TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a + ib యొక్క గుణన విలోమము \(\frac{a}{a^2+b^2}\) – i\(\frac{b}{a^2+b^2}\)
∴ 7 + 24i యొక్క గుణన విలోమము
= \(\frac{7}{7^2+24^2}\) – i\(\frac{24}{7^2+24^2}\)
= \(\frac{7}{49+576}\) – i\(\frac{24}{49+576}\)
= \(\frac{7}{625}\) – i\(\frac{24}{625}\)

ప్రశ్న 2.
Z₁ = -1, Z₂ = + i అయితే Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Z₁ = -1
= -1 + i 0
= cos π + i sin π
= cos π
∴ Arg (Z₁) = π
Z₂ = i
= 0 + i
= cos\(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
= cos(\(\frac{\pi}{2}\))
∴ Arg (Z₂) = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg (Z₁) – Arg (Z₂)
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘన మూలాలు 1, w, w² అయితే (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶ = 128 అని చూపుము.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, w, w²
∴ 1 + w + w² = 0 మరియు w³ = 1
L.H.S. = (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶
= (- w – w)⁶ + (- w² – w²)⁶
= (-2w)⁶ + (-2w²)⁶
= 2⁶w⁶ +2⁶w¹²
= 2⁶(w³)² + 2⁶(w³)⁴
= 2⁶(1)² + 2⁶(1)⁴
= 2⁶(1 + 1)
= 2⁶(2)
= 2⁷
L.H.S. = R.H.S.
∴ (1 – w + w²)⁶ + (1 – w² + w)⁶ = 2⁷ = 128

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β అయితే \(\frac{1}{\alpha^2}\) + \(\frac{1}{\beta^2}\) విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 యొక్క సమీకరణ మూలాలు α, β
⇒ α + β = \(\frac{-b}{a}\) మరియు αβ = \(\frac{c}{a}\).

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్దం 9 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణ మూలాల లబ్దం
⇒ \(\frac{-(-a)}{4}\) = 9
⇒ a = 36

ప్రశ్న 6.
‘6’ వేర్వేరు రంగుల పూసలతో ఎన్ని రకాలుగా గొలుసులు తయారు చేయవచ్చు ?
సాధన:
6 వేర్వేరు రంగుల పూసలతో తయారు చేయగల గొలుసుల సంఖ్య
= \(\frac{1}{2}\) = (6 – 1)!
= \(\frac{1}{2}\)(5!)
= \(\frac{1}{2}\)(120) = 60

ప్రశ్న 7.
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5} అయితే ‘r’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹²C_{r + 1} = ¹²C_{3r – 5}

ప్రశ్న 8.
\((2+3 x)^{-\frac{2}{3}}\) ద్విపద విస్తరణ చెల్లుబాటయ్యే ‘x’ ల సమితులు కనుక్కోండి.
సాధన:
(2 + 3x)^-2/3 = 2^-2/3 (1 + \(\frac{3 x}{2}\))^-2/3
∴ (2 + 3x)^-2/3 ‘కు ద్విపద విస్తరణ వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{3 x}{2}\)| < 1
⇒ |x| < \(\frac{2}{3}\)
⇒ x (\(\frac{-2}{3}\), \(\frac{2}{3}\))

ప్రశ్న 9.
ఒక అవర్గీకృత దత్తాంశానికి “వ్యాప్తి” ని నిర్వచించి, దత్తాంశము 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44 నకు వ్యాప్తిని కనుగొనుము.
సాధన:
వ్యాప్తి : ఒక అవర్గీకృత దత్తాంశానికి వ్యాప్తిని దత్తాంశంలోని పరిశీలనల శ్రేణి విలువలలో గరిష్ఠ విలువకు, కనిష్ఠ విలువకు మధ్యగల భేదంగా నిర్వచిస్తాం.
ఇచ్చిన దత్తాంశం 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44
గరిష్ఠ విలువ = 70
కనిష్ఠ విలువ = 38
∴ వ్యాప్తి = 70 – 38 = 32.

