Class 6

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 11.2

1. కింది వ్యాసార్ధాలు గల వృత్తాల వృత్త పరిధులు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (A)
7 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ. (∵ π = [ltex]\frac {22}{7}[/latex])

ప్రశ్న (B)
3.5 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 3.5 సెం.మీ.
వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 = 22 సెం.మీ.

ప్రశ్న (C)
14 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ వృత్త పరిధి C = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 = 88 సెం.మీ.

2. వృత్త పరిధులు కింది విధంగా ఉన్నవి. ఆ వృత్త వ్యాసార్ధాలు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (A)
4.4 మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 4.4 మీ.
2πr = 4.4 మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 4.4
\(\frac {44}{7}\) r = 4.4
r = 4.4 × \(\frac {7}{44}\)
r = \(\frac{44}{10} \times \frac{7}{44}=\frac{7}{10}\) మీ. = \(\frac {7}{10}\) × 100 సెం.మీ. = 70 సెం.మీ. (1మీ. = 100 సెం.మీ.)

ప్రశ్న (B)
176 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 176 సెం.మీ.
2πr = 176 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 176
\(\frac {44}{7}\) × r = 176
r = 176 × \(\frac {7}{44}\) = 28 సెం.మీ.

ప్రశ్న (C)
1.54 సెం.మీ.
సాధన.
వృత్త పరిధి C = 1.54 సెం.మీ.
∴ 2πr = 1.54 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 1.54
\(\frac {44}{7}\) r = 1.54
⇒ r = 1.54 × \(\frac {7}{44}\)
⇒ r = \(\frac{154}{100} \times \frac{7}{44}=\frac{49}{200}\) సెం.మీ.
⇒ r = \(\frac {49}{200}\) × 10 మి.మీ. = \(\frac {49}{20}\) = 2.45 మి.మీ. (1 సెం.మీ. = 10 మి.మీ.)

ప్రశ్న 3.
ఒక స్వర్ణకారుని వద్ద 8.8 మీ. బంగారు తీగ ఉన్నది. దానితో 2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఉంగరాలు ఎన్ని చేయగలడు?
సాధన.
స్వర్ణకారుని వద్దగల బంగారు తీగ పొడవు = 8.8 మీ. = 880 సెం.మీ.
స్వర్ణకారుడు తయారు చేసే ఉంగరం వ్యాసార్ధం r = 2 సెం.మీ.
∴ ఉంగరం పరిధి (ఉంగరం తయారు చేయుటకు కావలసిన తీగపొడవు) = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2 = \(\frac {88}{7}\) సెం.మీ.
కావున 8.8 మీ. = 880 సెం.మీ. బంగారు తీగ నుండి తయారుచేయగల ఉంగరాల సంఖ్య = 880 ÷ \(\frac {88}{7}\)
880 × \(\frac {7}{88}\) = 70

ప్రశ్న 4.
ఒక తీగ 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తంగా ఉంచబడింది, అదే తీగను ఒక చతురస్రంగా వంచిన, దాని భుజం ఎంత?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
∴ వృత్త పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ

వృత్తాకార తీగను చతురస్రంగా వంచిన, వృత్త పరిధి మరియు చతురస్ర చుట్టుకొలతలు సమానము.
∴ చతురస్ర చుట్టుకొలత = వృత్త పరిధి
4 × భుజం = 44 సెం.మీ.
∴ భుజం = \(\frac {44}{4}\) = 11 సెం.మీ.
∴ చతురస్ర భుజం = 11 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక రసాయన కర్మాగారంలో వేర్వేరు వ్యాసార్ధాలున్న రెండు చక్రాలు ఒక బెల్టుతో కలపబడ్డాయి. పెద్ద చక్రం వ్యాసార్ధం 21 సెం.మీ., చిన్న చక్రం వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగిన, చిన్న చక్రం ఎన్ని సార్లు తిరుగును?
సాధన.
రసాయన కర్మాగారంలోని పెద్ద చక్రం వ్యాసార్ధం r = 21 సెం.మీ.
∴ పెద్ద చక్రం పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21 = 132 సెం.మీ.
∴ పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగిన మొత్తం పొడవు = 132 × 100 = 13200 సెం.మీ.
రసాయన కర్మాగారంలోని చిన్న చక్రం వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం వృత్త పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం ‘n’ సార్లు తిరిగినట్లయితే,
చిన్న చక్రం కప్పబడిన దూరం = భ్రమణాల సంఖ్య × వృత్త పరిధి = n × 44 = 440 సెం.మీ.
చిన్న చక్రం కప్పబడిన దూరం = పెద్ద చక్రం కప్పబడిన దూరం
44n = 13200 సెం.మీ.
⇒ n = \(\frac {13200}{44}\) = 300
పెద్ద చక్రం 100 సార్లు తిరిగినపుడు చిన్న చక్రం 300 సార్లు తిరుగుతుంది.

