TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(2 + 5i) (-4 + 6i) అను సంకీర్ణ సంఖ్య సంయుగ్మమును వ్రాయుము.
సాధన.
Z = (2 + 5i) (-4 + 6i) అనుకొనుము.
= – 8 + 12i – 20i + 30i²
= – 8 – 8i – 30
= – 38 – 8i
∴ \(\overline{\mathrm{z}}\) = – 38 – 8i
∴ (2 + 5i) (-4 + 6i) యొక్క సంయుగ్మము – 38 – 8i.

ప్రశ్న 2.
-√3 + i ను మాప ఆయామ రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన.
Z = -√3 + i అనుకొనుము.
∴ Z = 2[\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) + i\(\frac{1}{2}\)]
Z = 2[cos\(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin\(\frac{5 \pi}{6}\)]
∴ -√3 + i యొక్క మాప ఆయామ రూపము 2[cos\(\frac{5 \pi}{6}\) + i sin\(\frac{5 \pi}{6}\)

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, w, w² అయితే \(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\) అని చూపండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w²
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
\(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\)
= \(\frac{(1+2 w)(1+w)+(2+w)(1+w)-(2+w)(1+2 w)}{(2+w)(1+2 w)(1+w)}\)

ప్రశ్న 4.
x² + bx + c = 0, x² + cx + b = 0 (b ≠ c) లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే b + c + 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
x² + bx + c = 0 మరియు x² + cx + b = 0 ఆ సమీకరణాల ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అనుకొనుము.
∴ α² + bα + c = 0
α² + cα + b = 0
bα – cα + c – b = 0
⇒ (b – c)α = b – c
= α = 1
∴ 1² + b(1) + c = 0
⇒ 1 + b + c = 0
⇒ b + c + 1 = 0

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 యొక్క మూలాలు 1, 1, α అయితే α ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 యొక్క మూలాలు 1, 1, α
∴ S₁ = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ 2 + α = 6
⇒ α = 6 – 2
= α = 4.

ప్రశ్న 6.
ⁿP₃ = 1320 అయితే n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿP₃ = 1320
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 10.132
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 10.11.12
⇒ n(n – 1) (n – 2) = 12.11.10
∴ n = 12.

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿC₅ = ⁿC₆
∴ n = 5 + 6 = 11
¹³C_n = ¹³C₁₁
= ¹³C₂
= \(\frac{13.12}{2}\)
= 78
¹³C_n = 78

ప్రశ్న 8.
(1 + x)²ⁿ మరియు (1 + x)^{2n – 1} విస్తరణలో xⁿ గుణకాలు వరుసగా A, B అయితే
\(\frac{A}{B}\) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= \(\frac{\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n)!}}{\frac{(2 n-1)!}{n!(2 n-1-n)!}}\)
= \(\frac{(2 n)!}{n!n!} \cdot \frac{n!(n-1)!}{(2 n-1)!}\)
= \(\frac{2 n}{n}\)
= 2
∴ \(\frac{A}{B}\) = 2.

ప్రశ్న 9.
3, 6, 10, 4, 9, 10 దత్తాంశంనకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం 3, 6, 10, 4, 9, 10
మధ్యమం = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= \(\frac{42}{6}\)
= 7
పరమ మూల్య విలువలు |3 – 7|, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|,. 10-7
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\)
= 2.66

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}\)
P (X = 1) = P(X = 2)
∴ \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!}\)
⇒ λ = \(\frac{\lambda^2}{2}\)
⇒ 2λ = λ²
⇒ λ² – 2λ = 0
⇒ λ(λ – 2) = 0
λ > 0 కావున
∴ λ – 2 = 0 ⇒ λ = 2
P(X = 5) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^5}{5!}\) = \(\frac{e^{-2} \cdot 2^5}{120}\)
= \(\frac{32}{120 e^2}\)
= \(\frac{4}{15 e^2}\)
∴ P(X = 5) = \(\frac{4}{15 e^2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
-2 + 7i, \(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో సమచతుర్భుజి (రాంబస్) సూచిస్తాయని నిరూపించండి.
సాధన:
ఆర్లాండ్ తలంలో బిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.
∴ A = (2, 7), B = (\(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)), C = (4, -3), D = (\(\frac{7}{2}\), \(\frac{7}{2}\))
AB = \(\sqrt{\left(\frac{-3}{2}+2\right)^2+\left(\frac{1}{2}-7\right)^2}\) BC = \(\sqrt{\left(4+\frac{3}{2}\right)^2+\left(-3-\frac{1}{2}\right)^2}\)

