TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{a+i b}{a-i b}\) సంకీర్ణ సంఖ్య వాస్తవ, కల్పిత భాగాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో 2 + 3i సంకీర్ణ సంఖ్య సూచించండి.
సాధన:
ఆర్లాండ్ సమతలంలో 2 + 36 సంకీర్ణ సంఖ్య (2, 3) ను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² అయితే \(\frac{1}{2+\omega}\) + \(\frac{1}{1+2 \omega}\) = \(\frac{1}{1+\omega}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1
\(\frac{1}{2+\omega}\) + \(\frac{1}{1+2 \omega}\) = \(\frac{1}{1+\omega}\)

∴ \(\frac{1}{2+\omega}\) + \(\frac{1}{1+2 \omega}\) = \(\frac{1}{1+\omega}\)

ప్రశ్న 4.
x² – 15 – m(2x – 8) = 0 సమీకరణం సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటే m విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
x² – 15 – m (2x – 8) = 0
⇒ x² – 15 – 2mx + 8m = 0
⇒ x² – 2mx + (8m – 15) = 0
దత్త సమీకరణానికి సమాన మూలాలు కలిగి ఉన్నాయి, కావున
∴ (-2m)² – 4(1) (8m – 15) = 0
⇒ 4m² – 4(8m – 15) = 0
⇒ m² – 8m + 15 = 0
⇒ m² – 3m – 5m + 15 = 0
⇒ m(m – 3) – 5(m – 3) = 0
⇒ m(m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m = 3 (లేదా) 5.

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0 సమీకరణ మూలాలు వ్యుత్రమాలు మూలాలుగా
గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0 ______ (1) అనుకొనుము.
f(x) = 0 సమీకరణ మూలాలు వ్యుత్రమాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణము
f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
⇒ (\(\frac{1}{x}\))⁴ – 3(\(\frac{1}{x}\))³ + > 7(\(\frac{1}{x^2}\)) + 5 (\(\frac{1}{x}\)) – 2 = 0
⇒ 1 – 3x + 7x² + 5x³ – 2x⁴ = 0
⇒ 2x⁴ – 5x³ – 7x² + 3x – 1 = 0

ప్రశ్న 6.
ⁿP₇ = 42. ⁿP₅ అయితే ‘n’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿP₇ = 42 ⁿP₅
n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6) = 42n (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n – 5) (n – 6) = 42
⇒ n² – 5n – 6n + 30 = 42
⇒ n² – 11n – 12 = 0
⇒ n² – 12n + n – 12 = 0
⇒ n² (n – 12) + 1 (n−12) = 0
⇒ (n – 12) (n + 1) = 0
n ∈ N కావున
∴ n = 12

ప్రశ్న 7.
ఎనిమిదిమంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
ఎనిమిదిమంది బాలురు, అయిదుగురు బాలికల నుంచి నలుగురు బాలురు, ముగ్గురు బాలికలు ఉండేలా ఎంచుకోగల విధానాల సంఖ్య ⁸C₄. ⁵C₃
= \(\frac{8.7 .6 .5}{4!}\) . \(\frac{5.4 .3}{3!}\)
= \(\frac{8.7 .6 .5}{24}\) . \(\frac{5.4 .3}{46}\) = 700

ప్రశ్న 8.
(1 + x)²¹ ద్విపద విస్తరణలో (2r + 4), (3r + 4) పదాల గుణకాలు సమానమయితే r విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
(1 + x)²¹ విస్తరణలో
T_{2r + 4} = T_{2r + 3 + 1}
= ²¹C_2r+3 . X^2r+3
T_{3r + 4} = T_{3r + 3 + 1}
= ²¹C_3r+3 X^3r+3
దత్తాంశం నుండి ²¹C_2r+3 = ²¹C_3r+3
∴ 21 = 2r + 3 + 3r + 3
5r = 15
r = 3

ప్రశ్న 9.
4, 6, 9, 3, 10, 13, 2 దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశము 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
ఇచ్చిన దత్తాంశ బిందువులను ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13
∴ మధ్యగతము 6
మధ్యమ విచలనము = \(\frac{1}{7}\) [|6 – 2| + |6 – 3| + |6 – 4| + |6 – 6| + |6 – 9| |6 – 10| + |6 – 13|]
= \(\frac{1}{2}\)(4 + 3 + 2 + 0 + 3 + 4 + 7)
= \(\frac{1}{2}\)(23) = 3.285

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమం, విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి, P(X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన.
n, p పరామితులుగా గల ద్విపద విభాజనము Xని పాటిస్తుంది.
అంకమధ్యమము np = 4 ______ (1)
విస్తృతి npq = 3 _______ (2)
\(\frac{(2)}{(1)}\) ⇒ \(\frac{\mathrm{nPq}}{\mathrm{nP}}\) = \(\frac{3}{4}\)
⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
(1) నుండి np = 4
⇒ n(\(\frac{1}{4}\)) = 4
⇒ n = 16
p(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
= 1 – ¹⁶C₀(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))^{16 – 0}
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయిన 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\)

