Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2015 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.
TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2015 in Telugu
Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75
గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.
Section – A 10 × 2 = 20
I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.
ప్రశ్న 1.
(a + ib)2 = x + iy అయితే x2 + y2 ను కనుక్కోండి.
సాధన:
⇒ (a + ib)2 = x + iy
⇒ a2 + 2iab + i2b2 = x + iy
⇒ (a2 – b2) + i(2ab) = x + iy
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
x = a2 – b2, y = 2ab
∴ x2 + y2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2
= a4 – 2a2b2 + b2 + 4a2b2
= a4 + 2a2b2 + 64
= (a2 + b2)2
ప్రశ్న 2.
(z – 1) యొక్క ఆయామ \(\frac{\pi}{2}\) అయితే, z యొక్క బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = x + iy అనుకొనుము
(z – 1) = (x + iy) – 1
= (x – 1) + iy
z – 1 యొక్క ఆయామం \(\frac{\pi}{2}\) కావున z – 1 యొక్క వాస్తవ భాగము శూన్యము.
⇒ (x – 1) = 0
∴ z యొక్క బిందు పథము x – 1 = 0
ప్రశ్న 3.
A, B, C, లు త్రిభుజ కోణాలు, x = cis A, y = cis B, z = cis C, అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజంలోని కోణాలు.
∴ A + B + C = 180°
x = cis A, y = cis B, z= cis C
xyz = (cis A) (cis B) (cis C)
= cis (A + B + C)
= cis (180°)
= cos 180° + i sin 180°
= – 1 + i (0)
= -1
∴ xyz = -1
ప్రశ్న 4.
x2 – 6x + 5 = 0 మరియు x2 – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే p విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 – 6x + 5 = 0 మరియు x2 – 12x + p = 0 యొక్క ఉమ్మడి మూలం α అనుకొనుము.
అప్పుడు α2 – 6α + 5 = 0 మరియు α2 – 12α + p = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
⇒ α = 1, 5
α = 1 అయితే 1 – 12 + P = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయితే 25 – 60 + P = 0
⇒ p = 35
∴ p = 11 (లేదా) 35
ప్రశ్న 5.
x3 – 2x2 + ax + 6 = 0 మూలాలు 1, -2, 3 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x3 – 2x2 + ax + 6 = 0 సమీకరణానికి మూలాలు 1, −2, 3.
⇒ 1 – 2 + a + 6 = 0
⇒ a + 5 = 0
⇒ a = -5
ప్రశ్న 6.
12P5 + 5.12P4 = 13Pr అయితే r ను కనుక్కోండి.
సాధన:
12P5 + 5.12P4 = 13Pr
nPr + r nPr-1 = n + 1Pr అని తెలియును.
13P5 = 13Pr
⇒ r = 5
ప్రశ్న 7.
ఒక పరీక్షలో ఉత్తీర్ణుడు కావడానికి, ఒక విద్యార్థి ఆ పరీక్షలో గల మూడు పేపర్లలో ఉత్తీర్ణుడు కావాలి. ఆ పరీక్షలో ఆ విద్యార్థి ఎన్ని విధాలుగా విఫలం కావచ్చు.
సాధన:
ప్రతీ ఒక్క పరీక్షలో విద్యార్థి సఫలం లేదా విఫలం కావచ్చు. అంటే 2 విధాలు
∴ మూడు పేపర్లలో విద్యార్థికి 23 = 8 అవకాశాలు గలవు. వాటిలో
ఒకటి అన్నీ పేపర్ల సఫలం (PPP).
∴ విఫలమయ్యే విధానాలు = 23 – 1 = 7 (FPP, PFP, PPE, FEP, FPF, PFE, FEF)
(F = విఫలం, P = సఫలం)
ప్రశ్న 8.
(1 + x)22 విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకం 22Cr అయితే 13Cr విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n = 22 అనునది సరిసంఖ్య
∴ (1 + x)22 విస్తరణ
nC(n/2) = 22C11 ఒక్కటి గరిష్ఠ ద్విపదగుణకం
∴ r = 11
13Cr = 13C11 = 13C2 = \(\frac{13(12)}{2}\) = 78
ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2 నకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్త బిందువులు 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2.
దత్త బిందువులను పరిమాణం పరంగా ఆరోహణక్రమంలో వ్యక్తపరిస్తే 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13.
∴ మధ్యగతం = 6
పరమ మూల్య విలువలు
= |6 – 2|, |6 – 3 |, |6 – 4|, |6 – 6|, |6 – 9|, |6 – 10|, |6 – 13|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\)
= \(\frac{23}{7}\) = 3.29
ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద చలరాశి X అంక మధ్యమం, విస్తృతిలు వరుసగా 2.4, 1.44 అయి n ను కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా X ద్విపద విభాజనము పాటుస్తుంది.
∴ అంకమధ్యమము μ = np = 2.4 → (1)
విస్తృతి npq = 1.44 → (2)
\(\frac{(2)}{(1)}\) ⇒ \(\frac{\mathrm{nPq}}{\mathrm{nP}}\) = \(\frac{1.44}{2.4}\)
∴ q = 0.6
⇒ p = 0.4
(1) నుంచి n (0.4) = 2.4
⇒ n = 6
Section – B 5 × 4 = 20
II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.