ప్రశ్న 6.
మోహన్ ఒక లోహ తీగతో చేసిన 14 సెం.మీ., వ్యాసార్థం గల రింగుతో ఆడుతున్నాడు. తన సోదరుడు అడగ్గా, తీగను రెండు సమ భాగాలుగా తెంచి, వాటితో రెండు చిన్న రింగులు చేశాడు. చిన్న రింగు వ్యాసార్ధం ఎంత?
సాధన.
మోహన్ ఆడుకొంటున్న లోహపు రింగు వ్యాసార్ధం r = 14 సెం.మీ.
∴ లోహపు రింగు పరిధి (లోహపు రింగు తీగ మొత్తం పొడవు) = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 = 88 సెం.మీ.
లోహపు తీగను రెండు సమాన భాగాలుగా చేసిన ఒక్కొక్క భాగం పొడవు = \(\frac {88}{2}\) = 44 సెం.మీ.
అనగా మోహన్ తయారు చేసిన చిన్న రింగు పరిధి = 44 సెం.మీ.
⇒ 2πr = 44
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
⇒ \(\frac {44}{7}\) × r = 44
∴ r = 44 × \(\frac {7}{44}\)
చిన్న రింగు వ్యాసార్ధము r = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఇనుప చట్రం చేయుటకు కమ్మరికి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల 70 రింగులు అవసరం. 20 సెం.మీ. తరుగు పోయిన, ఎంత పొడవు గల కమ్మీ అవసరం?
సాధన.
కమ్మరి తయారుచేయు రింగు పరిధి = 2πr = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 = 44 సెం.మీ.
70 రింగుల తయారీకి కావలసిన తీగ పొడవు = 44 × 70 = 3080 సెం.మీ.
ఇనుప చట్రం చేయుటకు కమ్మరి తీసుకొన్న తీగపొడవు = 70 రింగుల తయారీకి కావలసిన తీగ పొడవు + తరుగు
= 3080 + 20 = 3100 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 చుట్టుకొలత – వైశాల్యం Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 11th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 11.1

1. క్రింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
∆XYZ చుట్టుకొలత = 3 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

AXYZ చుట్టుకొలత
= XY + YZ + ZX
= 2 + 2 + 2 = 6 సెం.మీ.
= 3 × భుజం = 3 × 2 = 6 సెం.మీ.
∆XYZ చుట్టుకొలత = 3 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న (ii)
☐ ABCD చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

☐ ABCD చుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + AD
= 3 + 3 + 3 + 3 = 12 సెం.మీ.
= 4 × భుజము = 4 × 3 = 12 సెం.మీ.
☐ ABCD చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న (iii)
☐ PQRS చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అగునా?
సాధన.

☐ PQRS చుట్టుకొలత
= PQ + QR + RS + SP
= 2 + 2 + 2 + 2 = 8 సెం.మీ.
= 4 × భుజము = 4 × 2 = 8 సెం.మీ.
☐ PQRS చుట్టుకొలత = 4 × భుజం పొడవు అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
రెండు దీర్ఘ చతురస్రాకార మైదానాల కొలతలు 50 మీ. × 30 మీ. మరియు 60 మీ. × 40 మీ. వాటి చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి. వాటి చుట్టుకొలతలు 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు అగునో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పట్టిక నుండి దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.
(a) 3.5 సెం.మీ. భుజం గల సమబాహు త్రిభుజం.
(b) 4.8 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్రం.
సాధన.
(a) 3.5 సెం.మీ. భుజం గల సమబాహు త్రిభుజం.
సమబాహుత్రిభుజం ∆ABC చుట్టుకొలత
= AB + BC + AC = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5 సెం.మీ.

(లేదా)
సమబాహు త్రిభుజ. చుట్టుకొలత = 3 × భుజం = 3 × 3.5 = 10.5 సెం.మీ.

(b) 4.8 సెం.మీ. భుజం గల చతురస్రము.
చతురస్రం ABCD చుట్టుకొలత = AB + BC + CD + DA
= 4.8 + 4.8 + 4.8 + 4.8 = 19.2 సెం.మీ.

(లేదా)
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజము = 4 × 4. 8 = 19.2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక టేబుల్ పై భాగం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 160 సెం.మీ., 90 సెం.మీ. దాని చుట్టూ అంచు కట్టుటకు 160 సెం.మీ. ఎంత పొడవు బీడింగ్ అవసరం?
సాధన.

టేబుల్ పై భాగం పొడవు = 160 సెం.మీ.
వెడల్పు = 90 సెం.మీ.
టేబుల్ పై భాగం దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటుంది.
టేబుల్ చుట్టూ అంచు కట్టుటకు అవసరమగు బీడింగ్ పొడవు
= దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత = 160 + 90 + 160 + 90 = 500 సెం.మీ. = 5 మీటర్లు

ప్రశ్న 5.
మానస వద్ద 24 సెం.మీ. పొడవు గల లోహపు తీగ ఉంది. దానితో పొడవులు పూర్ణాంకాలయ్యేలా సమాన భుజాలు గల బహుభుజులు చేయాలనుకొంది. ఆమె ఎన్ని రకాల బహుభుజులు ఏర్పరచగలదో కనుగొనండి.
సాధన.
మానస వద్దగల లోహపు తీగ పొడవు = 24 సెం.మీ.
24 యొక్క 2 కన్నా పెద్దవైన కారణాంకాల సంఖ్యకు సమాన సంఖ్యలో సమాన భుజాలు గల బహుభుజులను ఏర్పరచగలదు.
(i) \(\frac {24 }{3}\) = 8
8 సెం.మీ. పొడవుగల 3 భుజాలను కలిగిన సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచగలదు.

24 = 3 × 8
4 × 6
6 × 4
8 × 3
12 × 2

(ii) \(\frac {24}{6}\) = 4
6 సెం.మీ. భుజంగా గల 4 భుజాలు కలిగిన చతురస్రాన్ని మరియు రాంబన్లను ఏర్పరచగలదు.

(iii) \(\frac {24}{6}\) = 4

4 సెం.మీ. పొడవు గల 6 భుజాలను కలిగిన షడ్భుజిని ఏర్పరచగలదు.

