Class 8

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
కింది పటములో గల బహుముఖి యొక్క తలములు, శీర్షములు, అంచుల యొక్క సంఖ్యను లెక్కించండి. వాటికి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
(లేదా)
భూమి పంచభుజిగాగల క్రమ పిరమిడ్ యొక్క F, V, E లను రాసి ఆయిలర్ నియమము వినియోగించండి.


సాధన.

ప్రశ్న 2.
చతురస్రాకార పట్టకము, సమఘనము ఒకటేనా ? వివరించండి.
సాధన.
చతురస్రాకార పట్టక భూమి, సమఘనం యొక్క భూమి రెండూ చతురస్రాకారాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కావునా రెండూ ఒకటే.

ప్రశ్న 3.
ఏదైనా బహుముఖి 3 త్రిభుల తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
ఏ బహుముఖి కూడా 3 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉండదు. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ కూడా 4 తలాలను కలిగి ఉంటుంది.
∴ ఏ బహుముఖి అయిన కనీసం 4 త్రిభుజాకార తలాలు కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బహుముఖ 4 త్రిభుజ తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
అవును. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ 4 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
కింది టేబుల్ నందలి ఖాళీలను ఆయిలర్ సూత్రము ఆధారముగా పూరించండి.

F	8	5	?
V	6	?	12
E	?	9	30

సాధన.

F	8	5	20
V	6	6	12
E	12	9	30

(i) E = V + F – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) V = E + 2 – F = 9 + 2 – 5 = 6
(iii) F = E + 2 – V = 30 + 2 – 12 = 20

ప్రశ్న 6.
ఏదైనా ఒక బహుముఖి 10 తలములు, 20 అంచులు, 15 శీర్షములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
తలాలు = 10, అంచులు – 20, శీర్షాలు = 15
ఆయిలర్ సూత్రం ఆధారంగా ఏ బహుముఖి అయినను V + F – E = 2ను పాటించాలి.
∴ 15 + 10 – 20 = 2
⇒ 25 – 20 = 2
⇒ 5 ≠ 2
∴ 10 తలాలు, 20 అంచులు, 15 శీర్షాలు గల బహుముఖి ఉండుట అసాధ్యం.

ప్రశ్న 7.
కింది పట్టికను పూరించండి.
(లేదా)
చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క చిత్తు పటమును గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 8.
కింద నీయబడిన వలరూపాల ద్వారా 3-D వస్తువులు లేక ఆకారాలను గుర్తించి వ్రాయండి.

సాధన.
(i) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(ii) దీర్ఘ ఘనం
(iii) పంచభుజాకార పిరమిడ్
(iv) స్టూపం
(v) ఘనం
(vi) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(vii) సమలంబ చతుర్భుజం

9. కింది వలరూపములను చెక్ రూల్ బుక్ నందు గీయండి. మరియు కింద నీయబడిన వల రూపములతో సమఘనము తయారుచేయగల వలరూపములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
పై పటాలను చెక్ రూల్ పై గీయండి.
పై పటాల నుండి సమఘనం తయారుచేయగల వల రూపాలు a, b, c, e లు.

ప్రశ్న (ii)
కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
(a) నాలుగు శీర్షములు, 4 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(b) ఒక శీర్షము కూడా లేని ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(c) 12 అంచులు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(d) ఒకే ఒక తలము గల ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(e) సమఘనము, దీర్ఘఘనమునకు గల భేదములు వివరించండి.
(f) అంచుల సంఖ్య, శీర్షముల సంఖ్య, తలముల సంఖ్య సమానముగా గల రెండు బహుముఖిలను పేర్కొనండి.
(g) 5 శీర్షములు, 5 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
సాధన.
(a) చతుర్భుజి
(b) గోళము
(c) ఘనం / దీర్ఘఘనం
(d) సమగోళము
(e) ఘనము ఒక క్రమతల ఫలకము (అనగా అన్ని భుజాలు సమానాలు), దీర్ఘఘనం క్రమ సమతల ఫలకం కాదు.
(f) ఘనము, దీర్ఘఘనము
(g) చతుర్భుజాకార పట్టకం

ప్రశ్న (iii)
కింది పటముల యొక్క పేర్లను పేర్కొనండి.

సాధన.
(a) అష్టభుజాకార పట్టకం
(b) అష్టభుజాకార పట్టకం
(c) త్రిభుజాకార పట్టకం
(d) పంచభుజాకార పట్టకం

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Exercise 13.1

ప్రశ్న 1.
కింది చిత్రాలను సమాన మాపము కల చుక్కల పటము (isometric dot sheet) పై గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
5 యూనిట్లు × 3 యూనిట్లు × 2 యూనిట్లు కొలతలు కల దీర్ఘఘనమును సమాన మాపము గల చుక్కల పటముపై గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇవ్వబడిన చిత్రముల యందున్న 1 యూనిట్ కొలతలు గల సమఘనముల సంఖ్యను తెలపండి.

సాధన.
(i) ————–> 2 + 3 = 5
(ii) ————-> 2 × 4 + 1 = 9
(iii) ————-> 4 + 16 = 20
(iv) ————–> 1 + 4 + 9 = 14

ప్రశ్న 4.
3వ ప్రశ్న యందు ఇవ్వబడిన పటములలో షేడ్ (shade) చేయబడిన ప్రదేశాల వైశాల్యములు కనుక్కోండి.
సాధన.
పటం ————–> షేడ్ చేయబడిన ప్రదేశాల మొత్తం వైశాల్యం
(i) ————–> 3 × 1 × 1 = 3 చ.యూ
(ii) ————-> (2 × 4) + 1 = 9 చ.యూ
(iii) ————-> 4 + (16 – 8) = 4 + 8 = 12 చ.యూ
(iv) ————-> 1 + (4 – 1) + (9 – 4) = 1 + 3 + 5 = 9 చ. యూ.

ప్రశ్న 5.
కింద ఇవ్వబడిన పటములో, వాటి యొక్క పై నుండి, ప్రక్క నుండి, ముందు నుండి చూచినపుడు కనబడు ఆకారముల పటములు గీయండి. (సమాన మాపము గల చుక్కల పటము నందు ఏ రెండు వరుస చుక్కల మధ్య దూరము 1 సెం.మీ.)

సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది వాటిని ప్రధాన కారణాంకముల లబ్దముగా వ్యక్తపరుచుము. (పేజీ నెం. 267)

ప్రశ్న 1.
48
సాధన.
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

ప్రశ్న 2.
72
సాధన.
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

ప్రశ్న 3.
96
సాధన.
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

2. ఈ క్రింది బీజీయ సమాసము యొక్క కారణాంకములు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 268)
(i) 8x²yz
(ii) 2xy (x + y)
(iii) 3x + y³z
సాధన.
(i) 8x²yz = 2 × 2 × 2 × x × x × y × 2
(ii) 2xy (x + y) = 2 × x × y × (x + y)
(iii) 3x + y³z = (3 × x) + (y × y × y × z)

3. కారణాంక విభజన చేయండి. (పేజీ నెం. 270)

ప్రశ్న (i)
9a² – 6a
సాధన.
= 3 × 3 × a × a – 2 × 3 × a
=3 × a (3a – 2)
∴ 9a – 6a = 3a (3a – 2)

ప్రశ్న (ii)
15a³b – 35ab³
సాధన.
= 3 × 5 × a × a × a × b – 7 × 5 × a × b × b × b
= 5 × a × b [3 × a × a – 7 × b × b]
= 5ab [3a² – 7b²]

ప్రశ్న (iii)
7lm – 21lmn
సాధన.
= 7 × l × m – 7 × 3 × m × n × l
= 7 m[l – 3 × l × n]
= 7m (1 – 3ln)

4. కారణాంక విభజన చేయండి. (పేజీ నెం. 271)

