AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి:

అ. క్రింది ఘటనలలో దేని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవాలు? (పేజీ నెం.. 307)

ప్రశ్న 1.
పాచిక (dies) ను ఎగురవేసినపుడు 1, 2, 3, 4, 5 లేక 6 పడుట.
సాధన.
ఒక పాచికను వేసిన దాని పై ముఖంపై 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 సంఖ్యలు వచ్చుటకు (ఒక్కొక్కదానికి) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
5 ఎరుపు, 4 నీలం, 1 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
5 ఎరుపు బంతులు, 4 నీలం బంతులు, 1 నల్లని బంతి గల సంచి నుండి 2 వేర్వేరు రంగులు కల బంతులను బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
కారమ్స్ ఆటను గెలుచుట.
సాధన.
క్యారమ్స్ ఆట గెలుచుటకు ఇద్దరికీ సమాన అవకాశాలు , కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 4.
రెండంకెల సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానము 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేక 9 అగుట.
సాధన.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేదా 9 నుండి రెండంకెల సంఖ్యను వ్రాయుటలో ఒకట్ల స్థానంలో పై అంకెలు వచ్చుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 5.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు రంగు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి వేర్వేరు రంగులు గల బంతులు బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 6.
జూలై నెలలో ఒక రోజు వర్షం రావడం.
సాధన.
జూలై నెలలో ఒక కచ్చితమైన రోజున వర్షం పడుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ఆ. పై అన్ని ఘటనల యొక్క పర్యవసానాలన్నీ సమ సంభవాలేనా?
సాధన.
అన్ని ఘటనల ఫలితాలు సమాన అవకాశాలను కలిగి ఉండవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇ. పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవాలైన 5 ఘటనలను, సమసంభవాలు కాని 5 ఘటనలను పేర్కొనండి.
సాధన.
సమాన అవకాశాలు గల ఘటనలు : –
ఎ) ఒక పాచికను వేసిన సరి లేదా బేసిసంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే ఘటనలు.
సి) 1 నుండి 10 వరకు సంఖ్యలు రాసిన కార్డుల నుండి సరి లేదా బేసిసంఖ్య గల పేక పొందే ఘటనలు.
డి) 8 ఆకుపచ్చ మరియు 8 నల్లని ,బంతులు గల సంచి నుండి ఆకుపచ్చ లేదా నల్లని బంతిని తీయగల ఘటనలు.
ఇ) 20 మంది బాలురు మరియు 20 మంది బాలికలు గల ఒక తరగతి నుండి ఒక బాలుడు లేదా బాలికను ఎన్నుకొను ఘటనలు.
ఎఫ్) పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు లేదా నలుపు రంగు కార్డును ఎన్నుకోగల ఘటనలు.

సమాన అవకాశాలు లేని ఘటనలు :
ఎ) ఒక పాచికను విసిరిన దానిపై “ప్రధాన” లేదా “సంయుక్త” సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) 1 నుండి 5 సంఖ్యలు గల పేకముక్కల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్య గల పేకను పొందే ఘటనలు.
సి) 1, 2, ….. 10 సంఖ్యలలో 3 యొక్క గుణిజం లేదా 3 యొక్క గుణిజం కాని సంఖ్యను ఎన్నుకొనే ఘటనలు.
డి) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 5 కంటే తక్కువైన (చిన్నదైన) సంఖ్య లేదా 5 కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
ఇ) 5 ఆకుపచ్చ మరియు 8 తెలుపు బంతుల నుండి ఒక తెలుపు లేదా ఆకుపచ్చ బంతిని పొందగల (తీయగల) ఘటనలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 7.
సమసంభవ పర్యవసానములు గల ఐదు సందర్భాలను పేర్కొని వాని ప్రతిరూప ఆవరణలను వ్రాయండి. . , సమసంభవము మరియు పరస్పర వర్ణిత ఘటనల యొక్క సంభావ్యతను ఎట్లు గమనించవచ్చునో కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాము . (పేజీ.నెం.309)
సాధన.
a) ఒక నాణేన్ని పైకి ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {T, H}

b) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు సరి లేదా బేసి సంఖ్యను పొందటం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) షటిల్ ఆటను గెలిచే సందర్భం .
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {గెలుపు, ఓటమి}.

d) 3 నీలం మరియు 3 నల్లని బంతులు గల సంచి నుండి ఒక నలుపు లేదా నీలం బంతిని . యాదృచ్చికంగా తీసే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నీలం, నల్లని బంతులు}.

e) పేక ముక్కల కట్ట నుండి 1 నలుపు లేదా 1 ఎరుపు పేక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీసే సందర్భం
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నలుపు, ఎరుపు}

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 8.
(i) బొమ్మ పడుట అనేది బొరుసు పడుటకు పూరక ఘటనా? – కారణాలు తెలపండి. (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
ఒక నాణెమును ఎగురవేసినపుడు సాధ్యమగు పర్యవసానాల సమితి S = {T, H}
బొమ్మపడు ఘటన కాకుండా Sలో మిగిలిన ఘటన పర్యవసానం బొరుసు పడుట. కావున ‘ బొమ్మపడు ఘటన, బొరుసు పడు ‘ఘటనకు పూరక ఘటన అవుతుంది.

(ii) పాచికతో 1 పడుట అనేది 2, 3, 4, 5, 6 పడుట అనే ఘటనలకు పూరక ఘటనయేనా? (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
అవును, పూరక ఘటనలే.
‘1’ అను సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత = \(\frac{1}{6}\) [P(E)]
2,3,4,5,6 సంఖ్యలను పొందు సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{5}{6}\)
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{1}{6}\) [P(E)] + \(\frac{5}{6}\)
= \(\frac{1}{6}\) [P(E)] = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

(iii) పరస్పరం పూరక ఘటనలయ్యే జతలకు 5 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 311).
సాధన.
ఎ) ఒక పాచికను . దొర్లించినపుడు సరిసంఖ్య పడే ఘటన, బేసిసంఖ్య పడే ఘటనలు ఒకదానికొకటి పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
బి) ఒక పేకకట్ట నుండి ఎరుపు పేకముక్క లేదా నలుపు పేక ముక్క పొందే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
సి) 1,2,… 8 సంఖ్యల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్యలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొను ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
డి) వారం రోజులలో ఒక ఆదివారం లేదా మిగిలిన 6 రోజులలో ఆదివారం కాకుండుట అనే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.
ఇ) పరుగు పందెంలో గెలుపు మరియు ఓటముల సంభావ్యతలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక పాప వద్ద గల పాచిక ముఖంపై A,B,C,D,E,F లని ముద్రించబడి యున్నది. ఆ పాచికను దొర్లించినపుడు
(i) A
(ii) D పడే సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {A, B, C, D, E, F} = 6
(i) ‘A’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘A’ ను పొందు సంభావ్యత = P(A)
= ‘A’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{6}\)

(ii) ‘D’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘D’ ను పొందు సంభావ్యత = P(D)
= ‘D’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేవు? (పేజీ నెం. 312)
(a) 2.3
(b) – 1.5
(c) 15 %
(d) 0.7
సాధన.
a) 2.3 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
b) – 1.5 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
c) 15 % ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.
d) 0.7 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
మీ దగ్గర ఒక కట్ట పేకాట కార్డులు బాగుగా కలుపబడి ఉన్నాయి అనుకొనండి. వాటి నుండి యాదృచ్చికముగా తీసిన కార్డు
1. రాణి అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
2. ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
3. స్పేడ్ అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
5. ముఖకార్డు కాకపోవుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 313, 314)
సాధన.
1. మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
రాణి పేక ముక్కను పొందు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4 AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 1
రాణి ముక్కను పొందు సంభావ్యత = P(E)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{4}{52}-\frac{1}{13}\)

2. ముఖ కార్లు గల ముక్కలు J, Q, K.
ముఖ కార్డు పొందు అనుకూల పర్యవసానాలు = 4 × 3 = 12
సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{12}{52}-\frac{3}{13}\)

3. స్పేడ్ ముక్కల సంఖ్య = 13
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
∴ కావలసిన సంభావ్యత = స్పేడ్ కార్డులగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{13}{52}-\frac{3}{13}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు గల ‘అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 2 = 3
అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{3}{52}\)

5. స్పేడ్ ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత P(E) = \(\frac{12}{52}\)
∴ స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{12}{52}\)
= \(\frac{52-12}{52}\)
= \(\frac{40}{52}\) = \(\frac{10}{13}\)
(లేదా)
స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు అనుకూల పర్య వసానాల సంఖ్య = 40 (52-12 = 40]
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య _ 40 _ 10
= \(\frac{40}{52}\) = \(\frac{10}{13}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదైనా ఆటలో ఏ జట్టువారు మొదటి బంతిని తీసుకోవాలో నిర్ణయించడానికి నాణెమును వేయడమే నిష్పాక్షికం అంటారెందుకు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
బొమ్మ పడుటకు గల సంభావ్యత = \(\frac{1}{2}\)
బొరుసు పడుటకు గల సంభావ్యత = \(\frac{1}{2}\)
రెండు ఘటనల సంభావ్యత సమానం. కనుక
∴ నాణెం ఎగురవేయుటయే నిష్పాక్షికం.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత \(\frac{7}{2}\) ఉంటుందా? వివరించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత \(\frac{7}{2}\) అగుట అసాధ్యం .
\(\frac{7}{2}\) = 3 \(\frac{1}{2}\), ఇది 1 కన్నా ఎక్కువ
∴ ఏ ఘటన యొక్క సంభావ్యతైనా ‘0’ నుండి ‘1’ వరకు ఉండును. [0 ≤ P(E) ≤ 1]. కావున అసాధ్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిలో ఏయే వాదనలు సత్యములు?
(i) రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు 3 పర్యవసానాలు ఉంటాయి. రెండు బొమ్మలు, రెండు బొరుసులు, ఒక్కటి బొమ్మ మరొకటి బొరుసు. కనుక ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\).

(ii) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు పడేది సరిసంఖ్య లేక బేసి సంఖ్య. కావున బేసి సంఖ్య పడే సంభావ్యత (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
(i) ఇది అసత్యము.
కారణం : అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 4. అవి, HH, HT, TH, TT.
∴ రెండు బొమ్మలు పడు సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)
రెండు బొరుసులు పడు సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)
ఒక బొమ్మ లేదా బొరుసు పడుటకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\)

(ii) సత్యం .
కారణం : సాధ్యపడే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
బేసిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 = {1, 3, 5}
సరిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = (2, 4, 6) = 3
∴ బేసిసంఖ్య పడే సంభావ్యత P(E) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మపడే సంభావ్యతను, బొరుసు పడే సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు సాధ్యపడు పర్యవసానములు రెండు, బొమ్మ (H) లేక బొరుసు (T). బొమ్మ పడుట అనే ఘటన E అయితే అనుకూల పర్యవసానములు 1.
P(E) = P (బొమ్మ) = Eకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{2}\)
ఇదే విధంగా బొరుసు పడు అనే ఘటన F అయిన
P(F) = P (బొరుసు) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో ఒక ఎరుపు బంతి, ఒక నీలం బంతి, ఒక పసుపు రంగు బంతి ఉన్నాయి. అన్ని బంతులు ఒకే పరిమాణము కలిగి ఉన్నాయి. సంచిలోనికి చూడకుండా మానస ఒక బంతిని తీస్తే ఆ బంతి
(i) పసుపు రంగు బంతి
(ii) ఎరుపు బంతి
(iii) నీలం బంతి అవడానికి ‘ సంభావ్యతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
మానస చూడకుండా బంతిని తీసుకున్నది.
కావున అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములు. పసుపు రంగు బంతిని తీయు ఘటన Y, నీలం బంతి తీయు ఘటన B మరియు ఎరుపు బంతి తీయు ఘటన R అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము {Y, B, R}.
పర్యవసానములు = 3.
(i) Y కి అనుకూల పర్యవసానములు = 1.
∴ P(Y) = \(\frac{1}{3}\)
అదే విధముగా P(R) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు
(i) 4 కన్నా ఎక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యత
(ii) 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 310)
9985174864
సాధన.
(i) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానములు n(S)= 6
4 కన్నా ఎక్కువ’ అను ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {5, 6}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 2
∴ ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

(ii) F అనే ఘటన 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడుట అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
మొత్తం పర్యవసానాలు n(S) = 6
F కు అనుకూల పర్యవసానాలు F = {1, 2, 3, 4}
అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F)= 4
∴ ఘటన F యొక్క సంభావ్యత P(F) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 4.
బాగుగా కలుపబడిన పేకాట కార్డుల కట్టలో 52 కార్డుల నుండి’ ఒక్క కార్డు తీయుటలో అది
(i) ఏస్ అగుటకు
(ii) ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 313)
సాధన.
కార్డులు బాగుగా కలుపబడ్డాయి. కావున పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవములుగా పరిగణించాలి.
(i) ఒక కట్టలో 4 ఏన్లు ఉంటాయి. తీసుకొన్న కార్డు ఏస్ అవడం అనే ఘటన E అయితే E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ అగుటకు సంభావ్యత, .
P(E) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

(ii) తీసుకున్న కార్డు ఏస్ కాదు అనే ఘటన F అయితే F కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 52 – 4 = 48
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యత P(F) = \(\frac{48}{52}=\frac{12}{13}\)

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి :
ఘటన F అనగా E కానిది \(\overline{\mathrm{E}}\) కావున పూరక ఘటనలను ఉపయోగించి F యొక్క సంభావ్యత కనుగొనవచ్చు.
P(F) = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{13}\) = \(\frac{12}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 5.
సంగీత, రేష్మాలు టెన్నిస్ ఆటను ఆడుతున్నారు. సంగీత గెలిచే సంభావ్యత 0.62 అయినప్పుడు రేష్మ గెలిచే సంభాష్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంగీత, రేష్మాలు ఆటను గెలిచే ఘటనలను S, Rలు సూచిస్తున్నాయి అనుకొనుము.
సంగీత గెలిచే సంభావ్యత = P(S) = 0.62 (దత్తాంశం)
పూరక సంభావ్యతలను అనుసరించి, రేష్మ గెలిచే సంభావ్యత = P(R) = 1 – P(S)
= 1 – 0.62 = 0.38

ప్రశ్న 6.
శారద, హమీద మంచి స్నేహితులు. వారిద్దరి పుట్టిన రోజు పండుగలు సంవత్సరంలో (లీపు సంవత్సరం . కాదు)
(i) వేరువేరు రోజు రావడానికి?
(ii) ఒకే రోజు రావడానికి సంభాష్యతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంవత్సరంలో 365 రోజులలో ఇద్దరిలో ఎవరి పుట్టిన రోజు అయినా ఏరోజు అయినా రావచ్చును. కావున మొత్తం 365 పర్యవసానాలు సమసంభవములని పరిగణించాలి.
(i) శారద, హమీదల పుట్టినరోజులు వేరువేరు రోజులు అవడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు
= 365 – 1 = 364
∴ P (వేరువేరు పుట్టినరోజులు) = \(\frac{364}{365}\)

(ii) P (ఒకే రోజు పుట్టినరోజు) = 1 – P (వేరు వేరు పుట్టినరోజులు)
= 1 – \(\frac{364}{365}\) = \(\frac{1}{365}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 7.
40 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో 25 మంది బాలికలు, 16 మంది బాలురు’ ఉన్నారు. తరగతి ప్రతినిధిని నియమించడానికై, వారి ఉపాధ్యాయురాలు అందరి పేర్లను విడివిడి కార్డులపై వ్రాసి, ఒక పెట్టెలో వేసి బాగా కలిపి, ఒక కార్డును తీశారు. ఆ కార్డుపై పేరు i) అమ్మాయి లేక ii) అబ్బాయిది కావడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి. =(పేజీ నెం. 315)
సాధన.
కార్డులన్నీ. సమానం అయితే 40 మందిలో ఎవరి పేరు కార్డు అయినా రావచ్చును.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 40

(i) తీసిన కార్డుపై అమ్మాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 25
∴ P(అమ్మాయి పేరుగల కార్డు) = P(అమ్మాయి)
= \(\frac{25}{40}=\frac{5}{8}\)

(ii) తీసిన కార్డుపై అబ్బాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు = 15
∴ P (అబ్బాయి పేరు గల కార్డు) = P (అబ్బాయి)
= \(\frac{15}{40}=\frac{3}{8}\)
(లేదా)
P (అబ్బాయి) = 1 – P (అబ్బాయి. కానిది)
= 1 – P (అమ్మాయి)
= 1 – \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 8.
ఒక పెట్టెలో 3 నీలం, 2 తెలుపు, 4 ఎరుపు గోళీలు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా పెట్టె నుండి ఒక గోళీను తీసుకొంటే అది (i) తెలుపు
(ii) నీలం
(iii)ఎరుపు రంగు గోళీ అగుటకు సంభావ్యతలు గమనించండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
యాదృచ్ఛికంగా గోళీను తీసుకొనుట అనగా అన్ని పర్యవసానాలు సమసంభవాలు.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణలోని పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 + 2 + 4 = 9.
తెల్లని గోళీ తీయు ఘటనను W చే, నీలం గోళీ తీయు ఘటనను B చే, ఎరుపు గోళీ తీయు ఘటనను R చే గుర్తిస్తే
(i) W కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
∴ P(W) = \(\frac{2}{9}\)
అదేవిధంగా,

(ii)P(B) = \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
(iii) P(R) = \(\frac{4}{9}\)
∴ గమనిక P(W) + P(B) + P(R) = 1.

