AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 9 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 9 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 9 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే a, b ల విలువలు కనుక్కోండి. ఇంకా దీని వ్యాసార్ధం, కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తాన్ని సూచిస్తే a = 3, h = 0
∴ ax² + bxy + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ b = 0, a = 3
3x² + 3y² – 5x + 2y – 3 = 0
x² + y² – \(\frac{5}{3}\)x + \(\frac{2}{3}\)y – 1 = 0
g = – \(\frac{5}{6}\); f = \(\frac{2}{6}\); c = -1
C = (- g, – f) = (\(\frac{5}{6}\), –\(\frac{1}{3}\))
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{9}+1}\)
= \(\frac{\sqrt{65}}{6}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P(2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (2, 3) ⇒ x₁ = 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ధృవ రేఖ x . 2 + y . 3 + 3(x + 2) + 4(y + 3) – 96 = 0
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 – 96 = 0
5x + 7y – 78 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 12x – 6y + 41 = 0; x² + y² + 4x + 6y – 59 = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

C₁ = (6, 3)
r₁ = (36 + 9 – 41)^1/2
r₁ = 2

C₂ = (-2,-3)
r₂ = (4 + 9 + 59)^1/2
r₂ = (72)^1/2 = 6√2

C₁C₂ = d = \(\sqrt{(6+2)^2+(3+3)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\) = 10
cos θ = = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
= \(\frac{100-4-72}{2 \times 2 \cdot \sqrt{72}}\) = \(\frac{24}{4 \times 6 \sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = 45°

ప్రశ్న 4.
4y² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం శీర్షం, నాభులు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4y² + 12x – 20y + 67 = 0
4y² – 20y = -12x – 67
y² – 5y = -3x – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{25}{4}\) కూడగా
y² – 5y + \(\frac{25}{4}\) = -3x- \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{25}{4}\)
(y – \(\frac{5}{2}\))² = -3x- \(\frac{42}{4}\)
= -3(x + \(\frac{7}{2}\))
(y – \(\frac{5}{2}\))² = -3[x – (-\(\frac{7}{2}\))]
∴ h = –\(\frac{7}{2}\), k = \(\frac{5}{2}\), a = \(\frac{-3}{4}\)
శీర్ఘం A(\(\frac{-7}{2}\), \(\frac{5}{2}\))
నాభి. s (h + a, k) = (\(\frac{-7}{2}\) – \(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{2}\))
= (\(\frac{-17}{2}\), \(\frac{5}{2}\))

ప్రశ్న 5.
3x = ±5yలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా కలిగి, శీర్షాలు (±5, 0) గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణం 3x = ± 5y
3x – 5y = 0, 3x + 5y = 0
అనంత స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి సమీకరణం
(3x – 5y) (3x + 5y) = 0
9x² – 25y² = 0
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = k
అతిపరావలయం శీర్షం (5, 0) గుండా పోతుంది.
9(5)² – 0 = k ⇒ k = 225
అతిపరావలయ సమీకరణం 9x² – 25y² = 225

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమాకలనిని గణించండి.
∫ cos mx cos nx dx, x ∈ R, m ≠ n, m, n లు ధన పూర్ణాంకాలు.
సాధన:
∫ cos m n. cos nx dx = \(\frac{1}{2}\) ∫ 2 cos mx.cos nx dx
= \(\frac{1}{2}\)(cos (m + n) x + cos (m – n) x) dx
= \(\frac{1}{2}\) [\(\frac{\sin (m+n) x}{m+n}\) + \(\frac{\sin (m-n) x}{m-n}\)] + c

ప్రశ్న 7.
x ∈ I ⊂ R\ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ z} అయితే \(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) dx = ∫ tan⁴ x . sec² x dx
f : I → R ను f(x) గా నిర్వచిద్దాం.
= tan x, f'(x) = sec²x
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x}\) = ∫ [f(x)]⁴ . f'(x)dx = \(\frac{[f(x)]^5}{5}\) + c.
= \(\frac{1}{5}\) tan⁵ x + c.

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^n x d x=\int_0^{\pi / 2} \cos ^n x d x\) అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sinⁿx.

