⇒ x(1 + y²) dx + y (1 + x²) dy = 0
⇒ \(\frac{x}{1+x^2}\) dx +\(\frac{y}{1+y^2}\) dy = 0
⇒ \(\frac{2 x}{1+x^2}\) dx +\(\frac{2 y}{1+x^2}\) dy = 0
సమాకలనం చేయగా
\(\int \frac{2 x}{1+x^2} d x+\frac{2 y}{1+y^2}\) = logC
log |1 + x² + log |1 + y²| = logC
⇒ log |(1 + x²) (1 + y²| = logC
(1) కు సాధారణ సాధన
(1 + x²) (1 + y²) = C

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5) మరియు (0, C) బిందువు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (2, 0), B (0, 1), C = (4, 5) మరియు D = (0, C) అనుకొనుము.
A, B, C బిందువుల ద్వారా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ________ (1) అనుకొనుము
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k = -4 ______ (2)
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k = -1 _______ (3)
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0
⇒ 8g + 10f + k = -41 _______ (4)
(4) – (2) ⇒ 4g + 10f = – 37
⇒ 4g + 10f + 37 = 0 _____ (5)
(4) – (3) ⇒ 8g + 8f = -40
⇒ 8g + 8f + 40 = 0
⇒ 4g + 4f+ 20 = 0 ______ (6)
(5) – (6) ⇒ 6f + 17 = 0
⇒ 6f = -17
⇒ f = \(\frac{-17}{6}\) ______ (6)
(6) నుండి 4g + 4(\(\frac{-17}{6}\)) + 20 = 0
⇒ 24g – 68 + 120 = 0
⇒ 24g + 52 = 0
⇒ 6g + 13 = 0
⇒ 6g = -13
⇒ g = \(\frac{-13}{6}\)
(2) నుండి 4 (\(\frac{-13}{6}\)) + k = -4
-52 + 6k = -24
6k = 28
k = \(\frac{14}{3}\)
∴ g = \(\frac{-13}{6}\), f = \(\frac{-17}{6}\), k = \(\frac{14}{3}\)
∴ A, B, C ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y+ 14 = 0 ______ (7)
A, B, C, D లు చక్రీయాలు కావున
∴ D బిందువు (7) పై ఉంటుంది
∴ 0 + 3C² – 0 – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 3C – 14C + 14 = 0
⇒ 3C (C – 1) -14 (C – 1) = 0
⇒ (C – 1) (3C – 14) = 0
⇒ C = 1 లేదా \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0 and x² + y² + 4x – 6y+ 4 = 0 వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (2, 5),
r₁ = \(\sqrt{4+25-28}\) = 1

C₂ = (-2, 3)
r₂ = \(\sqrt{4+9-4}\) = 3
r₁ + r₂ = 4

C₁C₂ = \(\sqrt{(2+2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\) = \(\sqrt{20}\)
‘C’ బిందువు C₁ C₂ ని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
\(S_1^2\) = SS₁₁
(x.1 + \(\frac{9}{2}\) y – 2(x + 1) -5 (y + \(\frac{9}{2}\)) + 28)²
= [1 + \(\frac{81}{4}\) 4 – 10 × \(\frac{9}{2}\) + 28] (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(-x – \(\frac{1}{2}\)y + \(\frac{7}{2}\))²
= \(\frac{1}{4}\) (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(-2x – y + 7)² = (x² + y² – 4x − 10y + 28)
4x² + y² + 4xy – 28x – 14y + 49 = x² + y² – 4x − 10y + 28
3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
(3x + 4y – 21); (x – 1) = 0
3x + 4y – 21 = 0; x – 1 = 0

ప్రశ్న 20.
\(\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
2 cos x + 3 sin x = A \(\frac{d}{d x}\) (4 cosx + 5 sin x) + B(4 cosx + 5 sinx) అనుకొనుము.
= A(-4 sin x + 5 cos x) + B(4 cosx + 5 sinx)
ఇరువైపులా సరిపదాలను పొల్చగా
2 = 5A + 4B ⇒ 5A + 4B – 2 = 0 _______ (1)
3 = -4A + 5B ⇒ 4A – 5B + 3 = 0 _______ (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 21.
పూర్ణాంకము n ≥ 2 కు ∫ tanⁿ x dx కు లఘుకరణ సూత్రం రాబట్టుము మరియు ∫ tan⁶ x dx ను గణించండి. సాధన:
I_n = ∫ tanⁿ x dx అనుకొనుము
= ∫ Tan^{n – 2}x Tan²x dx
= ∫ Tan^{n – 2}x (sec²x – 1) dx
= ∫ Tan^{n – 2}x sec²x dx – ∫ Tan^{n – 2}x dx
= \(\frac{{Tan}^{n-2+1} x}{n-2+1}\) – I_{n – 2}
= \(\frac{1}{n-1}\) Tan^{n – 1} x – I_{n – 2}
∴ ∫ Tan⁶ x dx = \(\frac{1}{6-1}\)Tan⁵ x – I₄
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – [\(\frac{1}{4-1}\) Tan³ x – I₂]
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + ∫ Tan² x dx
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + ∫ (sec² x – 1) dx
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + Tanx – x + c

ప్రశ్న 22.
పరావలయానికి ప్రామాణిక సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై 5 లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ \(\overline{Y A Y^{\prime}} \cdot \overline{Z X Z}{ }^{\prime}\) ను – అక్షంగాను, \(\overline{Y^{\prime}}\) ను Y అక్షంగాను తీసుకొంటదాం. అప్పుడు A(0, 0) మూలబిందువు. = (a, 0), (a > 0) అనుకొంటే, Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం x + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ l కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}\) = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
(x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = \(\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = |x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y² = 4ax.

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) అనుకొనుము.


= π + π [0 – 1]
= π = π
∴ \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) = \(\frac{\pi^2-\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)(π – 1)

ప్రశ్న 24.
(1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy ను సాధించండి.
సాధన:
(1 + y²) dx = (Tan^-1 y – x) dy
⇒ (1 + y²) \(\frac{d x}{d y}\) = Tan^-1 y – x
⇒ (1 + y²) \(\frac{d x}{d y}\) + x = Tan^-1 y
⇒ \(\frac{d x}{d y}\) + \(\frac{1}{1+y^2}\) x = \(\frac{1{Tan}^{-1} y}{1+y^2}\)
x లో y ప్రథమ పరిమాణ రేఖీయ అవకలన సమీకరణము
ఇచ్చట P = \(\frac{1}{1+y^2}\) మరియు Q = \(\frac{1{Tan}^{-1} y}{1+y^2}\)
I.F = \(e^{\int P d y}\)
= \(e^{\int \frac{1}{1+y^2} d y}\) = \(e^{{Tan}-1} y\)
∴ (1) కు సాధారణ సాధన
x \(e^{{Tan}-1} y\) = \(\int \frac{{Tan}^{-1} y}{1+y^2} e^{{Tan}^{-1} y} d y+c\)
వ్రాయగా Tan^-1 y = t
అపుడు \(\frac{1}{1+y^2}\) dy = dt
∴ x \(e^{{Tan}-1} y\) = \(\int t e^t d t+c\)
= e^t(t – 1) + c
= \(e^{{Tan}-1} y\)(Tan^-1 y – 1) + c

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తంతో సకేంద్రీయమై (- 2, 14) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తంతో సకేంద్రీయమయ్యే వృత్త సమీకరణం
x² + y² – 6x – 4y + k = 0
ఈ వృత్తం ( – 2, 14) బిందువు గుండా పోతుంటే
4 + 196 – 6(-2) – 4(14) + k = 0
⇒ 4 + 196 + 12 – 56 + k = 0
⇒ 156 + k = 0
⇒ k = -156
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 4y – 156 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2) (k, -3) లు సంయుగ్మాలు అయితే k విలువ ఎంత ?
సాధన:
S = x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0
(x₁, y₁) = (4, 2)
(x₂, y₂) = (k,-3)
S = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2) మరియు (k, – 3) లు సంయుగ్మాలు కావున
∴ S₁₂ = 0
⇒ x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + c = 0
⇒ 4k – 6 – \(\frac{5}{2}\) (4 + k) + 4(2 – 3) + 6 = 0
⇒ 4k – 6 – 10 – \(\frac{5}{2}\) k – 4 + 6 = 0
\(\frac{3}{2}\)k – 14 = 0
⇒ 3k – 28 = 0 =
⇒ 3k = 28
⇒ k = \(\frac{28}{3}\)

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 4x – 7 = 0, 2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0, x² + y² + y = 0 వృత్తాల మూలకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² + 4x – 7 = 0
S’ ≡ x² + y² + \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\) = 0
S” ≡ x² + y² + y = 0 అనుకొనుము.
S = 0, S’ = 0 శ్రీ వృత్తాల మూలాక్ష సమీకరణం S – S’ = 0
⇒ \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\) – 4x + 7 = 0
⇒ – \(\frac{5}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y + \(\frac{5}{2}\) = 0
⇒ -5x + 5y + 5 = 0
⇒ x – y -1 = 0 _____ (1)
S = 0, S” = 0 శ్రీ వృత్తాల మూలాక్ష సమీకరణం S – S” = 0
4x – y – 7 = 0 _____ (2)
(1), (2) లను సాధించగా

\(\frac{x}{7 – 1}\) = \(\frac{y}{- 4 + 7}\) = \(\frac{1}{- 1 + 4}\)
\(\frac{x}{6}\) = \(\frac{y}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
x = 2, y = 1
∴ మూలకేంద్రం = (2, 1)

ప్రశ్న 4.
y² = 8x పరావలయం, నాభి జ్యా ఒక కొన (\(\frac{1}{2}\), 2) అయితే, రెండవ కొన నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పరావలయ సమీకరణం y² = 8x
ఇచ్చట 4a = 8 ⇒ a = 2
దత్తాంశం నుండి నాభి జ్యా ఒక కొన (at²), 2at) = (\(\frac{1}{2}\), 2)
⇒ 2at = 2
⇒ 2.2.t = 2
⇒ t = \(\frac{1}{2}\)
∴ నాభి జ్యా రెండో కొన = (\(\frac{a}{t^2}\), \(\frac{-2 \mathrm{a}}{\mathrm{t}}\))
= (\(\frac{2}{1/4}\), \(\frac{-2.2}{1/2}\)
= (8, -8)

ప్రశ్న 5.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం 30° గా గల అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం 2θ = 30
⇒ θ = 15°
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = tan = 15°
e² = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\) = 1 + tan² 15° = sec² 15°
∴ e² = (\(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\))² = \(\frac{8}{4+2 \sqrt{3}}\).\(\frac{4-2 \sqrt{3}}{4-2 \sqrt{3}}\)
= \(\frac{8(4-2 \sqrt{3})}{4}\) = 8 – 4√3 = (√6 – √2)²
∴ ఉత్కేంద్రత e = √6 – √2

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1} d x\) x ∈ R ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x\) x ∈ I ⊂ R/{-1} ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x\) = \(\int\left[\frac{x+1-1}{(x+1)^2}\right] e^x \cdot d x\)
= \(\int\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] e^x d x\)
\(\int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x\) = e^xf(x) + c
= e^x(\(\frac{1}{x + 1}\))+ c
= \(\frac{e^x}{x+1}\) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 4} \sec ^4 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:
f(θ) = sin³ θ cos³ θ అనుకొనుము.
f(-θ) = [sin (-θ)]³ [cos (- θ)]³
= [- sin θ]³ [cos θ]³
= – sin³ θ cos³ θ
= – f(θ)
∴ f ఒక బేసి ప్రమేయము.
\(\int_{-a}^a f(x) d x=0\) f ఒక సరి ప్రమేయము అయిన
= \(2 \int_0^a f(x) d x\) f ఒక బేసి ప్రమేయము అయిన
∴ \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) = 0

ప్రశ్న 10.
A, B యాదృచ్ఛిక స్థిరసంఖ్యలు అయితే y = A cos 3x – B sin 3x కు అనుగుణంగా ఉన్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:
ఇచ్చిన y = A cos 3x + B sin 3x
\(\frac{d y}{d x}\) = A (- sin 3x) (3)+ B (cos 3x) (3)
= – 3A sin 3x + 3B cos 3x
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3A (cos 3x) (3) + 3B (- sin 3x) (3)
= – 9A cos 3x – 9B sin 3x
= – 9(A cos 3x + B sin 3x)
= – 9y
∴ కావలసిన అవకలజ సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y = 0

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 వృత్తం x – 2y + 7 = 0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మధ్య బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 _______ (1)
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x – 2y + 7 = 0 ________ (2)
x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 వృత్తం x – 2y + 7 = 0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మధ్య బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
∴ Secant రేఖా సమీకరణం S₁ = S₁₁
⇒ xx₁ + yy₁ – (x + x₁) – 5 (y + y₁) + 1 = \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 10y₁ + 1
= (x₁ – 1) x + (y₁ – 5) y – (\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – x₁ – 5y₁) = 0 _____ (3)
(2), (3) లు ఒకే జ్యాను సూచిస్తున్నాయి. కావున
∴ \(\frac{x_1-1}{1}\) = \(\frac{y_1-5}{-2}\) = \(\frac{-\left(x_1^2+y_1^2-x_1-5 y_1\right)}{7}\) = k
⇒ x₁ = k + 1, y₁ = – 2k + 5
ఇంకా \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – x₁ – 5y₁ = -7k
⇒ (k + 1)² + (- 2k + 5)² – (k + 1) – 5(- 2k + 5) = – 7k
⇒ k² + 2k + 1 + 4k² – 20k + 25 – k – 1 + 10k – 25 = – 7k
⇒ 5k² – 2k = 0
⇒ k(5k – 2) = 0
⇒ k = 0 (లేక) \(\frac{2}{5}\)
k = 0 అయిన x₁ = 1, y₁ = 5
(1, 5) బిందువు జ్యా x – 2y + 7 = 0 పై బిందువు కాదు.

k = \(\frac{2}{5}\) అయితే x₁ = \(\frac{2}{5}\) + 1
= \(\frac{7}{5}\)

y₁ = -2(\(\frac{2}{5}\)) + 5
= \(\frac{-4}{5}\) + 5
= \(\frac{21}{5}\)
∴ జ్యా మధ్య బిందువు = (\(\frac{7}{5}\), \(\frac{21}{5}\))

ప్రశ్న 12.
2x + 3y = 1 సరళరేఖ x² + y² = 4 వృత్తాన్ని A, B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే, AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
(x² + y² – 4) + λ (2x + 3y – 1) = 0 ______ (1)
⇒ x² + y² + 2λx + 3λy + (- 4 – λ) = 0
కేంద్రం = (\(\frac{2 \lambda}{-2}\), \(\frac{3 \lambda}{-2}\))
(1) వ వృత్తం వ్యాసం \(\overline{\mathrm{AB}}\) అయితే కేంద్రం 2x + 3y – 1 = 0 పై ఉంటుంది.
2(\(\frac{2 \lambda}{-2}\)) + 3(\(\frac{3 \lambda}{-2}\)) – 1 = 0
⇒ 4λ + 9λ + 2 = 0
⇒ 13λ = -2
⇒ λ = \(\frac{-2}{13}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
(x² + y² – 4) – \(\frac{2}{13}\) (2x + 3y – 1) = 0
⇒ 13x² + 13y² – 52 – 4x – 6y + 2 = 0
⇒ 13x² + 13y² – 4x – 6y – 50 = 0

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 నాభిలంబం ఒక కొనవద్ద అభిలంబ రేఖ హ్రస్వాక్షం ఒక కొనద్వారా పోతే e⁴ + e² = 1 అని చూపండి. (దీర్ఘవృత్త ఉత్కేంద్రత e)
సాధన:

దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
నాభిలంబం ఒక కొన L అనుకొనుము.
∴ L = (ae, \(\frac{b^2}{a}\)
∴ L వద్ద అభిలంబరేఖా సమీకరణం
\(\frac{a^2 x}{a e}\) – \(\frac{b^2 y}{b^2 / a}\) = a² – b²
⇒ \(\frac{a x}{\mathrm{e}}\) – ay = a² – b²
ఈ రేఖ హ్రస్వాక్షం ఒక కొన B’ (0, – b) బిందువు గుండా పోతుంది కావున
⇒ \(\frac{a(0)}{e}\) – a(-b) = a² – b²
⇒ ab = a² – b²
⇒ ab = a² – a² (1 – e²)
⇒ ab = a²e²
⇒ e² = \(\frac{b}{a}\)
⇒ e⁴ = \(\frac{b^2}{a^2}\)
⇒ e⁴ = \(\frac{a^2\left(1-e^2\right)}{a^2}\)
⇒ e⁴ = 1 – e²
⇒ e⁴ + e² = 1

ప్రశ్న 14.
x² + 4y² = 4 దీర్ఘవృత్తంపై P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖలు వరుసగా దీర్ఘాక్షాన్ని Q, R ల వద్ద ఖండిస్తున్నాయి. 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\), QR = 2 అయితే θ = cos^-1(\(\frac{2}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తంపై బిందువు P(θ) = (a cos θ, b sin θ) అనుకొనుము.
∴ P(θ) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
\(\frac{x \cos \theta}{a}\) + \(\frac{y \sin \theta}{a}\) = 1

ఈ స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షాన్ని Q వద్ద ఖండిస్తుంది, కావున
∴ Q = (\(\frac{2}{\cos \theta}\), 0)
P(θ) వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణం
\(\frac{\mathrm{ax}}{\cos \theta}\) – \(\frac{\mathrm{by}}{\sin \theta}\) = a² – b²
a = 2, b = 1 కావున
∴ \(\frac{2 x}{\cos \theta}\) – \(\frac{y}{\sin \theta}\) = 3
⇒ \(\frac{x}{\frac{3 \cos \theta}{2}}\) + \(\frac{y}{\frac{-3 \sin \theta}{1}}\) = 1
ఈ రేఖ దీర్ఘాక్షాన్ని R వద్ద ఖండిస్తుంది, కావున
∴ R = (\(\frac{3 \cos \theta}{2}\), 0)
QR = 2 కావున
(QR)² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos \theta}{2}\) – \(\frac{2}{\cos \theta}\))² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos ^2 \theta-4}{2 \cos \theta}\))² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos ^2 \theta-4}{2 \cos \theta}\))² = ±2