ప్రశ్న (i)
5xy + 5x + 4y + 4
సాధన.
(i) 5xy + 5x + 4y + 4
= (5xy + 5x) + (4y + 4)
= 5x (y + 1) + 4(y + 1)
= (y + 1) (5x + 4)

ప్రశ్న (ii)
3ab + 3a + 2b + 2
సాధన.
(3 × a × b + 3 × a] + [2 × b + 2]
= 3 × a [b + 1] + 2 [b + 1]
= (b + 1) (3a + 2)

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

బీజీయ సమాసములలో విభిన్న ప్రక్రియలతో కల కొన్ని సమస్యలను కొందరు విద్యార్థులు క్రింది విధంగా చేసిరి. వారు చేసిన తప్పులను గమనించి, సరియగు సమాసములు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 279)

1. శ్రీలేఖ ఒక సమీకరణమును ఈ క్రింది విధంగా చేసింది.
3x + 4x + x + 2x = 90
9x = 90 ∴ x = 10
ఈ సాధన ఇచ్చిన సమాధానము సరియైనదా ?
శ్రీలేఖ ఎచ్చట తప్పు చేసింది గుర్తించగలరా ?
సాధన.
శ్రీలేఖ చరరాశులను కూడుటలో తప్పుచేసినధి. ఆమె ఇచ్చిన సమాధానం సరియైనది కాదు.
∴ 3x + 4x + x + 2x = 90
10x = 90
x = \(\frac {90}{10}\) = 9
∴ x = 9

2. అబ్రహామ్ ఈ కింది విధముగా చేశాడు.
x = – 4 కావున 7x = 7 – 4 = – 3
సాధన.
అబ్రహాం కూడా సరియైన సమాధానం ఇవ్వలేదు.
∴ x = – 4 అయిన
⇒ 7x = 7 × (4) = – 28

3. జాన్ మరియు రేష్మా బీజీయ సమాసాల గుణకారమును ఈ కింది విధంగా చేశారు.

సాధన.
జాన్ వివరణ

(i) 3(x – 4) = 3x – 4
ఇది అసత్యం
∴ 3(x – 4) = 3 × x – 3 × 4 = 3x – 12

(ii) (2x)² = 2x² ఇది అసత్యం
∵ (2x)² = 2² × x² = 4x²

(iii)(2a – 3) (a + 2) = 2a² – 6
ఇది అసత్యం
∵ (2a – 3) (a + 2)
= 2a(a + 2) – 3(a + 2)
= 2a × a + 2a × 2 – 3 × a – 3 × 2
= 2a² + 4a – 3a – 6 = 2a² + a – 6

(iv) (x + 8)² = x² – 64
ఇది అసత్యం
∵ (x + 8)² = (x)² + 2 × x × 8 + 8²
= x² + 16x + 64
∴ రేష్మా ఇచ్చిన సమస్యలకు సరియైన సమాధానాలు) సాధనలు ఇచ్చినది.

రేష్మా వివరణ

(i) 3(x – 4) = 3x – 12

(ii) (2x)² = 4x²

(iii) (2a – 3) (a + 2) = 2a² + a – 6

4. హరమీత్ ఒక భాగహారమును ఈ కింది విధముగా చేశాడు. (a + 5) ÷ 5 = a + 1
శ్రీకర్ పై భాగహారమును ఈ కింది విధముగా చేశాడు. (a + 5) ÷ 5 =a/5 + 1
అతని స్నేహితురాలు రోసీ మరోవిధంగా చేసింది. (a + 5) ÷ 5 = a
పై అందరిలో ఎవరు సరియైన సమాధానము ఇచ్చారో తెలుపగలరా ?
సాధన.
ఇచ్చిన భాగహారం (a + 5) ÷ 5
పై భాగహారంనకు హరమీత్, రోసీలు సరియైన సమాధానం ఇవ్వలేదు.
∵ (a + 5) ÷ 5 = \(\frac{a+5}{5}=\frac{a}{5}+\frac{5}{5}\) + 1
∴ పై ముగ్గురిలో శ్రీకర్ సరియైన సమాధానం ఇచ్చాడు.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాక్యములలో సరియైన వాక్యమును గుర్తింపుము.
సాధన.
(i) 3(x – 9) = 3x – 9
⇒ 3x – 3 × 9 = 3x – 9
⇒ 3x – 27 = 3x – 9
– 27 ≠ – 9
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ii) x(3x + 2) = 3x² + 2
⇒ x × 3x + x × 2 = 3x² + 2
⇒ 3x² + 2x ≠ 3x² + 2
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iii) 2x + 3x = 5x²
⇒ 5x = 5x²
⇒ x ≠ x²
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(iv) 2x + x + 3x = 5x
⇒ 6x = 5x
⇒ 6 ≠ 5
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(v) 4p+ 3p + 2p + p – 9p = 0
4p + 3p + 2p + p – 9p = 0
10p – 9p = 0
p = 0
∴ ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vi) 3x + 2y = 6xy
a + b ≠ ab ప్రకారం పై గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(vii) (3x)² + 4x +7 = 3x² + 4x + 7
⇒ (3x) = 3x
⇒ 9x = 3x
⇒ 9 = 3 ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(viii) (2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
⇒ 4x² + 5x = 4x + 5x
⇒ 4x² = 4x
⇒ x² = x
⇒ x = \(\sqrt{\mathrm{x}}\) ఇది అసంభవం
∴ ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(ix) (2a + 3)² = 2a² + 6a + 9
⇒ (2a)² + 2 × 2a × 3 + 3² = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a + 9 = 2a² + 6a + 9
⇒ 4a² + 12a = 2a² + 6a
⇒ 2a² + 6a ≠ a² + 3a.
కావునా ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(x) x = – 3 ప్రతిక్షేపించుము.

(a) x² + 7x + 12 = (-3)² +7 (-3) + 12
= 9 + 4 + 12 = 25
x² + 7x + 12 = (-3)² + 7 (-3) + 12
= 9 – 21 + 12
= 21 – 21 = 0
= 0 ≠ 25 (అసత్యం )

(b) x² – 5x + 6 = (-3)² – 5(- 3) + 6
= 9 – 15 + 6 = 0
x² – 5x + 6 = (-3)² – 5 (-3) – 6
= 9 + 15 + 6
= 30 ≠ 0(అసత్యం)

(c) x² + 5x = (-3)² + 5 (-3) + 6
= – 9 – 15 = – 24
x² + 5x = (-3)² + 5 (-3)
= 9 – 15 = – 6 ≠ – 24 (అసత్యం)

(xi) (x – 4)² = x² – 16
(x – 4)² = (x)² – (4)²
(a – b)² ≠ a² – b² (లేదా)
⇒ x² – 2 × x × 4 + 4² = x² – 16
⇒ x² – 8x + 16 = x² – 16
⇒ – 8x = 0
⇒ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం సరియైనది కాదు.

(xii) (x + 7)² = x² + 49
(x + 7)² = x² + 49 = (x)² + (7)²
(a + b)² ≠ a² + b²
∴ (x + 7)² ≠ (x)² + (7)²
∴ ఇది అసత్య గణిత ప్రవచనం.

(xiii) (3a + 4b) (a – b) = 3a² – 4a²
3a (a – b) + 4b (a – b) = 3a² – 4a²
3a² – 3ab + 4ab – 4b² = – a²
ab – 4b² + 4a² = 0
⇒ ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xiv) (x + 4) (x + 2) = x² + 8
⇒ x² + 6x + 8 = x² + 8
⇒ 6x = 0
∴ x = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xv) (x – 4) (x – 2) = x² – 8
⇒ x² – 6x + 8 = x² – 8
RHS లో (-6x) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xvi) 5x³ ÷ 5x³ = 0
\(\frac {5x}{5x}\) = 0
⇒ x^3-3 = 0 ⇒ x⁰ = 1 (∵ కాని x⁰ = 1)
∴ 1 ≠ 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం .

(xvii) 2x³ + 1 ÷ 2x³ = 1
⇒ \(\frac{2 x^{3}+1}{2 x^{3}}\) = 1
హారంలో (+1) పదం లోపించినది కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xviii) 3x + 2 ÷ 3x = \(\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x+2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ \(\frac{3 x}{3 x}+\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 + \(\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3 x}\)
⇒ 1 = 0
ఇది అసంభవం. కావున ఇచ్చిన గణిత వాక్యం అసత్యం.

(xix) 3x + 5 ÷ 3 = 5
⇒ \(\frac{3 x+5}{3}\) = 5
⇒ \(\frac{3 x}{3}+\frac{5}{3}\) = 5
⇒ x + \(\frac{5}{3}\) = 5
∴ RHS లో (x) పదం లోపించినది కావున ఇది అసత్యం.

(xx) \(\frac{4 x+3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4 \mathrm{x}}{3}+\frac{3}{3}\) = x + 1
⇒ \(\frac{4x}{3}\) + 1 = x + 1
ఇది అసత్యం.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.3

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది బహుపదులను ఇచ్చిన ఏకపదిచే భాగింపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
సూచించిన విధముగా భాగహారమును చేయండి.
సాధన.
(i) (x² +7x + 12) ÷ (x + 3)
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= (x + 3) (x + 4)

(ii) (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)
⇒ x² – 8x + 12 = x² – 6x – 2x + 12
= x(x – 6) – 2(x – 6)
= (x – 6) (x – 2)
∴ (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)

(iii) (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)
p² + 5p + 4 = p² + p + 4p + 1
= p(p + 1) + 4(p + 1)
= (p + 1) (p + 4)
∴ (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)

(iv) 15ab(a² – 7a + 10) ÷ 3b(a – 2)
15ab(a² – 7a + 10)
= 15ab(a² – 5a – 2a + 10)
= 15ab [(a² – 2a) – (5a – 10)]
= 15ab [a(a – 2) – 5(a – 2)]
= 15ab (a – 2) (a – 5)
∴ 15ab (a² – 7a + 10) ÷ 3b (a – 2)

(v) 15lm (2p² – 2q²) + 3l (p + q)
15lm (2p² – 2q²) = 15lm × 2(p² – q²)
= 30lm (p + q) (p – q)
∴ 15lm(2p² – 2q²) ÷ 3l (p + q)

(vi) 26z³ (32z² – 18) ÷ 13z² (4z – 3)
= 26z³ (2 × 16z² – 2 × 9)
= 26z³ × 2 [16z² – 9]
= 52z³ [(4z)² – (3)²]
= 52z³ [4z + 3] (4z – 3)
∴ 26z³ (32z³ – 18) ÷ 13z² (4z – 3)

= 4z(4z + 3)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) a² + 10a + 25
= (a)² + 2 × a × 5 + (5)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
a² + 2ab + b² = (a + b)² = (a + 5)²

(ii) l² + 16l + 64
= (l)² – 2 × l × 8 + (8)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ l² + 16l + 64 = (l – 8)² = (l – 8)(l – 8)

(iii) 36x² + 96xy + 64y²
= (6x)² + 2 × 6x × 8y + (8y)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ 36x² + 96xy + 64y²
= (6x + 8y)² = (6x + 8y) (6x + 8y)

(iv) 25x² + 9y² – 30xy
= (5x)² + (3y)² – 2 × 5x × 3y
ఇది a² + b² – 2ab రూపంలో కలదు.
∴ a² + b² – 2ab = (a – b)²
∴ 25x² + 9y² – 30xy
= (5x – 3y)² = (5x – 3y) (5x – 3y)

(v) 25m² – 40mn + 16n²
= (5m)² – 2 × 5m × 4n + (4n)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 25m² – 40 mn + 16n²
= (5m – 4n)²
= (5m – 4n)(5m – 4n)

(vi) 81x² – 198 xy + 121y²
= (9x)² – 2 × 9x × 11y + (11y)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 81x² – 198xy + 121y²
= (9x – 11y)² = (9x – 11y) (9x – 11y)

(vii) (x + y)² – 4xy
(సూచన : మొదట (x + y)² ను విస్తరించండి)
= (x + y)² – 4xy
= x² + y² + 2xy – 4xy
= x² + y² – 2xy
= (x – y)² = (x – y) (x – y)

(viii) l⁴ + 4l²m² + 4m⁴
= (l²)² + 2 x l² x 2m² + (2m²)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ l⁴ + 4/l²m² + 4m⁴
= (l² + 2m²)² = (l² + 2m²) (l² + 2m²)

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) x² – 36
(x)² – (6)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు.
a² – b² = (a + b) (a – b)
x² – 36 = (x + 6) (x – 6)

(ii) 49x² – 25y²
= (7x)² – (5y)²
= (7x + 5y) (7x – 5y)

(iii) m² – 121
= (m)² – (11)²
= (m + 11) (m – 11)

(iv) 81 – 64x²
= (9)² – (8x)²
= (9+ 8x) (9 – 8x)

(v) x²y² – 64
= (xy)² – (8)²
= (xy + 8) (xy-8)

(vi) 6x² – 54
= 6x² – 6 × 9
= 6(x² – 9)
= 6[(x)² – (3)²]
= 6(x + 3) (x – 3)

(vii) x² – 81
= (x)² – (9)²
= (x + 9)(x – 9)

(viii) 2x – 32x⁵
= 2x – 2x × 16x⁴
= 2x (1 – 16x⁴)
= 2x [1² – (4x²)²]
= 2x (1 + 4x²)(1 – 4x²)
= 2x (1 + 4x²) [(1² – (2x)²]
= 2x (1 + 4x²) (1 + 2x) (1 – 2x)

(ix) 81x⁴ – 121x²
= x²(81x² – 121)
= x² [(9x)² – (11)²]
= x² (9x + 11) (9x – 11)

(x) (p² – 2pq + q²) – r²
= (p – q)² – (r)² [∵ p² – 2pq + q² = (p – q)²]
= (p – q + r) (p – q – r)

(xi) (x + y)² – (x – y)²
ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a = x + y, b = x – y
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
= (x + y + x – y) [x + y – (x – y)]
= 2x [x + y – x + y]
= 2x × 2y = 4xy

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) lx² + mx
= 1 × x × x + m × x = x (lx + m)

(ii) 7y² + 35z²
= 7 × y² + 7 × 5 × z²
= 7(y² + 5z²)

(iii) 3x⁴ + 6x³y + 9x²z
= 3 × x² × x² + 3 × 2 × x × x² × y + 3 × 3 × x² × z
= 3x² (x² + 2xy + 3z)

(iv) x² – ax – bx + ab
= (x² – ax) – (bx – ab)
= x(x – a) – b(x – a)
= (x – a) (x – b)

(v) 3ax – 6ay-8by + 4bx
= (3ax – 6ay) – (8by – 4bx)
= 3a (x – 2y) – 4b (2y – x)
= 3a (x – 2y) + 4b (x – 2y)
= (x – 2y)(3a + 4b)

(vi) mn + m +n +1
= (mn + m) + (n + 1)
= m (n + 1) + (n + 1)
= (n + 1) (m + 1)

(vii) 6ab – b² + 12ac – 2bc
= (6ab – b²) + (12ac – 2bc)
= (6 × a × b – b × b) + (6 × 2 × a × c – 2 × b × c)
= b [6a – b] + 2c [6a – b]
= (6a – b)(b + 2c)

(viii) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1)(pq – r²)

(ix) x (y + z) – 5 (y + z)
= (y + 2)(x – 5)

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) x⁴ – y⁴
(x²)² – (y²)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a² – b² = (a + b)(a – b)
x⁴ – y⁴ = (x² + y²)(x² – y²)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)

