AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015 in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0 ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తే ‘a’ విలువను, వృత్త వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0
∴ a = 2
⇒ x² + y² – \(\frac{3}{2}\)x + y = –\(\frac{1}{2}\) = 0
ఇచ్చట 2g = –\(\frac{3}{2}\) ⇒ g = \(\frac{-3}{4}\)
2f = 1 ⇒ f = \(\frac{1}{2}\) = మరియు c = –\(\frac{1}{2}\)
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)
= \(\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)
= \(\sqrt{\frac{9+4+8}{16}}\)
= \(\frac{1}{4}\) \(\sqrt{21}\)

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీచిన స్పర్శ రేఖ పొడవు ‘1’ అయితే ‘k’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
S = x² + y² + 2ky = 0 అనుకొనుము.
S = 0 వృత్తానికి (5, 4) నుండి స్పర్శరేఖ పొడవు 1 కావున
⇒ \(\sqrt{S_{11}}\) = 1
⇒ \(\sqrt{25+16+8 k}\) = 1
⇒ \(\sqrt{41+8 k}\) = 1
⇒ 41 + 8k = 1
⇒ 8k = 40
⇒ k = -5

ప్రశ్న 3.
(x – a)² + (y – b)² = c², (x – b)² + (y – a)² = c², (a ≠ b) వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణమును కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ (x – a)² + (y – b)² – c² = 0 అనుకొనుము
⇒ S ≡ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – c²) = 0
S¹ ≡ (x – b)² + (y – a)² – c² = 0
⇒ S¹ ≡ x² + y² – 2bx – 2ay + (a² + b² – c² ) = 0
S = 0, S¹ = 0 వృత్తాలకు ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము
S – S¹ = 0 is
⇒ -2ax – 2by + 2bx + 2ay = 0
⇒ -ax – by + bx + ay = 0
⇒ (b – a)x – (b – a)y = 0
⇒ x – y = 0

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయంపై నాఖీదూరం \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x₁, y₁) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది
y² = 2x నాభి నుండి దూరం \(\frac{5}{2}\) కనుక
\(y_1^2\) = 2x₁) మరియు x₁) + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ x₁ = 2
∴ \(y_1^2\) = 2(2) = 4 ⇒ y₁ = ±2
∴ కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2)

ప్రశ్న 5.
లంబ అతిపరావలయమును నిర్వచించి, దాని ఉత్కేంద్రతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక అతిపరావలయానికి తిర్యక్ అక్షము పొడవు, సంయుగ్మాక్షము పొడవు సమానమయితే ఆ అతిపరావలయాన్ని దీర్ఘచతురస్ర (లంబ) అతిపరావలయము అని అంటారు. దీర్ఘచతురస్ర అతి పరావలయానికి ఉత్కేంద్రీయత √2.
[b² = a² (e² – 1) ⇒ a² = a² (e² – 1)
⇒ 1 = e² – 1
⇒ e² = 2
⇒ e = √2]