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరంగా (ii) లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయం x² – 4y² = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అతిపరావలయ సమీకరణం

ఇచ్చట a² = 4, b² = 1
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x + 2y = 0
వాలు = – \(\frac{1}{2}\)

i) x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉంటూ అతి పరావలయాన్ని స్పృశించే రేఖ వాలు – \(\frac{1}{2}\)
∴ స్పర్శరేఖా సమీకరణాలు y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
= – \(\frac{1}{2}\) x ± \(\sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}-1}\)
y = –\(\frac{1}{2}\)
2y =-x
⇒ x + 2y = 0

ii) x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయాన్ని స్పృశించే రేఖ వాలు = 2
∴ స్పర్శరేఖా సమీకరణాలు
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = 2x ± \(\sqrt{4.4-1}\)
2x – y ± \(\sqrt{15}\) = 0

ప్రశ్న 16.
పరావలయాలు y² = 4x, x² = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

దత్త పరావలయ సమీకరణాలు
y² = 4x ______ (1)
x² = 4y ______ (2)
(1), (2) లను సాధించగా
(\(\frac{x^2}{4}\))² = 4x
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) = 4x
⇒ x³ = 64, x = 0
⇒ x = 4 ⇒ y = 0 ∴ y = 4
∴ (1), (2) ల ఖండన బిందువులు (0, 0) మరియు (4, 4)
∴ దత్త వక్రాలతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశ వైశాల్యం

ప్రశ్న 17.
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త అవకలజ సమీకరణం
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{x \log x}\)y = \(\frac{2}{x}\) ______ (1)
ఇచ్చట P = \(\frac{1}{x \log x}\), Q = \(\frac{2}{x}\)
I.F = \(e^{\int P d x}\)
= \(e^{\int \frac{1}{x \log x}} d x\)
= e^{log (log x)} = log x
∴ (1) యొక్క సాధారణ సాధన
\(y e^{\int P d x}\) = \(\int Q e^{\int P d x}\)
⇒ y log x = \(\int \frac{2}{x} \log x d x+c\)
= 2 \(\frac{(\log x)^2}{2}\) + c
= (log x)² + c

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5), (0, c) బిందువులు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువ ఎంత ?
సాధన:
P = (2, 0)
Q = (0, 1)
R = (4, 5)
S = (0, C) అనుకొనుము.
P, Q, R బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ______ (1) అనుకొనుము.
(1) పై P బిందువు కలదు, కావున
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k + 4 = 0 _______ (2)
(1) పై Q బిందువు కలదు, కావున
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k + 1 = 0 _______ (3)
(1) పై R బిందువు కలదు, కావున
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0

(3) నుండి 2(\(\frac{-17}{6}\)) + k + 1 = 0
⇒ – 34 + 6k + 6 = 0
⇒ 6k = + 28
⇒ k = \(\frac{14}{3}\)
(2) నుండి 4g + \(\frac{14}{3}\) + 4 = 0
4g = \(\frac{-26}{3}\)
g = \(\frac{-13}{3}\)
∴ P, Q, R బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
⇒ x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))
y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y + 14 = 0 ______ (7)
P, Q, R, S లు చక్రీయాలు కావున S బిందువు (7) పై ఉంటుంది.
∴ 3k² – 17k + 14 = 0
⇒ 3k² – 3k – 14k + 14 = 0
⇒ 3k(k – 1) – 14(k – 1) = 0
⇒ (k – 1) (3k – 14) = 0
⇒ k = 1, \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
S = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం SS₁₁ = S₁² అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

P బిందువు నుండి S = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు A, B ల వద్ద స్పృశిస్తాయి.
AB రేఖా సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
ఈ స్పర్శరేఖలపై ఏదైనా బిందువు
Q(x₂, y₂) అనుకొనుము.
∴ Q యొక్క బిందు పథము P నుండి
S = 0 కు గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త
సమీకరణం అగును.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\) ను AB రేఖ విభజించే నిష్పత్తి – S₁₁ : S₁₂
∴ PB : QB = – S₁₁ : S₁₂ (లేదా) S₁₁ : S₁₂

∴ Q (x₂, y₂) బిందుపథ సమీకరణము S₁₁S = S₁²

ప్రశ్న 20.
y² = 4ax పరావలయంపై బిందువు ‘t’ వద్ద అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం చేస్తే t = ±√2 అని చూపండి.
సాధన:
దత్త పరావలయ సమీకరణం y² = 4ax ______ (1)
‘t’ వద్ద అభిలంబ రేఖాసమీకరణం tx + y = 2at + at³
⇒ \(\frac{t x+y}{2 a t+a t^3}\) = 1 _______ (2)
(1) ను (2) సహాయంతో సమఘాతపరచగా
y² = 4ax(\(\frac{t x+y}{2 a t+a t^3}\))
⇒ y² (2at + at³) = 4ax(tx + y)
⇒ y² (2t + t³) = 4x (tx + y)
⇒ 4tx² + 4yx – (2t + t³) y² = 0
అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం కావున
∴ x² గుణకం + y² గుణకం = 0
⇒ 4t – (2t + t³) = 0
⇒ 4t – 2t – t³ = 0
⇒ 2t – t³ = 0
⇒ – t(t² – 2) = 0
⇒ t² – 2 = 0
⇒ t² = 2
⇒ t = ±√2

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
1 + x = \(\frac{1}{t}\) అనుకొనిన
x = \(\frac{1}{t}\) – 1 ⇒ x = \([latex]\)[/latex]
అపుడు dx = \(\frac{-1}{t^2}\)dt

4t – 1 = z² అనుకొనుము.
4dt = 2zdz
dt = \(\frac{z}{2}\) dt

ప్రశ్న 22.
ధన పూర్ణాంకం n ≥ 2, I_n = \(\int{cosec}^n x d x\) dxకు లఘుకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి. దాని నుంచి \(\int{cosec}^5 x d x\) dx విలువ రాబట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

2I = \(\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} d x\)
cos x = t అనుకొనుము.
అపుడు – sin x dx = dt
sin x dx = – dt
x = 0 ⇒ t = 1
x = π ⇒ t = -1

ప్రశ్న 24.
(x³ – 3xy²) dx + (3x²y – y³) dy = 0
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం
(x³ – 3xy²) dx + (3x²y – y³) dy = 0
⇒ x³ – 3xy²) dx = -(3x²y – y³) dy
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\)
ఇది సమఘాత సమీకరణం.
y = vx వ్రాయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

సమాకలనం చేయగా

ఇదే కావలసిన సాధారణ సాధన.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తములో సకేంద్రీయమై (-2, 14) బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త వృత్తములో సకేంద్రీయము అయ్యే వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x – 4y + k = 0 అనుకొనుము
ఈ వృత్తము (−2, 14) బిందువు గుండా పోతుంటే
4 + 196 – 6(- 2) – 4(14) + k = 0
⇒ 4 + 196 + 12 – 56 + k = 0
⇒ 212 – 56 + k = 0
⇒ 156 + k = 0
k = -156
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 4y – 156 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² = 4 వృత్తము యొక్క పరామితీయ సమీకరణములను కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము x² + y² = 4
కేంద్రం (h, k) = (0, 0)
వ్యాసార్థము r = 2
∴ x² + y² = 4 వృత్తము యొక్క పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + r cos θ,
= 0 + 2cos θ,
= 2 cos θ,

y = k + r sin θ
θ + 2sin θ
= 2 sin θ

ప్రశ్న 3.
x² + y² = a², x² + y² = ax + ay సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణం \(\frac{3 \pi}{4}\) అని చూపుము.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = a²
x² + y² – ax – ay = 0
కేంద్రం C₁ = (0, 0), C₂ = (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\))

దత్తవృత్తాల మధ్య కోణము ‘0’ అయితే

ప్రశ్న 4.
y² = 8x, పరావలయముపై నాభిదూరము 10 గల బిందువులు నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.
y² = 8x పరావలయం పై బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
నాభిదూరము = 10
∴ y₁² = 8x₁
x₁ + a = 10
⇒ x₁ + 2 = 10
⇒ x₁ = 8
∴ y₁² = 64 ⇒ y₁ = ± 8
∴ కావలసిన బిందువులు (8, 8) మరియు (8, – 8).

ప్రశ్న 5.
లంబ అతిపరావలయమును నిర్వచించి దాని ఉత్కేంద్రతను కనుగొనుము.
సాధన:
అతిపరావలయంలో దీర్ఘాక్షం పొడవు (2a) మరియు హ్రస్వాక్షం పొడవు (2b)తో సమానం అయిన దానిని లంబ అతిపరావలయం అంటారు.
e = \(\sqrt{\frac{a^2+a^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{2 a^2}{a^2}}\) = √2
లంబ అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత = √2

ప్రశ్న 6.
x ∈ I C(-2, ∞) కి \(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
x + 2 = t² అనుకొనుము
అపుడు dx = 2t dt
∴ \(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) = \(\int \frac{1}{t\left(t^2+1\right)}\) 2t dt
= \(2 \int \frac{1}{t^2+1}\)dt
= 2 tan^-1 (t) + c
= 2 tan^-1 (\(\sqrt{x+2}\)) + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{x+2}\)
∴ \(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\)dx = \(\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right) d x\))
= log |x + 1| – log |x + 2| + c
= log \(\frac{x+1}{x+2}\) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x . d x\) ను గణించండి.
సాధన:
sin² x cos⁴ x సరిప్రమేయము కావున
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x . d x\) = \(4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x d x\)
= 4.\(\frac{4 – 1}{4 + 2}\).\(\frac{4 – 3}{2 + 2}\).\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\pi}{2}\)
= 4.\(\frac{3}{6}\).\(\frac{1}{4}\).\(\frac{1}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{8}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
(\(\frac{d^3 y}{d x^3}\))² – 3(\(\frac{d y}{d x}\))² – e^x = 4 పరిమాణం, తరగతి కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త అవకలన సమీకరణము
(\(\frac{d^3 y}{d x^3}\))² – 3(\(\frac{d y}{d x}\))² – e^x = 4
పరిమాణము = 3
తరగతి = 2

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
A, B బిందువుల x నిరూపకాలు x² + 2ax – b² = 0 కు మూలాలు, y నిరూపకాలు, y ²+ 2py – q² = 0 కు మూలాలు అయితే, A, B లు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉండే వృత్త సమీకరణం కనుగొనుము.
సాధన:
A = (x₁, y₁) మరియు B (x₂, y₂) అనుకొనుము.
A, B బిందువుల x నిరూపకాల x² + 2ax – b² = 0కు మూలాలు కావున
∴ x₁ + x₂ = – 2a, x₁x₂ = -b²
A, Bల y – నిరూపకాల y² + 2py – q² = 0కు మూలాలు కావున
∴ y₁ + y₂ = -2p మరియు у₁y₂ = – q²
A, B లు వ్యాసాగ్రాలుగా గల వృత్త సమీకరణం
(x – x₁) (x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0
⇒ x² – (x₁ + x₂) x + × x₁x₂ + y² – (y₁ + y₂)y + y₁y₂ = 0
⇒ x² – (-2a)x + (-b²) + y² – (- 2p)y + (- q²) = 0
⇒ x² + y² + 2ax + 2py – b² – q² = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0, x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0 వృత్తలు స్పృశించుకొంటాయని చూపి, వాటి స్పర్శ బిందువును కనుగొనుము.
సాధన:

దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0,
కేంద్రం C₁ = (4, 1)
r₁ = \(\sqrt{16+1-8}\)
= √9
= 3
d = C₁C₂
= \(\sqrt{(4-1)^2+(1+3)^2}\)
= \(\sqrt{9+16}\) = 5

x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0
కేంద్రం C₂ = (1,-3)
r₂ = \(\sqrt{1+9-8}\)
= 2
∴ C₁C₂ = r₁r₂
∴ దత్త వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటాయి.
C₁C₂ ను P బిందువు అంతరంగా విభజిస్తుందని అనుకొనుము.
P = (\(\frac{3(1)+2(4)}{3+2}\), \(\frac{3(-3)+2(1)}{3+2}\))
= (\(\frac{3 + 8}{5}\), \(\frac{-9 + 2}{5}\)) = (\(\frac{11}{5}\), \(\frac{-7}{5}\))
∴ స్పర్శ బిందువు = (\(\frac{11}{5}\), \(\frac{-7}{5}\))

ప్రశ్న 13.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తమునకు హ్రస్వ, దీర్ఘ అక్షాల పొడవులు, నాభి లంబ పొడవు, ఉత్కేంద్రతలను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
9x² + 16y² = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
a² = 16
⇒ a = 4
b² = 9
⇒ b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2(4) = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2(3) = 6
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘ వృత్తానికి x cos α + y sin α = p స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము కనుగొనండి.
సాధన:
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘ వృత్తానికి lx + my + n = 0 స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం
a²l² + b²m² = n²
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x cos α + y sin α = p
ఇచ్చట l = cos α, m = sin α మరియు n = – p
∴ కావలసిన నియమము
a²cos² α + b²sin² α = (- p)²
⇒ a²cos² α + b²sin² α = p²

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరము (ii) లంబముగా ఉంటూ అతిపరావలయం x² – 4y² = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త అతిపరావలయ సమీకరణం x² – 4y² = 4
⇒ \(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{1}\) = 1
a² = 4 ⇒ a = 2
b² = 1 ⇒ b = 1

(i) x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m = –\(\frac{1}{2}\)
c² = a²m² – b²
= 4(\(\frac{1}{4}\)) – 1 = 0
⇒ c = 0
x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx + c
⇒ y = –\(\frac{-1}{2}\)x + 0
⇒ 2y = – x
⇒ x + 2y = 0

ii) x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m = –\(\frac{-1}{-1/2}\) = 2
c² = a²m² – b²
= 4(4) – 1 = 15
⇒ c = ±\(\sqrt{15}\)
∴ x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖా సమీకరణం
y = mx + c ⇒ y = 2x±\(\sqrt{15}\)
2x – y ±\(\sqrt{15}\) = 0

ప్రశ్న 16.
\(\int_{p / 6}^{p / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

2I = \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{\pi}{6}\)
2I = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ I = \(\frac{\pi}{12}\)
∴ \(\int_{p / 6}^{p / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx = \(\frac{\pi}{12}\)

ప్రశ్న 17.
cos x . \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec² x ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త అవకలన సమీకరణం
cos x \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec² x
\(\frac{d y}{d x}\) + (tan x)y = sec³ x ______ (1)
\(\frac{d y}{d x}\) + p(x)y = Q(x) తో పోల్చగా
ఇచ్చట P = tan x మరియు Q = sec³x
I.F. = e^∫pdx
= e^{∫tan x dx} = e^{log sec x} = sec x
దత్త సమీకరణానికి సాధారణ సాధన
e^∫pdx = \(\int Q e^{\int P d x} d x+c\)
⇒ y secx = ∫ sec³x. sec x dx + c
= ∫(1 + tan² x) sec² x dx + c
= ∫(sec² x + tan²x sec² x) dx + c
= ∫sec² x dx + tan² x sec² x dx + c
= tanx + \(\frac{\tan ^3 x}{3}\) + c

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(4, 1), (6, 5) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త కేంద్రము 4x + 3y – 24 = 0 రేఖపై ఉంటే ఆ వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ____ (1) అనుకొనుము
(1) వ సమీకరణం (4, 1) బిందువు గుండా పోతుంటే
16 + 1 + 8g + 2f + c = 0
8g + 2f + c = -17 ______ (2)
(1) వ సమీకరణం (6, 5) బిందువు గుండా పోతుంటే
36 + 25 + 12g + 10f + c = 0
12g + 10f + c = -61 _______ (3)
వృత్త కేంద్రం (-g, -f) సరళరేఖ 4x + 3y – 24 = 0 పై ఉంటుంది, కావున
⇒ 4(-g) + 3(-f) – 24 = 0
⇒ -4g – 3f – 24= 0
⇒ 4g + 3f + 24 = 0 ______ (4)
(3) – (2) ⇒ 4g + 8f = – 44
⇒ -4g + 8f + 44 = 0 ______ (5)
(5) – (4) ⇒ 5f + 20 = 0
⇒ f + 4 = 0
⇒ f = – 4
(5) నుండి
4g + 8(-4) + 44 = 0
4g + 12 = 0
⇒ g + 3 = 0
⇒ g = -3
(2) నుండి
8(-3) + 2(-4) + c = – 17
– 24 – 8 + c = -17
⇒ c = 15
∴ కావలసిన దత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(-3)x + 2(-4)y + 15 = 0
⇒ x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0, x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0
x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0
కేంద్రం C₁ = (2, 5)
r₁ = \(\sqrt{4 + 25 – 28}\)
= √1 = 1

కేంద్రం C₂ = (-2, 3)
r₁ = \(\sqrt{4 + 9 – 4}\)
= √9 = 3

C₁C₁ = \(\sqrt{(-2-2)^2+(3-5)^2}\)
= \(\sqrt{6+4}\)
= \(\sqrt{20}\)
∴ C₁, C₂ > r₁ + r₂
C₁, C₂ ను P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుందని అనుకొనుము.
1(-2)+3(2) 1(3)+3(5)
∴ P = (\(\frac{1(-2)+3(2)}{1+3}\), \(\frac{1(3)+3(5)}{1+3}\))
= (1, \(\frac{1}{2}\))
వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం
S₁² = SS₁₁

⇒ 4x² + y² + 49 + 4xy – 28x – 14y
= x² + y² – 4x – 10y + 28
⇒ 3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
⇒ (x – 1) (3x + 4y – 21) = 0
⇒ x – 1= 0, 3x + 4y – 21 = 0

ప్రశ్న 20.
\(\int \frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B (3 cos x – 4sin x) + C అనుకొనుము
ఇరువైపులా sin x, cos x గుణకాలను పోల్చగా
2 = 3A – 4B ⇒ 3A – 4B – 2 =0
3 = 4A + 3B ⇒ 4A + 3B – 3 = 0

