Class 6

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
ఇవ్వబడిన త్రిభుజాన్ని గమనించండి మరియు కింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.

(అ) త్రిభుజానికి బాహ్యంగా ఉండే బిందువులేవి?
(ఆ) త్రిభుజం మీది గల బిందువులేవి?
(ఇ) త్రిభుజానికి అంతరంగా ఉండే బిందువులేవి?
సాధన.
(అ) త్రిభుజానికి బాహ్యంగా గల బిందువులు X, Y, Z.
(ఆ) త్రిభుజం మీది గల బిందువులు A, B, C, I, J.
(ఇ) త్రిభుజానికి అంతరంగా గల బిందువులు O, L, K.

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన త్రిభుజాన్ని గమనించి, కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.

(అ) త్రిభుజంలో ఎన్ని భుజాలు కలవు ? అవి ఏవి?
(ఆ) త్రిభుజంలో ఎన్ని శీర్షాలు ఉన్నవి ? అవి ఏవి?
(ఇ) శీర్షం P కు అభిముఖంగా ఉన్న భుజం ఏది?
(ఈ) \(\overline{\mathbf{P R}}\) భుజానికి అభిముఖంగా ఉన్న శీర్షం ఏది?
సాధన.
(అ) 3 భుజాలు కలవు. అవి : (i) \(\overline{\mathbf{P Q}}\) (ii) \(\overline{\mathbf{Q R}}\) (iii) \(\overline{\mathbf{P R}}\).
(ఆ) 3 శీర్షాలు కలవు. అవి : (i) P (ii) Q (iii) R.
(ఇ) శీర్షం P కు అభిముఖంగా ఉన్న భుజం \(\overline{\mathbf{Q R}}\).
(ఈ) \(\overline{\mathbf{P R}}\) భుజానికి అభిముఖంగా ఉన్న శీర్షం ‘Q’.

ప్రశ్న 3.
పక్క త్రిభుజాన్ని పరిశీలించి, కింది వాటికి జవాబివ్వండి.

(అ) త్రిభుజంలో గల కోణాలెన్ని ? అవి ఏవి ?
(ఆ) \(\overline{\mathbf{M N}}\) భుజానికి అభిముఖంగా గల కోణమేది?
(ఇ) ఇవ్వబడిన త్రిభుజంలో లంబకోణం కలిగిన శీర్షమేది?
సాధన.
(అ) త్రిభుజంలో గల కోణాల సంఖ్య 3. అవి :
(i) \(\angle \mathrm{MNO}\) లేదా \(\angle \mathrm{N}\),
(ii) \(\angle \mathrm{NOM}\) లేదా \(\angle \mathrm{O}\),
(iii) \(\angle \mathrm{OMN}\) లేదా \(\angle \mathrm{N}\).
(ఆ) \(\overline{\mathbf{M N}}\) భుజానికి అభిముఖంగా గల కోణం \(\angle \mathrm{NOM}\) లేదా \(\angle \mathrm{O}\)
(ఇ) లంబకోణాన్ని కలిగిన శీర్షం ‘O’.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
నాలుగు భుజాలు కలిగియున్న బహుభుజి పేరేమి ? దాని చిత్తు పటం గీయండి.
సాధన.
నాలుగు భుజాలను కలిగిన బహుభుజి చతుర్భుజం.
☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం.

ప్రశ్న 2.
పంచభుజి యొక్క చిత్తు పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
ఐదు భుజాలను కలిగిన బహుభుజి పంచభుజి.

ప్రశ్న 3.
పక్కన ఇవ్వబడిన ABCDEF బహుభుజి యొక్క భుజాలన్నింటిని రాయండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన బహుభుజి షడ్భుజి.
ABCDEF బహుభుజి యొక్క భుజాలు \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DE}}, \overline{\mathrm{EF}}\) మరియు \(\overline{\text { FA }}\).

ప్రశ్న 4.
PQRST బహుభుజి యొక్క అంతర కోణాలు రాయండి.
సాధన.

PQRST బహుభుజి అంతర కోణాలు

1. \(\angle \mathrm{TPQ}\) లేదా \(\angle \mathrm{P}\)
2. \(\angle \mathrm{PQR}\) లేదా \(\angle \mathrm{Q}\)
3. \(\angle \mathrm{QRS}\) లేదా \(\angle \mathrm{R}\)
4. \(\angle \mathrm{RST}\) లేదా \(\angle \mathrm{S}\)
5. \(\angle \mathrm{STP}\) లేదా \(\angle \mathrm{T}\)

ప్రశ్న 5.
PQRST బహుభుజి భుజాల పొడవులను కొలవండి.
సాధన.

ఇవ్వబడిన బహుభుజి ఐదు భుజాలను కలిగి ఉంటుంది.
అవి : \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 2 సెం.మీ. ; \(\overline{\mathrm{QR}}\) = 2.5 సెం.మీ. ; \(\overline{\mathrm{RS}}\) = 2.4 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{ST}}\) = 2.2 సెం.మీ., \(\overline{\mathrm{PT}}\) = 2.5 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు InText Questions

పేజి నెం. 117

ప్రశ్న (అ)
పక్క బొమ్మలో ఎన్ని కిరణాలున్నాయి ?
సాధన.
నాలుగు

ప్రశ్న (ఆ)
Q కి దగ్గరగా ఎన్ని కాయిన్స్ ఉన్నాయి ?
సాధన.
‘Q’ కి దగ్గరగా B, C మరియు D కాయిన్స్ ఉన్నాయి.