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{e^x(1+x \log x)}{x} d x\) ను కనుగొనుము.
సాధన:
\(\int \frac{e^x(1+x \log x)}{x} d x\) = \(\int \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}\)
\(\int e^x\left[f(x)+f^1(x)\right] d x\) = e^x f(x) + c కావున
= e^x log x + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x[latex], x ∈ R ను కనుగొనుము.
సాధన:
[latex]\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x[latex]
Tan^-1 x = t అనుకొనుము
అపుడు [latex]\frac{1}{1+x^2}\) dx = dt
= ∫ sin t dt
= – cos t + c
= – cos(Tan^-1 x) + c
∴ \(\int \frac{\sin \left(\tan ^{-1} x\right)}{1+x^2} d x\) = – cos(Tan^-1 x) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) ను కనుగొనుము.
సాధన:
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) = \(\frac{5-1}{5+4}\) . \(\frac{5-3}{5+4-2}\). \(\frac{4-1}{5+4-4}\). \(\frac{4-3}{5+4-6}\)
= \(\frac{4}{9}\) . \(\frac{2}{7}\) . \(\frac{3}{5}\) . \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{8}{315}\)
∴ \(\int_0^{\pi / 2} \sin ^5 x \cos ^4 x d x\) = \(\frac{8}{315}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^2|1-x| d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
A, B యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్యలయితే y = A cos 3x + B sin 3x కు అనుగుణంగా వున్న అవకలన సమీకరణాన్ని ఏర్పరచండి.
సాధన:
y = A cos 3x + B sin 3x
y’ = A (- sin 3x) (3)+ B (cos 3x) (3)
= – 3A sin 3x + 3B cos 3x
y” = – 3A (cos 3x) (3) + 3B (- sin 3x) (3)
= – 9A cos 3x – 9B sin 3x
=-9(A cos 3x + B sin 3x)
= – 9y
⇒ y” + 9y = 0 అనునది కావలసిన అవకలజ సమీకరణము.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
వృత్త కేంద్రం x-అక్షంపై వుంటు (-2, 3) మరియు (4, 5) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (1)
అనుకొనుము
కేంద్రం = (-g, -f)
కేంద్రం X – అక్షం పై బిందువు కావున
∴ -f = 0 ⇒ f = 0
(1) వ సమీకరణము (-2, 3) మరియు (4, 5) బిందువుల గుండా పోతుంది. కావున
∴ 4 + 9 – 4g + 6f + c = 0
⇒ 4g – c – 13 = 0 _______ (2)
∴ 16 + 25 + 8g + 10f + c = 0
⇒ 8g + c + 41 = 0
(2) & (3)లను సాధించగా
(2) + (3) ⇒ 12g + 28 = 0
⇒ 3g + 7 = 0
⇒ g = \(\frac{-7}{3}\)
(2) నుండి
4(\(\frac{-7}{3}\)) – c – 13 = 0
⇒ – 28 – 3c – 39 = 0
⇒ 3c = – 67
c = –\(\frac{67}{3}\)
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2(\(\frac{-7}{3}\)) x + 2(0) y – \(\frac{67}{3}\) = 0
⇒ 3(x² + y²) – 14x – 67 = 0.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x + 4y – 8 – 0, వృత్తానికి AB ఒక జ్యా అయి దీని సమీకరణము x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0
L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y (4 + λ) – 8 – 3λ = 0 ______ (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\) f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ – (\(\frac{(-2+\lambda)}{2}\)) – (\(\frac{(4+\lambda)}{2}\)) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
⇒ – 2λ = 8 ⇒ λ = – 4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x² + y² – 2x + 4y – 8) -4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 13.
ఒకటో పాదంలో నాభి లంభాగ్రం వద్ద 9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ. అభిలంబరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన. ఇచ్చిన దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
9x² + 16y² = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
ఇచ్చట a² = 16, b² = 9
e = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
మొదటి పాదంలో నాభి లంబాగ్రం
= (ae, \(\frac{b^2}{a}\))
= (4. \(\frac{\sqrt{7}}{4}\), \(\frac{9}{4}\))
= (√7, \(\frac{9}{4}\))
∴ (√7, \(\frac{9}{4}\)) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము
\(\frac{x x_1}{a^2}\) + \(\frac{y y_1}{b^2}\) = 1
= \(\frac{x \sqrt{7}}{16}\) + \(\frac{y \cdot \frac{9}{4}}{9}\) = 1
= √7x + 4y = 16
⇒ √7x + 4y – 16 = 0
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము 4x – √7 y + λ = 0 అనుకొనుము
(√7, \(\frac{9}{4}\)) బిందువు గుండా పోతుంది కావున
⇒ 4√7 – √7 \(\frac{9}{4}\) + λ = 0
⇒ 16√7 – 9√7 + 4λ = 0
⇒ 4λ = -7√7
⇒ λ = \(\frac{-7 \sqrt{7}}{4}\)
∴ కావలసిన లంబరేఖ సమీకరణము 4x – √7y – \(\frac{-7 \sqrt{7}}{4}\) = 0
⇒ 16x – 4√7y – 7√7 = 0

ప్రశ్న 14.
x² + 3y² = 3 దీర్ఘ వృత్తానికి 4x + y + k = 0 సర్శరేఖ అయితే ‘k’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణము
x² + 3y² = 3
⇒ \(\frac{x^2}{3}\) + \(\frac{y^2}{1}\) = 1 _____ (1)
ఇచ్చట a² = 3, b² = 1
దత్త సమీకరణము 4x + y + k = 0
ఇచ్చట l = 4, m = 1, n = k
(2) వ రేఖ (1) కు స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము
a²l² + b²m² = n²
⇒ 3(4)² + 1(1)² = k²
⇒ 48 + 1 = k²
⇒ k² = 49
⇒ k = ± 7