ప్రశ్న 21.
ధన పూర్ణాంకం n ≥ 2 I_n = \(\int \sin ^n x d x\), కు లఘూకరణ సూత్రమును రాబట్టండి.
దాని నుండి \(\int \sin ^4 x d x\) ను గణించండి.
సాధన:
I_n = \(\int \sin ^n x d x\)
= \(\int \sin ^{n-1} x \sin x d x\)

ప్రశ్న 22.
y² = 4ax, x² = 4by అనే పరావలయాల (మూల బిందువు వద్ద కాకుండా) వ్యతిచ్ఛేదక కోణం tan^-1\(\left[\frac{3 a^{1 / 3} b^{1 / 3}}{2\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:
a > 0 మరియు b > 0 అనుకొనుము.
మూలబిందువు కాకుండా పరావలయం ఖండన బిందువు P(x, y) అనుకొనుము దత్త పరావలయ సమీకరణాలు
y² = 4ax
⇒ y⁴ = 16a²x² _______ (1)
x² = 4by ______ (2)
(1), (2)ల నుండి ‘x’ ను తొలగించగా
y⁴ = 16a². 4by
= 64a² by
y³ = 64a² b
y = 4a^2/3 b^1/3
x = \(\frac{y^2}{4 a}\) = \(\frac{16 a^{4 / 3} b^{2 / 3}}{4 a}\)
= 4a^1/3b^2/3
∴ P = (4a^1/3 b^2/3, 4a^2/3 b^1/3)
(1) ను ఇరువైపులా ‘x’ దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2y \(\frac{d y}{d x}\) = 4a
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 a}{y}\)
m₁ = (\(\frac{d y}{d x}\))_p = \(\frac{2 a}{4 a^{2 / 3} b^{1 / 3}}\)
= \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{a}{b}\))^1/3
(2) ను ఇరువైపులా ‘x’ దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x = 4b \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x}{2 b}\)
m₂ = (\(\frac{d y}{d x}\))_p = \(\frac{4 a^{1 / 3} b^{2 / 3}}{2 b}\) = 2(\(\frac{a}{b}\))^1/3
P వద్ద దత్త వక్రాల స్పర్శరేఖల మధ్య లఘుకోణం ‘θ’ అనుకొనిన

ప్రశ్న 23.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (దీర్ఘవృత్తం)తో పరిబద్దమున ప్రదేశ వైశాల్యం π ab అని చూపండి.
దీని నుండి x² + y² = a² వృత్త వైశాల్యము రాబట్టండి.
సాధన:
x మరియు y అక్షాల దృష్ట్యా దీర్ఘవృత్తం సౌష్ఠవము.
దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
⇒ \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 – \(\frac{x^2}{a^2}\)
⇒ y² = b²(\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\))
y = ±\(\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}\)
దీర్ఘవృత్త వైశాల్యం = 4. (OAB వైశాల్యం)

= πab
a = అయిన
వృత్త వైశాల్యం π.a.a = πa² చ. యూ.

ప్రశ్న 24.
(1, \(\frac{\pi}{4}\)) బిందువు గుండా పోయే x sin² \(\frac{y}{x}\) dx =
= y dx – x dy అవకలన సమీకరణం సాధనను కనుగొనుము.
సాధన:

⇒ d(\(\frac{y}{x}\)) + \(\frac{1}{x}\)sin² (\(\frac{y}{x}\))dx = 0
⇒ cosec²(\(\frac{y}{x}\))d(\(\frac{y}{x}\)) + \(\frac{1}{x}\) + dx = 0
సమాకలనం చేయగా
\(\int{cosec}^2\left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right)\) + \(\int \frac{1}{x} d x=c\)
– cot (\(\frac{y}{x}\)) + log|x|= c
ఈ వక్రం (1, \(\frac{\pi}{2}\)) = బిందువు గుండా పోతుంది కావున
– cot(1, \(\frac{\pi}{4}\)) + log|1|= c
⇒ c = -1
కావలసిన ప్రత్యేక సాధన
log|x| – cot(\(\frac{y}{x}\)) + 1 = 0.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 10 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 10 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 5x – 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S₁ = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
వృత్త సమీకరణము S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము x. 0 + y. 5 – \(\frac{5}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా 10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0
g = 2, f = 3
r = \(\sqrt{4+9+12}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
θ = 30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x + g) cos 30° + (y + f) sin 30° = r
(x + 2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + (y + 3). \(\frac{1}{2}\) = 2\(\sqrt{13}\)
√3x + 2√3 + y + 3 = 4\(\sqrt{13}\)
√3x + y + (3 + 2√3 – 4\(\sqrt{13}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
C₁ = (-3, 5)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₁ = 13
C₂ = (2, -7)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₂ = 13
C₁C₂ = \(\sqrt{(-3-2)^2+(5+7)^2}\) = 13
cos θ = \(\left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\right|\) = \(\frac{(13)^2-(13)^2-(13)^2}{2 \times(13)(13)}\)
= \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\) θ = 2\(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుందని చూపి స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల 2x – y + 2 = 0 ⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా 4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు : (\(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{2^2}\), \(\frac{2(4)}{2}\)) = (1, 4)

ప్రశ్న 5.
నాభులు ( ± 5, 0), తిర్యక్ అక్షం పొడవు 8 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు S(+5, 0) ∴ ae = 5
తిర్యాక్షము పొడవు = 2a = 8 a = 4 = e = \(\frac{5}{4}\)
b² = a² (e² – 1) = 16(\(\frac{25}{16}\) – 1) = 9
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}\) – \(\frac{y^2}{9}\) = 1 ; 9x² – 16y² = 144

ప్రశ్న 6.
\(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right)\) dx ; x ∈ R విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) dx, x ∈ I = (-1, 1) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\); t = x³ ⇒ dt = 3x² dx
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) = \(\frac{1}{3} \int \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}\) = \(\frac{5}{4}\) sin^-1t + c = \(\frac{1}{3}\) sin^-1(x³) +c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1 (1) – Tan^-1 (0)] = \(\frac{1}{a}\)(\(\frac{\pi}{4}\) – 0) = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_2^3 \frac{2 x}{1+x^2}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
I = \(\left[\ln \left|1+x^2\right|\right]_2^3\) = ln 10 – ln 5 = ln(10/5) = ln 2

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y ను సాధించండి.
సాధన.
e^y తో చూడండి.
e^y . \(\frac{d y}{d x}\) = e^x + x²
e^y . dy = (e^x + x²). dx
(e^x + x²) dx – e^y . dy = 0

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(-2, 3) కేంద్రంగా ఉంటూ 3x + 4y + 4 = 0 రేఖపై చేసే జ్యా పొడవు 2 అయ్యే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

కేంద్రం C (-2, 3) నుండి రేఖ మీదకు దూరం
d = \(\left|\frac{3(-2)+4(3)+4}{\sqrt{9+16}}\right|\)
= \(\frac{10}{5}\) = 2
జ్యా AB పొడవు = 2 యూనిట్లు
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) అనుకొనిన ⇒ 2 = 2 \(\sqrt{r^2-d^2}\)
⇒ r² – d² = 1
⇒ r² – 4 = 1 ⇒ r² = 5
వృత్త సమీకరణము (x + 2)² + (y – 3)² = 5
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 4+ 9 – 5 = 0
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² + 2gx + 2fy = 0, x² + y² + 2g’x + 2f’y = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొంటే fg = fg’ అని చూపండి.
సాధన:
C₁ = (-g, -f)
r₁ = \(\sqrt{g^2+f^2}\)

C₂ = (-g’, -f’)
r₂ = \(\sqrt{\mathrm{g}^{\prime^2}+\mathrm{f}^{\prime^2}}\)

C₁ C₂ = r₁ + r₂
(C₁ C₂)² = (r₁ + r₂)²
(g’ – g)² + (f’ – f)² = g² + f² + g’² + f’² + 2 \(\sqrt{g^2+f^2} \sqrt{g^{\prime 2}+f^{\prime 2}}\) -2(gg’ + ff’) = 2{g²g’² + f²f’² + g²f’² + f²g’²}^1/2
మరల వర్గీకరించగా
(gg’ + ff’)² = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f²
g²g’² + f²f’² + 2gg’ff’ = g²g’² + ƒ²f’² + g²f’² + g’²f’²
2gg’ff’ = g²f’² + f²g’² ⇒ g²f’² + g’²f² – 2gg’ff’ = 0
లేదా (gf’ – fg’)² = 0 లేదా gf’ = fg’

ప్రశ్న 13.
నాభులు S, S’ లుగా గల దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1(a > b) పై P (x, y) ఏదైనా బిందువు అయితే SP + S’P స్థిరం అని చూపండి.
సాధన.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1, (a > b) ………(1)
నాభులు S, S’ ల అనురూప నియతరేఖలు ZM, Z’ M’ అనుకొందాం.
దీర్ఘవృత్తంపై P ఏదైనా బిందువు. P నుంచి X- అక్షంపై లంబం PL, నియతరేఖల పైకి గీసిన లంబం MM’ దీర్ఘవృత్తం నిర్వచనం నుంచి, SP = ePM = e(LZ)

∴ SP = e(CZ – CL) = e(\(\frac{a}{e}\) – x)
∴ SP = a – xe
∴ S’P = ePM’ = e(LZ’). = e(CL + CZ’) = e(x + \(\frac{a}{e}\)) = a + xe
∴ SP + S’ P = a – xe + a + xe
∴ SP + S’ P = 2a (స్థిరం) = దీర్ఘాక్షం పొడవు.

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 కేంద్రం C, AA’, BB’ లు వరుసగా దీర్ఘ, హ్రస్వాక్షాలు, దీర్ఘవృత్తంపై ఏదైనా బిందువు P యొక్క బిందు y నిరూపకం (PN) అయితే \(\frac{\mathrm{PN}^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{(B C)^2}{(C A)^2}\) అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
P(a cos θ, b sin θ) దీర్ఘవృత్తం మీద ఏదేని బిందువు
PN = b sin θ; AN = a – a cos θ
A’N = a + a cos θ; BC = b, CA = a
(A’N). (AN) = (a + a cos θ) (a – a cos 0)
= a² – a² cos² 0
= a² (1 – cos² θ)
= a² sin² θ
\(\frac{(\mathrm{PN})^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{b^2 \sin ^2 \theta}{a^2 \sin ^2 \theta}\) = \(\frac{b^2}{a^2}\)
\(\frac{B C^2}{(C A)^2}\) = \(\frac{b^2}{a^2}\) ⇒ \(\frac{(\mathrm{PN})^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{B C^2}{(C A)^2}\)

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\), ఒక నాభి (1,- 3), అనురూప నియతరేఖ y = 2గా గల అతి పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

నాభి, S(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 = 0
P(x₁, y₁) అతి పరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM
⇒ Sp² = e². PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 3)² = \(\frac{9}{4}\)\(\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
\(x_1^2\) + 1 – 2x₁ + \(y_1^2\) + 9 + 6y₁ = \(\frac{9}{4}\)(y₁ – 2)²
4\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 8x₁ + 24y₁ + 40 = (\(y_1^2\) + 4 – 4y₁) – 9\(y_1^2\) – 36y₁ + 36
4\(x_1^2\) – 5\(y_1^2\) – 8x₁ + 60y₁ + 4 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క బిందుపథము 4x² – 5y² – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{2 \pi}(1+\cos x)^5(1-\cos x)^3\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1 + y²) dx = (tan^-1y – x) dy ను సాధించండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శ బిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
కేంద్రాలు C₁ (2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₂ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
– 10x – 24y – 38 = 0
5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ ని 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\))-2(x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² = 9, x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0 వృత్త యుగ్మాలకు అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = 9
x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
కేంద్రాల A (0,0), B(8, -1)
r₁ = 3, r₂ = \(\sqrt{64+1-49}\) = 4
AB = \(\sqrt{(0-8)^2+(0+1)^2}\) = \(\sqrt{64+1}\) = \(\sqrt{65}\), > r₁ + r₂
వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.
A (0,0), B(8, -1)
-బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
5 నిరూపకాలు (-24, + 3)
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొనుము.
y – 3 = m(x + 24)
= mx + 24m
mx – y + (24m + 3) = 0 _____ (1)
ఇది x² + y² = 9 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణము
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{m^2+1}}\)
9(m² + 1) = 9(8m + 1)² = 64m² + 10m + 1
63m² + 16m = 0
m(63m + 10) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{-16}{63}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణము -y + 3 = 0
y – 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = \(\frac{-16}{63}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము \(\frac{-16}{63}\) x – y + (\(\frac{-384}{63}\) + 3) = 0
⇒ \(\frac{-16}{63}\) x – y + \(\frac{195}{63}\) = 0
⇒ 16x + 63y + 195 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని అంతరంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{24}{7}\), \(\frac{-3}{7}\))
తిర్యక్ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y + \(\frac{3}{7}\) = m (x – \(\frac{24}{7}\))
\(\frac{7 y+3}{7}\) = \(\frac{m(7 x-24)}{7}\)
7y + 3 = 7mx – 24m
7mx – 7y – (24m + 3) = 0 ________(2)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము x + y = 9
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{49 m^2+49}}\) = \(\frac{3}{7}\) \(\frac{28 m+1}{\sqrt{m^2+1}}\)
49 (m² + 1) = (8m + 1)²
49m² + 49 = 64m² +16m + 1
15m² + 16m – 48 = 0
(3m -4) (5m + 12) = 0
m = \(\frac{4}{3}\) లేదా \(\frac{-12}{5}\)

సందర్భం (i) : : (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – (\(\frac{96}{3}\) + 3) = 0
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – \(\frac{105}{3}\) = 0
\(\frac{7}{3}\)(4x – 3y – 15) = 0
4x – 3y – 15 = 0

సందర్భం (ii) :: m = \(\frac{-12}{5}\)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖాసమీకరణము
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y – (\(\frac{-228}{5}\) + 3) = 0
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y + \(\frac{273}{5}\) = 0
\(\frac{-7}{5}\) (12x + 5y – 39) = 0
i.e., 12x + 5y – 39 = 0
∴ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 3 = 0 మరియు 16x + 63y + 195 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
4x – 3y – 15 = 0 మరియు 12x + 5y – 39 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి S(3, 5), శీర్షం A(1, 3) గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3 – 5}{1 – 3}\) (x – 1) = x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది
నియత రేఖ, సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y) SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు (\(\frac{3+x}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\)) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1)
నియత రేఖ 2 (-1, 1) గుండా పోతుంది.
– 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము
(x – α)² + (y – β)² = \(\frac{(l x+m y+n)^2}{l^2+m^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25) = (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y + 68 = 0.

ప్రశ్న 21.
e^x log (e^2x + 5e^x + 6) dx; R
సాధన:
∫e^x log (e^2x + 5e^x + 6)dx
∵ e^2x + 5e^x + 6 = (e^x + 2) (e^x + 3)
= ∫e^x. log ((e^x + 2) (e^x + 3)) dx
= ∫e^x{log (e^x + 2) + log (e^x + 3)} dx
= ∫e^x log (e^x + 2)dx + ∫e^x log (e^x + 3) dx
e^x = t ⇒ e^x dx = dt
= ∫log (t + 2) dt + ∫log (t + 3)dt

= t. log (t² + 5t + 6) – \(\int\left\{1-\frac{2}{t+2}\right\}\) dt – \(\int\left\{1-\frac{2}{t+2}\right\}\) dt
= t log (t² + 5t + 6) – t + 2 log |t + 2| – t + 3 log |t + 3| + C
= t. log (t² + 5t + 6) – 2t + 2 log |t + 2| + 3 log | t + 3| + C
= e^x log (e^2x + 5e^x + 6) – 2e^x + 2 log (e^x + 2) + 3 log (e^x + 3) + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి.
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E) x
x సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

ప్రశ్న 23.
y² = 12(x + 3), y² = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 12 (x + 3) _______ (1)
y² = 20 (5 – x) _______ (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16, x = 2
y² = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)
ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\)
Put y = vx
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x . \(\frac{d v}{d x}\)

(v + 1)³ తో గుణించగా
3 + v² = A(v + 1)² + B(v + 1) + C
v = 1 ⇒ 3 + 1 = C ⇒ C = 4
v² గుణకాలను సమానం చేయగా A = 1
v గుణకాలను సమానం చేయగా 0 = 2A + B, B = -2A = -2.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 9 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 9 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి. ఇంకా దీని వ్యాసార్ధం, కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తాన్ని సూచిస్తే a = 3, h = 0
∴ ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ b = 0, a = 3
3x² + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0
x² + y² – \(\frac{5}{3}\)x + \(\frac{2}{3}\)y – 1 = 0
g = – \(\frac{5}{6}\); f = \(\frac{2}{6}\); c = -1
C = (- g, – f) = (\(\frac{5}{6}\), –\(\frac{1}{3}\))
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{9}+1}\)
= \(\frac{\sqrt{65}}{6}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P(2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (2, 3) ⇒ x₁ = 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ధృవ రేఖ x . 2 + y . 3 + 3(x + 2) + 4(y + 3) – 96 = 0
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 – 96 = 0
5x + 7y – 78 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 12x – 6y + 41 = 0; x² + y² + 4x + 6y – 59 = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

C₁ = (6, 3)
r₁ = (36 + 9 – 41)^1/2
r₁ = 2

C₂ = (-2,-3)
r₂ = (4 + 9 + 59)^1/2
r₂ = (72)^1/2 = 6√2

C₁C₂ = d = \(\sqrt{(6+2)^2+(3+3)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\) = 10
cos θ = = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
= \(\frac{100-4-72}{2 \times 2 \cdot \sqrt{72}}\) = \(\frac{24}{4 \times 6 \sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = 45°

ప్రశ్న 4.
4y² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4y² + 12x – 20y + 67 = 0
4y² – 20y = -12x – 67
y² – 5y = -3x – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{25}{4}\) కూడగా
y² – 5y + \(\frac{25}{4}\) = -3x- \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{25}{4}\)
(y – \(\frac{5}{2}\))² = -3x- \(\frac{42}{4}\)
= -3(x + \(\frac{7}{2}\))
(y – \(\frac{5}{2}\))² = -3[x – (-\(\frac{7}{2}\))]
∴ h = –\(\frac{7}{2}\), k = \(\frac{5}{2}\), a = \(\frac{-3}{4}\)
శీర్ఘం A(\(\frac{-7}{2}\), \(\frac{5}{2}\))
నాభి. s (h + a, k) = (\(\frac{-7}{2}\) – \(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{2}\))
= (\(\frac{-17}{2}\), \(\frac{5}{2}\))

ప్రశ్న 5.
3x = ±5yలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా కలిగి, శీర్షాలు (±5, 0) గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణం 3x = ± 5y
3x – 5y = 0, 3x + 5y = 0
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణం
(3x – 5y) (3x + 5y) = 0
9x² – 25y² = 0
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = k
అతిపరావలయం శీర్షం (5, 0) గుండా పోతుంది.
9(5)² – 0 = k ⇒ k = 225
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = 225

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమాకలనిని గణించండి.
∫ cos mx cos nx dx, x ∈ R, m ≠ n, m, n లు ధన పూర్ణాంకాలు.
సాధన:
∫ cos m n. cos nx dx = \(\frac{1}{2}\) ∫ 2 cos mx.cos nx dx
= \(\frac{1}{2}\)(cos (m + n) x + cos (m – n) x) dx
= \(\frac{1}{2}\) [\(\frac{\sin (m+n) x}{m+n}\) + \(\frac{\sin (m-n) x}{m-n}\)] + c

ప్రశ్న 7.
x ∈ I ⊂ R\ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ z} అయితే \(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) dx = ∫ tan⁴ x . sec² x dx
f : I → R ను f(x) గా నిర్వచిద్దాం.
= tan x, f'(x) = sec²x
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) = ∫ [f(x)]⁴ . f'(x)dx = \(\frac{[f(x)]^5}{5}\) + c.
= \(\frac{1}{5}\) tan⁵ x + c.