(iv) \(\frac {24}{8}\) = 3

3 సెం.మీ. భుజం పొడవుగా గల 8 భుజాలు కలిగిన అష్టభుజిని ఏర్పరచగలదు.

(v) \(\frac {24}{12}\) = 2
ప్రతి భుజం పొడవు 2 సెం.మీ. గల 12 భుజాలు గల ద్వాదశ భుజిని ఏర్పరచగలదు.

ప్రశ్న 6.
కింది పటాల చుట్టుకొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.

(i) పటం చుట్టుకొలత = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LA
= 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 5
= 22 సెం.మీ.

(ii) పటం చుట్టుకొలత
= MN + NO + OP + PQ + QR + RS + ST + TU + UV + VW + WX + XM A
= 1 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1
= 18 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
P : ఒకే చుట్టుకొలత గల అనేక దీర్ఘ చతురస్రాలు ఉంటాయి.
Q : ఒకే చుట్టుకొలత గల అనేక చతురస్రాలు ఉంటాయి.
పై వాక్యాలలో ఏది సత్యం?
(A) P అసత్యం, Q సత్యం (B) P సత్యం, Q అసత్యం (C) P, Q లు రెండూ సత్యం (D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
సాధన.
(B) P సత్యం, Q అసత్యం
వివరణ : ఉదాహరణకు 16 యూనిట్లు చుట్టుకొలతగా గల దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు

16 యూనిట్లు చుట్టుకొలతగా గల చతురస్రాన్ని ఒక దానిని మాత్రమే ఏర్పరచగలము. ఈ చతురస్ర భుజం 4 యూనిట్లు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 146]

ఒకే వ్యాసార్ధం గల రెండు వృత్తాలు నిర్మించండి.
(i) రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనేలా నిర్మించండి.
(ii) ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొనేలా నిర్మించండి.

సాధన.

(i) P,Q కేంద్రంగా గల వృత్తాలు R, S అనే రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.

(ii) U,V కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు X అనే ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శించుకొంటున్నాయి. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathrm{UX}}\) = \(\overline{\mathrm{XV}}\) అవుతుంది.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 147]

పై రెండు పద్ధతులలోను \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{BP}}\) పొడవులు కొలవండి. ఏమి గమనించారు?
సాధన.

ఈ నిర్మాణంలో \(\overline{\mathrm{AP}}\) = \(\overline{\mathrm{PB}}\) అని మనం గమనించాము.
∴ AB ని ‘P’ రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 148]

రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకుంటే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన.
రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీచే విధానంలో సోపానం-2 లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) సగం కంటే తక్కువ పొడవును వ్యాసార్ధంగా తీసుకొంటే చాపరేఖలు ఒకదానినొకటి ఖండించుకొనవు.

పేజి నెం. 152

180° , 240° , 300° కోణాలు నిర్మించండి.
సాధన.
(i) \(\angle \mathbf{A O B}\) = 180°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) కిరణం గీయాలి.
• ‘O’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• Q కేంద్రంగా మరలా. అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• OR (\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{A O B}\) కావలసిన కోణం .

(ii) \(\angle \mathbf{PQR}\) = 240°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) కిరణం గీయాలి.
• ‘Q’ కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో QP ను A వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• A కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• B కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని C వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• C కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని D వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• D కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ చాపాన్ని E వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• QE (\(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{PQR}\) కావలసిన కోణం.

(iii) \(\angle \mathbf{XYZ}\) = 300°

నిర్మాణం :

• కొంత పొడవుతో \(\overrightarrow{\mathrm{YZ}}\) కిరణం గీయాలి.
• Y కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో YZను P వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• P కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.
• Q కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని R వద్ద ఖండించేలా మరొక చాపం గీయాలి.
• R కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో రెండవ చాపాన్ని ఏ వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• S కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మూడవ ఛాపాన్ని T వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• T కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో నాలుగవ చాపాన్ని U వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.
• YU (\(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\)) లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{XYZ}\) కావలసిన కోణం .

పేజి నెం. 153

ప్రశ్న 1.
90° కోణం నిర్మించడానికి మరొక పద్ధతి ఆలోచించండి.
(\(\frac {180}{2}\) = 90°, 180° లకు కోణ సమద్విఖండనరేఖ గీయడం ద్వారా నిర్మించండి.)
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :

• \(\angle \mathbf{AOB}\) = 180° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (ఒక సరళరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ని గీయాలి)
• “O” కేంద్రంగా ‘O’ కు ఇరువైపులా ఒకే వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పై చాపరేఖలు గీచి, ఖండన బిందువులు X, Y లను గుర్తించాలి.
• \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో X, Y లు కేంద్రాలుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) పైన రెండు చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువును C గా గుర్తించాలి.
• O, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOC}\) = 90° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
వృత్తలేఖిని సాయంతో 45° కోణాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
1వ పద్ధతి : (60°ల నుండి 30° + 15° నిర్మించడం ద్వారా)

నిర్మాణక్రమం :

• వృత్తలేఖిని సహాయంతో 60° కోణం \(\angle \mathbf{AOB}\) ని గీయాలి.
• \(\angle \mathbf{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం OC ని గీయాలి. ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOC}\) = \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° అవుతుంది.
• \(\angle \mathbf{COB}\) = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇపుడు \(\angle \mathbf{COD}\) = \(\angle \mathbf{DOB}\) = 15° కోణాలు ఏర్పడినవి.
• మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOD}\) = 45°, \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOC}\) + \(\angle \mathbf{COD}\) = 30° + 15° = 45° ఏర్పడినది.

