AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014 in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper May 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తంతో సకేంద్రీయమై (- 2, 14) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తంతో సకేంద్రీయమయ్యే వృత్త సమీకరణం
x² + y² – 6x – 4y + k = 0
ఈ వృత్తం ( – 2, 14) బిందువు గుండా పోతుంటే
4 + 196 – 6(-2) – 4(14) + k = 0
⇒ 4 + 196 + 12 – 56 + k = 0
⇒ 156 + k = 0
⇒ k = -156
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 4y – 156 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2) (k, -3) లు సంయుగ్మాలు అయితే k విలువ ఎంత ?
సాధన:
S = x² + y² – 5x + 8y + 6 = 0
(x₁, y₁) = (4, 2)
(x₂, y₂) = (k,-3)
S = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (4, 2) మరియు (k, – 3) లు సంయుగ్మాలు కావున
∴ S₁₂ = 0
⇒ x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + c = 0
⇒ 4k – 6 – \(\frac{5}{2}\) (4 + k) + 4(2 – 3) + 6 = 0
⇒ 4k – 6 – 10 – \(\frac{5}{2}\) k – 4 + 6 = 0
\(\frac{3}{2}\)k – 14 = 0
⇒ 3k – 28 = 0 =
⇒ 3k = 28
⇒ k = \(\frac{28}{3}\)

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 4x – 7 = 0, 2x² + 2y² + 3x + 5y – 9 = 0, x² + y² + y = 0 వృత్తాల మూలకేంద్రం కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² + 4x – 7 = 0
S’ ≡ x² + y² + \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\) = 0
S” ≡ x² + y² + y = 0 అనుకొనుము.
S = 0, S’ = 0 శ్రీ వృత్తాల మూలాక్ష సమీకరణం S – S’ = 0
⇒ \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y – \(\frac{9}{2}\) – 4x + 7 = 0
⇒ – \(\frac{5}{2}\)x + \(\frac{5}{2}\)y + \(\frac{5}{2}\) = 0
⇒ -5x + 5y + 5 = 0
⇒ x – y -1 = 0 _____ (1)
S = 0, S” = 0 శ్రీ వృత్తాల మూలాక్ష సమీకరణం S – S” = 0
4x – y – 7 = 0 _____ (2)
(1), (2) లను సాధించగా

\(\frac{x}{7 – 1}\) = \(\frac{y}{- 4 + 7}\) = \(\frac{1}{- 1 + 4}\)
\(\frac{x}{6}\) = \(\frac{y}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
x = 2, y = 1
∴ మూలకేంద్రం = (2, 1)

ప్రశ్న 4.
y² = 8x పరావలయం, నాభి జ్యా ఒక కొన (\(\frac{1}{2}\), 2) అయితే, రెండవ కొన నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పరావలయ సమీకరణం y² = 8x
ఇచ్చట 4a = 8 ⇒ a = 2
దత్తాంశం నుండి నాభి జ్యా ఒక కొన (at²), 2at) = (\(\frac{1}{2}\), 2)
⇒ 2at = 2
⇒ 2.2.t = 2
⇒ t = \(\frac{1}{2}\)
∴ నాభి జ్యా రెండో కొన = (\(\frac{a}{t^2}\), \(\frac{-2 \mathrm{a}}{\mathrm{t}}\))
= (\(\frac{2}{1/4}\), \(\frac{-2.2}{1/2}\)
= (8, -8)

ప్రశ్న 5.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం 30° గా గల అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణం 2θ = 30
⇒ θ = 15°
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = tan = 15°
e² = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\) = 1 + tan² 15° = sec² 15°
∴ e² = (\(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\))² = \(\frac{8}{4+2 \sqrt{3}}\).\(\frac{4-2 \sqrt{3}}{4-2 \sqrt{3}}\)
= \(\frac{8(4-2 \sqrt{3})}{4}\) = 8 – 4√3 = (√6 – √2)²
∴ ఉత్కేంద్రత e = √6 – √2

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1} d x\) x ∈ R ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x\) x ∈ I ⊂ R/{-1} ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x\) = \(\int\left[\frac{x+1-1}{(x+1)^2}\right] e^x \cdot d x\)
= \(\int\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] e^x d x\)
\(\int e^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] d x\) = e^xf(x) + c
= e^x(\(\frac{1}{x + 1}\))+ c
= \(\frac{e^x}{x+1}\) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 4} \sec ^4 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:
f(θ) = sin³ θ cos³ θ అనుకొనుము.
f(-θ) = [sin (-θ)]³ [cos (- θ)]³
= [- sin θ]³ [cos θ]³
= – sin³ θ cos³ θ
= – f(θ)
∴ f ఒక బేసి ప్రమేయము.
\(\int_{-a}^a f(x) d x=0\) f ఒక సరి ప్రమేయము అయిన
= \(2 \int_0^a f(x) d x\) f ఒక బేసి ప్రమేయము అయిన
∴ \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) = 0