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^n x d x=\int_0^{\pi / 2} \cos ^n x d x\) అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sinⁿx.

ప్రశ్న 9.
y = x² పరావలయంతోను, X – అక్షం, x = -1, x = 2 రేఖలతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

కావలసిన వైశాల్యం
\(\int_{-1}^2 x^2 d x=\left(\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^2\)
= \(\frac{1}{3}\)(2³ – (-1)³)
= \(\frac{1}{3}\)(8 + 1) = \(\frac{9}{3}\) = 3.

ప్రశ్న 10.
అవకలన సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = -p²y పరిమాణం తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) లో బహుపది 1 లో తరగతి
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) గరిష్ట పరిమాణము 2 పరిమాణువు

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (-1, 2) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ x² + y² + 4x + 6y = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుందని చూపి, స్పర్శ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (−1, 2) వద్ద స్పర్శరేఖ S₁ = 0
అంటే x(-1) + y(2) – 2(x – 1) – 4(y + 2) + 7 = 0
⇒ -3x – 2y + 1 = 0
⇒ 3x + 2y – 1 = 0
ఈ రేఖ x² + y² + 4x + 6y = 0 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన r = d కావలయును.
ఇచ్చట వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\sqrt{4+9}\) = \(\sqrt{13}\)
d = వృత్త కేంద్రం C (-2, -3) నుండి రేఖ 3x + 2y – 1 = 0 మీదకు లంబదూరం
⇒ d = \(\frac{|3(-2)+2(-3)-1|}{\sqrt{13}}\) = \(\sqrt{13}\) ∴ r = d
⇒ రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
స్పర్శబిందువు P(x₁, y₁) అనుకుంటే, ఇది C(-2, -3) నుండి రేఖ మీదకు లంబపాదం అవుతుంది.
\(\frac{x_1+2}{3}\) = \(\frac{y_1+3}{2}\) = – (\(\frac{-6-6-1}{13}\)) = 1
⇒ x₁ + 2 = 3 ⇒ x₁ = 1
y₁ + 3 = 2 ⇒ y₁ = -1
∴ స్పర్శబిందువు = (1, -1)

ప్రశ్న 12.
\(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) = \(\frac{1}{c}\) అయితే
x² + y² + 2ax + c = 0, x² + y² + 2by + c = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (-a, 0) మరియు C₂ (0, -b)
1వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{a^2-c}\) = r₁
2వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{b^2-c}\) = r₂
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(a² + b²) = a² – c + b² – c + 2 \(\sqrt{a^2-c}\)\(\sqrt{b^2-c}\)
c = \(\sqrt{a^2-c}\). \(\sqrt{b^2-c}\)
c² = (a² – c) (b² – c)
c² = -c (a² + b²) + a²b² + c²
లేదా (a² + b²) = a²b² లేదా \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\)

ప్రశ్న 13.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. సాధన:
దత్త సమీకరణం 9x² + 16y² = 144
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2.4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2.3 = 6
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0, 0)
నాభులు (±ae, 0) (±√7, 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ±\(\frac{a}{e}\)
x = ±4.\(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ±\(\frac{16}{\sqrt{7}}\); √7x = ±16

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే సమీకరణం
\(\frac{x}{a}\)α cos(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) + \(\frac{y}{b}\)β sin (\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) = cos (\(\frac{\alpha-\beta}{2}\)) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α, b sin α) మరియు Q(a cos β, b sin β).

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 యొక్క ఏదైనా స్పర్శరేఖపై నాభులు లంబపాదాలు అనుబంద (సహాయక వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1

స్పర్శరేఖా సమీకరణం
y = mx ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y – mx = ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) _____ (1)
(±ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీదికి గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{m}\)(x + ae)
⇒ my – (x + ae)
x + my = ±ae _______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా,
(y – mx)² + (x + my)² = a²m² – b² + a²e²
⇒ y² + m²x² – 2mxy + x² + m²y² + 2mxy
= a²m² – a²(e² – 1)+ a²e²
⇒ (x² + y²) (1 + m²)
= a²m² – a²e² + a² + a²e²
= a²(1 + m²).
x² + y² = a² ఇది సహాయక వృత్తము.
నాభుల నుండి స్పర్శరేఖ మీదకు గీయబడిన లంబపాదాలు సహాయక వృత్తం మీద ఉంటాయి.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) dx అనుకోండి.

ప్రశ్న 17.
(x + y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1 ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1 y + 1
\(\frac{d y}{d x}\) – x = y + 1
I.F. = \(e^{\int-d y}\) = e^-y
x. e^-y = ∫e^-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e^-y + ∫e^-y. dy
= -(y + 1) e^-y – e^-y
= -(y + 2) e^-y + c
x = -(y + 2) + c. e^-y

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(1, 1), (- 6, 0), (- 2, 2), (- 2, – 8) బిందువులు చక్రీయాలు అని చూపి వాటి గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (i)
ఈ వృత్తము A (1, 1) గుండా పోతూ
1 + 1 + 2g + 2f + c = 0
⇒ 2g + 2f + c = 2 _____ (ii)
ఈ వృత్తము B (- 6, 0) గుండా పోతూ
36 + 0 – 12g + 0 + c = 0
– 12g + c = -36 _______ (iii)
ఈ వృత్తము C ( – 2, 2) గుండా పోతూ
4 + 4 – 4g + 4f + c = 0
– 4g + 4f + c = 8 ______ (iv)
(iii) – (iv) చేయగా – 8g – 4f = 0
⇒ 2g + f = 7
(i) – (ii) చేయగా 14g + 2f = 34
7g + f = 17 _____ (v)
(iv) నుండి (v) సాధించండి g = 2, f = 3
g = 2, f = 3 అని (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 6 + c = -2
c = – 12
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0
(− 2, – 8) ను సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 64 – 8 – 48 – 12 = 68 – 68 = 0
(− 2, – 8) బిందువుపై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0

ప్రశ్న 19.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూల బిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూల బిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\)
QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = – \(\frac{x_1}{y_1}\) (x – x₁)
yy₁ – \(y_1^2\) = – xx₁ + \(x_1^2\)
xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 ______ (1)
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 _____ (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా OQ, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము x² + y² + (2gx + 2fy)
\(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{\left(x x_1+y y_1\right)^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) = 1.
x²[1 + \(\frac{2 g x_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c x_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\)]
y²[1 + \(\frac{2 f y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c y_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\)] + (……………) xy = 0
OQ, OR లు లంబాలు.

ప్రశ్న 20.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x – y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{4}\), \(\frac{8}{2}\)) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m’ = – \(\frac{1}{m}\) = – \(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = m’x + c’
= (-\(\frac{1}{2}\)) = x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}\) = \(\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = -8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = – x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^{1^2}}\), \(\frac{2 a}{m^{\prime}}\))
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\) = (16, -16)

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{\sin x \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
\(\int \frac{\sin x \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) = \(\int \frac{-t d t}{t^2+3 t+2}\)
= \(-\int \frac{t}{t^2+3 t+2}\) dt ______ (1)
\(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{t}{(t+1)(t+2)}\) అనుకోండి
= \(\frac{A}{t+1}\) + \(\frac{B}{t+2}\)
⇒ t = A(t + 2) + B(t + 1) ______ (2)
(2) లో t = -1 ప్రతిక్షేపించగా
– 1 = A(-1 + 2) ⇒ A = -1
(2) లో t = -2 ప్రతిక్షేపించగా
-2 = B(-2 + 1) ⇒ B = 2

= log |t + 1|- 2 log |t + 2| + C
= log |1 + cos x|- 2 log |2 + cos x| + C
= log |1 + cos x| – log (2 + cos x)² + C
= log \(\left|\frac{1+\cos x}{(2+\cos x)^2}\right|\) + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\), x ∈ (-1, 3) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x\) dx ను గణించండి.
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా
dx = sec² θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\) ను గణించండి.
సాధన:
x = X + h, y = Y + k అయితే \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలను h + 2k – 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 8 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 8 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి (- 1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (- 1, 1) మరియు S = x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x (-1) + y.1 – 3(x – 1) + 2(y + 1) – 12 = 0
– x + y – 3x + 3 + 2y + 2 – 12 = 0
– 4x + 3y – 7 = 0
(లేదా) 4x – 3y + 7 = 0

ప్రశ్న 2.
S ≡ x² + y² + x + y – 24 ; P = (3, -4) ప్రతి S = 0 వృత్తానికి P వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
(x – x₁) (y₁ + f) – (y – y₁) (x₁ + g) = 0
= (x – 3) [4 + \(\frac{1}{2}\)] – (y + 4) [3 + \(\frac{1}{2}\)] = 0
– \(\frac{7}{2}\)(x – 3) – \(\frac{7}{2}\) (y + 4) = 0 ⇒ (x – 3) + (y + 4) = 0
x – 3 + y + 4 = 0
x + y + 1 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 2lx + g = 0; x² + y² + 2my – g = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఖండించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
g₁ = -l; f₁ = 0, c₁ = g, g₂ = 0, f₂ = m, c₂ = -g దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-l) (0) + 2(0) (m) = g – g
0 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 4.
(3, -2) శీర్షంగాను, (3, 1) నాభిగాను గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి శీర్షాల x నిరూపకాలు 3తో సమానం. పరావలయ అక్షం x = 3
ఇది Y – అక్షానికి సమాంతరంగా శీర్షానికి ఎగువన (పైన నాభి ఉంటుంది.
a = నాభి, శీర్షాల మధ్యదూరం = 3.
∴ పరావలయ సమీకరణం
(x – 3)² = 4(3) (y + 2)
i.e., (x – 3)² = 12(y + 2).

ప్రశ్న 5.
తిర్యక్ అక్షం పొడవు 6 గా కలిగి కేంద్రం, నాభులను కలిపే రేఖాఖండానికి శీర్షం మధ్య బిందువుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

CA = AS అని ఇవ్వబడింది.
a = ae – a
2a = ae ⇒ e = 2
తిర్యక్ అక్షం పొడవు = 2a = 6 ⇒ a = 3
b² = a²(e² – 1) = 9(4 – 1) = 27
అతిపరావలయ సమీకరణం = \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{9}\) = \(\frac{y^2}{27}\) = 1′
= 3x² – y² = 27

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{d x}{x^2+x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫e^{log(1+ tan2x}) dx I ⊂ R\ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z} ను సాధించండి.
సాధన:
∫e^{log(1 + tan2x}) dx = ∫e^{log sec2} dx = ∫ sec²x dx = tan x + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x\) అవధి మొత్తంగా కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x\) = \(\left[\frac{x^2}{2}+\frac{e^{2 x}}{2}\right]_0^4\) = \(\frac{16}{2}\) + \(\frac{e^8}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{15+e^8}{2}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^4|2-x| d x\) ను గణించండీ.
సాధన:

= 2 – 0 + 2 = 4

ప్రశ్న 10.
నిరూపకాక్షాలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా ఉన్న లంబ అతిపరావలయాలు, అనుగుణంగా ఉండే అవకలన సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
లంబ అతిపరావలయ సమీకరణము xy = c², c యాదృచ్ఛిక స్థిరాంకం
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 0

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x cos α + y sin α = a, x sin α – y cos α = b (α పరామితి) సరళరేఖల ఖండన బిందువు పథం ఒక వృత్తమని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x cos α + y sin α = a
x sin α – y cos α = b
p (x₁, y₁) ఖండన బిందువు
x₁ cos α + y₁ sin α = a _______ (1)
x₁ sin α – y₁ cos α = b ______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా
(x₁cos α + y₁sin α)² + (x₁sin α – y₁cos α)² = a² + b²
\(x_1^2\) cos² α + \(y_1^2\) sin² α + 2x₁y₁
cos α sin α + \(x_1^2\) sin² α + \(y_1^2\) cos² α – 2x₁y₁ cos α sin α = a² + b²
\(x_1^2\) (cos² α + sin² α) + \(y_1^2\) (sin² α + cos² α) = a² + b²
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) = a² + b²
p(x₁, y₁) బిందుపథం ఒక వృత్తం. దాని సమీకరణము x² + y² = a² + b²

ప్రశ్న 12.
S ≡ x² + y² + 3x + 5y + 4 = 0, S’ = x² + y² + 5x + 3y + 4 = 0 ల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణం, దాని పొడవును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² + 3x + 5y + 4 = 0 _______ (1)
మరియు S’ ≡ x² + y² + 5x + 3y + 4 = 0 ________ (2)
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణం S – S’ = 0
– 2x + 2y = 0
L ≡ x – y = 0

= 2√4 = 4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం S ≡ \(\frac{x^2}{a^2}\) = \(\frac{y^2}{b^2}\) – 1 = 0 పై బిందువు P(x₁, y₁) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణం \(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1^1}\) = a² – b² (x₁ = 0, y₁ ≠ 0) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం S = 0 పై బిందువు P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
S₁ ≡ \(\frac{x x_1}{a^2}\) + \(\frac{y y_1}{b^2}\) – 1 = 0
∴ P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{-x_1 / a^2}{y_1 / b^2}\) = \(\frac{-b^2 x_1}{a^2 y_1}\)
∴ P వద్ద అభిలంబ రేఖ వాలు = \(\frac{a^2 y_1}{b^2 x_1}\)
P(x₁ y₁) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణం (y – y₁)
= \(\frac{a^2 y_1}{b^2 x_1}\) (x – x₁)
దీనిని సూక్ష్మీకరిస్తే \(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1^1}\) = a² – b²

ప్రశ్న 14.
2x² + 3y² = 11 దీర్ఘవృత్తానికి y నిరూపకం 1 గా గల బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘ వృత్తం సమీకరణం 2x² + 3y² = 11
y = 1 అని ఇవ్వబడింది.
2x² + 3 = 11 ⇒ 2x² = 8
x² = 4
x = ± 2
స్పర్శ బిందువులు P(2, 1) మరియు Q(- 2, 1)

సందర్భం (i) : P(2, 1)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x. 2 + 3y. 1 = 11
4x + 3y = 11
అభిలంబ రేఖ, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంది.
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = k
అభిలంబ రేఖ P(2, 1) గుండా పోతుంది; 6 – 4 = k ⇒ k = 2
P వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = 2

సందర్భం (ii) : Q(-2, 1).
Q వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x(-2) + 3y.1 = 11
– 4x + 3y = 11
4x – 3y + 11 = 0
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x + 4y = k గా తీసుకొనవచ్చును
అభిలంబ రేఖ Q(-2, 1). గుండా పోతుంది.
– 6 + 4 = k ⇒ k = -2
Q వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x + 4y = -2 లేదా 3x + 4y + 2 = 0

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\) ఒక నాభి (1, – 3), అనురూప నియతరేఖ y = 2 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

నాభి, S(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 – 0
P(x₁, y₁) అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM ⇒ SP² = e². PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 3)² = \(\frac{9}{4}\)\(\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
\(x_1^2\) + 1 – 2x₁ + \(y_1^2\) + 9 + 6y₁ = \(\frac{9}{4}\)(y₁ – 2)²
4\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 8x₁ + 24y₁ + 40 = (\(y_1^2\) + 4 – 4y₁) – 9\(y_1^2\) – 36y₁ + 36
4\(x_1^2\) – 5\(y_1^2\) – 8x₁ + 60y₁ + 4 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క బిందుపథము 4x² – 5y² – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 16.
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\tan \frac{\pi}{4 n}+\tan \frac{2 \pi}{4 n}+\ldots \ldots+\tan \frac{n \pi}{4 n}\right]\) అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+\cos y}\) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
(sin y + y cos y) dy = x (2 log x + 1) dx గా వ్రాయవచ్చును.
∫ sin y dy + ∫ y cos y dy = ∫ 2x log x dx + ∫ x dx
∫ sin y dy + y sin y – ( sin y dy
= x² log x – ∫ x².\(\frac{1}{2}\) = dx + ∫ x dx + c
y sin y = x² log x + c

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
L₁ = x + y + 1 = 0, L₂ = 3x + y – 5 = 0, L₃ = 2x + y – 5 = 0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజపు శీర్షాల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁, L₂, L₂, L₃ మరియు L₁, L, రేఖలు A, B, C ల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. . ఇది O, A, B పరివృత్త సమీకరణము క్రింది సమీకరణము గల వక్రాన్ని తీసుకొందాం.
k (x + y + 1) (3x + y – 5) + l(3x + y – 5)
(2x + y – 5) + m(2x + y – 5) (x + y + 1) = 0 ______ (1)
ఈ సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² గుణకము = y² గుణకము 3k + 6l + 2m = k + l + m
2k + 5l + m = 0 _______ (2)
xy గుణకము = 0
4k + 5l + 3m = 0 _______ (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన వృత్త సమీకరణము
5(x + y + 1) (3x + y – 5) – 1 (3x + y – 5) (2x + y – 5) – 5(2x + y – 5) (x + y + 1) = 0
(i.e.,) x² + y² – 30x – 10y + 25 = 0