ప్రశ్న 10.
ఒక యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1; 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
x అనునది n, p లు పరామితులుగా గల ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
ఇచ్చ n = 10 మరియు p = 0.1 = \(\frac{1}{10}\)
p + q = 1 ⇒ q = 1 – p
⇒ q = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత
p(X = 1) = ¹⁰C₁, p¹q^{10 – 1}
= ¹⁰C₁ (\(\frac{1}{10}\))(\(\frac{9}{10}\))⁹
= 10(\(\frac{1}{10}\)) (0.9)⁹
= (0.9)⁹

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
-2 + 7i, \(\frac{-3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i)
అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో ఒక సమచతుర్భుజ (రాంబస్) శీర్షాలను సూచిస్తాయని
నిరూపించండి.
సాధన:
ఆర్గాండ్ తలంలో బిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.

ఇచ్చట AB = BC = CD = DA మరియు AC ≠ BD
∴ ABCD సమచతుర్భుజిని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షరాలలో ఏర్పడే అక్షరాల పదాలన్నింటిని నిఘంటువు క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో MASTER పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
REMAST పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, E, M, R, S, T
A తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
E తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
MAE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MAR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MASE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
MASR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
తర్వాత పదం MASTER = 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 120 + 120 +6 +6 + 2 + 2 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
ఉంటే వాటి నుండి ఒక విద్యార్థి ఏదైనా 6 ప్రశ్నలను ఏ విభాగం నుంచి 4 కి మించకుండా ఎంచుకొనే విధానాలెన్ని?
సాధాన.
దత్తాంశం ప్రకారం ఒక వ్యక్తి 6 ప్రశ్నలను ఎంచుకొనే మూడు విభాగాలు ( క్రింది విధంగా ) విభజించవచ్చు.
i) విభాగము A నుండి 4, B నుండి 2 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50

ii) ఒక్కో విభాగం నుండి 3 ప్రశ్నలు చొప్పున ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100

iii) విభాగం A నుండి 2, B నుండి 4 ప్రశ్నలు ఎంచుకొనే విధానాలు
= ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50
∴ ఒక విద్యార్థి ఇచ్చిన 10 ప్రశ్నల నుండి కోరిన విధంగా 6 ప్రశ్నలను ఎంచుకొనే De 50+ 100 + 50 = 200

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x⁴ ను x² – 3x + 2 చే భాగించగా
\(\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}\) = x² – 3x + 7 + \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B}{x-2}\) అనుకొనుము.
15 – 14 = A (x – 2) + B(x – 1)
x = 1 వ్రాయగా 15 – 14 = A (1 – 2)
1 = – A ⇒ A = -1
x = 2 వ్రాయగా
30 – 14 = B(2 – 1)
⇒ 16 = B ⇒ B = 16
= \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{16}{x-2}\)
= \(\frac{15 x-14}{(x-1)(x-2)}\) = x² + 3x + 7 – \(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{16}{x-2}\)

ప్రశ్న 16.
25 మంది సభ్యులు గల ఒక కమిటీలో ప్రతి సభ్యుడు గణితంలో గాని, సాంఖ్యక శాస్త్రంలో గాని లేదా రెండింటిలో గాని ప్రవీణులై ఉంటారు. వీరిలో 19 మంది గణితంలోను, 16 మంది సాంఖ్యకశాస్త్రంలోను ప్రవీణులైతే, కమిటీ నుంచి ఎంపిక చేసిన ఒక సభ్యుడు రెండింటిలోను ప్రవీణుడై ఉండే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
25 మంది సభ్యులు గల కమిటీలో ఎంపిక చేసిన సభ్యులు గణితంలో ప్రవీణుడు అయ్యే ఘటనను A అని, సాంఖ్యకశాస్త్రంలో ప్రవీణుడు అయ్యే ఘటనను B అని మరియు శాంపుల్ ఆవరణము S అని అనుకొనుము.
P(A) = \(\frac{19}{25}\)
P(B) = \(\frac{16}{25}\)
ప్రతి సభ్యుడు గణితంలో గాని, సాంఖ్యకశాస్త్రంలోని లేదా రెండింటిలో గాని ప్రవీణుడు కావున
∴ A ∪ B = S
⇒ P(A ∪ B) = P(S)
⇒ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1
⇒ P(A) + P(B) – 1 = P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{19}{25}\) + \(\frac{19}{25}\) – 1
= \(\frac{19+16-25}{25}\)
= \(\frac{10}{25}\)
= \(\frac{2}{5}\)
∴ కమిటీ నుంచి ఎంపిక చేసిన సభ్యుడు రెండింటిలోను ప్రవీణుడై ఉండే సంభావ్యత \(\frac{2}{5}\)