2వ పద్ధతి : (90° లకు కోణ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించడం ద్వారా)

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathbf{AOB}\) = 60°, \(\angle \mathbf{AOC}\) = 120° కోణాలను నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathbf{BOC}\) = 60° కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని గీయాలి.
• ఇపుడు \(\angle \mathbf{AOD}\) = \(\angle \mathbf{AOB}\) + \(\angle \mathbf{BOD}\) = 60° + 30° = 90° ఏర్పడినది.
• \(\angle \mathbf{AOD}\) = 90° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ని గీయాలి. మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{AOE}\) = 45° ఏర్పడినది.

3వ. పద్దతి : (90° లను సరళకోణం నుండి నిర్మించి (మునుపటి సమస్యలో వలె) దాని కోణ సమద్విఖండనం చేయడం ద్వారా నిర్మించవచ్చును.)
4వ పద్దతి : (లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజ భావన నుండి)

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathbf{XOY}\) = 90° కోణాన్ని నిర్మించాలి. (పై సమస్యలోవలె)
• O కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంలో \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\) లపై చాపరేఖలను గీచి, ఖండన బిందువులు A, B లుగా గుర్తించి, A, B లను కలపాలి.
• కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{OBA}\) = 45° ఏర్పడినది.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
X కేంద్రంగా 10 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక వృత్తం నిర్మించుము.
సాధన.
వ్యాసం = 10 సెం.మీ. కావున వ్యాసార్ధం = 5 సెం.మీ. లతో వృత్తాన్ని గీయాలి.

వ్యా సం AB = 10 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం XB = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
P కేంద్రంగా 2సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ., వ్యాసార్ధాలు గల నాలుగు వృత్తాలు గీయుము.
సాధన.
P – వృత్త కేంద్రము. (పై వృత్తాలను ఏకకేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.)

3. కోణమానిని ఉపయోగించి కింది కోణాలు నిర్మించండి.

ప్రశ్న (అ)
75°
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్యబిందువును ‘O’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 75° వద్ద B బిందువును గుర్తించాలి.
4. OBలు కలపాలి. \(\angle \mathrm{AOB}\) = 75°

ప్రశ్న (ఆ)
15°
సాధన.
\(\angle \mathrm{PQR}\) = 15°

నిర్మాణ క్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Q’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{QP}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 15° వద్ద R బిందువును గుర్తించాలి.
4. QR లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{PQR}\) = 15.

ప్రశ్న (ఇ)
105°
సాధన.

నిర్మాణక్రమము :

1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్యబిందువును ‘Y’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) ఆధారలేఖతో ఏకీభవించేటట్లు చేయాలి.
3. 105° వద్ద Z బిందువును గుర్తించాలి.
4. YZ లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 105° కోణం.

ప్రశ్న 4.
\(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° నిర్మించి, దానికి సమానమగు \(\angle \mathrm{XYZ}\) ను కోణమానిని సాయం లేకుండా నిర్మించండి.
సాధన.

\(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° మరియు \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 50°.

నిర్మాణక్రమం :
1. కోణమానిని ఉపయోగించి \(\angle \mathrm{ABC}\) = 50° కోణాన్ని గీయాలి.
2. B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) కిరణాలపై ఒక చాప రేఖను గీచి, ఖండన బిందువులను P, Q లుగా గుర్తించాలి.
3. \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) కిరణంపై Y కేంద్రంగా పై తీసుకొన్న వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయాలి. ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{YX}}\) ని R వద్ద ఖండించినది. ఇపుడు R కేంద్రంగా \(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) వ్యాసార్ధంతో ఇంతకు ముందు గీచిన చాపరేఖను ఖండించాలి. ఖండన బిందువును S గా గుర్తించాలి. Y, S గుండా \(\overrightarrow{\mathrm{YZ}}\) కిరణాన్ని గీయాలి. మనకు కావలసిన \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 50° కోణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 5.
\(\angle \mathrm{DEF}\) = 60° నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేయుము. ప్రతి సగాన్ని కోణమానితో కొలవండి.
సాధన.
\(\angle \mathrm{DEF}\) = 60°

\(\angle \mathrm{DEF}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\).
\(\angle \mathrm{DEF}\) = \(\angle \mathrm{XEF}\) = \(\frac {[latex]\angle \mathrm{DEF}\)}{2}[/latex] = \(\frac {60°}{2}\) = 30°

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
కోణమానిని ఉపయోగించకుండా \(\angle \mathrm{ABC}\) = 60° నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1 : ‘l’ రేఖను గీచి దానిపై బిందువు ‘O’ ను గుర్తించాలి.

సోపానం – 2 : వృత్తలేఖిని లోహముల్లు ‘O’ మీద ఉంచి, కొంత వ్యాసార్ధంతో l ను A వద్ద ఖండించినట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 3 : A కేంద్రంగా సోపానం 2 లోని వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని B వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : OB లు కలపాలి. 60° కొలత గల \(\angle \mathrm{BOA}\) ఏర్పడింది.

ప్రశ్న 2.
కోణమానిని మరియు వృత్తలేఖినిల సాయంతో 120° కోణం నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1: OA కిరణం గీయాలి.

సోపానం – 2 : 0 కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధంతో OA ను M వద్ద ఖండించేలా ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 3 : M కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో పై చాపాన్ని P వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : P కేంద్రంగా మరలా అదే వ్యాసార్ధంతో మొదటి చాపాన్ని Q వద్ద ఖండించేలా మరో చాపం గీయాలి.