ప్రశ్న 19.
S = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు P(x₁, y) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం ss11 = \(x_2^1\) అని చూపండి.
సాధన:

S = 0 వృత్తానికి P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు వృత్తాన్ని A, B ల వద్ద స్పృశిస్తున్నాయకొందాం.
AB సమీకరణం S₁ = 0
అంటే xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0 _____ (1)
ఈ స్పర్శ రేఖలపై Q (x₂, y₂) ఏదైనా బిందువు అనుకొందాం. Q బిందుపథం, P నుంచి స్పర్శ రేఖల సంయుక్త సమీకరణం.
\(\overline{P Q}\) రేఖా ఖండాన్ని సరళరేఖ \(\overleftrightarrow{A B}\)
(దీని సమీకరణం S₁ = 0) ఖండించే నిష్పత్తి -S₁₁ : S₁₂
∴ PB : QB = -S₁₁ : S₁₂ లేదా S₁₁ : S₁₂. S₁₁ S₂₂ < 0
లేదా S₁₁ S₂₂ > 0 అయితే ⇒ \(\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{QB}}\) = \(\left|\frac{s_{11}}{s_{12}}\right|\) _____ (2)
కాని PB = \(\sqrt{S_{11}}\) , QB = \(\sqrt{S_{22}}\) (PB, QB స్పర్శ రేఖ పొడవులు)
∴ \(\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{QB}}\) = \(\frac{\sqrt{S_{11}}}{\sqrt{S_{22}}}\) _____ (3)
ఇప్పుడు (2), (3) ల నుంచి \(\frac{\mathrm{S}_{11}^2}{\mathrm{~S}_{12}^2}\) = \(\frac{S_{11}}{S_{22}}\)
∴ S₁₁ S₂₂ = \(S_{12}^2\)
∴ Q (x₂, y₂) బిందుపథం S₁₁ S = S₁²

ప్రశ్న 20.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x + y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{4}\), \(\frac{8}{2}\)) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు m’ = – \(\frac{1}{m}\) = – \(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = m’x + c’ = (-\(\frac{1}{2}\)) = x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}\) = \(\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = -8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = – x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^{1^2}}\), \(\frac{2 a}{m^{\prime}}\))
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\) = (16, -16)

ప్రశ్న 21.
∫e^ax sin (bx + c) dx, (a, b, c ∈ R, b ≠ 0), x ∈ R ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
\(\int(6 x+5) \sqrt{6-2 x^2+x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
6x + 5 = A (1 – 4x) + B అనుకోండి
x గుణకాలను సమానం చేయండి
6 = -4 A ⇒ A = \(\frac{-3}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి
A + B = 5
B = 5 – A = 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)

ప్రశ్న 23.
OA = a, OB = b అయినప్పుడు \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తం ధన పాదం AOB అనుకుందాం. “అప్పుడు ఆ దీర్ఘవృత్తం జ్యా AB కి, చాపం A,B కి మధ్య పరి బద్ధమైన వైశాల్యం \(\frac{(\pi-2) \mathrm{ab}}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకొనుము
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{y}{b}\) = 1 – \(\frac{x}{a}\)
y = b(1 – \(\frac{x}{a}\))

ప్రశ్న 24.
(2x + 3y – 8) dx = (x + y – 3) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+3 y-8}{x+y-3}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2(X+h)+3(Y+k)-8}{(X+h)+(Y+k)-3}\)
= \(\frac{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k-8)}{(X+Y)+(h+k-3)}\)
h, k విలువలను 2h + 3k – 8 = 0,
h + k – 3 = 0.అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం.

(1 + V) = A(2 – 2V) + B అనుకొందాం
V గుణకాలు సమానం చేయగా 1 = 2A ⇒ A = -1/2
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా 1 = 2A + B = – 1 + B
B = 2

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 7 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 7 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² + 2gx + 2fy – 12 = 0 సమీకరణం (2, 3) కేంద్రంగా ఉండే వృత్తాన్ని సూచిస్తే, g, f లను, వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy – 12 = 0
కేంద్రం C = (-g, – f) = (2, 3)
కనుక g = -2, f = -3, c = -12
∴ వృత్త వ్యాసా (r) = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)
= \(\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+12}\)
= \(\sqrt{4+9+12}\)
= \(\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0
g = 2, f = 3
r = \(\sqrt{4+9+12}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
θ = 30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x + g) cos 30° + (y + f) sin 30° = r
(x + 2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + (y + 3). \(\frac{1}{2}\) = 2\(\sqrt{13}\)
√3x + 2√3 + y + 3 = 4\(\sqrt{13}\)
√3x + y + (3 + 2√3 – 4\(\sqrt{13}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 3x – 4y + 5 = 0, 3(x² + y²) – 7x + 8y – 11 = 0 వృత్తాల మూలాక్షాల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² – 3x – 4y + 5 = 0
S ≡ 3x² + 3y² – 7x + 8y + 11 = 0
S – S’ = 0 మూలాక్షము
x² + y² – 3x – 4y + 5) – (x² + y² – \(\frac{7}{3}\)x + \(\frac{8}{3}\)y + \(\frac{11}{3}\)) = 0
⇒ \(\frac{-2}{3}\)x – \(\frac{20}{3}\)y + \(\frac{4}{3}\) = 0
⇒ x + 10y – 2 = 0

ప్రశ్న 4.
పరావలయం y² = 4ax పై ద్వి y – నిరూపకం పొడవు 8a అయితే ద్వి y – నిరూపక కొనలను శీర్షానికి కలిపితే వచ్చే రేఖలు లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P = (at², 2at) మరియు P’ = (at², -2at) లు PP’ కొనలు
8a = PP’ = \(\sqrt{0+(4 a t)^2}\) = 4at ⇒ t = 2
∴ P = (4a, 4a), P’ = (4a, – 4a)
\(\overline{\mathrm{AP}}\) వాలు X \(\overline{A P^{\prime}}\) వాలు = (\(\frac{4 a}{4 a}\))(-\(\frac{4 a}{4 a}\)) = -1
∴ ∠PAP’ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి 6 = \(\frac{\pi}{3}\) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం
కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{3}\) = 1
అభిలంబరేఖ సమీకరణము \(\frac{\mathrm{ax}}{\sec \theta}\) + \(\frac{\text { by }}{\tan \theta}\) = a² + b²
\(\frac{2 x}{\sec 60^{\circ}}\) + \(\frac{\sqrt{3} y}{\tan 60^{\circ}}\) = 4 + 3
\(\frac{2 x}{2}\) + \(\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}}\) = 7 ⇒ x + y = 7

ప్రశ్న 6.
∫ (tan x + log sec x)e^x dx, x ∈ [(2n – \(\frac{1}{2}\))π, (2n + \(\frac{1}{2}\))π], n ∈ z ను సాధించండి.
సాధన:
t = log | sec x❘
⇒ dt = \(\frac{1}{\sec x}\). sec x. tan x dx = tan x dx
∫ (tan x + log secx) e^x dx = e^x. log|sec x❘ + C

ప్రశ్న 7.
∫ tan⁶ x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^2|1-x| d x\) నిశ్చిత సమాకలనాన్ని గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:
f(θ) = sin³ θ. cos³ θ
f(-θ) = sin³ (-θ) cos³ (-θ)
– sin³ θ cos³ θ = -f(θ)
f(θ) బేసి ప్రమేయము
∴ \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cdot \cos ^3 \theta d \theta=0\)

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{y – x} ను సాధించుము.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{e^y}{e^x}\)
\(\frac{d y}{e^y}\) = \(\frac{d x}{e^x}\)
∫ e^-x dx = ∫ e^-y dy
– e^-x = -e^-y + c
e^-y = e^-x + c, c రాంకం

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ABCD ఒక చతురస్రం అయితే, దీని శీర్షాలు A, B, C, D లు చక్రీయాలు అని చూపండి.
సాధన:

AB = a, AD = a
A (0, 0), B(0, a), D (a, 0)
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తం A, B, D ల గుండా పోతుంది.
A : 0 + 0 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0
C = 0
B: 0+ a² + 2g(0) + 2fa + 0 = 0
f = –\(\frac{a}{2}\)
ఇదే విధంగా g = –\(\frac{a}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – ax – ay = 0
C నిరూపకాలు (a, a)
a² + a² – a² – a² = 0
A, B, D ల గుండా పోయే వృత్తం మీద C ఉంది.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x + 4y – 8 = 0 వృత్తానికి AB ఒక జ్యా అయి, దీని సమీకరణం x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0
L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y(4 + λ) – 8 – 3λ = 0 ______ (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 _____ (ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\), f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ – (\(\frac{(-2+\lambda)}{2}\)) – (\(\frac{(4+\lambda)}{2}\)) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
-2λ = 8 ⇒ λ = -4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము (x² + y² – 2x + 4y – 8) – 4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{15}{2}\), నాభుల మధ్య దూరం 2గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{15}{2}\)
నాభుల మధ్య దూరము = 2
= \(\frac{15}{2}\)
2ae = 2
ae = 1
⇒ b² = a² – a²e²
= b² = a² – 1
\(\frac{15}{4}\)a = a = a² – 1
⇒ 4a² – 15a – 4 = 0
b² = a² – 1
a = 4 లేదా a = – \(\frac{1}{4}\) = 16 – 1
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{15}\) = 1

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘ వృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 నాభిలంబం కొన వద్ద అభిలంబ రేఖ హ్రస్వాక్షం
ఒక కొన ద్వారా పోతే e⁴ + e² = 1 అని చూపండి. [దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత e].
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
\(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1}\) = a² – b²
L(ae, b²/a) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
\(\frac{a^2 x}{a e}\) – \(\frac{b^2 y}{\left(b^2 / a\right)}\) = a² – b²
\(\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{e}}\) – ay = a²e²
ఈ అభిలంబ రేఖ B'(0, – b) గుండా పోతుంది.
ab = a²e²
⇒ b = ae⁴
b² = a²e⁴
a²(1 – e²) = a²e⁴
e⁴ + e² = 1

ప్రశ్న 15.
4x² – 9y² – 8x – 32 = 0 అతిపరావలయానికి కేంద్రం, ఉత్కేంద్రత నాభులు, నియత రేఖలు. నాభిలంబం పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² – 9y² – 8x – 32 = 0 అతిపరావలయం సమీకరణం
4(x² – 2x) – 9y² = 32
4(x² – 2x + 1) – 9y² = 36
\(\frac{(x-1)^2}{9}\) – \(\frac{y^2}{4}\) = 1
అతిపరావలయ కేంద్రం c (1, 0)
a² = 9, b² = 4
⇒ a = 3, b = 2
e = \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{9+4}{9}}\) = \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)
నాభులు (1 ± 3. \(\frac{\sqrt{13}}{3}\), 0) (1 ± \(\sqrt{13}\), 0)
నియతరేఖల సమీకరణం x = 1 ± = \(\frac{3.3}{\sqrt{13}}\) ⇒ x = 1 ± \(\frac{9}{\sqrt{13}}\)
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{\mathrm{a}}\) = \(\frac{2.4}{3}\) = \(\frac{8}{3}\)

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{4+5 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) tan² (x + y) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) tan² (x + y)
v = x + y అనుకుందాం
\(\frac{d v}{d x}\) = 1 + \(\frac{d y}{d x}\) = 1 + tan²v = sec² v
\(\int \frac{d v}{\sec ^2 v}\) = ∫dx = ∫cos²v.dv = x + c
\(\int \frac{(1+\cos 2 v)}{2}\) dv = x + c
∫(1 + cos 2v) dv = 2x + 2c
v + \(\frac{\sin 2 v}{2}\) = 2x + 2c
2v + sin 2v = 4x + c’
2(x + y) + sin 2(x + y) = 4x + c’
x – y – \(\frac{1}{2}\) sin [2(x + y)] = c

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 8x – 2y + 12 = 0 వృత్తానికి y నిరూపకం 1 అయ్యే బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 8x – 2y + 12 = 0
P నిరూపకాలు (x₁, 1) అనుకొందాం.
P వృత్తం మీది బిందువు
\(x_1^2\) + 1 – 8x₁ – 2 + 12 = 0
\(x_1^2\) – 8x₁ + 11 = 0
x₁ = \(\frac{8 \pm \sqrt{64-44}}{2}\) = \(\frac{8 \pm 2 \sqrt{5}}{2}\) = 4 + √5
x₁ = 4 + √5, x₂ = 4 – √5
P నిరూపకాలు (4 + √5, 1) మరియు
Q నిరూపకాలు (4 – √5, 1)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము ( 4 + √5, 1)
x(4 + √5) + y.1 – 4(x + 4√5) – (y + 1) + 12 = 0
⇒ 4x + √5 x + y – 4x – 16 – 4√5 – y – 1 + 12 = 0
⇒ x – 5 – 4√5 = 0 ⇒ √5 (x – √5 – 4) = 0
⇒ x – √5 – 4 = 0
x = 4 + √5
Q వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము (4 – √5, 1)
⇒ x(4 – √5) + y. 1 – 4(x + 4 – √5) – (y + 1) + 12 = 0
⇒ 4x – √5x + y – 4x – 16 + 4√5 – y – 1 + 12 = 0
⇒ – √5x + 4√5 – 5 = 0
⇒ √5(x – 4 + √5) = 0
⇒ x – 4 + √5 = 0
x = 4 – √5

ప్రశ్న 19.
x² + y² = 9, x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0 యుగ్మాలకు అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = 9
x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
కేంద్రాల A (0,0), B(8, -1)
r₁ = 3, r₂ = \(\sqrt{64+1-49}\) = 4
AB = \(\sqrt{(0-8)^2+(0+1)^2}\)
= \(\sqrt{64+1}\)
= \(\sqrt{65}\), > r₁ + r₂
వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.
-బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
5 నిరూపకాలు (-24, + 3)
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొనుము.
y – 3 = m(x + 24)
= mx + 24m
mx – y + (24m + 3) = 0 _____ (1)
ఇది x² + y² = 9 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణము
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{m^2+1}}\)
9(m² + 1) = 9(8m + 1)² = 64m² + 10m + 1
63m² + 16m = 0
m(63m + 10) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{-16}{63}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణము
-y + 3 = 0
y – 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = \(\frac{-16}{63}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము \(\frac{-16}{63}\) x – y + (\(\frac{-384}{63}\) + 3) = 0
⇒ \(\frac{-16}{63}\) x – y + \(\frac{195}{63}\) = 0
⇒ 16x + 63y + 195 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని అంతరంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{24}{7}\), \(\frac{-3}{7}\))
తిర్యక్ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y + \(\frac{3}{7}\) = m (x – \(\frac{24}{7}\))
\(\frac{7 y+3}{7}\) = \(\frac{m(7 x-24)}{7}\)
7y + 3 = 7mx – 24m
7mx – 7y – (24m + 3) = 0 ________(2)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము x + y = 9
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{49 m^2+49}}\) = \(\frac{3}{7}\) \(\frac{28 m+1}{\sqrt{m^2+1}}\)
49 (m² + 1) = (8m + 1)²
49m² + 49 = 64m² +16m + 1
15m² + 16m – 48 = 0
(3m -4) (5m + 12) = 0
m = \(\frac{4}{3}\) లేదా \(\frac{-12}{5}\)

సందర్భం (i) : : (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – (\(\frac{96}{3}\) + 3) = 0
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – \(\frac{105}{3}\) = 0
\(\frac{7}{3}\)(4x – 3y – 15) = 0
4x – 3y – 15 = 0

సందర్భం (ii) :: m = \(\frac{-12}{5}\)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖాసమీకరణము
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y – (\(\frac{-228}{5}\) + 3) = 0
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y + \(\frac{273}{5}\) = 0
\(\frac{-7}{5}\) (12x + 5y – 39) = 0
i.e., 12x + 5y – 39 = 0
∴ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 3 = 0 మరియు 16x + 63y + 195 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
4x – 3y – 15 = 0 మరియు 12x + 5y – 39 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి S(3, 5), శీర్షం A(1, 3) గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3 – 5}{1 – 3}\) (x – 1) = x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది
నియత రేఖ, సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y)
SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు (\(\frac{3+x}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\)) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1)
నియత రేఖ 2 (-1, 1) గుండా పోతుంది.
– 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0·
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము (x – α)² + (y – β)² = \(\frac{(l x+m y+n)^2}{l^2+m^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25) = (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y + 68 = 0.

