TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 i}{7+i}\) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మాన్ని వ్రాయండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1, z₂ = -i అయితే, Arg(z₁, z₂) ను కనుక్కోండి..
సాధన:
z₁ = -1 = cos π + i sin π ⇒ Arg(z₁) = π
z₂ = -i = 0 + i(-1) = cos(\(\frac{-\pi}{2}\)) + i sin (\(\frac{-\pi}{2}\) )
Arg z₂ = \(\frac{-\pi}{2}\)
Arg(z₁, z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= π + (\(\frac{-\pi}{2}\))
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\).

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² అయితే
(a + b) (aw + bw)² (aw² + bw) = a³ + b³ అని చూపండి.
సాధన:
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² కావున
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
(a + b) (aw + bw²) (aw² + bw)
= (a + b) (a²w³ + abw² + abw⁴ + b²w³)
= (a + b) [a².1 + ab(w² + w³.w) + b².1]
= (a + b) [a² + ab(w² + w) + b²]
= (a + b) [a² + ab(-1) + b²]
= (a + b) (a² – ab + b²)
= a³ – b³
∴ (a + b) (aw + bw²) (aw² + bw) = a³ – b³.

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β అయితే α² + β² విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β కావున
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) మరియు αβ = \(\frac{c}{a}\)
α² + β² = (a + β)² – 2αβ
= (\(\frac{-b}{a}\))² – 2(\(\frac{c}{a}\))
= \(\frac{\mathbf{b}^2}{\mathbf{a}^2}\) – \(\frac{2 c}{\mathrm{a}}\)
∴ α² + β² = \(\frac{\mathrm{b}^2-2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^2}\)

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల లబ్దం 9 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల 9
⇒ \(\frac{-(-a)}{4}\) = 9
⇒ \(\frac{a}{4}\) = 9
⇒ a = 36.

ప్రశ్న 6.
SINGING పదంలోని అక్షరాలను I తో మొదలయి, I తో అంతమయ్యేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
సాధన:

SINGING పదంలో 2I’లు, 2N’లు, 2G’లు కలవు.
కావలసిన అమరిక కొరకు I తో మొదలయి, I తో అంతమయ్యేలా ఈ రెండు స్థానాలను నింపగల విధానాల సంఖ్య \(\frac{2!}{2!}\) = 1
మిగిలిన 5 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలతో నింపగల విధానాల సంఖ్య \(\frac{5!}{2!2!}\) = 30
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 30.

ప్రశ్న 7.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5} అయితే, r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5}
⇒ r + 1 = 3r – 5 (లేదా) 12 = r + 1 + 3r – 5
⇒ 1 + 5 = 3r – r (లేదా) 12 = 4r – 4
⇒ 6 = 2r. (లేదా) 16 = 4r.
⇒ r = 3 (లేదా) 4.

ప్రశ్న 8.
(3 – 4x)^3/4 సమాసానికి ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటు అయ్యే × విలువల సమితిని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3 – 4x)^3/4 = 3^3/4(1 – \(\frac{4 x}{3}\))^3/4
|\(\frac{4 x}{3}\)| < 1 అయిన (3 – 4x) ^3/4 సమాసం ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటు అగును.
⇒ |x| < \(\frac{3}{4}\) ⇒ x ∈ (\(\frac{-3}{4}\), \(\frac{3}{4}\))

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశము : 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16
మధ్యమం = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}\) = \(\frac{80}{8}\) = 10
మధ్యమం నుండి పరమ మూల్య విలువలు |6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |12 – 10|, |13 – 10|, |4 – 10|, |12 – 10|, |16 – 10|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2, 6
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+3+0+2+3+6+2+6}{8}\)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25.

ప్రశ్న 10.
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగురవేశారు. 6 బొమ్మలు పడడానికి గల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
8 నాణేలను ఏకకాలంలో ఎగురవేసిన 6 బొమ్మలు, పడే ఘటన A అని మరియు S శాంపుల్ ఆవరణము అనుకొనుము.
∴ n(S) = 2⁸ = 256
n(A) = ⁸C₆ = ⁸C₂ = \(\frac{8.7}{2}\) = 28
p(A) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{28}{256}\) = \(\frac{7}{64}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x² + y = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:


(1) మరియు (2) ల నుండి
x² + y² = 4x – 3

ప్రశ్న 12.
x ∈ R అయితే \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) సమాసపు వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) = y అనుకొనుము.
⇒ x + 2 = 2yx² + 3xy + 6y
⇒ 2yx² + (3y – 1) x + (6y – 2) = 0
x ∈ R ⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y 2) ≥ 0
⇒ 9y² – 6y + 1 – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y (3y – 1) + (3y – 1) < 0
⇒ (13y + 1) (3y − 1) ≤ 0
⇒ y ∈ [\(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)]
∴ \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) కు వ్యాప్తి \(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
MASTER పదం లోని అక్షరాలను ప్రస్తావించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే, ఆ వరుసలో REMAST పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
MASTER అను పదంలోని అక్షరాలను ఒక క్రమంలో వ్రాయగా


∴ REMAST పదం కోటి 391.