ఇచ్చట AB = BC = CD = DA మరియు AC ≠ BD
∴ ABCD సమచతుర్భుజిని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి ? (పునరావృతం కానట్లుగా)
సాధన:
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 0, 2, 4, 7, 8
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తము
= (0 + 2 + 4 + 7 + 8) [^{5 – 1}P_{4 – 1} (1111) – ^{5 – 2}P_{4 – 2} (1
11)]
= 21[⁴P₃ (1111) – ³P₂ (111)]
= 21 [24(1111) – 6(111)]
= 21[26664 – 666]
= 21 (25998]
= 5,45,958

ప్రశ్న 14.
²⁵C₄ + \(-\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄ అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S = ²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄
= ²⁵C₄ + ²⁹C₃ + ²⁸C₃ + ²⁷C₃ + ²⁶C₃ + ²⁵C₃
= ²⁵C₄ + ²⁵C₃ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ +²⁸C₃ + ²⁹C₃
కావున ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} + ^{n + 1}C_r
= ²⁶C₄ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁷C₄ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁸C₄ + ²⁸C₃ = ²⁹C₃
= ²⁹C₄ + ²⁹C₃
= ³⁰C₄
∴ L.H.S = R.H.S
∴ ²⁵C₄ + \(-\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄

ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{A x^2(x+3)+B x(x+3)+C(x+3)+D x^3}{x^3(x+3)}\)
⇒ 3x – 18 = Ax²(x + 3) + Bx (x + 3) + C(x + 3) + Dx³ ……….. (1)
x = 0 వ్రాయగా
0 – 18 = 0 + 0 + C(0 + 3) + 0
-18 = 3C
⇒ C = 6
x = -3 వ్రాయగా
3(-3) – 18 = 0 + 0 + 0 +D(-3)³
– 9 – 18 = D(-27)
-27 = -27D
D = 1
(1) లో, ఇరువైపులా x³ గుణకాలను పోల్చగా
0 = A + D
⇒ A = -D
⇒ A = -1
(1) లో, ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
0 = ЗА + В
⇒ B = -3A
⇒ B = -3(1) = -3
∴ A = -1, B = -3, C = -6, D = 1
\(\frac{3 x-18}{x^3(x+3)}\) = \(\frac{-1}{x}\) + \(\frac{-3}{x^2}\) + \(\frac{-6}{x^3}\) + \(\frac{1}{x+3}\)
= \(\frac{1}{x+3}\) – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{3}{x^2}\) + \(\frac{6}{x^3}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, మరియు P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు A, B ఉన్నాయనుకోండి.
i) A జరగకపోవడానికి
ii) A గానీ B గానీ (A, Bలు రెండూ)
సాధన:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 మరియు P(A ∩ B) = 0.3

i) A జరగకపోవడానికి సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{A}}\))
= 1 – P(A)
= 1 – 0.5
= 0.5

ii) A గానీ, B గానీ జరగకపోవడానికి సంభావ్యత
= P(\(\overline{\mathrm{A}}\) N \(\overline{\mathrm{B}}\))
= 1 – P(\(\overline{A \cap B}\))
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 [0.5 + 0.4 – 0.3]
= 1 – 0.6 = 0.4

ప్రశ్న 17.
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు, P(A) = 0.2, P(B) = 0.5.
(i) P(A|B)
(ii) P(B |A)
(iii) P(A ∩ B)
(iv) P(A ∪ B) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = 0.2,
P(B) = 0.5
A, B లు రెండు స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
(i) P(A|B) = P(A) = 0.2

(ii) P(B |A) = P(B) = 0.5

(iii) P(A ∩ B) = P(A). P(B)
= (0.2) (0.5)
= \(\frac{2}{10}\).\(\frac{5}{10}\)
= \(\frac{10}{100}\)
= 0.1

(iv) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A). P(B)
= 0.2 + 0.5 (0.2) (0.5)
= 0.2 + 0.5 – 0.1
= 0.6

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β+ sin γ అయితే
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
(ii) sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3 sin (α + β + γ) అని చూపండి.
సాధన:
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β+ sin γ
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
∴ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
(cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³
= 3(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) (cos γ + i sin γ)
⇒ (cos 3α + i sin 3α) + (cos 3β + i sin 3β) + (cos 3γ + i sin 3γ)
= 3(cis α) (cis β) (cis γ)
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i(sin 3α + sin 3β + sin 3γ)
= 3cis (α + β + γ)
= 3[cos (α + β + γ) + i sin(α + β + γ]
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
∴ cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3cos (α + β + γ)
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3sin (α + β + γ).

