AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 7 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 7 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 7 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² + 2gx + 2fy – 12 = 0 సమీకరణం (2, 3) కేంద్రంగా ఉండే వృత్తాన్ని సూచిస్తే, g, f లను, వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణం
x² + y² + 2gx + 2fy – 12 = 0
కేంద్రం C = (-g, – f) = (2, 3)
కనుక g = -2, f = -3, c = -12
∴ వృత్త వ్యాసా (r) = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\)
= \(\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+12}\)
= \(\sqrt{4+9+12}\)
= \(\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0
g = 2, f = 3
r = \(\sqrt{4+9+12}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
θ = 30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x + g) cos 30° + (y + f) sin 30° = r
(x + 2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + (y + 3). \(\frac{1}{2}\) = 2\(\sqrt{13}\)
√3x + 2√3 + y + 3 = 4\(\sqrt{13}\)
√3x + y + (3 + 2√3 – 4\(\sqrt{13}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 3x – 4y + 5 = 0, 3(x² + y²) – 7x + 8y – 11 = 0 వృత్తాల మూలాక్షాల సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S ≡ x² + y² – 3x – 4y + 5 = 0
S ≡ 3x² + 3y² – 7x + 8y + 11 = 0
S – S’ = 0 మూలాక్షము
x² + y² – 3x – 4y + 5) – (x² + y² – \(\frac{7}{3}\)x + \(\frac{8}{3}\)y + \(\frac{11}{3}\)) = 0
⇒ \(\frac{-2}{3}\)x – \(\frac{20}{3}\)y + \(\frac{4}{3}\) = 0
⇒ x + 10y – 2 = 0

ప్రశ్న 4.
పరావలయం y² = 4ax పై ద్వి y – నిరూపకం పొడవు 8a అయితే ద్వి y – నిరూపక కొనలను శీర్షానికి కలిపితే వచ్చే రేఖలు లంబంగా ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
P = (at², 2at) మరియు P’ = (at², -2at) లు PP’ కొనలు
8a = PP’ = \(\sqrt{0+(4 a t)^2}\) = 4at ⇒ t = 2
∴ P = (4a, 4a), P’ = (4a, – 4a)
\(\overline{\mathrm{AP}}\) వాలు X \(\overline{A P^{\prime}}\) వాలు = (\(\frac{4 a}{4 a}\))(-\(\frac{4 a}{4 a}\)) = -1
∴ ∠PAP’ = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 5.
3x² – 4y² = 12 అతిపరావలయానికి 6 = \(\frac{\pi}{3}\) వద్ద అభిలంబ రేఖా సమీకరణం
కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 3x² – 4y² = 12
\(\frac{x^2}{4}\) – \(\frac{y^2}{3}\) = 1
అభిలంబరేఖ సమీకరణము \(\frac{\mathrm{ax}}{\sec \theta}\) + \(\frac{\text { by }}{\tan \theta}\) = a² + b²
\(\frac{2 x}{\sec 60^{\circ}}\) + \(\frac{\sqrt{3} y}{\tan 60^{\circ}}\) = 4 + 3
\(\frac{2 x}{2}\) + \(\frac{\sqrt{3} y}{\sqrt{3}}\) = 7 ⇒ x + y = 7

ప్రశ్న 6.
∫ (tan x + log sec x)e^x dx, x ∈ [(2n – \(\frac{1}{2}\))π, (2n + \(\frac{1}{2}\))π], n ∈ z ను సాధించండి.
సాధన:
t = log | sec x❘
⇒ dt = \(\frac{1}{\sec x}\). sec x. tan x dx = tan x dx
∫ (tan x + log secx) e^x dx = e^x. log|sec x❘ + C

ప్రశ్న 7.
∫ tan⁶ x dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^2|1-x| d x\) నిశ్చిత సమాకలనాన్ని గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta d \theta\) ను గణించండి.
సాధన:
f(θ) = sin³ θ. cos³ θ
f(-θ) = sin³ (-θ) cos³ (-θ)
– sin³ θ cos³ θ = -f(θ)
f(θ) బేసి ప్రమేయము
∴ \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^3 \theta \cdot \cos ^3 \theta d \theta=0\)

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{y – x} ను సాధించుము.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{e^y}{e^x}\)
\(\frac{d y}{e^y}\) = \(\frac{d x}{e^x}\)
∫ e^-x dx = ∫ e^-y dy
– e^-x = -e^-y + c
e^-y = e^-x + c, c రాంకం

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ABCD ఒక చతురస్రం అయితే, దీని శీర్షాలు A, B, C, D లు చక్రీయాలు అని చూపండి.
సాధన:

