AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
∆PQRS లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) అగునట్లు ST ఒక సరళరేఖ, ఇంకనూ ∠PST = ∠PRQ అయిన ∆PQR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 1

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) మరియు
∠PST = ∠PRQ.
సారాంశము : ∆POR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
ఉపపత్తి : \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) కావున ST || QR
(థమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయము నుండి)
∴ ∠PST = ∠POR ………… (1) (ST || QR కావున వాటి సదృశ్య కోణాలు)
మరియు, ∠PST = ∠PRQ……….. (2) (దత్తాంశము)
(1), (2) ల నుండి, ∠PQR = ∠PRQ
∴ PR = PQ [త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు సమానము)
కావున ∆PQR సమద్విబాహు త్రిభుజము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో, LM || CB మరియు LN || CD అయిన AM = AN అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 2

సాధన.
దత్తాంశము : LM || CB మరియు LN || CD
∆ABC లో, LM || BC కావున

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో, DE || AC మరియు DF || AE అయిన BF = BE అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 4

సాధన.
∆ABC లో, DE || AC కావున
\(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (1)
(థమిక సిద్ధాంతం నుండి) మరలా ∆ABE లో, DF || AE కావున
\(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
\frac{B E}{E C}=\frac{B F}{F E}\(\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము మధ్య బిందువు గుండా పోయేరేఖ, రెండవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటే అది మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుపయోగించి)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 5

దత్తాంశము : AB మధ్య బిందువు D మరియు DE || BC
సారాంశము : AE = EC
నిరూపణ : ∆ABC లో DE || BC
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము)

\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AB మధ్య బిందువు D ∴ AD = DB]
1 = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
∴ AE = EC
కావున DE, AC ని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న5.
ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుపయోగించి)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో AB మధ్య బిందువు ‘D’
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’.
సారాంశం : DE || BC.
ఉపపత్తి :

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 7

AB మధ్య బిందువు ‘D’,
AD = DB
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) = 1 ………. (1)
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’ అయిన
AE = EC
⇒ \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) = 1 ………… (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా నుండును.
∴ DE || BC [∴ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యం నుండి నిరూపించబడినది].

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటములో, DE || OQ మరియు DF || OR అయిన EF || QR అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 8

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో DE || OQ; DF || OR
సారాంశము : EF || QR
ఉపపత్తి : ∆POQ లో DE || OQ, కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ………………(1)
∆PQR లో DF || OR కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ……….. (2)
(1), (2) ల నుండి, \(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
(1), (4) అంతు EQ , FR ఆ విధముగా APQR ను EF రేఖ PQ మరియు
PR లను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించుచున్నది.. కావున EF || QR. (ప్రాథమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయం నుండి).

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో A, B, C లు వరుసగా OP, OQ మరియు OR లపై బిందువులు. AB || PQ మరియు AC || PR అయిన BC || QR అని చూపండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 9

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో AB || PQ; AC || PR.
సారాంశము : BC || QR
ఉపపత్తి : ∆POQలో AB || PQ కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) ………… (1)
∆OPRలో AC || PR కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ………… (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\)
ఆ విధముగా ∆OQR ను BC రేఖ OQ మరియు OR అను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ BC || QR.
[ప్రాథమిక సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)

ప్రశ్న 8.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB||DC. దాని కర్ణములు పరస్పరం బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి. అయిన \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : ట్రెపీజియము ABCD లో AB || CD మరియు AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 10

నిర్మాణము : EF అనురేఖను CD మరియు AB లకు సమాంతరంగా ఉంటూ ‘O’ గుండా పోవు విధంగా గీయుము.
ఉపపత్తి: ∆ACDలో EO // CD కావున AO _ AE
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) …………… (1) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి]

∆ABD లో, EO || AB కావున
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BO}}\) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)

\(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) ……………… (2) [విలోమము చేయగా )
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) నిరూపించబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 9.
7.2 సెం.మీ పొడవు గల ఒక రేఖాఖండమును గీసి దానిని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించండి. ఏర్పడిన రెండు భాగముల పొడవులను కొలిచి రాయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 11

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 7.2 సెం. మీతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
2) ‘A’ వద్ద ∠BAX అను అల్పకోణంను గీయుము.
3) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AX}}\) పై సమాన వ్యాసార్ధ కొలతలతో 5 + 3 = 8కి సమాన చాపములు (A1, A2, A3, …… A8) లను గీయుము.
4) A8 మరియు B ను కలుపుము.
5) A5 బిందువు గుండా \(\stackrel{\leftrightarrow}{A_{8} B}\) కి సమాంతర రేఖను గీయుము.
6) AB రేఖాఖండంను ‘C’ రేఖ 5 : 3 నిష్పత్తిలో ఖండించుచున్నది.
7) AC మరియు BC లను కొలవగా AC = 4.5 సెం.మీ. మరియు BC = 2.7 సెం.మీ.

Leave a Comment