ప్రశ్న 9.
y = x² పరావలయంతోను, X – అక్షం, x = -1, x = 2 రేఖలతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

కావలసిన వైశాల్యం
\(\int_{-1}^2 x^2 d x=\left(\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^2\)
= \(\frac{1}{3}\)(2³ – (-1)³)
= \(\frac{1}{3}\)(8 + 1) = \(\frac{9}{3}\) = 3.

ప్రశ్న 10.
అవకలన సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = -p²y పరిమాణం తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) లో బహుపది 1 లో తరగతి
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) గరిష్ట పరిమాణము 2 పరిమాణువు

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (-1, 2) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ x² + y² + 4x + 6y = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుందని చూపి, స్పర్శ బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
x² + y² – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (−1, 2) వద్ద స్పర్శరేఖ S₁ = 0
అంటే x(-1) + y(2) – 2(x – 1) – 4(y + 2) + 7 = 0
⇒ -3x – 2y + 1 = 0
⇒ 3x + 2y – 1 = 0
ఈ రేఖ x² + y² + 4x + 6y = 0 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన r = d కావలయును.
ఇచ్చట వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\sqrt{4+9}\) = \(\sqrt{13}\)
d = వృత్త కేంద్రం C (-2, -3) నుండి రేఖ 3x + 2y – 1 = 0 మీదకు లంబదూరం
⇒ d = \(\frac{|3(-2)+2(-3)-1|}{\sqrt{13}}\) = \(\sqrt{13}\) ∴ r = d
⇒ రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
స్పర్శబిందువు P(x₁, y₁) అనుకుంటే, ఇది C(-2, -3) నుండి రేఖ మీదకు లంబపాదం అవుతుంది.
\(\frac{x_1+2}{3}\) = \(\frac{y_1+3}{2}\) = – (\(\frac{-6-6-1}{13}\)) = 1
⇒ x₁ + 2 = 3 ⇒ x₁ = 1
y₁ + 3 = 2 ⇒ y₁ = -1
∴ స్పర్శబిందువు = (1, -1)

ప్రశ్న 12.
\(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) = \(\frac{1}{c}\) అయితే
x² + y² + 2ax + c = 0, x² + y² + 2by + c = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (-a, 0) మరియు C₂ (0, -b)
1వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{a^2-c}\) = r₁
2వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{b^2-c}\) = r₂
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(a² + b²) = a² – c + b² – c + 2 \(\sqrt{a^2-c}\)\(\sqrt{b^2-c}\)
c = \(\sqrt{a^2-c}\). \(\sqrt{b^2-c}\)
c² = (a² – c) (b² – c)
c² = -c (a² + b²) + a²b² + c²
లేదా (a² + b²) = a²b² లేదా \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\)

ప్రశ్న 13.
9x² + 16y² = 144 దీర్ఘ వృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. సాధన:
దత్త సమీకరణం 9x² + 16y² = 144
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2.4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2.3 = 6
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0, 0)
నాభులు (±ae, 0) (±√7, 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ±\(\frac{a}{e}\)
x = ±4.\(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ±\(\frac{16}{\sqrt{7}}\); √7x = ±16

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే సమీకరణం
\(\frac{x}{a}\)α cos(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) + \(\frac{y}{b}\)β sin (\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) = cos (\(\frac{\alpha-\beta}{2}\)) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α, b sin α) మరియు Q(a cos β, b sin β).

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 యొక్క ఏదైనా స్పర్శరేఖపై నాభులు లంబపాదాలు అనుబంద (సహాయక వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1

స్పర్శరేఖా సమీకరణం
y = mx ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
y – mx = ±\(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) _____ (1)
(±ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీదికి గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{m}\)(x + ae)
⇒ my – (x + ae)
x + my = ±ae _______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా,
(y – mx)² + (x + my)² = a²m² – b² + a²e²
⇒ y² + m²x² – 2mxy + x² + m²y² + 2mxy
= a²m² – a²(e² – 1)+ a²e²
⇒ (x² + y²) (1 + m²)
= a²m² – a²e² + a² + a²e²
= a²(1 + m²).
x² + y² = a² ఇది సహాయక వృత్తము.
నాభుల నుండి స్పర్శరేఖ మీదకు గీయబడిన లంబపాదాలు సహాయక వృత్తం మీద ఉంటాయి.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
f(x) = \(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x}\) dx అనుకోండి.

