Class 8

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 బీజీయ సమాసాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 11th Lesson బీజీయ సమాసాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇచ్చిన ఏకపది జతల లబ్దాన్ని కనుగొనండి.
(i) 6, 7k
(ii) – 3l, – 2m
(iii) – 5t², – 3t²
(iv) -5p², – 2p
సాధన.
(i) 6, 7k ల లబ్దం = 6 × 7k = 42k
(ii) – 3l, – 2m ల లబ్దం = (-3l) × (-2m) = 6lm
(iii) – 5t², – 3t² ల లబ్ధం = (-5t²) × (-3t²) = + 15t⁴
(iv) 6n, 3m ల లబ్దం = 6n × 3m = 18mn
(v) – 5p², – 2p ల లబ్ధం = (-5p²) × (-2p) = + 10p³

ప్రశ్న 2.
క్రింది లబ్ధాల పట్టికను పూర్తిచేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
క్రింది పట్టికలో కొన్ని దీర్ఘఘనాల పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల కొలతలు ఇవ్వబడినవి. వాటి ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రశ్న 4.
క్రింది ఏకపదుల లబ్ధాన్ని కనుగొనండి.
(i) xy, x²y, xy, x
(ii) a, b, ab, a³b, ab³
(iii) kl, lm, km, klm
(iv) pq, pqr, r
(v) – 3a, 4ab, – 6c, d
సాధన.
(i) xy, x²y, xy, xల లబ్దం = xy × x²y × xy × x
= x⁵ × y³ = x⁵y³
(ii) a, b, ab, a³b, ab²ల లబ్దం = a × b × ab × a³b × ab³
= a⁶ × b⁶ = a⁶b⁶
(iii) kl, lm, km, klm = kl × lm × km × klmల లబ్దం = k³ × l³ × m³ = k³l³m³
(iv) pq, pqr, r = pq × pqr × rల లబ్దం = p² × q² × r² = p²q²r²
(v) – 3a, 4ab, -6c, dల లబ్దం = (-3a) × 4ab (-6c) × d
= + 72a² × b × c × d
= 72a²bcd

ప్రశ్న 5.
A = xy, B = yz wodi C = zx, అయన ABC = ………………….
సాధన.
ABC = xy × yz × zx = x²y²z²

ప్రశ్న 6.
P = 4x², T = 5x మరియు R = 5y, అయన \(\frac {PTR}{100}\) = ……………….
సాధన.
\(\frac{\mathrm{PTR}}{100}=\frac{4 \mathrm{x}^{2} \times 5 \mathrm{x} \times 5 \mathrm{y}}{100}=\frac{100 \mathrm{x}^{3} \mathrm{y}}{100}\) = x³y

ప్రశ్న 7.
స్వంతంగా కొన్ని ఏకపదులను వ్రాసి, వాటి లబ్దాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
కొన్ని ఏకపదుల లబ్ధం
(i) abc × a²bc = a³b²c²
(ii) xy × x²z × yz² = x³y²z²
(iii) p × q² × r³ = pq²r³

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.3

ప్రశ్న1.
45 మంది విద్యార్థుల యొక్క ప్రజ్ఞా సూచిక (IQ) స్థాయిలు ఇవ్వబడినవి. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించండి.

సాధన.

నిర్మాణక్రమం :
1. రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల భేదం లెక్కించవలెను. h = 75 – 65 = 10
∴ తరగతి అంతరం = 10 గా తీసుకోవలెను.
2. సరియైన సూచికను ఎన్నుకోవలెను.
X అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 యూ. (తరగతి అంతరం)
Y అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 విద్యా ర్థి
3. తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా తీసుకొని సోపానాలను నిర్మించితిని.

ప్రశ్న2.
7వ తరగతి వార్షిక పరీక్షలలో 600 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి. సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించండి.

సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతి మార్కు (మధ్య విలువ) ల నుండి తరగతులను తయారు చేసుకొనవలెను.
సోపానం 1 : రెండు వరుస తరగతుల మధ్య విలువల మధ్య భేదం లెక్కించవలెను. h = 400 – 360 = 40
(ప్రతి రెండు వరుస తరగతుల మధ్య భేదము సమానమేనా ?)

సోపానం 2 : తరగతుల యొక్క దిగువ, ఎగువ హద్దులను తరగతి మధ్యవిలువ Xగా తీసుకొని x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) నుండి x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) లోపు నిర్ణయించవలెను.
x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 360 – \(\frac {40}{2}\) = 340
x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 360 + \(\frac {40}{2}\) = 380

సోపానం 3 : సరియైన సూచికను ఎన్నుకొనవలెను.
X – అక్షము 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షము 1 సెం.మీ. = 20 మంది విద్యార్థులు

సోపానం 4 : తరగతి అంతరాలను వెడల్పులుగా, పౌనఃపున్యాలను పొడవులుగా వరుస సోపానములు నిర్మించవలెను.

తరగతి మార్కులు	తరగతి అంతరము	పౌనఃపున్యము
360	340 – 380	100
400	380 – 420	125
440	420 – 460	140
480	460 – 500	95
520	500 – 540	80
560	540 – 580	60

స్కేలు : Y – అక్షంపై విద్యార్థుల సంఖ్య = 20, X – అక్షంపై విద్యార్థుల మార్కులు

ప్రశ్న3.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు 250 మంది శ్రామికులు ఒక వారపు వేతనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖాచిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిలను ఒకే గ్రాఫు నందు నిర్మించండి.

సాధన.

సోపాన నిర్మాణం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల భేదం తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. h = 575 – 525 = 50
2. X – అక్షంపై శ్రామికుల వారాంతపు వేతనం = 1 సెం.మీ. = 50 రూ.
Y – అక్షంపై శ్రామికుల సంఖ్య 1 సెం.మీ. = 10 మంది
3. X – అక్షం పై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలను తీసుకొని సోపాన చిత్రం గీచితిని.
4. సోపానములపై వెడల్పు యొక్క మధ్య బిందువులు A, B, C, D, E, F, G, H గా గుర్తించితిని.
5. సోపాన చిత్ర వైశాల్యం, బహుభుజి వైశాల్యానికి సమానం అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న4.
ఒక మండలములోని 60 మంది ప్రాథమిక పాఠశాల ఉపాధ్యాయుల వయస్సులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య బహుభుజి, పౌనఃపున్య వక్రములను వేరువేరు గ్రాఫులపై నిర్మించండి.

సాధన.
పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించుట :
సోపానక్రమం :
1. రెండు వరుస మధ్య విలువల మధ్య భేదం = తరగతి అంతరం = 30 – 26 = 4
2. X – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల వయస్సు.
Y – అక్షంపై ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య తీసుకొని గ్రాఫ్ నిర్మించితిని.
3. స్కేల్ : X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 4 యూనిట్లు
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 2 యూనిట్లుగా తీసుకొని పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించితిని.
4. X – అక్షంపై తరగతి వెడల్పులు, Y – అక్షంపై పౌనఃపున్యాలు తీసుకొని నిర్మించిన బిందువులను స్కేలుతో కలుపగా పౌనఃపున్య బహుభుజి, అదే విధంగా చేతితో కలుపగా పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడినది.

పౌనఃపున్య బహుభుజి :

పౌనఃపున్యం వక్రం :

ప్రశ్న5.
క్రింది దత్తాంశమునకు తరగతులు, పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి. ఆ దత్తాంశమునకు జివ్ వక్రములను రెండింటిని గీయండి.

సాధన.
1. ఇచ్చిన తరగతులు సంలీన తరగతులైతే, మినహాయింపు తరగతులుగా మార్చవలెను.
2. ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలను గణించవలెను.
3. X – అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం నిర్మించవచ్చు.
4. X – అక్షంపై దిగువ హద్దులు, Y – అక్షంపై అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలచే అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రంను నిర్మించవచ్చు.
5. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం / అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం కొరకు స్కేలును తీసుకొనవలెను.
X – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 10 (విద్యార్థుల సంఖ్య)
6. మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు, పౌనఃపున్యంతో బిందువును గుర్తించవలెను.
7. అన్ని బిందువులను వరుసగా సున్నిత వక్రములచే కలుపవలెను. ఈ వక్రమును “ఓజివ్ వక్రం” అంటారు.
ఇదే విధంగా అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాన్ని (ఓజివ్ వక్రం) గీయవచ్చును.

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.2

ప్రశ్న1.
ఒక కాలనీలోని 45 మంది యొక్క వయస్సులు క్రింది విధంగా ఉన్నవి.

6 తరగతులు ఉండునట్లుగా వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము తయారు చేయండి.
సాధన.
తరగతుల సంఖ్య = 6
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 63 – 5 = 58

ప్రశ్న2.
ఒక పాఠశాలలోని 30 తరగతులలో విద్యార్థుల సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి. తరగతి పొడవు 4 (విద్యార్థులు) ఉండునట్లుగా ఈ దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి.

సాధన.
తరగతి అంతరం = 4
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 40 – 15 = 25

ప్రశ్న3.
ఒక వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడిన తరగతులు 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43 అయిన (i) తరువాత రెండు తరగతులను వ్రాయండి. (ii) తరగతి హద్దులు వ్రాయండి.
సాధన.
ఇవ్వబడిన తరగతులు : 4 – 11, 12 – 19, 20 – 27, 28 – 35, 36 – 43
i) తరువాతి తరగతులు : 44 – 51, 52 – 59
ii) తరగతి హద్దులు :

తరగతి అంతరం	తరగతి హద్దులు
4 – 11	3.5 – 11.5
12 – 19	11.5 – 19.5
20 – 27	19.5 – 27.5
28 – 35	27.5 – 35.5
36 – 43	35.5 – 43.5
44 – 51	43.5 – 51.5
52 – 59	51.5 – 59.5

ప్రశ్న4.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు తరగతి మార్కులు (మధ్య విలువలు) ఇవ్వబడ్డాయి.

i) దత్తాంశమునకు మినహాయింపు తరగతులను నిర్మించండి.
ii) ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
iii) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను వ్రాయండి.
సాధన.

మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు కనుగొనుట :
వరుస తరగతి మార్కుల మధ్య భేదం = h = 22 – 10 = 12
ఒక్కొక్క తరగతి మార్కు ‘x’ అయిన ఆ తరగతి హద్దులు x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\), x + \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) లు అగును.
మొదటి తరగతి దిగువ హద్దు = x – \(\frac{\mathrm{h}}{2}\) = 10 – \(\frac {12}{2}\) = 10 – 6 = 4
ఎగువ హద్దు = 10 + \(\frac {12}{2}\) = 10 + 6 = 16
ఈ విధంగా మిగిలిన తరగతులు కనుగొనవలెను.

