Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.
TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu
Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75
గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.
Section – A 10 × 2 = 20
I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.
ప్రశ్న 1.
(1 + 2i)3 అను సంకీర్ణ సంఖ్యను a + ib రూపంలో వ్రాయండి.
సాధన:
(1 + 2i)3 = 1 + 3.i2.2i + 3.1. (2i)2 + (2i)3
= 1 + 6i + 12i2 + 8i3
= 1 + 6i – 12(-1) + 8(-i)
= 1 + 6i -12 – 8i
= -11 – 2i
= a + ib ఇచ్చట a = -11, b = -2
ప్రశ్న 2.
1 + i√/3 సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
1 + i√3 = 2(\(\frac{1}{2}\) + i \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= 2 (cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\)
= 2 cis (\(\frac{\pi}{3}\))
ప్రశ్న 3.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘనమూలాలు 1, ω, ω2 అయితే (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω10) (2 – ω11) = 49 అని నిరూపించండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω2 కావున
∴ 1 + ω + ω2 = 0 మరియు ω3 = = 1
L.H.S. = (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω10) (2 – ω11)
= (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω9. ω) (2 – ω9. ω2)
= (2 – ω) (2 – ω2) (2 – 1.ω) (2 – 1.ω2) (∵ ω9 = (ω3)3 = 1
= (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω) (2 – ω2)
= (2 – ω2) (2 – ω2)
= [(2 – ω2) (2 – ω2)]2
= [4 – 2ω2 – 2ω + ω3]2
= [4 – 2 (ω2 + ω) + 1]2
= [4 – 2 (-1) + 1]2
= (4 + 2 + 1)2
= 72
= 49
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S
∴ (2 – ω) (2 – ω2) (2 – ω10) (2 – ω11) = 49
ప్రశ్న 4.
x2 – 6x + 5 = 0, x2 – 12x + p = 0 లకు ఉమ్మడి మూలం ఉంటే, p కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 – 6x + 5 = 0 మరియు x2 – 12x + p = 0 సమీకరణాలకు ఉమ్మడి మూలం ‘α’ అనుకొనుము.
∴ α2 – 6α + 5 = 0 మరియు α2 – 12α + p = 0
⇒ (α – 1) (α – 5) = 0
= α = 1, 5
α = 1 అయితే 1 – 12 + p = 0
⇒ p = 11
α = 5 అయితే 25 – 60 + p = 0
⇒ p = 35
∴ P = 11 (లేదా) 35.
ప్రశ్న 5.
0, 0, 2, 2, -2, -2 మూలాలుగా గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
0, 0, 2, 2, -2, -2 మూలాలు గల కనిష్ఠ తరగతి బహుపది సమీకరణం
(x – 0) (x – 0) (x – 2) (x – 2) (x + 2) (x + 2) = 0
⇒ x2 (x – x)2 (x + 2)2 = 0
⇒ x2 [(x – 2) (x + 2)]2 = 0
⇒ x2 (x2 – 4)2 = 0
⇒ x2 (x4 – 8x2 + 16) = 0
⇒ x6 – 8x4 + 16x2 = 0
ప్రశ్న 6.
nP7 = 42 (nP5) అయితే n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
nP7 = 42 (nP5)
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6)
= 42. n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n-5) (n 6) = 7 × 6
⇒ (n – 5) = 7
∴ n = 12
ప్రశ్న 7.
10C5 + 2 (10C4) + 10C3 విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
10C5 + 2 (10C4) + 10C3
= 10C5 + 10C4 + 10C4 + 10C3
= 11C5 + 11C4 [∵ nCr + nCr – 1 = n + 1Cr
= 12C5
∴ 10C5 + 2 (10C4) + 10C3 = 12C5
ప్రశ్న 8.
(2 + 5x)-1/2 కు ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటయ్యేటట్లు x విలువలుంటే సమితి E ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(2 + 5x)-1/2 = 2-1/2 (1 + \(\frac{5 x}{2}\))
(2 + 5x)-1/2 కు ద్విపద విస్తరణ వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{5 x}{2}\)| < 1
⇒ -1 < \(\frac{5 x}{2}\) < 1
\(\frac{-2}{5}\) < x < \(\frac{2}{5}\)
∴ E = (\(\frac{-2}{5}\), \(\frac{2}{5}\))
ప్రశ్న 9.
