Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.
TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu
Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75
గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.
Section – A 10 × 2 = 20
I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.
ప్రశ్న 1.
(3 + 4i) (2 – 3i) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
Z = (3 + 4i) (2 – 3i)
= 6 – 9 + 8i – 12i2
= 6 – i – 12(-1)
= 6 – i + 12
= 18 – i
∴ \(\bar{Z}\) = 18 + i
∴ (3 + 4i) (2 – 3i) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మమం 18 + i.
ప్రశ్న 2.
Arg \(\bar{Z}_1\), Arg Z2 లు వరసగా \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{3}\) అయితే Arg Z1 + Arg Z2 ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Arg \(\bar{Z}_1\) = \(\frac{\pi}{5}\) ⇒ Arg Z1 = –\(\frac{\pi}{5}\)
Arg Z2 = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ Arg Z1 + Arg Z2 = \(\frac{-\pi}{5}\) + \(\frac{\pi}{3}\)
= π(\(\frac{1}{3}\) – \(\frac{1}{5}\))
= π(\(\frac{5 – 3}{15}\))
= \(\frac{2 \pi}{15}\)
ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w2 అయితే \(\frac{1}{2+w}\) + \(\frac{1}{1+2 w}\) + \(\frac{1}{1+w}\) అని చూపండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w2
∴ 1 + w + w2 = 0 మరియు w3 = 1
ప్రశ్న 4.
m యొక్క ఏ విలువలకు x2 – 15 – m(2x – 8) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానం అవుతాయి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x2 – 15 – m (2x – 8) = 0
⇒ x2 – 15 – 2mx + 8m = 0
⇒ x2 – 2mx + 8m – 15 = 0
ఇచ్చిన సమీకరణమునకు మూలాలు సమానము కావున
∴ (-2m)2 – 4(1) (8m – 15) = 0
⇒ 4m2 – 32m + 60 = 0
⇒ m2 – 8m + 15 = 0
⇒ m2 – 3m – 5m + 15 = 0
⇒ m(m – 3) – 5(m – 3) = 0
⇒ (m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m = 3, 5
ప్రశ్న 5.
x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి.
సాధన:
x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 యొక్క మూలాల α, β, 1
∴ మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-2)}{1}\)
⇒ α + β + 1 = 2
⇒ α + β = 1 ………. (1)
మూలాల లబ్ధం = \(\frac{(-6)}{1}\)
⇒ a . β . 1 = -6
(α – β)2 = (a + β)2 – 4αβ
= 12 – 4(-6)
= 1 + 24
= 25
⇒ α – β = 5
(1) + (2) ⇒ 2α = 6
⇒ α = 3
(1) నుండి
3 + β = 1
⇒ α = 3β = -2
∴ α = 3, β -2
ప్రశ్న 6.
(2x + 3y + z)7 విస్తరణలో పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
(2x + 3y + z)7 విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య
= \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\)
= 36
ప్రశ్న 7.
3, 6, 10, 4, 9, 10 దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మధ్యమం
\(\bar{x}\) = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= \(\frac{42}{6}\) = 7
పరమ మూల్య విచలనాలు
|3 – 7|, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 1, 1, 3, 3, 2, 3
4+1+3 +3 +2+3
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\) = 2.666
ప్రశ్న 8.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి B కి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n(A) = 5 మరియు n(B) = 7
∴ A నుండి B కు గల అన్వేక ప్రమయాల సంఖ్య
n(B)pn(A) = 7p5
= 7.6.5.4.3
= 2,520
ప్రశ్న 9.
9C3 + 9C4 = 10Cr అయితే r కనుక్కోండి.
సాధన:
9C3 + 9C4 = 10Cr
nCr + nCr – 1 n + 1 Cr
అని తెలియును.
∴ 10C4 = 10Cr
(లేదా)
⇒ r = 4 (or) 10 = 4 + r
(లేదా)
⇒ r = 4 (or) r = 6
ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద చలరాశి x అంకమధ్యమము, విస్తృతిలు వరుసగా 2.4, 1.44 అయితే n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా గల ద్విపద చలరాశి X అనుకొనుము.
∴ అంకమధ్యమము n = 2.4 మరియు
విస్తృతి npq = 1.44
\(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}\) = \(\frac{1.44}{2.4}\) ⇒ q = 0.6
p = 1 – q = 1 – 0.6 = 0.4
np = 2.4 ⇒ n(0.4) = 2.4
⇒ n = 6
Section – B 5 × 4 = 20
II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.
ప్రశ్న 11.
2 + i, 4 + 3i, 2 + 5i, 3i అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ సమతలంలో ఒక చతురస్ర శీర్షాలను తెలుపుతాయని చూపండి.
సాధన:
A, B, C, Dలు సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు,
∴ A = (2, 1), B = (4, 3), C = (2, 5), D = (0, 3)
∴ AB = BC = CD = DA and AC = BD
∴ A, B, C, Dలు సంకీర్ణ సంఖ్యలు.
ప్రశ్న 12.
