AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 8 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 8 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 8 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 వృత్తానికి (- 1, 1) వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (- 1, 1) మరియు S = x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
x (-1) + y.1 – 3(x – 1) + 2(y + 1) – 12 = 0
– x + y – 3x + 3 + 2y + 2 – 12 = 0
– 4x + 3y – 7 = 0
(లేదా) 4x – 3y + 7 = 0

ప్రశ్న 2.
S ≡ x² + y² + x + y – 24 ; P = (3, -4) ప్రతి S = 0 వృత్తానికి P వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
అభిలంబరేఖ సమీకరణము
(x – x₁) (y₁ + f) – (y – y₁) (x₁ + g) = 0
= (x – 3) [4 + \(\frac{1}{2}\)] – (y + 4) [3 + \(\frac{1}{2}\)] = 0
– \(\frac{7}{2}\)(x – 3) – \(\frac{7}{2}\) (y + 4) = 0 ⇒ (x – 3) + (y + 4) = 0
x – 3 + y + 4 = 0
x + y + 1 = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 2lx + g = 0; x² + y² + 2my – g = 0 సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఖండించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
g₁ = -l; f₁ = 0, c₁ = g, g₂ = 0, f₂ = m, c₂ = -g దత్త వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకొనే నియమము
2g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂
2(-l) (0) + 2(0) (m) = g – g
0 = 0
∴ రెండు వృత్తాలు లంబంగా ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న 4.
(3, -2) శీర్షంగాను, (3, 1) నాభిగాను గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి శీర్షాల x నిరూపకాలు 3తో సమానం. పరావలయ అక్షం x = 3
ఇది Y – అక్షానికి సమాంతరంగా శీర్షానికి ఎగువన (పైన నాభి ఉంటుంది.
a = నాభి, శీర్షాల మధ్యదూరం = 3.
∴ పరావలయ సమీకరణం
(x – 3)² = 4(3) (y + 2)
i.e., (x – 3)² = 12(y + 2).

ప్రశ్న 5.
తిర్యక్ అక్షం పొడవు 6 గా కలిగి కేంద్రం, నాభులను కలిపే రేఖాఖండానికి శీర్షం మధ్య బిందువుగా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

CA = AS అని ఇవ్వబడింది.
a = ae – a
2a = ae ⇒ e = 2
తిర్యక్ అక్షం పొడవు = 2a = 6 ⇒ a = 3
b² = a²(e² – 1) = 9(4 – 1) = 27
అతిపరావలయ సమీకరణం = \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{9}\) = \(\frac{y^2}{27}\) = 1′
= 3x² – y² = 27

ప్రశ్న 6.
\(\int \frac{d x}{x^2+x+1}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫e^{log(1+ tan2x}) dx I ⊂ R\ {\(\frac{(2 n+1) \pi}{2}\) : n ∈ Z} ను సాధించండి.
సాధన:
∫e^{log(1 + tan2x}) dx = ∫e^{log sec2} dx = ∫ sec²x dx = tan x + c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x\) అవధి మొత్తంగా కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int_0^4\left(x+e^{2 x}\right) d x\) = \(\left[\frac{x^2}{2}+\frac{e^{2 x}}{2}\right]_0^4\) = \(\frac{16}{2}\) + \(\frac{e^8}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{15+e^8}{2}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^4|2-x| d x\) ను గణించండీ.
సాధన:

= 2 – 0 + 2 = 4

ప్రశ్న 10.
నిరూపకాక్షాలు అనంత స్పర్శరేఖలుగా ఉన్న లంబ అతిపరావలయాలు, అనుగుణంగా ఉండే అవకలన సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
లంబ అతిపరావలయ సమీకరణము xy = c², c యాదృచ్ఛిక స్థిరాంకం
x దృష్ట్యా అవకలనం చేయగా x \(\frac{d y}{d x}\) + y = 0

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x cos α + y sin α = a, x sin α – y cos α = b (α పరామితి) సరళరేఖల ఖండన బిందువు పథం ఒక వృత్తమని చూపండి.
సాధన:
దత్త రేఖల సమీకరణాలు
x cos α + y sin α = a
x sin α – y cos α = b
p (x₁, y₁) ఖండన బిందువు
x₁ cos α + y₁ sin α = a _______ (1)
x₁ sin α – y₁ cos α = b ______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కూడగా
(x₁cos α + y₁sin α)² + (x₁sin α – y₁cos α)² = a² + b²
\(x_1^2\) cos² α + \(y_1^2\) sin² α + 2x₁y₁
cos α sin α + \(x_1^2\) sin² α + \(y_1^2\) cos² α – 2x₁y₁ cos α sin α = a² + b²
\(x_1^2\) (cos² α + sin² α) + \(y_1^2\) (sin² α + cos² α) = a² + b²
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) = a² + b²
p(x₁, y₁) బిందుపథం ఒక వృత్తం. దాని సమీకరణము x² + y² = a² + b²