ప్రశ్న 15.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి y = x – 7 రేఖకు,
i) సమాంతరంగాను మరియు
ii) లంబంగాను ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) + \(\frac{y^2}{3}\) = 1
a² = 4, b² = 3
స్పర్శరేఖ సమాంతరంగా y = x – 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = 1
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y = x ± \(\sqrt{4-3}\)
y = x ± 1

ii) స్పర్శరేఖ లంబంగా y – x = 7
m = స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = (-1)
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = (-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}\)
= – x ± 1
x + y = ± 1.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{4+5 \cos x}\) ను కనుగొనుము.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(xy² + x) dx + (yx² + y) dy = 0
సాధన:
ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణము
(xy² + x) dx + (yx² + y) dy = 0 ______ (1)
⇒ x(1 + y²) dx + y (1 + x²) dy = 0
⇒ \(\frac{x}{1+x^2}\) dx +\(\frac{y}{1+y^2}\) dy = 0
⇒ \(\frac{2 x}{1+x^2}\) dx +\(\frac{2 y}{1+x^2}\) dy = 0
సమాకలనం చేయగా
\(\int \frac{2 x}{1+x^2} d x+\frac{2 y}{1+y^2}\) = logC
log |1 + x² + log |1 + y²| = logC
⇒ log |(1 + x²) (1 + y²| = logC
(1) కు సాధారణ సాధన
(1 + x²) (1 + y²) = C

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(2, 0), (0, 1), (4, 5) మరియు (0, C) బిందువు చక్రీయాలు అయితే ‘C’ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
A = (2, 0), B (0, 1), C = (4, 5) మరియు D = (0, C) అనుకొనుము.
A, B, C బిందువుల ద్వారా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + k = 0 ________ (1) అనుకొనుము
∴ 4 + 0 + 4g + 0 + k = 0
⇒ 4g + k = -4 ______ (2)
0 + 1 + 0 + 2f + k = 0
⇒ 2f + k = -1 _______ (3)
16 + 25 + 8g + 10f + k = 0
⇒ 8g + 10f + k = -41 _______ (4)
(4) – (2) ⇒ 4g + 10f = – 37
⇒ 4g + 10f + 37 = 0 _____ (5)
(4) – (3) ⇒ 8g + 8f = -40
⇒ 8g + 8f + 40 = 0
⇒ 4g + 4f+ 20 = 0 ______ (6)
(5) – (6) ⇒ 6f + 17 = 0
⇒ 6f = -17
⇒ f = \(\frac{-17}{6}\) ______ (6)
(6) నుండి 4g + 4(\(\frac{-17}{6}\)) + 20 = 0
⇒ 24g – 68 + 120 = 0
⇒ 24g + 52 = 0
⇒ 6g + 13 = 0
⇒ 6g = -13
⇒ g = \(\frac{-13}{6}\)
(2) నుండి 4 (\(\frac{-13}{6}\)) + k = -4
-52 + 6k = -24
6k = 28
k = \(\frac{14}{3}\)
∴ g = \(\frac{-13}{6}\), f = \(\frac{-17}{6}\), k = \(\frac{14}{3}\)
∴ A, B, C ల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2(\(\frac{-13}{6}\))x + 2(\(\frac{-17}{6}\))y + \(\frac{14}{3}\) = 0
⇒ 3x² + 3y² – 13x – 17y+ 14 = 0 ______ (7)
A, B, C, D లు చక్రీయాలు కావున
∴ D బిందువు (7) పై ఉంటుంది
∴ 0 + 3C² – 0 – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 17C + 14 = 0
⇒ 3C² – 3C – 14C + 14 = 0
⇒ 3C (C – 1) -14 (C – 1) = 0
⇒ (C – 1) (3C – 14) = 0
⇒ C = 1 లేదా \(\frac{14}{3}\)

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0 and x² + y² + 4x – 6y+ 4 = 0 వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (2, 5),
r₁ = \(\sqrt{4+25-28}\) = 1