ప్రశ్న5.
35 మంది విద్యార్థులకు సాంఖ్యక శాస్త్ర పరీక్షలో 50 మార్కులకు గాను సాధించిన మార్కులు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారు చేయండి. విభాజన చేయు తరగతులలో ఒకటి 10 – 20 ఉండవలెను. (20 ఆ తరగతికి చెందకూడదు)
సాధన.
వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనం

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం
0 – 10	2
10 – 20	10
20 – 30	4
30 – 40	9
40 – 50	10

తరగతి అంతరం = 10 (10 – 20 నుండి)
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 48 – 1 = 47

ప్రశ్న6.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు తరగతి హద్దులు వ్రాయండి. ఆరోహణ మరియు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రశ్న7.
క్రింది విభాజన పట్టికలో సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. ఎటువంటి సంచిత పౌనఃపున్యమో గుర్తించండి. పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.
ఇచ్చిన విభజన పట్టికలో పై నుండి క్రిందకు పౌనఃపున్యాలు పెరుగుతున్నాయి కావునా ఇది ఒక ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక.

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం	పౌనఃపున్యం
3	3
8	(8 – 3) 5
19	(19 – 8) 11
25	(25 – 19) 6
30	(30 – 25) 5

∴ కావలసిన ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక.

ప్రశ్న8.
క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు ఇవ్వబడ్డాయి. అయితే అన్ని తరగతులకు పౌనఃపున్యములు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు వ్రాయండి.

సాధన.

అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం	పౌనఃపున్యం	ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
42	(42 – 36) 6	6
36	(36 – 23) 13	19
23	(23 – 14) 9	28
14	(14 – 6) 8	36
6	6	42

∴ కావలసిన వర్గీకృత పౌనఃపున్య పట్టిక :

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు Exercise 7.1

ప్రశ్న1.
ఒక దుకాణంలో వారంలో జరిగిన అమ్మకాలు రోజు వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. వాటి అంకగణిత మధ్యమము కనుగొనండి.
₹ 10000, ₹ 10250, ₹ 10790, ₹ 9865, ₹ 15350, ₹ 10110
సాధన.

ప్రశ్న2.
10.25, 9, 4.75, 8, 2.65, 12, 2.35 రాశుల అంకగణిత మధ్యమమెంత ?
సాధన.

ప్రశ్న3.
8 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 25. వాని నుండి 11 అను రాశిని తొలగించగా మిగిలిన రాశుల అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి.
సాధన.
8 రాశుల అంకమధ్యమం = 25
⇒ 8 రాశుల మొత్తం = 25 × 8 = 200
11 అను రాశిని తొలగించగా వచ్చు రాశుల మొత్తం = 200 – 11 = 189
∴ మిగిలిన 7 రాశుల అంకమధ్యమం = \(\frac {189}{7}\) = 27

ప్రశ్న4.
9 రాశుల అంకగణిత మధ్యమము 38 గా లెక్కించబడినది. కానీ అట్లు లెక్కించుటలో 72ను 27గా పొరపాటుగా తీసుకున్నారు. అయిన సరియైన అంక గణిత మధ్యమమును లెక్కించండి.
సాధన.
9 రాశుల అంకమధ్యమం = 38
9 రాశుల మొత్తం = 38 × 9 = 342
72 ను 27 గా తీసుకొనిన సరియైన అంశం 72 – 27 = 45
∴ సరియైన రాశుల మొత్తం = 342 + 45 = 387
∴ సరియైన సగటు = \(\frac {387}{9}\) = 43

ప్రశ్న5.
ఐదు సంవత్సరముల క్రిందట ఒక కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు 25 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు ఎంత ? (సభ్యుల సంఖ్యలో మార్పులేదు)
సాధన.
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశులకు ఒక సంఖ్యను కూడినా లేక అన్ని రాశుల నుండి ఒక సంఖ్యను తీసివేసినా ఆ దత్తాంశం యొక్క అంకగణిత మధ్యమం కూడా అదే విధంగా మార్పు చెందుతుంది.
5 సం॥ల క్రిందట కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 సం॥లు
ప్రస్తుతం ఆ కుటుంబ సభ్యుల సరాసరి వయస్సు = 25 + 5 = 30 సం॥

ప్రశ్న6.
రెండు సం॥ల క్రిందట ఒక సమూహములోని 40 మంది వయస్సుల సగటు వయస్సు 11 సం॥లు. ప్రస్తుతము ఆ సమూహము నుండి ఒక వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళిపోగా మిగిలిన సభ్యుల సగటు వయస్సు 12 సం॥లు. అయిన వెళ్ళిపోయిన వ్యక్తి వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
ఒక సమూహంలోని 40 మంది వయస్సుల ప్రస్తుత సగటు వయస్సు = (11 + 2) సం॥లు
∴ 40 మంది వయస్సుల మొత్తం = 40 × (11 + 2)
= 40 × 13 = 520 సం॥లు
40 మంది నుండి 1 వ్యక్తి బయటకు వెళ్ళగా మిగిలిన సభ్యుల సంఖ్య = 40 – 1 = 39
39 మంది సగటు వయస్సు = 12 సం॥లు
39 మంది వ్యక్తుల వయస్సుల మొత్తం = 12 × 39 = 468
∴ బయటకు వెళ్ళిన వ్యక్తి వయస్సు = 520 – 468 = 52 సం॥లు

ప్రశ్న7.
ఒక దత్తాంశములోని 5, 8, 10, 15, 22 అను రాశుల యొక్క అంకగణిత మధ్యమము నుండి వాని విచలనాల మొత్తమును కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
20 రాశుల సరాసరి నుండి వాని విచలనాల మొత్తము 100 అయిన, విచలనముల సరాసరి ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న9.
ఒక యూనిట్ పరీక్షలో 12 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14 అయిన ఒక విలువను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని దత్తాంశమునకు అంకగణిత మధ్యమమును కనుగొనండి. మరియొక సంఖ్యను ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా తీసుకొని మరలా సరాసరిని కనుగొనండి. రెండుసార్లు సమాన ఫలితాలు వచ్చినవా ? మీ అభిప్రాయం ఏమిటి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 4, 21, 13, 17, 5, 9, 10, 20, 19, 12, 20, 14
నేను ఊహించిన అంకమధ్యమం 10 అనుకొనిన,
అంకగణిత మధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం + విచలనాల సరాసరి

\(\overline{\mathrm{x}}\) = అంకమధ్యమం = 13.67
మరొక ఊహించిన అంకమధ్యమం 12 అయిన
\(\overline{\mathrm{x}}\) అంకమధ్యమం = ఊహించిన అంకగణిత సగటు + విచలనాల సరాసరి

\(\overline{\mathrm{x}}\) = 13.67
∴ అన్ని సందర్భాలలో \(\overline{\mathrm{x}}\) = 13.67 అగును.

ప్రశ్న10.
ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థుల మార్కుల సరాసరి 15 (25 మార్కులకు). వారిలో కరిష్మా అనే విద్యార్థి మిగిలిన 9 మంది విద్యార్థులను అడిగి తన కన్నా ఎన్ని మార్కులు ఎక్కువ లేక తక్కువ అనే వివరాలను సేకరించింది. ఆ విచలనాలు – 8, – 6, – 3, – 1, 0, 2, 3, 4, 6. అయిన ఆమెకు వచ్చిన మార్కులెన్ని?
సాధన.
10 మంది విద్యార్థుల సరాసరి = 15 (25 మార్కులకు)
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150,
కరిష్మా మార్కులు = x
9మంది మార్కుల విచలనాలు
= -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
∴ x – 8 + x – 6 + x – 3 + x – 1 + x + 0 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 6 + x = 150
10x – 18 + 15 = 150
∴ 10x – 3 = 150
10x = 150 + 3 = 153
x = \(\frac {153}{10}\) = 15.3 మార్కులు
(లేదా)
ఇచ్చిన విచలనాలు = -8, -6, -3, -1, 0, 2, 3, 4, 6
కరిష్మా మార్కులు = x అనుకొనిన
మొత్తం మార్కులు = 10 × 15 = 150
∴ పరిశీలనాంశాలు – -8+ x, – 6 + x, -3 + x, -1 + x, 0 + x, 2 + x, 3 + x, 4 + x, 6 + x అగును.

⇒ \(\frac{10 x-18+15}{10}\) = 15 (సగటు = 15 ఇవ్వబడినది)
⇒ 10x – 3 = 150
⇒ 10x = 150 + 3
⇒ 10x = 153
⇒ x = \(\frac {153}{10}\)
x = 15.3 మార్కులు
∴ కరిష్మా పొందిన మార్కులు = 15.3

ప్రశ్న11.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని n రాశుల విచలనముల మొత్తము 25 మరియు 35 అను విలువ నుండి అవే రాశుల విచలనాల మొత్తం – 25 అయిన ఆ దత్తాంశము యొక్క అంకగణిత సగటు ఎంత ?
సాధన.
25 అను విలువ నుండి ఒక దత్తాంశములోని x రాశుల విచలనముల మొత్తం = Σx₁ = 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 25 + \(\frac{\Sigma x_{1}}{n}\) = 25 + \(\frac{25}{n}\)
= \(\frac{25 n+25}{n}\)
35 అను విలువ నుండి అదే రాశుల విచలనాల మొత్తం = Σx₁ = – 25
∴ ఈ రాశుల సరాసరి = 35 + \(\frac{\Sigma x_{1}}{n}\) = 35 + \(\frac{(-25)}{n}\)
= \(\frac{35 n-25}{n}\)
∴ ఆ దత్తాంశము యొక్క సగటు

(లేదా)
25 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు
= x₁, x₂, x₃, …….. x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
= x₁ – 25, x₂ – 25, ……….. + x_n – 25 అగును.
∴ పరిశీలనాంశాల మొత్తం = Σn
⇒ x₁ – 25 + x₂ – 25 + ……….. + x_n – 25 = 25
⇒ (x₁ + x₂ + …… + x_n) – (25n) = 25
⇒ x₁ + x₂ + ……. + x_n = 25 + 25n
= 25 (1 + n) —— (1)
35 నుండి తీసుకొనబడిన విచలనాలు = x₁, x₂, x₃, ……… x_n అనుకొనుము.
∴ కావలసిన పరిశీలనాంశాలు
⇒ x₁ – 35, x₂ – 35, ……… x_n – 35 అగును.
పరిశీలనాంశాల మొత్తం = – 25
∴ (x₁ – 35) + (x₂ – 35) + ……. + (x_n – 35) = – 25
⇒ (x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n) – 35n = – 25
⇒ x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n = – 25 + 35n —— (2)
(1), (2) ల నుండి
25 + 25n = – 25 + 35n
⇒ 10n = 50 ⇒ n = 5
∴ మొత్తం పరిశీలనాంశాల సగటు

ప్రశ్న12.
3.3, 3.5, 3.1, 3.7, 3.2, 3.8 రాశుల యొక్క మధ్యగతము ఎంత ?
సాధన.
3. 3, 3. 5, 3. 1, 3.7, 3.2, 3.8 ల ఆరోహణ క్రమం
= 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.7, 3.8
n = 6 (సరిసంఖ్య)
కావున మధ్యగతం = \(\frac{n}{2},\left(\frac{n}{2}+1\right)\) ల సరాసరి
= \(\frac{6}{2},\left(\frac{6}{2}+1\right)\)
= 3, 4 రాశుల సరాసరి
= \(\frac{3.3+3.5}{2}\)
= \(\frac {6.8}{2}\)
= 3.4