ప్రశ్న 11.
z = 3 – 5i అయితే z3 – 10z2 + 58z – 136 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన z = 3 – 5i
⇒ z – 3 = – 5i
⇒ (z – 3)2 = 25i2
⇒ z2 – 6z + 9 = -25 ⇒ z2 – 6z + 34 = 0
z3 – 10z2 + 58z – 136 = z(z2 – 6z + 34) – 4z2 + 24z – 136
= z(z2 – 6z + 34) – 4(z2 – 6z + 34)
= z(0) – 4(0)
= 0
∴ z3 – 10z2 + 58z – 136 = 0
ప్రశ్న 12.
R లో ప్రతి x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p హద్దులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) అనుకొనుము.
⇒ yx2 – 3xy + 2y = x – p
⇒ yx2 + (- 3y – 1) x + (2y + p) = 0
X ∈ R ⇒ (- 3y – 1)2 – 4 (y) (2y + p) ≥ 0
⇒ 9x2 + 6y + 1 – 8y2 – 4py ≥ 0
⇒ y2 + (6 – 4p)y + 1 ≥ 0
మూలాలు కల్పితాలు లేదా వాస్తవాలు మరియు సమానము.
⇒ Δ ≤ 0
⇒ (6 – 4p)2 – 4 (1) (1) ≤ 0
⇒ 36 – 48 p + 16p2 – 4 ≤0
⇒ 36 – 48 p + 16p2 – 4 ≤ 0
⇒ 16p2 – 48 p + 32 ≤ 0
⇒ p2 – 3p + 2 ≤ 0
⇒ (p – 1) (p – 2) ≤ 0
If P = 1 (లేదా) 2 అయితే \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) వ్యవస్థితము కాదు.
∴ 1 < p < 2.
ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువు క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం A, C, E, E, M, T
నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5!}{2!}\) విధాలుగా అమర్చవచ్చు. (ఈ 5 అక్షరాలలో 2E లు ఉన్నాయి కావున
A ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
C ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
EAMCET ————— = 1
EAMCET పదం యొక్క కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133
ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(4 n-1)}{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\}^2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\)
= 1 + \(\frac{A}{x-a}\) + \(\frac{B}{x-b}\) + \(\frac{C}{x-a}\) అనుకొనుము
⇒ x3 = A (x – b) (x – c) + B (x – a) (x – c) + C (x – a) (x – b) + (x – a) (x – b) (x – c)
ప్రశ్న 16.
ముందుగా 3ను దొర్లించిన వాళ్ళు ఆటగెలిచినట్లు అనే షరతుపై A, B అనే ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒక పాచికను దొర్లించారు. ఆటను ముందుగా A మొదలు పెడితే, A, B లు వరసగా ఆట గెలిచే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
p = ఒక పాచికను దొర్లించగా 3 పడటానికి సంభావ్యత = \(\frac{1}{6}\)
q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
సఫలం కావడానికి సంభావ్యత (p) = \(\frac{1}{6}\)
విఫలం కావడానికి సంభావ్యత (q) = \(\frac{5}{6}\)
A గెలవడానికి మొదట ప్రయత్నం (లేదా) మూడవ ప్రయత్నం (లేదా) ఐదవ ప్రయత్నం…… లలో పాచికను దొర్లించిన 3 పడవలెను.
∴ A గెలిచే సంభావ్యత = p + q q p + q q q q P + …………….
= p (1 + q2 + q4 + ……)
ప్రశ్న 17.
P (A ∪ B) = 0.65, P (A ∩ B) = 0.15 అయ్యేటట్లు A, B లు రెండు ఘటనలు, అప్పుడు P (Ac) + P (Bc) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
P (A ∪ B) = 0.65, P (A ∩ B) = 0.15
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P(\(\overline{\mathrm{B}}\)) = 1 – P (A) + 1 – P (B)
= 2 – [P (A) + P(B)]
= 2 – [P (A ∪ B) + P(A ∩ B)]
= 2 – [0.65 + 0.15]
= 2 – 0.8
= 1.2
Section – C 5 × 7 = 35
III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.
ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయిన cos2 α + cos2 β + cos2γ = \(\frac{3}{2}\)
= sin2 α + sin2 β + sin2 γ అని చూపండి.
సాధన:
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
⇒ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) = cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
= (cos α + cos β + cos γ) i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i (0) = 0
⇒ ab + bc + ca = 0
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 0 = a2 + b2 + c2 + 2(0)
⇒ a2 + b2 + c2 = 0
⇒ (cos α + i sin α)2 + (cos β + i sin β)2 + (cos γ + i sin γ)2 = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 1 – 2 sin2α + 1 – 2 sin2 β + 1 – 2 sin2γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin2α + sin2 β + sin2γ)
⇒ sin2α + sin2 β + sin2γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos2α – 1 + 2 cos2 β – 1 + 2 cos2 γ – 1 = 0
⇒ 2(cos2α + cos2β + 2 cos2γ) = 3
⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos2α + cos2 β + cos2γ = \(\frac{3}{2}\) = sin2α + sin2 β + sin2γ
ప్రశ్న 19.