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు. 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
⇒ P(\(E_1^c\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(E₂) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
⇒ P(\(E_2^c\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొనుము. ఇది రెండు పరస్పర వివర్జిత విధాలుగా జరుగవచ్చును.
i) A నిజం చెబుతాడు, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం చెబుతాడు, B నిజం చెబుతాడు.
∴ P(E) = P(E₁ ∩ \(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\) ∩ E₂)
= P(E₁) . P(\(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\)) . P(E₂)
= (\(\frac{3}{4}\))(\(\frac{1}{5}\)) + (\(\frac{1}{4}\))\(\frac{4}{5}\))
= \(\frac{3}{20}\) + \(\frac{4}{20}\)
= \(\frac{7}{20}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) యొక్క విలువ – 1 అని చూపండి.
సాధన:

∴ \(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) యొక్క ఒక విలువ
= (cos \(\frac{3 \pi}{8}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{8}\))^8/3 యొక్క ఒక విలువ
= cos π + i sin π = – 1 + i(0) = -1

ప్రశ్న 19.
– 3 తో మార్పు చెందిన x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁵ – 4x⁴ + 3x² – 4x + 6 అనుకొనుము.
– 3 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణ మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణము f(x + 3) = 0
∴ (x + 3)⁵ − 4(x + 3)⁴ + 3(x + 3)² – 4(x + 3) + 6 = 0
రూపాంతర సమీకరణమును సింధటిక్ భాగహారము ద్వారా పొందవచ్చును.
f(x + 3) = A₀x⁵ + A₁x⁴ + A₂x³ + A₃x² + A₄x + A₅
అనుకొనిన A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ లను ఈ క్రింది విధంగా పొందవచ్చును.

ప్రశ్న 20.
(a + x)ⁿ విస్తరణలో 2, 3, 4 పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080 అయితే a, x, n ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
(a + x)ⁿ విస్తరణలో 2, 3, 4 పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080
T₂ = 240 ⇒ ⁿC₁ a^{n – 1} x = 240 ______ (1)
T₃ = 720 ⇒ ⁿC₂ a^{n – 2} x² = 720 ______ (2)
T₄ = 1080 ⁿC₃ a^{n – 3} x³ = 1080 _______ (3)

⇒ 4n – 8 = 3n – 3
⇒ n = 5
(4) నుండి 4x = 6a ⇒ x = \(\frac{3 a}{2}\)
(1) నుండి 5C₁a⁴. \(\frac{3}{2}\).a = 240
⇒ 5(3a⁵) = 480
⇒ a⁵ = 32
⇒ a = 2
∴ x = \(\frac{3}{2}\)(2) = 3
∴ a = 2, x = 3, n = 5

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ………, అయితే
9x² + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ……..

⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాజనిత మధ్యమం A = 35 అనుకొనుము.
అపుడు d_i = \(\frac{x_i-35}{10}\)

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))_n
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10
= 35 – 1.6 = 33.4
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(659.2) = 13.8

‘బేయీ సిద్ధాంతం’ వ్రాసి, నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E1, E2, …… En లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(Ei) > 0 (i = 1, 2, 3, అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఉంది.

i) k విలువ
ii) అంకమధ్యమం
iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8