\(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) సమాస వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ x2y – xy + y = x2 + x + 1
⇒ (y – 1)x2 – x(y + 1) + y – 1 = 0
x ∈ R ⇒ b2 – 4ac ≥ 0
⇒ [-(y + 1)]2 – 4(y – 1) (y – 1) ≥ 0
⇒ (y + 1)2 – 4(y – 1)2 ≥ 0
⇒ y2 + 2y + 1 – 4(y2 – 2y + 1) ≥ 0
⇒ y2 + 2y + 1 – 4y2 + 8y – 4 ≥ 0
⇒ -3y2 + 10y – 3 ≥ 0
⇒ 3y2 – 10y + 3 ≤ 0
⇒ 3y2 – 9y – y + 3 ≤ 0
⇒ 3y(y – 3) -1 (y – 3) ≤ 0
⇒ (3y – 1) (y – 3) ≤ 0
⇒ y ∈ [\(\frac{-1}{3}\), 3]
∴ y యొక్క వ్యాప్తి [\(\frac{-1}{3}\), 3]
ప్రశ్న 13.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)
= (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)
= \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{A x+B}{x^2+x+1}\) = \(\frac{C x+D}{x^2+x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ 3x3 – 2x2 – 1 = (Ax + B) (x2 – x + 1) + (Cx + D) (x2 + x + 1)
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
A + C = 3 ….. (1) ⇒ C = 3 – A
– A + B + C + D = -2 ……… (2)
A – B + C + D = 0 ……….(3)
B + D = -1 ……. (4) ⇒ D = – 1 – B
C, D లను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– A + B + 3 – A – 1 – B = -2
⇒ -2A = -4
⇒ A = 2
∴ C = 3 – 2 ⇒ C = 1
C, D లను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
A – B + 3 – A – 1 – B = 0
⇒ 2B = -2 ⇒ B = 1
D = – 1 – 1 ⇒ D = -2
∴ A = 2, B = 1, C = 1, D = -2
∴ \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\) = \(\frac{x-2}{x^2-x+1}\)
ప్రశ్న 14.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తా పత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% Aని, 16% Bని, 14% Cని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, Cరెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటిని చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
p(A) = \(\frac{20}{100}\) = p(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\)
p(B) = \(\frac{16}{100}\) = p(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\)
p(C) = \(\frac{14}{100}\) = p(A ∩ C) = \(\frac{5}{100}\)
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{20}{100}\)
P(A ∩ B ∪ C) = P(A) + p(B) + p(C) – p(A ∩ B) – p(B ∩ C) – p(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
ఆని తెలియమ
= \(\frac{20}{100}\) + \(\frac{16}{100}\) + \(\frac{14}{100}\) – \(\frac{8}{100}\) – \(\frac{4}{100}\) – \(\frac{5}{100}\) + \(\frac{2}{100}\)
= \(\frac{35}{100}\)
∴ కనీసం ఒక వార్తా పత్రిక చదివే జనాభా శాతం
= \(\frac{35}{100}\) × 100 = 35%
ప్రశ్న 15.
నియత సంభావ్యతను నిర్వచించండి. సంభావ్యత గుణన సిద్ధాంతం నిర్వచించి, నిరూపించండి.
సాధన:
సాధన:
i) నియత ఘటన : A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగానికి చెందిన రెండు ఘటనలు అనుకొనుము. A ఘటన జరిగిన అనంతరం B ఘటన జరిగితే అప్పుడు “A
జరిగిన తరువాత B జరగడం” అనే ఘటనను నియత ఘటన అని అంటారు.
దీనిని \(\frac{B}{A}\) గా సూచిస్తారు.
నియత సంభావ్యత : A, B లు శాంపుల్ ఆవరణం S చెందిన రెండు ఘటనలు, P(A) = 0 అయితే, ఘటన A జరిగిన తరువాత B సంభావ్యతను “A జరిగినప్పుడు
B నియత సంభావ్యత” అని అంటారు. దీనిని P(\(\frac{B}{A}\))తో తో సూచిస్తారు.
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) P(A) ≠ 0
ii) సంభావ్యతకు గణన సిద్ధాంతం : P(A) > 0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A ∩ B) = P(A) P (\(\frac{B}{A}\)) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ఉపపత్తి : యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపుల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొనుము.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు, అప్పుడు నియత సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
∴ P(B ∩ A) = P(A) P(\(\frac{B}{A}\))
P(B) > 0 కావున పై సమీకరణం A, B లను తారుమారు చేయగా
P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ప్రశ్న 16.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో PRISON పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం
I, N, O, P, R, S
స్థానాలు 1, 2, 3, 4, 5, 6 పదాల సంఖ్య
I ______ = 5!
N ______= 5!
O ______ = 5!
P I ______ = 4!
P N ______ = 4!
P O ______ = 4!
P R I N ______ = 2!
P R I O ______ = 2!
P R I S N = 11
కనుక PRISON అనే పదం కోటి.
= 3(5!) + 3(4!) + 2(2!) + 1! + 1
= 3(120) + 3(24) + 2(2) + 1 + 1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1
= 438
ప్రశ్న 17.
34C5 + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) సూక్ష్మీకరించుము.