3, 6, 10, 4, 9, 10 అను దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 3, 6, 10, 4, 9, 10
దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం = \(\) = \(\frac{42}{6}\) = 7
విచలనాల పరమ మూల్యాలు = |3 – 7|, |16 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{6}\) (4 + 1 + 3 + 3 + 2 + 3)
= \(\frac{1}{16}\)(16)
= 2.6667
ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంక మధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి P (X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అంక మధ్యమం np = 4
విస్తృతి npq = 3
\(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
np = 4 ⇒ n(\(\frac{1}{4}\)) = 4
⇒ n = 16
∴ n = 16, p = \(\frac{1}{4}\) మరియు q = \(\frac{3}{4}\)
P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
= 1 – 16C0p0q16 – 0 = 1 – q16 = 1 – (\(\frac{3}{4}\))16
Section – B 5 × 4 = 20
II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.
ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయితే x2 + y2 = 4x – 3 అని చూపండి.
సాధన:
x + iy = \(\frac{3}{2+\cos \theta+i \sin \theta}\)
(1) మరియు (2) ల నుండి
x2 + y2 = 4x – 3
ప్రశ్న 12.
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు x1, x2 లు c ≠ 0 అయితే (ax1 + b)-2 + (ax2 + b)-2 సమాసం విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax2 + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు x1, x2 కావున
∴ x1, x2 + \(\frac{-b}{a}\) మరియు x1x2 = \(\frac{c}{a}\)
ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి. సాధన:
EAMCET అను పదంలోని అక్షరాలను నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా
A, C, E, E, M, T
A ——– తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{1}{2}\) = 60
C ——— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = \(\frac{5!}{2!}\) = \(\frac{1}{2}\) = 60
EAC —— = 3! = 6
EAE —— = 3! = 6
తరువాత పదం EAMCET = 1
EAMCET పదం కోటి = 60 +60 +6 +6 + 1 = 133
ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(4 n-1)}{[1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)]^{-2}}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) భిన్నాన్ని పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టుము.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x^2}\) + \(\frac{C}{x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A x(x+1)+B(x+1)+c x^2}{x^2(x+1)}\)
⇒ 2x2 + 2x + 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + cx2
x = 0 వ్రాయగా
0 + 0 + 1 = 0 + B(0 + 1) + 0
⇒ B = 1
x = – 1 వ్రాయగా
2(-1)2 + 2(-1) + 1 = 0 + 0 + c(-1)2
⇒ 2 – 2 + 1 = c
⇒ C = 1
ఇరువైపులా x2 పదాల గుణకాలను పోల్చగా
⇒ 2 = A + C
⇒ 2 = A + 1
⇒ A = 1
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) + \(\frac{1}{x+1}\)
ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఘటనలు A, B ఉన్నాయనుకోండి.
i) A జరగకపోవడానికి ii) A గానీ B గానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 మరియు P(A ∩ B) = 0.3
A జరగకపోయే ఘటనను \(\overline{\mathrm{A}}\) తో సూచిస్తారు.
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) = 1 – P(A)
= 1 – 0.5
= 0.5
A గానీ B గానీ జరగకపోయే ఘటనను \(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{B}}\) తో సూచిస్తారు.
∴ P(\(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{A}}\)) = P(\(\overline{A \cup B}\))
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P (A ∩ B)]
= 1 – [0.5 + 0.4 – 0.3]
= 1 – 0.6
= 0.4
ప్రశ్న 17.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుగాని, ఇస్ఫేటు గాని అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసు అయ్యే ఘటనను E1 అని మరియు ఇస్ఫేటు అయ్యే ఘటనను E2 అని మరియు S శాంపుల్ ఆవరణము అనుకొనుము.