ప్రశ్న (ఇ)
స్టెకి కాయిన్స్ కొట్టేటప్పుడు ఒక కాయిన్ ఇంకొక కాయిన్ తగిలే అవకాశం కలదు. అటువంటి అన్ని అవకాశాలను రేఖాఖండాలతో కలిపి చూపండి.
సాధన.
\(\overline{\mathrm{CB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DE}}\).

ప్రశ్న (ఈ)
అటువంటి రేఖాఖండాలను ఎన్ని గీయగలరు?
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{ED}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{CE}}, \overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BE}}\).

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 118]

కింది పట్టికలను పరిశీలించండి. ఖాళీలను నింపండి.

సాధన.

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 120]

కింది పటాలలో భుజాల కొలతలను విభాగిని మరియు స్కేలు సహాయంతో కొలిచి, పొడవులను సరిపోల్చండి.

సాధన.
(i) ∆ABC లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 2.2 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 2 సెం.మీ. మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = 2.2 సెం.మీ.
2.2 సెం.మీ. = 2.2 సెం.మీ. > 2 సెం.మీ.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{AC}}\) > \(\overline{\mathrm{BC}}\)
రెండు భుజాల పొడవులు సమానము మరియు మూడవ భుజం పొడవు వేరుగా ఉన్నది.

(ii) దీర్ఘచతురస్రం PQRS లో \(\overline{\mathrm{PS}}\) = \(\overline{\mathrm{QR}}\) = 2.7 సెం.మీ.; \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = \(\overline{\mathrm{RS}}\) = 1.8 సెం.మీ. మరియు \(\overline{\mathrm{PR}}\) = \(\overline{\mathrm{QS}}\) = 3.2 సెం.మీ. ఎదురెదురు భుజాల పొడవులు సమానం మరియు కర్ణాల పొడవులు సమానం.

(iii) చతురస్రం KLMN లో \(\overline{\mathrm{KL}}=\overline{\mathrm{LM}}=\overline{\mathrm{MN}}=\overline{\mathrm{KN}}\) = 1.8 సెం.మీ.
అన్ని భుజాల పొడవులు సమానం.

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 121]

(i) పై పటం నుండి సమాంతర రేఖలను గుర్తించి, వాటికి పేర్లును సూచించి రాయండి. మరియు వాటిని బయటకి
చదవండి.
సాధన.
l రేఖ r రేఖకు సమాంతరము.
m రేఖ p రేఖకు సమాంతరము.
n రేఖ q రేఖకు సమాంతరము.

(ii) పై పటం నుండి ఖండన రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి, చదవండి.
సాధన.
ఖండన రేఖలు (i) l, 0 (ii) m, q (iii) n, r (iv) 0, q (v) p, r, ………

(iii) పై పటం నుండి మిళిత రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి చదవండి.
సాధన.
మిళితరేఖలు (i) l, m, n (ii) l, p, q

(iv) పై పటం నుండి లంబ రేఖలను గుర్తించి, పేర్లు సూచించి, రాసి, చదవండి.
సాధన.
లంబరేఖలు l ⊥ m l ⊥ p, p ⊥ r, m ⊥ r
l ⊥ m, mకు l లంబము
l ⊥ p, p కు l లంబము
p ⊥ r, r కు p లంబము
m ⊥ r, r కు m లంబము

పేజి నెం. 125

కింది పటాల శీర్షాల వద్ద ఏర్పడిన కోణాలని కొలవండి.

సాధన.
ABC త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{BAC}\) = 60°
m\(\angle \mathrm{ABC}\)= 60°
m\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60°

XYZ త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{YXZ}\) = 40°
m\(\angle \mathrm{XYZ}\) = 70°
m\(\angle \mathrm{XZY}\) = 70°

XYZ త్రిభుజంలో,
m\(\angle \mathrm{QPR}\) = 35°
m\(\angle \mathrm{PQR}\) = 38°
m\(\angle \mathrm{PRQ}\) = 107°

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
కింది పటాల నుండి సమాంతర భుజాలను, లంబ భుజాలను గుర్తించి వాటిని, “||”, “⊥” గుర్తులను ఉపయోగించి రాయండి.

గమనిక : (i) ఒక దిశలో బాణపు గుర్తులను సమాంతర రేఖలు తెలపడానికి చూపుతారు.
(ii) “7” అను గుర్తు లంబ భుజాలను తెలుపుటకు ఉపయోగిస్తారు.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ఖండనరేఖలు, మిళిత రేఖలను గుర్తించండి.

సాధన.
ఖండన రేఖలు : p మరియు q; p మరియు m; p మరియు n; q మరియు m; మరియు q మరియు n మొదలగునవి.
మిళిత రేఖలు : i, m మరియు n రేఖలు.

ప్రశ్న 3.
కింది పటాల యందు ఏర్పడిన కోణాల కొలతలను కొలిచి వాటిని గుర్తుల సహాయంతో రాయండి.