(ii) a⁴ – (b + c)⁴
= (a²)² – [(b + c)²]²
= [a² + (b + c)²] [a² – (b + c)²]
= [a² + (b + c)²] (a + b + c) (a – (b + c)]
= (a + (b + c)²] (a + b + c) (a – b – c)

(iii) l² – (m – n)²
= (l)² – (m – n)²
= [l + m – n][l – (m – n)]
= [l + m – n] [l – m + n]

(iv) 49x² – \(\frac {16}{25}\)
= (7x)² – (\(\frac {4}{5}\))²
= (7x + \(\frac {4}{5}\)) (7x – \(\frac {4}{5}\))

(v) x⁴ – 2x²y² + y⁴
= [(x²)² – 2x²y² + (y²)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
(x²)² – 2x²y² + (y²)² = (x² – y²)²
= [(x)² – (y)²]²
= [(x + y) (x – y)]²
= (x + y)² (x – y)²
[∵ (ab)^m = a^m . b^m]

(vi) 4 (a + b)² – 9 (a – b)²
= [2(a + b)]² – [3(a – b)]²
= [2(a + b) + 3(a – b)] [2(a + b) – 3(a – b)]
= (2a + 2b + 3a – 3b) (2a + 2b – 3a + 3b)
= (5a – b) (5b – a)

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించంది.
సాధన.
(i) a² + 10a + 24
= a × a + 6a + 4a + 6 x 4
= a(a + 6) + 4(a + 6)
= (a + 6)(a + 4) లేదా
a² + 10a + 24

∴ a² + 10a + 24 = (a + 6) (a + 4)

(ii) x² + 9x + 18
= (x + 3)(x + 6)

∴ x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)

(iii) p² – 10p +21
= (p – 7) (p – 3)

∴ p² – 10p + 21 = (p – 7) (p – 3)

(iv) x² – 4x – 32
= (x – 8)(x + 4)

∴ x² – 4x – 32 = (x – 8)(x + 4)

ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భుజాల పొడవుల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు దాని వైశాల్యం కూడా ఒక పూర్ణసంఖ్య. ఒక భుజం పొడవు 21 మరియు చుట్టుకొలత 48 అయిన అతి చిన్న భుజము పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన.
త్రిభుజం చుట్టుకొలత

= AB + BC + CA = 48
⇒ c + a + b = 48
⇒ 21 + a + b = 48
⇒ a + b = 48 – 21 = 27
∴ a, bల పొడవు 10. 17 అయి ఉండాలి. ఎందు కనగా ఎల్లప్పుడూ
a + b > c ⇒ 10 + 17 > 21 ⇒ 27 > 21
∴ అతి చిన్న భుజం పొడవు = 10

ప్రశ్న 7.
x² + 3xy + x + my – m ను x, yలలో రెండు రేఖీయ కారణాంకములుగా వ్రాసిన ‘m’ విలువ కనుగొనుము. (x, y పదాల గుణకములు పూర్ణసంఖ్యలు)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x² + 3xy + x + my – m —————- (1)
x, y లలో రెండు రేఖీయ సమీకరణములు (x + 3y + a) మరియు (x + 0y + b) అగును.
వాటి లబ్దము = (x + 3y + a) (x+ 0y + b) = x² + 0xy + bx + 3xy + 0y² + 3by + ax + 0y + ab దీనిని సూక్ష్మీకరించగా
= x² + bx + ax + 3xy + 3by + ab ————- (2)
సమీకరణం (2)ను (1)తో పోల్చగా
x² + 3xy + x + my – m
= x² + (a + b)x + 3xy + 3by + ab
ఇరువైపులా సజాతి పదాలను పోల్చగా
(a + b)x = x ⇒ a + b = 1 ————- (3)
3by = my ⇒ 3b = m ⇒ b = \(\frac {m}{3}\)
b విలువను (3)లో ప్రతిక్షేపించగా
a = 1 – b = 1 – \(\frac {m}{3}\) = \(\frac{3-m}{3}\)
ab = – m కావున a మరియు b లను ప్రతిక్షేపించగా
(\(\frac {m}{3}\))(\(\frac{3-m}{3}\)) = – m
\(\frac{3 m-m^{2}}{9}\) = – m
⇒ 3m – m² = – 9m
⇒ m² – 9m – 3m = 0
⇒ m² – 12m = 0
⇒ m(m – 12) = 0
= m = 0 లేదా m = 12
m = 12 అయిన
b = \(\frac {12}{3}\) = 4 మరియు a = \(\frac{3-12}{3}=\frac{-9}{3}\) = -3
ఇచ్చిన సమాసానికి రేఖీయ కారణాంకాలు
= (x + 3y – 3), (x + 4)
m = 0 అయిన b = \(\frac {0}{3}\) = 0 మరియు
a = \(\frac{3-0}{3}=\frac{3}{3}\) = 1
∴ రేఖీయ కారణాంకాలు = (x + 3y + 1), x

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన పదముల యొక్క సామాన్య కారణాంకములు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i) 8x, 24
8x = 2 × 2 × 2 × x
24 = 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3
∴ 8x, 24 ల సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 4, 8

(ii) 3a, 21ab
3a = 3 × a
21ab = 7 × 3 × a × b
∴ 3a, 21ab ల సామాన్య కారణాంకాలు = 3, a, 3a

(iii) 7xy, 35x²y³
7xy = 7 × x × y
35x²y³ = 7 × 5 × x × x × y × y × y
∴ 7xy, 35x²y³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 7, x, y, xy, 7xy, 7x, 7y

(iv) 4m², 6m², 8m³
4m² = 2 × 2 × m × m
6m² = 2 × 3 × m × m
8m² = 2 × 2 × 2 × m × m × m
∴ 4m², 6m², 8m³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, m, m², 2m, 2m²

(v) 15p, 20qr, 25rp
15p = 3 × 5 × p
20qr = 4 × 5 × q × r
25rp = 5 × 5 × r × p
∴ 15p, 20qr, 25rpల ఉమ్మడి కారణాంకాలు = 5

(vi) 4x², 6xy, 8y²x
4x² = 2 × 2 × x × x
6xy = 2 × 3 × x × y
8y²x = 2 × 2 × 2 × y × y × x
∴ 4x², 6xy, 8xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, x, 2x

(vii) 12 x²y, 18 xy²
12x²y = 2 × 2 × 3 × x × x × y
18xy² = 3 × 3 × 2 × x × y × y
∴ 12x²y, 18xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, 3, 6, x, y, xy, 2x, 2y, 2xy, 3x, 3y, 3xy, 6x, 6y, 6xy

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 5x² – 25xy
= 5 × x × x – 5 × 5 × x × y
= 5 × x[x – 5 × y] = 5x [x – 5y]

(ii) 9a² – 6ax
= 3 × 3 × a × a – 2 × 3 × a × x = 3a[3a – 2x]

(iii) 7p² + 49pq
= 7 × p × p + 7 × 7 × p × q = 7p[p + 7q]

(iv) 36 a²b – 60 a²bc
= 2 × 2 × 3 × 3 × a × a × b – 2 × 2 × 3 × 5 × a × a × b × c
= 2 × 2 × 3 × a × a × b[3 – 5c]
= 12a²b[3 – 5c]

(v) 3a²bc + 6ab²c + 9abc²
= 3 × a × a × b × c + 3 × 2 × a × b × b × c + 3 × 3 × a × b × c × c
= 3abc [a + 2b + 3c]

(vi) 4p² + 5pq – 6pq²
= 2 × 2 × p × p + 5 × p × q – 2 × 3 × p × q × q
= p[4p + 5q – 6q²]

(vii) ut + at²
= u × t – a × t × t
= t[u + at]