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 2x⁴ + x³ – 11x² + x + 2 = 0
⇒ 2x² + x – 11 + \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) + (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0 _____ (1)
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అపుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = t² – 2
(1) నుండి
2(t² – 2) + t – 11 = 0
⇒ 2t² – 4 + t – 11 = 0
⇒ 2t² + t – 15 = 0
⇒ 2t² + 6t – 5t – 15 = 0
⇒ 2t (t + 3) – 5 (t + 3) = 0
⇒ (t + 3) (2t – 5) = 0

ప్రశ్న 13.
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
(పునరావృతం కానట్లుగా)
సాధన:
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 0, 2, 4, 7, 8
0, 2, 4, 7, 8 అంకెలతో ఏర్పరచగలిగే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తము
= (0 + 2 + 4 + 7 + 8) [^5-1P_4-1 (1111) – ^5-2P_4-2(111)]
= 21[⁴P₃ (1111) – ³P₂ (111)]
= 21 [24(1111) – 6(111)]
= 21[26664 – 666]
= 21 [25998]
= 5,45,958

ప్రశ్న 14.
ఆరుగురు భారతీయులు, అయిదుగురు అమెరికా దేశస్తుల నుంచి అయిదుగురు సభ్యులున్న కమిటీని, ఆ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఈ క్రింది మూడు రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

	భారతీయులు (6)	అమెరికన్లు (5)	ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
మొదటి రకం	5	0	6C5 . 5C0
రెండవ రకం	4	1	6C4 . 5C1
మూడవ రకం	3	2	6C3 . 5C2

∴ కమిటీలో భారతీయుల సంఖ్య పెద్దదిగా ఉండేలా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
= ⁶C₅ . ⁵C₀ + ⁶C₄ . ⁵C₁ + ⁶C₃ . ⁵C₂
= 6.1 + 15.5 + 20.10
= 6 + 75 + 200
= 281

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2-x+1}{(x+1)(x-1)^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^2-x+1}{(x+1)(x-1)^2}\) = \(\frac{A}{x+1}\) + \(\frac{B}{x+1}\) + \(\frac{C}{(x-1)^2}\) అనుకొనుము.
\(\frac{A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1)}{(x+1)(x-1)^2}\)
∴ x² – x + 1 = A(x – 1)² + B(x + 1) (x – 1) + C(x + 1) _____ (1)
x = 1 వ్రాయగా
1 – 1 + 1 = C (1 + 1)
1 = 2C ⇒ C = \(\frac{1}{2}\)
x = -1 వ్రాయగా
1 + 1 + 1 = A (-1 -1)²
3 = 4A ⇒ A = \(\frac{3}{4}\)
(1) లో ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
1 = A + B
⇒ 1 = \(\frac{3}{4}\) + B ⇒ B = \(\frac{1}{4}\)
∴ A = \(\frac{3}{4}\), B = \(\frac{1}{4}\), C = \(\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{x^2-x+1}{(x+1)(x-1)^2}\) = \(\frac{3}{4(x+1)}\) + \(\frac{1}{4(x-1)}\) + \(\frac{1}{2(x-1)^2}\)

ప్రశ్న 16.
P(A∪B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15 అయ్యేటట్లు A, B లు రెండు ఘటనలు అయినపుడు P(A^C) + P(B^C) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15
P(A^C) + P(B^C) = 1 – P(A) + 1 – P(B)
= 2 – [P(A) + P(B)]
= 2 – [P(A ∪ B) + P(A ∩ B)]
= 2 [0.65 + 0.15]
= 2 – 0.80
= 1.2
∴ P(A^C) + P(B^C) = 1.2

ప్రశ్న 17.
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్టనుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది అసుగాని, ఇస్ఫేటు గాని అయ్యే సంభావ్యత కనుక్కోండి.
సాధన:
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుకార్డు అయ్యే ఘటన A అని, ఇస్ఫేటుకార్డు అయ్యే ఘటన B అని అనుకొనుము మరియు S అనునది శాంపుల్ ఆవరణము,
∴ n(S) = ⁵²C₁ = 52
n(A) = ⁴C₁ = 4
n(B) = ¹³C₁ = 13
n(AB) = ¹C₁ = 1
∴ P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{4}{52}\)
P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)}\) = \(\frac{13}{52}\)
P(A ∩ B) = \(\frac{n(A \cap B)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\)
= \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయితే cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\) = sin² α + sin² β + sin² γ అని నిరూపించండి.
సాధన:
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
α + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos α + cos β + cos γ) + i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 + i(0)
∴ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) = cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
\(\frac{a b+b c+c a}{a b c}\) = (cos α + cos β + cos γ) – i (sin α + sin β + sin γ)
⇒ \(\frac{a b+b c+c a}{a b c}\) = 0 – i (0)
⇒ ab + bc + ca = 0
కావున (a + b + c)² = 0
⇒ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
⇒ a² + b² + c² + 2(0) = 0
⇒ a² + b² + c² = 0
⇒ (cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 2cos²α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
⇒ 2(cos²a + cos²β + 2 cos²γ) = 3
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 1 – 2 sin²α + 1 – 2 sin² β + 1 – 2 sin²γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin²α + sin² β + sin²γ)
⇒ sin²α + sin² β + sin²γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos²α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\) = sin²α + sin² β + sin²γ