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) = \(\frac{A}{1-x}\) + \(\frac{B x+C}{4+x^2}\) అనుకోండి.
⇒ 1 = A(4 + x²) + (Bx + C) (1 – x) ______ (1)
(1) లో x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4 + 1)
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4) + C(1)
⇒ C = 1 – 4A = 1 – 4 (\(\frac{1}{5}\)) = \(\frac{5 – 4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x² గుణకాలను సమానం చేయగా 0 = A – B ⇒ B = A = \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_2^6 \sqrt{(6-x)(x-2)}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
x = 2 cos²θ + 6 sin²θ
dx = (6 – 2) sin2θ dθ
dx = 4 sin2θ dθ

ఎగువ హద్దు :
x = 2 cos² θ + 6 sin²
6 = 2 cos² θ + 6 sin²
4 cos² θ = 0
cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు :
x = 2 cos² θ + 6 sin² θ
2 = 2 cos² θ + 6 sin² θ
4 sin² θ = 0
θ = 0
6 – x = 6 – (2 cos² θ + 6 sin² θ)
= (6 – 2) cos² θ
= 4 cos² θ
x – 2 = 2 cos² θ + 6 sin² θ – 2
= (6 – 2) sin² θ
= 4 sin² θ

ప్రశ్న 24.
(x – y – 2) dx + (x – 2y – 3) dy = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-x+y+2}{x-2 y-3}\)
x = X  + h, y = Y + k అనుకుంటే


(x² – 2y² – 2x – 4y – 1) = c\(\left(\frac{x-y \sqrt{2}-1-\sqrt{2}}{x+y \sqrt{2}-1+\sqrt{2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) కావలసిన సాధన.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 6 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P (2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (2, 3) ⇒ x₁ = 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ధృవ రేఖ x . 2 + y . 3 + 3(x + 2) + 4(y + 3) – 96 = 0
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 – 96 = 0
5x + 7y – 78 = 0

ప్రశ్న 2.
(x – 3)² + (y – 4)² = 82 ప్రతీ వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన:
కేంద్రం (3, 4), r = 8
పరామితీయ సమీకరణాలు
x = 3 + 8 cos θ, y = 4 + 8 sin θ, 0 ≤ θ < 2π

ప్రశ్న 3.
(x – a)² + (y – b)² = c², (x – b)² + (y – a)² = c² (a ≠ b) వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము (x² + y² – 2xa – 2yb – c²)
-(x² + y² – 2xb – 2ya – c²) = 0
-2x (a – b) -2y(b – a) = 0 లేదా x – y = 0

ప్రశ్న 4.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుందని చూపి స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల 2x – y + 2 = 0 ⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా
4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు : (\(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{2^2}\), \(\frac{2(4)}{2}\)) = (1, 4)

ప్రశ్న 5.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 30° గా గల అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 2θ = 30°
θ = 15°
tan θ = tan 15° = \(\frac{b}{a}\)
e² = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = 1 + tan² 15°
= sec² 15° = (\(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\))²
= \(\frac{8}{4+2 \sqrt{3}}\) × \(\frac{4-2 \sqrt{3}}{\overline{4}-2 \sqrt{3}}\)
= \(\frac{8(4-2 \sqrt{3})}{4}\)
= 8 – 4√3 = (√6 – √2)²
ఉత్కేంద్రత = e = √6 – √2

ప్రశ్న 6.
I = (-1, 1) మీద \(\int \frac{\left(\sin ^{-1} x\right)^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
f : I – R ను f(x) = sin^-1x అని నిర్వచిద్దాం.

ప్రశ్న 7.
I = (0, ∞) మీద \(\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
J = I = (0, ∞) అనుకుందాం
f : I → R ను f(t) = e^t, g : J → R ను
g(x) = x + \(\frac{1}{x}\) అని నిర్వచిద్దాం
అప్పుడు g(J) ⊂ I, g’ (x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\)
సిద్ధాంతం నుంచి

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1 (1) – Tan^-1 (0)] = \(\frac{1}{a}\)(\(\frac{\pi}{4}\) – 0) = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
y – 2 – x²; y = x² వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:

y = 2 – x² ______ (1)
y = x² ______ (2)
x² = – (y – 2)
(2) నుండి
2 – x² = x²
2 = 2x² లేదా x² = 1
x = ±1
రెండు వక్రాల మధ్య వైశాల్యము

ప్రశ్న 10.
మూలబిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తాల కుటుంబపు అవకలన సమీకరణం పరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన:
మూల బిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తం x² + y² = r²
పరిమాణం = యాదృచ్ఛిక స్థిరాంకాల సంఖ్య = 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు అయిన P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు, వీటి స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{r\left(S_{11}\right)^{3 / 2}}{S_{11}+r^2}\) (r వృత్త వ్యాసార్థం) అని చూపండి.
సాధన:
S = 0 కు P నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA, PB.
AB స్పర్శ జ్యా

B వద్ద స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 0
tan = \(\frac{0}{2}\) = \(\frac{r}{\sqrt{S_{11}}}\)

ప్రశ్న 12.
x² + y² + 2gx + 2fy = 0, x² + y² + 2g’x + 2f’y = 0వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొంటే fg = fg’ అని చూపండి.
సాధన:
C₁ = (-g, -f) C₂ = (-g’, -f’)
r₁ = \(\sqrt{g^2+f^2}\) r₂ = \(\sqrt{\mathrm{g}^{\prime^2}+\mathrm{f}^{\prime^2}}\)
C₁ C₂ = r₁ + r₂
(C₁ C₂)² = (r₁ + r₂)²
(g’ – g)² + (f’ – f)² = g² + f² + g’² + f’² + 2 \(\sqrt{g^2+f^2} \sqrt{g^{\prime 2}+f^{\prime 2}}\) -2(gg’ + ff’) = 2{g²g’² + f²f’² + g²f’² + f²g’²}^1/2
మరల వర్గీకరించగా
(gg’ + ff’)² = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f²
g²g’² + f²f’² + 2gg’ff’ = g²g’² + ƒ²f’² + g²f’² + g’²f’²
2gg’ff’ = g²f’² + f²g’² ⇒ g²f’² + g’²f² – 2gg’ff’ = 0
లేదా (gf’ – fg’)² = 0 లేదా gf’ = fg’

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం x² + 3y² = 37 పై ఏ బిందువుల వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖలు 6x – 5y = 2 కు సమాంతరంగా ఉంటాయో ఆబిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x² + 3y² = 37
⇒ \(\frac{x^2}{37}\) + \(\frac{y^2}{\left(\frac{37}{3}\right)}\) = 1, a² = 37, b² = \(\frac{37}{3}\)
అభిలంబ రేఖ వాలు = \(\frac{\mathrm{a} \sin \theta}{\mathrm{b} \cos \theta}\) = \(\frac{\sqrt{37} \cdot \sin \theta}{\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \cdot \cos \theta}\) = √3 tan θ
అభిలంబ రేఖ 6x – 5y = 2 కు సమాంతరము
∴ √3 tan θ = \(\frac{6}{5}\)
tan θ = \(\frac{6}{5 \sqrt{3}}\) = \(\frac{2 \sqrt{3}}{5}\)

సందర్భం (i) : P నిరూపకాలు, θ మొదటి పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)

సందర్భం (ii) : P నిరూపకాలు, θ మూడవ పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 కి సరళరేఖ y = mx + c స్పర్శరేఖ కావడానికి
నియమం c² = a²m² + b² అని చూపండి.
సాధన:
దత్త దీర్ఘవృత్తాన్ని y = mx + c ఖండించే బిందువుల ‘x’ నిరూపకాలు
(a²m² + b²) x² + 2a²c mx + a²(c² – b²) = 0 _____ (1)
యొక్క మూలాలు సరళరేఖ, దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావాలంటే, ఖండన బిందువులు రెండూ ఏకీభవించాలి.
అంటే (1)వ సమీకరణం మూలాలు సమానం కావాలి.
⇔ సమీకరణం (1) విచక్షిణి సున్న కావాలి.
⇔ 4a⁴c²m² – 4(a²m² + b²)a²(c² – b²) = 0
⇔ c² = a²m² + b² ⇔ c = ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)

ప్రశ్న 15.
అతిపరావలయంపై ఏదైనా బిందువు నాభి దూరాల భేదం స్థిరం అని చూపండి.
సాధన:
ఉపపత్తి : మూలబిందువు కేంద్రం గాను, నాభులు S, S’ లు గాను, నియత రేఖలు \(\overleftrightarrow{\mathrm{ZM}}\), \(\overleftrightarrow{Z^{\prime} M^{\prime}}\) లు గాను గల అతిపరావలయంపై P(x, y) ఏదైనా బిందువు అనుకొందాం.

P నుంచి X – అక్షం, నియత రేఖలపైకి గీసిన లంబాలు వరుసగా PN, PM, PM’ లు అనుకొందాం.
అప్పుడు SP = e(PM) = e(NZ) = e(CN – CZ)
∴ SP e(x – \(\frac{a}{e}\)) = ex – a
S’P = e(PM’) = e(NZ’) = e(CN + CZ’) = e(x + \(\frac{a}{e}\)) = ex + a.
∴ S, P – SP = 2a
పై సిద్ధాంతం దృష్ట్యా, కొన్నిసార్లు అతిపరావలయాన్ని ‘రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి దూరాల భేదం స్థిరంగా ఉండే బిందువు పథంగా’ కూడా నిర్వచిస్తాం.

ప్రశ్న 16.
y = x² – 5x, y = 4 – 2x లతో ఆవృతమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y = x² – 5x ______ (1)
y = 4 – 2x ______ (2)
x² – 5x = 4 – 2x
x² – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(x+y)^2}{2 x^2}\) సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(x+y)^2}{2 x^2}\)
y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x. \(\frac{d v}{d x}\)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం మీద ఏదైనా బిందువు నుంచి x² + y² + 2gx + 2fy + c sin² α + (g² + f²) cos²α = 0(0 < α < π/2) వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీసినట్లైతే ఆ స్పర్శరేఖా యుగ్మ రేఖల మధ్యకోణం
2α అని చూపండి.
సాధన:
[\(x_1^2\) + \(y_1^2\) + 2gx₁ + 2fy₁, + c sin² α + (g² + f²) cos² α ] (s)
= (xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c sin² α + (g² + f²) cos² α)² [(- c + c sin² α) + (g² + f²) cos² α ]S
= (x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin²α + (g² + f²) cos² a)² [cos² α (g² + f² – c)] S
= [x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin² α + (g² + f²) cos² α)₁
g² + f² – c = r²
[(cos² α)r²] S = [x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c + (cos² α).r²)²
x² యొక్క గుణకము r² cos² α – (x₁ + g)²
y² యొక్క గుణకము r² cos² α – (y₁ + f)²
xy యొక్క గుణకము
h. cos²a r² – 2 (x₁ + g) (y₁ + f)

cos θ = cos 2α
θ = 2α కనుక ఫలితము నిరూపంచబడింది.

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 6y = 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శబిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x-6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
C₁(2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₁ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\) = \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
-10x – 24y – 38 = 0, 5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ నీ 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\)) – 2 (x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 20.
వృత్తాం x² + y² = 2a², పరావలయం y² = 8ax లకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y = ±(x + 2a) అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y² = 8ax,
y = mx + \(\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{m}}\)
m²x – my + 2a = 0 _____ (1)
(1) రేఖ x² + y² = 2a², వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది.
(0, 0) (1) కేంద్రం నుండి లంబదూరము a√2 వ్యాసార్థము.
\(\left|\frac{2 a}{\sqrt{m^2+m^4}}\right|\) = a√2 లేదా 4 = 2 (m⁴ + m²)
m⁴ + m² – 2 = 0
(m² + 2) (m² – 1) = 0 లేదా m = ±1
కావలసిన స్పర్శరేఖలు
y = (1) x + \(\frac{2 \mathrm{a}}{(1)}\), y = (-1) x + \(\frac{2 \mathrm{a}}{(-1)}\) ⇒ y = ±(x + 2a)

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{d x}{x^3+1}\) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{1}{x^3+1}\) = \(\frac{1}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(\frac{1}{x^3+1}\) = \(\frac{A}{x+1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2-x+1}\) అనుకోండి
⇒ 1 = A(x² – x + 1) + (Bx + C) (x + 1) ______ (1)
(1) లో x = -1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A (1 + 1 + 1) + (-B + C) (0)
⇒ 3A = 1 ⇒ A = \(\frac{1}{3}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A (1) + C (1)
⇒ C = 1 – A = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
x² గుణకాలు సమానం చేయగా

ప్రశ్న 22.
\(\int \sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\) dx X ∈ (2, 5) ను గణించండి.
సాధన:

5 – x = A. \(\frac{d}{d x}\)(7x – 10 – x²) + B
⇒ 5 – x = A(7 – 2x) + B
సజాతీయ పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
-2A = -1 ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
7A + B = 5
7 (+\(\frac{1}{2}\)) + B = 5 ⇒ B = 5 – \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
∴ 5 – x = \(\frac{1}{2}\)(7 – 2x) + \(\frac{3}{2}\)
అయిన \(\frac{5-x}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\frac{(7-2 x)}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) + \(\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) \(\int \frac{5-x}{\sqrt{7 x-10-x^2}} d x\)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x+\cos x}\) dx = \(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\) log(√2 + 1) అని చూపండి.
సాధన:


= \(\frac{\pi}{4 \sqrt{2}}\) 2log(√2 + 1)
= \(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\) log(√2 + 1)

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0 ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0
x = X + h, y = Y + k
⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) + \(\frac{10(X+h)+8(Y+k)-12}{7(X+h)+5(Y+k)-9}\) = 0
\(\frac{d Y}{d X}\) + \(\frac{(10 X+8 Y)+(10 h+8 k-12)}{(7 X+5 Y)+(7 h+5 k-9)}\)
h, k విలువలను 10h + 8k – 12 = 0
7h + 5k – 9 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


5V + 7 = A(V + 2) + B (V + 1)
V = -1 ⇒ 2 A(-1 + 2) = A ⇒ A = 2
V = -2 ⇒ -3 = B(-2 + 1) = -B, B = 3
\(\int\left(\frac{2}{(V+1)}+\frac{3}{(V+2)}\right) d V\) = \(-5 \int \frac{d X}{x}\)
2 log (V + 1) + 3 log (V + 2) = – 5 log X + c
c = 2 log (V + 1) + 3 log (V + 2) + 5 log X
= log (V + 1)². (V + 2)³. X⁵
log (\(\frac{Y}{X}\) + 1)² . (\(\frac{Y}{X}\) + 2)³ . X⁵
= log \(\frac{(Y+X)^2}{X^2}\)\(\frac{(Y+2 X)^3}{x^3}\) . X⁵
⇒ (Y + X)². (Y + 2X)³ = e^c = c^|
(Y + 1 – X – 2)² (Y + 1 – 2x – 4)³ = c
సాధన (x + y – 1)² (2x + y – 3)³ = c.

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 5 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 5 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(2, 3) బిందువు ద్వారా పోతూ x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0 వృత్తంలో ఏక కేంద్రంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

కావలసిన వృత్తం దత్త వృత్తానికి ఏక కేంద్రము
x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y + c’ = 0
P(2, 3) గుండా వృత్తం పోతుంది.
∴ 4 + 9 + 16 + 36 + c = 0
c’ = – 65
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² + 8x + 12y – 65 = 0

ప్రశ్న 2.
క్రింద వృత్తాలకు ఎన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చో తెలపండి.
x² + y² + 6x + 6y + 14 = 0, x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
సాధన:
C₁ (-3, – 3) C₂ = (1, 2)
r₁ = \(\sqrt{9+9-14}\) = 2,

r₂ = \(\sqrt{1+4+4}\) = 0
C₁, C₂ = \(\sqrt{(-3-1)^2+(-3-2)^2}\)
= \(\sqrt{16+25}\) = \(\sqrt{41}\) > r₁ + r₂
ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 4.

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 4x – 14y + 28 = 0, x² + y² + 4x – 5 = 0 వృత్తాల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² + 4x – 14y + 28 = 0, x² + y² + 4x -5 = 0
కేంద్రాలు C₁ (-2, 7), C₂ (2, 0)
C₁C₂ = \(\sqrt{(-2+2)^2+(7-0)^2}\) = \(\sqrt{0+49}\) = 7
r₁ = = \(\sqrt{4+49-28}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
r₁ = \(\sqrt{4+5}\)[/latex] = √9 = 3
దత్త వృత్తాల మధ్య కోణము θ అయితే
cos θ = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
cos θ = \(\frac{49-25-9}{2(5)(3)}\) = \(\frac{15}{2.5.3}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos 60°
దత్త వృత్తాల మధ్య కోణము θ = \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
4x² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² + 12x = 20y – 67
x² + 3x = 5y – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{9}{4}\) కలుపగా
x² + 3x + \(\frac{9}{4}\) = 5y – \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{9}{4}\)
(x + \(\frac{3}{2}\))² = 5y – \(\frac{58}{4}\) = 5y – \(\frac{29}{2}\)
[x – (\(\frac{-3}{2}\))]² = 5[y – \(\frac{29}{10}\)]
(x – h)² = 4a(y – k) తో పోల్చగా
(h, k) (\(\frac{-3}{2}\), \(\frac{29}{10}\)) ; a = \(\frac{5}{4}\)
అక్ష సమీకరణము x – h = 0, ie., x + \(\frac{3}{2}\) = 0, 2x + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము, y – k + a = 0
y – \(\frac{29}{10}\) + \(\frac{5}{4}\) = 0 ⇒ 20y – 33 = 0.

ప్రశ్న 5.
3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12 సరళరేఖలు అతిపరావలయం S = 0 పై ఖండించుకొంటే S = 0 ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12
ఖండన బిందువు P(4, 0)
P అతిపరావలయం = \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 మీద బిందువు
\(\frac{16}{a^2}\) = 1 ⇒ a² = 16
ఉత్కేంద్రత కనుగొనడానికి దత్తాంశం సరిపోదు.

ప్రశ్న 6.
x ∈ R కు \(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right) d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫e^x (1 + x²) dx ను గణించండి.
సాధన:
∫ e^x(1 + x²) dx = ∫ e^x dx + ∫ x². e^x dx
= e^x+ (x². e^x – 2 ∫ x. e^x dx)
= e^x + x². e^x – 2 (x. e^x – ∫ e^x dx)
= e^x + x². e^x – 2x. e^x + 2e^x + C
= e^x (x² – 2x + 3) + C

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^n x d x\) = \(\int_0^{\pi / 2} \cos ^n x d x\) అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sinⁿx.

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{1 / 2} \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
అవకలన సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = – p²y పరిమాణం తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) లో బహుపది 1లో తరగతి \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) గరిష్ట పరిమాణము 2.