ప్రశ్న 9.
హర్ఫీత్ రెండు నాణెములను (₹ 1 మరియు ₹ 2) ఒకేసారి ఎగురవేసినాడు. కనీసం ఒక బొమ్మ పడుటకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
బొమ్మను Hతో, బొరుసును Tతో సూచిస్తే, రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడు అన్ని , పర్యవసానములు (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) ఇవి అన్నీ సమసంభవాలే. ఇందు (H, H) అనగా మొదటి నాణెం (₹ 1) బొమ్మ, రెండవ నాణెం (₹ 2) బొమ్మ అని అర్థం. అట్లే (H, T) అనగా మొదటి నాణెం బొమ్మ రెండవ నాణెం బొరుసు అని అర్థం. అట్లే మిగిలిన పర్యవసానాలు.
కనీసం ఒక బొమ్మకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {(H, H), (H, T), (T, H)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 3.
∴ P(E) = \(\frac{3}{4}\)
(∵ ప్రతిరూప ఆవరణలో పర్యవసానాలు = 4)
అనగా హర్పీత్ కనీసం ఒక బొమ్మ పొందే సంభావ్యత = \(\frac{3}{4}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 10.
(వార్షిక పరీక్షలకు కాదు) మ్యూజికల్ చైర్స్ ఆటలో, ఆట మొదలైన 2 నిమిషాల లోపు ఏదో ఒక సమయంలో పాట ఆగుతుంది. ఆటగాళ్ళు ఆగాలి. అయితే ఆట మొదలైన \(\frac{1}{2}\) నిమిషంలోపు పాట ఆపు ఘటనకు సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
పాట ఆపు సమయం యొక్క పర్యవసానాలు 0 మరియు 2ల మధ్య గల అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. దీనిని సంఖ్యారేఖపై సూచిస్తే….

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 3

ఈ నిమిషంలోపు పాట ఆగును అను ఘటనకు E ను సూచిస్తే Eకు అనుకూల పర్యవసానములు అనగా సంఖ్యారేఖపై 0, \(\frac{1}{2}\), ల మధ్య గల అన్ని బిందువులు ) కు, 2కు మధ్యగల దూరం 2 అయిన 0, \(\frac{1}{2}\)ల మధ్య దూరం \(\frac{1}{2}\) అవుతుంది. ప్రయోగంలోని అన్ని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవములు కావున మొత్తం దూరం (కాలం) 2 అని, E కు అనుకూల దూరం (కాలం) అని పరిగణించవచ్చును.
∴ P(E) = E అనుకూల దూరము / మొత్తం దూరము
= \(\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 11.
క్రింది పటంలో చూపబడిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతంలో ఒక హెలికాప్టరు ‘ కూలిపోయిందని సమాచారం వచ్చింది. అది కొలను (lake)లో కూలిపోయి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 318)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 4

సాధన.
మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలములో హెలికాప్టర్ ఏ, బిందువు వద్ద అయినా కూలి ఉండవచ్చును.
∴ ఘటన S జరుగుటకు పూర్తి స్థల వైశాల్యము
n(s) = (4.5 × 9) కి.మీ.2 = 40.5 కి.మీ.2
ఘటన E జరుగుటకు అనుకూల ప్రాంతము
n(E) = (2 × 3) కి.మీ.2 = 6 కి.మీ.2
∴ P (హెలికాప్టరు సరస్సులో కూలుట) = \(\frac{6}{40.5}=\frac{4}{27}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 12.
ఒక పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో 88 సరిగ్గా ఉన్నవి. 8 చొక్కాలు కొద్ది లోపాలను, 4 చొక్కాలు ఎక్కువ లోపాలను కలిగి ఉన్నాయి. జానీ అనే వ్యాపారి మంచి చొక్కాలను మాత్రమే కొంటాడు. సుజాత అను మరొక వ్యాపారి ఎక్కువ లోపాలున్న చొక్కాలను మాత్రమే నిరాకరిస్తుంది. (కొనదు). పెట్టెలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక చొక్కాను తీస్తే ఎవరు కొనే సంభావ్యత ఎంత?
(i) జానీ
(ii) సుజాత. (పేజీ నెం. 318)
సాధన.
పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో నుండి 1 చొక్కా యాదృచ్ఛికంగా తీయబడినది అనగా పర్యవసానములన్నీ సమసంభవాలు.
(i) జానీ కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88
P (జానీ చొక్కాను కొనుట) = \(\frac{88}{100}\) = 0.88

(ii)సుజాత చొక్కా కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88 + 8 = 96
P(సుజాత చొక్కాను కొనుట) = \(\frac{96}{100}\) = 0.96.

ప్రశ్న 13.
రెండు పాచికలు, ఒకటి ఎర్రనిది, ఒకటి పసుపుది, ఒకేసారి దొర్లించడం జరిగింది. సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములను పేర్కొనండి. రెండు పాచికలపై కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం.
(i) 8
(ii) 13 మరియు
(iii) 12 లేక అంతకన్నా తక్కువ అవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత? (పేజీ నెం. 319)
సాధన.
ఎరుపు పాచికపై 1 ఉన్నప్పుడు తెలుపు పాచికపై 1, 2, 3, 4, 5 లేక. 6 ఏదయినా ఉండవచ్చును. అట్లే ఎరుపు పాచికపై ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ లేక ‘6’ లు ఉన్నప్పుడు కూడా వివిధ పర్యవసానములు ఉంటాయి. ప్రయోగంలో సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములు పట్టికలో క్రమయుగ్మాలుగా చూపబడ్డాయి. ప్రతి క్రమయుగ్మంలో మొదటిది ఎరుపు పాచికపై సంఖ్య, రెండవది తెలుపు పాచికపై సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 5

కావున ఉదాహరణకు (1,4), (4, 1) క్రమయుగ్మాలు సమానం కావు.

∴ మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6 × 6 = 36.
(i) ఘటన E (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 8) యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు = {{2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 5
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{5}{36}\)

(ii) ఘటన F (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 13) కు అనుకూల పర్యవసానాలు శూన్యము.
∴ P(F) = \(\frac{0}{36}\) = 0.

(iii) ఘటన G (12 లేక అంతకన్నా తక్కువ)కు అన్ని పర్యవసానాలు అనుకూలములే.
∴ P(G) = \(\frac{36}{36}\) = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వినియోగదారులు శ్యామ్, ఏక్తాలు ఒక అంగడిలో ఒకే వారము (మంగళవారం నుండి శనివారం వరకు) దర్శించారు. వారిద్దరు విడివిడిగా ఏరోజు అయినా దర్శించి ఉండవచ్చును. అయిన ఆ ఇద్దరు
(i) ఒకే రోజు
(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులు
(iii) వేరువేరు రోజులు అంగడిని దర్శించి ఉండడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise 1

(మంగళ, మంగళ), (మంగళ, బుధ) (మంగళ, గురు), (మంగళ, శుక్ర), (మంగళ, శని), (బుధ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (బుధ, గరు), (బుధ, శుక్ర), (బుధ, శని), (గురు, మంగళ), (గురు, బుధ), (గురు, గురు), (గురు, శుక్ర), (గురు, శని), (శుక్ర, మంగళ) (శుక్ర, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శుక్ర, శని), (శని, మంగళ), (శని, బుధ), (శని, గురు), (శని, శుక్ర), (శని, శని).
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 5 × 5 = 52 = 25.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

(i) ఇద్దరూ ఒకే రోజులో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
అవి: (మంగళ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (గురు, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శని, శని) = 5
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ఒకే రోజులో దర్శించుకోగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8
అవి : (మంగళ, బుధ), (బుధ, గురు), (గురు, శుక్ర) (శుక్ర, శని) (బుధ, మంగళ), (గురు, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శని, శుక్ర) = 8
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ప్రక్క ప్రక్క రోజులలోదర్శించుకోగల సంభావ్యత = \(\frac{8}{25}\).

(iii) ఇద్దరూ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని దర్శించి ఉండటానికి గల సంభావ్యత,
P(E) = ఇద్దరూ ఒకే రోజు ఆ అంగడిని సందర్శించిన సంభావ్యత.
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల సంభావ్యత = \(\frac{4}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో 5 ఎరుపు బంతులు, కొన్ని నీలం – బంతులు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయిన ఎన్ని నీలం బంతులు కలవు?
సాధన.
సంచిలోని ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
లెక్కప్రకారం యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు.
∴ నీలం బంతుల సంఖ్య = 5 × 2 = 10
(లేదా )
నీలం బంతుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
మొత్తం బంతుల సంఖ్య = x + 5
ఎరుపు బంతులను తీయగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
∴ P(R) = \(\frac{5}{x+5}\)
లెక్కప్రకారం
P(B) = 2 × \(\frac{5}{x+5}\)
= \(\frac{10}{x+5}\)
∴ \(\frac{5}{x+5}\) + \(\frac{10}{x+5}\) = 1
[∵ P(R) + P(B) = 1]
⇒ \(\frac{5+10}{x+5}\) = 1
⇒ 15 = x + 5
⇒ x = 15 – 5
⇒ x = 10.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
ఒక పెట్టెలో 12 బంతులు కలవు. అందు x బంతులు నల్లనివి. పెట్టె నుండి యాదృచ్చికంగా తీసిన బంతి నలుపుది అవడానికి సంభావ్యత ఎంత? ఇంకా 6 నలుపు బంతులు కలిపితే అప్పుడు మొత్తం నుండి నలుపు బంతి తీయు సంభావ్యత రెట్టింపు (ప్రస్తుతం కన్నా) అవుతుంది. అయిన X ఎంత?
సాధన.
నలుపు బంతుల సంఖ్య = x
పెట్టెలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12
ఒక నలుపు బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{x}{12}\) ……………. (1)
ఆ పెట్టెలో 6 నలుపు బంతులనుంచగా
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = x + 6 అనుకొనుము.
∴ ఆ పెట్టెలలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12 + 6 = 18
∴ నల్లని బంతిని పొందు సంభావ్యత = \(\frac{x+6}{18}\) …….. (2)
లెక్కప్రకారం,
\(\frac{x+6}{18}=2 \cdot \frac{x}{12}\)
⇒ \(\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}\)
⇒ \(\frac{x+6}{3}\) = x
⇒ x + 6 = 3x
⇒ 3x – x = 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3 .
సరిచూచుట :
(1) వ సమీకరణం నుండి \(\frac{x}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
(2) వ సమీకరణం నుండి \(\frac{x+6}{18}=\frac{3+6}{18}\)
= \(\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
(1) వ సమీకరణం నుండి (1) × 2 = \(\frac{1}{4}\) × 2
= \(\frac{1}{2}\)
ఇది సత్యం. నిరూపించబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
ఒక పాత్రలో 24 గోళీలు ఉన్నాయి. అందులో కొన్ని ఆకుపచ్చనివి, కొన్ని నీలం రంగువి. పాత్ర నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఆకుపచ్చరంగు గోళీ తీయు సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\) అయిన నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పాత్రలో గల మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 24
అందు ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x
పాత్ర నుండి ఆకుపచ్చ గోళీలను పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{x}{24}\)
లెక్కప్రకారం,
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3x = 24 × 2
⇒ x = \(\frac{24 \times 2}{3}\) = 16
∴ ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = 16
∴ నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x = 24 – 16 = 8.
నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత = \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\)
(లేదా)
∴ P(G) = \(\frac{2}{3}\)
P(B) + P(G) = 1
⇒ P(B) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
పాత్రలోని నీలం గోళీల సంఖ్య = \(\frac{1}{3}\) × 24 = 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు, 5 నలుపు బంతులు కలవు. సంచి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీస్తే అది
(i) ఎరుపుదై ఉండుటకు
(ii) ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 ఎరుపు + 5 నలుపు = 8 బంతులు
ఎరుపు బంతి అగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3
ఎరుపు బంతి పొందుటకు గల సంభావ్యత .
P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{8}\)

(ii) P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) అనునది పరస్పర ఘటన అయిన
⇒ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
P (E) = 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\).
∴ బంతి ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యత = \(\frac{5}{8}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 2.
ఒక పెట్టెలో 5 ఎరుపు, 8 తెలుపు, 4 ఆకుపచ్చ గోళీలు కలవు. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీను తీస్తే అది
(i) ఎరుపు
(ii) తెలుపు
(iii) ఆకుపచ్చకానిది అగుటకు – సంభావ్యతలు కనుగొనండి.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 5 ఎరుపు + 8 తెలుపు + 4 ఆకుపచ్చ
= 5 + 8 + 4 = 17

(i) ఎరుపు, గోళీల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీని పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీల సంభావ్యత P(R) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(R) = \(\frac{5}{17}\).