ప్రశ్న 19.
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 సమీకరణం ఒక మూలం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగమైతే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 యొక్క మూలాలు α, β, γ అనుకొనుము.
∴ S₁ = \(\frac{-81}{18}\) α + β + γ = \(\frac{-9}{2}\) ………. (1)
S₂ = \(\frac{121}{18}\) ⇒ αβ + βγ + γα = \(\frac{121}{18}\) ……… (2)
S₃ = \(\frac{-60}{18}\) ⇒ αβγ = \(\frac{-10}{3}\) ………… (3)
ఒక మూలం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగం కావున
α = \(\frac{\beta+\gamma}{2}\) అనుకొనుము 2α = β + γ
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
α + 2α = \(\frac{-9}{2}\) ⇒ 3α = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\)
∴ β + γ = 2(\(\frac{-3}{2}\)) ⇒ β + γ = -3 ……….. (4)
(3) నుండి, \(\frac{-3}{2}\)(βγ) = \(\frac{-10}{3}\) ⇒ βγ = \(\frac{20}{9}\)
(β + γ)² – (β – γ)² = 4βγ
⇒ (β – γ)² = (β + γ)² – 4βγ
= (-3)² – 4(\(\frac{20}{9}\))
= 9 – \(\frac{80}{9}\)
= \(\frac{81 – 80}{9}\) = \(\frac{1}{9}\)
∴ β – γ = \(\frac{1}{3}\) ……….. (5)
(4) + (5) ⇒ 2β = -3 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{-9+1}{3}\) = \(\frac{-8}{3}\)
⇒ β = \(\frac{-4}{3}\)
(4) – (5) ⇒ 2γ = -3 – \(\frac{1}{3}\) ⇒ 2γ = \(\frac{-9-1}{3}\) = \(\frac{-10}{3}\)
⇒ γ = \(\frac{-5}{3}\)
∴ ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{-4}{3}\), \(\frac{-5}{3}\).

ప్రశ్న 20.
C₀ + C₁.\(\frac{x}{2}\) + C₂.\(\frac{x^2}{3}\) + C₃.\(\frac{x^3}{4}\) + ……. +
C_n.\(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
If x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3 .5 .7}{3 \cdot 6 \cdot 9.12}\) + …….., అయితే 9x² + 24x = 11 అని నిరూపించండి.
సాధన:


⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
= 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాజనిత మధ్యమం A = 35 అనుకొనుము
అపుడు d₁ = \(\frac{x_i-35}{10}\)

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))_n
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10
= 35 – 1.6 = 33.4
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σfi|xi – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18

ప్రశ్న 23.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తాపత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% ని, 16% Bని, 14% C ని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, C
రెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటిని చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = \(\frac{20}{100}\)
P(B) = \(\frac{16}{100}\)
P(C) = \(\frac{14}{100}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\)
P(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\)
P(C ∩ A) = \(\frac{5}{100}\)
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{2}{100}\)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
\(\frac{20}{100}\) + \(\frac{16}{100}\) + \(\frac{14}{100}\) \(\frac{8}{100}\) + \(\frac{4}{100}\) + \(\frac{5}{100}\) \(\frac{2}{100}\)
= \(\frac{20+16+14-8-4-5+2}{100}\)
= \(\frac{35}{100}\)
∴ కనీసం ఒక వార్తా పత్రికను చదివే జనాభా శాతం = \(\frac{2}{100}\) × 100 = 35%

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఇవ్వబడినది.

(i) k విలువ (ii) అంకమధ్యమం (iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
Σ P(X = x) = 1 అని తెలియును.
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k.k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (10k – 1) (k + 1) = 0
⇒ k + \(\frac{1}{10}\), -1
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k = 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\)) = 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8