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(4, 1) (6, 5) బిందువుల గుండా పోతూ 4x + y – 16 = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
ఈ వృత్తం A(4, 1) గుండా పోతుంది.
16 + 1 + 8g + 2f + c = 0
8g + 2f + c = -17 _____ (1)
వృత్తం B(6, 5) గుండా పోతుంది.
36 + 25 + 12g + 10f + c = 0
12g + 10f + c = -61 ______ (2)
కేంద్రం (-g, -f), 4x + y – 16 = 0 రేఖమీద ఉంది
– 4g – f – 16 = 0
4g + f + 16 = 0 _______ (3)

f = \(\frac{-28}{7}\) = -4
(3) నుండి 4g – 4 = -16
4g = -12 ⇒ g = -3
(1) నుండి 8(-3) + 2(−4) + c = -17
c = 17 + 24 + 8 = 15
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) + \(\frac{1}{c^2}\) అయితే x² + y² + 2ax + c = 0, x² + y² + 2by + c = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (-a, 0) మరియు C₂ (0, -b)
1వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{a^2-c}\) = r₁
2వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{b^2-c}\) = r₂
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(a² + b²) = a² – c + b² – c + 2 \(\sqrt{a^2-c}\)\(\sqrt{b^2-c}\)
c = \(\sqrt{a^2-c}\) . \(\sqrt{b^2-c}\)
c² = (a² – c) (b² – c)
c² = -c (a² + b²) + a²b² + c²
లేదా c(a² + b²) = a²b² లేదా \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\)

ప్రశ్న 13.
4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0 ను దీర్ఘవృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
4(x² – 2x) + (y² + 2y) 1
4(x – 1)2 + (y + 1)2 = 4 + 1 – 1 = 4
\(\frac{(x-1)^2}{1}\) + \(\frac{(y+1)^2}{1}\) = 1
a < b కనుక ⇒ Y – అక్షం దీర్ఘాక్షము
a = 1, b = 2
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2b = 4
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2a = 2
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 a^2}{b}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}\) = \(\sqrt{\frac{4-1}{4}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
కేంద్రం C (-1, 1)
be = 2.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = √3
నాభులు (−1, 1 ± √3)
నియత రేఖల సమీకరణాలు y + 1 = ± \(\frac{b}{e}\) = ±\(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
√3y + √3 = ±4
√3y + √3 ± 4 = 0

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే జ్యా సమీకరణం \(\frac{x}{a}\) cos(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) + \(\frac{y}{b}\)sin(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) = cos(\(\frac{\alpha-\beta}{2}\))
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α’, b sin α’) మరియు Q(a cos β, b sin β).

జ్యా PQ సమీకరణము

ప్రశ్న 15.
ఒక అతిపరావలయం, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు వరుసగా e, e¹ అయితే \(\frac{1}{e^2}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 అని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
∴ b² = a²(e² – 1) ⇒ e² – 1 = \(\frac{b^2}{a^2}\)
e² = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\)
∴ \(\frac{1}{e^2}\) = \(\frac{a^2}{a^2+b^2}\) ______ (1)
సంయుగ్మ అతిపరావలయ సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = -1

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\)(x²y² + xy) = 1 ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = xy + x²y²
ఇది బెర్నొలీ సమీకరణము
x^-2.\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{1}{x}\) .y = y³

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా kx + 3y – 1 = 0, 2x + y + 5 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే, విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దృవము (x₁, y₁) దృవరేఖ సమీకరణము
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 2(y + y₁) – 4 = 0
x(x₁ – 1) + y(y₁ – 2) – x₁ – 2y₁ – 4 = 0 ____ (i)
2x + y + 5 = 0 (i) తో పోల్చగా
\(\frac{x_1-1}{2}\) = \(\frac{y_1-1}{1}\) = –\(\frac{x_1-2 y_1-4}{5}\)
\(\frac{x_1-1}{2}\) = \(\frac{2\left(y_1-2\right)}{2}\) = –\(\frac{-x-2 y_1-4}{5}\)
= \(\frac{x_1-1+2 y_1-4-x_1-2 y_1-4}{2+2+5}\) = \(\frac{-9}{9}\) = -1
x₁ = -1, y₁ = 1 దృవము (-1, 1)
kx + 3y – 1 = 0 దృవరేఖ అయితే (−1, 1) ను తృప్తిపరచవలెను.
k(-1) + 3(1) – 1 = 0
-k + 2 = 0
k = 2

ప్రశ్న 19.
S = x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూలబిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూలబిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\), QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
yy₁ – \(y_1^2\) = -xx₁ + \(x_1^2\), xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 _____ (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ________ (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా 0Q, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x² + y² + (2gx + 2fy) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{\left(x x_1+y y_1\right)^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) = 1
x²[1 + \(\frac{2 g \mathrm{x}_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c x_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) ]

2(\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) + 2gx₁ + 2fy₁ + c = 0
L (x₁, y₁) బిందు పథం
2(x² + y²) + 2gx + 2fy + c = 0

ప్రశ్న 20.
ప్రామాణిక రూపంలో పరావలయ సమీకరణంను వ్రాయండి.
సాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై S లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ YAY’ \(\overleftrightarrow{\mathrm{ZXZ}}\)‘ ను X-అక్షంగాను, \(\overleftrightarrow{Y Y}\) ను Yఅక్షంగాను తీసుకొంటదాం. అప్పుడు A(0,0) మూలబిందువు. S = (a, 0), (a > 0) అనుకొం. Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం X + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ l కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}[latex] = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
(x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = [latex]\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = │x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y = 4ax.

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) = \(\int \frac{-t d t}{t^2+3 t+2}\)
= \(-\int \frac{t}{t^2+3 t+2} d t\) ______ (1)
\(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{t}{(t+1)(t+2)}\) అనుకోండి
= \(\frac{A}{t+1}\) + \(\frac{B}{t+2}\)
⇒ t = A(t + 2) + B(t + 1) _____ (2)
(2)లో t = -1 ప్రతిక్షేపించగా
– 1 = A(-1 + 2) ⇒ A = -1
(2)లో t = -2 ప్రతిక్షేపించగా
-2 = B(-2 + 1) ⇒ B = 2
∴ \(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{-1}{t+1}\) + \(\frac{2}{t+2}\) ____ (3)
∴ (1) & (3) ల నుండి
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx = \(\left[\int \frac{-1}{t+1} d t+2 \int \frac{1}{t+2} d t\right]\)
= \(\int \frac{1}{t+1} d t-2 \int \frac{1}{t+2} d t\)
= log |t + 1| – 2 log |t + 2| + C
= log |1 + cos x) – 2 log |2 + cos x| + C
= log |1 + cos x | – log (2 + cos x)² + C
= log|\(\frac{1+\cos x}{(2+\cos x)^2}\)| + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2} d x\) ను కనుక్కోండి
సాధన:
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E)x
X సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

(c = c₁ + c₂)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi x \sin ^7 x \cdot \cos ^6 x d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
x sec (\(\frac{y}{x}\)).(y dx + x dy) = y cosec (\(\frac{y}{x}\)) (x dy – y dx) ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాన్ని

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 4 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
P (4, 10) నుంచి x² + y² = 25 వృత్తానికి గల స్పర్శరేఖ యుగ్మ సమీకరణాన్ని
కనుక్కోండి.
సాధన:
SS₁₁ = \(S_1^2\)
(x² + y² – 25) (16 + 100 – 25) = (4x + 10y – 25)²
91x² + 91y² – 2275
= [16x² + 100y² + 625 + 80 xy – 200x – 500y]
75x² – 9y² – 80 xy + 500y + 200 x – 2900 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² = 17 వృత్తం దృష్ట్యా (4, k), (2, 3) లు సంయుగ్మ బిందువులు అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (4, k), (x₂, y₂) = (2, 3) మరియు 1S ≡ x² + y² – 17 = 0
దత్త బిందువుల సంయుగ్మాలు S₁₂ = 0
x₁ x₂ + y₁ y₂ – 17 = 0
4.2 + k. 3 – 17 = 0
3k = 17 – 8 = 9
k = \(\frac{9}{3}\) = 3

ప్రశ్న 3.
కింది వృత్తాలతో ఏర్పడిన మూలకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
x² + y² – 2x + 6y = 0 ______ (1)
x² + y² – 4x – 2y + 6 = 0 ______ (2)
x² + y² – 12x + 2y + 3 = 0 ______ (3)
సాధన:
(1), (2), (3) వృత్తాల మూలాక్షాలు
x + 4y – 3 = 0 ______ (4)
8x – 4y + 3 = 0 ______ (5)
10x + 4y – 3 = 0 _____ (6)
(4), (5) లను సాధిస్తే ఖండన బిందువు [0, \(\frac{3}{4}\)] ఇది దత్త వృత్త మూలకేంద్రము

ప్రశ్న 4.
ధన X – అక్షంపై మూలబిందువు నుంచి శీర్షం, నాభులు వరుసగా (a, a’) దూరాలలో గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

A నిరూపకాలు (a, 0) మరియు S నిరూపకాలు (a’, 0)
AS = a’ – a
పరావలయ సమీకరణము y² = 4(a’ – a) (x – a).

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{9-c}\) + \(\frac{y^2}{5-c}\) = 1 అతిపరావలయం సమీకరణం 5 < c < 9 అయితే (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం) సాధన: దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}\) + \(\frac{y^2}{5-c}\) = 1 ఈ సమీకరణం అతిపరావలయాన్ని సూచిస్తే 9 – c > 0 మరియు 5 – c < 0 9 > c, 5 < c ie., 5 < c < 9

ప్రశ్న 6.
∫e^x (tan x + sec² x) dx.
x ∈ I ⊂ R\{(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\); n ∈ Z)}
సాధన:
f(x) = tanx
⇒ f'(x) = sec² x dx
1 = ∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
= e^x. tan x + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{x+2}\)
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) = \(\int \frac{d x}{x+1}\) – \(\int \frac{d x}{x+2}\)
= log |x + 1| – log |x + 2| + C
= log \(\frac{x+1}{x+2}\) + C

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^\pi \sqrt{2+2 \cos \theta}\) dθ ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int_0^\pi \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sqrt{\cos ^2 \frac{\theta}{2} d \theta}\)
= \(\int_0^\pi 2 \cdot \cos \theta / 2 d \theta\) = \([4 \sin \theta / 2]_0^\pi\)
= 4 (sin π/2 – sin 0) = 4

ప్రశ్న 9.
y = x² – 5x, y = 4 – 2x లతో ఆవృతమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y = x² – 5x ______ (1)
y = 4 – 2x ______ (2)
x² – 5x = 4 – 2x
x² – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0
x = – 1, 4

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y = \(\frac{e^x}{e^y}\) + \(\frac{x^2}{e^y}\)
∫e^y. dy = ∫(e^x + x²) dx

సాధన :
e^y = e^x + \(\frac{x^3}{3}\) + c

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
2x – 3y + 1 = 0 సరళ రేఖని (1, 1) వద్ద స్పృశించే \(\sqrt{13}\) యూనిట్ల వ్యాసార్ధంతో గల వృత్తాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

వృత్త కేంద్రాలు (1, 1) గుండా పోతూ 2x -3y + 1 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ మీద ఉంటాయి.
కేంద్రాలు కలిగిన రేఖ 3x + 2y + k = 0
ఈ రేఖ (1, 1) గుండా పోతుంది.
3 + 2 + k = 0 ⇒ k = -5
AB సమీకరణాలు 3x + 2y – 5 = 0
ఈ కేంద్రాలు (1, 1) నుంచి \(\sqrt{13}\) యూనిట్ల దూరంలో ఉంటూ 3x + 2y – 5 = 0 రేఖపై ఉంటాయి. కాబట్టి ఈ కేంద్రాలు
(1 + \(\sqrt{13}\)(-\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)) 1 + \(\sqrt{13}\).\(\frac{3}{\sqrt{13}}\) మరియు
(1 – \(\sqrt{13}\)(\(\frac{-2}{\sqrt{13}}\), 1 – \(\sqrt{13}\).\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
(i.e.,) (1 – 2, 1 + 3) మరియు (1 + 2, 1 – 3) (-1, 4) మరియు (3, – 2)

సందర్భం (i) :
కేంద్రం (−1, 4), r = \(\sqrt{13}\) వృత్త సమీకరణము
(x + 1)² + (y – 4)² = 13
x² + 2x + 1 + y² – 8y + 16 – 13 = 0
x² + y² + 2x – 8y + 4 = 0

సందర్భం (ii) :
కేంద్రం (3, -2), r = \(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x – 3)² + (y + 2) ² = 13
x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 – 13 = 0
x² + y² – 6x + 4y = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 8x – 2y + 16 = 0 ______ (1)
x² + y² – 4x – 4y – 1 = 0 ______ (2)
వృత్తాలను లంబ ఛేదనం చేస్తూ, (1, 1) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం ______ (3)
(3) వృత్తం (1), (2) వృత్తాలకు లంబంగా వుంది.
∴ లంబంగా ఖండించుకొనే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే
2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 ______ (4)
2g (-2) + 2f(-2) = c – 1 _______ (5)
వృత్తం (3), (1,1) ల గుండా పోతుంది
∴ 1² + 1² + 2g(1) + 2f(1) + c = 0
2g + 2f + c + 2 = 0 ________ (6)
(4), (5) మరియు (6) లను సాధించగా
g = – \(\frac{7}{3}\), f = \(\frac{23}{6}\) c = -5
కావలసిన వృత్త సమీకరణము 3(x² + y² ) – 14x + 23y – 15 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభుల మధ్య దూరం 8, నియత రేఖల మధ్యదూరం 32 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభుల మధ్యదూరము = 8
నియత రేఖల మధ్యదూరము = 32
2ae = 8
ae = 4
\(\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{e}}\) = 32
\(\frac{a}{e}\) = 16
(ae) (\(\frac{a}{e}\)) = 64
a² = 64
b² = a² – a²e² = 64 – 16 = 48
దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము : \(\frac{x^2}{64}\) + \(\frac{y^2}{48}\) = 1

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తపు ఏదైనా స్పర్శరేఖ పైకి నాభుల నుంచి గీసిన లంబపాదాల బిందు పథం అనుబంధ (సహాయక) వృత్తం అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
దీర్ఘవృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
⇒ y – mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\) _______ (1)
(± ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీద గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = – \(\frac{1}{m}\)(x ± ae)
my = – (x ± ae)
my + x = ± ae _______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కలుపగా
(y – mx)² + (my + x)² = a²m² + b² + a²e²
y² + m²x² – 2mxy + m²y² + x² + 2mxy
= a²m² + a² – a²e² + a²e²
(x² + y²) (1 + m²) = a²(1 + m²) ⇒ x² + y² = a²
బిందుపథము సహాయక వృత్తం.
ఇది దీర్ఘవృత్తానికి ఏక కేంద్రీయము.

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత 2, నాభులు (4,2), (8, 2) గా గల అతిపరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు (4, 2), (8, 2),
కేంద్రం C నాభుల మధ్య బిందువు
∴ కేంద్రం (\(\frac{4 + 8}{2}\) + \(\frac{2 + 2}{2}\)) = (6, 2)
ae = 6 – 4 = 2
e = 2 ⇒ a = \(\frac{a e}{e}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
b² = a² (e² – 1) = 1(4 – 1) = 3.
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{(x-h)^2}{a^2}\) – \(\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{(x-6)^2}{1}\) – \(\frac{(y-2)^2}{3}\) = 1
3తో గుణించగా, 3(x – 6)² – (y – 2)² = 3
⇒ 3(x² – 12x + 36) – (y² – 4y + 4) = 3
⇒ 3x² – 36x + 108 – y² + 4y – 4 – 3 = 0
3x² – y² – 36x + 4y + 101 = 0

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{2 \pi}(1+\cos x)^5(1-\cos x)^3\) dx సమాకలనులను సాధించండి.
సాధన:

ఎగువ హద్దు : ⇒ cos 2π = t ⇒ 1 = t
దిగువ హద్దు : ⇒ cos 0 = t ⇒ 1 = t
= \(\int_1^1(1+t)^2 \cdot d t\)
= \(\left(\frac{(1+t)^3}{3}\right)_1^1\) = \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 0

ప్రశ్న 17.
వాలు \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – cos²\(\frac{y}{x}\), (x > 0, y > 0) అవుతూ (1, \(\frac{\pi}{4}\)) బిందువు
గుండా పోయే వక్రం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – cos²\(\frac{y}{x}\)
ప్రతిక్షేపించగా y = vx
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x.\(\frac{d v}{d x}\)
v + x. \(\frac{d v}{d x}\) = v – cos² vi
\(\int \frac{d v}{\cos ^2 v}\) = \(-\int \frac{d x}{x}\)
\(\int \sec ^2 v\) = \(-\int \frac{d x}{x}\)
tan v = -log |x| + c
వక్రం (1, \(\frac{\pi}{4}\)) నుంచి పోతాయి.
tan (\(\frac{\pi}{4}\)) = c – log ⇒ c = 1
∴ వక్రం సమీకరణం tan v = 1 – log |x|
tan (\(\frac{y}{x}\)) = 1 – log |x|

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
5x – 3y + 4 = 0; 2x + 3y – 5 = 0; x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజాల పరివృత్త సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB : 5x – 3y + 4 = 0; AC : 2x + 3y – 5 = 0; BC: x + y = 0
A : (\(\frac{1}{7}\), \(\frac{11}{7}\)) B : (-\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) C : (-5, 5)
AB : 5x – 3y + 4 = 0, BC : x + y = 0
వృత్త సమీకరణము x² + ² + 2gx + 2fy + c = 0
A, B, C లు వృత్తం మీది బిందువులు
\(\frac{1}{49}\) + \(\frac{121}{49}\) + \(\frac{2}{7}\)g + \(\frac{22}{7}\) f + c = 0 _____ (i)
25 + 25 – 10g + 10f + c = 0 ______ (ii)
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) – g + f + c = 0 _____ (iii)
(లేదా)
1 – 2g + 2f + 2c = 0,
(ii) – (iii) చేయగా (50 – \(\frac{1}{2}\)) – 9g + 9f = 0
\(\frac{11}{2}\) – g + f = 0 _____ (iv)

(iii) – (i) చేయగా (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{122}{49}\)) – g – \(\frac{2}{7}\) g + f – \(\frac{22}{7}\) f = 0
\(\frac{-195}{2 \times 49}\) – \(\frac{9}{7}\)g – \(\frac{15}{7}\)f = 0
\(\frac{65}{2 \times 49}\) – \(\frac{3}{7}\)g – \(\frac{5}{7}\)f = 0 ______ (v)
(iv), (v) లు సాధించగా g = \(\frac{40}{14}\); f = \(\frac{-37}{14}\); c = \(\frac{70}{14}\)
x² + y² + \(\frac{80}{14}\)x – \(\frac{74}{14}\)y + \(\frac{70}{14}\) = 0
వృత్త సమీకరణము 7(x² + y²) + 40 x – 37y + 35 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0
మరియు x² + y² = 1
కేంద్రాలు A(1, 3), B(0,0),
r₁ = \(\sqrt{1+9-6}\) = 2; r₂ = 1
బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు (y – 1) (4y + 3x – 5) = 0
(\(\frac{2.0-1.1}{2-1}\), \(\frac{2 \cdot 0-1 \cdot 3}{2-1}\)) = (-1, -3)
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
(x² + y² – 1) (1 + 9 – 1) = (x + 3y + 1)²
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(y – 1) (4y + 3x – 5) = 0
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు y – 1 = 0 మరియు 3x + 4y – 5 = 0
అంతర్ స్వరూప కేంద్రం S’, AB ని అంతరంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{2.0+1.1}{2+1}\), \(\frac{2.0+1.3}{2+1}\)) = (\(\frac{1}{3}\), 1)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము (\(\frac{x}{3}\) + y – 1)²
= (\(\frac{1}{9}\) + 1 – 1 (x² + y² – 1)
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(x + 1)(4x – 3y – 5) = 0
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు : x + 1 = 0
మరియు 4x – 3y – 5 = 0

ప్రశ్న 20.
రెండు పరావలయాలు ఒకే శీర్షం, సమాన నాభి లంబం పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అక్షాలు లంబంగా ఉన్నాయి. అప్పుడు వాటి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ, పరావలయ నాభి లంబాగ్రాల వద్ద స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయాల సమీకరణాలు y² = 4ax
x² = 4ay గా తీసుకుందాం.
x² = 4ay కు (2at, at²) వద్ద స్పర్శరేఖ
2atx = 2a(y + at²)
y = tx – at²
ఇది y² = 4ax కు స్పర్శరేఖ
∴ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) – at² = \(\frac{a}{t}\)
t³ = -1 ⇒ t = -1
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = – x – a
x + y + a = 0
L’ (a, – 2a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y (-2a) = = 2a (x + a)
x + y + a = 0
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ y² = 4ax పరావలయాన్ని L (a, -2a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.
L (-2a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము x² = 4ay
x(-2a) = 2a (y + a) ⇒ x + y + a = 0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు పరావలయాన్ని L’ (-2a, a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.