ప్రశ్న13.
ఆరోహణ క్రమములోనున్న రాశులు .10, -12, 14, x – 3, x, x + 2, 25 ల మధ్యగతము 15 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 10, 12, 14, x – 3, x, x + 2, 25
⇒ n = 7 (బేసి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4వ పదం
= x – 3
⇒ x – 3 = 15
x = 15 + 3
∴ x = 18

ప్రశ్న14.
10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10 రాశుల యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు : 10, 12, 11, 10, 15, 20, 19, 21, 11, 9, 10
పై రాశులలో అత్యధికంగా పునరావృతమయ్యే సంఖ్య 10.
∴ బాహుళకం = 10

ప్రశ్న15.
కొన్ని రాశుల బాహుళకము x, దత్తాంశములోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేయగా, కొత్త దత్తాంశమునకు బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
కొన్ని రాశుల బాహుళకం = x
దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల నుండి 3 తీసివేసిన వచ్చు బాహుళకం = x – 3

ప్రశ్న16.
1 నుండి 100 వరకు సహజ సంఖ్యలను వ్రాయుటలో ఉపయోగించు అంకెలన్నింటి యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
సాధన.
1 నుండి 100 వరకు గల అంకెలు
1, 2, 3, …….. 99, 100 వరకు గల సహజ సంఖ్యల బాహుళకం = 0
ఒక్కొక్క సంఖ్య యొక్క బాహుళకం = 1
(∵ ఒక్కొక్క సంఖ్య ఒకసారి మాత్రమే వస్తుంది)

ప్రశ్న17.
ఒక దత్తాంశములోని రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24. నాలుగు రాశులను కలుపగా దత్తాంశము యొక్క సరాసరి, మధ్యగతములో మార్పులేదు కానీ బాహుళకము 1 పెరిగినది. అయిన కలిపిన 4 సంఖ్యలేవి ?
సాధన.
ఇచ్చిన రాశులు 5, 28, 15, 10, 15, 8, 24

మధ్యగతం = 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28 (n = 7)
= \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి = 15
బాహుళకం = 15
దత్తాంశానికి కలుపవలసిన 4 రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄ అనుకొనుము.
బాహుళకం ‘1’ పెరిగినది. అనగా 3 సంఖ్యలు సమానాలు అని అర్థం.
∴ x₁ = x₂ = x₃ = x అనుకొనుము.
∴ 5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క సగటు
⇒ \(\frac{x+x+x+x_{4}+105}{11}\) = 15
⇒ 3x + x₄ = 165 – 105 = 60
3x + x₄ = 60 ——— (1)
5, 8, 10, 15, 15, 24, 28, x, x, x, x₄ యొక్క బాహుళకం = x అగును.
కానీ లెక్క ప్రకారం 4 సంఖ్యలను కొత్తగా కలుపగా ఏర్పడు బాహుళకం ‘1’ పెరిగినచో
∴ x = 15 + 1 = 16 అగును.
∴ x = 16 ——- (2)
(1), (2) ల నుండి
∴ 3x + x₄ = 60 ⇒ x₄ = 60 – 48
∴ x₄ = 12
∴ కావలసిన సంఖ్యలు వరుసగా x, x, x, x₄ = 16, 16, 16, 12 అగును.

ప్రశ్న18.
x₁, x₂, ……., ……. x₁₀ రాశుల సరాసరి 20 అయిన x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, ….., X₁₀ + 40 రాశుల సరాసరి కనుగొనుము.
సాధన.
x₁, x₂, ………… x₁₀ రాశుల సరాసరి
\(\frac{\Sigma \mathrm{x}_{10}}{\mathrm{~N}}\) = 20 ……. (1)
x₁ + 4, x₂ + 8, x₃ + 12, …… x₁₀ + 40 ల సరాసరి
= \(\frac{x_{1}+4+x_{2}+8+\ldots \ldots . x_{10}+40}{N}\)

ప్రశ్న19.
9 పూర్ణసంఖ్యల జాబితాలో 6 పూర్ణసంఖ్యలు 7, 8, 3, 5, 9 మరియు 5 లు అయిన ఆ 9 పూర్ణసంఖ్యలకు గల గరిష్ఠ మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 పూర్ణసంఖ్యలలో ఇచ్చిన 6 పూర్ణసంఖ్యలు
7, 8, 3, 5, 9, 5
వీటి ఆరోహణ క్రమం
⇒ 3, 5, 5, 7, 8, 9
మిగిలిన 3 పూర్ణసంఖ్యలు x₁, x₂, x₃ లు అనుకొనుము.
∴ 3, 5, 5, 7, 8, 9, x₁, x₂, x₃ ల మధ్యగతం
= \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) (n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య)
\(\frac{9+1}{2}\) = 5 వ రాశి = 8
∴ ఇచ్చిన రాశుల గరిష్ఠ మధ్యగతం = 8

ప్రశ్న20.
9 వేర్వేరు రాశుల మధ్యగతము 20. అందుగల నాలుగు మిక్కిలి పెద్ద సంఖ్యలకు ప్రతి రాశికి 2 కలపగా వచ్చు కొత్త రాశుల మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
9 రాశులు x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ < x₆ < x₇ < x₈ < x₉ అనుకొనుము.
వీటి మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) [n = 9 ఒక బేసి సంఖ్య ]
\(\frac{9+1}{2}\) = 5 వ రాశి = x₅ = 20
∴ x₅ = 20
చివరి 4 పెద్ద రాశులకు ప్రతి సంఖ్యకు 2ను కలుపగా వచ్చు రాశులు x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ + 2, x₇ + 2, x₈ + 2, x₉ + 2 ∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) (n ఒక బేసి సంఖ్య)
= \(\frac{9+1}{2}\) = 5వ రాశి
∴ x₅ = 20

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది సంఖ్యల మధ్య నున్న వర్గసంఖ్యలు ఏవి ? (i) 100 మరియు 150 (ii) 150 మరియు 200 (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
(i) 100 మరియు 150 మధ్య గల వర్గ సంఖ్యలు = 121, 144
(ii) 150 మరియు 200 మధ్య గల వర్గసంఖ్యలు = 169, 196

2. 56 పరిపూర్ణ వర్గమా? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 124)
సాధన.
56 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం = 8 × 7 = (2 × 2) × 2 × 7
56 ను రెండు, ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కావున 56 వర్గసంఖ్య కాదు.

3. 9² మరియు 10² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 10² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య = 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 9 = 18 (82, 83, ……….. 99 = 18)

4. 15² మరియు 16² మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలున్నాయి ? (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
15² మరియు 16² మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యల సంఖ్య
= 2 × మొదటి వర్గసంఖ్య (భూమి)
= 2 × 15 = 30 (226, 227, ………… 254, 255) = 30

5. క్రింది సంఖ్యలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
(i) 2, 3, 4 (ii) 6, 8, 10 (iii) 9, 10, 11 (iv) 8, 15, 17
సాధన.

సంఖ్యలు	పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగుట	అవును / కాదు
(i) 2, 3, 4	42 = 22 + 32 ⇒ 16 ≠ 13	కావు
(ii) 6, 8, 10	102 = 62 + 82 ⇒ 100 = 100	అవును
(iii) 9, 10, 11	112 = 92 + 102 ⇒ 121 ≠ 181	కావు
(iv) 8, 15, 17	172 = 82 + 152 ⇒ 289 = 289	అవును

6. ఒక పైథాగోరియన్ త్రికాన్ని తీసుకొని వాటి గుణిజాలను వ్రాయండి. గుణిజాలతో ఏర్పడిన త్రికాలు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయేమో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికాలు.


∴ పైథాగోరియన్ త్రికాల గుణకాలు కూడా పైథాగోరియన్ త్రికాలు అగును.

7. పునరావృత వ్యవకలనం (Repeated subtraction) ద్వారా క్రింది సంఖ్యలు (పరిపూర్ణ) వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో, లేదో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 131)
(i) 55
(ii) 90
(iii) 121
సాధన.
(i) \(\sqrt{55}\)
సోపానం 1 → 55 – 1 = 54 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 54 – 3 = 51 (2వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 51 – 5 = 46 (3వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 46 – 7 = 39 (4వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 39 – 9 = 30 (5వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 30 – 11 = 19 (6వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 19 – 13 = 6 (7వ బేసి సంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 7 వరుస బేసిసంఖ్యలు 55 నుండి తీసివేయగా ‘0’ రాలేదు. కావునా 55 వర్గసంఖ్య కాదు.

(ii) \(\sqrt{90}\)
సోపానం 1 → 90 – 1 = 89 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 89 – 3 = 86 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 86 – 5 = 81 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 81 – 7 = 74 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 74 – 9 = 65 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం )
సోపానం 6 → 65 – 11 = 54 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం, 7 → 54 – 13 = 41 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 41 – 15 = 26 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 26 – 17 = 9 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 9 వరుస బేసి సంఖ్యలు 90 నుండి తీసివేసిన ‘0’ రాలేదు. కావునా ’90’ పరిపూర్ణ సంఖ్య కాదు.
Note : పై పద్ధతిలో చివరగా (సున్న) ‘0’ వచ్చినట్లయితే అది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అవుతుంది.

(iii) \(\sqrt{121}\)
సోపానం 1 → 121 – 1 = 120 (మొదటి బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 2 → 120 – 3 = 117 (2వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 3 → 117 – 5 = 112 (3వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 4 → 112 – 7 = 105 (4వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 5 → 105 – 9 = 96 (5వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 6 → 96 – 11 = 85 (6వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 7 → 85 – 13 = 72 (7వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 8 → 72 – 15 = 57 (8వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 9 → 57 – 17 = 40 (9వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 10 → 40 – 19 = 21 (10వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
సోపానం 11 → 21 – 21 = 0 (11వ బేసిసంఖ్యను తీసివేయటం)
∴ 1 నుండి మొదలుకొని 11 వరుస బేసిసంఖ్యలు 121 నుండి తీసివేయడం ద్వారా ‘0’ వచ్చినది (11వ సోపానం వద్ద).
∴ కావునా 121 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య
∴ \(\sqrt{121}=\sqrt{11 \times 11}\) = 11 (∵ 11వ సోపానం వద్ద అంతం అయినది)

ప్రయత్నించండి

1. క్రింది వాటిలో ఏవి వర్గ సంఖ్యలు అవుతాయో ఊహించండి. పై పట్టిక ఆధారంగా సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 124)
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240 (v) 529
సాధన.
(i) 84 (ii) 108 (iii) 271 (iv) 240
ఈ సంఖ్యలను రెండు ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేము కాబట్టి ఇవి వర్గసంఖ్యలు కావు.
(v) 529 = 23 × 23 ⇒ ఇది ఒక వర్గసంఖ్య.
∴ 529 మాత్రమే వర్గసంఖ్య.

2. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 126² (ii) 179² (iii) 281² (iv) 363²
సాధన.

సంఖ్య	ఆ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె వర్గం	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
(i) 1262	(6)2 = 36	6
(ii) 1792	(9)2 = 81	1
(iii) 2812	(1)2 = 1	1
(iv) 3632	(3)2 = 9	9

ఇచ్చిన వర్గసంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 1 వచ్చే సంఖ్యలు = (ii) 1799, (iii) 2812

3. క్రింది వర్గ సంఖ్యలలో ఒకట్ల స్థానంలో 6 వచ్చే సంఖ్యలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 125)
(i) 116² (ii) 228² (iii) 324² (iv) 363²
సాధన.
(i) 116² ⇒ (6)² = 36 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(ii) 228² ⇒ (8)² = 64 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 4
(iii) 324² ⇒ (4)² = 16 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 6
(iv) 363² ⇒ (3)² = 9 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె 9
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘6’ గల సంఖ్యలు (i) 116² (iii) 324²

4. క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయో ఊహించండి. (పేజీ నెం. 125)
(i) 72 (ii) 103 (iii) 1000
సాధన.

5.

27; 20 మరియు 30 కి మధ్య ఉంటుంది. 272, 202 మరియు 302 కి మధ్య ఉంటుంది.
అయిన క్రింది వాటిలో 27² యొక్క విలువ ఏది ?
(i) 329 (ii) 525 (iii) 529 (iv) 729
సాధన.
(27)2 = 27 × 27 = 729

6. 9² మరియు 11² మధ్య 37 పరిపూర్ణ వర్గంలేని సంఖ్యలు ఉన్నాయని రేహాన్ చెప్పాడు. ఇది సరియేనా ? కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
9² మరియు 11² ల మధ్య గల పూర్ణసంఖ్యలు = 82, 83 ……….. 100, ……… 120 = 39
ఇందు 100 వర్గసంఖ్య కావునా పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యలు కాని సంఖ్యలు = 39 – 1 = 38
∴ రేహాన్ చెప్పినది సరియైనది కాదు.

7. 81 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
∴ 81 ను 3 ఒకే సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయలేం కాబట్టి 81 ఘనసంఖ్య కాదు.

8. 125 ఘనసంఖ్య అగునా ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
∴ 125 ను 3 సమానసంఖ్యల లబ్ధంగా వ్రాసినాము కావున ఇది ఘనసంఖ్య.

9. క్రింది సంఖ్యల (విస్తరణలో) ఒకట్ల స్థానములో ఉండు సంఖ్యలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 141)
(i) 753 (ii) 123 (ii) 1573 (iv) 1983 (v) 2063
సాధన.

సంఖ్య	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె యొక్క ఘనం	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
(i) 753	53 = 125	5
(ii) 1233	33 = 27	7
(iii) 1573	73 = 343	3
(iv) 1983	83 = 512	2
(v) 2063	63 = 216	6

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. “సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య మరియు బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య” అని వైష్ణవి చెప్పింది. దానిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? కారణం చెప్పండి. (పేజీ నెం. 125)
సాధన.
సరిసంఖ్యల వర్గం సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు సరిసంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ సరిసంఖ్యయే.
ఉదా : (4)² = 4 × 4 = 16 ఒక సరిసంఖ్య.
బేసిసంఖ్యల వర్గం బేసిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకనగా రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ బేసిసంఖ్యయే.
ఉదా : 11² = 11 × 11 = 121 ఒక బేసిసంఖ్య.

2. క్రింది పట్టికను పూరించండి. (పేజీ నెం. 125)

సాధన.

3. 1, 100 ల మధ్య ; 1, 500 ల మధ్య ; 1 మరియు 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
1, 100 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64
1, 500 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు – 8, 27, 64, 125, 216, 343
1, 1000 మధ్య గల ఘనసంఖ్యలు = 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

4. 500, 1000 ల మధ్య ఎన్ని (సంపూర్ణ) ఘనసంఖ్యలు కలవు ? (పేజీ నెం. 140)
సాధన.
500 మరియు 1000 మధ్య 512, 729 అను రెండు ఘనసంఖ్యలు కలవు.

దిగువ వాటిని సాధించుము. (పేజీ నెం. 143)

5. దిగువ వానిలో ఏవి (సంపూర్ణ) ఘన సంఖ్యలు ?
(i) 243 (ii) 400 (iii) 500 (iv) 512 (v) 729
సాధన.

సంఖ్య	ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం	అవును / కాదు
(i) 243	243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35	కాదు
(ii) 400	400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 24 × 52	కాదు
(iii) 500	500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 22 × 53	కాదు
(iv) 512	512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 23 × 23 × 23 = 83	అవును
(v) 729	729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 32 × 32 × 32 = (32)3 = 93	అవును

∴ ఇచ్చిన వాటిలో 512, 729 లు ఘనసంఖ్యలు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.5

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ద్వారా దిగువ సంఖ్యల ఘనమూలాలను కనుగొనండి.
(i) 343
(ii) 729
(iii) 1331
(iv) 2744
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రిందివాని ఘనమూలాలను అంచనా వేసి కనుగొనుము.
(i) 512
(ii) 2197
(iii) 3375
(iv) 5832
సాధన.
(i) 512
సోపానం (1) : దత్త సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంతో ఎడమవైపుకు పోవుచు మూడు మూడు అంకెలుండునట్లు గుంపులుగా విభజించి వ్రాయాలి.

సోపానం (2) : మొదటి గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావునా దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనమూలపు ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 8 అయి ఉండవలెను.
సోపానం (3) : ఇపుడు రెండవ గుంపులో గల ‘0’ని గమనించుము. అది 0³ < 1 < 2³. కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 0. కావునా ఘనమూలపు పదుల స్థానంలోని అంకె 0.
∴ \(\sqrt[3]{512}\) = 8

(ii)

సోపానం (1) : ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి ఒకటవ గుంపు 197; రెండవ గుంపు 2.
సోపానం (2) : 197లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. దీని యొక్క ఘనమూలం 3 అగును.
[∵ 3 × 3 × 3= 27]
∴ ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 3
సోపానం (3) : పదుల స్థానంలోని అంకే రెండవ గుంపు నుండి 2 అను సంఖ్య.
1³ < 2 < 2³ కావునా కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ కావలసిన సంఖ్య = 13
∴ \(\sqrt[3]{2197}\) = 13

(iii)

ఒకటవ గుంపులోని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 5.
ఈ సంఖ్య దత్త సంఖ్య యొక్క ఘనపుమూలపు ఒకటవ స్థానపు అంకెను సూచించును. [∵ 5 × 5 × 5 = 125]
2వ గుంపులోని సంఖ్య 3.
ఇది 1³ < 3 < 2³ మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ సంఖ్య 1 అగును.
∴ \(\sqrt[3]{3375}\) = 15

(iv)

∴ మొదటి గుంపు 832 లో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2 ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క ఘన మూలపు ఒకట్ల స్థానాన్ని సూచించు అంకె 8 అగును.
[∵ 8 × 8 × 8 = 512]
2వ గుంపులోని సంఖ్య = 5
ఈ 5, 1³ < 5 < 2³ ల మధ్య ఉండును.
∴ కనిష్ఠ విలువ ‘1’ గా తీసుకుంటాం.
∴ \(\sqrt[3]{5832}\) = 18

ప్రశ్న3.
దిగువ వాక్యములు సత్యములా ? అసత్యములా ? వ్రాయండి.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య.
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి.
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును.
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి.
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది.
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు.
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు.
సాధన.
(i) సరిసంఖ్య యొక్క ఘనము బేసిసంఖ్య. (అసత్యము)
(ii) సంపూర్ణ ఘన సంఖ్య చివర రెండు స్థానాలు సున్నాలతో అంతమవుతాయి. (అసత్యము)
(iii) ఒక సంఖ్య చివరి అంకె ‘5’ అయిన దాని ఘనము చివరి అంకె కూడ 5 అగును. (సత్యము)
(iv) ఒక సంఖ్య సున్నా (0) తో అంతమైన దాని ఘనములో మూడు సున్నాలు ఉంటాయి. (సత్యము)
(v) ఒక అంకెగల సంఖ్య యొక్క ఘనము కూడ ఒక అంకె సంఖ్య అవుతుంది. (అసత్యము)
(vi) ‘8’ తో అంతం అగు సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య లేదు. (అసత్యము)
(vii) రెండంకెల సంఖ్య ఘనములో మూడంకెలు ఉండవచ్చు. (అసత్యము)

ప్రశ్న4.
వర్గసంఖ్యయు మరియు ఘనసంఖ్యయు అగు రెండంకెల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
వర్గసంఖ్య మరియు ఘనసంఖ్య అగు సంఖ్య 64
64 = 8 × 8 = 8²
64 = 4 × 4 × 4 = 4³

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న1.
క్రింది సంఖ్యల ఘనాలు కనుగొనుము.
(i) 8
(ii) 16
(iii) 21
(iv) 30
సాధన.

ప్రశ్న2.
క్రింది సంఖ్యలు సంపూర్ణ ఘనాలా ? కాదా ? పరీక్షించండి.
(i) 243
(ii) 516
(iii) 729
(iv) 8000
(v) 2700
సాధన.

ప్రశ్న3.
8788 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును ?
సాధన.

8788 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (2 × 2) × (13 × 13 × 13)
పై లబ్దాల త్రికములలో ‘2’ లోపించినది
కావునా 8788ను 2 అనే కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న4.
7803 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన వచ్చు లబ్ధం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

7803 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (3 × 3 × 3) × (17 × 17)
∴ పై లబ్దంలో ఒక ’17’ లోపించినది కావునా 7803 ను ’17’ చే గుణించిన అది సంపూర్ణ ఘనం అగును.

ప్రశ్న5.
8640ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే భాగించిన వచ్చు భాగఫలం సంపూర్ణ ఘనం అగును ?
సాధన.

8640 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × 5 × (3 × 3 × 3)
= 2³ × 2³ × 5 × 3³
∴ 8640 ఒక సంపూర్ణ ఘనసంఖ్య కావలెనన్న దానిని ‘5’ చే భాగింపవలెను.

ప్రశ్న6.
రవి ప్లాస్టసీన్ (మైనము) తో చేసిన ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించి 12 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘ ఘనాన్ని తయారు చేసెను. అతడు తయారీకి కనీసం ఎన్ని ప్రమాణ ఘనాలను ఉపయోగించెను ?
సాధన.
12 సెం.మీ. × 8 సెం.మీ. × 3 సెం.మీ. కొలతలు గల దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = l × b × h
= 12 × 8 × 3
= 288 సెం.మీ.³
288 సెం.మీ.³ ఘనపరిమాణంతో తయారుచేయగల ప్రమాణ ఘనాల ఘనపరిమాణం దీనికంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవలెను. అది 216 సెం.మీ.³ అవుతుంది.
∴ s³ = 216 అయిన
s = \(\sqrt[3]{216}\) = \(\sqrt[3]{6^{3}}\) = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
3¹¹ + 5¹³ మొత్తాన్ని భాగించగలుగు కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
3¹¹ + 5¹³ నుండి

∴ 3¹¹ యొక్క విస్తరణలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 7
5¹³ యొక్క లబ్దంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె = 5
∴ 7 + 5 = 12 ను భాగించగల కనిష్ఠ ప్రధాన సంఖ్య = 2

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న1.
భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలాలు కనుక్కోండి.
(i) 1089
సాధన.