సోపానం – 5 : OQ లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{AOQ}\) కావలసిన కోణం.

3. వృత్తలేఖిని, స్కేలు సాయంతో క్రింది కోణాలు నిర్మించి, నిర్మాణక్రమం రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
75°
సాధన.

75° (60 + 15) :
\(\angle \mathrm{AOX}\) = 75°
\(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COX}\) = 60° + 15° = 75° .

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOC}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 120° కోణాలను పై 2వ సమస్యలో వలె నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{COB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOD}\) = 90° (\(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COD}\) = 60° + 30° = 90°)
• \(\angle \mathrm{COD}\) = 30° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\) ని నిర్మించాలి.
• మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOX}\) = \(\angle \mathrm{AOC}\) + \(\angle \mathrm{COX}\) = 60° + 15° = 75° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న (ఆ)
15°
సాధన.

నిర్మాణక్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° కోణాన్ని నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ని నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{AOC}\) = \(\angle \mathrm{COB}\) = 30° అవుతుంది.
• \(\angle \mathrm{AOC}\) యొక్క కోణ’ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOD}\) = \(\frac {30°}{2}\) = 15° ఏర్పడినది.

ప్రశ్న (ఇ)
105°
సాధన.
105° (90° + 15° = 105°) :

\(\angle \mathrm{AOE}\) = 105°
\(\angle \mathrm{AOB}\) + \(\angle \mathrm{BOD}\) + \(\angle \mathrm{DOE}\) = 60°+ 30° + 15° = 105°

నిర్మాణ క్రమం :

• \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{AOC}\) = 120° ల కోణాలను నిర్మించాలి.
• \(\angle \mathrm{BOC}\) = 60° యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం
• \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOD}\) = \(\angle \mathrm{AOB}\) + \(\angle \mathrm{BOD}\) = 60° + 30° = 90° అవుతుంది. అలాగే \(\angle \mathrm{DOC}\) = 30°
• \(\angle \mathrm{DOC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\) ని నిర్మించాలి.
• ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{DOE}\) = \(\frac {30°}{2}\) = 15° అవుతుంది.
• కావలసిన కోణం \(\angle \mathrm{AOE}\) = \(\angle \mathrm{AOD}\) + \(\angle \mathrm{DOE}\) = 90° + 15° = 105° ఏర్పడినది.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.3

1. కోణమానిని సాయంతో కింది కోణాలు నిర్మించండి.

ప్రశ్న (అ)
\(\angle \mathbf{A B C}\) = 65°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘B’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 65° వద్ద ‘A’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. BA లు కలపాలి. \(\angle \mathbf{A B C}\) = 65°.

ప్రశ్న (ఆ)
\(\angle \mathbf{P Q R}\) = 136°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Q’ వద్ద ఉంచి \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 136° వద్ద ‘P’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. PQలు కలపాలి. \(\angle \mathbf{P Q R}\) = 136°.

ప్రశ్న (ఇ)
\(\angle \mathbf{Y}\) = 45°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overline{\mathrm{YZ}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘Y’ వద్ద ఉంచి \(\overline{\mathrm{YZ}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 45° వద్ద ‘X’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. YXలు కలపాలి. \(\angle \mathrm{XYZ}\) = 45°.

ప్రశ్న (ఈ)
\(\angle \mathbf{O}\) = 172°
సాధన.

నిర్మాణము :
1. కొంత పొడవు గల \(\overline{\mathrm{OT}}\) కిరణం గీయవలెను.
2. కోణమానిని మధ్య బిందువును ‘O’ వద్ద ఉంచి \(\overline{\mathrm{OT}}\) ఆధారరేఖతో ఏకీభవించునట్లు చేయాలి.
3. 172° వద్ద ‘D’ బిందువును గుర్తించాలి.
4. OD లు కలపాలి. \(\angle \mathrm{DOT}\) = 172°.

ప్రశ్న 2.
కింది కోణాలను నీ నోట్ పుస్తకంలో కాపీ చేసి, వాటి కోణ సమద్విఖండన కిరణాలు గీయండి.

సాధన.
(i)

\(\angle \mathrm{AOB}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\).
\(\angle \mathrm{AOX}\) = \(\angle \mathrm{XOB}\)

(ii)

\(\angle \mathrm{COD}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\).
\(\angle \mathrm{COY}\) = \(\angle \mathrm{YOD}\)

(iii)

\(\angle \mathrm{EFG}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{FZ}}\).
\(\angle \mathrm{EFZ}\) = \(\angle \mathrm{ZFG}\)

(iv)

\(\angle \mathrm{PQR}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన కిరణం \(\overrightarrow{\mathrm{QT}}\)
\(\angle \mathrm{PQT}\) = \(\angle \mathrm{TQR}\)

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
PQ= 5.8 సెం.మీ. రేఖాఖండాన్ని గీసి, స్కేలు, వృత్తలేఖిని సాయంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణము :
(i) \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 5.8 సెం.మీ. లతో రేఖాఖండం గీయాలి.
(ii) \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో P కేంద్రంగా PQకి పైన, కింద చాపరేఖలు గీయాలి. అలాగే Q కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో ముందు గీచిన చాపరేఖలను ఖండిస్తూ చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువులను A, B లుగా గుర్తించాలి. A, B లను కలపాలి.
(iii) \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
రవి 8.6 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీసాడు. C వద్ద \(\overline{\mathrm{AB}}\) కు సమద్విఖండన రేఖ నిర్మించాడు. \(\overline{\mathrm{AC}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) ల పొడవులు కనుగొనండి.
సాధన.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని లంబ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{XY}}\) C వద్ద ఖండిస్తున్నది.
AB = 8.6 సెం.మీ.
AC = 4.3 సెం.మీ.
BC = 4.3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
స్కేలు, వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి AB = 6.4 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి. జ్యామితీయ నిర్మాణం ద్వారా దాని మధ్య బిందువు గుర్తించండి.
సాధన.