(ii) తెలుపు గోళీల సంఖ్య = 8 తెలుపు గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

P (W) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(W) = \(\frac{8}{17}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(iii) ఆకుపచ్చని కాని మిగిలిన గోళీల సంఖ్య = 5 + 8 = 13
ఆకుపచ్చవి కాని గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = P (ఆకుపచ్చకాని గోళీలు)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P (\(\overline{\mathrm{G}}\)) = \(\frac{13}{17}\)
(లేదా)
ఆకుపచ్చ గోళీల సంభావ్యత = P(G)
= ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య / మొత్తం గోళీల సంఖ్య
= \(\frac{4}{17}\)
⇒ P(G) + P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1
∴ P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{4}{17}\) = \(\frac{13}{17}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 3.
ఒక కిట్టి బ్యాంకు డబ్బాలో వంద 50పై నాణెములు, యాభై ₹ 1 నాణెములు, ఇరవై ₹ 2 నాణెములు, పది ₹ 5 నాణెములు ఉన్నాయి. డబ్బాను తలక్రిందులు చేసినప్పుడల్లా యాదృచ్ఛికంగా ఒక్క నాణెం పడుతుంటే అది
(i) 50 పై నాణెం అగుటకు,
(ii) ₹ 5 నాణెం ‘కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 1
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 180
50 పైసల నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 100
50 పైసల నాణెం పొందుటకు సంభావ్యత

P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) P(E) అనునది ₹ 5 యందు సంభావ్యత అనుకొనిన ₹ 5 నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 10
∴ ₹ 5 పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
కానీ, P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు గల సంభావ్యత అనుకొనుము.
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
∴ P((\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{18}\)
∴ ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు సంభావ్యత = \(\frac{17}{18}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 4.
గోపి అక్వేరియం నుండి ఒక చేపను కొన్నాడు అక్వేరియంలో 5 మగ చేపలు, 8 ఆడ చేపలు ఉండినప్పుడు, వ్యాపారి యాదృచ్ఛికముగా ఒక చేపను తీసి ఇచ్చి ఉంటే, ఆ చేప మగ చేప అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 2

సాధన.
మగ చేపల సంఖ్య = 5
ఆడ చేపల సంఖ్య = 8
మొత్తం చేపల సంఖ్య = 5 మగ + 8 ఆడ = 13 చేపలు
ఒక చేపను బయటకు యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం మగ చేపల సంఖ్య = 5 అయిన
మగ చేపను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
మగ చేపను పొందుటకు గల సంభావ్యత P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P (E) = \(\frac{5}{13}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆట నందు వేగంగా త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తు పటములో చూపబడినట్లు, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 లేక 8 ని సూచిస్తూ ఆగుతుంది. అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములైతే క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలు లెక్కించండి. బాణపు గుర్తు సూచించేది.
(i) 8
(ii) ఒక బేసిసంఖ్య
(iii) 2 కన్నా పెద్ద సంఖ్య
(iv) 9 కన్నా చిన్న సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 3

సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 2, …, 8} = 8
(i) ‘8’ సంఖ్యకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
∴ P(8) = \(\frac{1}{8}\)

(ii)
త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తులో “బేసిసంఖ్య” లభించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5, 7} = 4
∴ P(బేసిసంఖ్య) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) ‘2’ కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = 6
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) = 1.

(iv) 9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{8}{8}\) = 1
(లేదా)
9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందు ఘటన ఒక కచ్ఛిత ఘటన. కనుక దీని సంభావ్యత 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 6.
బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
(i) ఎరుపు రాజు
(ii) ముఖ కార్డు
(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు
(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ
(v) స్పేడ్
(vi) డైమండు గుర్తు గల రాణి
సాధన.
(i) పేక కట్ట నుండి “ఎరుపు రాజు” కార్డును తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 4
∴ ఎరుపు రాజు కార్డును పొందుటకు గల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

(ii) ముఖకార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 4 × 3 = 12 (K, Q, J)
∴ ముఖ కార్డు యాదృచ్ఛికంగా పొందు సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\)

(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు గల కార్డుల సంఖ్య = 2 × 3 = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{26}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంఖ్య =1
∴ హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{52}\)

(v) స్పేడ్ కార్డుల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
=\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

(vi) డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డుల సంఖ్య = 1
∴ డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{52}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 7.
పేక ముక్కలలోని డైమండు గుర్తు గల ఐదు కార్డులు; రాజు, రాణి, జాకీ మరియు ఏ స్లను మాత్రం తీసుకొని, – బాగా కలిపి, యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే
(i) ఆ కార్డు రాణి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
(ii) రాణి కార్డును తొలగించి రెండవ కార్డును ఎన్నుకొంటే అది
(ఎ) ఏస్ అగుటకు
(బి) రాణి అగుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 5
(i) రాణికార్డు అయ్యే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =1
∴ రాణి కార్డు పొందే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{5}\)

(ii) 5 కార్డుల నుండి రాణి కార్డును తొలగించిన మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య = 5 – 1 = 4
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 4.
(ఎ) రాణి కార్డును తొలగించి ఏస్ కార్డును పొందగల సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)

(బి) రాణి కార్డును తొలగించి మిగిలిన కార్డుల నుండి రాణి
కార్డును పొందగల సంభావ్యత = \(\frac{0}{4}\) = 0.
(∵ రాణి కార్డు పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 0)
∴ ఇది ఒక అసంభవ ఘటన.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 8.
లోపాలు గల 12 పెన్నులు పొరపాటుగా 132 మంచి పెన్నులలో కలసిపోయాయి. చూడగానే పెన్నులోని లోపాన్ని గుర్తించలేము. అయితే యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్నును ఎన్నుకొంటే అది మంచి పెన్ను అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 132
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 12
∴ మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 132 + 12 = 144
యాదృచ్ఛికంగా లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144
144 పెన్నుల నుండి ఒక మంచి పెన్ను యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొనదగు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =132
∴ ఒక మంచి పెన్ను పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{132}{144}=\frac{11}{12}\)

ప్రశ్న 9.
20 విద్యుత్ బల్బులు కల పెట్టెలో 4 బల్బులు లోపాలు కలిగి ఉన్నవి. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా తీసిన బల్బు లోపాలు కలిగి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? ఒకవేళ అది మంచి బల్బు అయి ఉండి, దానిని పెట్టెలో పెట్టకుండా రెండవ బల్బును తీసుకొంటే అది కూడా మంచిదై ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20
లోపాలు గల బల్బుల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు లేని మంచి బల్బుల సంఖ్య = 20 – 4 = 16
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 20.
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 205
= \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
ఒక మంచి బల్బును పెట్టె నుండి తీసి మరలా దానిలో వేయకుండా ఉంటే దానిలో గల మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20 – 1 = 19.
∴ మొత్తం మంచి బల్బుల సంఖ్య = 16 – 1 = 15
∴ యాదృచ్ఛికంగా ఒక మంచి బల్బును పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 15
∴ రెండవసారి మంచి బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{15}{19}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 10.
ఒక పెట్టెనందు 1 నుండి 90 వరకు వ్రాయబడి ఉన్న 90 ఫలకాలు ఉన్నాయి. వాటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఫలకాన్ని ఎన్నుకొంటే దానిపై క్రింది సంఖ్యలు ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంతెంత ? (i) రెండంకెల సంఖ్య
(ii) ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య
(iii) 5చే భాగింపబడు సంఖ్య.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం ఫలకాల సంఖ్య = 90
పెట్టెనుండి ఒక ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 90
(i) పెట్టెలోని రెండంకెల సంఖ్యలు = 81 {10, 11, 12, ………… 90}
∴ రెండంకెల సంఖ్య గల ఫలకాన్ని పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) పెట్టెలోని ఖచ్చిత వర్గాలు గల సంఖ్యలు = 9 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఒక ఫలకాన్ని పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 9
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఫలకాన్ని ఎంచుకొనుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 1 నుండి 90 వరకు గల ‘5’ యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 18
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90}
అనగా 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 18
∴ 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 11.
పటంలో చూపినట్లు దీర్ఘచతురస్రాకార పలకపై 1మీ. వ్యాసం గల వృత్తం గీయబడి ఉన్నది. ఒక పాచికను ఈ పలకపై జారవిడిస్తే అది వృత్తంలో పడుటకు సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 5

సాధన.
ఇచ్చిన దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు (1) = 3 మీ.
వెడల్పు (b) = 2 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం (A) = పొడవు × వెడల్పు
= 3 × 2 = 6 చ.మీ.
ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసం (d) = 1 మీ.
∴ నివృత్త వైశాల్యం = nd = 2 x 141 = 1 3.
∴ దీర్ఘ చతురస్రం పై గల వృత్తం పైకి పాచికను వేయగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{\frac{22}{28}}{6}=\frac{\cdot 22}{28 \times 6}=\frac{11}{28 \times 3}=\frac{11}{84}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 12.
ఒక వ్యాపారి వద్ద 144 పెన్నులు ఉన్నాయి. అందులో 20 లోపాలు కలిగి ఉన్నాయి. సుధ పెన్ను కొనడానికి వస్తే వ్యాపారి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్ను ఇస్తే దానిని
(i) సుధ కొనుటకు
(ii) కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 144
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 20
∴ మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 144 – 20 = 124
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144

(i) సుధ వాటిని కొనవలెనన్న అవి మంచివి/లోపాలు లేనివి అయి ఉండాలి.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 124.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు కొనగల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)

(ii) అవి లోపాలు గల పెన్నులైనట్లయితే సుధ వాటిని కొనలేదు.
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 20
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యత P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)
(లేదా)
P (కొనలేనవి) = 1 – P (కొనగలవి)
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{31}{36}\) = \(\frac{5}{36}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 13.
ఒకేసారి రెండు పాచికలను దొర్లించి వాటిపై సంఖ్యలను కూడినచో వచ్చు.
(i) మొత్తాల సంభావ్యతను తెలుపు పట్టికను పూరించండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 6

(ii) ఒక విద్యార్థి ఈ ప్రయోగంలో 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 అనే 11 పర్యవసానములు ఉన్నవి, కావున ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత – అన్నాడు. ఈ సమాధానంతో నీవు ఏకీభవిస్తావా? వివరించు.
సాధన.
(i) రెండు పాచికలను దొర్లించిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 36

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 7

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 8

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(ii) ఇచ్చిన పట్టిక నుండి (పై పట్టిక నుండి) విద్యార్థి యొక్క వివరణ తప్పు. ఇచ్చట ప్రతిదాని సంభావ్యత \(\frac{1}{11}\) గా లేదు.
రెండు పాచికను దొర్లించినపుడు వచ్చు పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12 లు కాదు.
ఇవి ప్రాథమిక పర్యవసానాలైన (1, 1), (1, 2) ……….. (6, 6) లో కొన్ని ప్రత్యేక ఘటనల పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12.

ప్రశ్న 14.
ఒక రూపాయి నాణెమును 3 సార్లు ఎగురవేసి బొమ్మ, బొరుసులను పరిశీలించాలనుకొన్నారు. అవి మూడు బొమ్మలు లేక బొరుసులు అయితే హనీష్ గెలుస్తాడు. హనీష్ ఓడిపోవడానికి సంభావ్యత కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక నాణేన్ని n సార్లు ఎగురవేసిన వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2n.
ఒక నాణేన్ని 3 సార్లు పైకి ఎగురవేసిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 23 = 8.
అవి ఈ క్రింది విధంగా కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 9

∴ అన్నీ బొమ్మ మరియు అన్నీ బొరుసు కాని విభిన్న . పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 – 2 = 6
∴ హనీష్ ఓడిపోవటానికి గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 15.
ఒక పాచికను.రెండుసార్లు దొర్లించారు. కనీసం ఒక్కసారి
(i) 5 పాచికపై కనిపించడానికి
(ii) 5 పాచికపై కనిపించకపోవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
పాచికను 2 సార్లు దొర్లించిన లభించదగు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 62 = 36.
పాచికను రెండుసార్లు దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 10

(i) రెండు పాచికలపై ‘5’ కనీసం ఒక సంఖ్యగా వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 11
అవి. (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5,4), (5, 6) = 11
∴ P(E) = 5 పాచిక పై కనిపించడానికి సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{11}{36}\)

(ii) పాచికపై ‘5’ సంఖ్య కన్పించని (సందర్భాలు) అనుకూల పర్యవసానాలు
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4.1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6) = 25.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 11

(లేదా)
P(E) పాచికపై 5 కనిపించుటకు సంభావ్యత అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) పాచికపై 5 కనిపించకపోవుటకు సంభావ్యత అవుతుంది.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{11}{36}\) = \(\frac{25}{36}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రవచనాలను పూరించండి.
(i) ఘటన E యొక్క సంభావ్యత + ఘటన ‘E కాదు’ సంభావ్యత = …………..
సాధన. 1

(ii) ఎల్లప్పుడు సాధ్యపడని ఘటన యొక్క సంభావ్యత ……….. దానిని ………. ఘటన అంటారు.
సాధన.
సున్న, అసంభవ ఘటన

(iii) కచ్చితంగా సంభవించే ఘటన యొక్క సంభావ్యత …………. దానిని ……….. ఘటన అంటారు.
సాధన.
1, కచ్చిత లేదా దృఢ

(iv) ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల యొక్క సంభావ్యతల మొత్తము
సాధన.
1

(v) ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడు ……………… కన్నా ఎక్కువ లేక సమానము మరియు …………… కన్నా తక్కువ లేక సమానముగా ఉంటుంది.
సాధన.
0 మరియు 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రయోగాలలో దేని పర్యవసానములు సమ సంభవములు? వివరించండి.
(i) స్టార్టు చేయబోయిన కారు స్టార్టు అవుతుంది లేక కాదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత (\(\frac{1}{2}\)) కలదు.

(ii) ఒక ఆటగాడు బాస్కెట్ బాల్ ను కొట్టబోతే, అది తగులుతుంది లేక తగలదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత (\(\frac{1}{2}\)) కలదు.

(iii) తప్పు-ఒప్పు ప్రశ్నకు సమాధానము వ్రాసినప్పుడు అది సరికావచ్చు, కాకపోవచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు.

(iv) పుట్టబోయే శిశువు అబ్బాయి లేక అమ్మాయి కావచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన.
రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు. అది \(\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 3.
P(E) = 0.05 అయిన ‘E కాదు’ యొక్క సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చినది P(E) = 0.05; P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = ?
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
⇒ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) + 0.05 = 1
∴ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95

ప్రశ్న 4.
ఒక సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు ఉన్నాయి. మాలిని చూడకుండా సంచి నుండి ఒక చాకొలేట్ తీస్తే అది
(i) నారింజ వాసన గలది అవడానికి
(ii) నిమ్మ వాసనగలది అవడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
సాధన.
సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు కలవు.
(i) ఆ సంచి నుండి నారింజ వాసన గల చాక్లెట్లు అగుట అసంభం కనుక దాని సంభావ్యత ‘0’,
(ii) నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లను ఆ సంచి నుండి యాదృచ్ఛికంగా బయటకు తీయుట ఒక కచ్చిత ఘటన. ‘కావున దాని సంభావ్యత 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 5.
రహీమ్ ఒక పేకాట కార్డుల కట్టలోని అన్ని హృదయపు గుర్తు గల కార్డులను తొలగించాడు. ఇప్పుడు
సాధన.
పేక కట్టలోని మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
పేక కట్టలోని హృదయం ఆకారం గల కార్డుల సంఖ్య = 13
∴ హృదయం ఆకారం లేని కార్డుల సంఖ్య = 52 – 13 = 39.

(i) ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే అది ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత :
ఏస్ కార్డు అగుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 1

సాధ్యపడే అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 42 – 3 = 39
∴ సంభావ్యత = P(A)
= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 2

(ii) డైమండును ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
డైమండ్ ను ఎన్నుకునే సంభావ్యత :
డైమండ్ కార్డు అగుటకు కాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
∴ P(A) = \(\frac{13}{39}=\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

(iii) హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత :
హృదయం గల కార్డులను తొలగిస్తే మిగిలినవన్ని (39) హృదయం లేని కార్డులే అవుతాయి.
కావున హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను ఘటన ఖచ్చిత ఘటన. కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత 1. (లేదా)
హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
మొత్తం పర్యవసానాలు = 39
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాలు 39 / మొత్తం పర్యవసానాలు
= \(\frac{39}{39}\) = 1.