ప్రశ్న 12.
S ≡ x² + y² + 3x + 5y + 4 = 0, S’ = x² + y² + 5x + 3y + 4 = 0 ల ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణం, దాని పొడవును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
S ≡ x² + y² + 3x + 5y + 4 = 0 _______ (1)
మరియు S’ ≡ x² + y² + 5x + 3y + 4 = 0 ________ (2)
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణం S – S’ = 0
– 2x + 2y = 0
L ≡ x – y = 0

= 2√4 = 4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం S ≡ \(\frac{x^2}{a^2}\) = \(\frac{y^2}{b^2}\) – 1 = 0 పై బిందువు P(x₁, y₁) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణం \(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1^1}\) = a² – b² (x₁ = 0, y₁ ≠ 0) అని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం S = 0 పై బిందువు P(x₁, y₁) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణం
S₁ ≡ \(\frac{x x_1}{a^2}\) + \(\frac{y y_1}{b^2}\) – 1 = 0
∴ P వద్ద స్పర్శరేఖ వాలు = \(\frac{-x_1 / a^2}{y_1 / b^2}\) = \(\frac{-b^2 x_1}{a^2 y_1}\)
∴ P వద్ద అభిలంబ రేఖ వాలు = \(\frac{a^2 y_1}{b^2 x_1}\)
P(x₁ y₁) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణం (y – y₁)
= \(\frac{a^2 y_1}{b^2 x_1}\) (x – x₁)
దీనిని సూక్ష్మీకరిస్తే \(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1^1}\) = a² – b²

ప్రశ్న 14.
2x² + 3y² = 11 దీర్ఘవృత్తానికి y నిరూపకం 1 గా గల బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘ వృత్తం సమీకరణం 2x² + 3y² = 11
y = 1 అని ఇవ్వబడింది.
2x² + 3 = 11 ⇒ 2x² = 8
x² = 4
x = ± 2
స్పర్శ బిందువులు P(2, 1) మరియు Q(- 2, 1)

సందర్భం (i) : P(2, 1)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x. 2 + 3y. 1 = 11
4x + 3y = 11
అభిలంబ రేఖ, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంది.
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = k
అభిలంబ రేఖ P(2, 1) గుండా పోతుంది; 6 – 4 = k ⇒ k = 2
P వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x – 4y = 2

సందర్భం (ii) : Q(-2, 1).
Q వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణము 2x(-2) + 3y.1 = 11
– 4x + 3y = 11
4x – 3y + 11 = 0
అభిలంబ రేఖా సమీకరణము 3x + 4y = k గా తీసుకొనవచ్చును
అభిలంబ రేఖ Q(-2, 1). గుండా పోతుంది.
– 6 + 4 = k ⇒ k = -2
Q వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణము
3x + 4y = -2 లేదా 3x + 4y + 2 = 0

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\) ఒక నాభి (1, – 3), అనురూప నియతరేఖ y = 2 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

నాభి, S(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 – 0
P(x₁, y₁) అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM ⇒ SP² = e². PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 3)² = \(\frac{9}{4}\)\(\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
\(x_1^2\) + 1 – 2x₁ + \(y_1^2\) + 9 + 6y₁ = \(\frac{9}{4}\)(y₁ – 2)²
4\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 8x₁ + 24y₁ + 40 = (\(y_1^2\) + 4 – 4y₁) – 9\(y_1^2\) – 36y₁ + 36
4\(x_1^2\) – 5\(y_1^2\) – 8x₁ + 60y₁ + 4 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క బిందుపథము 4x² – 5y² – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 16.
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\tan \frac{\pi}{4 n}+\tan \frac{2 \pi}{4 n}+\ldots \ldots+\tan \frac{n \pi}{4 n}\right]\) అవధులను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+\cos y}\) సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాలు
(sin y + y cos y) dy = x (2 log x + 1) dx గా వ్రాయవచ్చును.
∫ sin y dy + ∫ y cos y dy = ∫ 2x log x dx + ∫ x dx
∫ sin y dy + y sin y – ( sin y dy
= x² log x – ∫ x².\(\frac{1}{2}\) = dx + ∫ x dx + c
y sin y = x² log x + c

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
L₁ = x + y + 1 = 0, L₂ = 3x + y – 5 = 0, L₃ = 2x + y – 5 = 0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజపు శీర్షాల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
L₁, L₂, L₂, L₃ మరియు L₁, L, రేఖలు A, B, C ల వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. . ఇది O, A, B పరివృత్త సమీకరణము క్రింది సమీకరణము గల వక్రాన్ని తీసుకొందాం.
k (x + y + 1) (3x + y – 5) + l(3x + y – 5)
(2x + y – 5) + m(2x + y – 5) (x + y + 1) = 0 ______ (1)
ఈ సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² గుణకము = y² గుణకము 3k + 6l + 2m = k + l + m
2k + 5l + m = 0 _______ (2)
xy గుణకము = 0
4k + 5l + 3m = 0 _______ (3)