ప్రశ్న 10.
A, B యాదృచ్ఛిక స్థిరసంఖ్యలు అయితే y = A cos 3x – B sin 3x కు అనుగుణంగా ఉన్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:
ఇచ్చిన y = A cos 3x + B sin 3x
\(\frac{d y}{d x}\) = A (- sin 3x) (3)+ B (cos 3x) (3)
= – 3A sin 3x + 3B cos 3x
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3A (cos 3x) (3) + 3B (- sin 3x) (3)
= – 9A cos 3x – 9B sin 3x
= – 9(A cos 3x + B sin 3x)
= – 9y
∴ కావలసిన అవకలజ సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y = 0

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 వృత్తం x – 2y + 7 = 0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మధ్య బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 _______ (1)
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x – 2y + 7 = 0 ________ (2)
x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0 వృత్తం x – 2y + 7 = 0 రేఖపై ఏర్పరచే జ్యా మధ్య బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
∴ Secant రేఖా సమీకరణం S₁ = S₁₁
⇒ xx₁ + yy₁ – (x + x₁) – 5 (y + y₁) + 1 = \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 10y₁ + 1
= (x₁ – 1) x + (y₁ – 5) y – (\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – x₁ – 5y₁) = 0 _____ (3)
(2), (3) లు ఒకే జ్యాను సూచిస్తున్నాయి. కావున
∴ \(\frac{x_1-1}{1}\) = \(\frac{y_1-5}{-2}\) = \(\frac{-\left(x_1^2+y_1^2-x_1-5 y_1\right)}{7}\) = k
⇒ x₁ = k + 1, y₁ = – 2k + 5
ఇంకా \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – x₁ – 5y₁ = -7k
⇒ (k + 1)² + (- 2k + 5)² – (k + 1) – 5(- 2k + 5) = – 7k
⇒ k² + 2k + 1 + 4k² – 20k + 25 – k – 1 + 10k – 25 = – 7k
⇒ 5k² – 2k = 0
⇒ k(5k – 2) = 0
⇒ k = 0 (లేక) \(\frac{2}{5}\)
k = 0 అయిన x₁ = 1, y₁ = 5
(1, 5) బిందువు జ్యా x – 2y + 7 = 0 పై బిందువు కాదు.

k = \(\frac{2}{5}\) అయితే x₁ = \(\frac{2}{5}\) + 1
= \(\frac{7}{5}\)

y₁ = -2(\(\frac{2}{5}\)) + 5
= \(\frac{-4}{5}\) + 5
= \(\frac{21}{5}\)
∴ జ్యా మధ్య బిందువు = (\(\frac{7}{5}\), \(\frac{21}{5}\))

ప్రశ్న 12.
2x + 3y = 1 సరళరేఖ x² + y² = 4 వృత్తాన్ని A, B బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే, AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
(x² + y² – 4) + λ (2x + 3y – 1) = 0 ______ (1)
⇒ x² + y² + 2λx + 3λy + (- 4 – λ) = 0
కేంద్రం = (\(\frac{2 \lambda}{-2}\), \(\frac{3 \lambda}{-2}\))
(1) వ వృత్తం వ్యాసం \(\overline{\mathrm{AB}}\) అయితే కేంద్రం 2x + 3y – 1 = 0 పై ఉంటుంది.
2(\(\frac{2 \lambda}{-2}\)) + 3(\(\frac{3 \lambda}{-2}\)) – 1 = 0
⇒ 4λ + 9λ + 2 = 0
⇒ 13λ = -2
⇒ λ = \(\frac{-2}{13}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణం
(x² + y² – 4) – \(\frac{2}{13}\) (2x + 3y – 1) = 0
⇒ 13x² + 13y² – 52 – 4x – 6y + 2 = 0
⇒ 13x² + 13y² – 4x – 6y – 50 = 0

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 నాభిలంబం ఒక కొనవద్ద అభిలంబ రేఖ హ్రస్వాక్షం ఒక కొనద్వారా పోతే e⁴ + e² = 1 అని చూపండి. (దీర్ఘవృత్త ఉత్కేంద్రత e)
సాధన:

దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
నాభిలంబం ఒక కొన L అనుకొనుము.
∴ L = (ae, \(\frac{b^2}{a}\)
∴ L వద్ద అభిలంబరేఖా సమీకరణం
\(\frac{a^2 x}{a e}\) – \(\frac{b^2 y}{b^2 / a}\) = a² – b²
⇒ \(\frac{a x}{\mathrm{e}}\) – ay = a² – b²
ఈ రేఖ హ్రస్వాక్షం ఒక కొన B’ (0, – b) బిందువు గుండా పోతుంది కావున
⇒ \(\frac{a(0)}{e}\) – a(-b) = a² – b²
⇒ ab = a² – b²
⇒ ab = a² – a² (1 – e²)
⇒ ab = a²e²
⇒ e² = \(\frac{b}{a}\)
⇒ e⁴ = \(\frac{b^2}{a^2}\)
⇒ e⁴ = \(\frac{a^2\left(1-e^2\right)}{a^2}\)
⇒ e⁴ = 1 – e²
⇒ e⁴ + e² = 1

ప్రశ్న 14.
x² + 4y² = 4 దీర్ఘవృత్తంపై P(θ) వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖలు వరుసగా దీర్ఘాక్షాన్ని Q, R ల వద్ద ఖండిస్తున్నాయి. 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\), QR = 2 అయితే θ = cos^-1(\(\frac{2}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తంపై బిందువు P(θ) = (a cos θ, b sin θ) అనుకొనుము.
∴ P(θ) బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
\(\frac{x \cos \theta}{a}\) + \(\frac{y \sin \theta}{a}\) = 1

ఈ స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షాన్ని Q వద్ద ఖండిస్తుంది, కావున
∴ Q = (\(\frac{2}{\cos \theta}\), 0)
P(θ) వద్ద అభిలంబరేఖ సమీకరణం
\(\frac{\mathrm{ax}}{\cos \theta}\) – \(\frac{\mathrm{by}}{\sin \theta}\) = a² – b²
a = 2, b = 1 కావున
∴ \(\frac{2 x}{\cos \theta}\) – \(\frac{y}{\sin \theta}\) = 3
⇒ \(\frac{x}{\frac{3 \cos \theta}{2}}\) + \(\frac{y}{\frac{-3 \sin \theta}{1}}\) = 1
ఈ రేఖ దీర్ఘాక్షాన్ని R వద్ద ఖండిస్తుంది, కావున
∴ R = (\(\frac{3 \cos \theta}{2}\), 0)
QR = 2 కావున
(QR)² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos \theta}{2}\) – \(\frac{2}{\cos \theta}\))² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos ^2 \theta-4}{2 \cos \theta}\))² = 4
⇒ (\(\frac{3 \cos ^2 \theta-4}{2 \cos \theta}\))² = ±2

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరంగా (ii) లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయం x² – 4y² = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అతిపరావలయ సమీకరణం

ఇచ్చట a² = 4, b² = 1
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x + 2y = 0
వాలు = – \(\frac{1}{2}\)

i) x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉంటూ అతి పరావలయాన్ని స్పృశించే రేఖ వాలు – \(\frac{1}{2}\)
∴ స్పర్శరేఖా సమీకరణాలు y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
= – \(\frac{1}{2}\) x ± \(\sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}-1}\)
y = –\(\frac{1}{2}\)
2y =-x
⇒ x + 2y = 0

ii) x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉంటూ అతిపరావలయాన్ని స్పృశించే రేఖ వాలు = 2
∴ స్పర్శరేఖా సమీకరణాలు
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = 2x ± \(\sqrt{4.4-1}\)
2x – y ± \(\sqrt{15}\) = 0

ప్రశ్న 16.
పరావలయాలు y² = 4x, x² = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

దత్త పరావలయ సమీకరణాలు
y² = 4x ______ (1)
x² = 4y ______ (2)
(1), (2) లను సాధించగా
(\(\frac{x^2}{4}\))² = 4x
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) = 4x
⇒ x³ = 64, x = 0
⇒ x = 4 ⇒ y = 0 ∴ y = 4
∴ (1), (2) ల ఖండన బిందువులు (0, 0) మరియు (4, 4)
∴ దత్త వక్రాలతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశ వైశాల్యం

ప్రశ్న 17.
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త అవకలజ సమీకరణం
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 2 log x
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{1}{x \log x}\)y = \(\frac{2}{x}\) ______ (1)
ఇచ్చట P = \(\frac{1}{x \log x}\), Q = \(\frac{2}{x}\)
I.F = \(e^{\int P d x}\)
= \(e^{\int \frac{1}{x \log x}} d x\)
= e^{log (log x)} = log x
∴ (1) యొక్క సాధారణ సాధన
\(y e^{\int P d x}\) = \(\int Q e^{\int P d x}\)
⇒ y log x = \(\int \frac{2}{x} \log x d x+c\)
= 2 \(\frac{(\log x)^2}{2}\) + c
= (log x)² + c