∴ \(\sqrt{1089}\) = 33

(ii) 2304
సాధన.

∴ \(\sqrt{2304}\) = 48

(iii) 7744
సాధన.

∴ \(\sqrt{7744}\) = 88

(iv) 6084
సాధన.

∴ \(\sqrt{6084}\) = 78

(v) 9025
సాధన.

∴ \(\sqrt{6084}\) = 78

ప్రశ్న2.
క్రింది దశాంశాలకు వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
(i) 2.56
సాధన.

∴ \(\sqrt{2.56}\) = 78

(ii) 18.49
సాధన.

∴ \(\sqrt{18.49}\) = 4.3

(iii) 68.89
సాధన.

∴ \(\sqrt{68.89}\) = 8.3

(iv) 84.64
సాధన.

∴ \(\sqrt{84.64}\) = 9.2

ప్రశ్న3.
4000 నుండి ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
4000 నుండి ఒక కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేయవలెనన్న భాగహార పద్ధతిన వర్గమూలం కనుగొనవలె.

∴ 4000 నుండి ’31’ అను కనిష్ఠ సంఖ్యను తీసివేసిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును.

ప్రశ్న4.
ఒక చతురస్ర వైశాల్యం 4489 సెం.మీ.² అయిన భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం (A) = 4489 సెం.మీ.²
∴ A = s²
⇒ s² = \(\sqrt{4489}\) = \(\sqrt{67 \times 67}\) = 67 సెం.మీ.
చతురస్ర భుజం (s) = 67 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
ఒక తోటమాలి 8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో కొన్ని వరుసలలో నాటాడు. నాటిన తరువాత 8 మొక్కలు మిగిలిన ప్రతి వరుసలో నాటిన మొక్కలు ఎన్ని ?
సాధన.
మొత్తం నాటిన మొక్కలు = 8289
8289 మొక్కలను చతురస్రాకారంలో నాటగా 8మొక్కలు మిగిలిపోగా నాటిన మొక్కలు = 8289 – 8
= 8281
ఒక్కొక్క వరుసలో నాటిన మొక్కల సంఖ్య కావలెనన్న 8281 కు వర్గమూలం కనుగొనవలెను.

∴ 8281 మొక్కలను చతురస్రాకారంగా నాటగా ప్రతి వరుసకు వచ్చు మొక్కల సంఖ్య = 91

ప్రశ్న6.
కనిష్ఠ నాలుగు అంకెల పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య = 1000

∴ 1000 కు 24 ను కలిపిన 1000 + 24 = 1024
∴ నాలుగు అంకెల కనిష్ఠ పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య = 1024

ప్రశ్న7.
6412 కు ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును ?
సాధన.

∴ 6412 కు 149 అను కనిష్ఠ సంఖ్యను కలిపిన పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న8.
క్రింది వాటి వర్గమూలాలను దగ్గరి పూర్ణాంకానికి అంచనా వేసి చెప్పండి.
(i) \(\sqrt{97}\)
సాధన.
97, వర్గ సంఖ్యలయిన 81 మరియు 100 ల మధ్య ఉండును.
81 < 97 < 100
⇒ 9² < 97 < 10²
⇒ 9 < \(\sqrt{97}\) < 10
∴ \(\sqrt{97}\) విలువ 10 కి. దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 97, 100 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(ii) \(\sqrt{250}\)
సాధన.
250 వర్గ సంఖ్యలైన 225, 256 ల మధ్య ఉండును.
∴ 225 < 250 < 256
⇒ 15² < 250 < 16²
= 15 < \(\sqrt{250}\) < 16
∴ 250 విలువ 16 కు దగ్గరగా ఉండవచ్చు.
[∵ 250, 256 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

(iii) \(\sqrt{780}\)
సాధన.
780, వర్గ సంఖ్యలైన 729 మరియు 784 ల మధ్య కలదు.
∴ 729 < 780 < 784
⇒ 27² < 780 < 28²
⇒ 27 < \(\sqrt{780}\) < 28
∴ \(\sqrt{780}\), 28 కు దగ్గరగా ఉండును.
[∵ 780, 784 కు దగ్గరగా ఉన్నది.]

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.2

ప్రశ్న1.
ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రింది వాటి వర్గమూలాలు కనుగొనుము.
(i) 441
(ii) 784
(iii) 4096
(iv) 7056
సాధన.

ప్రశ్న2.
3645 ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
3645 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం = (3 × 3) × 5 × (3 × 3) × (3 × 3)

ఒక ‘5’ లోపించినది కావునా
3645 ను 5చే గుణించిన పరిపూర్ణ వర్గం అగును.

ప్రశ్న3.
2400 ని ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే గుణించగా పరిపూర్ణ వర్గం అగును ? వచ్చిన ఫలిత సంఖ్య వర్గమూలం కనుగొనుము.
సాధన.
2400 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం
= (2 × 2) × (2 × 2) × 2 × (5 × 5) × 3
∴ పై లబ్దాల జతలలో 2, 3లు లోపించినవి కావునా 2 × 3 = 6 చే గుణించగా 2400 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య అగును.

∴ 2400 × 6 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
⇒ \(\sqrt{14400}\) = 2 × 2 × 2 × 5 × 3
= 120

ప్రశ్న4.
7776 ను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యచే భాగించగా పరిపూర్ణ వర్గం అగును ?
సాధన.
7776 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం

= (2 × 2) × (2 × 2) × 2 × (3 × 3) × (3 × 3) × 3
∴ 7776 పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య.
కావలెనన్న దానిని 2 × 3 = 6 చే భాగించవలెను.

ప్రశ్న5.
ఒక తోటలో ఉన్న 1521 చెట్లు కొన్ని వరుసలలో కలవు. ప్రతి వరుసలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్య, వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అయిన ప్రతి వరుసలోని చెట్ల సంఖ్య, తోటలోని వరుసల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన.
తోటలోని ఒక్కొక్క వరుసలో ఉన్న చెట్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
తోటలోని వరుసల సంఖ్య = x
తోటలో గల మొత్తం చెట్ల సంఖ్య = x × x = x²
లెక్క ప్రకారం తోటలో గల చెట్ల సంఖ్య = 1521
∴ x² = 1521
x = \(\sqrt{1521}\) = \(\sqrt{39 \times 39}\) = 39
∴ ఆ తోటలోని ఒక్కొక్క వరుసకు గల చెట్ల సంఖ్య = 39
∴ ఆ తోటలోని వరుసల సంఖ్య = 39

ప్రశ్న6.
ఒక పాఠశాలలో విద్యార్థుల నుండి ఫీజు రూపంలో ₹ 2601 వసూలు చేశారు. పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య, ప్రతి విద్యార్థి చెల్లించిన ఫీజుకి సమానం అయిన విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ప్రతి విద్యార్థి చెల్లించిన ఫీజు = ₹ x
∴ పాఠశాల మొత్తం మీద వసూలైన ఫీజు x × x = x²
లెక్క ప్రకారం
పాఠశాలకు ఫీజు రూపంలో వచ్చినది = 2601
∴ x² = 2601
∴ x = \(\sqrt{2601}\) = \(\sqrt{51 \times 51}\) = 51
∴ ఆ పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 51

ప్రశ్న7.
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1296. వాటిలో మొదటి సంఖ్య, రెండవ సంఖ్యకు 16 రెట్లు అయిన ఆ రెండు సంఖ్యలు ఏవి?
సాధన.
రెండవ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
మొదటి సంఖ్య = 16x
రెండు సంఖ్యల లబ్దం = 16 x × x = 16x²
లెక్క ప్రకారం
⇒ 16x² = 1296

x² = 81
x = \(\sqrt{81}\) = \(\sqrt{2601}\) = 9
∴ మొదటి సంఖ్య = 16x = 16 × 9 = 144
రెండవ సంఖ్య (x) = 9

ప్రశ్న8.
7921 మంది సైనికులు ఒక సమావేశమందిరం (ఆడిటోరియం) లో కొన్ని వరుసలలో కూర్చొని ఉన్నారు. ప్రతి వరుసలోని సైనికుల సంఖ్య, వారు కూర్చున్న వరుసల సంఖ్యకు సమానం. అయిన సమావేశమందిరంలో ఉన్న వరుసల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
ప్రదర్శనశాలలోని సైనికుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
సైనికులు కూర్చొను వరుసల సంఖ్య = x
మొత్తం సైనికుల సంఖ్య = x × x = x²
లెక్క ప్రకారం
x² = 7921
x = \(\sqrt{7927}\) = \(\sqrt{89 \times 89}\) = 89
∴ ఆ సమావేశమందిరంలోని వరుసల సంఖ్య = 89

ప్రశ్న9.
ఒక చతురస్రాకార పొలం వైశాల్యం 5184 మీ². చతురస్రపు చుట్టుకొలతకు సమాన చుట్టుకొలత గల దీర్ఘచతురస్రం కలదు. దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పుకు రెట్టింపు అయిన దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం = 5184
A = s² = 5184
⇒ s = \(\sqrt{5184}\) = \(\sqrt{72 \times 72}\) = 72
∴ చతురస్ర భుజం (s) = 72 మీ.
చతురస్ర చుట్టుకొలత = 4 × భుజం = 4 × 72 = 288 మీ.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత = చతురస్ర చుట్టుకొలత
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము.
పొడవు = 2 × x = 25 మీ.
దీ॥చ॥ చుట్టుకొలత = 2(l + b)
⇒ 2(2x + x) = 288
3x = 144
x = 48
∴ దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పు = 48 మీ.
పొడవు = 2x = 2 × 48 = 96 మీ.
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= 96 × 48
= 4608 మీ².

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 6 వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 6th Lesson వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు Exercise 6.1

ప్రశ్న1.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాలలో, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలేవి ?
(i) 39
(ii) 297
(iii) 5125
(iv) 7286
(v) 8742
సాధన.

సంఖ్య	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె వర్గం	ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
(i) 39	92 = 9 × 9 = 81	1
(ii) 297	72 = 7 × 7 = 49	9
(iii) 5125	52 = 5 × 5 = 25	5
(iv) 7286	62 = 6 × 6 = 36	6
(v) 8742	22 = 2 × 2 = 4	4

ప్రశ్న2.
క్రింది సంఖ్యలలో పరిపూర్ణ వర్గాలు ఏవి ?
(i) 121
(ii) 136
(iii) 256
(iv) 321
(v) 600
సాధన.