(iv) హృదయం గుర్తు గల ఏసను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు గల ఏస్ కార్డును ఎన్నుకొనడము అసంభవ ఘటన.
కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత = ‘0’.
ఎందుకనగా పేకాట కట్ట నుండి అన్ని హృదయపు గుర్తుగల కార్డులను తొలగించాము.
మొత్తం సాధ్యపడే పర్యవసానాల సంఖ్య = 13.
∴ P(E) = \(\frac{0}{13}\) = 0.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 6.
ముగ్గురు విద్యార్థులలో ఇద్దరి పుట్టినరోజులు సంవత్సరములో ఒకే రోజు రాని సంభావ్యత 0.992 అయిన ఒకే రోజు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
సంభావ్యత P(E) = 0.992 అనుకొనుము.
ఇద్దరు విద్యార్థుల పుట్టినరోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = E యొక్క పరస్పర ఘటన = P(E) అగును.
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
⇒ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.992 = 0.008
∴ ఆ ఇద్దరి విద్యార్థుల పుట్టిన రోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = 0.008.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడు పర్యవసానములతో క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనండి.
(i) ప్రధానసంఖ్య
(ii) 2,6ల మధ్య సంఖ్య
(iii) బేసిసంఖ్య
సాధన.
(i) ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
అందు ప్రధాన సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {2, 3, 5} = 3
∴ ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 మరియు 6ల మధ్య సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5} = 3
∴ 2 మరియు 6 ల మధ్య సంఖ్యలు లభించు సంభావ్యత
P(E) = ఆ అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) బేసి సంఖ్య లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5} = 3
∴ బేసి సంఖ్య అగుటకు సంభావ్యత P(E) = ఆనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 8.
ఒక పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు రంగు రాజును తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఎరుపు రాజు రాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 3 = 52.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52.
ఎరుపు రాజు కార్డు పొందుటకు ‘సంభావ్యత P (ఎరుపు రాజు) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 9.
పాచికలను, కార్డులను, పుట్టినరోజు సందర్భాలను ఉపయోగించుకొని ఐదు సమస్యలను తయారుచేసి వాటి సాధనలను గురించి మిత్రులతో, ఉపాధ్యాయునితో చర్చించండి.
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్ / తరగతిగది కృత్యం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఇది చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సందర్భాలకు పటాలను గీయండి. (పేజీ నెం. 297)
(i) ఒక వ్యక్తి ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో ఒక గాలిపటాన్ని ఎగురవేస్తున్నాడు. గాలిపటాన్ని ‘1’ పొడవు గల దారంతో ఎగురవేస్తున్నాడు. ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
(ii) ఒక నది యొక్క ఒక వైపు ఉన్న ‘h’ ఎత్తుగల చెట్టుపై నుండి నది యొక్క రెండు తీరాలను θ1 మరియు θ21 < θ2) నిమ్న కోణాలతో ఒక వ్యక్తి పరిశీలించాడు. నది వెడల్పు ‘d’ అయిన ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 6

పై పటంలో
A పరిశీలకుని స్థానము
B గాలిపటము యొక్క స్థానము
AB అనునది ‘l’ పొడవు గల దారము.

(ii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 7

పటంలో
‘D’ పరిశీలకుని స్థానము
CD చెట్టు యొక్క ఎత్తు
AB నది వెడల్పు
θ1 మరియు θ2 లు నిమ్న కోణాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
మీ పాఠశాల భవనం నుండి ‘d’ దూరంలో గల బిందువు నుండి భవనం పై భాగాన్ని ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో పరిశీలించారు. ఈ పాఠశాల భవనం ఎత్తును కనుగొనడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకొంటారు ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 8

పటమును అనుసరించి, ఆసన్న భుజము మరియు ఊర్థ్వకోణములను బట్టి tan α గాని cot α గాని ఎంచుకొంటాను.

ప్రశ్న 2.
‘x’ మీటర్ల పొడవు గల ఒక నిచ్చెన భూమితో ఆ కోణం చేస్తూ ఒక గోడకు వేయబడి ఉంది. నిచ్చెన పై భాగం స్పృశించిన గోడ స్థానం యొక్క ఎత్తును కనుక్కోవడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకోవాలి ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 9

∆ABC లో B కు ఎదుటి భుజమును కనుగొనాలి. ఊర్థ్వకోణము, కర్ణముల విలువలు మనకు తెలియును కావున sin θ గాని cosec θ గాని ఎంచుకొంటాను.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
పరిశీలకుని నుండి d మీటర్ల దూరంలో నున్న ఒక క్లాక్ టవర్ యొక్క పై కొన C° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
సమస్య ఆధారంగా ఈ క్రింది పటం గీయవచ్చు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 1

ప్రశ్న 2.
రింకి మొదటి అంతస్థులోని బాల్కనీ నుండి బయటి భూమిపై నున్న పూవును P° నిమ్నకోణంతో చూస్తుంది. మొదటి – అంతస్థు ఎత్తు X మీటర్లు. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ ∠DAC = ∠ACB = β

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 3.
ఒక పెద్ద త్రాడు సహాయంతో ఒక పెద్ద బెలూన్ గాలిలో తేలుతుంది. ఒక భవనంపై నున్న ఒక వ్యక్తి దాని పై భాగాన్ని θ1 ఊర్ధ్వకోణంతో మరియు త్రాడు అడుగు భాగాన్ని θ2 నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. ఆ భవనం ఎత్తు + అడుగులు. – ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ మనం గమనించగా,
∠BDA = ∠DAE

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 3

ప్రశ్న 4.
ఒక బాలుడు ఒక విద్యుత్ స్తంభం అడుగు భాగం నుండి 8 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి విద్యుత్ స్తంభం పై భాగాన్ని 60° ఊర్థ్వకోణాలతో పరిశీలించాడు. ఆ స్తంభం ఎత్తును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 4

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB నుండి
OB = 8 మీటర్లు ∠AOB = 60°
స్తంభం ఎత్తు = AB = h మీటర్లు అనుకొనగా, (∆DAB లో ∠AOB యొక్క ఆసన్న భుజం విలువ మనకు తెలుసు. మనం “ఎదుటి భుజం” విలువను కనుక్కోవాలి. కావున ఆసన్న భుజం మరియు ఎదుటి భుజాల నిష్పత్తి “tan” ను పరిగణించాలి). ”
tan 60° = \(\frac{A B}{O B}\)
√3 = \(\frac{h}{8}\) మీ.
∴ h = 8√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 5.
ఒక హెలికాప్టర్ లో ఉన్న రాజేందర్ భూమిపై ఉన్న ఒక వ్యక్తిని 45° నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. భూమిపై నుండి హెలీకాప్టర్ 50 మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే, రాజేందర్‌కు, ఆ వ్యక్తి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు ? (పేజీ నెం. 298)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 5

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB లో
OA = 50 మీటర్లు
∠POB = ∠OBA = 45°
OB = రాజేందర్ నుండి వ్యక్తి దూరం = x.
(త్రిభుజం OAB లో ∠OBA యొక్క 150 మీ. ఎదుటి భుజం కొలత మనకు తెలుసు. కర్ణం OB విలువ కనుక్కోవాలి. ఎదుటి భుజం కర్ణాల నిష్పత్తి “sin” కావున “sin” ను ఎంచుకొంటాం)
sin 45° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{x}\)
∴ x = 50√2 మీటర్లు
రాజేందర్ నుండి 50√2 మీటర్ల దూరంలో వ్యక్తి ఉన్నాడు.

ప్రశ్న 6.
30 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక గుడి పై భాగాన్ని, దాని ఇరువైపులా నున్న ఇద్దరు వ్యక్తులు 30° మరియ 60° ఊర్థ్వకోణాలలో పరిశీలించారు. ఆ ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటము నుండి దేవాలయం ఎత్తు BD = 30 మీటర్లు
మొదటి వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BAD = 30°
రెండవ వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BCD = 60°
మొదటి వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం AD = x,
రెండవ వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం CD = d అనుకొనగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 10

∆BAD నుండి

tan 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{x}\)
x = 30√3 ………….. (1)

∆BCD నుండి
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
√3 = \(\frac{30}{\mathrm{~d}}\)
d = \(\frac{30}{\sqrt{3}}\) …………… (2)

(1) మరియు (2) ల నుండి ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం = AD + DC = x + d
= 30√3 + \(\frac{30}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{90+30}{\sqrt{3}}=\frac{120}{\sqrt{3}}\)
= 40√3 మీటర్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 7.
ఒక టవర్ పాదం వరకు ఒక చక్కని (straight) రహదారి ఉంది. ఆ టవర్ పై నిలబడి ఉన్న రామయ్య అనే వ్యక్తి దూరం నుండి వస్తున్న కారును 30°ల నిమ్నకోణంలో చూశాడు. సమవేగంతో వస్తున్న ఆ కారును 6 సెకండ్ల తర్వాత 600 నిమ్నకోణంలో గమనించాడు. ఈ స్థానం నుండి కారు టవర్‌ను చేరడానికి పట్టు కాలం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటం నుండి,
6 సెకండ్లలో కారు ప్రయాణించిన దూరం = AB = x మీటర్లు
టవర్ ఎత్తు CD = h మీటర్లు
కారు ప్రయాణించాల్సిన మిగిలిన దూరం BC = d మీటర్లు
AC = AB + BC = (x + d) మీటర్లు
∠PDA = ∠DAC = 30°
∠PDB = ∠DBC = 60°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 11

∆BCD నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}\)
⇒ h = √3d ………. (1)

∆ACD నుండి,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{(x+d)}\)
⇒ h = \(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) …………… (2)
(1) మరియు (2)ల నుండి,
\(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) = √3d
x + d = 3d
x = 2d
⇒ d = \(\frac{x}{2}\)
‘x’ మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 6 సెకండ్లు
‘d’ = \(\frac{x}{2}\) మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 3 సెకండ్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
1.2 మీటర్ల ఎత్తు గల బాలిక ఆకాశంలో క్షితిజ సమాంతరంగా, 88.2 మీటర్ల ఎత్తుతోపాటు గాలిలో ప్రయాణిస్తున్న బెలూనును 60° ఊర్ధ్వకోణంలో గమనించింది. కొంతకాలం తర్వాత ఆ ఊర్థ్వకోణం 300 గా మారింది. ఈ మధ్యకాలంలో బెలూను ప్రయాణించిన దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 1

పటం నుండి,
AD = బాలిక ఎత్తు = 1.2 మీ.
FH = EB = 88.2 మీ. అనునది AB క్షితిజ సమాంతరం నుండి బెలూనుకు గల ఎత్తు D పరిశీలన బిందువు.
ఊర్వకోణములు ∠FDG = 60° మరియు ∠EDC = 30.
FG = EC = 88.2 – 1.2 = 87 మీ.
బెలూను ప్రయాణించిన దూరము, HB = y మీ. మరియు AH = x మీ.
∴ DG = x మీ. ‘ మరియు GC = y మీ. ,
∆FGD లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{DG}}\)
⇒ √3 = \(\frac{87}{x}\)
⇒ x = \(\frac{87}{\sqrt{3}}\) ……………… (1)
∆ECD లో,
tan 30° = \(\frac{E C}{D C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{D G+G C}\)
⇒ x + y = 87√3 …………… (2)
సమీకరణం (2) లో (1) ను ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{87}{\sqrt{3}}\) + y = 87√3
⇒ y = 87√3 – \(\frac{87}{\sqrt{3}}\)

⇒ y = 87(√3 – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))

⇒ y = \(87\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)\)

⇒ y = \(\frac{87 \times 2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

⇒ y = \(\frac{87 \times 2 \sqrt{3}}{3}\)
⇒ y = 29 × 2√3 = 58√3 మీ.
∴ బెలూను ప్రయాణించిన దూరం = 58√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
ఒక భవన పాదం నుండి ఎదురుగా నున్న టవరు పై భాగం 30° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. టవరు పాదం నుండి భవనం పై భాగం 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. వాటి ఎత్తులు ఏ నిష్పత్తిలో ఉంటాయి ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 2

పటం నుండి, CD = టవరు ఎత్తు,
AB = భవనం ఎత్తు
AC = భవనంకు, టవరుకు మధ్యన గల దూరము
ఊర్ధ్వకోణములు ∠ACB = 60° మరియు ∠DAC = 30° ,
∆ABC నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}\)
⇒ AB = √3x
∆ADC నుండి,
tan30° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{C D}{x}\)
⇒ CD = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) ……………… (2)
భవనం మరియు టవరుల యొక్క ఎత్తుల నిష్పత్తి .
AB : CD = √3x : \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) = 3 : 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
A, B మరియు C అను మూడు పడవలు ఒకే సరళరేఖలో ప్రయాణిస్తూ లైట్ హౌస్ వైపు వస్తున్నవి. ఆ పడవలలో నుండి లైట్ హౌస్ పై భాగాన్ని గమనించిన వరుసగా అవి a, 22 మరియు 3a ఊర్ద్వకోణాలను చేస్తున్నవి. A మరియు B పడవల మధ్య దూరం x అయిన ఆ లైట్ హౌస్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 3

పటం నుండి,
PQ = లైట్ హౌస్ యొక్క ఎత్తు = h మీ.
A = మొదటి పరిశీలన బిందువు
B = రెండవ పరిశీలన బిందువు
C = మూడవ పరిశీలన బిందువు
AB = x మరియు BC = y (దత్తాంశములో ఇవ్వలేదు)
బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము
∠PBQ = ∠BQA + ∠BAQ మరియు
∠PCQ = ∠CBQ + ∠CQB
∴ AB = x = QB.
sine నియమమును అనుసరించి,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 4

∆PBQ నుండి,
sin 2a = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\)
⇒ 2 sin a cos a = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
⇒ 4 sin2 a cos2 a = \(\frac{h^{2}}{x^{2}}\)
⇒ 4 . \(\frac{3 y-x}{4 y} \cdot \frac{x+y}{4 y}=\frac{h^{2}}{x^{2}}\)
⇒ h2 = \(\frac{x^{2}}{4 y^{2}}(3 y-x)(x+y)\)
∴ h = \(\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}\)
∴ లైట్ హౌస్ ఎత్తు = \(\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘ ఘనాకారంలో ఉన్న గూడు లోపలి భాగంలో పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1. ఆ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కజ్ఞ, దాని భూమితో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 5

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 6

గూడు (Cup board) యొక్క అంతర భాగము దీర్ఘ ఘనాకృతిలో కలదు. ‘
పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1
పటంలో, గూడు యొక్క పొడవు AB మరియు BC ఎత్తు అయిన AC అనునది దానిలో పట్టగల కర్ర
యొక్క గరిష్ఠ పొడవు అగును. కర్ర భూమితో చేయు కోణము ‘θ’ అనుకొనుము.
∆ABC లో,
tan θ = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ tan θ = \(\frac{1}{1}\)
⇒ tan θ = tan 45°
θ = 45°
∴ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కర్ర భూమితో చేయు కోణం 45°.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 5.
ఒక గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం 232848 సెం.మీ. దానిని కరిగించి 120° లు శీర్షకోణము చేయు శంఖువు ఆకారంలో పోతపోశారు. అయిన దాని భూవ్యాసార్ధం, ఎత్తులను కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 7

AC = ఏటవాలు ఎత్తు = l
AB = నిలువు ఎత్తు = h
BC = భూ వ్యాసార్థం = r
గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = 232848 cm3
లెక్క ప్రకారము గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఘనపరిమాణము
∴ \(\frac{1}{3}\) πr2h = 232848
∆ABC లో tan 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
√3 = \(\frac{r}{h}\)
⇒ r = √3h
\(\frac{1}{3}\)π(√3h)2 × h = 232848
\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × h2 × h = 232848
h3 = \(\frac{232848 \times 7}{22}\)
h3 = 10584 × 7 = 74088
h3 = 423
⇒ h = 42, కాని r = h√3
⇒ r = 42√3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఒక TVటవర్ ఒక రోడ్డు ప్రక్కన నిటారుగా నిలబెట్టబడి ఉంది. రోడ్డుకు అవతలి వైపు నుండి టవర్ పై కొనను పరిశీలించిన 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఇంకా టవర్ పాదం మరియు ఈ స్థానాన్ని కలిపే సరళరేఖపై 10 మీటర్ల దూరం జరిగిన పిదప టవర్ పై కొన 30° ఊర్థ్వకోణం చేస్తుంది. టవర్ ఎత్తును మరియు రోడ్డు వెడల్పును కనుగొనండి.
సాధన.
పటము నుండి,
AB = TV టవర్ యొక్క ఎత్తు = h మీ. అనుకొనుము.
BD = రోడ్డు వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 1