సాధన.
(అ) m\(\angle \mathrm{ABC}\) = 90°
(ఆ) m\(\angle \mathrm{POQ}\) = 180° = 2 లంబ కోణం

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది పటం నందు AC, AB, CD ల పొడవులను కొలిచి కింది వాక్యాలు సత్యమో, కాదో సరిచూడండి.

(అ) AB + AC > AC
(ఆ) AC > AD – DC
సాధన.
ఇవ్వబడిన పటంలో, AB = 4.2 సెం.మీ., BC = 5.5 సెం.మీ.
AC = 5.4 సెం.మీ., CD = 3 సెం.మీ., AD = 4 సెం.మీ.
(i) AB + AC = 4.2 + 5.4 = 9.6 సెం.మీ. > 5.4 సెం.మీ.
∴ AB + AC > AC
(ii) AD – DC = 4 – 3 = 1 సెం.మీ. < 5.4 సెం.మీ.
∴ AD – DC < AC (లేదా) AC > AD – DC

ప్రశ్న 2.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) అనే రేఖా ఖండంను గీచి దానిపై C బిందువును గుర్తించండి. \(\overline{\mathbf{C B}}\) ని D వరకు CD > AB అయ్యేటట్లు పొడిగించండి. AC మరియు BD ల పొడవులను సరిపోల్చండి.
సాధన.

AC = 3 సెం.మీ.
BD = 5.5 సెం.మీ.
AB < CD లేదా CD > AB

ప్రశ్న 3.
m\(\angle \mathbf{AOB}\) = 40° కొలతగా గల \(\angle \mathbf{AOB}\) ని గీయండి. m\(\angle \mathbf{AOC}\) = 90° అగునట్లు \(\angle \mathbf{BOC}\) కోణాన్ని గీయండి. m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = m\(\angle \mathbf{AOC}\) అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.

\(\angle \mathbf{AOB}\) = 40°
\(\angle \mathbf{AOC}\) = 90°
\(\angle \mathbf{BOC}\) = 50°
m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = 40° + 50° = 90°
∴ m\(\angle \mathbf{AOB}\) + m\(\angle \mathbf{BOC}\) = m\(\angle \mathbf{AOC}\)

ప్రశ్న 4.
m\(\angle \mathbf{XYZ}\) = 62° అగునట్లు \(\angle \mathbf{XYZ}\) కోణాన్ని గీయండి. \(\angle \mathbf{XYZ}\) బాహ్యకోణం ఎంత ఉందో కొలవండి.
సాధన.

\(\angle \mathbf{XYZ}\) = 62°
\(\angle \mathbf{XYZ}\) బాహ్యకోణం = 118° + 180° = 298°

ప్రశ్న 5.
జతపర్చండి.

1. మూలమట్టాలు	(A) కోణాలను కొలుచుటకు
2. కోణమానిని	(B) రేఖా ఖండాల పొడవులు కొలుచుటకు
3. విభాగిని	(C) సమాంతర రేఖలు గీయుటకు

సాధన.

1. మూలమట్టాలు	(C) సమాంతర రేఖలు గీయుటకు
2. కోణమానిని	(A) కోణాలను కొలుచుటకు
3. విభాగిని	(B) రేఖా ఖండాల పొడవులు కొలుచుటకు

ప్రశ్న 6.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలో పెద్ద అక్షరాలు (Capital letters) నుండి లంబకోణాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలను రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 7.
\(\angle \mathrm{AQP}, \angle \mathrm{CPR}, \angle \mathrm{BRQ}\) ల కొలతలను కొలవండి.

\(\mathbf{m} \angle \mathbf{A Q P}, \mathbf{m} \angle \mathbf{C P R}, \mathbf{m} \angle \mathbf{B R Q}\) విలువలు రాయండి.
సాధన.

m\(\angle \mathrm{AQP}\) = 120°
m\(\angle \mathrm{CPR}\) = 110°
m\(\angle \mathrm{BRQ}\) = 130°

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 1.

పైన ఇవ్వబడిన పటాల యందు కోణాలను కొలవండి.
సాధన.
(i)

\(\angle 1\) = 70°
\(\angle 2\) = 110°
\(\angle 3\) = 70°
\(\angle 4\) = 110°
\(\angle 5\) = 70°
\(\angle 6\) = 110°
\(\angle 7\) = 70°
\(\angle 8\) = 110°

(ii)

\(\angle a\) = 60°
\(\angle b\) = 120°
\(\angle c\) = 60°
\(\angle d\) = 120°
\(\angle e\) = 50°
\(\angle f\) = 130°
\(\angle g\) = 50°
\(\angle h\) = 130°

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి పటం నందు ఏ రెండు కోణాల మొత్తం 180° అగునో గుర్తించండి.
సాధన.
(i) ప్రక్కపటంలో రెండు కోణాల మొత్తం 180° అవుకోణాల జతలు :

(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 4), (4, 5), (3, 6), (1, 8), (2, 7), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (5, 8)

(ii) ప్రక్క పటంలో రెండు కోణాల మొత్తం 180° అవుకోణాల జతలు :

(a, b), (b, c), (c, d), (d, a), (e, f), (f, g), (g, h), (h, e)

ప్రశ్న 3.
కింది పటం నుండి \(\angle \mathrm{FOG}\) కోణాన్ని కొలిచి, అంతే కోణాన్ని మీ నోట్ పుస్తకంలో గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
కింది పటం నందు \(\angle \mathrm{AOB}\), \(\angle \mathrm{BOC}\) కోణాలను కొలవండి.

