AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014 in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Question Paper March 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయుము.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x – 4y – 12 = 0 వృత్తములో సకేంద్రీయమై (-2, 14) బిందువు గుండా పోయే వృత్త సమీకరణమును కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త వృత్తములో సకేంద్రీయము అయ్యే వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 6x – 4y + k = 0 అనుకొనుము
ఈ వృత్తము (−2, 14) బిందువు గుండా పోతుంటే
4 + 196 – 6(- 2) – 4(14) + k = 0
⇒ 4 + 196 + 12 – 56 + k = 0
⇒ 212 – 56 + k = 0
⇒ 156 + k = 0
k = -156
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 4y – 156 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² = 4 వృత్తము యొక్క పరామితీయ సమీకరణములను కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము x² + y² = 4
కేంద్రం (h, k) = (0, 0)
వ్యాసార్థము r = 2
∴ x² + y² = 4 వృత్తము యొక్క పరామితీయ సమీకరణాలు
x = h + r cos θ,
= 0 + 2cos θ,
= 2 cos θ,

y = k + r sin θ
θ + 2sin θ
= 2 sin θ

ప్రశ్న 3.
x² + y² = a², x² + y² = ax + ay సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణం \(\frac{3 \pi}{4}\) అని చూపుము.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = a²
x² + y² – ax – ay = 0
కేంద్రం C₁ = (0, 0), C₂ = (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\))

దత్తవృత్తాల మధ్య కోణము ‘0’ అయితే

ప్రశ్న 4.
y² = 8x, పరావలయముపై నాభిదూరము 10 గల బిందువులు నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.
y² = 8x పరావలయం పై బిందువు P(x₁, y₁) అనుకొనుము.
నాభిదూరము = 10
∴ y₁² = 8x₁
x₁ + a = 10
⇒ x₁ + 2 = 10
⇒ x₁ = 8
∴ y₁² = 64 ⇒ y₁ = ± 8
∴ కావలసిన బిందువులు (8, 8) మరియు (8, – 8).

ప్రశ్న 5.
లంబ అతిపరావలయమును నిర్వచించి దాని ఉత్కేంద్రతను కనుగొనుము.
సాధన:
అతిపరావలయంలో దీర్ఘాక్షం పొడవు (2a) మరియు హ్రస్వాక్షం పొడవు (2b)తో సమానం అయిన దానిని లంబ అతిపరావలయం అంటారు.
e = \(\sqrt{\frac{a^2+a^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{2 a^2}{a^2}}\) = √2
లంబ అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత = √2

ప్రశ్న 6.
x ∈ I C(-2, ∞) కి \(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
x + 2 = t² అనుకొనుము
అపుడు dx = 2t dt
∴ \(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) = \(\int \frac{1}{t\left(t^2+1\right)}\) 2t dt
= \(2 \int \frac{1}{t^2+1}\)dt
= 2 tan^-1 (t) + c
= 2 tan^-1 (\(\sqrt{x+2}\)) + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{x+2}\)
∴ \(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\)dx = \(\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right) d x\))
= log |x + 1| – log |x + 2| + c
= log \(\frac{x+1}{x+2}\) + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x . d x\) ను గణించండి.
సాధన:
sin² x cos⁴ x సరిప్రమేయము కావున
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x . d x\) = \(4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^4 x d x\)
= 4.\(\frac{4 – 1}{4 + 2}\).\(\frac{4 – 3}{2 + 2}\).\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\pi}{2}\)
= 4.\(\frac{3}{6}\).\(\frac{1}{4}\).\(\frac{1}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{8}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
(\(\frac{d^3 y}{d x^3}\))² – 3(\(\frac{d y}{d x}\))² – e^x = 4 పరిమాణం, తరగతి కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త అవకలన సమీకరణము
(\(\frac{d^3 y}{d x^3}\))² – 3(\(\frac{d y}{d x}\))² – e^x = 4
పరిమాణము = 3
తరగతి = 2