AB = a, AD = a
A (0, 0), B(0, a), D (a, 0)
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తం A, B, D ల గుండా పోతుంది.
A : 0 + 0 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0
C = 0
B: 0+ a² + 2g(0) + 2fa + 0 = 0
f = –\(\frac{a}{2}\)
ఇదే విధంగా g = –\(\frac{a}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – ax – ay = 0
C నిరూపకాలు (a, a)
a² + a² – a² – a² = 0
A, B, D ల గుండా పోయే వృత్తం మీద C ఉంది.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 2x + 4y – 8 = 0 వృత్తానికి AB ఒక జ్యా అయి, దీని సమీకరణం x + y = 3 అయితే AB వ్యాసంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S = 0
L = 0 ఖండన బిందువుల గుండా పోయే వృత్త సమీకరణము S + λL = 0
(x² + y² – 2x + 4y – 8) + λ(x + y – 3) = 0
x² + y² + x(-2 + λ) + y(4 + λ) – 8 – 3λ = 0 ______ (i)
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 _____ (ii)
(i), (ii) లను పోల్చగా,
g = \(\frac{(-2+\lambda)}{2}\), f = \(\frac{(4+\lambda)}{2}\)
కేంద్రం x + y = 3 మీద ఉంది
∴ – (\(\frac{(-2+\lambda)}{2}\)) – (\(\frac{(4+\lambda)}{2}\)) = 3
2 – λ – 4 – λ = 6
-2λ = 8 ⇒ λ = -4
కావలసిన వృత్త సమీకరణము (x² + y² – 2x + 4y – 8) – 4(x + y – 3) = 0
x² + y² – 6x + 4 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభిలంబం పొడవు \(\frac{15}{2}\), నాభుల మధ్య దూరం 2గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభి లంబము పొడవు = \(\frac{15}{2}\)
నాభుల మధ్య దూరము = 2
= \(\frac{15}{2}\)
2ae = 2
ae = 1
⇒ b² = a² – a²e²
= b² = a² – 1
\(\frac{15}{4}\)a = a = a² – 1
⇒ 4a² – 15a – 4 = 0
b² = a² – 1
a = 4 లేదా a = – \(\frac{1}{4}\) = 16 – 1
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{15}\) = 1

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘ వృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 నాభిలంబం కొన వద్ద అభిలంబ రేఖ హ్రస్వాక్షం
ఒక కొన ద్వారా పోతే e⁴ + e² = 1 అని చూపండి. [దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత e].
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
\(\frac{a^2 x}{x_1}\) – \(\frac{b^2 y}{y_1}\) = a² – b²
L(ae, b²/a) వద్ద అభిలంబ రేఖ సమీకరణము
\(\frac{a^2 x}{a e}\) – \(\frac{b^2 y}{\left(b^2 / a\right)}\) = a² – b²
\(\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{e}}\) – ay = a²e²
ఈ అభిలంబ రేఖ B'(0, – b) గుండా పోతుంది.
ab = a²e²
⇒ b = ae⁴
b² = a²e⁴
a²(1 – e²) = a²e⁴
e⁴ + e² = 1

ప్రశ్న 15.
4x² – 9y² – 8x – 32 = 0 అతిపరావలయానికి కేంద్రం, ఉత్కేంద్రత నాభులు, నియత రేఖలు. నాభిలంబం పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² – 9y² – 8x – 32 = 0 అతిపరావలయం సమీకరణం
4(x² – 2x) – 9y² = 32
4(x² – 2x + 1) – 9y² = 36
\(\frac{(x-1)^2}{9}\) – \(\frac{y^2}{4}\) = 1
అతిపరావలయ కేంద్రం c (1, 0)
a² = 9, b² = 4
⇒ a = 3, b = 2
e = \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{9+4}{9}}\) = \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)
నాభులు (1 ± 3. \(\frac{\sqrt{13}}{3}\), 0) (1 ± \(\sqrt{13}\), 0)
నియతరేఖల సమీకరణం x = 1 ± = \(\frac{3.3}{\sqrt{13}}\) ⇒ x = 1 ± \(\frac{9}{\sqrt{13}}\)
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{\mathrm{a}}\) = \(\frac{2.4}{3}\) = \(\frac{8}{3}\)

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{4+5 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) tan² (x + y) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) tan² (x + y)
v = x + y అనుకుందాం
\(\frac{d v}{d x}\) = 1 + \(\frac{d y}{d x}\) = 1 + tan²v = sec² v
\(\int \frac{d v}{\sec ^2 v}\) = ∫dx = ∫cos²v.dv = x + c
\(\int \frac{(1+\cos 2 v)}{2}\) dv = x + c
∫(1 + cos 2v) dv = 2x + 2c
v + \(\frac{\sin 2 v}{2}\) = 2x + 2c
2v + sin 2v = 4x + c’
2(x + y) + sin 2(x + y) = 4x + c’
x – y – \(\frac{1}{2}\) sin [2(x + y)] = c