సంఖ్య	ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం / ఒకే సమాన సంఖ్యల లబ్ధం	పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్యలు అవును / కాదు
(i) 121	121 = 11 × 11 = 112	అవును
(ii) 136	136 = 8 × 17 = 2 × 2 × 2 × 17	కాదు
(iii) 256	256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28 = (24)2	అవును
(iv) 321	321 = 3 × 107	కాదు
(v) 600	600 = 120 × 5 = 12 × 10 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5	కాదు

ప్రశ్న3.
క్రింది సంఖ్యలు, పరిపూర్ణ వర్గాలు కావు. కారణాలు తెల్పండి.
(i) 257
(ii) 4592
(iii) 2433
(iv) 5050
(v) 6098
సాధన.
(i) 257 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 7. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(ii) 4592 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 2. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య కాదు.
(iii) 2433 → వర్గసంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 3. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(iv) 5050 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ‘0’ అయిన చివరి రెండంకెలు (0) సున్నాలై ఉండాలి.
∴ కాబట్టి ఇది కూడా పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.
(v) 6098 → వర్గంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకే 8. కావున ఇది పరిపూర్ణ వర్గసంఖ్య కాదు.

ప్రశ్న4.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాలు సరిసంఖ్యలా ? లేదా బేసిసంఖ్యలా ?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 8204
(iv) 17779
(v) 99998
సాధన.

ప్రశ్న5.
క్రింది సంఖ్యల వర్గాల మధ్య ఎన్ని పూర్ణసంఖ్యలు ఉంటాయి ?
(i) 25, 26
(ii) 56, 57
(iii) 107, 108
సాధన.
(i) 25, 26 → 2 × 25 = 50
(ii) 56, 57 → 2 × 56 = 112
(iii) 107, 108 → 2 × 107 = 214
పూర్ణాంకాలుంటాయి.

ప్రశ్న6.
కూడకుండానే కింది వాటి మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 =
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 =
సాధన.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (5)² = 5 × 5 = 25
ఎందుకనగా మొదటి 5 వరుస బేసిసంఖ్యల మొత్తం 5² కు సమానం అగును.
అదే విధంగా మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n² అగును.
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17
= 9² = 81 (∵ n = 9)
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 = 132 = 13 × 13 = 169 (∵ n = 13)

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ₹ 20,000 లపై 5% వడ్డీరేటు చొప్పున 6 సంవత్సరములకు వడ్డీ సంవత్సరమున కొకసారి తిరిగి లెక్కకట్టగా వచ్చే చక్రవడ్డీ ఎంత ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
P = ₹ 20,000; R = 5%; n = 6 సం॥లు.
A = \(P\left[1+\frac{R}{100}\right]^{n}\)
= \(20000\left[1+\frac{5}{100}\right]^{6}\)
= \(20000 \times\left(1+\frac{1}{20}\right)^{6}\)
= \(20000 \times\left(\frac{21}{20}\right)^{6}\)
= \(20000 \times \frac{21 \times 21 \times 21 \times 21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20 \times 20 \times 20 \times 20}\)
= 26801.9
A = ₹ 26802
∴ చక్రవడ్డీ = మొత్తం – అసలు
= 26802 – 20,000 = ₹ 6802/-

2. ₹ 12,600 లపై 10% వడ్డీరేటు చొప్పున 2 సంవత్సరములకు వడ్డీ సంవత్సరమున కొకసారి లెక్కకట్టగా వచ్చే చక్రవడ్డీ ఎంత ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
P = ₹ 12,600; R = 10%; n = 2 సం॥లు.
∴ A = \(\mathrm{P}\left[1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right]^{\mathrm{n}}\)
= \(12600\left[1+\frac{10}{100}\right]^{2}\)
= \(12600\left[1+\frac{1}{10}\right]^{2}\)
= \(12600 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}\)
= 126 × 121 = 15246
A = ₹ 15246
∴ చక్రవడ్డీ = మొత్తం – అసలు
= 15,246 – 12,600 = ₹ 2646/-

3. ఒక సంవత్సరములో చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టు కాలవ్యవధులను, వడ్డీరేటును లెక్కకట్టుము. మను (పేజీ నెం. 115)
1) కొంత మొత్తము 8% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ 6 నెలలకు చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టుచూ 1\(\frac {1}{2}\) సంవత్సరములకు అప్పు తెచ్చెను.
2) కొంత మొత్తమును 4% వడ్డీరేటు చొప్పున ప్రతీ 6 నెలలకు చక్రవడ్డీ లెక్కకట్టుచూ 2 సంవత్సరములకు అప్పుతెచ్చెను.
సాధన.
1) చక్రవడ్డీ 6 నెలలకొకసారి, లెక్కకట్టవలెను. కావున 1\(\frac {1}{2}\) సం॥ కాలంలో 3 కాలవ్యవధులు ఉండును.
∴ n = 3.
కావునా అర్ధసంవత్సర వడ్డీ \(\frac {1}{2}\) × 8% = 4%
∴ n = 3
R = 4%

2) చక్రవడ్డీ 6 నెలలకొకసారి లెక్కకట్టవలెను.
కాబట్టి 2 సం॥లకు 4 కాలవ్యవధులు వచ్చును.
∴ n = 4 అగును.
కావున అర్ధసంవత్సర వడ్డీ \(\frac {1}{2}\) × 4% = 2%
∴ n = 4
R = 2%

ప్రయత్నించండి

1. మీ సైకిల్ గేర్ల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 96)
పెడల్ వద్ద నున్న పెద్ద పళ్ళచక్రం (chain wheel) పళ్ళను అలాగే వెనక చక్రం వద్ద నున్న చిన్నపళ్ళ చక్రం (sprocket wheel) పళ్ళను లెక్కపెట్టండి. {పెద్ద పళ్ళ చక్రపు పళ్ళ సంఖ్య} : {చిన్నపళ్ళ చక్రపు పళ్ళసంఖ్య}

అప్పుడు పెద్దపళ్ళ చక్రం పళ్ళ సంఖ్య : చిన్న పళ్ళ చక్రం పళ్ళ సంఖ్యను కనుగొనండి. దీనినే మనం గేర్ నిష్పత్తి అంటాం. ఒక్కసారి పెడల్ ను తిప్పడం వలన వెనక ఎన్నిసార్లు తిరిగిందో గమనించి మీ నోట్ పుస్తకంలో రాయండి.
సాధన.
నా సైకిల్ గేర్లలో పెడల్ వద్దనున్న పెద్ద పళ్ళ చక్రానికి అలాగే వెనక చక్రం వద్దనున్న చిన్న పళ్ళచక్రాల మధ్య నిష్పత్తి = 4 : 1 గా ఉన్నది.

2. ఏవైనా ఐదు వివిధ సందర్భాలకు చెందిన శాతములను వార్తాపత్రికల నుండి సేకరించి మీ నోట్ పుస్తకంలో అంటించండి.
సాధన.
‘ద్రవ్యోల్బణం’ మా లోపం :
అంగీకరించిన ప్రధాని మన్మోహన్ : జైపూర్ :
ద్రవ్యోల్బణాన్ని కట్టడి చేయలేకపోవడం యూపీఏ ప్రభుత్వ లోపమని ప్రధాని మన్మోహన్ సింగ్ అంగీకరించారు. ఆదివారం జైపూర్ లో కాంగ్రెస్ మేధోమథన సదస్సులో ఆయన మాట్లాడారు. “మా రికార్డులో ద్రవ్యోల్బణం ఒక, లోపం. యూపీఏ హయాంలో ద్రవ్యోల్బణ సగటు రేటు మేం కోరుకున్న దానికన్నా అధికంగా ఉంది. గత ఎనిమిదేళ్లలో అంతర్జాతీయ మార్కెట్లో పెట్రోలియం ఉత్పత్తుల ధరలు పెరగడం, రైతులకు ఇచ్చే కనీస మద్దతుధరను ప్రభుత్వం పెంచడం ఈ పరిస్థితికి ప్రధాన కారణాలు. ద్రవ్యోల్బణాన్ని నియంత్రించేందుకు ముఖ్యంగా 2013-14లో దీనిని అదుపు చేసేందుకు గట్టి చర్యలు తీసుకోవాల్సిన అవసరముంది” అని తెలిపారు. యూపీఏ పనితీరును ఎ డీఏతో పోల్చి మాట్లాడిన మన్మోహన్.. ఎ డీఏ పాలనలో వృద్ధి రేటు 5.8 శాతంగా ఉండేదని, యూపీఏ హయాంలో అది 8.2 శాతానికి పెరిగిందని పేర్కొన్నారు. 2030 నాటికి మధ్యస్థాయి ఆదాయ దేశాల సరసన భారత్ నిలుస్తుందన్నారు. పేదరిక నిర్మూలన, వ్యవసాయ వృద్ధి పెరుగుదలలోనూ యూపీఏ పనితీరే మెరుగ్గా ఉందని ఆయన తెలిపారు. లోపాలేమైనా ఉంటే నిజాయితీగా ఒప్పుకోవాలని సూచించారు. బలమైన లోక్పాల్ వ్యవస్థ ఏర్పాటుకు ప్రభుత్వం కట్టుబడి ఉందన్నారు.

మళ్ళీ 8 శాతం వృద్ధి రేటును అందుకుంటాం … చిదంబరం :
దేశం తిరిగి ఎనిమిది శాతం వృద్ధి రేటును అందుకుంటుందని కేంద్ర ఆర్థిక మంత్రి పి. చిదంబరం మేధోమథన సదస్సులో విశ్వాసం వ్యక్తంచేశారు. వచ్చే ఆర్థిక సంవత్సరానికి ఆయన ఏడుశాతం వృద్ధి రేటును లక్ష్యంగా పేర్కొన్నారు.

కమొడిటీస్ మార్కెట్ :
వ్యవసాయోత్పత్తులు :
ధనియా ఏప్రిల్ కాంట్రాక్టు గత వారంలో ఎంతో ఆకర్షణీయంగా 10.07 శాతం లాభాన్ని నమోదు చేసింది. గత వారం ముగింపు ధర రూ. 6,954. ఈ కాంట్రాక్టు మీద వచ్చినంత లాభం ఏ ఇతర కాంట్రాక్టు మీద లభించలేదు. ఈ వారంలో దీన్లో కొంత లాభాల స్వీకరణ చోటు చేసుకోవచ్చు. రూ. 7,315 కన్నా పైన ఈ కాంట్రాక్టును విక్రయించడం చక్కని వ్యూహం కాగలదు. రూ. 7,676 కన్నా పైన షార్ట్ పొజిషన్లు తగవు. ఐనా ఏప్రిల్ కాంట్రాక్టు గతవారంలో 12.07 శాతం నష్టపోయి రూ. 3,561 ముగింపు ధరను నమోదు చేసింది. ఈ వారంలో కూడా ఈ కాంట్రాక్టు కొనుగోలు చేయడానికి ఆకర్షణీయంగా కనిపిస్తోంది. యాలుకలు ఫిబ్రవరి కాంట్రాక్టు గతవారంలో 3.21% లాభపడింది. ఈ వారంలో రూ. 1,080 సమీపంలో ఈ కాంట్రాక్టులో లాభాలు స్వీకరించవచ్చు. పసుపు కాంట్రాక్టు గత వారంలో 1.88 శాతం పడిపోయింది. ఈ వారంలోనూ ఇది బలహీనంగా కనిపిస్తోంది. రూ. 6,480 కన్నా కింద ఉంటే ఈ కాంట్రాక్టును విక్రయించవచ్చు. – ఆర్ఎల్‌పీ కమొడిటీ అండ్ డెరివేటివ్స్

20 శాతం సిబ్బంది అంతర్గత బదిలీలు :
ప్రాయోజిత వాణిజ్య బ్యాంకులు తాము అనుసరించే మొబైల్ బ్యాంకింగ్, ఆర్టీజీఎస్, నెఫ్ట్ వంటి ఆధునిక సేవలను గ్రామీణ బ్యాంకులకు అందించాలి. ఇందుకోసం గ్రామీణ బ్యాంకు సిబ్బందిలో యువతను (20% సిబ్బందిని) మెరుగైన అనుభవం కోసం వాణిజ్య బ్యాంకులకు, అక్కడి సిబ్బందిని గ్రామీణ బ్యాంకులకు బదిలీ చేయనున్నారు. ప్రాయోజిత వాణిజ్య బ్యాంకులు తమ సిబ్బందికి నిర్వ హించే శిక్షణ కార్యక్రమాల్లో 10% ఆర్ఆర్ బీ సిబ్బందికి కేటాయించాలి.

బిఎస్ఎన్ఎల్లో లక్షమందికి వీఆర్ఎస్ ! న్యూ ఢిల్లీ :
వేతన భారాన్ని తగ్గించుకోవడానికి స్వచ్ఛంద పదవీ విరమణ పథకం (వీఆర్ఎస్) ద్వారా లక్ష మంది ఉద్యోగులను తగ్గించుకోవాలని భారత్ సంచార్ నిగమ్ (బిఎస్ఎన్ఎల్) యోచిస్తోంది. అవసరానికంటే లక్ష మంది ఉద్యోగులు ఎక్కువగా ఉన్నారని, వీఆర్ఎస్ ద్వారా వీరి భారాన్ని తగ్గించుకోవాలని కంపెనీ భావిస్తున్నట్లు బిఎస్ఎన్ఎల్ ఉన్నతాధికారి ఒకరు తెలిపారు. బిఎస్ఎన్ఎల్ ఆదాయంలో దాదాపు 48 శాతం వేతనాలకే సరిపోతోంది. అదనపు ఉద్యోగులు స్వచ్ఛంద పదవీ విరమణ ద్వారా బయటకు వెళితే … వేతన భారం 10-15 శాతం తగ్గుతుందని అధికారి చెప్పారు. వీఆర్ఎస్ ప్రతిపాదన ప్రభుత్వ పరిశీలనలో ఉందన్నారు. 2011, మార్చి 31 నాటికి బిఎస్ఎన్ఎల్ లో 2.81 లక్షల మంది ఉద్యోగులు పనిచేస్తున్నారు.

3. క్రింది నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 99)
(a) 3 : 4 మరియు 2 : 3
(b) 4 : 5 మరియు 4 : 5
(c) 5 : 7 మరియు 2 : 9
సాధన.
(a) 3 : 4 మరియు 2 : 3ల బహుళ నిష్పత్తి
a : bమరియు c : dల బహుళ నిష్పత్తి = ac : bd
∴ 3 : 4 మరియు 2 : 3ల బహుళ నిష్పత్తి
= (3 × 2) : (3 × 4) = 2 : 4 = 1 : 2
(b) 4 : 5 మరియు 4 : 5ల బహుళ నిష్పత్తి
= (4 × 4) : (5 × 5) = 16 : 25
(c) 5 : 7 మరియు 2 : 9 ల బహుళ నిష్పత్తి
= (5 × 2) : (7 × 9) = 10 : 63

4. నిత్య జీవితంలో బహుళ నిష్పత్తికి కొన్ని ఉదాహరణలు తెల్పుము. (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
నిత్యజీవితంలో బహుళ నిష్పత్తికి ఉదాహరణలు
i) 8వ తరగతి విద్యార్థుల (బాలబాలికల) టికెట్ల నిష్పత్తి 3 : 4 మరియు 7వ తరగతి విద్యార్థుల టికెట్ల నిష్పత్తి 4 : 5 లను పోల్చుట.
ii) 4గురు ఒక పనిని 12 రోజులలో పూర్తిచేస్తే 6 గురు అదేపనిని 8 రోజులలో పూర్తిచేయు సందర్భాల మధ్య పోలిక.
iii) కాలం-దూరము – వేగం
(iv) మనుష్యులు-రోజులు-వారి సామర్థ్యాలు మొ॥ వాటిలో బహుళ నిష్పత్తిని ఉపయోగిస్తాం.

5. క్రింది పట్టికలో అమ్మకం ధరలను రాయండి. (పేజీ నెం. 104)

సాధన.

6. (i) ₹ 357.30 లో 20% అంచనావేయండి. (పేజీ నెం. 105)
సాధన.

(ii) ₹ 375.50 లకు 15% అంచనా వేయండి.
సాధన.
375.50 లో 15%

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక సంఖ్యకు రెండు రెట్లు అనగా ఆ సంఖ్యలో పెరుగుదల 100%. మనం ఆ సంఖ్యలో సగము తీసుకొన్న దానిలో తగ్గుదల శాతము ఎంత ? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
ఒక సంఖ్య రెండు రెట్లు అనగా ఆ సంఖ్యలో పెరుగుదల = \(\frac{(2-1)}{1}\) × 100 = 1 × 100% = 100%
ఒక సంఖ్యలో సగము తీసుకున్న = 1 – \(\frac {1}{2}\) = \(\frac {1}{2}\)
దానిలో తగ్గుదల శాతం = \(\frac{\frac{1}{2}}{1}\) × 100 = 50%

2. ₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 అనేది ఎంత శాతం తక్కువ? అలాగే ₹ 2000 కంటే ₹ 2400 ఎంత శాతము ఎక్కువ? ఈ రెండు శాతములు సమానమేనా? (పేజీ నెం. 101)
సాధన.
₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 ఎంత తక్కువ శాతం

₹ 2400 కన్నా ₹ 2000 ఎంత తక్కువ శాతం

3. ప్రీతి బట్టలు కొనుటకు ఒక దుకాణమునకు వెళ్ళినది. ఆమె ఎంచుకున్న దుస్తుల ప్రకటన వెల ₹ 2500. దుకాణదారుడు మొదట 5% రుసుము ఇచ్చినాడు మరలా అడుగగా మరొక 3% రుసుము ఇచ్చినాడు. అయిన ఆమెకు లభించిన మొత్తము రుసుము శాతము ఎంత ? అది 8% కి సమానంగా వుంటుందా ? ఆలోచించి మీ మిత్రులతో చర్చించి నోట పుస్తకములో రాయండి. (పేజీ నెం. 105)
సాధన.
ప్రీతి ఎంచుకున్న బట్టల ప్రకటన వెల = ₹ 2500
మొదట 5% రుసుము ఇచ్చిన తరువాత అమ్మకపు వేల = ప్రకటన వెల – రుసుము
= 2500 – \(\frac {5}{100}\) × 2500
= 2500 – 125 = ₹ 2375.
మరలా మరొక 3% రుసుము ఇచ్చిన అమ్మకపు వెల

అదే, 8% రుసుము ఇచ్చిన అమ్మకపు వెల

= 2500 – 200 = 2300
∴ రెండు సందర్భాలలో వచ్చిన అమ్మకపు వెలలు సమానం కావు.
5% పై వచ్చిన రుసుము + 3% పై వచ్చిన రుసుము = 125 + 71.25 = ₹ 196.25
8% పై వచ్చిన రుసుము = ₹200
ఆమెకు లభించిన మొత్తం రుసుము శాతాలు సమానం కావు.

4. అమ్మిన వెల; కొన్నవెల సమానమైతే ఏమి జరుగుతుంది? మన నిత్య జీవితంలో అటువంటి పరిస్థితులు వస్తాయా? పై సందర్భాలలో లాభము లేదా నష్టము కనుగొనుట చాలా తేలిక, కాని వాటిని శాత రూపంలో తెలిపితే మరింత అర్ధవంతంగా ఉంటుంది. లాభము అనేది కొన్న వెలపై పెరుగుదల శాతము మరియు నష్టము అనేది కొన్న వెలపై తగ్గుదల శాతము. (పేజీ నెం. 106)
సాధన.
అమ్మినవెల కొన్నవెలకు సమానమైతే లాభం కానీ, నష్టం కానీ ఉండదు.
ఉదా : నిజజీవితంలో కొన్న వెల, అమ్మిన వెలలు సమానం కావు.
కానీ అలా సమానమైన సందర్భంలో లాభం కాని, నష్టం కాని సంభవించదు.

5. ఒక దుకాణదారుడు రెండు TV లను ఒక్కొక్కటి ₹ 9,900 లకు అమ్మెను. మొదటి దానిపై 10% లాభము, రెండవ దానిపై 10% నష్టము వచ్చిన అతనికి మొత్తము మీద లాభమా ? నష్టమా ? (పేజీ నెం. 108)
సాధన.
ఒక్కొక్క T.V. అమ్మినవెల = ₹ 9,900
రెండు T.V. ల అమ్మకపు వెల మొత్తం = 2 × 9,900
= ₹ 19,800
మొదటి దానిపై 10% లాభం వచ్చిన కొన్నవెల

రెండవ దానిపై 10% నష్టం వచ్చిన కొన్నవెల

∴ రెండు T.V. ల కొన్నవెలల మొత్తం
= 9000 + 11000 = ₹ 20,000
కొన్నవెల > అమ్మినవెల
∴ నష్టం = కొన్నవెల – అమ్మినవెల
= 20000 – 19,800 = 200

∴ నష్టశాతము = 1%

6. ప్రతీ మూడు నెలలకు వడ్డీని లెక్కకట్టిన చక్రవడ్డీ ఎలా మారును ? ఒక సంవత్సరములో ఎన్ని కాలవ్యవధులు వస్తాయి ? మూడు నెలలకు వడ్డీరేటు సంవత్సర వడ్డీ రేటులో ఎంతభాగము ? మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 115)
సాధన.
చక్రవడ్డీ ప్రతి మూడు నెలలకోసారి లెక్కకట్టవలెను.
కావున సంవత్సర వ్యవధిలో 4 కాల వ్యవధులు వస్తాయి.
3 నెలలకు వడ్డీరేటు సంవత్సర వడ్డీరేటులో \(\frac {1}{4}\) వ భాగం అవుతుంది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.3

ప్రశ్న1.
సుధాకర్ తన ఇంటి మరమ్మత్తుల కొరకు బ్యాంకు నుండి ₹ 15,000 అప్పు తీసుకున్నాడు. అతడు సంవత్సరము నకు 9% వడ్డీరేటు చొప్పున 8 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పుతీసుకొనిన, అతడు ప్రతీనెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి ?
సాధన.
P = 15,000
R = 9%
T = 8 సం॥ = \(\frac {8}{12}\) నెలలు

అతడు నెలనెలా చెల్లించాల్సిన వడ్డీ = ₹ 900

ప్రశ్న2.
ఒక టెలివిజన్ ని ₹ 21,000 లకు కొన్నారు. ఒక సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ 5% తగ్గినది (వస్తువుల వాడకము, కాలమును బట్టి వాటి విలువ తగ్గును). ఒక సంవత్సరము తరువాత ఆ టెలివిజన్ విలువ ఎంత?
సాధన.
టెలివిజన్ కొన్న విలువ = ₹ 21,000
ఒక సం॥ తరువాత దాని విలువ = 21000 – 21000 లో 5%

= 21000 – 1050
= ₹ 19,950

ప్రశ్న3.
₹ 8000 లపై 5% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరగ కట్టబడిన రెండు సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 8000; R = 5%
ప్రతి సం॥నకు ఒకసారి చొప్పున వడ్డీ తిరగకట్టిన రెండు సంవత్సరాలకు 2 కాల వ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 2

∴ మొత్తం (A) = ₹ 8820
చక్రవడ్డీ (C.I.) = మొత్తం – అసలు
= 8820 – 8000 = ₹820

ప్రశ్న4.
₹ 6500 లపై మొదటి సంవత్సరము 5% చొప్పున రెండవ సంవత్సరము 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరము వడ్డీ తిరిగకట్టబడిన 2 సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 6500, R = 5%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6500 \times 5 \times 1}{100}\)
= 325
∴ A = P + I = 6500 + 325 = 6825
∴ P = 6825 (రెండవ సంవత్సరం మొదట్లో మొత్తం అసలు అగును)
R = 6%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6825 \times 6 \times 1}{100}\)
∴ A = P + I = 6825 + 409.5
∴ మొత్తము = ₹ 7234.50
చక్రవడ్డీ = ₹ 409.5

ప్రశ్న5.
ప్రతిభ ఒక ఋణ సంస్థ (ఫైనాన్స్ కంపెనీ) నుండి మొదటి కారును కొనడానికి ₹ 47000 లను 17% వడ్డీ రేటుతో 5 సంవత్సరములకు సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. అయిన (a) ఆమె ఋణ సంస్థకు ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి. (b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాలలో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతీ నెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి.
సాధన.
P = ₹47000, R = 17%, T = 5 సం॥

∴ చెల్లించాల్సిన మొత్తం (A) = P + I
= 47000 + 39,950 = 86950
a) ఋణసంస్థకు ఆమె చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 86950
b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాల్లో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతినెల చెల్లించాల్సిన మొత్తం

ప్రశ్న6.
2011వ సంవత్సరములో హైదరాబాదు జనాభా 68,09,000 అది ప్రతీ సంవత్సరము 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015వ సంవత్సరము. చివరి నాటికి హైదరాబాదు జనాభా ఎంత అవుతుంది ?
సాధన.
2011 లో హైదరాబాద్ జనాభా = 68,09,000
ప్రతి సం॥ అది 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015 నాటికి హైదరాబాద్ జనాభా
= 6809000 \(\left(1+\frac{4.7}{100}\right)^{4}\)
[∵ P = 6809000, R = 4.7%, n = 4(2015 – 2011)
= 6809000 × \(\frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100}\)
= ₹ 81,82,199

ప్రశ్న7.
₹ 10,000 లను 8\(\frac {1}{2}\)% చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరిగి లెక్కకట్టు పద్ధతిలో పొదుపుచేసిన 1 సంవత్సరము 3 నెలల కాలంలో వచ్చే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
P = ₹ 10,000 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T = 1 సం॥

= 50 × 17 = 850
∴ I = ₹ 850
∴ A = P + I = 10,000 + 850
A = 10,850
∴ P = 10,850 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T(n) = 3 నెలలు = \(\frac {3}{12}\) సం॥ = \(\frac {1}{4}\) సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{10850 \times \frac{17}{2} \times \frac{1}{4}}{100}\)
= \(\frac{10850 \times 17}{800}\)
I = ₹ 230.5625
∴ అసలు (A) = P + I
= 10850 + 230.5625
= ₹ 11080. 5625

ప్రశ్న8.
ఆరిఫ్ ఒక బ్యాంక్ నుండి ₹ 80,000 లను వడ్డీరేటు 10% చొప్పున అప్పు తీసుకొనెను. (i) సంవత్సరము మరియు (ii) 6 నెలలు తిరిగి వడ్డీ కట్టు కాల వ్యవధులుగా తీసుకొని 1\(\frac {1}{2}\) సంవత్సరములకు వడ్డీ కట్టిన ఆ రెండు మొత్తముల భేదమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 80,000; R = 10%; T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times 10 \times 1}{100}\) = 8000
∴ A = P + I = 80000 + 8000 = ₹ 88,000
మరలా 6 నె॥లకు అగు వడ్డీ :
P = 80000
R= 10%
T = 6 నె॥లు
= \(\frac {1}{2}\) సం॥
I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times \frac{1}{2} \times 10}{100}\)
= 4000

i) ఒక సంవత్సరం 6 నెలల తరువాత కట్టవలసిన మొత్తం = వడ్డీ + అసలు
= 88000 + 4000
A1 = ₹ 92000

ii) 6 నెలలకొకసారి, చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1\(\frac {1}{2}\) సం॥ చొప్పున 3 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 3 అగును.
R = \(\frac {10}{2}\) = 5%
P = ₹ 80,000

∴ రెండు మొత్తాల మధ్య భేదం = A₂ – A₁ = 92610 – 92000
= ₹ 610

ప్రశ్న9.
నేను ప్రసాద్ వద్ద నుండి ₹ 12000 లను 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సాధారణ వడ్డీకి 2 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పు తీసుకున్నాను. నేను అదే మొత్తమును 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పు తీసుకున్నచో ఎంతసొమ్ము అదనంగా చెల్లించవలసి వస్తుంది ?
సాధన.
ప్రసాదు వద్ద నుండి తీసుకున్న సొమ్ము = (P)
= ₹ 12000
T = 2 సం॥ R = 6%
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{12000 \times 2 \times 6}{100}\)
I = ₹ 1440
మొత్తం = అసలు + వడ్డీ
A₁ = P + I = 12000 + 1440
= ₹ 13440
∴ 2 సం॥ల తరువాత సాధారణ వడ్డీ రేటు 6% చొప్పున చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 13440
చక్రవడ్డీ చొప్పున 2 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
P = ₹ 12,000, R = 6%, n = 2 సం॥

∴ చక్రవడ్డీ, సాధారణ వడ్డీల ద్వారా వచ్చు మొత్తాలలో భేదం = 13483.2 – 13440
= ₹ 43.20

ప్రశ్న10.
ఒక ప్రయోగశాలలో, ప్రయోగమును నిర్వహించి బాక్టీరియాలో పెరుగుదల రేటు గంటకు 2.5% అని గుర్తించినారు. ప్రారంభంలో బాక్టీరియా సంఖ్య, 5,06,000 లు వున్నచో రెండు గంటల తరువాత ఆ బాక్టీరియా సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
ప్రారంభంలో ప్రయోగశాలలో గల బాక్టీరియాల సంఖ్య = 5,06,060
గంటకు 2.5 % రేటుతో పెరిగిన, 2 గం॥ల తరువాత ఆ బాక్టీరియాల సంఖ్య
∵ n = 2 గం॥లు

ప్రశ్న11.
కమల బ్యాంకు నుండి స్కూటరు కొనే నిమిత్తం ₹26400 లను 15% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిలో అప్పు తెచ్చుకున్నది. 2 సంవత్సరముల 4 నెలల తరువాత అప్పు మొత్తము తీర్చివేయవలెనన్న ఆమె చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
కమల బ్యాంకు నుండి తీసుకున్న మొత్తం = ₹ 26400
వడ్డీ రేటు (R) = 15% చొప్పున 2 సం॥లకు అగు మొత్తం

∴ తదుపరి 4 నెలలకు వడ్డీ కట్టుటకు మొత్తం (₹ 34914) అసలు అగును.
∴ P = 34914, R = 15%, T = 4 నెలలు = \(\frac {4}{22}\) సం॥
= \(\frac {1}{3}\) సం॥
I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\) = \(\frac{34914 \times 15 \times \frac{1}{3}}{100}\)
= ₹ 1745.7
∴ 2 సం॥ల 4 నెలల కాలానికి కమల బ్యాంక్ వారికి చెల్లించాల్సిన మొత్తం = 34914 + 1745.7
= ₹ 36659.7

ప్రశ్న12.
భారతి ₹ 12500 లను 12% వడ్డీ రేటు చొప్పున 3 సంవత్సరముల కాలానికి సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. మాధురి అదే మొత్తాన్ని అదేకాలానికి 10% వడ్డీ రేటుతో సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పుతెచ్చినది. ఆ ఇద్దరిలో ఎవరు ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు ? ఎంత ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు?
సాధన.
భారతి తీసుకున్న అసలు సొమ్ము
P = ₹ 12500
R = 12%
T = 3 సం॥లు
సాధారణ వడ్డీ (I) = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
= \(\frac{12500 \times 12 \times 3}{100}\)
= 125 × 36 = 4500
∴ 3 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
A₁ = P + I = 12500 + 4500
A₁ = ₹ 17,000
మాధురి చక్రవడ్డీ చొప్పున కట్టాల్సిన మొత్తం

∴ A₁ > A₂
A₁ – A₂ = 17000 – 16637.5
= ₹ 362.5
∴ భారతి, మాధురి కంటే ₹ 362.5 ఎక్కువ వడ్డీ చెల్లించాల్సి ఉంటుంది.

ప్రశ్న13.
₹ 10000 ల విలువ గల యంత్ర సామగ్రిలో తరుగుదల రేటు 5%. అయిన 1 సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ ఎంత ?
సాధన.
10,000 విలువ గల యంత్రసామాగ్రి 5% తరుగుదల రేటు ప్రకారం 1 సం॥ తరువాత దాని విలువ

= 95 × 100 = ₹ 9500

ప్రశ్న14.
ఒక పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా 12 లక్షలు. సంవత్సరమునకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ వుంటే 2 సంవత్సరముల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా ఎంత?
సాధన.
పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా = 12,00,000
సం॥నకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ ఉంటే 2 సం॥ల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా

ప్రశ్న15.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీరేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన 1 సంవత్సర కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీ రేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టిన 1 సం॥కాలానికి అయ్యే మొత్తం
A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
త్రైమాసికంగా చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1 సం॥నకు 4 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 4, P = 1000, R = \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)%
∴ A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
= \(1000 \times\left(1+\frac{5 / 2}{100}\right)^{4}\)

సం॥ కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీ = 1103.81 – 1000 = ₹ 103.81