∴ n(S) = 52C1 = 52
n(E1) = 13C1 = 13 మరియు n(E2) = 4C1 = 4
n(E1 ∩ E2) = 1C1 = 1
∴ P(E1) = \(\frac{13}{52}\), P(E2) = \(\frac{4}{52}\)
మరియు P(E1 ∩ E2) = \(\frac{1}{52}\)
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతమును అనుసరించి
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
= \(\frac{13}{52}\) + \(\frac{4}{52}\) – \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{13 + 4 – 1}{52}\)
= \(\frac{16}{52}\)
= \(\frac{4}{13}\)
Section – C 5 × 7 = 35
III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.
ప్రశ్న 18.
n ఒక పూర్ణాంకము అయితే (1 + cos θ + i sin θ)n + (1 + cos θ – i sin θ)n = 2n + 1 cosn(\(\frac{\theta}{2}\)) cos(\(\frac{n \theta}{2}\)) అని చూపండి.
సాధన:
ప్రశ్న 19.
x5 – 5x3 + 5x2 – 1 = 0 అను సమీకరణానికి మూడు సమాన మూలాలు ఉంటాయని చూపండి. ఆ మూలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x5 – 5x3 + 5x2 – 1 అనుకొనుము.
f'(x) = 5x4 – 15x2 + 10x
= 5x (x3 – 3x + 2)
f(1) = 5(1)(1 – 3 + 2) = 0
f”(x) = 20x3 – 30x + 10
f”(1)= 20 – 30 + 10 = 0
∴ f(x), f'(x) మరియు f”(x) లకు x – 1 ఒక కారణాంకం.
∴ x5 – 5x3 + 5x2 – 1 = 0 కు మూడు సమాన మూలాలు ఉంటాయి మరియు అ మూలం ‘1’.
ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకము అయిత C0 + \(\frac{C_1}{2}\) + \(\frac{C_2}{3}\) ……….. + \(\frac{C_n}{n+1}\) = \(\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\) అని చూపండి.
సాధన:
ప్రశ్న 21.
\(\frac{3.5}{5.10}\) + \(\frac{3.5 .7}{5.10 .15}\) + \(\frac{3.5 \cdot 7.9}{5.10 .15 .20}\) …………… ∞ అనే అనంత శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)2 = 27
= 16 + 9x2 + 24x = 27
∴ 9x2 + 24x = 11
ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము A = 65 మరియు h= = 10 పట్టికను నిర్మిద్దాం.
అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\sum f_i y_i}{N}\))h
= 65 + (\(\frac{-15}{50}\))10
= 65 – 3 = 62
విస్తృతి (σ2) = \(\)[N Σ fi yi2 – (Σ fi yi)2]
= \(\frac{100}{2500}\) [50 (105) – (-15)2]
= \(\frac{1}{25}\)[5250 – 225]
= \(\frac{1}{25}\)[5025] = 201
ప్రామాణిక విచలనము σ = \(\frac{\mathrm{h}^2}{\mathrm{~N}^2}\) = 14.18
ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును వ్రాసి నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1, E2, ………..En లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు
P(Ei) > 0 (i = 1, 2, 3, ………… n) అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు
ప్రశ్న 24.
అనే ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యత విభాజనం K విలువ, X విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {- 2, – 1, 0, 1, 2, 3}
సంభావ్యతల మొత్తం = 1
⇒ P(X = – 2) + P(X = – 1) + P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
⇒ 0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1
⇒ 0.6 + 4k = 1
⇒ 4k = 0.4
⇒ k = 0.1
అంక మధ్యమం μ = (-2) (0.1) + (-1) k + 0 (0.2) + 1 (2k) + 2(0.3) + 3(k)
= -0.2k + 0 + 2k + 0.6 + 3k
= 4k + 0.4
= 4(0.1) + 0.4)
= 0.4 + 0.4
= 0.8
విస్తృతి (σ2)
= (- 2)2 (0.1) + (-1)2 k + 02 (0.2) + 12 (2k) + 22(0.3) + 32(k) – μ2
= 4(0.1) + 1(k) + 0 + 1(2k) + 4 (0.3) + 9k – (0.8)2
= 0.4 + k + 2k + 1.2 + 9k – 0.64
= 12k + 1.6 – 0.64
= 12(0.1) + 1.6 – 0.64
= 1.2 + 1.6 – 0.64
= 2.8 – 0.64
= 2.16