TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
z = 2 – 3i అయితే z² – 4z + 13 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
2 = 2 – 3i
⇒(z – 2) = 3i
⇒(z – 2)² = 9i²
⇒ z² – 4z + 4 = – 9
⇒ z² – 4z + 13 = 0.

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1 మరియు z₂ = + i అయితే Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1
= -1 + i(0)
= cos π + i sin π
∴ Arg (z₁) = π
z₂ = i
= 0 + i(1)
= cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
∴ Arg (z₂) = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg (z₁) – Arg (z₂)
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
x = cisθ అయితే (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cisθ
= cosθ + i sinθ
⇒ x⁴ = (cosθ + i sinθ)⁴ = cos 4θ + i sin 4θ
\(\frac{1}{x^4}\) = \(\frac{1}{\cos 4 \theta+i \sin 4 \theta}\)
∴ x⁴ + \(\frac{1}{x^4}\) = cos4θ + i sin 4θ + cos 4θ – i sin 4θ
= 2cos 4θ.

ప్రశ్న 4.
7 ± 2√5 మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α = 7 + 2 √5 మరియు β = 7 – 2 √5 అనుకొనుము.
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ(7 + 2√5) (7 – 2√5)
= 49 – 20
= 29
α, β లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణము
x² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² – 14x + 29 = 0.

ప్రశ్న 5.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, a అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 యొక్క మూలాలు -1, 2, a కావున,
∴ s₁ = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ – 1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α + 1 = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-1}{2}\) – 1
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\)

ప్రశ్న 6.
MATHEMATICS పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
MATHEMATICS అను పదంలో 11 అక్షరాలు కలవు. వాటిలో 2 m’ లు 2A’లు మరియు 2Tలు కలవు మిగిలినవి విభిన్నము.
∴ MATHEMATICS పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{11!}{2!2!2!}\) = \(\frac{11!}{(2!)^3}\)

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
ⁿC₅ = ⁿC₆
⇒ n = 5 + 6 = 11
∴ ¹³C_n = ¹³C₁₁
= ¹³C₂ [∵ ⁿC_r = ⁿC_{n -r} ]
= \(\frac{13.12}{2}\)
= 78

ప్రశ్న 8.
C₀ + 2.C₁ + 4.C₂ + 8.C₃ + ……… + 2ⁿ. C_n = 3ⁿ అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + X)ⁿ = C₀ + C₁X + C₂X² + …….. + C_nXⁿ అని తెలియును.
X = 2 వ్రాయగా
(1 + 2)ⁿ C₀ + C₁.2 + C₂.2² + ……. C_n . 2ⁿ
∴ C₀ + 2.C₁ + 4.C₂ + 8.C₃ + ……… + 2ⁿ . C_n = 3ⁿ.

ప్రశ్న 9.
కింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి. 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ క్రమములో వ్రాయగా 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13
∴ మధ్యగతము = 6.
పరమ మూల్య విలువలు |6 – 2|,|6 – 3|,|6 – 4|,|6 – 6|, |6 – 9|,|6 – 10|,|6 – 13|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7
∴ మధ్యగతము నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\)
= \(\frac{23}{7}\)
= 3.28.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
X అనునది ( λ > 0) పరామితిగా పాయిజాన్ విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో, 2 + 2i, -2 -2i, -2√3 + i2√3 లను సూచించే బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
సాధన:
ఆర్గాండ్ తలంలోని బిందువులు A, B, C అనుకొనుము.
∴ A = (2, 2)
B = (-2, -2)
C = (-2√3, 2√3)