నిర్మాణము :
(i) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 6.4 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండం గీయాలి.
(ii) \(\overline{\mathrm{AB}}\) పొడవులో సగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో ‘A’ కేంద్రంగా AB కి పైన, కింద చాపరేఖలు గీయాలి. అలాగే ‘B’ కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్ధంతో ముందు గీచిన చాపరేఖలను ఖండిస్తూ చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువులను P, Qలుగా గుర్తించాలి. P, Q లను కలపాలి.
(iii) \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{AB}}\) కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
(iv) ఒక రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ ఆ రేఖాఖండం మధ్య బిందువు గుండా పోతుంది.
∴ AB మధ్య బిందువు = M.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ప్రాయోజిక జ్యామితి Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 10th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
6.9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండమును స్కేలు, వృత్తలేఖిని సాయంతో గీయండి.
సాధన.

స్కేలు సహాయంతో :
1. 6.9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీయాలి.
2. కాగితంపై స్కేలును కదలకుండా ఉంచి, 0 సెం.మీ. కొలతవద్ద పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును పెట్టి, దానికి A అని పేరు పెట్టాలి.
3. 6 సెం.మీ. దాటిన తరువాత 9 చిన్నగీతలు లెక్కపెట్టి, అక్కడ మరో బిందువును పెట్టి, దానికి B అని పేరు పెట్టాలి.
4. స్కేలు అంచువెంబడి A, B లను పెన్సిల్ తో కలపాలి.
5. 6.9 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం A, B నిర్మితమైనది.

వృత్తలేఖిని సహాయంతో :
6. 9 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం గీయవచ్చు.
సోపానం – 1 : l అనే రేఖను గీచి, దానిపై ఒక బిందువును గుర్తించి దానికి A అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం – 2 : వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లును స్కేలు 0 సెం.మీ. స్థానంలో ఉంచి, పెన్సిల్ ముల్లును 6.9 సెం.మీ. వద్ద ఉండునట్లు సరి చూడాలి.

సోపానం – 3 : వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లును ‘l’ రేఖపై గల A బిందువుపై దించి, పెన్సిల్ లో ఆ రేఖ పై ఒక చాపంను గీయాలి. చాపం రేఖల ఖండన బిందువును B అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం – 4 : ‘l’ రేఖపై 6.9 సెం.మీ. పొడవుగల AB రేఖాఖండం నిర్మితమైంది.

ప్రశ్న 2.
4.3 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండమును స్కేలు సాయంతో గీయండి.
సాధన.

స్కేలు సహాయంతో :
1. 4.3 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం గీయాలి.
2. కాగితంపై స్కేలును కదలకుండా ఉంచి, 0 సెం.మీ. కొలతవద్ద పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును పెట్టి, దానికి P అని పేరు పెట్టాలి.
3. 4 సెం.మీ. దాటిన తరువాత 3 చిన్నగీతలు లెక్కపెట్టి, అక్కడ మరో బిందువును పెట్టి, దానికి Q అని పేరు పెట్టాలి.
4. స్కేలు అంచువెంబడి P,Q లను పెన్సిల్ లో కలపాలి.
5. 4.3 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండం P,Q నిర్మితమైనది.

ప్రశ్న 3.
M కేంద్రంగా, 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా గల వృత్తం గీయండి.
సాధన.

MA = వ్యాసార్ధం = 4 సెం.మీ.
నిర్మాణము :
1. వృత్తలేఖిని ముల్లు, పెన్సిల్ కొన మధ్య దూరం 4 సెం.మీ. ఉండేలా చూడాలి.
2. కాగితంపై పెన్సిల్ తో ఒక బిందువును గుర్తించి, దానికి ‘M’ అని పేరు పెట్టాలి.
3. వృత్తలేఖిని లోహపు ముల్లు ‘M’ పై ఉంచాలి.
4. లోహపు ముల్లును కదలకుండా నొక్కి, పెన్సిల్ ముల్లును నెమ్మదిగా చుట్టూ కదుపుతూ ఒకే ప్రయత్నంలో వృత్తాన్ని గీయాలి.

ప్రశ్న 4.
ఒక వృత్తంను గీసి, దానిపై మూడు బిందువులు A, B, Cలు కింద సూచించిన విధంగా గుర్తించండి.
అ) A వృత్తంపై ఉండాలి , ఆ) B వృత్తం అంతరంలో ఉండాలి . ఖ) C వృత్త బాహ్యంలో ఉండాలి
సాధన.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు InText Questions

పేజి నెం. 131

1. మీ నోటు పుస్తకంలో 6 వివిధ రకాల బహుభుజుల యొక్క చిత్తు పటాలు గీయండి. ఏ సందర్భంలో బహుభుజి ఏర్పడదు? ఎందుకు ? బహుభుజి ఏర్పడటానికి కావలసిన కనీస భుజాల సంఖ్య ఎంత? కచ్చితంగా మూడు.
సాధన.