సాధన:
34C5 + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = 34C5 + 38C4 + 37C4 + 36C4 + 35C4 + 34C4
= 34C5 + 34C4 + 35C4 + 36C4 +37C4 + 38C4
= 35C5 + 35C4 + 36C4 + 37C4 + 38C4
= 36C5 + 36C4 + 37C4 + 38C4
= 37C5 + 37C4 + 38C4
= 38C5 + 38C4
= 39C5
∴ 34C5 + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = 39C5
Section – C 5 × 7 = 35
III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.
ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)n + (1 – i)n = \(2^{\frac{n+2}{2}}\) cos(\(\frac{n \pi}{4}\))
సాధన:
ప్రశ్న 19.
2x5 + x4 – 12x3 – 12x2 + x + 2 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
2x5 + x4 – 12x3 – 12x2 + x + 2 = 0
దత్త సమీకరణం మొదట కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ -1 ఒక మూలం.
∴ దత్త సమీకరణానికి x + 1 ఒక కారణాంకం.
2x4 – x3 – 11x2 – x + 2 = 0
∴ 2x2 – x – 11 – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x2 + \(\frac{1}{x^2}\)) – (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x2 + \(\frac{1}{x^2}\) = t2 – 2
∴ 2 (t2 – 2) – t – 11 = 0
⇒ 2t2 – 4 – t – 11 = 0
⇒ 2t2 – 1 – 15 = 0
⇒ 2t2 – 6t + 5t – 15 = 0
⇒ 2t2(t – 3) + 5 (t – 3) = 0
⇒ (t – 3) + (2t + 5) = 0
⇒ t = 3 (లేదా) -5/2
t = 3 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ x2 – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{9-5}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
t = \(\frac{-5}{2}\) అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
2x2 + 2 = -5x
2x2 + 5x + 2 = 0
2x2 + 4x + x + 2 = 0
2x (x + 2) + (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0
⇒ x = -2, –\(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), -2, –\(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న 20.
(1 + x)n విస్తరణలో 4 వరస పదాల గుణకాలు వరుసగా a1, a2, a3, a4 అయితే \(\frac{a_1}{a_1+a_2}\) + \(\frac{a_3}{a_1+a_2}\) = \(\frac{2 a_2}{a_2+a_3}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + x)n విస్తరణలో 4 వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా a1, a2, a3, a4.
a1 = nCr – 1, a2 = nCr, a3 = nCr + 1, a4 = nCr + 2 అనుకొనుము.
ప్రశ్న 21.
1 – \(\frac{4}{5}\) + \(\frac{4.7}{5.10}\) – \(\) + …….. అనంత శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం
మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))h
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10 = 35 – 1.6 = 33.4
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σfi|xi – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18
ప్రశ్న 23.
మూడు పెట్టెలు B1, B2, B3 లలోని బంతులు క్రింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.
తెల్లనివి | నల్లనివి | ఎర్రనివి | |
B1 | 2 | 1 | 2 |
B2 | 3 | 2 | 4 |
B3 | 4 | 3 | 2 |
ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B1 ను ఎన్నుకొంటారు. 3 లేదా 4 వస్తే B2 ను ఎన్నుకొంటారు. 5 లేదా 6 వస్తే B3 ను ఎన్నుకొంటారు. ఒక పెట్టెను ఎన్నుకొన్నాక, అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B2 నుంచి వచ్చే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
E1, E2, E3, పెట్టెలను ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా B1, B2, B3 అనుకొనుము.
∴ p(E1) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
p(E2) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
p(E3) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{\frac{4}{9}}{\frac{18+20+10}{45}}\)
= \(\frac{4}{9}\). \(\frac{45}{48}\)
= \(\frac{5}{12}\)
ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి X is{0, 1, 2} P(X = 0) = 3c3, P(X = 1) = 4c – 10c2, P(X = 2) = 5c – 1 అయినపుడు
i) c నిలువ
ii) P(X < 1)
iii) P(1 < X ≤ 2) మరియు P(0 ≤ X ≤ 3) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
యాదృచ్ఛిక చలరాశి X కు వ్యవాస్త {0, 1, 2}
(i) ∴ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3c3 + 4c – 10c2 + 5c – 1 = 1
⇒ 3c3 – 10c2 + 9c – 2 = 0
⇒ (c – 1) (3c2 – 7c + 2) = 0
⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 (లేదా) 2 (లేదా) \(\frac{1}{3}\)
⇒ c = 1 (లేదా) 2 అయితే P(X = 0) > 1
∴ c ≠ 1 మరియు c ≠ 2
∴ c = \(\frac{1}{3}\)
(ii) P(X < 1) = P(X = 0)
= 3c3
= 3(\(\frac{1}{3}\))3
= 3(\(\frac{1}{27}\))
= \(\frac{1}{9}\)
(iii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2)
= 5c – 1
= 5(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{5 – 3}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)
(iv) P(0 < X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= 4c – 10c2 + 5c – 1
= -10c2 + 9c – 1
= -10(\(\frac{1}{9}\)) + 9(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{-10+27-9}{9}\)
= \(\frac{8}{9}\)