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది వాటికి కారణా౦క విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 3ax – 6ay + 8by – 4bx
= [3ax – 4bx] – [6ay – 8by]
= x[3a – 4b] – 2y [3a – 4b]
= (3a – 4b) [x – 2y]

(ii) x³ + 2x² + 5x + 10
= (x³ + 2x²) + (5x + 10)
= (x² × x + 2 × x²) + [5 × x + 5 × 2]
= x²(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x² + 5)

(iii) m² – mn + 4m – 4n
= (m² – mn) + (4m – 4n)
= (m × m – m × n) + (4 × m – 4 × n)
= m(m – n) + 4(m – n)
= (m – n) (m + 4)

(iv) a³ – a²b² – ab + b³
= (a³ – a²b²) – (ab – b³)
= (a² × a – a² × b²) – (a × b – b × b²)
= a²(a – b²) – b(a – b²)
= (a – b²) (a² – b)

(v) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1) (pq – r²)

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది బీజీయ సమాసాలలోని పదాల సంఖ్యను తెలుపండి. (పేజీ నెం. 248)
5xy², 5xy³ – 9x, 3xy + 4y – 8, 9x² + 2x + pq + q
సాధన.
5xy² లోని పదాల సంఖ్య 1
5xy³ – 9x లోని పదాల సంఖ్య 2
3xy + 4y – 8 లోని పదాల సంఖ్య 3
9x² + 2x + pq + q లోని పదాల సంఖ్య 4

2. x యొక్క వేర్వేరు విలువలకు 3x + 5 యొక్క విలువ కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 248)
సాధన.
3x + 5
⇒ x = 1 అయిన ⇒ 3x + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8
⇒ x = 2 అయిన ⇒ 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
⇒ x = 3 అయిన ⇒ 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14

3. కింది వాటిలో సజాతి పదాలను గుర్తించంది. (పేజీ నెం. 249)
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సాధన.
ax²y, 2x, 5y², – 9x², – 6x, 7xy, 18y².
సజాతి పదాలు : (2x, – 6x), (5y², 18y²)

4. 5pq² కు 3 సజాతి పదాలను తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
5pq² కు సజాతి పదాలు : – 3pq², pq², 1/2pq². మొ||నవి.

5. A = 2y² + 3x – x² , B = 3x² – y² మరియు C = 5x² – 3xy అయితే (పేజీ నెం. 150)

ప్రశ్న (i)
A + B
సాధన.
A = 2y² + 3x – x², B = 3x² – y², C = 5x² – 3xy
A + B = (2y² + 3x – x²) + (3x² – y²)
= (2y² – y²) + 3x + (3x² – x²)
∴ A + B = y² + 3x + 2x²

ప్రశ్న (ii)
A – B
సాధన.
A – B = (2y² + 3x – x²) – (3x² – y²)
= 2y² + 3x – x² – 3x² + y²
∴ A – B = 3y² + 3x – 4x²

ప్రశ్న (iii)
B + C
సాధన.
B + C = (3x² – y²) + (5x² – 3xy)
= 3x² + 5x² – y² – 3xy
∴ B + C = 8x² – y² – 3xy.

ప్రశ్న (iv)
B – C
సాధన.
= (3x² – y²) – (5x² – 3xy)
= 3x² – y² – 5x² + 3xy
∴ B – C = – 2x² – y² + 3xy

ప్రశ్న (v)
A + B + C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (8x² – y² – 3xy)
= (2y² – y²) + (8x² – x²) + 3x – 3xy
∴ A + B + C = 7x² + y² + 3x – 3xy

ప్రశ్న (vi)
A + B – C
సాధన.
= (2y² + 3x – x²) + (- 2x² – y² + 3xy)
= (2y² – y²) + (- x² – 2x²) + 3x + 3xy
∴ A + B – C = y² – 3x² + 3x + 3xy

ప్రశ్న 6.
పట్టికను పూర్తి చేయండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.

మొదటి ఏకపది	రెండవ ఏకపది	రెండు ఏకపదుల లబ్దము
2x – 4y2 3abc mn – 3mq	– 3y – 2y 5bcd – 4m -3nq	2x × (-3y) = – 6xy + 8y3 15abc2c2d2 – 4m2n + 9mnq2

7. రెండు ఏక పదుల లబ్ధము ఎల్లప్పుడు ఏకపదియేనా? సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 253)
సాధన.
అవును.
ఉదా : 2xy × 5y = 10xy² ఒక ఏకపది.

8. (i) 3x(4ax + 8by)
(ii) 4a²b(a – 3b)
(iii) (p + 3q²)pq
(iv) (m³ + n³) 5mn² లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.
(i) 3x (4ax + 8by) = 3x × 4ax + 3x × 8by
= 12ax² + 24bxy
(ii) 4a²b (a – 3b) = 4a²b × a – 4a²b × 3b
= 4a²b – 12a²b²
(iii) (p + 3q²) pq = p × pq + 3q² × pq
= p²q + 3pq³
(iv) (m³ + n³) 5mn² = m³ × 5mn² + n³ × 5 mn²
= 5 m⁴n² + 5mn⁵

9. ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపది లబ్దంలో గరిష్టంగా ఏన్ని పదాలుంటాయి?
సాధన.
ఒక ఏకపది మరియు ఒక బహుపదుల లబ్దాలలో అనేక పదాలుంటాయి.

10. లబ్బాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 257)

ప్రశ్న (i)
(a – b) (2a + 4b)
సాధన.
= a(22 + 4b) – b(2a + 4b)
= (a × 2a + a × 4b) – (b × 2a + b × 4b)
= 2a² + 4ab – (2ab + 4b²)
= 2a² + 4ab – 2ab – 4b²
= 2a² + 2ab – 4b²

ప్రశ్న (ii)
(3x + 2y) (3y – 4x)
సాధన.
= 3x(3y – 4x) + 2y (3y – 4x)
= 9xy – 12x² + 6y² – 8xy
= xy – 12x² + 6y²

ప్రశ్న (iii)
(2m – l)(2l – m)
సాధన.
= 2m (2l – m) – l(2l – m)
= 2m × 2l – 2m × m – l × 2l + l × m
= 4lm – 2m² – 2l² + lm
= 5lm – 2m² – 2l²

ప్రశ్న (iv)
(k + 3m) (3m – k)
సాధన.
= k(3m – k) + 3m (3m – k)
= k × 3m – k × k + 3m × 3m – 3m × k
= 3m – k² + 9m² – 3km
= 9m² – k²

11. రెండు ద్విపదుల లబ్దములో ఎన్ని పదాలు ఉండును ? (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
రెండు ద్విపదుల లబ్దంలో 4 పదాలుండును.
ఉదా : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

12. క్రింద ఇవ్వబడినవి సర్వసమీకరణాలు అవునో, కావో సరిచూడండి. a, b, c లు ధన పూర్ణసంఖ్యలు. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
(a – b) ≡ a² – 2ab + b²
సాధన.
a = 3, b = 1
⇒ (3 – 1)² = (3)² – 2 × 3 × 1 + 1
⇒ (2)² = 9 – 6 + 1
∴ (i) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (ii)
(a + b) (a – b) ≡ a² – b²
సాధన.
a = 2, b = 1
⇒ (2 + 1) (2 – 1) = (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 = 4 – 1
3 = 3
∴ (ii) సర్వసమీకరణమే.

ప్రశ్న (iii)
(a + b + c)² ≡ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
సాధన.
a = 1, b = 2, c = 0
⇒ (1 + 2 + 0)² = 1² + 2² + 0² + 2 × 1 × 2
+ 2 × 2 × 0 + 2 × 0 × 1
⇒ (3)² = 1 + 4 + 0 + 4 + 0 + 0
⇒ 9 = 1 + 4 + 4 = 9
∴ 9 = 9
∴ (iii) సర్వసమీకరణమే.