C₂ = (-2, 3)
r₂ = \(\sqrt{4+9-4}\) = 3
r₁ + r₂ = 4

C₁C₂ = \(\sqrt{(2+2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\) = \(\sqrt{20}\)
‘C’ బిందువు C₁ C₂ ని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
\(S_1^2\) = SS₁₁
(x.1 + \(\frac{9}{2}\) y – 2(x + 1) -5 (y + \(\frac{9}{2}\)) + 28)²
= [1 + \(\frac{81}{4}\) 4 – 10 × \(\frac{9}{2}\) + 28] (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(-x – \(\frac{1}{2}\)y + \(\frac{7}{2}\))²
= \(\frac{1}{4}\) (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(-2x – y + 7)² = (x² + y² – 4x − 10y + 28)
4x² + y² + 4xy – 28x – 14y + 49 = x² + y² – 4x − 10y + 28
3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
(3x + 4y – 21); (x – 1) = 0
3x + 4y – 21 = 0; x – 1 = 0

ప్రశ్న 20.
\(\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
2 cos x + 3 sin x = A \(\frac{d}{d x}\) (4 cosx + 5 sin x) + B(4 cosx + 5 sinx) అనుకొనుము.
= A(-4 sin x + 5 cos x) + B(4 cosx + 5 sinx)
ఇరువైపులా సరిపదాలను పొల్చగా
2 = 5A + 4B ⇒ 5A + 4B – 2 = 0 _______ (1)
3 = -4A + 5B ⇒ 4A – 5B + 3 = 0 _______ (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా

ప్రశ్న 21.
పూర్ణాంకము n ≥ 2 కు ∫ tanⁿ x dx కు లఘుకరణ సూత్రం రాబట్టుము మరియు ∫ tan⁶ x dx ను గణించండి. సాధన:
I_n = ∫ tanⁿ x dx అనుకొనుము
= ∫ Tan^{n – 2}x Tan²x dx
= ∫ Tan^{n – 2}x (sec²x – 1) dx
= ∫ Tan^{n – 2}x sec²x dx – ∫ Tan^{n – 2}x dx
= \(\frac{{Tan}^{n-2+1} x}{n-2+1}\) – I_{n – 2}
= \(\frac{1}{n-1}\) Tan^{n – 1} x – I_{n – 2}
∴ ∫ Tan⁶ x dx = \(\frac{1}{6-1}\)Tan⁵ x – I₄
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – [\(\frac{1}{4-1}\) Tan³ x – I₂]
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + ∫ Tan² x dx
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + ∫ (sec² x – 1) dx
= \(\frac{1}{5}\) Tan⁵x – \(\frac{1}{3}\) Tan³ x + Tanx – x + c

ప్రశ్న 22.
పరావలయానికి ప్రామాణిక సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై 5 లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ \(\overline{Y A Y^{\prime}} \cdot \overline{Z X Z}{ }^{\prime}\) ను – అక్షంగాను, \(\overline{Y^{\prime}}\) ను Y అక్షంగాను తీసుకొంటదాం. అప్పుడు A(0, 0) మూలబిందువు. = (a, 0), (a > 0) అనుకొంటే, Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం x + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ l కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}\) = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
(x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = \(\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = |x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y² = 4ax.

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) అనుకొనుము.


= π + π [0 – 1]
= π = π
∴ \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x} d x\) = \(\frac{\pi^2-\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)(π – 1)

ప్రశ్న 24.
(1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy ను సాధించండి.
సాధన:
(1 + y²) dx = (Tan^-1 y – x) dy
⇒ (1 + y²) \(\frac{d x}{d y}\) = Tan^-1 y – x
⇒ (1 + y²) \(\frac{d x}{d y}\) + x = Tan^-1 y
⇒ \(\frac{d x}{d y}\) + \(\frac{1}{1+y^2}\) x = \(\frac{1{Tan}^{-1} y}{1+y^2}\)
x లో y ప్రథమ పరిమాణ రేఖీయ అవకలన సమీకరణము
ఇచ్చట P = \(\frac{1}{1+y^2}\) మరియు Q = \(\frac{1{Tan}^{-1} y}{1+y^2}\)
I.F = \(e^{\int P d y}\)
= \(e^{\int \frac{1}{1+y^2} d y}\) = \(e^{{Tan}-1} y\)
∴ (1) కు సాధారణ సాధన
x \(e^{{Tan}-1} y\) = \(\int \frac{{Tan}^{-1} y}{1+y^2} e^{{Tan}^{-1} y} d y+c\)
వ్రాయగా Tan^-1 y = t
అపుడు \(\frac{1}{1+y^2}\) dy = dt
∴ x \(e^{{Tan}-1} y\) = \(\int t e^t d t+c\)
= e^t(t – 1) + c
= \(e^{{Tan}-1} y\)(Tan^-1 y – 1) + c