TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24i యొక్క వర్గమూలం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
1 – i సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
x = cis θ, అయితే x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cis θ
⇒ x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶
= cos 6 θ + i sin 6 θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = \(\frac{1}{\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta}\)
= cos 6θ – i sin 6θ
∴ x⁶ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – i sin 6θ
= 2 cos 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = 2 cos 6θ.

ప్రశ్న 4.
7 ± 2√5లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α = 7 + 2√5 మరియు β = 7 – 2√5 అనుకొనుము.
α + β = 7+ 2√5 +7 – 2√5
= 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2√5)
= 49 – (2√5)²
= 49 – 4(5)
= 49 – 20
= 29
∴ కావలసిన వర్గ సమీకరణము
x² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² – 14x + 29 = 0

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 కు మూలాలు 1, 1, α అయితే ‘α’ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
1, 1, α మూలాలుగా గల సమీకరణము x³ – 6x² + 9x – 4 = 0
∴ మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ α = 6 – 2
⇒ α = 4

ప్రశ్న 6.
4 ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమూ దానికి సంబంధించిన కవరులోకి పోకుండా ఉండేలా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
4 ఉత్తరాలను వాటికి సంబంధించిన చిరునామాలు ఉన్న 4 కవర్లలో ఏ ఉత్తరమూ దానికి సంబంధించిన కవరులోకి పోకుండా, ఒక్కొక్క కవరులో ఒక్కొక్క ఉత్తరం ఉండేలా అమర్చగల విధానాల సంఖ్య
4!\(\frac{1}{2!}\)(\(\frac{1}{3!}\) – \(\frac{1}{4!}\) + )
= 24(\(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{1}{24}\))
= 12 – 4 + 1
= 9

ప్రశ్న 7.
INDEPENDENCE పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రసార్తాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తపదం INDEPENDENCE అనే పదంలో 12 అక్షరాలు ఉన్నాయి. వాటిలో మూడు N లు, రెండు Dలు, నాలుగు E లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = \(\frac{(12)!}{3!2!4!}\)

ప్రశ్న 8.
(1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a²x² + …… + a_2nx²ⁿ అయితే a₀ + a₁ + a₂ + …… + a_2n = 3ⁿ అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + x + x²)ⁿ = a₀ + a₁x + a²x² + …… + a_2nx²ⁿ
x = 1 వ్రాయగా
∴ (1 + 1 + 1)ⁿ = a₀ + a₁ + a₂ + …….. a_2n
∴ a₀ + a₁ + a₂ + ……. + a_2n = 3ⁿ

ప్రశ్న 9.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 దత్తాంశంనకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16
దత్తాంశానికి మధ్యమము \(\bar{x}\) = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}[latex]
= [latex]\frac{80}{8}\)
= 10
పరమమూల్య విచలనాలు
|6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |12 – 10|, |13 – 10|, |4 – 10|| |12 – 10|, 16 – 10|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2,
∴ మధ్యమము నుంచి మధ్యమ విచలనం
\(\frac{1}{n}\) ∈ |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{8}\)(4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6)
= \(\frac{1}{8}\) (26)
= 3.25

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = 1) = P(X = 2)
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) కావున

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయిన 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
EAMCET అను పదంలోని అక్షరాలను నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, C, E, E, M, T
A ————— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60
C ————— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{120}{2}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
తరువాత పదం EAMCET = 1
EAMCET పదం కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133

ప్రశ్న 14.
7 గురు బ్యాట్స్మెన్, 6 గురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆.⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅.⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య : = 42 + 21 = 63

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) = 1 + \(\frac{A}{x-a}\) + \(\frac{B}{x-b}\) – \(\frac{C}{x-c}\) అనుకొనుము.
= x³ = (x – a) (x – b) (x – c) + A(x- b) (x − c) + B(x – a) (x – c) + C(x – a) (x − b)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే
i) P(A ∩ B)
ii) P(A ∪ B)
iii) P(B/A) మరియు
iv) P(AC ∩ BC) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
i) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C).P(B^C)
A^C, B^C లు కూడ· స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 17.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే A^C, B^C రెండూ స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
∴ P(A ∩ B) = = P(A). P(B)
P(A^C ∩ B^C) = P[(A ∪ B)^C]
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A). P(B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A). P(B)
= [1 – P(A)] – P(B) [1 – P(A)]
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= P(A^C). P(B^C)
∴ A^C, B^C లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు.

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ = 2^{n + 1} cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
x² – 2x + 4 = 0

ప్రశ్న 19.
-2 తో మార్పు చెందిన x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 5x³ + 7x² – 17x + 11 = 0 అనుకొనుము.
– 2 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)⁴ – 5(x + 2)³ + 7(x + 2)² – 17(x + 2) + 11 = 0

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో r, r + 1, + 2 వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో n² – (4r + 1) n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr (r + 1), (r + 2) వ పదాల గుణకాలు వరుసగా ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1}
దత్తాంశము నుండి ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1} లు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
∴ ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r + 1} = 2 ⁿC_r

⇒ (n – r)(n – r + 1) = (r + 1)(2n – 3r + 2)
⇒ n² – 2nr + r² + n – r = 2nr – 3r² + 2r +2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3 .5}{5.10 .15}\) + ……… ∞ అయితే 3x² + 6x విలువను కావున.
సాధన:


3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x + 3 = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్య విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
a రాధన. ఊహాత్మక అంకమధ్యమము a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

∴ అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘట E₁, E₂ అయితే P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₁)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్య విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణము S అనుకొనుము మరియు ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X అనుకొనుము.