సాధన.

\(\angle \mathrm{AOB}\) = 110°
\(\angle \mathrm{BOC}\) = 60°
\(\angle \mathrm{AOC}\) = 50°

ప్రశ్న 5.
అల్పకోణం, అధికకోణం, పరావర్తన కోణాలకి కనీసం రెండు చొప్పున కోణాలు రాయండి.
సాధన.
అల్పకోణం : 10°, 30°, 45°, 60°, 89° (< 90°)
అధిక కోణం : 110°, 150°, 160°, 172°, 178° (90° < అధిక కోణం < 180°) పరావర్తన కోణం : 210°, 270°, 300°, 345°, 359° (పరావర్తన కోణం > 180°)

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Exercise 8.3

ప్రశ్న 1.
“\(\overline{\mathbf{A B}}\) || \(\overline{\mathbf{C D}}\) , l ⊥ m” గా ఇవ్వబడిన వీటిలో లంబ రేఖలు ఏవి ? సమాంతర రేఖలు ఏవి?
సాధన.
l, m లు లంబరేఖలు, \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న 2.
కిందనీయబడిన పటాల యందు సమాంతర రేఖల జతలను, లంబరేఖల జతలను గుర్తులు ఉపయోగించి రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
కింది పటాల నుండి ఖండన రేఖలు, మిళిత రేఖలు గుర్తించండి.

సాధన.
(i) ఖండన రేఖలు : (i) l, 0; (ii) l, m; (iii) l, n; (iv) o, n; (v) 0, m; (vi) m, n
(ii) ఖండన రేఖలు : (i) r, q; (ii) p, r
మిళితరేఖలు : (i) p, s, q

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
కింది వాటి పొడవులను కనుగొనండి.

సాధన.
(అ) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 2.4 సెం.మీ.
(ఆ) \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 1.5 సెం.మీ.
(ఇ) \(\overline{\mathrm{KL}}\) = 1 సెం.మీ., \(\overline{\mathrm{LM}}\) = 1 సెం.మీ.
\(\overline{\mathrm{KM}}\) = \(\overline{\mathrm{KL}}\) + \(\overline{\mathrm{LM}}\) = 1 + 1 = 2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
కింది రేఖాఖండాలను గీయండి.
(అ) AB = 6.3 సెం.మీ.
(ఆ) MN = 3.6 సెం.మీ.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
PQ రేఖాఖండంను 4.6 సెం.మీ. పొడవుతో గీసి, PR= 6 సెం.మీ. అగునట్లు PQను R వరకు పొడిగించండి.
సాధన.

\(\overline{\mathrm{PR}}\) = \(\overline{\mathrm{PQ}}\) + \(\overline{\mathrm{QR}}\) = 4.6 + 1.4 = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
\(\overline{\mathrm{OP}}\) అనే రేఖాఖండంను గీసి దానిపై Q అను బిందువును గుర్తించండి. వీటి పొడవులను కొలచి \(\overline{\mathrm{OP}}\) – \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = \(\overline{\mathrm{OQ}}\) అగునో ? కాదో ? సరిచూడండి.
సాధన.

\(\overline{\mathrm{OP}}\) = 8 సెం.మీ., \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 3 సెం.మీ. \(\overline{\mathrm{OP}}\) – \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = 8 సెం.మీ. – 3 సెం.మీ. = 5 సెం.మీ. = \(\overline{\mathrm{OQ}}\)
∴ \(\overline{\mathrm{OP}}\) – \(\overline{\mathrm{PQ}}\) = \(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 5 సెం.మీ.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ భావనలు Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
పక్కపటంలో కొన్ని బిందువులు గుర్తించబడినవి. వాటిని పేర్లతో సూచించండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కిందనీయబడిన బిందువులను కలపండి. ఏర్పడు రేఖాఖండాలకు పేర్లు రాయండి.

సాధన.
అ)

ఏర్పడిన రేఖాఖండాలు \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BD}}\)

ఆ)

ఏర్పడు రేఖండాలు \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{CD}}, \overline{\mathrm{DE}}, \overline{\mathrm{EF}}, \overline{\mathrm{AF}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BF}}\), ………. మొదలగునవి.

3. ప్రక్కపటం నుండి కింది వాటిని గుర్తించండి.

ప్రశ్న (అ)
ఏవేని ఆరు బిందువులు.
సాధన.
ఏవేని ఆరు బిందువులు : A, B, C, D, E, G (ఏవేని ఆరు బిందువులను రాయవచ్చును. )

ప్రశ్న (ఆ)
ఏవేని ఆరు రేఖాఖండాలు. (G తో మొదలయ్యేవి)
సాధన.
ఏవేని ఆరు రేఖాఖండాలు. (G తో మొదలయ్యేవి) : \(\overline{\mathrm{GH}}, \overline{\mathrm{GD}}, \overline{\mathrm{GC}}, \overline{\mathrm{GE}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{GF}}\).

