TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
Z = (cos θ, sin θ) అయితే (Z – \(\frac{1}{Z}\) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
Z = (cos θ, sin θ)
⇒ Z = cos θ + i sin θ
\(\frac{1}{Z}\) = \(\frac{1}{(\cos \theta+i \sin \theta)}\) = cos θ – i sinθ
Z – \(\frac{1}{Z}\) = (cos + i sin θ) (cos – i sin θ)
= cos θ + i sin – cos + i sin θ
= 2i sin θ.
∴ Z – \(\frac{1}{Z}\) = 2i sin θ.

ప్రశ్న 2.
Z = x + iy, |Z| = 1, అయితే Z యొక్క బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
Z = x + iy
|Z| = 1
⇒ \(\sqrt{x^2+y^2}\) = 1
⇒ x² + y² = 1
Z యొక్క బిందు పథము
∴ x² + y² = 1.

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘనమూలాలు I, W, W² అయితే (1 – W + W²)³ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, W, W² కావున
∴ 1 + W + W² = మరియు W³ = 1
(1 – W + W²)³ = (- W – W)³ = (-2W)³ = -8W³ = -8(1) = -8
∴ (1 – W + W²)³ = – 8.

ప్రశ్న 4.
x² + x – 12 ≤ 0 యొక్క సాధన సమితిని బీజీయ పద్ధతి ద్వారా కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + x – 12 ≤ 0
⇒ x² + 4x – 3x – 12 ≤ 0
⇒ x(x + 4) – 3(x + 4) ≤ 0
⇒ (x + 4) (x – 3) ≤ 0
⇒ x ∈ [-4, 3]
∴ x² + x – 12 ≤ 0 కు సాధన సమితి [-4, 3].

ప్రశ్న 5.
4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే αβ + βγ + γα విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 …….. (1)
(1) యొక్క మూలాలు α, β, γ కావున
∴ αβ + βy + yα = s₂ = \(\frac{7}{4}\).

ప్రశ్న 6.
6 వేర్వేరు రంగుల పూసలతో, ఎన్ని రకాలుగా గొలుసులు తయారుచేయవచ్చు ?
సాధన:
The number of ways of preparing a chain with 6 different colomed beads = \(\frac{1}{2}\) (n – 1)!
= \(\frac{1}{2}\) (6 – 1)!
= \(\frac{1}{2}\) (5) !
= \(\frac{1}{2}\) (120)
= 60.

ప్రశ్న 7.
ⁿC₄ = 210 అయితే n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿC₄ = 210
⇒ \(\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}\) = 5.6.7
⇒ n(n – 1) (n-2) (n – 3) = 24.5.6.7
= 7.8.9.10
= 10.9.8.7.
∴ n = 10.

ప్రశ్న 8.
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య
= \(\frac{(7 + 1)(7 + 2)}{2}\)
= \(\frac{8.9}{2}\) = 36.

ప్రశ్న 9.
5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10 దత్తాంశానికి విస్తృతి కనుక్కోండి.
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తాంశం 5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10
మధ్యమము \(\bar{z}\) = \(\frac{5+12+3+18+6+8+2+10}{8}\)
= \(\frac{64}{8}\) = 8
విస్తృతి a² = \(\frac{1}{8}\) [(5 – 8)² + (12 – 8)² + (3 – 8)² + (18 – 8)² + (6 – 8)² + (8 – 8)² + (2 – 8)² + (10 – 8)]²
= \(\frac{1}{2}\) [9 + 16 + 25 + 100 + 4 + 0 + 36 + 4]
= \(\frac{1}{8}\) (194)
= 24.25.

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సందానించి, P(x ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా x ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
Let x follows a binomial distribution with parameters n and p.
మధ్యమము = np = 4 ……. (1)
విస్తృతి = npq = 3
\(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\).
p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\).
(1) నుండి
n (\(\frac{1}{4}\)) = 4 ⇒ n = 16.
p(x ≥ 1) = 1 – p(x = 0)
= 1 – 16_Co(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))^{16 – 0}
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos θ+i \sin θ}\) అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos θ+i \sin θ}\)
= \(\frac{1}{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}+i .2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\)
= \(\frac{1}{2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}\left(\cos \frac{\theta}{2}+i \sin \frac{\theta}{2}\right)}\)
= \(\frac{1}{2 \cos \frac{\theta}{2}}\left(\cos \frac{\theta}{2}-i \sin \frac{\theta}{2}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\) – i\(\frac{1}{2}\) tan \(\frac{\theta}{2}\)
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0.