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
A, B బిందువుల x నిరూపకాలు x² + 2ax – b² = 0 కు మూలాలు, y నిరూపకాలు, y ²+ 2py – q² = 0 కు మూలాలు అయితే, A, B లు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉండే వృత్త సమీకరణం కనుగొనుము.
సాధన:
A = (x₁, y₁) మరియు B (x₂, y₂) అనుకొనుము.
A, B బిందువుల x నిరూపకాల x² + 2ax – b² = 0కు మూలాలు కావున
∴ x₁ + x₂ = – 2a, x₁x₂ = -b²
A, Bల y – నిరూపకాల y² + 2py – q² = 0కు మూలాలు కావున
∴ y₁ + y₂ = -2p మరియు у₁y₂ = – q²
A, B లు వ్యాసాగ్రాలుగా గల వృత్త సమీకరణం
(x – x₁) (x – x₂) + (y – y₁)(y – y₂) = 0
⇒ x² – (x₁ + x₂) x + × x₁x₂ + y² – (y₁ + y₂)y + y₁y₂ = 0
⇒ x² – (-2a)x + (-b²) + y² – (- 2p)y + (- q²) = 0
⇒ x² + y² + 2ax + 2py – b² – q² = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0, x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0 వృత్తలు స్పృశించుకొంటాయని చూపి, వాటి స్పర్శ బిందువును కనుగొనుము.
సాధన:

దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 8x – 2y + 8 = 0,
కేంద్రం C₁ = (4, 1)
r₁ = \(\sqrt{16+1-8}\)
= √9
= 3
d = C₁C₂
= \(\sqrt{(4-1)^2+(1+3)^2}\)
= \(\sqrt{9+16}\) = 5

x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0
కేంద్రం C₂ = (1,-3)
r₂ = \(\sqrt{1+9-8}\)
= 2
∴ C₁C₂ = r₁r₂
∴ దత్త వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటాయి.
C₁C₂ ను P బిందువు అంతరంగా విభజిస్తుందని అనుకొనుము.
P = (\(\frac{3(1)+2(4)}{3+2}\), \(\frac{3(-3)+2(1)}{3+2}\))
= (\(\frac{3 + 8}{5}\), \(\frac{-9 + 2}{5}\)) = (\(\frac{11}{5}\), \(\frac{-7}{5}\))
∴ స్పర్శ బిందువు = (\(\frac{11}{5}\), \(\frac{-7}{5}\))

ప్రశ్న 13.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తమునకు హ్రస్వ, దీర్ఘ అక్షాల పొడవులు, నాభి లంబ పొడవు, ఉత్కేంద్రతలను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త సమీకరణం
9x² + 16y² = 144
⇒ \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
a² = 16
⇒ a = 4
b² = 9
⇒ b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2(4) = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2(3) = 6
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘ వృత్తానికి x cos α + y sin α = p స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమము కనుగొనండి.
సాధన:
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘ వృత్తానికి lx + my + n = 0 స్పర్శరేఖ కావడానికి నియమం
a²l² + b²m² = n²
దత్త సరళరేఖ సమీకరణం x cos α + y sin α = p
ఇచ్చట l = cos α, m = sin α మరియు n = – p
∴ కావలసిన నియమము
a²cos² α + b²sin² α = (- p)²
⇒ a²cos² α + b²sin² α = p²

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు (i) సమాంతరము (ii) లంబముగా ఉంటూ అతిపరావలయం x² – 4y² = 4 ను స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త అతిపరావలయ సమీకరణం x² – 4y² = 4
⇒ \(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{1}\) = 1
a² = 4 ⇒ a = 2
b² = 1 ⇒ b = 1

(i) x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m = –\(\frac{1}{2}\)
c² = a²m² – b²
= 4(\(\frac{1}{4}\)) – 1 = 0
⇒ c = 0
x + 2y = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = mx + c
⇒ y = –\(\frac{-1}{2}\)x + 0
⇒ 2y = – x
⇒ x + 2y = 0

ii) x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m = –\(\frac{-1}{-1/2}\) = 2
c² = a²m² – b²
= 4(4) – 1 = 15
⇒ c = ±\(\sqrt{15}\)
∴ x + 2y = 0 కు లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖా సమీకరణం
y = mx + c ⇒ y = 2x±\(\sqrt{15}\)
2x – y ±\(\sqrt{15}\) = 0

ప్రశ్న 16.
\(\int_{p / 6}^{p / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