‘D’ మరియు ‘C’ లు పరిశీలన బిందువులు అనుకొనుము.
‘D’ వద్ద టవర్ చేయు ఊర్ధ్వకోణము 60°.
‘C’ మరియు ‘D’ ల మధ్యగల దూరము 10 మీ.
‘C’ వద్ద టవర్ చేయు ఊర్ల్వకోణము 30°.
BC = (x + 10) మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ADB లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
⇒ √3 = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}\)
⇒ AB = √3x
⇒ h = √3x. ………. (1)
∆ACB నుండి,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{B D+D C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{x+10}\)
⇒ AB = \(\frac{x+10}{\sqrt{3}}\) …………………(2)
AB = √3x ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ √3x = \(\frac{x+10}{\sqrt{3}}\)
⇒ (√3)2x = x + 10
⇒ 3x = x + 10
⇒ 3x – x = 10
⇒ 2x = 10
⇒ x= \(\frac{10}{2}\) = 5 మీ.
⇒ x= 5 మీ.ను సమీకరణము (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ AB = √3(5)
⇒ AB = 5√3
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 5√3 మీ. ,
రోడ్డు వెడల్పు = 5 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 2.
1.5 మీటర్ల ఎత్తుగల ఒక బాలుడు 30 మీటర్ల ఎత్తు గల గుడి పై కొనను కొంతదూరము నుండి పరిశీలిస్తున్నాడు. అతడు ఉన్న చోటు నుండి ముందుకు నడిచిన గుడి గోపురం కొన అతని కంటితో చేయు కోణం 300 నుండి 600లకు మారింది. అతడు నడిచిన దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 2

పటం నుండి, AB = గుడి యొక్క ఎత్తు = 30 మీ.
DC = AF = బాలుని ఎత్తు = 1.5 మీ.
‘D’ మొదటి పరిశీలన స్థానము.
‘E’ రెండవ పరిశీలన స్థానము.
DE = x మీ.
ఊర్ధ్వకోణములు ∠BDF = 30° మరియు ∠BEF = 60° అనుకొనుము.
DE = X మరియు EF = y అనుకొనుము.
BF = AB – AF
= 30 – 1.5 = 28.5 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజం ∆BDF లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{DF}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x+y}\)
⇒ x + y = 28.5√3 ………………(1)
లంబకోణ త్రిభుజం BEF లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EF}}\)
⇒ √3 = \(\frac{28.5}{y}\)
⇒ y = \(\frac{28.5}{\sqrt{3}}\)
⇒ \(\frac{28.5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
⇒ y = \(\frac{28.5 \sqrt{3}}{3}\)
⇒ y = 9.5√3
∴ x + 9.5√3 = 28.5√3
∴ x = 28.5√3 – 9.5√4
∴ x = 19√3
= 19 (1.732) = 32.908 మీ.
∴ బాలుడు నడచిన దూరము = 32.908 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 3.
ఒక విగ్రహం 2 మీటర్ల ఎత్తుగల పీఠంపై నిలబెట్టబడి ఉంది. దానిని కొంత దూరం నుండి పరిశీలించిన విగ్రహం పై భాగం 60° మరియు పీఠంపై భాగం 45° ఊర్ధ్వకోణాలు చేస్తున్నాయి. విగ్రహం ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 3

పటము నుండి,
BC = పీఠం ఎత్తు = 2 మీ.
CD = విగ్రహం ఎత్తు = h మీ.
‘A’ పరిశీలన బిందువు.
AB = పీఠంకు, పరిశీలన బిందువుకు మధ్యన గల దూరము = x మీ:
ఊర్ధ్వకోణములు ∠DAB = 60° మరియు ∠CAB = 45.
లంబకోణ త్రిభుజము ∆BAD లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)

⇒ √3 = \(\frac{C D+C B}{x}\)

⇒ √3 = \(\frac{h+2}{\mathbf{x}}\)

⇒ x = \(\frac{h+2}{\sqrt{3}}\) ………………..(1)
లంబకోణ త్రిభుజము CAB లో
tan 45° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ 1 = \(\frac{2}{x}\)
⇒ x = 2
x = 2 ను సమీకరణము (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ 2 = \(\frac{h+2}{\sqrt{3}}\)
⇒ 2√3 = h + 2
⇒ h = 2√3 – 2
⇒ h = 2(√3 – 1)
⇒ h = 2(1.732 – 1)
⇒ h = 2(0.732)
⇒ h = 1.464 మీ.
∴ విగ్రహం ఎత్తు = 1.464 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 4.
ఒక భవనం పై నుండి ఒక సెల్ టవర్’ పై భాగాన్ని పరిశీలించిన 60° ఊర్ధ్వకోణం, దాని పాదము 450 నిమ్నకోణం చేస్తుంది. భవనం నుండి టవరకు గల మధ్యదూరం 7 మీటర్లు అయిన టవర్ ఎత్తును కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 4

పటం నుండి,
AB = సెల్ టవర్ ఎత్తు
CD = AE = భవనం ఎత్తు భవనం నుండి టవరకు గల మధ్య దూరం = 7 మీ.
ఊర్థ్వకోణములు ∠BDE = 60° మరియు ∠EDA = ∠DAC= 45°
DE = AC = 7 మీ.
∆BDE నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{DE}}\)
⇒ √3 = \(\frac{\mathrm{BE}}{7}\)
⇒ BE = 7√3 ……………. (1)
లంబకోణ త్రిభుజం ADC నుండి,
tan 45° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{CD}}{7}\)
⇒ CD = 7 ……………… (2)
(1), (2) ల నుండి, టవర్ ఎత్తు = AB = AE + BE
= 7 + 7√3 = 7(1 + √3)
= 7(1 + 1.732) = 7(2.732) = 19.124 మీ.
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 19.124 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 5.
భూమితో 300ల ఊర్థ్వకోణం చేస్తూ 18 మీటర్ల పొడవున్న ఒక ధృడమైన లోహపు తీగ ఆధారంగా ఒక . విద్యుత్ స్థంభం నిలబెట్టబడి ఉంది. తీగపొడవు చాలా ఎక్కువ ఉన్న కారణంగా తీగలో కొంత భాగం కత్తిరించి, మిగిలిన దానిని భూమితో 60° కోణం చేస్తూ అమర్చబడింది. తీగలో కత్తిరించగా మిగిలిన తీగపొడవు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 5

పటంలో,
AB = విద్యుత్తు స్థంభం ఎత్తు = h మీ.
BC = లోహపు తీగ అసలు పొడవు = 18 మీ.
X మరియు Yలు మొదటి మరియు రెండవ పరిశీలన స్థానములు.
AX = a + b మరియు AY = b అనుకొనుము.
ఊర్ధ్వకోణములు ∠BXA = 30° మరియు ∠BYA = 60°.
∆BAX నుండి,
sin 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{h}{18}\)
⇒ h = \(\frac{18}{2}\) = 9

∆ABY నుండి,
tan60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BY}}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{b}\)
⇒ b = \(\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{3}}\)
⇒ b = \(\frac{9}{\sqrt{3}}\) (1) నుండి)

∆ABY నుండి,
cos60° = \(\frac{A Y}{B Y}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{b}{B Y}\)
⇒ BY = \(\frac{9}{\sqrt{3}} \times 2=\frac{18}{\sqrt{3}}\)
⇒ BY = \(\frac{18}{\sqrt{3}}\)
BY = 10.39261
∴ తీగను కత్తిరించగా మిగిలిన తీగపొడవు = BC – BY = 18 – 10.39261 = 7.608 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 6.
ఒక టవర్ అడుగుభాగం నుండి భవనం పై భాగం 30° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. భవనం అడుగుభాగం నుండి టవర్ పై భాగం 60° ఊర్థ్వకోణం చేస్తుంది. టవర్ ఎత్తు 30 మీటర్లు అయిన, భవనం ఎత్తు కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 6

పటం నుండి,
BC = టవర్ యొక్క ఎత్తు = 30 మీ.
AD = భవనం ఎత్తు = 7 మీ.
టవర్ అడుగు భాగం నుండి భవనం పై భాగం చేయు ఊర్థ్వకోణం = ∠BAC = 60°
భవనం అడుగుభాగం నుండి టవర్ పై భాగం చేయు ఊర్ధ్వకోణము = ∠ABD = 30°
భవనంకు, టవరకు మధ్యన గల దూరము = AB = x మీ.
∆ABD లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x}\)
h = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) ………… (1)

∆BAC నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ √3 = \(\frac{30}{x}\)
⇒ x = \(\frac{30}{\sqrt{3}}\)
సమీకరణం (1) లో x విలువను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ h = \(\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{3}\) = 10 మీ.
∴ భవనం ఎత్తు h = 10 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 7.
120 అడుగుల వెడల్పైన రోడ్డుకు ఇరువైపుల సమాన ఎత్తు కలిగిన రెండు స్తంభాలు నిలబెట్టబడి ఉన్నాయి. వాటి మధ్యలో ఉన్న రోడ్డుపై ఒక బిందువు నుండి వాటి పై భాగాలను పరిశీలించిన అవి 60° మరియు 30° ఊర్థ్వకోణాలు చేస్తున్నాయి. అయిన ఆ స్థంభాల ఎత్తు కనుగొనుము మరియు ప్రతి స్తంభము అడుగుభాగం నుండి బిందువుకు గల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 7

పటం నుండి,
AB = రోడ్డు వెడల్పు = 120 అడుగులు.
AE = BD = సమాన ఎత్తులు గల రెండు స్థంభాలు = 4 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు.
ఊర్థ్వకోణములు ∠BCD = 60° మరియు ∠ACE = 30°
BC = x అయిన AC = AB – BC = (120 – X) మీ.
∆ACE లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{120-x}\)
⇒ h√3 = 120 – x
⇒ h√3 + x = 120 ………………….(1)
∆BCD లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\)
⇒ h = √3x …………….. (2)
h = √3x ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ (√3x) √3 + x = 120
⇒ 3x + x = 120
⇒ 4x = 120
⇒ x = \(\frac{120}{4}\) = 30 అడుగులు
మొదటి స్థంభం నుండి పరిశీలన బిందువుకు గల దూరం. (x) = 30 మీ.
⇒ x = 30 ను సమీకరణం (2) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ h = 30√3 = 30 (1.732) = 51.96
∴ h = 51.96 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 8.
టవర్ తో ఒకే సరళరేఖపై ఉండే 4 మీటర్లు మరియు 9 మీటర్ల దూరంలో నున్న రెండు బిందువుల నుండి టవర్ కొనను పరిశీలించిన చేసే ఊర్ద్వకోణాలు పూరకాలు. టవర్ ఎత్తును కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 8

పటం నుండి,
AB = టవర్ యొక్క ఎత్తు = h మీ.
‘C’ మరియు ‘D’ లు భూమిపై రెండు పరిశీలన బిందువులు.
AC = 4 మీ. = మొదటి పరిశీలన స్థానం నుండి టవరకు గల దూరము.
AD = 9 మీ. = రెండవ పరిశీలన స్థానం నుండి టవరకు గల దూరము.
ఊర్థ్వకోణాలు ∠ACB = θ మరియు ∠ADB = 90° – θ అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో,
tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)

tan θ = \(\frac{h}{4}\) ……….. (1)
∆ABD నుండి,
tan (90 – θ) = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}\)

⇒ cot θ = \(\frac{\mathrm{h}}{9}\)

⇒ \(\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{9}\)

⇒ tan θ = \(\frac{9}{h}\) ………………………… (2)
(1), (2) ల నుండి,
\(\frac{h}{4}=\frac{9}{h}\)
⇒ h2 = 36 (అడ్డ గుణకారము చేయగా)
⇒ h = √36 = 6 మీ.
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 6 మీ.

ప్రశ్న 9.
భూమిపై నున్న A బిందువు నుండి ఒక జెట్ విమానాన్ని పరిశీలిస్తే 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. 15 సెకన్ల తర్వాత దాని ఊర్థ్వకోణం 309గా మారుతుంది. ఆ జెట్ విమానం 1500√3 మీటర్ల స్థిర ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే దాని వేగాన్ని కనుక్కోండి. (√3 = 1.732)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 9

పటం నుండి,
P మరియు Qలు విమానం యొక్క రెండు స్థానములు.
‘A’ పరిశీలన బిందువు.
ABC అనునది ‘A’ గుండా పోవు ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖ.
‘A’ నుండి P మరియు Q ల యొక్క ఊర్థ్వకోణాలు వరుసగా 60° మరియు 30°.
∴ ∠PAB = 60°, ∠QAC = 30°.
జెట్ విమానపు స్థిర ఎత్తు = 1500√3 మీటర్లు.
∆ABP లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AB}}\)

⇒ √3 = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{\mathrm{AB}}\)

⇒ AB = \(\frac{1500 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= 1500 మీ.
∆ACQ లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500 \sqrt{3}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ AC = 1500 √3 × √3
⇒ AC = 1500 × 3 = 4500మీ.
పటం నుండి, PQ = BC = AC – AB
= 4500 – 1500 = 3000 మీటర్లు
ఆ విమానం 15 సెకన్లలో 3000 మీటర్లు ప్రయాణించినది.
∴ విమానపు వేగము = \(\frac{3000}{15}\) = 200 మీ/సె.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
భూమిపై ఒక టవర్ నిటారుగా నిలిచి ఉంది. ఆ టవర్ అడుగు నుండి 15 మీటర్ల దూరం నుండి ఆ టవర్ పై కొన 45° ఊర్ధ్వకోణంలో పరిశీలించబడింది. ఆ టవర్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 1

పటంలో ‘A’ పరిశీలన బిందువు.
AB అనునది పరిశీలన బిందువు నుండి టవర్ యొక్క అడుగుకు గల దూరము = 15 మీ.
BC అనునది టవర్ ఎత్తు ‘h’ అనుకొనుము.
ఊర్థ్వకోణము = ∠CAB = 45°
∆ABC లో
tan 45° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{15}\)
⇒ h = 15 మీ.
టవర్ ఎత్తు (h) = 15 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 2.
ఒక చెట్టు గాలికి విరిగి, విరిగిన పై భాగం భూమికి 300 ల కోణం చేస్తూ భూమిపై పడింది. చెట్టు అడుగుభాగం నుండి, కిందపడిన చెట్టుకొన మధ్య దూరం 6 మీటర్లు. చెట్టు విరగక ముందు ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 2

పటంలో, AC = చెట్టు అసలు ఎత్తు.
గాలి వీయడం వలన చెట్టు “B” వద్ద విరిగి, విరిగిన భాగము 30° కోణంతో D ను తాకెను.
AD = 6 మీ.
∆BAD లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{6}\)
⇒ AB = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) మీ.
∆BAD లో, cos 30° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{B D}\)
⇒ BD = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\)
∴ AC = AB + BC = AB + BD (::: BC = BD)
= \(\frac{6}{\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 6√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 3.
ఒక పా లో పిల్లలు ఆడుకోవడానికి ఒక కాంట్రాక్టర్ ఒక జారుడు బల్లను ఏర్పాటు చేయాలనుకున్నారు. దానిని 2 మీటర్ల ఎత్తుతో, భూమితో 300 ల కోణం చేసేటట్లు ఏర్పరచాలనుకుంటే ఆ జారుడు బల్ల పొడవు ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 3