ప్రశ్న 12.
c² ≠ ab అయితే (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + (b² – ac) = 0 సమీకరణం మూలాలు సమానమైతే అప్పుడు a³ + b³ + c³ = 3 abc లేదా a = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(c² – ab) x² – 2 (a² – bc) x + (b² – ac) = 0 ……… (1)
(1) కు సమాన మూలాలు కావున
∴ 4(a² – bc)² – 4(c² – ab) (b² – ac) = 0
⇒ (a² – bc)² – (c² – ab) (b² – ac) = 0
⇒ a⁴ – 2a²bc + b²c² – (b²c² – ac³ + ab³ – a²bc = 0
⇒ a⁴ – 2a²bc + b²c² – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc = 0
⇒ a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0.
⇒ a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0
⇒ a = 0 (లేదా) a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
⇒ a = 0 (లేదా) a³ + b³ + c³ = 3abc.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షరాలను ప్రస్తావించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరసలో MASTER పదము యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
REMAST పధంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, E, M, R, S, T
A తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
E తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
MAE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MAR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MASE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
MASR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
తర్వాత పదం MASTER = 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 120 + 1.20 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 257

ప్రశ్న 14.
\(\frac{4 n C_{2 n}}{2 n C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots(4 n-1)}{\{1.3 .5 . \ldots(2 n-1)\}^2}\) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\)
= 1 + \(\frac{A}{x-a}\) + \(\frac{B}{x-b}\) + \(\frac{C}{x-a}\) అనుకొనుము
⇒ x³ = A (x – b) (x – c) + B (x – a) (x – c) + C (x – a) (x – b) + (x – a) (x – b) (x – c)
x = a వ్రాయగా,
a³ = A(a – b) (a – c)
⇒ A = \(\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}\)
x = b వ్రాయగా
b³ = B(b – a) (b – c)
∴ B = \(\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}\)
x = c వ్రాయగా
c³ = C(c – a) (c – b)
C = \(\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\)
∴ \(\frac{x^3}{(x-a)(x-b)(x-c)}\) = 1 + \(\frac{x^3}{(a-b)(a-c)(x-a)}\) + \(\frac{b^3}{(b-a)(b-c)(x-b)}\) + \(\frac{c^3}{(c-a)(c-b)(x-c)}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టును పొందే సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\), భవనం కాంట్రాక్టును పొందే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\) కనీసం ఒక కాంట్రాక్టునైనా పొందే సంభావ్యత \(\frac{4}{9}\) అతడు రెండు కాంట్రాక్టులను పొందే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టును పొందే ఘటనను A అని మరియు భవనం కాంట్రాక్టుకు పొందే ఘటనను B అని అనుకొనుము.
∴ P(A) = \(\frac{2}{3}\), P(B) = \(\frac{5}{9}\) మరియు
P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతంననుసరించి
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A ∩ B) = P(A) + P(B) = P(A ∪ B)
= \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{5}{9}\) – \(\frac{4}{5}\)
= \(\frac{30 + 25 – 36}{45}\)
= \(\frac{19}{45}\)
∴ కాంట్రాక్టరు రెండు కాంట్రాక్టులను పొందే సంభావ్యత = \(\frac{19}{45}\)

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు. 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడ తాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించ డానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, B లు ఒక ఘటన గురించి నిజము చెప్పే ఘటనను వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
P(\(E_1^c\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(E₂) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\) P(\(E_2^c\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
ఒక ఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే విధాలుగా ఘటనను E అనుకొనిన అవి రెండు విధాలుగా పరస్పరము వివర్జితాలై ఉంటాయి.
i) A నిజము చెప్పటం మరియు B అబద్ధం చెప్పటం
ii) A అబద్ధం చెప్పటం మరియు B నిజం చెప్పటం
∴ P(E) = P(E₁ ∩ \(E_2^c\)) + P(E\(E_1^c\) ∩ E₂)
= P(E₁). P(\(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\)) . P(E₂)
= (\(\frac{3}{4}\)) (\(\frac{1}{5}\)) + (\(\frac{1}{4}\)) (\(\frac{4}{5}\))
= \(\frac{3}{20}\) + \(\frac{4}{20}\) = \(\frac{7}{20}\).

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n పూర్ణాంకం Z = cis θ, (θ ≠ (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)) అయితే \(\) = i tan θ అని చూపండి.
సాధన:
Z = cosθ + i sinθ
Z²ⁿ = (cos θ + i sin θ)²ⁿ
= cos 2nθ + i sin 2nθ.
Z²ⁿ – 1 = cos 2nθ + i sin 2nθ – 1
= 1 – 2 sin² nθ + i . 2 sin nθ cos nθ
= -2 sin² nθ + 2i sin nθ cos nθ
= 2i² sin² nθ + 2i sin nθ cos nθ
= 2i sin nθ (i sin nθ + cos nθ)
= 2i sin nθ (cos nθ + i sin nθ).
Z²ⁿ + 1 = cos 2nθ + i sin 2n θ + 1
= 2 cos²nθ – 1 + i 2 sin nθ cos nθ + 1.
= 2 cos² nθ + i 2 sin nθ cos nθ
= 2 cos nθ (cos nθ + i sin nθ)
∴ \(\frac{z^{2 n}-1}{z^{2 n}+1}\) = \(\frac{2 i \sin n \theta(\cos n \theta+i \sin n \theta)}{2 \cos n \theta(\cos n \theta+i \sin n \theta)}\)
= \(\frac{i \sin n \theta}{\cos n \theta}\)
= i tan nθ.
∴ \(\frac{z^{2 n}-1}{z^{2 n}+1}\) = i tan nθ.