ప్రశ్న (ఇ)
ఆరు కిరణాలు. (I తో మొదలయ్యేవి)
సాధన.
ఆరు కిరణాలు. (I తో మొదలయ్యేవి) : \(\overrightarrow{\mathrm{IC}}, \overrightarrow{\mathrm{IB}}, \overrightarrow{\mathrm{IA}}, \overrightarrow{\mathrm{IJ}}, \overrightarrow{\mathrm{IH}}, \overrightarrow{\mathrm{ID}}\)

ప్రశ్న (ఈ)
ఏవేని మూడు సరళరేఖలు.
సాధన.
ఏవేని మూడు సరళరేఖలు : \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}\)

ప్రశ్న 4.
కింది వానికి ‘సత్యం’ కాని, ‘అసత్యం’ కాని సూచించండి.
(అ) సరళరేఖకు రెండు చివరి బిందువులు ఉండును.
(ఆ) సరళరేఖలో ఒక భాగం కిరణం.
(ఇ) రేఖాఖండానికి రెండు అంత్య బిందువులు ఉంటాయి.
(ఈ) రెండు బిందువుల గుండా పోయే విధంగా ఎన్ని రేఖలైనా గీయవచ్చును ?
సాధన.
(అ) సరళరేఖకు రెండు చివరి బిందువులు ఉండును. (అసత్యం)
(ఆ) సరళరేఖలో ఒక భాగం కిరణం. (సత్యం)
(ఇ) రేఖాఖండానికి రెండు అంత్య బిందువులు ఉంటాయి. (సత్యం )
(ఈ) రెండు బిందువుల గుండా పోయే విధంగా ఎన్ని రేఖలైనా గీయవచ్చును ? (అసత్యం)

ప్రశ్న 5.
పటాలను గీసి పేర్లతో సూచించండి.
(అ) K బిందువు కలిగియున్న ఒక సరళరేఖ.
(ఆ) ఒక వృత్తాన్ని ఒక సరళరేఖని కింద సూచించిన విధంగా గీయండి.
(i) వృత్తాన్ని ఖండించకుండా ఉండేటట్లు
(ii) వృత్తాన్ని ఒక బిందువు వద్ద ఖండించునట్లు
(iii) వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించునట్లు
(ఇ) వృత్తాన్ని మూడు బిందువుల వద్ద ఖండించగలిగే సరళరేఖను గీయగలవా?
సాధన.
(అ)

(ఆ) (i) వృత్తాన్ని ఖండించకుండా ఉండేటట్లు

(ii) వృత్తాన్ని ఒక బిందువు వద్ద ఖండించునట్లు

(iii) వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించునట్లు

(ఇ) గీయలేము.

ప్రశ్న 6.
కేవలం మూడు రేఖాఖండాలను మాత్రమే ఉపయోగించి రాయగలిగే పెద్ద ఆంగ్ల అక్షరాలను రాయండి.
సాధన.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 107, 108]

ప్రశ్న 1.
రెండు అగ్గిపుల్లలను అమర్చి పక్క అమరికను ఏర్పరచండి.

ఇలాంటి రూపాలు 2సార్లు, 3సార్లు, 4సార్లు ఏర్పరచి, ఈ అమరికకు తగిన సూత్రంను కనుగొనండి.
సాధన.

సూత్రం : n వ అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × n = 2n

ప్రశ్న 2.
రీటా అగ్గిపుల్లలతో పక్క అమరికను ఏర్పరచింది. ఆమె దీనిని కొనసాగించి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 6y, y అనునది ఏర్పరచబడే పక్కరూపాలు అనే నియమం కనుగొన్నది? దీనిని నీవు అంగీకరిస్తావా? వివరిస్తూ, ఇలాంటి 5 అమరికలను ఏర్పరచటానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను కనుగొనండి.

సాధన.
రీటా కనుగొన్న నియమంతో ఏకీభవిస్తాను.
వివరణ:

సూత్రం : 5 అమరికలను ఏర్పరచటానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 5 × 6 = 30
6 × y = 6y

ప్రశ్న 3.
కింది ఆకారాలను అమర్చడానికి అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను పరిశీలించండి.

(i) పై అమరికలో ప్రతీ ఆకారాల సమూహానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యకు సూత్రం కనుగొనండి.
(ii) పై విధంగా ఉండే12 ఆకారాల సమూహాల అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను తెల్పండి.
సాధన.

(i) సూత్రం : n వ ఆకారంలో అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × n + 1
(ii) 12 ఆకారాల సమూహాల అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య = 2 × 12 + 1 = 24 + 1 = 25.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 110]

ఇచ్చిన ఉదాహరణ ప్రకారం కింది పట్టికలో మిగిలిన వాటిని రాయండి.

సాధన.

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 111]

ప్రశ్న 1.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత కనుక్కోవడానికి సాధారణ సూత్రం కనుగొనండి. (పొడవుకు ‘l’, వెడల్పుకు ‘b’ అనే చరరాశులను తీసుకోండి)
సాధన.