ప్రశ్న 19.
3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0 సమీకరణం మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉంటే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0 _______ (1)
దత్త సమీకరణానికి మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్నాయి, కావున
(1) కి మూలాలు \(\frac{a}{r}\), a, ar అనుకొనుము.
\(\frac{a}{r}\)(a) (ar) = -(\(\frac{-24}{3}\))
a³ = 8
a = 2
(1) నుండి

(x – 2) (3x² – 20x + 12) = 0
⇒ (x – 2) (3x² – 18x – 2x + 12) = 0
⇒ (x – 2) [3x (x – 6) – 2 (x – 6)] = 0
⇒ (x – 2) (x – 6) (3x – 2) = 0
⇒ x = 2, 6, \(\frac{2}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు \(\frac{2}{3}\), 2, 6.

ప్రశ్న 20.
r = 0, 1, 2, …………. n కు :
C₀. C_r + C₁.C_{r + 1} + C₂. C_{r + 2} + ………… + C_{n – r}. C_n = ²ⁿC_{(n + r)} అని చూపి, తద్వారా :
i) C₀² + C₁² + C₂² + ………. + C_n² = ²ⁿC_n
ii) C₀. C₁ + C₁. C₂ + C₂. C₃ + …….. + C_{n – 1}. C_n = ²ⁿC_{n + 1} అని రాబట్టండి.
సాధన:

(3) లో r = 0 వ్రాయగా
\(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + ………. + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n
(3) లో r = 1 వ్రాయగా
C₀C₁ + C₁C₂ + C₂C₃ + ………. + C_{n – 1}
С_n = ²ⁿC_{n + 1}

ప్రశ్న 21.
1 + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\) ……… అనంతశ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనంను గణించండి.

సాధన:
పట్టికను తయారుచేయగా

\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\) = \(\frac{420}{30}\) = 14
విస్తృతి (σ²) = \(\frac{1}{\Sigma f_i}\)Σf_i(x_i – \(\bar{x}\))²
= \(\frac{1}{30}\) = (1374)
≅ 45.8
ప్రామాణిక విచలనము = \(\sqrt{45.8}\)
≅ 6.77.

ప్రశ్న 23.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ P(A ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{3}{4}\)‚ P(A^C ∩ B ∩ C^C) = \(\frac{1}{8}\), P(A^C ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{1}{4}\) అయినప్పుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు కావున

(1) నుండి \(\frac{1}{2}\).\(\frac{2}{3}\) P(C^C) = \(\frac{1}{4}\)
P(C^C) = \(\frac{3}{4}\)
∴ P(C) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
P(B) = \(\frac{1}{3}\)
P(C) = \(\frac{1}{4}\).

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి వ్యాప్తి {0, 1, 2}
P(X = 0) = 3c³, P(X = 1) = 4c – 10c², P(X = 2) = 5c – 1 అయినపుడు
i) c నిలువ
ii) P(X < 1)
iii) P(1 < X ≤ 2) మరియు P(0 ≤ X ≤ 3) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
యాదృచ్ఛిక చలరాశి X కు వ్యవాస్త {0, 1, 2}
(i) ∴ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3c³ + 4c – 10c² + 5c – 1 = 1
⇒ 3c³ – 10c² + 9c – 2 = 0
⇒ (c – 1) (3c² – 7c + 2) = 0

⇒ (c – 1) (c – 2) (3c – 1) = 0
⇒ c = 1 (లేదా) 2 (లేదా) \(\frac{1}{3}\)
⇒ c = 1 (లేదా) 2 అయితే P(X = 0) > 1
∴ c ≠ 1 మరియు c ≠ 2
∴ c = \(\frac{1}{3}\)

(ii) P(X < 1) = P(X = 0)
= 3c³
= 3(\(\frac{1}{3}\))³
= 3(\(\frac{1}{27}\))
= \(\frac{1}{9}\)

(iii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2)
= 5c – 1
= 5(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{5 – 3}{3}\)
= \(\frac{2}{3}\)

(iv) P(0 < X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= 4c – 10c² + 5c – 1
= -10c² + 9c – 1
= -10(\(\frac{1}{9}\)) + 9(\(\frac{1}{3}\)) – 1
= \(\frac{-10+27-9}{9}\)
= \(\frac{8}{9}\)