13. x = 2, a = 1 మరియు b = 3 విలువలకు (x + a)(x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab ను సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 260)

ప్రశ్న (i)
LHS = RHS అగునేమో పరిశీలించండి.
సాధన.
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
x = 2, a = 1, b = 3 అయిన
⇒ (2 + 1) (2 + 3) = 2² + (1 + 3) 2 + 1 × 3
⇒ 3 × 5 = 4 + 4 × 2 + 3
⇒ 15 = 4 + 8 + 3
∴ 15 = 15 ∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
x, a మరియు b యొక్క వివిధ విలువలకు పై సర్వసమీకరణం సరిచూడండి.
సాధన.
x = 0, a = 1, b = 2 అయిన
⇒ (0 + 1) (0 + 2) = 0² + (1 + 2) 0 + 1 × 2
1 × 2= 0 + 0 + 2
∴ 2 = 2
∴ LHS = RHS
∴ x, a, b యొక్క వివిధ విలువలకు LHS = RHS అగును.

ప్రశ్న (iii)
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగునా?
సాధన.
a, b యొక్క అన్ని విలువలకు LHS = RHS అగును.

14. (x + p) (x + q) = x² + (p + q)x + pq (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
‘p’ బదులుగా ‘q’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
(x + p) (x + q) = x + (p + q) x + pq లో
pబదులుగా ( ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + q) (x + q) = x² + (q + q) x + q × q
⇒ (x + q) = x² + 24x + q² అగును.

ప్రశ్న (ii)
‘q’ బదులుగా ‘P’ ప్రతిక్షేపించండి. ఏమి గమనించారు ?
సాధన.
q బదులుగా p ను ప్రతిక్షేపించగా
⇒ (x + p) (x + p) = x² + (p + p) x + p × p
⇒ (x + p)² = x² + 2px + p²

ప్రశ్న (iii)
మీరు గమనించిన సర్వసమీకరణాలు ఏవి?
సాధన.
నేను గమనించిన సర్వసమీకరణాలు
(x + q)² = x² + 2qx + q²
(x + p)² = x² + 2px + p²

15. (పేజీ నెం. 261)

ప్రశ్న (i)
(5m + 7n)²
సాధన.
(5m + 7n)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b² [a = 5m, b = 7n]
(5m + 7n)² = (5m)² + 2 × 5m × 7n + (7n)²
= (5m × 5m) + 70 mn + 7n × 7n
= 25m² + 70mn + 49n²

ప్రశ్న (ii)
(6kl + 7mn)²
సాధన.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ప్రకారం
(6kl + 7mn)² = (6kl)² + 2 × 6kl × 7mn +(7mn)²
= 36 k²l² +84 klmn + 49m²n²

ప్రశ్న (iii)
(5a² + 6b²)
సాధన.
a = 5a², b = 6b²
∴ (5a² + 6b²)² = (5a²)² + 2 5a² × 6b² + (6b²)²
= 5a² × 5a² + 60a²b² + 36b⁴
= 25a⁴ + 60a²b² + 36b⁴

ప్రశ్న (iv)
302²
సాధన.
= (300 + 2)²
a = 300, b = 2
∴ (300 + 2)² = (300)² + 2 × 300 × 2 + (2)²
= 300 × 300 + 1200 + 2 × 2
= 90,000 + 1200 + 4
= 91,204

ప్రశ్న (v)
807²
సాధన.
= (800 + 7)²
a = 800, b = 7
(800 + 7)² = (800)² + 2 × 800 × 7 + (7)²
= 800 × 800 + 11,200 + 7 × 7
= 6,40,000 + 11,200 + 49
= 6,51,249

ప్రశ్న (vi)
704² లను విస్తరించండి.
సాధన.
= (700 + 4)²
a = 700, b = 4
∴ (700 + 4)² = (700)² + 2 × 700 × 4 + 4²
= 700 × 700 + 5600 + 4 × 4
= 4,90,000 + 5600 + 16
= 4,95,616

ప్రశ్న (vii)
(a – b)² = a² – 2ab + b² సర్వసమీకరణాన్ని,
a = 3m మరియు b = 5n ఆయినప్పుడు సరిచూడండి.
సాధన.
(a – b)² = a² – 2ab + b² లో a = 3m b = 5nను ప్రతిక్షేపించగా
LHS = (3m – 5n)² = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
RHS = (3m)² – 2 × 3m × 5n + (5n)²
= 9m² – 30mn + 25n²
∴ LHS = RHS

16. (పేజీ నెం. 262)

ప్రశ్న (i)
(9m – 2n)²
సాధన.
(9m – 2n)² ఇడి (a – b)² రూపంలో కలదు
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(9m – 2n)² = (9m)² – 2 × 9m × 2n + (2n)²
= 9m × 9m – 36mn + 2n × 2n
= 81m² – 36mn + 4n²

ప్రశ్న (ii)
(6pq – 7rs)²
సాధన.
a = 6pq, b = 7rs
∴ [6pq – 7rs]² = (6pq)² – 2 × 6pq × 7rs + (7rs)²
= 6pq × 6pq – 84pqrs + 7rs × 7rs
= 36p²q² – 84pqrs + 49r²s²

ప్రశ్న (iii)
(5x² – 6y²)² లను విస్తరించండి
సాధన.
= (5x²)² – 2 × 5x² × 6y² + (6y²)²
= 5x² × 5x² – 60x²y² + 6y² × 6y²
= 25x⁴ – 60x²y² + 36y⁴

ప్రశ్న (iv)
292²
సాధన.
= (300 – 8)²
a = 300, b= 8
∴ (300 – 8)² = (300)² – 2 × 300 × 8+ (8)²
= 300 × 300 – 4800 + 8 × 8
= 90,000 – 4800 + 64
= 90,064 – 4800 = 85,264

ప్రశ్న (v)
897²
సాధన.
= (900 – 3)²
= (900)² – 2 × 900 × 3 + (3)²
= 8,10,000 – 5400 + 9
= 8,10,009 – 5400 = 8,04,609

ప్రశ్న (vi)
794² ల విలువలు కనుగొనండి
సాధన.
= (800 – 6)²
= (800)² – 2 × 800 × 6 + (6)²
= 6,40,000 – 9600 + 36
= 6,40,036 -9600 = 6,30,436

17.

ప్రశ్న (i)
(6m + 7n) (6m – 7n)
సాధన.
(6m + 7n) (6m – 7n) ఇడి (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b)(a – b) = a² – b² ఇక్కడ a = 6m, b = 7m
(6m + 7n) (6m – 7n) = (6m)² – (7n)²
= 6m × 6m – 7n × 7n
= 36m² – 49n²

ప్రశ్న (ii)
(5a + 10b) (5a – 10b)
సాధన.
= (5a)² – (10b)²
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 5a × 5a – 10b × 10b
= 25a² – 100b²

ప్రశ్న (iii)
(3x² + 4y²) (3x² – 4y²) ల విలువలు కనుక్కొండి.
సాధన.
= (3x²)² – (4y²)²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²]
= 3x² × 3x² – 4y² × 4y²
= 9x⁴ – 16y⁴

ప్రశ్న (iv)
106 × 94
సాధన.
= (100 + 6) (100 – 6)
= 100² – 6²
[∵ (a + b)(a – b) = a² – b²)
= 100 × 100 – 6 × 6
= 10,000 – 36 = 9,964

ప్రశ్న (v)
592 × 608
సాధన.
= (600 – 8) (600 + 8)
= (600)² – (8)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²) = 600 × 600 – 8 × 8
= 3,60,000 – 64
= 3,59,936

ప్రశ్న (vi)
92² – 8²
సాధన.
ఇది a² – b² = (a + b)(a – b) రూపంలో కలదు.
92² – 8² = (92 + 8) (92 – 8)
= 100 × 84
= 8400

