AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015 in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు రాయండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణం x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
⇒ x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 12 + 9 + 4
⇒ (x – 3)² + (y + 2)² = 25
ఇచ్చట h = 3, k = -2 మరియు r = 5
ఇచ్చిన వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + r cos θ , y = k + r sin θ
x = 3 + 5 cos θ , y = -2 + 5 sin θ .

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవ 1 అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² + 2ky = 0 అనుకొనుము
(5, 4) నుంచి 5 = 0 వృత్తానికి గీచన స్పర్శరేఖ పొడవు 1.
⇒ \(\sqrt{S_{11}}\) = 1
⇒ S₁₁ = 1
⇒ 25 + 16 + 8k = 1
⇒ 8k = -40
⇒ k = -5

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదాని కొకటి లంబంగా ఖండించి కొంటాయని చూపండి.
x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0, 3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0 _______ (1)
ఇచ్చట 2g = -2, 2f = -2, c = 7
g = -1, f = -1, c = 7
3x² + 3y² – 8x + 29y = 0
⇒ x² + y² – \(\frac{8}{3}\) x + \(\frac{29}{3}\) y = 0 ______ (2)
ఇచ్చట 2g¹ = –\(\frac{8}{3}\)
⇒ g¹ = –\(\frac{4}{3}\)

2f¹ = –\(\frac{29}{3}\)
⇒ f¹ = –\(\frac{29}{6}\) మరియు c¹ = 0

∴ 2gg¹ + 2ff¹ = 2(-1)(\(\frac{-4}{3}\)) + 2(-1)(\(\frac{29}{6}\))
= \(\frac{8}{3}\) – \(\frac{29}{3}\)
= \(\frac{-21}{3}\)
= -7 + 0
= c + c¹
∴ 2gg¹ + 2ff¹ = c + c¹
∴ (1) మరియు (2) లు లంబంగా ఖండించుకొంటాయి.

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయముపై నాభి దూరము \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
y² = 2x పరావలయముపై నాభిదూరము \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
ఇచ్చట 4a = 2 మరియు x₁ + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ a = \(\frac{1}{2}\) x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ = 2
కావున y₁² = 2x₁
⇒ y₁² = 4
⇒ y₁ = ±2
కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2).

ప్రశ్న 5.
ఒక అతిపరావలయము ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\), అయితే దాని సంయుగ్మ అతిపరావలయవ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు e₁, e₂ అయితే

ప్రశ్న 6.
I = (0, 1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\)
sin^-1 x = t వ్రాయగా

ప్రశ్న 7.
R మీద \(\int e^x \cos x d x\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int e^{a x} \cos b x d x\) = \(\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}\) [a cos bx + b sin bx] + c
∴ \(\int e^x \cos x d x\) = \(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{1+1}\) [1 cos x + 1 sin x] + c
= \(\frac{1}{2}\) e^x(cos x + sin x) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1(1) – Tan^-1(0)]
= \(\frac{1}{a}\) [\(\frac{\pi}{4}\) – 0]
= \(\frac{\pi}{4 a}\)
∴ \(\int_0^a \frac{1}{x^2+a^2}\) dx = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
y = x² పరావలయముతోను, X – అక్షము x = -1, x = 2 రేఖలతో పరిబద్ధమై ప్రదేశ వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
= \(\int_{-1}^2 y d x\)
= \(\int_{-1}^2 x^2 d x\) = \(\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2\)
= \(\frac{1}{3}\) [8 – (-1)]
= 3

ప్రశ్న 10.
\(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{6 / 5}\) = 6y పరిమాణము, తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలజ సమీకరణం \(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{6 / 5}\) = 6y
పరిమాణము – 2
తరగతి = 6.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + y + 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 రేఖకు ధ్రువాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x + y + z = 0 ______ (1)
యొక్క ధ్రువం P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
S ≡ x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 అనుకొనుము.
S = 0 దృష్ట్యా P ధ్రువరేఖ సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ – 2(x + x₁) + 3 (y + y₁) – 12 = 0
⇒ (x₁ – 2) x + (y₁ + 3) y + (-2x₁ + 3y₁ – 12) = 0 ______ (2)
(1) మరియు (2) లు ఒకే రేఖను సూచిస్తున్నాయి
∴ \(\frac{x_1-2}{1}\) = \(\frac{y_1+3}{1}\) = \(\frac{-2 x_1+3 y_1-12}{2}\) = k

∴ x₁ – 2 = k
⇒ x₁ = 2 + k

y₁ + 3 = k
y₁ = k – 3

– 2x₁ + 3y₁ – 12 = 2k
– 2(2 + k) + 3 (k – 3) – 12 = 2k.
– 4 – 2k + 3k – 9 – 12 = 2k
-25 = k

∴ x₁ = 2 – 25 = -23
y₁ = – 25 – 3 = -28
∴ ధృవము p = (-23, -28)