దీర్ఘచతురస్రము చుట్టుకొలత
= పొడవు + వెడల్పు + పొడవు + వెడల్పు
= 2 పొడవులు + 2 వెడల్పులు
= 2l + 2b (ఇక్కడ పొడవును l, వెడల్పును b గా తీసుకొన్నాము)
= 2(l + b) (విభాగన్యాయం)
∴ దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = 2(l + b)

ప్రశ్న 2.
చతురస్ర వైశాల్యం కనుగొనడానికి సాధారణ సూత్రం రాయండి. (చతురస్ర భుజాన్ని 8 అనే చరరాశితో గుర్తించండి)
సాధన. చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= s × s (చతురస్రభుజాన్ని S గా గుర్తించాము)

పేజి నెం. 112

1. కింది సంఖ్యల అమరికకు nవ పదం రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
3, 6, 9, 12, ………….
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 3, 6, 9, 12, ……………….

మొదటి సంఖ్య = 3 × 1
రెండవ సంఖ్య = 3 × 2
‘n’ వ సంఖ్య : 3 × n = 3n
కావున, 3, 6, 9, 12, …….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = 3n

ప్రశ్న (ఆ)
2, 5, 8, 11, …………..
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 2, 5, 8, 11, ……

మొదటి సంఖ్య = 2 = 3 × 1 – 1
రెండవ సంఖ్య = 5 = 3 × 2 – 1
మూడవ సంఖ్య = 8 = 3 × 3 – 1
‘n’ వ సంఖ్య = n = 3 × n – 1 = 3n – 1
కావున, 2, 5, 8, 11, ….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = 3n – 1

ప్రశ్న (ఇ)
21, 4, 9, 16, …………
సాధన.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల అమరిక 1, 4, 9, 16, …….

మొదటి సంఖ్య = 1 = 1 × 1
రెండవ సంఖ్య = 4 = 2 × 2
మూడవ సంఖ్య = 9 = 3 × 3
‘n’వ సంఖ్య = n = n × n = n²
కావున, 1, 4, 9, 16….. అమరికలో ‘n’ వ పదం = n²

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 113]

ప్రశ్న 1.
కింది పట్టికను పూర్తిచేసి \(\frac {P}{3}\) = 4 అనే సమీకరణంను సంతృప్తి పరిచే ‘p’.

సాధన.

\(\frac {P}{3}\) = 4 అనే సమీకరణంను సంతృప్తిపరిచే p విలువ = 12

2. కింది సమీకరణాలలో LHS మరియు RHS లను గుర్తించి, రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
2x + 1 = 10
సాధన.
2x + 1 = 10
L.H.S = 2x + 1
R.H.S = 10

ప్రశ్న (ఆ)
9 = y – 2
సాధన.
9 = y – 2
LHS = 9
RHS = y – 2

ప్రశ్న (ఇ)
3p + 5 = 2p + 10
సాధన.
LHS = 3p + 5
RHS = 2p + 10

ప్రశ్న 3.
ఏవైనా రెండు సామాన్య సమీకరణాలు రాసి, వాటి యొక్క LHS మరియు RHS లను తెలపండి.
సాధన.
(i) 3x + 4 = 19
L.H.S = 3x + 4
RHS = 19

(ii) 8 = 7y – 6
LHS = 8
RHS = 7y – 6

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 114]

ప్రశ్న 1.
3m = 15 అనే సమీకరణాన్ని పరిశీలించి, m అనే చరరాశి యొక్క ఏ విలువకు సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లు సమానమైనాయో చూడండి.
సాధన.
m = 5 అయినప్పుడు ఇచ్చిన సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లు సమానం అవుతాయి.
∴ 3m = 15 సమీకరణ సాధన m = 5.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
రాము వద్ద రహీం వద్ద కన్నా 3 పెన్సిళ్ళు ఎక్కువ ఉన్నాయి. రహీం వద్ద గల పెన్సిళ్లను బట్టి రాము వద్ద గల పెన్సిళ్ల సంఖ్యకు సూత్రం రాయండి.
సాధన.
రహీం వద్ద 2 పెన్సిళ్లు ఉంటే రాము వద్ద ఉండేవి 2 + 3 = 5 పెన్సిళ్లు.
రహీం వద్ద 5 పెన్సిళ్లు ఉంటే రాము వద్ద ఉండేవి 5 + 3 = 8 పెన్సిళ్లు.
రహీం వద్ద ఎన్ని పెన్సిళ్లున్నవో తెలియదు.
కాని మనకు తెల్సింది రాముని వద్ద గల పెన్సిళ్లు = రహీం పెన్సిళ్లు + 3
అందుచే రహీం వద్దగల పెన్సిళ్ల సంఖ్యను ‘n’ అనుకుంటే రాము వద్ద గల పెన్సిళ్ల సంఖ్య = n + 3 అగును.
ఇచ్చట n = 1, 2, 3, …………… అగును. అందుచే ‘n’ అనేది ఒక చరరాశి.