2I = \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{\pi}{6}\)
2I = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ I = \(\frac{\pi}{12}\)
∴ \(\int_{p / 6}^{p / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx = \(\frac{\pi}{12}\)

ప్రశ్న 17.
cos x . \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec² x ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త అవకలన సమీకరణం
cos x \(\frac{d y}{d x}\) + y sin x = sec² x
\(\frac{d y}{d x}\) + (tan x)y = sec³ x ______ (1)
\(\frac{d y}{d x}\) + p(x)y = Q(x) తో పోల్చగా
ఇచ్చట P = tan x మరియు Q = sec³x
I.F. = e^∫pdx
= e^{∫tan x dx} = e^{log sec x} = sec x
దత్త సమీకరణానికి సాధారణ సాధన
e^∫pdx = \(\int Q e^{\int P d x} d x+c\)
⇒ y secx = ∫ sec³x. sec x dx + c
= ∫(1 + tan² x) sec² x dx + c
= ∫(sec² x + tan²x sec² x) dx + c
= ∫sec² x dx + tan² x sec² x dx + c
= tanx + \(\frac{\tan ^3 x}{3}\) + c

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(4, 1), (6, 5) బిందువుల గుండా పోయే వృత్త కేంద్రము 4x + 3y – 24 = 0 రేఖపై ఉంటే ఆ వృత్త సమీకరణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ____ (1) అనుకొనుము
(1) వ సమీకరణం (4, 1) బిందువు గుండా పోతుంటే
16 + 1 + 8g + 2f + c = 0
8g + 2f + c = -17 ______ (2)
(1) వ సమీకరణం (6, 5) బిందువు గుండా పోతుంటే
36 + 25 + 12g + 10f + c = 0
12g + 10f + c = -61 _______ (3)
వృత్త కేంద్రం (-g, -f) సరళరేఖ 4x + 3y – 24 = 0 పై ఉంటుంది, కావున
⇒ 4(-g) + 3(-f) – 24 = 0
⇒ -4g – 3f – 24= 0
⇒ 4g + 3f + 24 = 0 ______ (4)
(3) – (2) ⇒ 4g + 8f = – 44
⇒ -4g + 8f + 44 = 0 ______ (5)
(5) – (4) ⇒ 5f + 20 = 0
⇒ f + 4 = 0
⇒ f = – 4
(5) నుండి
4g + 8(-4) + 44 = 0
4g + 12 = 0
⇒ g + 3 = 0
⇒ g = -3
(2) నుండి
8(-3) + 2(-4) + c = – 17
– 24 – 8 + c = -17
⇒ c = 15
∴ కావలసిన దత్త సమీకరణం
x² + y² + 2(-3)x + 2(-4)y + 15 = 0
⇒ x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0, x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుగొనండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0
x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0
కేంద్రం C₁ = (2, 5)
r₁ = \(\sqrt{4 + 25 – 28}\)
= √1 = 1

కేంద్రం C₂ = (-2, 3)
r₁ = \(\sqrt{4 + 9 – 4}\)
= √9 = 3

C₁C₁ = \(\sqrt{(-2-2)^2+(3-5)^2}\)
= \(\sqrt{6+4}\)
= \(\sqrt{20}\)
∴ C₁, C₂ > r₁ + r₂
C₁, C₂ ను P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుందని అనుకొనుము.
1(-2)+3(2) 1(3)+3(5)
∴ P = (\(\frac{1(-2)+3(2)}{1+3}\), \(\frac{1(3)+3(5)}{1+3}\))
= (1, \(\frac{1}{2}\))
వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం
S₁² = SS₁₁

⇒ 4x² + y² + 49 + 4xy – 28x – 14y
= x² + y² – 4x – 10y + 28
⇒ 3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
⇒ (x – 1) (3x + 4y – 21) = 0
⇒ x – 1= 0, 3x + 4y – 21 = 0

ప్రశ్న 20.
\(\int \frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4 = A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B (3 cos x – 4sin x) + C అనుకొనుము
ఇరువైపులా sin x, cos x గుణకాలను పోల్చగా
2 = 3A – 4B ⇒ 3A – 4B – 2 =0
3 = 4A + 3B ⇒ 4A + 3B – 3 = 0