పై పటాల నుండి, ఒకటి, రెండు భుజాలతో బహుభుజి ఏర్పడదు. బహుభుజి ఏర్పడాలంటే కనీసం మూడు భుజాలు కావాలి.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 133]

పక్కపటం పరిశీలించండి.

1. ∆GHI త్రిభుజానికి అంతరంలో గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI కి అంతరంగా గల బిందువులు B, O, A.

2. త్రిభుజం మీద గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI మీద గల బిందువులు G, P, H, I, Y.

3. A GHI త్రిభుజానికి బాహ్యంగా గల బిందువులేవి?
సాధన.
∆GHI కి బాహ్యంగా గల బిందువులు M, R, S, X, Z.

పేజి నెం. 137

ప్రశ్న 1.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితాన్ని (పోస్టుకార్డు వంటిది) తీసుకోండి. దాని పొడవు వెంబడి మధ్యకు మడవగా ఒక సగభాగం, మరో సగభాగంతో కచ్చితంగా ఏకీభవించాలి. అయితే ఈ మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ సౌష్ఠవ రేఖ అవుతుందా ? ఎందుకు?
సాధన.
అవును. ఎందుకంటే దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితం యొక్క రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రశ్న 2.
కాగితం మడతను విప్పి మరల వెడల్పు వెంబడి మధ్యకు మడవండి. ఇప్పుడు ఏర్పడిన రెండవ మడత వెంబడి రేఖ కూడ సౌష్ఠవ రేఖ అవుతుందా ? ఎందుకు ?
సాధన.
అవును. ఎందుకంటే దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితం యొక్క రెండు భాగాలు ఒకదానితో ఒకటి సరిగ్గా సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, రెండవ మడత వెంబడి ఏర్పడిన రేఖ కూడా సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రశ్న 3.
ఇలా ఏర్పడిన రెండు రేఖలు, సౌష్ఠవ రేఖలని నీవు అనుకుంటున్నావా ! ఎందుకు ?
సాధన.
అవును. ఇలా ఏర్పడిన రెండు రేఖలు సౌష్ఠవ రేఖలు. ఒకటి పొడవు వెంబడి సౌష్ఠవరేఖ మరియు మరొకటి వెడల్పు వెంబడి సౌష్ఠవ రేఖ.

ప్రాజెక్టు [పేజి నెం. 137]

1. మీ పరిసరాలలో లభించే సౌష్ఠవ పటాలను సేకరించండి. అతికించండి.
సాధన.

పేజి నెం. 140

1. కింది వస్తువుల ఆకారాలను గుర్తించి, పట్టికలో రాయండి.

వస్తువు	ఆకారం
అగ్గిపెట్టె
బంతి
కొయ్యదూలం
పాచిక
పుట్టినరోజు టోపి

సాధన.

వస్తువు	ఆకారం
అగ్గిపెట్టె	దీర్ఘఘనం
బంతి	గోళము
కొయ్యదూలం	స్థూపము
పాచిక	ఘనం
పుట్టినరోజు టోపి	శంఖువు

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
కింది త్రిభుజాన్ని పరిశీలించి, అందులో శీర్షాలు, భుజాలు మరియు కోణాలను రాయండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన ∆ PQR లో
శీర్షాలు : P, Q, R
భుజాలు : \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RP}}\)
కోణాలు : \(\angle \mathrm{P}, \angle \mathrm{Q}, \angle \mathrm{R}\).

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన చతుర్భుజం పరిశీలించి, కింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.

1. \(\angle \mathbf{E}\) కు ఆసన్న కోణమేది?
2. \(\angle \mathbf{G}\) కు ఎదురుగా ఉండే కోణమేది?
సాధన.
1. EFGH చతుర్భుజంలో
\(\angle \mathbf{H}\) మరియు \(\angle \mathbf{F}\) అనే కోణాలు \(\angle \mathbf{E}\) కు ఆసన్నకోణాలు.
2. \(\angle \mathbf{G}\) కు ఎదురుగా ఉండే కోణం \(\angle \mathbf{E}\).

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన ఆకారాలకు తగిన ఉదాహరణలివ్వండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన పటంను పరిశీలించి, ప్రశ్నలకు తగిన సమాధానాలివ్వండి.

(అ) త్రిభుజం పేరేమిటి?
(ఆ) త్రిభుజం భుజాలు, కోణాలు మరియు శీర్షాలను రాయండి.
సాధన.
(అ) ∆PQR.
(ఆ) భుజాలు : \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RP}}\).
కోణాలు : \(\angle \mathrm{P}\), \(\angle \mathrm{Q}\), \(\angle \mathrm{R}\) లేదా \(\angle \mathrm{QPR}, \angle \mathrm{PQR}, \angle \mathrm{QRP}\)
శీర్షాలు : P, Q, R.

3. పక్కపటం పరిశీలించి, ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి.

ప్రశ్న(అ)
బహుభుజి పేరేమిటి?
సాధన.
చతుర్భుజం EFGH.

ప్రశ్న(ఆ)
పక్కభుజాలు మరియు పక్కకోణాల జతలను రాయండి.
సాధన.
పక్క భుజాలు :
(i) \(\overline{\mathrm{EF}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EH}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{FG}}\).
(ii) \(\overline{\mathrm{FG}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{GH}}\).
(iii) \(\overline{\mathrm{GH}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{FG}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EH}}\).
(iv) \(\overline{\mathrm{EH}}\) కి పక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{HG}}\).

పక్క కోణాలు :
(i) E కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{H}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\).
(ii) F కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{E}\) మరియు \(\angle \mathrm{G}\).
(iii) G కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{F}\) మరియు \(\angle \mathrm{H}\).
(iv) H కి పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{G}\) మరియు \(\angle \mathrm{E}\).