ప్రశ్న 14.
ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్థుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.
సాధన:
కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఈ క్రింది మూడు రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

	భారతీయులు (6)	అమెరికన్లు (5)	ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
మొదటి రకం	5	0	6C5 . 5C0
రెండవ రకం	4	1	6C4 . 5C1
మూడవ రకం	3	2	6C3 . 5C2

∴ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
= ⁶C₅ . ⁵C₀ + ⁶C₄ . ⁵C₁ + ⁶C₃ . ⁵C₂
= 6.1 + 15.5 + 20.10
= 6 + 75 + 200
= 281

ప్రశ్న 15.
భిన్నాన్ని పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+2\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\)
⇒ 2x² + 3x + 4 = A(x² + 2) + (Bx + C) (x – 1) ……… (1)
x = 1 వ్రాయగా
2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
⇒ 9 = 3A
⇒ A = 3
(1) లో ఇరువైపులా x² గుణకాలను మరియు స్థిర పదాలను పోల్చగా
2 = A + B
⇒ 2 = 3 + B
⇒ B = -1
(1) లో ఇరువైపులా స్థిరపదాలను పోల్చగా
4 = 2A – C
⇒ C = 2A – 4
⇒ C = 2(3) – 4 = 2
⇒ C = 6 – 4 = 2
∴ C = 2
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{-x+2}{x^2+2}\)
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{2-x}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుండి ఒక ముక్కను తీస్తే, అది ఆసుగాని, ఇస్పేటు గాని అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుకార్డు అయ్యే ఘటన A అని, ఇస్ఫేటుకార్డు అయ్యే ఘటన B అని అనుకొనుము మరియు S అనునది శాంపుల్ ఆవరణము.
n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(A) = ⁴C₁ = 4
n(B) = C₁ = 13.
n(A ∩ B) = ¹³C = 1
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{52}\)
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}\) = \(\frac{13}{52}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\)
= \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\)

ప్రశ్న 17.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15 అయ్యేట్లు. A మరియు B లు రెండు ఘటనలు అప్పుడు P(AC) + P(BC) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A ∪ B) = 0.65 అయితే P(A ∩ B) = 0.15
P(A^C) + P(B^C) = 1 – P(A) + 1 – P(B)
= 2 – [P(A) + P(B)]
= 2 – [P(A ∪ B) + P(A ∩ B)]
(∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B))
= 2 – [0.65 + 0.15]
= 2 – 0.8
= 1.2
∴ P(A^C) + P(B^C) = 1.2.

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకము అయితే (1 + i)ⁿ + (1 – i)ⁿ = \(\) cos (\(\))
సాధన:

ప్రశ్న 19.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 అనుకొనుము.
-2 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)⁴ – 5(x + 2)³ + 7(x + 2)² – 17x + 11 = 0
⇒ x⁴ + 4.x³.2 +6.x² 4 + 4.x.8 + 16 – 5(x³ + 3.x².2 + 3.x.4 + 8) + 7(x² + 4x + 4) – 17(x + 2) + 11 = 0
⇒ x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16 – 5x³ – 30x² – 60x – 40 + 7x² + 28x + 28 – 17x – 34 + 11 = 0
⇒ x⁴ + 3x³ + x² – 17x – 19 = 0.

ప్రశ్న 20.
r = 0, 1, 2, …….. n కు C₀. C_r + C₁. C_{r + 1} + C₂.C_{r + 2} + …………
+ C_{n – r}. C_n = ²ⁿC_{n + r} అని చూపి తద్వారా \(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + …… + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n అని రాబట్టండి.
సాధన:

x^{n + r} గుణకాలను ఇరువైపులా పోల్చగా
²ⁿC_{n + r} = C₀. C_r + C₁. C_{r + 1} + C₂.C_{r + 2} + ………… + C_{n – r}. C_n ______ (3)
(3) లో r = 0 వ్రాయగా
\(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + ………. + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n
(3) లో r = 1 వ్రాయగా
C₀C₁ + C₁C₂ + C₂C₃ + ………. + C_{n – 1}
С_n = ²ⁿC_{n + 1}.

ప్రశ్న 21.
\(\frac{3}{4.8}\) + \(\frac{3.5}{4.8 .12}\) + \(\frac{3.5 .7}{4.8 .12 .16}\)
అనంతశ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
క్రింది ఇచ్చిన విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి మరియు ప్రామాణిక విచలనంను గణించండి.

సాధన:
పట్టికను తయారుచేయగా

ఇచ్చట N = Σf_i = 30
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\) = \(\frac{430}{30}\) = 14
విస్తృతి (σ²) \(\frac{1}{N}\)Σf_i(x_i – \(\bar{x}\))²
= \(\frac{1374}{30}\) = 45.8
= 45.8
ప్రామాణిక విచలనము = \(\sqrt{45.8}\) = 6.77.

ప్రశ్న 23.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు. A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}, C = {2, 3, 4, 5} ఘటనలను తీసుకోండి. అయితే
i) P = (A ∪ B)
ii) P (A/B)
iii) P = (A/C)
iv) P = (B/C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = {1, 3, 5}, B = {2, 3} మరియు C = {2, 3, 4, 5}
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దొర్లించారు.
∴ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ n(S) = 6
∴ p(A) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
p(B) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\) మరియు p(C) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

i) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ⇒ n(A ∪ B) = 4
∴ p(A ∪ B) = \(\frac{n(A \cup B)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

ii) A ∩ B = {3} ⇒ n(A ∩ B) = 1
⇒ p(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైంది.

k విలువను, X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన.
x యొక్క వ్యాప్తి = [1, 2, 3, 4, 5]
∴ p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) = 1
\(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
అంకమధ్యమం μ = \(\sum_{r=1}^5 r \cdot p\left(X=x_i\right)\)
= \(\sum_{r=1}^5 r(r k)\)
= 1.(k) + 2.(2k) + 3.(3k) +4.(4k) + 5.(5k) = 55k
= 55 × \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి (σ²) = (1)². k + (2)² 2k + (3)² 3k + (4)² 4k + (5)² (5k) – μ²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – (\(\frac{11}{3}\))²
= 225 k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 × \(\frac{1}{15}\) – \(\frac{121}{9}\)
= \(\frac{135 – 121}{9}\) = \(\frac{14}{9}\)