ప్రశ్న 19.
x⁴ + x³ – 16x² – 4x + 48 = 0 సమీకరణం రెండు మూలాల లబ్దం 6 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x⁴ + x³ – 16x² – 4x + 48 = 0 సమీకరణం మూలాల α, β, γ, δ.
అనుకొనుము.
అనుకొనుము αβ = 6.
s₁ = α + β + γ + δ = -1 → (1)
s₂ = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = -16 → (2)
s₃ = αβγ + γβδ + αγδ + βγδ = 4 → (3)
s₄ = αβγδ = 48
⇒ 6 γδ = 48
⇒ γδ = 8
(3) నుండి ⇒ 6γ + 68 + δα + δβ = 4
⇒ 6(α + β + γ + δ) + 2α + 2β = 4
⇒ 6(-1) + 2α + 2β = 4
⇒ 2α + 2β = 10
⇒ α + β = 5
(1) నుండి ⇒ 5 + γ + δ = – 1
= γ + δ = -6
α + β = 5, αβ = 6 ⇒ α = 2, β = 3
γ + δ = -6, γδ = 8 ⇒ γ = -2, δ = −4
∴ 2, 3, -2, -4.

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో 3 వరుస ద్విపద గుణకాలు 36, 84, 126 అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో 3 వరుస గుణకాలు ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r ⁿC_{r + 1} అనుకొనుము.

⇒ 9r + 15 = 14r
⇒ 5r = 15
⇒ r = 3
(4) నుండి
\(\frac{n-3+1}{3}\) = \(\frac{7}{3}\)
3n – 6 = 21
3n = 27
∴ n = 9.

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) + ……. ∞ అయితే 3x² + 6x విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:

= (\(\frac{5}{3}\))^1/2
(x + 1)² = \(\frac{5}{3}\)
x² + 2x + 1 = \(\frac{5}{3}\)
3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x = 2.

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశానికి ఇప్పుడు క్రింది పట్టిక తయారు నిర్మిద్దాం.

ఇచ్చట N = 40 = Σf_i
Σf_ix_i = 320
అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = \(\frac{1}{N}\) Σ f_ix_i = \(\frac{320}{40}\) = 8
పట్టిక నుండి Σ f_i |x_i – \(\bar{x}\)| = 140
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σ f_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{40}\) (140)
= 3.5.

ప్రశ్న 23.
I, II, III అంకెలను కలిగిన మూడు పెట్టెలలో క్రింది విధంగా బంతులు ఉన్నాయి.

	తెల్లనివి	నల్లనివి	ఎర్రనివి
I	1	2	3
II	2	1	1
III	4	5	3

ఒక పెట్టెను యాధృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసి, దాని నుంచి ఒక బంతిని తీశారు. అది ఎర్రనిది అయితే, అది పెట్టె – II నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
I, II, III అంకెలను కలిగిన పెట్టెలను ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా B₁, B₂, B₃ అనుకొనుము.
∴ P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = \(\frac{1}{3}\)
P(\(\frac{R}{B_1}\)) = ఎన్నుకొన్న మొదటి పెట్టె నుండి ఎర్రబంతి కావడానికి సంభావ్యత
= \(\frac{3}{6}\)
P(\(\frac{R}{B_2}\)) = ఎన్నుకొన్న రెండవ పెట్టె నుండి ఎర్రబంతి కావడానికి సంభావ్యత
= \(\frac{1}{4}\)
P(\(\frac{R}{B_3}\)) ఎన్నుకొన్న మూడవ పెట్టె నుండి ఎర్రబంతి కావడానికి సంభావ్యత
= \(\frac{3}{12}\)
ఒక పెట్టె యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసి, దాని నుంచి ఒకటి తీయగా అది ఎర్రనిది అయితే, అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యత

ప్రశ్న 24.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్యమం విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణము S అనుకొనుము మరియు ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X అనుకొనుము.

అంకమధ్యమము μ = 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) + 3 P(X = 3) + 4 P(X = 4) + 5 P(X = 5) + 6 P(X = 6)