ప్రశ్న(ఇ)
శీర్షాలు, ఎదుటి భుజాల జతలు, ఎదుటి కోణాల జతలను రాయండి.
సాధన.
శీర్షాలు : E,F,G,H
ఎదుటి భుజాల జతలు :
(i) EF కి GH
(ii) FG కి HE
ఎదుటి కోణాల జతలు : (i) \(\angle \mathrm{E}\), \(\angle \mathrm{G}\)
(ii) \(\angle \mathrm{F}\), \(\angle \mathrm{H}\).

ప్రశ్న 4.
కింది వాక్యాలు సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి.
(అ) వృత్తంలో ఒకే ఒక కేంద్రాన్ని గుర్తించగలం. [ ]
(ఆ) వృత్తంలో అన్ని ‘జ్యా’లు వ్యాసాలు. [ ]
(ఇ) చతురస్రాకార పిరమిడ్, చతురస్రాలు ముఖాలుగా కలిగి ఉంటుంది. [ ]
సాధన.
(అ) సత్యం
(ఆ) అసత్యం
(ఇ) అసత్యం

ప్రశ్న 5.
దీర్ఘఘనం, సమఘనం, గోళం ఆకారంలో ఉండే నిత్యజీవిత ఉదాహరణలు రాయండి.
సాధన.
దీర్ఘఘనం : ఇటుక, అగ్గిపెట్టె, గణిత పాఠ్యపుస్తకం, రబ్బరు.
సమఘనం : పాచిక, పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు సమానంగా గల అట్టపెట్టె.
గోళం : బంతి, లడ్డు, గోళీలు, గ్లోబు.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.4

ప్రశ్న 1.
కింది వాటి ఆకారాలను రాయండి.
(అ) ఇటుక
(ఆ) రోడ్డు రోలరు
(ఇ) ఫుట్ బాల్
(ఈ) జోకర్ టోపి
సాధన.
(అ) ఇటుక – దీర్ఘఘనం
(ఆ) రోడ్డు రోలరు – స్థూపం
(ఇ) ఫుట్ బాల్. – గోళం
(ఈ) జోకర్ టోపి – శంఖువు

ప్రశ్న 2.
కింది ఖాళీలు పూరించండి.
(అ) ధాన్యపు రాశి ఆకారం ______________
(ఆ) పాచిక ఆకారం _______________
(ఇ) నీటి బుడగ ఆకారం ________________
(ఈ) కొవ్వొత్తి ఆకారం ___________________
సాధన.
(అ) శంఖువు
(ఆ) ఘనం
(ఇ) గోళం (అర్ధగోళం) (నీటిబుడగ గాలిలో అయితే గోళాకారంలోను, నీటి పైన అయితే అర్ధగోళాకారంలో ఉంటుంది. )
(ఈ) స్థూపం

ప్రశ్న 3.
కింది వాటిని జతపరచండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
కింది పట్టికను పూరించండి.

పై పట్టిక నుండి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.

ఆయిలర్ సూత్రం : F + V = E + 2
1. ఘనం
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14
2. త్రిభుజాకార పట్టకం : 5 + 6 = 9 + 2
11 = 11
3. చతురస్రాకార పట్టకం : 5 + 5 = 8 + 2
10 = 10
4. దీర్ఘఘనం : 6 + 8 = 12 + 2
14 = 14

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.3

ప్రశ్న 1.
ఇవ్వబడిన చతుర్భుజాన్ని పరిశీలించి, ప్రశ్నలకు సమాధానమివ్వండి.

(అ) ఇవ్వబడిన చతుర్భుజం యొక్క భుజాలేవి?
(ఆ) \(\overline{\mathrm{AB}}\) భుజానికి ఎదుటి భుజమేది?
(ఇ) శీర్షం B కు ఎదుటి కోణమేది?
(ఈ) \(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుట ఉండే భుజం ఏది?
(ఉ) పక్కకోణాల జతలెన్ని? అవి ఏవి ?
(ఊ) ఎదుటి కోణాల జతలెన్ని ? అవి ఏవి?
సాధన.
(అ) \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DA}}\).
(ఆ) \(\overline{\mathrm{AB}}\) భుజానికి ఎదుటి భుజం \(\overline{\mathrm{CD}}\).
(ఇ) శీర్షం B కు ఎదుటి కోణం \(\angle \mathbf{D}\) లేదా \(\angle \mathbf{ADC}\).
(ఈ) \(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుటి భుజంను నిర్ణయించలేము.
\(\angle \mathbf{C}\) కు ఎదుటికోణము \(\angle \mathbf{A}\).
(ఉ) పక్కకోణాల జతలు = 4
అవి : \((\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{B}),(\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{C}),(\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{D}),(\angle \mathrm{D}, \angle \mathrm{A})\)
(ఊ) ఎదుటి కోణాల జతలు = 2
అవి : (i) \((\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{C})\)
(ii) \((\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{D})\)

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన పటాలకు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య తెలపండి.

సాధన.
(i) ఇవ్వబడిన పటం చతురస్రం.
చతురస్రానికి గీయదగు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = 4

(ii) సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = అనంతము.
(వృత్తం యొక్క ప్రతి వ్యాసము ఒక సౌష్ఠవాక్షం అవుతుంది. వృత్తానికి అనంత వ్యాసాలు గీయగలము.)

(iii) ఇవ్వబడిన త్రిభుజానికి గీయదగు సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య = 3