ప్రశ్న 21.
\(\int \sin ^n x d x\) కు లఘూకరణ సూత్రం, పూర్ణాంకం n ≥ 2.
సాధన:

= -sin^-1 x cos x + (n – 1) I_{n – 2} – (n – 1)I_n
కనక I_n = \(\frac{-\sin ^{n-1} x \cos x}{n}\) + \(\frac{(n-1)}{n}\)I_{n – 2}
ఇది ∫sinⁿ x dx కు లఘాకరణ సూత్రం.
n సరిసంఖ్య అయితే, పారంపరిక లఘూకరణలో చివరికి
I₀ = ∫(sin x)⁰ dx = x + c₁
n బేసి సంఖ్య అయితే, పారంపరిక లఘూకరణలో చివరికి
I₁ = ∫(sin x)¹ dx = -cosx + c₂

ప్రశ్న 22.
S\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_3^7 \sqrt{\frac{7-x}{x-3}}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
dx = (7 – 3) sin2θ dθ
dx = 4sin2θ dθ
ఎగువ హద్దు :
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
7 = 3 cos²θ + 7 sin²θ
4 cos²θ = 0, cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు :
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
3 = 3 sin²θ + 7 sin²θ
4 sin²θ = 0
sinθ = 0 = θ = 0
7 – x = 7 – (3 cos²θ + 7 sin²θ) = (7 – 3) cos²θ = 4 cos²θ
x – 3 = 3 cos²θ + 7 sin²θ – 3 = (7 – 3) sin²θ = 4 sin²θ

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y^2-2 x y}{x^2-x y}\) ను సాధించండి.
dx
సాధన:
ఇది సమఘాతాల సమీకరణం y = vx ప్రతిక్షేపిస్తే

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 3 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0 ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తే a విలువను, వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్త సమీకరణాన్ని సూచిస్తే,
a = b, h = 0, g² + f² – c ≥ 0
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0
a = 2, అయితే పై సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² + y² – \(\frac{3}{2}\) x + y – \(\frac{1}{2}\) = 0
2g = –\(\frac{3}{2}\) ; 2f = 1; c = –\(\frac{1}{2}\)
c = (- g, – f) = (\(\frac{+3}{4}\), \(\frac{-1}{2}\))
వ్యాసార్ధం = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{21}}{4}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవు 1 అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{S_{11}}\) = \(\sqrt{(5)^2+(4)^2+8 k}\)
స్పర్శరేఖ పొడవు = 1 కనుక
∴ 1 = \(\sqrt{25+16+8 k}\)
వర్గీకరించగా 1 = 41 + 8k
k = – 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 2x – 4y – 1 = 0;
x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0. వృత్తాల మూలాక్షాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S – S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² – 2x – 4y – 1) – (x² + y² – 4x – 6y + 5) = 0
2x + 2y – 6 = 0 లేదా x + y – 3 = 0

ప్రశ్న 4.
y² – 7x – 8y + 14 = 0 పరావలయాన్ని, సరళరేఖ 7x + 6y = 13 స్పృశిస్తుందని చూపి, స్పర్శబిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 7x + 6y = 13, పరావలయం సమీకరణము
y² – 7x – 8y + 14 = 0.
x ను తొలగిస్తే పరావలయం, రేఖల ఖండన బిందువులు నిరూపకాలు వస్తాయి.
కూడగా y² – 2y + 1 = 0.
i.e., (y – 1)² = 0 + y = 1, 1.
∴ దత్తరేఖ పరావలయానికి స్పర్శరేఖ,
y = 1 అయితే x = 1 స్పర్శబిందువు (1, 1).

ప్రశ్న 5.
ఒక అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\) అయితే దాని సంయుగ్మ అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు e, e₁ అయితే
\(\frac{1}{\mathrm{e}^2}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
e = \(\frac{5}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
= \(\frac{16}{25}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
\(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 – \(\frac{16}{25}\) = \(\frac{9}{25}\)
\(e_1^2\) = \(\frac{25}{9}\) ⇒ e₁ = \(\frac{5}{3}\)

ప్రశ్న 6.
I = (0, 1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
I → R. ను f(x) = sin^-1x అని నిర్వచిద్దాం
అప్పుడు f'(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) dx = \(\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}\) dx = 2 \(\sqrt{f(x)}\) + C
= 2 \(\sqrt{\sin ^{-1} x}\) + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{1+\cos ^2 x}{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R\{nπ : n ∈ Z}. ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x d x\) = \(\frac{3}{4}\).\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{3 \pi}{16}\)

ప్రశ్న 9.
[0, 2π] అంతలో f(x) = cos x వక్రం క్రింది వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
cos x ≥ 0 లో (0, \(\frac{\pi}{2}\)) ∪ (\(\frac{3 \pi}{2}\), π) ≤ 0 లో (\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\))
cos x ≤ 0

= sin \(\frac{\pi}{2}\) – sin 0 – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) + sin \(\frac{\pi}{2}\) + sin 2π – sin \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1 – 0 – (-1) + 1 + 0 – (-1)
= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

ప్రశ్న 10.
యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్య అయితే y = c(x – c)² అనుగుణముగా ఉన్న అవకలన సమీకరణం పరిమాణము కనుక్కోండి.
సాధన:
y = c(x – c)² దత్త అవకలన సమీకరణము
\(\frac{d y}{d x}\) = 2c(x – c)
∴ అవకలన సమీకరణ తరగతి 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
P బిందువు నుంచి x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0, x² + y² – 2x – 8y + 1 = 0 వృత్తాలకు గీసిన స్పర్శ రేఖల పొడవుల నిష్పత్తి 2 : 1 అయ్యేటట్లు P చలిస్తుంటే, P బిందు పథ సమీకరణము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(x₁, y₁) బిందుపథము మీది బిందువులు \(\overline{\mathrm{PT}}_1\), \(\overline{\mathrm{PT}}_2\), నుండి
x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0,
x² + y² – 2x – 8y + 1 = 0 గీయబడిన స్పర్శరేఖలు
\(\frac{\overline{\mathrm{PT}_1}}{\overline{\mathrm{PT}_2}}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ PT₁² = 4. PT₂²
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ + 4y₁ – 20
= 4 (\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 8y₁ + 1)
= 4\(x_1^2\) + 4\(y_1^2\) – 8x₁ – 32y₁ + 4
3\(x_1^2\) + 3\(y_1^2\) – 6x₁ – 36y₁ + 24 = 0
⇒ \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 12y₁ + 8 = 0
P (x₁, y₁) బిందు పథము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
క్రింది వృత్తాలలోని ప్రతి వృత్తాన్ని లంబ ఛేదనం చేసే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
S’ ≡ x² + y² + 3x + 2y + 1 = 0
S” ≡ x² + y² – x + 6y + 5 = 0
S” ≡ x² + y² + 5x – 8y + 15 = 0
సాధన:
S’ ≡ x² + y² + 3x + 2y + 1 = 0
S” ≡ x² + y² – x + 6y + 5 = = 0
S”” ≡ x² + y² + 5x – 8y + 15 = 0
కావలసిన వృత్త కేంద్రం దత్త వృత్తాల మూలకేంద్రం. మూలకేంద్రం నుండీ ఈ వృత్తాలకు గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవు కావలసిన వృత్త వ్యాసార్థము
(1), (2) ల మూలాక్షం x – y = 1 ………. (4)
(2), (3) ల మూలాక్షము 3x – 7y = -5 ……… (5)
(4), (5) ల ఖండన బిందువు (3, 2). (1), (2) మరియు (3) వృత్తాల మూలకేంద్రం (3, 2) (3, 2) నుండి (1) వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
పొడవు = \(\sqrt{3^2+2^2+3(3)+2(2)+1}\) = 3√3
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x – 3)² + (y – 2)² = (3√3)²
x² + y² – 6x – 4y – 14 = 0

ప్రశ్న 13.
X, Y అక్షాలు వరుసగా దీర్ఘాక్షం 1 హ్రస్వాక్షంగా కలిగి, నాభి లంబం పొడవు 4, నాభుల మధ్య దూరం 4√2 గా గల దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b)
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a^2}\) = 4 ⇒ b² = 2a
నాభులు S(ae, 0), S’ (-ae, 0)
నాభుల మధ్య దూరము 2ae = 4√2
ae = 2√2
b² = a²(1 – e²) = a² – (ae)²
2a = a² – 8 ⇒ a² – 2a – 8 = 0
(a – 4) (a + 2) = 0
a = 4 లేదా – 2
a > 0 ⇒ a = 4
b² = 2a = 2.4 = 8
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{8}\) = 1
x² + 2y² = 16

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం 3x² + 13y² = 78 తో ఏక కేంద్రీయ వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 3x² + 13y² = 78
\(\frac{x^2}{26}\) + \(\frac{y^2}{6}\) = 1 _____ (1)
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం (0, 0)
∴ వృత్త సమీకరణము x² + y² = 16 ______ (2)
P(θ) వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖా సమీకరణము
x cos θ + y sin θ = 16 _______ (3)
y = \(\frac{-\cos \theta}{\sin \theta}\) . x + \(\frac{16}{\sin \theta}\)
(3) రేఖ దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ. ∴ c² = a²m² + b²
\(\frac{256}{\sin ^2 \theta}\) = 26. \(\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta}\) + 6
16 = 26 cos² θ + 6 sin² θ
= 26 cos² θ + 6(1 – cos² θ)
= 26 cos² θ + 6 – 6 cos² θ
20 cos² θ = 10
cos² θ = \(\frac{10}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 15.
2x² – 3y² = 6 అతిపరావలయానికి (-2, 1) గుండా పోయే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 2x² – 3y² = 6
\(\frac{x^2}{3}\) – \(\frac{y^2}{2}\) = 1
‘స్పర్శరేఖ వాలు ‘m’ అనుకొనుము. స్పర్శరేఖ P (-2,1) గుండా పోతుంది
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 1 = m(x + 2) = mx + 2m
y = mx + (2m + 1) _______ (1)
స్పర్శరేఖ నియమం c² = a²m² = b²
(2m + 1)² = 3m² – 2
4m² + 4m + 1 = 3m² – 2
m² + 4m + 3 = 0
(m + 1) (m + 3) =0
m = -1 (లేదా) – 3
సందర్భం : (i) : m = -1
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = -x -1
x + y + 1 = 0
Loxxjo: (ii): m = -3
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = -3x -5
3x + y + 5 = 0

ప్రశ్న 16.
\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\) కనుక్కోండి.
సాధన:

= 2 Ln 2 – 2 – (-1)
= Ln 4 – 1
కనుక Ln l = Ln 4 – 1
అంటే L = e^{Ln 4 – 1} = 4e^-1.

ప్రశ్న 17.
x(x – 1) \(\frac{d y}{d x}\) – (x – 2)y = x³(2x – 1) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{x-2}{x(x-1)}\) y = \(\frac{x^3(2 x-1)}{x(x-1)}\)
I.F. = \(e^{\int \frac{2-x}{x(x-1)}} d x\)
\(\frac{2-x}{x(x-1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x-1}\)
2 – x = A(x – 1) + B.x
x = 0 ⇒ 2 = -A ⇒ A = – 2
x = 1 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x + 4y – 14 = 0 రేఖ x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0 వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క ధృవరేఖ

xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) + \(\frac{3}{2}\) (y + y₁) – 5 = 0
2xx₁ + 2yy₁ – 2x – 2x₁ + 3y + 3y₁ – 10 = 0
2(x₁ – 1)x + (2y₁ + 3) y – (2x₁ – 3y₁ + 10) = 0 _____ (1)
QR సమీకరణము x + 4y – 14 = 0 _______ (2)
(1) మరియు (2) పోల్చగా

ప్రశ్న 19.
lx + my + n = 0 రేఖపై ఉన్న బిందువుల నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి
గీసిన స్పర్శజ్యాల మధ్య బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P = (x₁, y₁) బిందు పథము P మీది బిందువు
x² + y² = a²
జ్యా సమీకరణము
lx + my + n = 0 ______ (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
(x₁, y₁) మధ్య బిందువుగా గల జ్యా సమీకరణము
S₁ = S₁₁
xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
xx₁ + yy₁ – (\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) = 0
వృత్తం దృష్ట్యా (2) యొక్క ధృవము

lx + my + n = 0 రేఖ మీద P ఉంది.
l \(\frac{\left(a^2 x_1\right)}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{m\left(a^2 y_1\right)}{x_1^2+y_1^2}\) + n = 0
la²x₁ + ma²y₁ + n(\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) = 0
P(x₁, y₁) బిందు పథము
n (x² + y²) + a² (lx + my) = 0

ప్రశ్న 20.
y² = 4ax పరావలయ స్పర్శరేఖ పైకి నాభి నుంచి గీసిన లంబపాదాలు, శీర్షం వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
Q(x₁, y₁) లంబపాదం
∴ y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\) ______ (1)
SQ వాలు = \(\frac{y_1}{x_1-a}\)
SQ, PQ లు లంబంగా ఉన్నాయి.

∴ mx \(\frac{y_1}{x_1-a}\) = -1
m = \(\frac{-\left(x_1-a\right)}{y_1}\) = \(\frac{a-x_1}{y_1}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
y₁ = \(\frac{x_1\left(a-x_1\right)}{y_1}\) + \(\frac{a \cdot y_1}{a-x_1}\)
⇒ y₁ = \(\frac{x_1\left(a-x_1\right)^2+a y_1^2}{y_1\left(a-x_1\right)}\)
⇒ \(y_1^2\) (a – x₁) = x₁ (a – x₁)² + a\(y_1^2\)
⇒ a\(y_1^2\) – x₁\(y_1^2\) = x₁ (a² + \(x_1^2\) – 2ax₁) + a\(y_1^2\)
⇒ x₁ [\(x_1^2\) – 2ax₁ + a² + \(y_1^2\)] = 0
⇒ x₁ [(x₁ – a)² + \(y_1^2\)] = 0
⇒ x₁ = 0
Q (x₁, y₁) బిందుపథం x = 0. i.e., ఇది పరావలయానికి శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ.

ప్రశ్న 21.
\(\int(3 x-2) \sqrt{2 x^2-x+1} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
(3x – 2) = A(4x – 1) + B అనుకుందాము
x గుణకాలను సమానం చేయగా 3 = 4A
A = \(\frac{3}{4}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా – 2 = – A + B
B = – 2 + A = -2 + \(\frac{3}{4}\) = –\(\frac{5}{4}\)
3x – 2 = \(\frac{3}{4}\) (4x – 1) – \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న 22.
n ధనపూర్ణాంకం, పూర్ణాంకం m ≥ 2, I^m,n = ∫ sin^m x cosⁿ x dx అయితే
I^m,n = –\(\frac{\sin ^{m-1} x \cos ^{n i+1} x}{m+n}\) + \(\frac{m-1}{m+n}\) I^{m-2, n} అని చూపండి.
సాధన:
= ∫ sin^m (x). cosⁿ x dx
= ∫ sin^{m – 1} (x) (cosx)ⁿ. sin x dx
= ∫ sin^{m – 1} (x) (cosx)ⁿ. (-sin x) dx

ప్రశ్న 23.
y² = 12(x + 3), y² = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 12 (x + 3) _______ (1)
y² = 20 (5 – x) _______ (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16
x = 2
y² = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)
ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.
వైశాల్యము ABCB’

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\) ను సాధించండి.
సాధన:

(v + 1)³ తో గుణించగా
3 + v² = A(v + 1)² + B(v + 1) + C
v = -1 ⇒ 3 + 1 = C ⇒ C = 4
v² గుణకాలను సమానం చేయగా
A = 1
V గుణకాలను సమానం చేయగా
0 = 2A + B
B = -2A = -2
\(\frac{v^2+3}{(v+1)^3}\) = \(\frac{1}{v+1}\) – \(\frac{2}{(v+1)^2}\) + \(\frac{4}{(v+1)^3}\)
\(\int \frac{v^2+3}{(v+1)^3}\) = – \(\int \frac{d x}{x}\)