ప్రశ్న (vii)
984² – 16² లను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
= (984 +16) (984 – 16)
[∵ a² – b² = (a + b)(a – b)]
= (1000) (968)
= 9,68,000

ప్రయత్నించండి

1. వేగము, కాలము ఉపయోగించి దూరము లెక్కించు నప్పుడు, అసలు, రేటు కాలము ఇచ్చినప్పుడు సామాన్య వడ్డీ లెక్కించుటకు బీజీయ సమాసములు వ్రాయుము. బీజీయ సమాసములు ఉపయోగించి విలువలు కనుగొను మరొక రెండు సందర్భములు తెలపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
d = s × t (లేదా) దూరం = వేగం × కాలం
I = \(\frac {PTR}{100}\) (లేదా)
సామాన్య వడ్డీ = \(\frac {అసలు × వడ్డీ రేటు × కాలం}{100}\)
బీజీయ సమాసాలనుపయోగించే రెండు సందర్భాలు :
(i) త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\)bh
(ii) దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత = 2(పొడవు + వెడల్పు)
= 2(l+ b)

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. షీలా 2pq, 4pq ల మొత్తం 8p² q² అని చెప్పింది. సమాధానం సరైందా ? మీ వివరణ ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
2pq, qpq ల మొత్తము = 2pq + 4pg = 6pq.
కానీ షీలా సమాధానం ప్రకారం పై రెండింటి మొత్తం 8p²q²
∴ 8p²q² ≠ 6pq
∴ ఆమె (షీలా) సమాధానం సరియైనది కాదు.

2. రెహమాన్ 4x ను 7yలకు కలిపితే 11xy వస్తుందన్నాడు. మీరు ఏకీభవిస్తారా ? (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
4x, 7y ల మొత్తం ≠ 4x + 7y
రెహమాన్ ప్రకారం పై రెండు పదాల మొత్తం = 11xy
∴ 11xy ≠ 4x + 7y
∴ నేను రెహమాన్ సమాధానంతో ఏకీభవించను.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.5

1. (a + b)² = a² + 2ab + b² ను జ్యామితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూదండి.

ప్రశ్న (i)
a= 2 యూనిట్లు, b = 4 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (2 + 4)² ≡ 2² + 2 × 2 × 4 + (4)²
⇒ (6)² ≡ 4 + 16 + 16
⇒ 36 ≡ 36
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (3 + 1)² ≡ (3)² + 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ 4² ≡ 9 + 6 + 1
⇒ 16 ≡ 16
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (iii)
a = 5 యూనిట్లు, b= 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²
⇒ (5 + 2)² ≡ (5)² + 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ 7² ≡ 25 + 20 + 4
⇒ 49 ≡ 49
∴ LHS ≡ RHS

2. (a – b)² = a² – 2ab + b² ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 1 యూనిట్
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (3 – 1)² ≡ (3)² – 2 × 3 × 1 + (1)²
⇒ (2)² ≡ 9 – 6 + 1 = 10 – 6
⇒ 4 ≡ 4
∴ LHS ≡ RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 5 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
(a – b)² ≡ a² – 2ab + b²
⇒ (5 – 2)² ≡ (5)² – 2 × 5 × 2 + (2)²
⇒ (3)² ≡ 25 – 20 + 4 = 29 – 20
⇒ 9 ≡ 9
∴ LHS ≡ RHS

3. (a + b) (a – b) ≡ a² – b²ను జ్యా మితీయంగా a, bల క్రింది విలువలకు సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
a = 3 యూనిట్లు, b = 2 యూనిట్లు
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (3 + 2) (3 – 2) ≡ 3² – 2²
⇒ 5 × 1 ≡ 9 – 4
⇒ 5 ≡ 5
∴ LHS = RHS

ప్రశ్న (ii)
a = 2 యూనిట్లు, b =1 యూనిట్
సాధన.
⇒ (a + b) (a – b) ≡ a² – b²
⇒ (2 + 1) (2 – 1) ≡ (2)² – (1)²
⇒ 3 × 1 ≡ 4 – 1
⇒ 3 ≡ 3
∴ LHS ≡ RHS

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.4

1. కింది సమస్యలకు తగిన “సర్వసమీకరణాలను” (Identities) సూచించింది. లబ్ధము కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(3k + 4l) (3k +4l)
సాధన.
= (3k + 4l)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (3k)² + 2 × 3k × 4l + (4l)² [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= 3k × 3k + 24kl + 4l × 4l
= 9k² + 24kl + 16l²

ప్రశ్న (ii)
(ax² + by²) (ax² + by²)
సాధన.
= (ax² + by²)² ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
= (ax²)² + 2 × ax² × by² + (by²)² [∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= ax² × ax² + 2abx²y² + by² × by²
= a²x⁴ + 2abx²y² + b²y⁴

ప్రశ్న (iii)
(7d – 9e) (7d – 9e)
సాధన.
= (7d – 9e)², ఇది (a – b)² రూపంలో కలదు.
= (7d)² – 2 × 7d × 9e + (9e)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
= 7d × 7d – 126de + 9e × 9e
= 49d² – 126de + 81e²

ప్రశ్న (iv)
(m² – n²) (m² + n²)
సాధన.
(m² – n²) (m² + n²) ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
∴ (m² + n²) (m² – n²) = (m²)² – (n²)² = m⁴ – n⁴ [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (v)
(3t + 9s) (3t – 9s)
సాధన.
(3t + 9s) (3t – 9s) = (3t)² – (9s)² [∵ (a + b)(a – b) = a² – b²

ప్రశ్న (vi)
(kl – mn) (kl + mn)
సాధన.
= kl × kl – mn × mm
= k²l² – m²n²

ప్రశ్న (vii)
(6x + 5) (6x + 6)
సాధన.
(6x + 5) (6x + 6)
ఇది (ax + b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax + b) (ax + c) = a²x² + ax (b + c) + bc
(6x + 5) (6x + 6) = (6)²x² + 6x (5 + 6) +5 × 6
= 36x² + 6x × 11 + 30
= 36x² + 66x + 30

ప్రశ్న (viii)
(2b – a) (2b + c)
సాధన.
ఇది (ax – b) (ax + c) రూపంలో కలదు.
(ax – b) (ax + c) = a²x² + ax (c – b) – cb
(2b – a) (2b + c) = (2)²b² + 2b (c – a) – ca
= 4b² + 2bc – 2ab – ca

2. కింది వాటికి తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విలువలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
304²
సాధన.
= (300 + 4)², ఇది (a + b)² రూపంలో కలదు.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a = 300, b = 4
(300 + 4)² = (300)² + 2 × 300 × 4 + (4)²
= 300 × 300 + 24000 + 4 × 4
= 90,000 + 2400 + 16 = 92,416

ప్రశ్న (ii)
509²
సాధన.
= (500 + 9)² a = 500, b = 9
= (500)² + 2 × 500 × 9 + (9)²
= 500 × 5000 + 9000 + 9 × 9
= 2,50,000 + 90000 + 81
= 2,59,081

ప్రశ్న (iii)
992²
సాధన.
= (1000 – 8)² a = 1000, b = 8
= (1000)² – 2 × 1000 × 8 + (8)²
= 10000 × 1000 – 16,000 + 8 × 8
= 10,00,000 – 16000 + 64
= 10,00,064 – 1600
= 9,98,464

ప్రశ్న (iv)
799²
సాధన.
= (800 – 1)² a = 800, b = 1
= (800)² – 2 × 800 × 1 + (1)²
= 800 × 800 – 1600 + 1
= 6,40,000 – 1600 + 1
= 6,40,001 – 1600
= 6,38,401

ప్రశ్న (v)
304 × 296
సాధన.
= (300 + 4) (300 – 4),
ఇది (a + b) (a – b) రూపంలో కలదు.
(a + b) (a – b) = a² – b²
(300 + 4) (300 – 4) = (300)² – (4)²
=300 × 300 – 4 × 4
= 90,000 – 16
= 89,984