పటంలో, ‘A’ భూమిపై పరిశీలన బిందువు అనుకొనుము.
‘C’ బల్లను ఏర్పాటు చేయు స్థానము.
A జారుడు బల్ల ఎత్తు = 2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము = 30°
∆ABC లో sin 30° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{2}{h}\)
h = 4 మీ.
∴ జారుడు బల్ల పొడవు = 4 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 4.
ఉదయం 7 గంటలకు 15 మీటర్ల ఎత్తు గల స్థంభం యొక్క నీడ పొడవు 5√3 మీటర్లు. ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు, భూమితో ఎంత కోణం చేస్తున్నాయి?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 4

పటంలో, AB = స్థంభం అసలు ఎత్తు = 15 మీ.
BC = స్థంభం యొక్క నీడ పొ .కవు = 5/3 మీ.,
‘B’ అనునది ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు,
భూమితో చేయు కోణం అనుకొనుము. లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC నుండి,
tan θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ tane = \(\frac{15}{5 \sqrt{3}}\)
⇒ tane = \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{3 \sqrt{3}}{3}\) = √3
⇒ tan θ = √3
⇒ tan θ = tan 60°
⇒ θ = 60°
∴ ఆ సమయంలో సూర్య కిరణాలు, భూమితో చేయు కోణము 60°.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 5.
పవన్ 10 మీటర్ల ఎత్తు గల స్తంభాన్ని 3 బలమైన తాళ్ళ సహాయంతో నిలబెట్టాలనుకున్నాడు. ఒక్కొక్క త్రాడు స్తంభంతో 30° కోణం చేయాల్సి ఉంటే ఎంత పొడవు తాడు తీసుకోవాలి ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 5

పటంలో, AB = స్తంభము యొక్క ఎత్తు = 10 మీ.
AC = త్రాడు యొక్క పొడవు.
త్రాడు, స్తంభంతో చేయు కోణము = 30°
∆ABC లో, cos 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{\mathrm{AC}}\)

⇒ AC = \(\frac{2 \times 10}{\sqrt{3}}\)

= \(\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20 \sqrt{3}}{3}\)
కావలసిన తాడు పొడవు = 3 × \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) = 20√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 6.
విజయ్ భూమి నుండి 6 మీటర్ల ఎత్తు గల భవనంపై నుండి భూమిపై నున్న ఒక లక్ష్యాన్ని 60° నిమ్న కోణంలో బాణంతో ఛేదించాలనుకున్నాడు. విజయ్ నుండి లక్ష్యం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 6

పటంలో, BC = భవనం ఎత్తు = 6 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు మరియు A భూమిపై గల లక్ష్యం యొక్క స్థానము.
నిమ్నకోణము = ∠CAB = 60°
AB = భూమిపై గల లక్ష్యంకు, భవనంకు మధ్య గల దూరము.
∆ABC లో,
sin 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{A C}\)

⇒ AC = \(\frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{12 \sqrt{3}}{3}\) = 4√3 మీ. –
∴ విజయ్ నుండి లక్ష్యంకు గల దూరము AC = 4√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 7.
9 మీటర్ల ఎత్తు గల విద్యుత్ స్తంభంపై ఒక ఎలక్టీషియన్ మరమ్మత్తు పనిచేయాల్సి ఉంది. మరమ్మత్తు చేయడానికి ఆ స్తంభం పై నుండి 1.8 మీటర్ల తక్కువ ఎత్తుకు చేరాలి. ఒక నిచ్చెనను భూమిపై 60° కోణంతో పెట్టాల్సి వస్తే ఎంత పొడవు గల నిచ్చెనను తీసుకోవాలి ? నిచ్చెన అడుగుభాగం నుండి స్తంభం అడుగుభాగం దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 7

పటంలో, AB = విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తు = 9 మీ.
AC = కావలసిన అసలు స్తంభం ఎత్తు = 7.2 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠CDA = 60°
CD = నిచ్చెన పొడవు
AD = నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము.
sin 60° = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7.2}{\mathrm{DC}}\)
∴ DC = 7.2 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∆ADC లో,
= 7.2 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= 7.2 × \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
నిచ్చెన పొడవు DC = 8.3136 మీ.
∆ADC లో,
⇒ tan 60° = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{7.2}{D C}\)
⇒ AD = \(\frac{7.2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 2.4√3
= 4.1568 మీ.
∴ నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము = 4.1568 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 8.
ఒక నావ ఒక నదిని దాటాల్సి ఉంది. నదీ ప్రవాహం కారణంగా ఆ నదీ తీరంతో 60°ల కోణం చేస్తున్న ఆ నావ 600 మీటర్లు ప్రయాణించి అవతలి తీరాన్ని చేరింది. ఆ నది వెడల్సెంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 8

పటంలో, ‘A’ నావ వేరొక వైపుకు చేరవలసిన స్థానము.
‘C’ ప్రస్తుతము నావ ఉన్న స్థానము (లేక) పరిశీలన స్థానము.
AC = నావ ప్రయాణించిన దూరము = 600 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠ACB = 60°
AB = నది అసలు వెడల్పు అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో sin 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{AB}}{600}\)
⇒ AB = 600 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ AB = 300√3 మీ.
∴ నది వెడల్పు = 300√3 మీ.

ప్రశ్న 9.
1.8 మీ. ఎత్తు ఉన్న ఒక పరిశీలకుడు ఒక తాటి చెట్టు నుండి 13.2 మీటర్ల దూరంలో ఉన్నాడు. ఆ చెట్టుపై పరిశీలకుడి కంటి నుండి 45° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 9

పటంలో, DE = పరిశీలకుని ఎత్తు = 1.8 మీ.
AC = తాటి చెట్టు ఎత్తు.
‘D’ = పరిశీలన బిందువు.
BD = తాటి చెట్టు నుండి పరిశీలకునికి మధ్యన గల దూరము = 13.2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము ∠ADB = 45° అనుకొనుము. మరియు DE = BC = 1.8 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ABD లో,
tan 45° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{AB}}{13.2}\)
⇒ AB = 13.2 మీ.
AC = AB + BC = 13.2 + 1.8 = 15.0 మీ.
∴ తాటి చెట్టు ఎత్తు (AC) = 15 మీ.

ప్రశ్న 10.
క్రిందనున్న పటంలో AC = 6 సెం.మీ. AB = 5 సెం.మీ. మరియు BAC = 300 అయిన త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 10

ఇచ్చిన పటంలో BD ⊥ AC అవునట్లు BD ని గీద్దాము.
∆ADB లో ∠A = 30°
∴ sin 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{B D}{5}\)
2BD = 5
⇒ BD = \(\frac{5}{2}\)
ABC త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\) bh = \(\frac{1}{2}\) AC × BD
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{15}{2}\) చు/సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఇవి చేయండి:

క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ఇచ్చిన కోణాల ఆధారంగా “కర్ణం”, “ఎదుటి భుజము” మరియు “ఆసన్న భుజము” లను గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం. 271)

ప్రశ్న 1.
కోణం R పరంగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 4

సాధన.
కోణం R పరంగా .
∆PQR లో PQ = ఎదుటి భుజము
QR = ఆసన్న భుజము మరియు
PR= కర్ణము

ప్రశ్న 2.
(i) కోణం X పరంగా
(ii) కోణం Y పరంగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 5

సాధన.
(i) ∆XYZ లో,
కోణం X పరంగా ఎదుటి భుజము = YZ
ఆసన్న భుజము = XZ మరియు
కర్ణము = XY

(ii) ∆XYZ లో, కోణం Y పరంగా
ఎదుటి భుజము = XZ
ఆసన్న భుజము = YZ మరియు
కర్ణము = XY.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 3.
పక్కనున్న లంబకోణ త్రికోణంలో (పేజీ నెం. 274)
(i) sin C
(ii) cos C మరియు
(iii) tan C లను కనుగొనుము

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 6

సాధన.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి
AC2 = AB2 + BC2
132 = AB2 + 52
AB2 = 169 – 25
AB2 = 144
AB = √144 = 12 సెం.మీ.

(i) sin C = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 7

(ii) cos C = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 8

(iii) tan C = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 9

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజము XYZలో, 4 Y లంబకోణము మరియు XZ = 17 సెం.మీ., YZ = 15 సెం.మీ. (పేజీ నెం. 274)
(i) sin x
(ii) cos Z
(iii) tan X లను కనుగొనుము.
సాధన.
∆XYZలో, ∠Y లంబకోణము మరియు XZ = 17 సెం.మీ., YZ = 15 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 10

XZ2 = YZ2 + XY2
172 = 152 + XY2
XY2 = 172 – 152
XY2 = = 289 – 225
XY2 = 64
XY = 164 = 8 సెం.మీ.

(i) sin X = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 11
= \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}=\frac{15}{17}\)

(ii) cos Z = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 12
= \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}=\frac{15}{17}\)

(iii) tan X = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 13
= \(\frac{Y Z}{X Y}=\frac{15}{8}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజం PQR లో Q లంబకోణము మరియు ∠P విలువ X మరియు PQ = 7 సెం.మీ. మరియు QR = 24 సెం.మీ. అయిన sin x మరియు cos x ల విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
ఇచ్చిన లంబకోణ త్రిభుజము PQRలో Qలంబకోణము మరియు ∠P విలువ X మరియు PQ = 7 సెం.మీ. మరియు QR = 24 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 14

PR2 = PQ2 + QR2
= 72 + 242
PR2 = 49 + 576
PR2 = 625
PR = √625 = 25 సెం.మీ.
sin x = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{24}{25}\)
cos x = \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{7}{25}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజంలో ఇచ్చిన కోణాల పరంగా “కర్ణం”, “ఎదుటి భుజం” మరియు “ఆసన్న భుజం” లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 271)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 15

1. కోణం C పరంగా
2. కోణం A పరంగా మీరేం గమనించారు ?
కోణం A యొక్క ఎదుటి భుజము మరియు కోణం C యొక్క ఆసన్న భుజానికి ఏమైనా సంబంధం ఉందా ? ఇంకా, ఒక బలమైన లోహపు వైర్ ఆధారంగా ఒక స్థంభాన్ని నిలబెడుతున్నామను కుందాం. స్థంభం ఎత్తు మరియు వైర్ పొడవుకు ఏదైనా సంబంధం ఉందనుకుంటున్నారా? ఇక్కడ మనం త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్యన సంబంధాన్ని వాటి కోణాల ఆధారంగా అవగాహన చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
సాధన.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి
AC2 = AB2 + BC2
(5)2 = AB2 + 42
25 = AB2 + 16
AB2 = 25 – 16
AB2 = 9
AB = √9 = ± 3 = 3
∆ABC నుండి, కోణం ‘C’ పరంగా
ఎదుటి భుజము = AB = 3 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = BC = 4 సెం.మీ.
కర్ణము = AC = 5 సెం.మీ.
∆ABC నుండి, కోణం ‘A’ పరంగా
ఎదుటి భుజము = BC = 4 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = AB = 3 సెం.మీ.
కర్ణము = AC = 5 సెం.మీ.,
మనం తీసుకున్న కోణాన్ని బట్టి ఎదుటి భుజం, ఆసన్న భుజం మారుతూ ఉంటాయి. కానీ కర్ణం మాత్రం మారదు. ఒక బలమైన లోహపు వైర్ ఆధారంగా ఒక స్థంభాన్ని నిలబెడితే ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి మనకు కావలసింది కనుక్కోవచ్చు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 2.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో C లంబకోణం. BC + CA = 23 సెం.మీ. మరియు BC – CA = 7 సెం.మీ. అయిన sin A మరియు tan B లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో, ‘C’ వద్ద లంబకోణం కలదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 16

BC = 15 సెం.మీ.
BC = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
BC + CA = 23
CA = 23 – BC = 23 – 15
CA = 8 సెం.మీ
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము ∆ABCలో

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 17

AB2 = AC2 + BC2
= 82 + 152
= 64 + 225 = 289
AB = √289 = 17 సెం.మీ.
sin A = \(\frac{B C}{A B}=\frac{15}{17}\)
tan B = \(\frac{A C}{B C}=\frac{8}{15}\)

ప్రశ్న 3.
sec A మరియు cot A ల భుజాల నిష్పత్తులు . ఏమౌతాయి ? (పేజీ నెం. 275)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 18

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) ఏదో ఒక విలువ Xకు sinx= 4 సాధ్యమా? ఎందుకు?
(ii) sin A మరియు cos Aల విలువలు ఎల్లప్పుడు 1 కంటే తక్కువగా ఉంటాయి. ఎందుకు ?
(iii) tan A అంటే tan మరియు A ల లబ్దము. పై ప్రశ్నలను మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
(i) ఏదో ఒక విలువ x కు sin x = \(\frac{4}{3}\) కాదు (అసాధ్యము).
sin x = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 19
ఇక్కడ కర్ణము కన్నా ఎదుటి భుజం పెద్దదిగా కలదు. ఇది లంబకోణ త్రిభుజంలో మిక్కిలి పెద్ద భుజం కర్ణము అనడానికి విరుద్దత. కావున
sin x = \(\frac{4}{3}\) కావడం అసాధ్యము.

(లేదా)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 20

పై త్రిభుజంలో, XZ > YZ మరియు XZ > XY.
sin x = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 21
[:: XZ > YZ, లవంకన్నా హారం పెద్దది. కావున \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}\) ఒక క్రమభిన్నము. దీని విలువ ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ]
కాని లెక్క ప్రకారం sin x = \(\frac{4}{3}\) విలువ 1 కన్నా ఎక్కువ కావున ఇది అసాధ్యము.

(ii) sin A = ∠Aకు ఎదుటి భుజం / కర్ణము

cos A = ∠Aకు ఆసన్న భుజం / కర్ణము
లంబకోణ త్రిభుజంలో ఎదుటి భుజం, మరియు ఆసన్న భుజములు ఎల్లప్పుడు కర్ణం కన్నా చిన్నవి.
కాబట్టి sin A, cos A లు ఎల్లప్పుడు 1 కంటే . తక్కువగా ఉంటాయి.

(iii) tan A అనగా A కోణమునకు ఎదురుగా గల భుజం మరియు ఆసన్న భుజముల నిష్పత్తి అని అర్థం. అంతేకాని tan మరియు A ల లబ్దము కాదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\sin A}{\cos A}\) ఈ విలువ tan A అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 275)
పాదన.
\(\frac{\sin A}{\cos A}\) = tan A అగును.
నిరూపణ :

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 22

ప్రశ్న 3.
\(\frac{\cos A}{\sin A}\) ఈ విలువ cot A అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 275)
సాధన.
\(\frac{\cos A}{\sin A}\) = cot A అగును.
నిరూపణ :
cos A = ∠A కు ఆసన్న భుజము / కర్ణము
sin A = ∠A కు ఎదుటి భుజము / కర్ణము
cos A _ LAకు ఆసన్న భుజము / కర్ణము sin A – LA కు ఎదుటి భుజము / కర్ణము

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 23

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
cosec 60°, sec 30° మరియు cot 60°ల , విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 279)
సాధన.
క్రింది పటం నుండి
ABDలో AB = 2a మరియు – BD = a యూనిట్లు
అప్పుడు AD2 = AB2 – BD2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (2a)2 – (a)2.
AD2 = 3a2
AD = √3a2 = √3a

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 27

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల నిర్వచనాల ఆధారంగా
sin 60° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{3}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{1}{2}\)
ఇదే విధంగా
tan 60° = \(\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3} / 2}{1 / 2}\) = √3

cosec 60° = \(\frac{-1}{\sin 60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

sec 60° = \(\frac{1}{\cos 60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}\) = 2

cot 60° = \(\frac{1}{\tan 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
sin 30°, cos 30°, tan 30°, cosec 309, sec 30° మరియు cot 30° విలువలను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 279)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 28

ఒక సమబాహు త్రిభుజం ABC ని తీసుకోండి. ఇందులో ప్రతి కోణం 60° ఉంటుంది.
కావున ∠A = ∠B = ∠C = 60° మరియు AB = BC = CA = 2a యూనిట్లు అనుకోండి.
శీర్షం ‘A’ నుండి. భుజం BC పైకి ఒక లంబం AD ను పై పటంలో చూపినట్లుగా గీయండి.
ఈ లంబం AD, కోణం A యొక్క “కోణ సమద్వి ఖండన రేఖ” గా మరియు భుజం BC యొక్క “సమద్వి ఖండన రేఖ”గా కూడా పనిచేస్తుంది.
∴ ∠BAD = ∠CAD = 30°.
BC ను D బిందువు రెండు సమాన భాగాలుగా చేస్తుంది. కావున BD = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{2 \mathrm{a}}{2}\) = a యూనిట్లు.