ప్రశ్న 12.
క్రింది వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణాన్ని, దాని పొడవును కనుక్కోండి. x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0, x² + y² + 4x + 3y + 2 =0
సాధన:
S ≡ x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0,
S ≡ x² + y² + 4x + 3y + 2 = 0 అనుకొనుము.
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము S – S¹ = 0
⇒ -2x – y – 1 = 0
⇒ 2x + y + 1 = 0 ______ (1)
S = 0 వృత్తకేంద్రం C(-1, -1)
r = \(\sqrt{1+1-1}\)
= 1
d = C నుండి (1) కి గల లంబదూరం
= \(\frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{4+1}}\)
= \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
ఉమ్మడి జ్యా పొడవు = \(2 \sqrt{r^2-d^2}\)
= \(2 \sqrt{1-4 / 5}\)
= \(2 \sqrt{\frac{1}{5}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

ప్రశ్న 13.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి lx + my + n = 0 స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సరళరేఖ సమీకరణము lx + my + n = 0
⇒ my = -lx-n
⇒ y = (\(\frac{-l}{m}\))x + (\(\frac{-n}{m}\)) _______ (1)
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము.
c² = a²m² + b²
⇒ (\(\frac{-n}{m}\))² = a²(\(\frac{-l}{m}\))² + b²
⇒ \(\frac{n^2}{m^2}\) = \(\frac{a^2 l^2}{m^2}\) + b²
⇒ n² = a²l² + b² m²
కావడానికి నియమము a²l² + b² m² = n².

ప్రశ్న 14.
3x² + y² – 6x – 2y – 5 = 0 దీర్ఘ వృత్తానికి ఉత్కేంద్రత, నాభుల నిరూ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
3x² + y² – 6x – 2y – 5 = 0
⇒ 3x² – 6x + 3 + y² – 2y + 1 = 5 + 3 + 1
⇒ 3(x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) = 9
⇒ 3 (x – 1)² + (y – 1)² = 9
⇒ \(\frac{(x-1)^2}{3}\) + \(\frac{(y-1)^2}{9}\) = 1
ఇచ్చట h = 1, k = 1
a² = 3, b² = 9 ⇒ b = 3
ఉత్కేంద్రత e = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{9-3}{9}}\)
= \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) = \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
నాభులు = (h, k ± be)
= (1, 1 ± 3\(\frac{\sqrt{6}}{3}\))
= (1, 1 ± √6)

ప్రశ్న 15.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి y = x – 7 రేఖకు
(i) సమాంతరముగాను ; (ii) లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
i) అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{3}\) = 1
a² = 4, b² = 3
‘స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా y = x – 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = 1
సమాంతర స్పర్శరేఖల సమీకరణం
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4-3}\)
y = x ± 1

ii) స్పర్శరేఖ లంబంగా y – x = 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = (-1)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = (-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}\)
= – x ± 1
x + y = ±1.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy సాధించండి.
సాధన:

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5) మరియు (0, C) బిందువు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (2, 0), B (0, 1), C = (4, 5) మరియు D = (0, C) అనుకొనుము.
A, B, C బిందువుల ద్వారా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ________ (1) అనుకొనుము
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k = -4 ______ (2)
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k = -1 _______ (3)
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0
⇒ 8g + 10f + k = -41 _______ (4)
(4) – (2) ⇒ 4g + 10f = – 37
⇒ 4g + 10f + 37 = 0 _____ (5)
(4) – (3) ⇒ 8g + 8f = -40
⇒ 8g + 8f + 40 = 0
⇒ 4g + 4f + 20 = 0 ______ (6)
(5) – (6) ⇒ 6f + 17 = 0
⇒ 6f = -17
⇒ f = \(\frac{-17}{6}\)
(6) నుండి 4g + 4(\(\frac{-17}{6}\)) + 20 = 0
⇒ 24g – 68 + 120 = 0
⇒ 24g + 52 = 0
⇒ 6g + 13 = 0
⇒ 6g = -13
⇒ g = \(\frac{-13}{6}\)
సమీకరణం (2) నుండి
4 (\(\frac{-13}{6}\)) + k = -4
-52 + 6k = -24
6k = 28
k = \(\frac{14}{3}\)
∴ g = \(\frac{-13}{6}\), f = \(\frac{-17}{6}\), k = \(\frac{14}{3}\)
∴ A, B, C ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
⇒ x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y+ 14 = 0 ______ (7)
A, B, C, D లు చక్రీయాలు కావున
∴ D బిందువు (7) పై ఉంటుంది
∴ 0 + 3C² – 0 – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 3C – 14C + 14 = 0
⇒ 3C (C – 1) -14 (C – 1) = 0
⇒ (C – 1) (3C – 14) = 0
⇒ C = 1 లేదా \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
వాధన:
ఇచ్చిన వృత్త సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0 ______ (1)
S¹ ≡ x² + y² = 1 ______ (2) అనుకొనుము
C₁ = (1, 3), C₂ = (0, 0)
r₁ = \(\sqrt{1+9-6}\) r₂ = 1
= 2
C₁C₂ = d = \(\sqrt{1+9}\) = \(\sqrt{10}\) > r₁ + r₂
∴ C₁C₂ > r₁ + r₂
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాల సంఖ్య = 4
S = 0, S’ = 0 వృత్తాలకు అంతర, బాహ్య సరూప కేంద్రాల వరుసగా A₁ మరియు A₂ అనుకొనుము
∴ C₁C₂ ను A₁ బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా ఖండిస్తుంది.
∴ A₁(\(\frac{2(0)+1(1)}{2+1}\), \(\frac{2(0)+1(3)}{2+1}\))
= (\(\frac{1}{3}\), 1)
C₁C₂ ను A₂ బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో బాహ్యంగా ఖండిస్తుంది.
∴ A₂(\(\frac{2(0)-1(1)}{2-1}\), \(\frac{2(0)-1(3)}{2-1}\))
= (-1, -3)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుగ్మ సమీకరణము S₁¹² = S¹S₁¹¹
⇒ [(x(\(\frac{1}{3}\)) + y(1) – 1]² = (x² + y² – 1) – (\(\frac{1}{9}\) + 1 – 1)
⇒ (\(\frac{x+3 y-3}{3}\))² = (x² + y² – 1)(\(\frac{1}{9}\))
⇒ (x + 3y – 3)² = (x² + y² – 1)
⇒ x² + 9y² + 9 + 6xy – 18y – 6x = x² + y² – 1
⇒ 8y² + 6xy – 6x – 18y + 10 = 0
⇒ 4y² + 3xy – 3x – 9y + 5 = 0
⇒ (y – 1) (3x + 4y – 5) = 0
⇒ y – 1 = 0, 3x + 4y – 5 = 0
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుగ్మ సమీకరణము S₁¹² = S¹S₁¹¹
⇒ [x (-1) + y (-3) – 1]² = (x² + y² – 1) (1 + 9 – 1)
⇒ (- x – 3y – 1)² = 9 (x² + y² – 1)
⇒ x² = + 9y² + 1 + 6xy + 6y + 2x = 9x² + 9y² – 9
⇒ 8x² – 6xy – 2x – 6y – 10 = 0
⇒ 4x² – 3xy – x – 3y – 5 = 0
⇒ (x – 1) (4x – 3y – 5) = 0
⇒ x – 1 = 0, 4x – 3y – 5 = 0.
∴ S = 0, S¹ = 0 వృత్తాలకు గీయగల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు,
y – 1 = 0, 3x + 4y – 5 = 0
x – 1 = 0, 4x – 3y – 5 = 0

ప్రశ్న 20.
ప్రామాణిక రూపములో పరావలయ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
వాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై S లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ \(\overline{Y A Y^{\prime}} \cdot \overline{Z X Z}{ }^{\prime}\) ను X – అక్షంగాను, \(\overline{Y Y^{\prime}}\) ను Y-అక్షంగాను తీసుకొందాం. అప్పుడు A(0,0) మూలబిందువు. S = (a, 0), (a > 0) అనుకొంటే, Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం x + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}\) = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
⇒ (x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = \(\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = |x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y² = 4ax.

ప్రశ్న 21.
ధన పూర్ణాంకము n ≥ 2, I_n = ∫sin x dx కు లఘాకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి దాని నుంచి ∫sin⁴ x dx విలువ రాబట్టండి.
సాధన:
I_n = \(\int \sin ^n x d x\)
= \(\int \sin ^{n-1} x \sin x d x\)

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:
t = tan \(\frac{x}{2}\) ⇒ dx = \(\frac{2 d t}{1+t^2}\)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) కనుక్కోండి.
సాధన:



2I = π² – 2π
I = \(\frac{\pi^2}{2}\) – π
∴ \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) = \(\frac{\pi^2}{2}\) – π

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+3}{2 x-2 y+5}\) ని సాధించండి.
సాధన.
ఇచ్చిన అవకలజ సమీకరణము
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x-y+3}{2 x-2 y+5}\)
ఇచ్చట, a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = 3
a₂ = 2, b₂ = -2, c₂ = 5
a₁b₂ – a₂b₁ = 1(-2) – (-1) (2)
= – 2 + 2
= 0
x – y = z
అప్పుడు 1 – \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d z}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{d z}{d x}\) + 1
ఈ విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
–\(\frac{d z}{d x}\) + 1 = \(\frac{z+3}{2 z+5}\)
–\(\frac{d z}{d x}\) = \(\frac{z+3}{2 z+5}\) – 1
= \(\frac{z+3-2 z-5}{2 z+5}\)
= \(\frac{-z-2}{2 z+5}\)
⇒ \(\frac{d z}{d x}\) = \(\frac{z+2}{2 z+5}\)
⇒ \(\frac{2 z+5}{z+2}\)dz = dx
(2 + \(\frac{1}{z+2}\))dz = dx
Integrating
⇒ ∫(2 + \(\frac{1}{z+2}\))dz = ∫dx + c
⇒ 2z + log |z + 2| = x + c
⇒ 2 (x – y) + log |x – y + 2| = x + c
⇒ x – 2y + log |x – y + 2| = c
(1) యొక్క సాధారణ సాధన
x – 2y + log |x – y + 2 | = c.