ప్రశ్న 17.
(x + y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1 ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1 y + 1
\(\frac{d y}{d x}\) – x = y + 1
I.F. = \(e^{\int-d y}\) = e^-y
x. e^-y = ∫e^-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e^-y + ∫e^-y. dy
= -(y + 1) e^-y – e^-y
= -(y + 2) e^-y + c
x = -(y + 2) + c. e^-y

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(1, 1), (- 6, 0), (- 2, 2), (- 2, – 8) బిందువులు చక్రీయాలు అని చూపి వాటి గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (i)
ఈ వృత్తము A (1, 1) గుండా పోతూ
1 + 1 + 2g + 2f + c = 0
⇒ 2g + 2f + c = 2 _____ (ii)
ఈ వృత్తము B (- 6, 0) గుండా పోతూ
36 + 0 – 12g + 0 + c = 0
– 12g + c = -36 _______ (iii)
ఈ వృత్తము C ( – 2, 2) గుండా పోతూ
4 + 4 – 4g + 4f + c = 0
– 4g + 4f + c = 8 ______ (iv)
(iii) – (iv) చేయగా – 8g – 4f = 0
⇒ 2g + f = 7
(i) – (ii) చేయగా 14g + 2f = 34
7g + f = 17 _____ (v)
(iv) నుండి (v) సాధించండి g = 2, f = 3
g = 2, f = 3 అని (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 6 + c = -2
c = – 12
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0
(− 2, – 8) ను సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 64 – 8 – 48 – 12 = 68 – 68 = 0
(− 2, – 8) బిందువుపై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0

ప్రశ్న 19.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూల బిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూల బిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\)
QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = – \(\frac{x_1}{y_1}\) (x – x₁)
yy₁ – \(y_1^2\) = – xx₁ + \(x_1^2\)
xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 ______ (1)
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 _____ (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా OQ, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము x² + y² + (2gx + 2fy)
\(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{\left(x x_1+y y_1\right)^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) = 1.
x²[1 + \(\frac{2 g x_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c x_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\)]
y²[1 + \(\frac{2 f y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c y_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\)] + (……………) xy = 0
OQ, OR లు లంబాలు.

ప్రశ్న 20.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x – y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{4}\), \(\frac{8}{2}\)) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు
m’ = – \(\frac{1}{m}\) = – \(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = m’x + c’
= (-\(\frac{1}{2}\)) = x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}\) = \(\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = -8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = – x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^{1^2}}\), \(\frac{2 a}{m^{\prime}}\))
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\) = (16, -16)

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{\sin x \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
\(\int \frac{\sin x \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) = \(\int \frac{-t d t}{t^2+3 t+2}\)
= \(-\int \frac{t}{t^2+3 t+2}\) dt ______ (1)
\(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{t}{(t+1)(t+2)}\) అనుకోండి
= \(\frac{A}{t+1}\) + \(\frac{B}{t+2}\)
⇒ t = A(t + 2) + B(t + 1) ______ (2)
(2) లో t = -1 ప్రతిక్షేపించగా
– 1 = A(-1 + 2) ⇒ A = -1
(2) లో t = -2 ప్రతిక్షేపించగా
-2 = B(-2 + 1) ⇒ B = 2

= log |t + 1|- 2 log |t + 2| + C
= log |1 + cos x|- 2 log |2 + cos x| + C
= log |1 + cos x| – log (2 + cos x)² + C
= log \(\left|\frac{1+\cos x}{(2+\cos x)^2}\right|\) + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\), x ∈ (-1, 3) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x\) dx ను గణించండి.
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా
dx = sec² θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\) ను గణించండి.
సాధన:
x = X + h, y = Y + k అయితే \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలను h + 2k – 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం