AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, ∠ADE = ∠B
(i) AABC – AADE అని చూపండి.
(ii) AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ. BE = 2.1 సెం.మీ. BC = 4.2 సెం.మీ. అయిన DE పొడవును కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 1

సాధన.
(i) దత్తాంశము : ∆ABCలో ∠ADE = ∠B
సారాంశము : ∆ABC ~ ∆ADE.
ఉపపత్తి : ∆ABC మరియు ∆ADE లలో
∠A = ∠A (∵ ఉమ్మడి కోణము]
∠B = ∠ADE [∵ దత్తాంశము)
∠C = ∠AED ∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తము ధర్మము)
∴ ∆ABC ~ ∆ADE (కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం)

(ii) దత్తాంశము : AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ., BE = 2.1 సెం.మీ., BC = 4.2 సెం.మీ.,
సారాంశము : \(\overline{\mathrm{DE}}\) పొడవు.
ఉపపత్తి : ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}\) [∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{3.6+2.1}{3.8}\) [∵ AB = AE + BE]
\(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{5.7}{3.8}\)
DE = \(\frac{4.2 \times 3.8}{5.7}=\frac{42 \times 38}{57 \times 10}\) = 2.8 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 2.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 30 సెం.మీ మరియు 20 సెం.మీ. మొదటి త్రిభుజములోని ఒక భుజము కొలత 12 సెం.మీ, అయిన రెండవ త్రిభుజములో దాని అనురూప భుజము కొలతను కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 2

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR.
∆ABC చుట్టుకొలత = 30 సెం.మీ.
∆PQR చుట్టుకొలత = 20 సెం.మీ.
AB = 12 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 3

∴ \(\frac{30}{20}=\frac{12}{x}\)
30 x = 20 × 12
x = \(\frac{20 \times 12}{30}\) = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
90 సెం.మీ ఎత్తు గల ఒక బాలిక దీపస్తంభము నుండి దూరముగా 1.2మీ/సె. వేగముతో నడుచు చున్నది. దీపస్తంభము ఎత్తు 3.6 మీ అయిన 4 సెకండ్ల తరువాత ఏర్పడే ఆ బాలిక నీడ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 4

దత్తాంశము : దీపపు స్తంభము ఎత్తు. = 3.6 మీ. = 360 సెం.మీ.
బాలిక వేగము = 1.2 మీ/సె.
4 సెకన్లలో బాలిక ప్రయాణించే దూరము = వేగము × కాలము = 1.2 × 4 = 4.8 మీ. = 480 సెం.మీ.
పటంలో \(\overline{\mathrm{CD}}\), బాలిక ఎత్తు = 90 సెం.మీ.
దీపపు స్తంభము నుండి బాలిక 4.8 మీ. ల దూరంలో ఉన్నపుడు బాలిక నీడ పొడవు = x మీ|| అనుకొనుము.
పటము నుండి ∆ABE ~ ∆DCE
[∵ ∠B = ∠C = 90° ∠E = ∠C ఉమ్మడి భుజం కో.కో సరూపకత ప్రకారం]
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\)

\(\frac{360}{90}=\frac{480+x}{x}\)

⇒ 4 = \(\frac{480+x}{x}\)
⇒ 4x = 480 + x
⇒ 4x – x = 480
⇒ 3x = 480
⇒ x = \(\frac{480}{3}\) = 160 సెం.మీ = 1.6 మీ.
∴ బాలిక నీడ పొడవు = 1.6 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 4.
CM మరియు RN లు వరుసగా ∆ABC మరియు ∆PQR లలో గీయబడిన మధ్యగత రేఖలు. ∆ABC ~ ∆POR అయిన
(i) ∆AMC ~ ∆PNR
(ii) \(\frac{\mathbf{C M}}{\mathbf{R N}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{P Q}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 5

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR
CM, ∆ABC లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
RN, ∆PQR లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
సారాంశము:
(i) ∆AMC ~ ∆PNR.
(ii) \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ
ఉపపత్తి :
(i) ∆AMC మరియు ∆PNR లలో
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}\) మరియు ∠A = ∠P
[∵ ∆ABC, ∆PQR లలో \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\) మరియు M, N లు AB మరియు PQల మధ్య బిందువులు]
∴ ∆AMC ~ ∆PNR. [∵ భు. కో. భు సరూపకత నియమము నుండి]

(ii) (i) నుండి ∆AMC ~ ∆PNR కావున
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}\) [∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల అనురూపభుజాల నిష్పత్తి సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AM} \times 2}{\mathrm{PN} \times 2}\) [లవ, హారాలను ‘2’ చే గుణించగా] CM _ AB
\(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\) [2AM = AB; 2PN = PO]

(iii) ∆CMB మరియు ∆RNQ లలో ∠B = ∠Q [∆ABC ~ ∆PQR కావున వాటి అనురూప కోణాలు]
మరియు \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}\)
[∵ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} \Rightarrow \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\)]
ఆ విధముగా భు.కో. భు సరూపకత నియమము ప్రకారము
∆CMB ~ ∆RNQ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 5.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. త్రిభుజముల సరూప నియమాలను ఉపయోగించుకొని \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 6

దత్తాంశము : ట్రెపీజియమ్ ABCDలో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. .
సారాంశము : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
నిర్మాణము : AB కు సమాంతరంగా ‘0’ గుండా EF ను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ACD లో, OE || CD [∵ నిర్మాణాల నుండి]
కావున \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}\) …………. (1)
(∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
∆ABD లో OE || AB (నిర్మాణం నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\) ………….. (2) (∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
(1), (2) ల నుండి \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని నిరూపించబడింది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 6.
AB, CD, PQలు BD కి గీసిన లంబాలు. AB = x, CD = Y మరియు PQ = Z అయిన \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : పటం నుండి ∠B = ∠Q = ∠D = 90° మరియు AB || PQ || CD.
∆BQP, ∆BDC లలో
∠B = ∠B (ఉమ్మడి కోణం) , ∠Q = ∠D (90°) ∠P = ∠C (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
∴ ∆BQP ~ ∆BDC (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}\) …………….. (1) [∵ అురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము)
∆DOP మరియు ∆DBA లలో ∠D = ∠D (ఉమ్మడి కోణము)
∠Q = ∠B . (90)
∴ ∆DQP ~ ∆DBA (కో.కో సరూప సిద్ధాంతం నుండి)
\(\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\) ………………..(2)
[∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
(1) మరియు (2), లను కూడగా
\(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}+\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}+\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\)

\(\frac{\mathrm{BQ}+\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\mathrm{PQ}\left(\frac{1}{\mathrm{CD}}+\frac{1}{\mathrm{AB}}\right)\) \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BD}}=\mathrm{z}\left[\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right]\)

1 = \(z\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

∴ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 7.
4మీ. పొడవు గల ఒక జెండా స్తంభము 6మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచును. అదే సమయంలో దగ్గరలో గల ఒక భవనం 24మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, ఆ భవనము ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : జెండా స్తంభము పొడవు = 4 మీ.
జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6మీ.
భవనపు పొడవు x మీ.|| అయిన దాని నీడ పొడవు 24 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 7

AB = జెండా స్తంభపు పొడవు = 4 మీ.
BC = జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6 మీ.
PQ = భవనం ఎత్తు = x మీ. అనుకొనుము.
QR = భవనపు నీడ పొడవు = 24 మీ.
పటం నుండి ∠A = ∠P ∠B = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆PQR . (కో.కో. సరూపకత నియమము)
కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)
[∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము)
\(\frac{4}{x}=\frac{6}{24}\)
x = \(\frac{24 \times 4}{6}\) = 16 మీ.
∴ భవనం ఎత్తు = 16 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 8.
ABC మరియు FEG త్రిభుజాలలో AB ‘మరియు FE భుజాలపై D మరియు H బిందువులు వరుసగా ఏర్పడునట్లు ∠ACB మరియు ∠EGF లకు గీచిన కోణసమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా CD మరియు GH లు ఇంకా ∆ABC ~ ∆FEG అయిన,
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 8

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆FEG.
CD, ∠ACB యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
GH, ∠EGF యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
సారాంశము :
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
ఉపపత్తి :
(i) ∆ACD మరియు ∆FGH లలో ∠A = ∠F [∵ ∆ABC ~ ∆FEG లలో అనురూప కోణాలు)
∠ACD = ∠FGH [∵ ∠C = ∠G = \(\frac{1}{2}\)∠C = ∠G ⇒ ∠ACD = ∠FGH]
కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి ∆ACD ~ ∆FGH
కావున \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{FH}}\) [∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము] .
∴ \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}\)

(ii) ∆DCB మరియు ∆HGE లలో ∠B = ∠E
[∵ ∆ABC ~ ∆FEG కావున అనురూప కోణాలు సమానము]
∠DCB = ∠HGE
[∵ ∠C = ∠G ⇒ \(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCB = ∠HGE]
∴ ∆DCB ~ ∆HGE (కో.కో.కో సరూపకత నుండి)

(iii) ∆DCA మరియు ∆HGF లలో ∠A = ∠F
\(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCA = ∠HGF
[∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూపక కోణాలు సమానము]
∴ ∆DCA ~ ∆HGF [∵ కో.కో.కో సరూపకత నుండి]

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 9.
∆ABC మరియు ∆DEF సరూపత్రిభుజాలలో గీసిన లంబాలు AX మరియు DYలు అయిన AX: DY = AB :: DE అని నిరూపించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 9

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF, AX ⊥ BC మరియు DY ⊥ EF.
సారాంశము : AX : DY = AB : DE.
ఉపపత్తి : ∆ABX మరియు ∆DEY లలో ∠ B = ∠ E [∵ ∆ABC ~ ∆DEF లలో అనురూప కోణాలు]
∠ AXB = ∠ DYE = 90°
∴ ∆ABX ~ ∆DEY (కో.కో. కో. సరూపకత నియమము).
⇒ AX : DY = AB : DE [Q.E.D.]
[∵ సరూప త్రిభుజాల యొక్క అనురూప భుజాల నిష్పత్తి]

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన త్రిభుజము ABCకి సరూపంగా ఉంటూ, దాని భుజాలకు \(\frac{5}{3}\) రెట్లు ఉండే అనురూప భుజాలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 10

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) ఏవైనా కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB1 = B1 B2 = B3B4 = …. అగునట్లు ‘8’ బిందువులు B1, B2, B3, …. B8. లను గుర్తించుము.
(4) B5, C ని కలుపుము.
(5) B5C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు B8 వద్ద రేఖను గీయగా అది BC ను C’ వద్ద ఖండించును.
(6) ‘C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 11.
4 సెం.మీ, 5 సెం.మీ, 6 సెం.మీ. కొలతలతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 11

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) AB = 4 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ మరియు CA = 6 సెం.మీ.ల కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షం ‘A’ ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB1 = B1B2 = B2B3 అగునట్లు మూడు బిందువులు B1, B2, B3 లను గుర్తించుము.
(4) B3, C లను కలుపుము.
(5) B2 గుండా B3 C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(6) A’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BAను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) కావున ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 12.
భూమి 8 సెం.మీ మరియు దానికి గీసిన లంబము 4సెం.మీ. ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును గీయండి. ఈ ‘త్రిభుజ భుజాలకు 13 రెట్లు అనురూప భుజాల పొడవులు కలిగి, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉండేటట్లు వేరొక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) BC = 8 సెం.మీ మరియు లంబము 4 సెం.మీ ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును నిర్మించుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 12

(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB1 = B1 B2 = B2 B3 అగునట్లు మూడు బిందువులు B1, B2, B3, లను గుర్తించుము.
(4) B2 C ని కలుపుము. B2 నుండి B3 C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(5) C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(6) కావున ∆A’BC’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

Leave a Comment