ప్రశ్న (vi)
83 × 77
సాధన.
= (80 + 3) (80 – 3)
= (80)² – (3)² [∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
= 80 × 80 – 3 × 3
= 6400 – 9
= 6391

ప్రశ్న (vii)
109 × 108
సాధన.
= (100 + 9) (100 + 8)
= (100) + (9 + 8) 100 + 9 × 8
= 10,000 + 1700 + 72
= 11,772

ప్రశ్న (viii)
204 × 206
సాధన.
= (205 – 1) (205 + 1)
= (205)² – (1)²
= 205 × 205 – 1 x 1
= 42,025 – 1
= 42,024

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది ద్విపదులను గుణించండి.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(iii) kl + lm మరియు k – l
(iv) m² – n² మరియు m + n
సాధన.
(i) 2a – 9 మరియు 3a + 4
(2a – 9) (3a + 4) = 2a (3a + 4) – 9(3a + 4)
= 6a² + 8a – 27a – 36
= 6a² – 19a – 36

(ii) x – 2y మరియు 2x – y
(x – 2y) × (2x – y) = x(2x – y) – 2y(2x – y)
= 2x² – xy – 4xy + 2y²
= 2x² – 5xy + 2y²

(iii) kl + lm మరియు k – l
(kl + lm) (k – l) = kl(k – l) + lm (k – l).
= k²l – l²k + klm – l²m

(iv) m² – n² మరియు m + n
(m² – n²) (m + n) = m²(m + n) – n²(m + n)
= m³ + m²n – n²m – n³

2. క్రింది లబ్ధాలను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
(x + y) (2x – 5y + 3xy)
సాధన.
= x (2x – 5y + 3xy) + y(2x – 5y + 3xy)
= 2x² – 5xy + 3x²y + 2xy – 5y² + 3xy²
= 2x² – 5y² – 2xy + 3x²y + 3xy²

ప్రశ్న (ii)
(a – 2b + 3c) (ab² – a²b)
సాధన.
= a (ab² – a²b) – 2b (ab² – a²b) + 3c (ab² – a²b)
= a²b² – a³b – 2ab³ + 2a²b² + 3cab² – 3ca²b
= 3a²b² – a³b – 2ab³ + 3cab² – 3ca²b

ప్రశ్న (iii)
(mn – kl + km) (kl – lm)
సాధన.
= kl (mn – kl + km) – lm (mn – kl + km)
= klmn – k²l² + k²lm – lm²n + kl²m – klm²

ప్రశ్న (iv)
(p³ + q³)(p – 5q + 6r)
సాధన.
= p³ (p – 5q + 6r) + q³ (p – 5q + 6r)
= p⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ – 5q⁴ + 6rq³
= p⁴ – 5q⁴ – 5p³q + 6p³r + pq³ + 6rq³

3. సూక్ష్మీకరించండి.

ప్రశ్న (i)
(x – 2y) (y – 3x) + (x + y) (x – 3y) – (y – 3x) (4x – 5y)
సాధన.
= (y – 3x) [x – 2y – (4x – 5y)] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) [x – 2y – 4x + 5y] + (x + y) (x – 3y)
= (y – 3x) (3y – 3x) + (x + y) (x – 3y)
= y (3y – 3x) – 3x (3y – 3x) + x (x – 3y) + y (x – 3y)
= 3y² – 3xy – 9xy + 9x² + x² – 3xy + xy – 3y²
= 10x² – 14xy

ప్రశ్న (ii)
(m + n) (m² – mn + n²)
సాధన.
= m (m² – mn + n²) + n (m² – mn + n²)
= m³ – m²n + n²m + nm² – mn² + n³
= m³ + n³

ప్రశ్న (iii)
(a – 2b + 5c) (a – b) – (a – b – c) (2a + 3c) + (6a + b) (2c – 3a – 5b)
సాధన.
= a(a – 2b + 5c) – b (a – 2b + 5c) – 2a (a – b – c) – 3c (a – b – c) + 6a (2c – 3a – 5b) + b (2c – 3a – 5b)
= a² – 2ab + 5ac – ab + 2b² – 5bc – 2a² + 2ab + 2ac – 3ac
+ 3bc + 3c² + 12ac – 18a² – 30ab + 2bc – 3ab – 5b²
= – 19a² – 3b² – 34ab + 16ac + 3c²

ప్రశ్న (iv)
(pq – qr + pr) (pq + qr) – (pr + pq) (p + q – r)
సాధన.
= pq (pq – qr + pr) + qr (pq – qr + pr) – pr (p + q – r)
= p²q² – pq²r + p²qr + pq²r – q²r² + pqr² – p²r – pqr + pr² – p²q – pq² + pqr
= p²q² – q²r² + p²qr + pqr² – p²r + pr² – p²q – pq²

ప్రశ్న 4.
a, b, cలు మూదు ధన వాస్తవసంఖ్యలు మరియు \(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}}{\mathbf{c}}=\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{b}}=\frac{-\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{\mathbf{a}}\), అయిన \(\frac{(\mathbf{a}+\mathbf{b})(\mathbf{b}+\mathbf{c})(\mathbf{c}+\mathbf{a})}{\mathbf{a b c}}\) విలువ కనుగొనుము
సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
పట్టికను పూర్తి చేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
4y (3y + 4)ను సూక్ష్మీకరించంది.
సాధన.
4y (3y + 4) = 4y × 3y + 4y × 4
= 12y² + 16y

ప్రశ్న 3.
x (2x² – 7x + 3) ను సూక్ష్మీకరించి
(i) x = 1 మరియు (ii) x = 0 విలువలకు లబ్ధం విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
x (2x² – 7x + 3)
= x × 2x² – x × 7x + x × 3
= 2x³ – 7x² + 3x

(i) x = 1 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(1)³ – 7(1)² + 3(1)
= 2 – 7 + 3 = – 2

(ii) x = 0 అయిన 2x³ – 7x² + 3x
= 2(0)³ – 7(0)³ + 3(0) = 0

ప్రశ్న 4.
క్రింది లబాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
a(a – b), b(b – c), c(c – a)
సాధన.
a (a – b) + b (b – c) + c (c – a)
= a × a – a × b + b × b – b × c + c × c – c × a
= a² – ab + b² – bc + c² – ca
= a² + b² + c² – ab – bc – ca

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది లబ్దాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
x(x + y – r), y(x – y + r), z(x – y – z)
సాధన.
x (x + y – r) + y (x – y + r) + z (x – y – z)
= x² + xy – xr + xy – y² + yr + zx – yz – z²
= x² – y² – z² + 2xy – xr + yr + zx – yz

ప్రశ్న 6.
3x(x + 2y) లబ్ధం నుండి 2x(5x – y) లబాన్ని తీసివేయండి.
సాధన.
3x (x + 2y) – 2x (5x – y)
= (3x × x + 3x × 2y) – (2x × 5x – 2x × y)
= 3x² + 6xy – (10x² – 2xy)
= 3x² + 6xy – 10x² + 2xy
= 8xy – 7x²

ప్రశ్న 7.
6k(2k + 3l – 2m) నుండి 3k(5k – l + 3m) ను తీసివేయండి.
సాధన.
6k (2k + 3l – 2m) – 3k (5k – l + 3m)
= 12k² + 18kl – 12km – 15k² + 3kl – 9km
= – 3k² + 21kl – 21km

ప్రశ్న 8.
a²(a – b + c) + b² (a + b – c) – c² (a – b – c)ని సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
a²(a – b + c) + b²(a + b – c) – c² (a – b – c)
= a³ – a²b + a²c + ab² + b³ – cb² – c²a + c²b + c³
= a³ + b³ + c³ – a²b + ab² – cb² – c²a + c²b + a²c