(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే కావలసిన వృత్త సమీకరణము
5(x + y + 1) (3x + y – 5) – 1 (3x + y – 5) (2x + y – 5) – 5(2x + y – 5) (x + y + 1) = 0
(i.e.,) x² + y² – 30x – 10y + 25 = 0

ప్రశ్న 19.
S = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు P(x₁, y) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల సంయుక్త సమీకరణం ss11 = \(x_2^1\) అని చూపండి.
సాధన:

S = 0 వృత్తానికి P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు వృత్తాన్ని A, B ల వద్ద స్పృశిస్తున్నాయకొందాం.
AB సమీకరణం S₁ = 0
అంటే xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0 _____ (1)
ఈ స్పర్శ రేఖలపై Q (x₂, y₂) ఏదైనా బిందువు అనుకొందాం. Q బిందుపథం, P నుంచి స్పర్శ రేఖల సంయుక్త సమీకరణం.
\(\overline{P Q}\) రేఖా ఖండాన్ని సరళరేఖ \(\overleftrightarrow{A B}\)
(దీని సమీకరణం S₁ = 0) ఖండించే నిష్పత్తి -S₁₁ : S₁₂
∴ PB : QB = -S₁₁ : S₁₂ లేదా S₁₁ : S₁₂. S₁₁ S₂₂ < 0
లేదా S₁₁ S₂₂ > 0 అయితే ⇒ \(\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{QB}}\) = \(\left|\frac{s_{11}}{s_{12}}\right|\) _____ (2)
కాని PB = \(\sqrt{S_{11}}\) , QB = \(\sqrt{S_{22}}\) (PB, QB స్పర్శ రేఖ పొడవులు)
∴ \(\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{QB}}\) = \(\frac{\sqrt{S_{11}}}{\sqrt{S_{22}}}\) _____ (3)
ఇప్పుడు (2), (3) ల నుంచి \(\frac{\mathrm{S}_{11}^2}{\mathrm{~S}_{12}^2}\) = \(\frac{S_{11}}{S_{22}}\)
∴ S₁₁ S₂₂ = \(S_{12}^2\)
∴ Q (x₂, y₂) బిందుపథం S₁₁ S = S₁²

ప్రశ్న 20.
y² = 16x పరావలయానికి సరళరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరంగా ఉండే, లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి. స్పర్శ బిందువుల నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
పరావలయం సమీకరణము y² = 16x
స్పర్శరేఖ 2x – y + 5 = 0 కు సమాంతరం.
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + c
స్పర్శరేఖ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2
సమాంతర స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = 2x + 2
2x + y + 2 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{4}\), \(\frac{8}{2}\)) = (1, 4)
లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ వాలు m’ = – \(\frac{1}{m}\) = – \(\frac{1}{2}\)
లంబంగా ఉన్న స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = m’x + c’ = (-\(\frac{1}{2}\)) = x + c’
c’ = \(\frac{a}{m^{\prime}}\) = \(\frac{4}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) = -8
లంబ స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = –\(\frac{1}{2}\) x – 8
2y = – x – 16
x + 2y + 16 = 0
స్పర్శ బిందువు (\(\frac{a}{m^{1^2}}\), \(\frac{2 a}{m^{\prime}}\))
= \(\left(\frac{4}{\left(\frac{1}{4}\right)}, \frac{8}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\) = (16, -16)

ప్రశ్న 21.
∫e^ax sin (bx + c) dx, (a, b, c ∈ R, b ≠ 0), x ∈ R ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
\(\int(6 x+5) \sqrt{6-2 x^2+x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
6x + 5 = A (1 – 4x) + B అనుకోండి
x గుణకాలను సమానం చేయండి
6 = -4 A ⇒ A = \(\frac{-3}{2}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయండి
A + B = 5
B = 5 – A = 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)

ప్రశ్న 23.
OA = a, OB = b అయినప్పుడు \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 దీర్ఘవృత్తం ధన పాదం AOB అనుకుందాం. “అప్పుడు ఆ దీర్ఘవృత్తం జ్యా AB కి, చాపం A,B కి మధ్య పరి బద్ధమైన వైశాల్యం \(\frac{(\pi-2) \mathrm{ab}}{4}\) అని చూపండి.
సాధన:
OA = a, OB = b అనుకొనుము
AB సమీకరణము \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1
\(\frac{y}{b}\) = 1 – \(\frac{x}{a}\)
y = b(1 – \(\frac{x}{a}\))

ప్రశ్న 24.
(2x + 3y – 8) dx = (x + y – 3) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+3 y-8}{x+y-3}\)
x = X + h, y = Y + k ⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2(X+h)+3(Y+k)-8}{(X+h)+(Y+k)-3}\)
= \(\frac{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k-8)}{(X+Y)+(h+k-3)}\)
h, k విలువలను 2h + 3k – 8 = 0,
h + k – 3 = 0.అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం.

(1 + V) = A(2 – 2V) + B అనుకొందాం
V గుణకాలు సమానం చేయగా 1 = 2A ⇒ A = -1/2
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా 1 = 2A + B = – 1 + B
B = 2