ప్రశ్న 2.
హేమ, మాధవి ఇద్దరు అక్కచెల్లెళ్లు. మాధవి, హేమకన్నా 3 సంవత్సరాలు చిన్నది. మాధవి వయస్సును, హేమ వయస్సుతో పోల్చి సూత్రం రాయండి.
సాధన.
మాధవి, హేమకన్నా 3 సంవత్సరాలు ‘చిన్నది’ అని ఇవ్వబడింది.
హేమ వయస్సు 10 సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు 10 – 3 = 7 సంవత్సరాలు.
హేమ వయస్సు 16 సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు 16 – 3 = 13 సంవత్సరాలు.
హేమ వయస్సు కచ్చితంగా తెలియనప్పుడు, ఏ వయస్సును తీసుకున్ననూ, మాధవి వయస్సు తెలుసుకోవాలి.
హేమ వయస్సు ‘p’ సంవత్సరాలు అయితే మాధవి వయస్సు “p – 3” సంవత్సరాలు అగును.
ఇచ్చట ‘p’ అనేది చరరాశికి ఉదాహరణ. దీనికి 3, 4, 5, …… వంటి విలువలు ఇస్తాం.
దీని నుండి ‘p’ = 10 అయిన ‘p – 3’ = 7 అయిన p = 16 అయితే p – 3 = 13 అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
కింది సమాసాలకు వాక్యాలను రాయండి.
(i) 2p
(ii) 7 + x
సాధన.
(i) సీమ వద్ద ఉన్న డబ్బుకు రెట్టింపు డబ్బు రాజు వద్ద ఉంది.
(ii) దిలిప్ వద్ద కంటే నా వద్ద 7 గోళీలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 4.
మనోజ్ చిక్కుడు విత్తనాల కన్నా, వేరుశనగ విత్తనాలను 5 ఎక్కువగా నాటాడు. అయిన వేరుశనగ విత్తనాలు ఎన్ని?
సాధన.
నాటిన చిక్కుడు విత్తనాలు = m అనుకొనండి. అందుచే నాటిన వేరుశనగ విత్తనాల సంఖ్య = ‘m + 5’ అగును.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక ఫ్యాన్ ధర ₹1500 అయిన ‘n’ ఫ్యాన్ల ధర ఎంత?
సాధన.
ఒక ఫ్యాన్ ధర = ₹ 1500
n ఫ్యాన్ల ధర = ₹ 1500 × n = ₹ 1500n

ప్రశ్న 2.
శ్రీను దగ్గర కొన్ని పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి. రహీం దగ్గర శ్రీను దగ్గర ఉన్న పెన్సిళ్లకు 4 రెట్లు ఎక్కువ పెన్సిళ్లు ఉన్నాయి. అయితే రహీం దగ్గర గల పెన్సిళ్లను ఒక సమాస రూపంలో రాయండి.
సాధన.
శ్రీను దగ్గర గల పెన్సిళ్లు = p అనుకొందాం.
రహీం దగ్గర శ్రీను దగ్గర గల పెన్సిళ్లకు 4 రెట్లు పెన్సిళ్లు కలవు.
∴ రహీం దగ్గర గల పెన్సిళ్లు = 4 × p = 4p

ప్రశ్న 3.
సోఫియా దగ్గర కంటే పార్వతి దగ్గర 5 పుస్తకాలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి. పార్వతి దగ్గర ఎన్ని పుస్తకాలున్నాయి? పుస్తకాల సంఖ్యను సూచించడానికి ఏదేని ఒక చరరాశిని తీసుకొని సమాసంను రాయండి.
సాధన.
సోఫియా దగ్గర గల పుస్తకాలు = x అనుకొందాం.
సోఫియా దగ్గర పార్వతి దగ్గర 5 పుస్తకాలు ఎక్కువ కలవు.
∴ పార్వతి దగ్గర గల పుస్తకాలు = x + 5

ప్రశ్న 4.
కింది వానిలో సమీకరణాలు ఏవి?
(అ) 10 – 4p = 2
(ఆ) 10 + 8 = p – 22
(ఇ) x + 5 = 8
(ఈ) m + 6 = 2
(ఉ) 22x – 5 = 8
(ఊ) 4k + 5 > 100
(ఋ) 4p + 7 = 23
(ౠ) y < – 4
సాధన.
(అ) 10 – 4p = 2 – సమీకరణము
(ఆ) 10 + 8 = p – 22 – సమీకరణము
(ఇ) x + 5 = 8 – సమీకరణము
(ఈ) m + 6 = 2 – సమీకరణము
(ఉ) 22x – 5 = 8 – సమీకరణము
(ఊ) 4k + 5 > 100 – సమీకరణము కాదు
(ఋ) 4p + 7 = 23 – సమీకరణము
(ౠ) y < – 4 – సమీకరణము కాదు

5. కింది సమీకరణాలకు L.H.S మరియు R.H.S లను రాయండి.

ప్రశ్న (అ)
7x + 8 = 22
సాధన.
7x + 8 = 22
LHS = 7x + 8
RHS = 22

ప్రశ్న (ఆ)
9y – 3 = 6
సాధన.
9y – 3 = 6
LHS = 9y – 3
RHS = 6

ప్రశ్న (ఇ)
3k – 10 = 2 4
సాధన.
3k – 10 = 2
LHS = 3k – 10
RHS = 2

ప్రశ్న (ఈ)
3p – 4q = 19
సాధన.
3p – 4q = 19
LHS = 3p – 4q
RHS = 19

6. యత్నదోష పద్ధతిలో కింది సమీకరణాలను సాధించండి.

ప్రశ్న (అ)
x – 3 = 5
సాధన.