లంబకోణ త్రిభుజం ABD లో

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 29

AB = 2a మరియు BD = a యూనిట్లు .అప్పుడు AD2 = AB2 – BD2
(పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (2a)2 – a2 = 3a2
AD2 = 3a2
∴ AD = a√3
∆ADB లో BD = a, AD = √3a మరియు కర్ణము = AB = 2a మరియు ∠DAB = 30°.
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల నిర్వచనాల ప్రకారం
sin 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{1}{2}\)

cos 30° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{3} \mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

tan 30° = \(\frac{B D}{A D}=\frac{a}{\sqrt{3} a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

cosec 30° = \(\frac{1}{\sin 30^{\circ}}\) = 2

sec 30° = \(\frac{1}{\cos 30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

cot 30° = \(\frac{1}{\tan 30^{\circ}}\) = √3

ప్రశ్న 2.
tan 90°, cosec 90°, sec 90° మరియు cot 90° విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 281)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 30

AB కిరణంపై AC చేసే AD కోణాన్ని పెంచుతూ పోతే, AB పై ‘C’ ఎత్తు పెరుగుతూ, బిందువు ‘B’ నుండి X కు ఆ తర్వాత Yకు మారుతూ పోతుంది.
A పెరుగుతూ పోతుంటే. ఎదుటి భుజం పెరుగుతూ, ఆసన్న భుజం తగ్గుతూ వుంటుంది. ఒక సమయానికి కోణం విలువ 90°లకు చేరుతుంది.
ఆ సందర్భంలో A, B ను చేరుతుంది. AC, BC తో కలిసిపోతుంది. .అనగా కోణం విలువ 90° అయినపుడు భూమి (ఆసన్న భుజం) విలువ సున్నా అయి, BC (ఎదుటి భుజం) విలువ క్రమంగా పెరుగుతూ. AC కు సమానమవుతుంది. అనగా ‘r’కు సమానమవుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 31

∆ ABC లో
sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\) మరియు cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
కోణం A = 90° అయిన AB = 0 మరియు AC = BC = r; అపుడు sin 90° = \(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{r}}\) = 1 మరియు cos 90° = \(\frac{0}{\mathrm{r}}\) = 0

tan 90° = \(\frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}}=\frac{1}{0}\) నిర్వచించబడదు.

cosec 90° = \(\frac{1}{\sin 90^{\circ}}=\frac{1}{1}\) = 1

sec 90° = \(\frac{1}{\cos 90^{\circ}}=\frac{1}{0}\) = నిర్వచించబడదు.

cot 90° = \(\frac{1}{\tan 90^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{0}}=1 \times \frac{0}{1}\) = 0.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిని మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. cosec 0° = \(\frac{1}{\sin 0^{\circ}}\) ఇది నిర్వచింపబడుతుందా? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 280)
సాధన.
sin 0° = 0
cosec 0° = \(\frac{1}{\sin 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) = నిర్వచింపబడదు
కారణము :
‘0’ తో భాగహారము సాధ్యపడదు కనుక.

ప్రశ్న 2.
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}\)నిర్వచింపబడుతుందా? ఎందుకు? (పేజీ నెం. 281)
సాధన.
tan 0° విలువ ‘0’ కావున
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) (నిర్వచింపబడదు) ‘
కారణము : ‘0’ తో భాగహారము సాధ్యపడదు కాబట్టి,

ప్రశ్న 3.
sec 0° = 1. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 281)
సాధన.
దత్తాంశము నుండి sec 0° = \(\frac{1}{\cos 0^{\circ}}\)
[:: cos 0° = 1]
= \(\frac{1}{1}\) = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 4.
కోణం A విలువ 0° నుండి 90° కు పెరుగుతూ పోతుంటే sin A మరియు cos A విలువలు ఎలా మారుతూ ఉంటాయి ? (పై పట్టికను గమనించండి)
(i) A ≥ B అయిన sin A ≥ sin B అనడం సబబేనా ?
(ii) A ≥ Bఅయిన cos A ≥ cos B అనడం సబబేనా? చర్చించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
(i) ఇచ్చిన ప్రవచనము .
“A ≥ B అయిన sin A ≥ sin B”. ఈ ప్రవచనము సత్యమే అనుటను క్రింది పట్టిక తెల్పుచున్నది. ‘A’ కోణము విలువ పెరిగే కొలదీ దాని sine విలువ పెరుగుచుండును.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 32

దీనిని క్రింది పట్టికలో గమనించవచ్చును. A | 0 | 30 | 450 | 60° | 90° |

(ii) ఇచ్చిన ప్రవచనము
“A ≥ B అయిన. cos A ≥ cos B”. ఈ ప్రవచనము అసత్యము. ఎందుకనగా ‘A’ కోణము పెరిగే కొలదీ దాని cosine విలువ తగ్గును.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 33

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
θ యొక్క ఏ లఘుకోణ విలువక
(i) \(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = 4 సత్యమౌతుంది ? పై సమీకరణం 0° ≤ θ ≤ 90° లలో ఏ విలువలకు నిర్వచించబడదు ? (పేజీ నెం. 285)
సాధన.
దత్తాంశము :
\(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = 4

⇒ \(\frac{\cos \theta(1+\sin \theta)+\cos \theta(1-\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}=\frac{4}{1}\)

⇒ \(\begin{aligned}
&\cos \theta+\cos \theta \cdot \sin \theta+\\
&\frac{\cos \theta-\cos \theta \cdot \sin \theta}{1-\sin ^{2} \theta}=\frac{4}{1}
\end{aligned}\)
[∵ (a – b) (a + b) = a2 – b2]

⇒ \(\frac{2 \cos \theta}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{1}\)

⇒ \(\frac{2}{\cos \theta}=\frac{4}{1}\)
⇒ cos θ = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
⇒ cos θ = cos 60° (∵ cos 60° = 1/2)
⇒ θ = 60°
∴ θ = 60°ల వద్ద ఇచ్చిన దత్తాంశము సత్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 2.
A యొక్క (0° ≤ A ≤ 90° యొక్క తెలిసిన అన్ని విలువలకు కింది సూత్రాలు సమంజసమేనా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 286)
(i) sin (90° – A) = cos A
(ii) cos (90° – A) = sin A
(iii) tan (90° – A) = cot A మరియు
(iv) cot (90° – A) = tan A
(v) sec (90°- A) = cosec A
(vi) cosec (90°- A) = sec A
సాధన.
A = 30° అనుకొనుము
(i) sin (90° – A) = cos A
⇒ sin (90° – 30°) = cos 30°
⇒ sin 60° = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(ii) cos (90° – A) = sin A.
⇒ cos (90° – 30°) = sin 30°
⇒ cos 60° = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

(iii) tan (90° – A) = cot A
⇒ tan (90° – 30°) = cot 30°
⇒ tan 60° = cot 30° = √3

(iv) cot (90° – A) = tan A.
⇒ cot (90° – 30°) = tan 30°
⇒ cot 60° = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

(v) sec (90° – A) = cosec A
⇒ sec (90° – 30°) = cosec 30°
⇒ sec 60° = cosec 30° = 2

(vi) cosec (90° – A) = sec A
⇒ cosec (90° – 30°) = sec 30°
⇒ cosec 60° = sec 30° = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∴ ‘A’ యొక్క తెలిసిన అన్ని విలువలకు పై సూత్రాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఇవి చేయండి:

(i) sinA= 15, అయిన cos A విలువ కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sin A = \(\frac{15}{17}\)
cos A = \(\sqrt{1-\sin ^{2} A}\) [సర్వ సమీకరణం – I నుండి]
= \(\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{289-225}{289}}\)
∴ cos A = \(\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}\)

(ii) tan x = \(\frac{5}{12}\), అయిన sec x విలువ కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
దత్తాంశము tan x = \(\frac{5}{12}\)
sec x = \(\sqrt{1+\tan ^{2} x}\)
[∵ సర్వసమీకరణం – II నుండి]
= \(\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)

= \(\sqrt{\frac{144+25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}\)

∴ sec x = \(\frac{13}{12}\)

(iii) cosec θ = \(\frac{25}{7}\), అయిన cot θ విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
cosec θ = \(\frac{25}{7}\)
cot θ = √(cosec2 θ – 1)
(సర్వసమీకరణం – III నుండి)
= \(\sqrt{\left(\frac{25}{7}\right)^{2}-1}\)

= \(\sqrt{\frac{625}{49}-\frac{1}{1}}\)

= \(\sqrt{\frac{625-49}{49}}\)

= \(\sqrt{\frac{576}{49}}=\frac{24}{7}\)
= \(\frac{24}{7}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రయత్నించండి:

క్రింది వాటి విలువలను సకారణంగా కనుగొనుము.
(i) \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 75^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2} 54^{\circ}}\) (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
\(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 75^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2} 54^{\circ}}\)

= \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-36^{\circ}\right)}\)

= \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\sin ^{2} 36^{\circ}}\)

[∵ sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{1}\) = 1 [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]

(ii) sin 5° cos 85* + cos 5° sin 85° (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sin 5° cos 85° + cos 5° sin 85°C
= sin 5°. cos (90° – 5°) + cos 5°. sin (90° – 5°)
= sin 5°. sin 5° + cos 5° . cos 5°
[∵ sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ]
= sin2 5° + cos2 5° = 1
[∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

(iii) sec 16°cosec 74° – cot 74° tan 16. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sec 16° cosec 74° – cot 74° tan 16°
= sec 16°. cosec (90° – 16) – cot (90° – 169) . tan 16°
= sec 16°.sec 16° – tan 16°.tan 16°
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ
cot (90° – θ) = tan θ]
= sec2 16° – tan2 16°
= 1 [∵ sec2 θ – tan2 θ = 1]

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

0° ≤ A ≤ 90° అన్ని విలువలకు త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణాలు – సత్యమేనా ? (పేజీ నెం. 290)

(i) sec2 A – tan2 A = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సర్వసమీకరణం : sec2 A – tan2 A = 1
A = 0° అనుకొనుము.
L.H.S. = sec2 0° – tan2
= 1 – 0 = 1 = R.H.S
A = 90° అనుకొనుము.
tan A మరియు sec A విలువలను నిర్వచించలేము.
కావున ‘A’ యొక్క అన్ని విలువలకు (0° ≤ A ≤ 90°) ఈ సర్వసమీకరణము సత్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

(ii) cosec2 A – cot2 A = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సర్వసమీకరణము : cosec2 A – cot2 A = 1
A = 0° అనుకొనుము
A = 0 అయిన cosec A మరియు cot Aల , విలువలను నిర్వచించలేము.
A = 90° అనుకొనుము
cosec A = cosec 90° = 1
cot A = cot 90° = 0
L.H.S. = 12 – 02
= 1 – 0 = 1 = R.H.S.
∴ కావున ‘A’ యొక్క అన్ని విలువలకు (0° ≤ A ≤ 90°) ఇచ్చిన సర్వసమీకరణము సత్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
tan A = \(\frac{3}{4}\) అయిన కోణం A యొక్క మిగతా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 275)
సాధన.
tan A = \(\frac{3}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
మరయు tan A = Aకు ఎదుటి భుజము / Aకు ఆసన్న భుజము = \(\frac{3}{4}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 1

కావున ఎదుటి భుజము : ఆసన్న భుజము = 3 : 4
కావున కోణం A ఎదుటి భుజము = BC = 3k (k ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య)
ఆసన్న భుజము = AB = 4k అనుకొనగా పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం త్రిభుజం ABC లో
AC2 = AB2 + BC2
= (3k)2 + (4k)2 = 25k2
AC = √25k2
కర్ణం AC = 5k
ఇక మనం మిగతా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను రాద్దాం .
sin A = \(\frac{3 k}{5 k}=\frac{3}{5}\) మరియు
cos A = \(\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}\)
cosec A = \(\frac{1}{\sin A}=\frac{5}{3},\)
sec A = \(\frac{1}{\cos A}=\frac{5}{4}\)
cot A = \(\frac{1}{\tan A}=\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న 2.
∆ABC, ∆PQRలలో sin A = sin P అయ్యేటట్లు ∠A మరియు ∠P లు లఘుకోణాలు అయిన∠A = ∠P అని చూపుము. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
sin A = sin P అని ఇవ్వబడినది.
∆ABC నుండి sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\) …………. (1)
∆PQR నుండి sin P = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}\) ……….. (2)
(1) & (2) ల నుండి \(\frac{B C}{A C}=\frac{Q R}{P Q}\)
\(\frac{B C}{A C}=\frac{Q R}{P Q}\) = k అనుకొనిన ……………. (3)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 2

\(\frac{A B}{P R}=\frac{\sqrt{A C^{2}-B C^{2}}}{\sqrt{P Q^{2}-Q R^{2}}}=\frac{\sqrt{A C^{2}-k^{2} A C^{2}}}{\sqrt{P Q^{2}-k^{2} \cdot P Q^{2}}}\) (3 నుంచి) = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}} \cdot\left(\frac{\sqrt{1-\mathrm{k}^{2}}}{\sqrt{1-\mathrm{k}^{2}}}\right)=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}}\)

\(\frac{A C}{P Q}=\frac{A B}{P R}=\frac{B C}{Q R}\) అయిన ∆ABC ~ ∆PQR
∴ ∠A = ∠P.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 3.
P వద్ద లంబకోణం కల్గిన లంబకోణ త్రిభుజము PQRలో PQ = 29 యూనిట్లు, QR = 21 యూనిట్లు మరియు ∠PQR = θ, అయిన
(i) cos2 θ + sin2 θ మరియు
(ii) cos2 θ – sin2 θ విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
త్రిభుజం PQR లో

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 3

PR = \(\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{QR}^{2}}\)
= \(\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}\)
= \(\sqrt{8(50)}\) = √400 = 20 యూనిట్లు
sin θ = \(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{20}{29}\)
cos θ = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{21}{29}\)

(i) cos2 θ + sin2 θ = \(\left(\frac{20}{29}\right)^{2}+\left(\frac{21}{29}\right)^{2}\)
= \(\frac{400+441}{841}\) = 1

(ii) cos2 θ – sin2 θ = \(\left(\frac{20}{29}\right)^{2}-\left(\frac{21}{29}\right)^{2}\)
= \(-\frac{41}{841}\)

ప్రశ్న 4.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆ABC లో AB = 5 సెం.మీ మరియు ∠ACB = 30° అయిన BC మరియు AC భుజాల పొడవులను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 282),
సాదన.
∠ACB = 30° మరియు AB = 5 సెం.మీ అని ఇవ్వబడింది. BC భుజం పొడవును కనుగొనాలంటే కోణం C పరంగా AB మరియు BC కి సంబంధించిన
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని తీసుకోవాలి.
కోణం C కు BC కి సంబంధించిన త్రికోణమితీయ. నిష్పత్తిని తీసుకోవాలి. కోణం C కు BC అనేది ఆసన్న భుజం మరియు AB అనేది ఎదుటి భుజం అవుతాయి.
కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\) = tan c
i.e., \(\frac{5}{B C}\) = tan 30 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 24

ఈ విధంగా BC = 5√3 సెం.మీ.
AC2 = AB2 + BC2 (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
AC2 = 52 + (5√3)2
AC2 = 25 + 75
AC = √100 = 10 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 5.
6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం కలిగిన వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం వద్ద 60° కోణం చేస్తుంది. ఆ జ్యా పొడవును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
OA = OB = 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం
∠AOB = 60° ఇవ్వబడినది
AB పైకి ‘O’ నుండి OC ఎత్తు గీయబడింది అనుకొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 25

∠COB = 30°
∆COB లో
sin 30° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OB}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{B C}{6}\)
BC = \(\frac{6}{2}\)
కాని, జ్యా పొడవు AB = 2BC = 2 × 3 = 6 సెం.మీ.
∴ జ్యా పొడవు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
Qవద్ద లంబకోణం ఉన్న ∆PQRలో PQ = 3 సెం.మీ. మరియు PR = 6 సెం.మీ. అయిన ∠QPR మరియు ∠PRQ. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 26

PQ = 3 సెం.మీ మరియు PR = 6 సెం.మీ.
\(\frac{P Q}{P R}\) = sin R
∴ ∠PRQ = 30°
ఇంకా, ∠QPR = 60°

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 7.
sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac{1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > Bఅయిన A మరియు B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.
sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\), A – B = 30°
ఇంకా, Cos (A + B) = \(\frac{1}{2}\),
A + B = 60°
పై రెండు సమీకరణాల నుండి : A = 45° మరియు B = 15°.