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5), (0, c) బిందువులు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువ ఎంత ?
సాధన:
P = (2, 0)
Q = (0, 1)
R = (4, 5)
S = (0, C) అనుకొనుము.
P, Q, R బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ______ (1) అనుకొనుము.
(1) పై P బిందువు కలదు, కావున
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k + 4 = 0 _______ (2)
(1) పై Q బిందువు కలదు, కావున
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k + 1 = 0 _______ (3)
(1) పై R బిందువు కలదు, కావున
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0

(3) నుండి 2(\(\frac{-17}{6}\)) + k + 1 = 0
⇒ – 34 + 6k + 6 = 0
⇒ 6k = + 28
⇒ k = \(\frac{14}{3}\)
(2) నుండి 4g + \(\frac{14}{3}\) + 4 = 0
4g = \(\frac{-26}{3}\)
g = \(\frac{-13}{3}\)
∴ P, Q, R బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణం
⇒ x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))
y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y + 14 = 0 ______ (7)
P, Q, R, S లు చక్రీయాలు కావున S బిందువు (7) పై ఉంటుంది.
∴ 3k² – 17k + 14 = 0
⇒ 3k² – 3k – 14k + 14 = 0
⇒ 3k(k – 1) – 14(k – 1) = 0
⇒ (k – 1) (3k – 14) = 0
⇒ k = 1, \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
S = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం SS₁₁ = S₁² అని రుజువు చేయండి.
సాధన:

P బిందువు నుండి S = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు A, B ల వద్ద స్పృశిస్తాయి.
AB రేఖా సమీకరణం S₁ = 0
⇒ xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
ఈ స్పర్శరేఖలపై ఏదైనా బిందువు
Q(x₂, y₂) అనుకొనుము.
∴ Q యొక్క బిందు పథము P నుండి
S = 0 కు గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త
సమీకరణం అగును.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\) ను AB రేఖ విభజించే నిష్పత్తి – S₁₁ : S₁₂
∴ PB : QB = – S₁₁ : S₁₂ (లేదా) S₁₁ : S₁₂

∴ Q (x₂, y₂) బిందుపథ సమీకరణము S₁₁S = S₁²

ప్రశ్న 20.
y² = 4ax పరావలయంపై బిందువు ‘t’ వద్ద అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం చేస్తే t = ±√2 అని చూపండి.
సాధన:
దత్త పరావలయ సమీకరణం y² = 4ax ______ (1)
‘t’ వద్ద అభిలంబ రేఖాసమీకరణం tx + y = 2at + at³
⇒ \(\frac{t x+y}{2 a t+a t^3}\) = 1 _______ (2)
(1) ను (2) సహాయంతో సమఘాతపరచగా
y² = 4ax(\(\frac{t x+y}{2 a t+a t^3}\))
⇒ y² (2at + at³) = 4ax(tx + y)
⇒ y² (2t + t³) = 4x (tx + y)
⇒ 4tx² + 4yx – (2t + t³) y² = 0
అభిలంబ జ్యా, శీర్షం వద్ద లంబకోణం కావున
∴ x² గుణకం + y² గుణకం = 0
⇒ 4t – (2t + t³) = 0
⇒ 4t – 2t – t³ = 0
⇒ 2t – t³ = 0
⇒ – t(t² – 2) = 0
⇒ t² – 2 = 0
⇒ t² = 2
⇒ t = ±√2

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
1 + x = \(\frac{1}{t}\) అనుకొనిన
x = \(\frac{1}{t}\) – 1 ⇒ x = \([latex]\)[/latex]
అపుడు dx = \(\frac{-1}{t^2}\)dt

4t – 1 = z² అనుకొనుము.
4dt = 2zdz
dt = \(\frac{z}{2}\) dt

ప్రశ్న 22.
ధన పూర్ణాంకం n ≥ 2, I_n = \(\int{cosec}^n x d x\) dxకు లఘుకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి. దాని నుంచి \(\int{cosec}^5 x d x\) dx విలువ రాబట్టండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

2I = \(\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} d x\)
cos x = t అనుకొనుము.
అపుడు – sin x dx = dt
sin x dx = – dt
x = 0 ⇒ t = 1
x = π ⇒ t = -1

ప్రశ్న 24.
(x³ – 3xy²) dx + (3x²y – y³) dy = 0
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం
(x³ – 3xy²) dx + (3x²y – y³) dy = 0
⇒ x³ – 3xy²) dx = -(3x²y – y³) dy
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\)
ఇది సమఘాత సమీకరణం.
y = vx వ్రాయగా
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

సమాకలనం చేయగా

ఇదే కావలసిన సాధారణ సాధన.