అవును x = 8 అయిన LHS = RHS
∴ x – 3 = 5 యొక్క సాధన x = 8

ప్రశ్న (ఆ)
y + 6 = 15
సాధన.

y = 9 అయిన LHS = RHS
కావున y + 6 = 15 యొక్క సాధన y = 9

ప్రశ్న (ఇ)
\(\frac {m}{2}\)
సాధన.

m = 2 అయిన LHS = RHS కావున \(\frac {m}{2}\) = 1 యొక్క సాధన m = 2.

ప్రశ్న (ఈ)
2k – 1 = 3
సాధన.

k= 2 అయిన LHS = RHS.
కావున 2k – 1 = 3 యొక్క సాధన k = 2.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింది వానిలో ఏవి సమీకరణాలో తెలపండి.
(అ) x – 3 =7
(ఆ) l + 5 > 9
(ఇ) p – 4 < 10
(ఈ) 5 + m = – 6
(ఉ) 2s – 2 = 12
(ఊ) 3x + 5
సాధన.
(అ) x – 3 = 1 సమీకరణము
(ఆ) l + 5 > 9 సమీకరణము కాదు
(ఇ) p – 4 < 10 సమీకరణము కాదు
(ఈ) 5 + m = – 6 సమీకరణము
(ఉ) 2s – 2 = 12 సమీకరణము
(ఊ) 3x + 5 సమీకరణము కాదు

2. కింది సమీకరణాలలో LHS మరియు RHS లను తెలపండి.

ప్రశ్న (అ)
x – 5 = 6
సాధన.
x – 5 = 6
LHS = x – 5
RHS = 6

ప్రశ్న (ఆ)
4y = 12
సాధన.
4y = 12
LHS = 4y
RHS = 12

ప్రశ్న (ఇ)
2z + 3 = 7
సాధన.
2z + 3 = 7
LHS = 2z + 3
RHS = 7

3. కింది సమీకరణాలను యత్న-దోష పద్దతిలో సాధించండి.

ప్రశ్న (అ)
x + 3 = 5
సాధన.
x + 3 = 5

x = 2 అయిన ఇచ్చిన సమీకరణం x + 3 = 5 యొక్క LHS = RHS అవుతున్నది.
∴ x + 3 = 5 యొక్క సాధన (మూలం) x = 2.

ప్రశ్న (ఆ)
y – 2 = 7
సాధన.
y – 2 = 7

y = 9 అయిన LHS = RHS అవుతున్నది.
కావున y – 2 = 7 యొక్క సాధన y = 9.

ప్రశ్న (ఇ)
a + 4 = 9
సాధన.
a + 4 = 9

a = 5 అయిన LHS = RHS అవుతున్నది.
కావున a + 4 = 9 యొక్క సాధన a = 5.

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 బీజ గణిత పరిచయం Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
కింది వాక్యాలకు తగిన సమాసాలు రాయండి.
(i) ‘Z’ యొక్క మూడు రెట్లకు 5 కలపబడింది.
(ii) ‘n’ యొక్క 9 రెట్లకు 10 కలపబడింది.
(iii) ‘y’ యొక్క రెట్టింపు నుండి 16 తీసివేయబడింది.
(iv) 10 చే ‘y’ ను గుణించి లబ్దానికి ‘X’ కలపబడింది.
సాధన.
(i) 3z + 5
(ii) 9n + 10
(iii) 2y – 16
(iv)10y + x

ప్రశ్న 2.
పీటర్ వద్ద ‘p’ సంఖ్య గల బంతులు కలవు. డేవిడ్ వద్ద పీటర్ కన్నా అదే రకమైన బంతులు మూడు రెట్లు కలవు. దీనిని సమానంగా రాయండి.
సాధన.
పీటర్ వద్ద బంతుల సంఖ్య = p
డేవిడ్ వద్ద పీటర్ కన్నా మూడు రెట్లు బంతులు కలవు.
∴ డేవిడ్ వద్ద గల బంతులు = 3p

ప్రశ్న 3.
గీత వద్ద ఉన్న పుస్తకాల కన్నా సీత వద్ద 3 పుస్తకాలు ఎక్కువగా ఉన్నాయి. సీత వద్ద గల పుస్తకాలు ఎన్ని?
(గీత వద్ద ఉండే పుస్తకాల సంఖ్యను ఏదైనా చరరాశితో గుర్తించు)
సాధన.
గీత వద్ద గల పుస్తకాల సంఖ్య = X అనుకొనుము
గీత వద్ద గల పుస్తకాల కన్నా సీత వద్ద 3 పుస్తకాలు ఎక్కువగా కలవు.
∴ సీత వద్ద గల పుస్తకాల సంఖ్య = x + 3

ప్రశ్న 4.
ఒక కవాతులో ప్రతి వరుసకు 5 గురు సైనికులు ఉన్నారు. మొత్తం కవాతులో పాల్గొన్న సైనికుల సంఖ్య తెలుసుకోవడానికి సూత్రం కనుగొనండి. (వరుసల సంఖ్యను ‘n’ అనే చరరాశితో గుర్తించు)
సాధన.
ఒక కవాతులోని ప్రతి వరుసలో గల సైనికుల సంఖ్య = 5
కవాతులోని వరుసల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
కవాతులో పాల్గొన్న మొత్తం సైనికుల సంఖ్య = 5 × n = 5n