ప్రశ్న 21.
ధన పూర్ణాంకం n ≥ 2 I_n = \(\int \sin ^n x d x\), కు లఘూకరణ సూత్రమును రాబట్టండి.
దాని నుండి \(\int \sin ^4 x d x\) ను గణించండి.
సాధన:
I_n = \(\int \sin ^n x d x\)
= \(\int \sin ^{n-1} x \sin x d x\)

ప్రశ్న 22.
y² = 4ax, x² = 4by అనే పరావలయాల (మూల బిందువు వద్ద కాకుండా) వ్యతిచ్ఛేదక కోణం tan^-1\(\left[\frac{3 a^{1 / 3} b^{1 / 3}}{2\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)}\right]\) అని చూపండి.
సాధన:
a > 0 మరియు b > 0 అనుకొనుము.
మూలబిందువు కాకుండా పరావలయం ఖండన బిందువు P(x, y) అనుకొనుము దత్త పరావలయ సమీకరణాలు
y² = 4ax
⇒ y⁴ = 16a²x² _______ (1)
x² = 4by ______ (2)
(1), (2)ల నుండి ‘x’ ను తొలగించగా
y⁴ = 16a². 4by
= 64a² by
y³ = 64a² b
y = 4a^2/3 b^1/3
x = \(\frac{y^2}{4 a}\) = \(\frac{16 a^{4 / 3} b^{2 / 3}}{4 a}\)
= 4a^1/3b^2/3
∴ P = (4a^1/3 b^2/3, 4a^2/3 b^1/3)
(1) ను ఇరువైపులా ‘x’ దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2y \(\frac{d y}{d x}\) = 4a
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 a}{y}\)
m₁ = (\(\frac{d y}{d x}\))_p = \(\frac{2 a}{4 a^{2 / 3} b^{1 / 3}}\)
= \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{a}{b}\))^1/3
(2) ను ఇరువైపులా ‘x’ దృష్ట్యా అవకలనము చేయగా
2x = 4b \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x}{2 b}\)
m₂ = (\(\frac{d y}{d x}\))_p = \(\frac{4 a^{1 / 3} b^{2 / 3}}{2 b}\) = 2(\(\frac{a}{b}\))^1/3
P వద్ద దత్త వక్రాల స్పర్శరేఖల మధ్య లఘుకోణం ‘θ’ అనుకొనిన

ప్రశ్న 23.
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (దీర్ఘవృత్తం)తో పరిబద్దమున ప్రదేశ వైశాల్యం π ab అని చూపండి.
దీని నుండి x² + y² = a² వృత్త వైశాల్యము రాబట్టండి.
సాధన:
x మరియు y అక్షాల దృష్ట్యా దీర్ఘవృత్తం సౌష్ఠవము.
దత్త దీర్ఘవృత్త సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
⇒ \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 – \(\frac{x^2}{a^2}\)
⇒ y² = b²(\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\))
y = ±\(\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2}\)
దీర్ఘవృత్త వైశాల్యం = 4. (OAB వైశాల్యం)

= πab
a = అయిన
వృత్త వైశాల్యం π.a.a = πa² చ. యూ.

ప్రశ్న 24.
(1, \(\frac{\pi}{4}\)) బిందువు గుండా పోయే x sin² \(\frac{y}{x}\) dx =
= y dx – x dy అవకలన సమీకరణం సాధనను కనుగొనుము.
సాధన:

⇒ d(\(\frac{y}{x}\)) + \(\frac{1}{x}\)sin² (\(\frac{y}{x}\))dx = 0
⇒ cosec²(\(\frac{y}{x}\))d(\(\frac{y}{x}\)) + \(\frac{1}{x}\) + dx = 0
సమాకలనం చేయగా
\(\int{cosec}^2\left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right)\) + \(\int \frac{1}{x} d x=c\)
– cot (\(\frac{y}{x}\)) + log|x|= c
ఈ వక్రం (1, \(\frac{\pi}{2}\)) = బిందువు గుండా పోతుంది కావున
– cot(1, \(\frac{\pi}{4}\)) + log|1|= c
⇒ c = -1
కావలసిన ప్రత్యేక సాధన
log|x| – cot(\(\frac{y}{x}\)) + 1 = 0.