2x5 + x4 – 12x3 – 12x2 + x + 2 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
2x5 + x4 – 12x3 – 12x2 + x + 2 = 0
దత్త సమీకరణం మొదట కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ -1 ఒక మూలం.
∴ దత్త సమీకరణానికి x + 1 ఒక కారణాంకం.
2x4 – x3 – 11x2 – x + 2 = 0
∴ 2x2 – x – 11 – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x2 + \(\frac{1}{x^2}\)) – (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x2 + \(\frac{1}{x^2}\) = t2 – 2
∴ 2 (t2 – 2) – t – 11 = 0
⇒ 2t2 – 4 – t – 11 = 0
⇒ 2t2 – 1 – 15 = 0
⇒ 2t2 – 6t + 5t – 15 = 0
⇒ 2t2(t – 3) + 5 (t – 3) = 0
⇒ (t – 3) + (2t + 5) = 0
⇒ t = 3 (లేదా) -5/2
t = 3 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ x2 – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{9-5}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
t = \(\frac{-5}{2}\) అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
2x2 + 2 = -5x
2x2 + 5x + 2 = 0
2x2 + 4x + x + 2 = 0
2x (x + 2) + (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0
⇒ x = -2, –\(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), -2, –\(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న 20.
(C0 + C1) (C1 + C2) (C2 + C3) ….. (Cn – 1 + Cn) = \(\frac{(n+1)^n}{n!}\).C0.C1.C2 …….. Cn అని నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{5}{(2!) 3}\) + \(\frac{5.7}{(3!) 3^2}\) + \(\frac{5.7 .9}{(4!) 3^3}\) + …………. అయితే x2 + 4x విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{2}{3}\)
1 + 1 + x = (1 – \(\frac{2}{3}\))-3/2
x + 2 = (\(\frac{1}{3}\))-3/2
(x + 2)2 = \(\frac{1}{3}\))-3
(x + 2)2 = 33
⇒ x2 + 4x + 4 = 27
⇒ x2 + 4x = 23
ప్రశ్న 22.
క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశానికి క్రింది పట్టికను తయారు చేయుము.
ఇచ్చట N = Σfi = 30
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\) = \(\frac{430}{30}\) = 14
విస్తృతి (σ2) = \(\frac{1}{N}\)Σfi(xi – \(\bar{x}\))2
= \(\frac{1374}{30}\) = 45.8
= 45.8
క్రమ విచలనం = \(\sqrt{45.8}\) = 6.77.
ప్రశ్న 23.
i) నియత ఘటన మరియు నియత సంభావ్యతలను నిర్వచింపుము.
ii) సంభావ్యతకు గుణన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
i) నియత ఘటన : A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగానికి చెందిన రెండు ఘటనలు అనుకొనుము. A ఘటన జరిగిన అనంతరం B ఘటన జరిగితే అప్పుడు “A
జరిగిన తరువాత B జరగడం” అనే ఘటనను నియత ఘటన అని అంటారు.
దీనిని \(\frac{B}{A}\) గా సూచిస్తారు.
నియత సంభావ్యత : A, B లు శాంపుల్ ఆవరణం S చెందిన రెండు ఘటనలు, P(A) = 0 అయితే, ఘటన A జరిగిన తరువాత B సంభావ్యతను “A జరిగినప్పుడు
B నియత సంభావ్యత” అని అంటారు. దీనిని P(\(\frac{B}{A}\))తో తో సూచిస్తారు.
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) P(A) ≠ 0
ii) సంభావ్యతకు గణన సిద్ధాంతం : P(A) > 0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు ఘటనలు అయితే,
P(A ∩ B) = P(A) P (\(\frac{B}{A}\)) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ఉపపత్తి : యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపుల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొనుము.
P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు, అప్పుడు నియత సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి
P(\(\frac{B}{A}\)) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
∴ P(B ∩ A) = P(A) P(\(\frac{B}{A}\))
P(B) > 0 కావున పై సమీకరణం A, B లను తారుమారు చేయగా
P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X వ్యాప్తి {1, 2, 3, ……….}. P (X = k) = \(\); (k = 1, 2, 3, …..) అయితే C విలువను, P(0 < X < 3) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క {1, 2, 3, …….}
P (X = k) = \(\frac{c^k}{k!}\)
…… Σ P(X = k) = 1
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{c^k}{k!}\) = 1
\(\frac{\mathrm{C}}{1!}\) + \(\frac{c^2}{2!}\) + \(\frac{c^3}{3!}\) + …… = 1
1 + \(\frac{\mathrm{C}}{1!}\) + \(\frac{c^2}{2!}\) + \(\frac{c^3}{3!}\) + …… = 1 + 1
⇒ eC = 2
C = loge2
P(0 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= C + \(\frac{c^2}{2!}\)
= (loge2) + \(\frac{\left(\log _e^2\right)^2}{2}\)