ప్రశ్న 8.
\(\frac{\sec 35^{\circ}}{\operatorname{cosec} 55^{\circ}}\) ను గణించుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
cosec A = sec (90°- A)
cosec 55° = sec (90° – 35°)
cosec 55° = sec 35°
ఇక \(\frac{\sec 35^{\circ}}{\operatorname{cosec} 55^{\circ}}=\frac{\sec 35^{\circ}}{\sec 35^{\circ}}\) = 1

ప్రశ్న 9.
cos 7A = sin (A – 6°) ఇంకా అల్పకోణం అయిన A విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
cos 7A = sin(A – 6°) అని ఇవ్వబడింది…. (1)
sin (90 – 7A) = sin (A – 6°)
7A లఘుకోణం కావున (90° – 7A) మరియు (A – 6°) లు కూడా లఘుకోణాలవుతాయి.
90° – 7A = A – 6°
8A = 96°
∴ A = 12°.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 10.
sin A = cos B అయిన A + B = 90° అని చూపుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
sin A = cos B అని ఇవ్వబడింది ………….. (1)
cos B = sin (90° – B) అని తెలుసు.
కావున sin A = sin (90° – B)
A, B లు లఘుకోణాలు అయిన A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.

ప్రశ్న 11.
sin 81° + tan 81° విలువను 0° మరియు 45° మధ్య త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలో చూపుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
sin 81° = sin (90° – 9°) = cos 9°
tan 81° = tan(90° – 9°) = cot 9°
∴ sin 81° + tan 81° = cos 9° + cot 9°

ప్రశ్న 12.
త్రిభుజం ABC లోని అంతర కోణాలు A, B మరియు Cలు అయిన sin B+ C = cos A అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 288)
సాధన.
A, B మరియు C లు ∆ABC లోని కోణాలు కావున
A + B + C = 180°
ఇరువైపులా 2చే భాగించగా
\(\frac{A}{2}+\frac{B+C}{2}\) = 90°
\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = 90° – \(\frac{A}{2}\)
ఇరువైపులా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి sin తీసుకొనగా
sin (\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)) = sin (90° – \(\frac{A}{2}\))
sin (\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)) = cos \(\frac{A}{2}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 13.
cot θ + tan θ = sec θ cosec θ నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
L.H.S. = cot θ + tan θ
= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}\)
= cosec θ sec θ

ప్రశ్న 14.
tan2 θ + tan4 θ = sec4 θ – sec2 θ (పేజీ నెం. 291)
సాధన.
L.H.S. = tan2 θ + tan4 θ
= tan2 θ (1 + tan2 θ)
= tan2 θ. sec2 θ
= (sec2 θ – 1) sec2 θ
= sec4 θ – sec2 θ = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ప్రశ్న 15.
\(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\) = cosec θ + cot θ (పేజీ నెం. 291)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions 34

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
\(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise 1

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\) నిరూపించండి.
(sec2 θ = 1 + tan2 θ)
సాధన.
L.H.S.= \(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
లవ, హారాలను cos θ చే భాగించగా
= \(\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-\frac{1}{\cos \theta}}\)

= \(\frac{\tan \theta+\sec \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}\)

= \(\frac{(\tan \theta+\sec \theta)-\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)}{\tan \theta+1-\sec \theta}\)
[∵ 1 = sec2 θ – tan2 θ]

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S.= (cosec A – sin A) (sec A – cos A)
= (\(\frac{1}{\sin A}\) – sin A) (\(\frac{1}{\cos A}\) – cos A)
[∵ cosec A = \(\frac{1}{\sin A}\); sec A = \(\frac{1}{\cos A}\))
= \(\left(\frac{1-\sin ^{2} A}{\sin A}\right)\left(\frac{1-\cos ^{2} A}{\cos A}\right)\)

= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise 4

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1+\sec A}{\sec A}\)
= \(\frac{1}{\sec A}+\frac{\sec A}{\sec A}\)
= cos A + 1
= \(\frac{(\cos A+1)(\cos A-1)}{(\cos A-1)}\) (అకరణీయం చేయగా)
= \(\frac{\cos ^{2} A-1}{\cos A-1}\)
= \(\frac{-1\left(1-\cos ^{2} A\right)}{-1(1-\cos A)}\)
= \(\frac{1-\cos ^{2} A}{1-\cos A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\) = R.H.S
[∵ 1 – cos2 A = sin2 A]
∴ LHS = RHS అని నిరూపించబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 5.
\(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1+\tan A}{1+\cot A}\right)^{2}\) = tan2 A అని చూపండి.
సాధన.
L.H.S. = \(\left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)=\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{cosec^{2} \mathrm{~A}}\)
[∵ 1 + tan2 A = sec2 A;
1 + cot2 A = cosec2 A]
= \(\frac{\frac{1}{\cos ^{2} A}}{\frac{1}{\sin ^{2} A}}\)
[∵ sec A = 1/cos A
cosec A = 1/sin A]
= \(\frac{1}{\cos ^{2} A} \times \frac{\sin ^{2} A}{1}\)
= \(\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}\)
= tan2 A
= R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise 5

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 6.
\(\left(\frac{\sec A-1}{\sec A+1}\right)=\left(\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\right)\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{\sec A-1}{\sec A+1}=\frac{\frac{1}{\cos A}-1}{\frac{1}{\cos A}+1}\)

= \(\frac{\frac{1-\cos A}{\cos A}}{\frac{1+\cos A}{\cos A}}=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\)

= R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మికరించండి:
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
సాధన.
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
= \(\left(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right)\)
= \(\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right)\)
[∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2] cose + sin’e +2 sino cose – 1 :: :coso. sine
= \(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) [∵ cos2 θ + sin2 θ = 1]
= \(\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) = 2.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

(ii) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2
సాధన.
(sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = (sin2 θ + cos2 θ + 2 sin θ cos θ) +
(sin2 θ + cos2 θ – 2 sin θ cos θ)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab]
= 1 + 2 sin θ cos θ + 1 – 2 sin θ cos θ [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 1 + 1 = 2

(iii) (sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1)
సాధన.
(sec2 θ – 1) (cosec2 θ – 1) = tan2 θ × cot2 θ
[∵ sec2 θ – tan2 θ = 1
cosec2 θ – cot2 θ = 1]
= tan2 θ × \(\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\) = 1

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 2.
(cosec θ – cot θ)2 = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) అని చూపించండి
సాధన.
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)2
= \(\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\)
[∵ sin2 θ = 1 – cos2 θ]
= \(\)
[∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
= \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A చూపండి.
సాధన.
L.H.S = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)
లవహారాలను 1 – sin A తో గణించగా
= \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}\)
[∵ (a + b)(a + b) = (a + b)2]
(a – b)(a + b) = a? — 62)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}\)
= \(\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\)
= sec A + tan A = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\) = tan2 A
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\frac{1}{\tan ^{2}}-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\frac{1 \tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}\)
= 1 – tan2 A × \(\frac{\tan ^{2} A}{1-\tan ^{2} A}\)
= tan2 A

ప్రశ్న 5.
\(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ = tan θ . sin θ చూపండి
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ
= \(\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\) [∵ 1 – cos2 θ = sin θ]
= \(\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) [∵ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ].

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 6.
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
L.H.S. = sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – sec A. sin A) . (sec A + tan A)
= (sec A – \(\frac{1}{\cos A}\) . sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – tan A) (sec A + tan A)
= sec2 A – tan2 A
= 1
[∵ sec2 A – tan2 A = 1]

ప్రశ్న 7.
(sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
సాధన.
L.H.S. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= (sin2 A + cosec2 A + 2 sin A. cosec A) + (cos2 A + sec2 A +
2 cos A . sec A)
[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab]
= (sin2 A + cos2 A) + cosec2 A + 2 sinA. \(\frac{1}{\sin A}\) + sec2 A + 2 cos A · \(\frac{1}{\cos A}\)
[∵ \(\frac{1}{\sin A}\) = cosec A; \(\frac{1}{\cos A}\) = sec A]
= 1 + (1 + cot2 A) + 2 + (1 + tan2 A) + 2
[∵ sin2 A + cos2 A = 1]
cosec2 A = 1 + cot2 A
sec2 A = 1 + tan2 A]
= 7 + tan2 A + cot2 A = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 8.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot2 θ) = (1 – cos2 θ) (1 + cot2 θ)
[∵ (a – b)(a + b) = a2 – b2]
= sin2 θ. cosec2 θ
[: 1 – cos2 θ = sin2 θ
1 + cot2 θ = cosec2 θ]
= sin2 θ . \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) [∵ cosec θ = sin θ]
= 1

ప్రశ్న 9.
sec θ + tan θ = p ఐతే sec θ – tan θ విలువ ఎంత?
సాధన.
దత్తాంశము
sec θ + tan θ = p
sec2 θ – tan2 θ = 1 అను సర్వసమీకరణం ద్వారా
sec2 θ – tan2 θ = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
= p (sec θ – tan θ) = 1
(దత్తాంశము నుండి)
⇒ sec θ – tan θ = \(\frac{1}{p}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 10.
cosec θ + cot θ = k ఐతే сos θ = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\) విలువ ఎంత?
సాధన.
పద్ధతి – I:
దత్తాంశము cosec θ + cot θ = k
R.H.S. = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 1

= \(\frac{2 \cot \theta(\cot \theta+cosec \theta)}{2 cosec \theta(\cot \theta+cosec \theta)}\)

= \(\frac{\cot \theta}{cosec \theta}\)

= \(\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta}}\)

= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1}\)
= cos θ = L.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

పద్ధతి – II:
దత్తాంశము : cosec θ + cot θ = k ………………(1)
సర్వ సమీకరణం cosec2 θ – cot2 θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
[∵ a2 – b2 = (a – b)(a + b)]
⇒ k (cosec θ – cot θ) = 1
⇒ cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{\mathrm{k}}\) ……………… (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 2

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
విలువ కనుక్కొండి:
(i) \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\)
సాధన.
\(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\)
= \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-36^{\circ}\right)}\) [∵ cot(90 – θ) = tan θ]
= \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}}\) = 1

(ii) cos 12° – sin 78°
సాధన.
cos 12° – sin 78° = cos 12° – sin (90° – 12°) [∵ sin(90 – θ) = cos θ]
= cos 12° – cos 12° = 0.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

(iii) cosec 31° – sec 59°
సాధన.
cosec 31° – sec 59° = cosec 31° – sec (90° – 31°)
[∵ sec (90 – θ) = cosec θ]
= cosec 31° – cosec 31° = 0

(iv) sin 15° sec 75°
సాధన.
sin 15° sec 75° = sin 15° . sec (90° – 15°)
= sin 15°. cosec 15° [∵ sec (90 – θ) = cosec θ]
= sin 15° . \(\frac{1}{\sin 15^{\circ}}\) [∵ cosec 15° = \(\frac{1}{\sin 15^{\circ}}\)]

(v) tan 26° tan 640
సాధన.
tan 26° tan 64°
= tan 26° . tan (90° – 26°)
= tan 26°. cot 26° [∵ tan (90 – θ) = cot θ]
= tan 26°. \(\frac{1}{\tan 26^{\circ}}\) [∵ cot θ = \(\left.\frac{1}{\tan \theta}\right]\)]

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

ప్రశ్న 2.
నిరూపించండి.
(i) tan 48° tan 16° tan 42° tan 74° = 1
సాధన.
L.H.S. = tan 48° tan 16° tan 42° tan 74°
= tan 48o. tan 16°
= tan(90° – 48°). tan(90° – 16°)
= tan 48°. tan 16°. cot 48°. cot 16° [∵ tan (90 – θ) = cot θ]
= 1 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) cos 36° cos 54° – sin 36° sin 54° = 0
సాధన.
L.H.S.= cos36° cos54o – sin36° sin54°
= cos(90° – 54°). cos(90° – 36°) – sin 36° . sin 54° [∵ cos (90 – θ) = sin θ]
= sin 54° . sin 36° – sin 54° . sin 36°
= 0 = R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

ప్రశ్న 3.
tan 2A = cot (A – 18°), 2A లఘుకోణం అయిన A విలువ కనుక్కొండి
సాధన.
దత్తాంశము: tan 2A = cot (A – 18°)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°) [∵ tan θ = cot (90 – θ)]
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 108° = 3A
A = \(\frac{108^{\circ}}{3}\) = 36°
∴ A యొక్క విలువ 36°.

ప్రశ్న 4.
A, B లు లఘుకోణాలు మరియు tan A = cot B . అయిన A + B = 90° అని చూపుము.
సాధన.
దత్తాంశము : tan A = cot B
⇒ cot (90° – A) = cot B [∵ tan θ = cot (90 – θ]]
⇒ 90° – A = B
∴ A + B = 90°.

AP Board 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

ప్రశ్న 5.
A, B మరియు C లు . ∆ABC లోని అంతర కోణాలయిన tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = cot \(\frac{C}{2}\) = అని నిరూపించుము.
సాధన.
∆ABC లో A, B మరియు C లు అంతర కోణాలు
కావున A + B + C = 180°.
పై సమీకరణంను ‘2’ చే ఇరువైపుల భాగించగా,
\(\frac{A+B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
\(\frac{A+B}{2}\) = 90° – \(\frac{C}{2}\)
ఇరువైపులా “tan” అను త్రికోణమితి నిష్పత్తిని తీసుకొనగా
tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = tan (90 – \(\frac{C}{2}\))
tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = \(\frac{C}{2}\)

ప్రశ్న 6.
sin 75° + cos 65° ను 0° మరియు 45° మధ్యగల విలువల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలో తెల్పుము.
సాధన.
sin 75° + cos 65° = sin (90° – 15°) + cos (90° – 25°)
= cos 15° + sin 25°
[∵ sin (90 – θ) = cos θ మరియు cos (90 – θ) = sin θ]