∴ AB = BC = CA
∴ A, B, C లు సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అంకెలు 1, 3, 5, 7, 9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄ = 120
ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. ఇదే విధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒక స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం ⁴P₃ × 1 + ⁴P₃ × 3 + ⁴P₃ × 5 + ⁴P₃ × 7 + ⁴P₃ × 9
= ⁴P₃ × (1 + 3 + 5 + 7 + 9)
= ⁴P₃ × 25 అవుతుంది.
ఇదేవిధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా వచ్చే అంకెల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 10
ఇదేవిధంగా వందల స్థానంలోని మరియు వేలస్థానంలోని అంకెల సంఖ్యల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 100 మరియు P × 25 × 1000
∴ 1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం
= ⁴P₃ × 25 × 1 + ⁴P₃ × 25 × 10 + ⁴P₃ × 25× 100 + ⁴P₃ × 25× 1000
= ⁴P₃ × 25 × (1 + 10 + 100 + 1000)
= ⁴P₃ × 25 × 1111
= 24 × 25 × 1111
= 6,66,600.

ప్రశ్న 14.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బేలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బేలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆ . ⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅ . ⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 42 + 21 = 63.

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+2\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\)
⇒ 2x² + 3x + 4 = A(x² + 2) + (Bx + C) (x – 1) ……… (1)
x = 1 వ్రాయగా
2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
⇒ 9 = 3A
⇒ A = 3
(1) లో ఇరువైపులా x గుణకాలను మరియు స్థిర పదాలను పోల్చగా
2 = A + B ⇒ 2 = 3 + B
⇒ B = -1
4 = 2A – C ⇒ 4 = 2(3) – C
⇒ C = 6 – 4
⇒ C = 2
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{-x+2}{x^2+2}\)
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{2-x}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అపుడు
i) P(A ∩ B)
ii) P(A ∪ B)
iii) P(B/A)
iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
i) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C). P(B^C)
A^C, B^C లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= (0.4) (0.3)
= 0.12

ప్రశ్న 17.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయితే A, B, C లు ఆ పందెం గెలవగల సంభావ్యతలేవి ?
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయిన cos² α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\)
= sin² α + sin² β + sin² γ అని చూపండి.
సాధన:
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
⇒ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) = cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
= (cos α + cos β + cos γ) i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i (0) = 0
⇒ ab + bc + ca = 0
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 0 = a² + b² + c² + 2(0)
⇒ a² + b² + c² = 0
⇒ (cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 1 – 2 sin²α + 1 – 2 sin² β + 1 – 2 sin²γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin²α + sin² β + sin²γ)
⇒ sin²α + sin² β + sin²γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos²α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
⇒ 2(cos²α + cos²β + 2 cos²γ) = 3
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos²α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\) = sin²α + sin² β + sin²γ

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0
⇒ x² – 10x + 26 – 10.\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) = 0
⇒ (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 10(x + \(\frac{1}{x}\)) + 26 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అపుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = t² – 2
∴ (t² – 2) – 10t + 26 = 0
⇒ t² – 2 – 10t + 26 = 0
⇒ t² – 10t + 24 = 0
⇒ t² – 4t – 6t + 24 = 0
⇒ t(t – 4) – 6(t – 4) = 0
⇒ (t – 4) (t – 6) = 0
⇒ t = 4 (లేదా) t = 6

∴ కావలసిన మూలాలు = 2 ± √3, 3 ± 2√2.

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలో r, (r + 1) (r + 2) వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో n² – (4r + 1) n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr (r + 1), (r + 2) వ పదాల గుణకాలు వరుసగా ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1}
దత్తాంశము నుండి ⁿC_{r – 1}, ⁿC_r, ⁿC_{r + 1} లు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
∴ ⁿC_{r – 1} + ⁿC_{r + 1} = 2 ⁿC_r

⇒ (n – r)(n – r + 1) = (r + 1)(2n – 3r + 2)
⇒ n² – 2nr + r² + n – r = 2nr – 3r² + 2r +2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3 .5}{3.6 .9}\) + \(\frac{1.3 .5 .7}{3.6 .9 .12}\) + …….. + అయితే 9x² + 24x = 11 అని నిరూపించండి.
సాధన:


⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x = 27
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
కింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము
a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

∴ అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘట
E₁, E₂ అయితే P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₁)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఉంది.

i) k విలువ
ii) అంకమధ్యమం
iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8