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 8x – 2y + 12 = 0 వృత్తానికి y నిరూపకం 1 అయ్యే బిందువుల వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 8x – 2y + 12 = 0
P నిరూపకాలు (x₁, 1) అనుకొందాం.
P వృత్తం మీది బిందువు
\(x_1^2\) + 1 – 8x₁ – 2 + 12 = 0
\(x_1^2\) – 8x₁ + 11 = 0
x₁ = \(\frac{8 \pm \sqrt{64-44}}{2}\) = \(\frac{8 \pm 2 \sqrt{5}}{2}\) = 4 + √5
x₁ = 4 + √5, x₂ = 4 – √5
P నిరూపకాలు (4 + √5, 1) మరియు
Q నిరూపకాలు (4 – √5, 1)
P వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము ( 4 + √5, 1)
x(4 + √5) + y.1 – 4(x + 4√5) – (y + 1) + 12 = 0
⇒ 4x + √5 x + y – 4x – 16 – 4√5 – y – 1 + 12 = 0
⇒ x – 5 – 4√5 = 0 ⇒ √5 (x – √5 – 4) = 0
⇒ x – √5 – 4 = 0
x = 4 + √5
Q వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము (4 – √5, 1)
⇒ x(4 – √5) + y. 1 – 4(x + 4 – √5) – (y + 1) + 12 = 0
⇒ 4x – √5x + y – 4x – 16 + 4√5 – y – 1 + 12 = 0
⇒ – √5x + 4√5 – 5 = 0
⇒ √5(x – 4 + √5) = 0
⇒ x – 4 + √5 = 0
x = 4 – √5

ప్రశ్న 19.
x² + y² = 9, x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0 యుగ్మాలకు అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = 9
x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
కేంద్రాల A (0,0), B(8, -1)
r₁ = 3, r₂ = \(\sqrt{64+1-49}\) = 4
AB = \(\sqrt{(0-8)^2+(0+1)^2}\)
= \(\sqrt{64+1}\)
= \(\sqrt{65}\), > r₁ + r₂
వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.
-బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
5 నిరూపకాలు (-24, + 3)
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొనుము.
y – 3 = m(x + 24)
= mx + 24m
mx – y + (24m + 3) = 0 _____ (1)
ఇది x² + y² = 9 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణము
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{m^2+1}}\)
9(m² + 1) = 9(8m + 1)² = 64m² + 10m + 1
63m² + 16m = 0
m(63m + 10) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{-16}{63}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణము
-y + 3 = 0
y – 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = \(\frac{-16}{63}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము \(\frac{-16}{63}\) x – y + (\(\frac{-384}{63}\) + 3) = 0
⇒ \(\frac{-16}{63}\) x – y + \(\frac{195}{63}\) = 0
⇒ 16x + 63y + 195 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని అంతరంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{24}{7}\), \(\frac{-3}{7}\))
తిర్యక్ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y + \(\frac{3}{7}\) = m (x – \(\frac{24}{7}\))
\(\frac{7 y+3}{7}\) = \(\frac{m(7 x-24)}{7}\)
7y + 3 = 7mx – 24m
7mx – 7y – (24m + 3) = 0 ________(2)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము x + y = 9
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{49 m^2+49}}\) = \(\frac{3}{7}\) \(\frac{28 m+1}{\sqrt{m^2+1}}\)
49 (m² + 1) = (8m + 1)²
49m² + 49 = 64m² +16m + 1
15m² + 16m – 48 = 0
(3m -4) (5m + 12) = 0
m = \(\frac{4}{3}\) లేదా \(\frac{-12}{5}\)

సందర్భం (i) : : (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – (\(\frac{96}{3}\) + 3) = 0
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – \(\frac{105}{3}\) = 0
\(\frac{7}{3}\)(4x – 3y – 15) = 0
4x – 3y – 15 = 0

సందర్భం (ii) :: m = \(\frac{-12}{5}\)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖాసమీకరణము
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y – (\(\frac{-228}{5}\) + 3) = 0
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y + \(\frac{273}{5}\) = 0
\(\frac{-7}{5}\) (12x + 5y – 39) = 0
i.e., 12x + 5y – 39 = 0
∴ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 3 = 0 మరియు 16x + 63y + 195 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
4x – 3y – 15 = 0 మరియు 12x + 5y – 39 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి S(3, 5), శీర్షం A(1, 3) గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3 – 5}{1 – 3}\) (x – 1) = x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది
నియత రేఖ, సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y)
SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు (\(\frac{3+x}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\)) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1)
నియత రేఖ 2 (-1, 1) గుండా పోతుంది.
– 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0·
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము (x – α)² + (y – β)² = \(\frac{(l x+m y+n)^2}{l^2+m^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25) = (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y + 68 = 0.

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(1-x)\left(4+x^2\right)}\) = \(\frac{A}{1-x}\) + \(\frac{B x+C}{4+x^2}\) అనుకోండి.
⇒ 1 = A(4 + x²) + (Bx + C) (1 – x) ______ (1)
(1) లో x = 1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4 + 1)
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A(4) + C(1)
⇒ C = 1 – 4A = 1 – 4 (\(\frac{1}{5}\)) = \(\frac{5 – 4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో x² గుణకాలను సమానం చేయగా 0 = A – B ⇒ B = A = \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_2^6 \sqrt{(6-x)(x-2)}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
x = 2 cos²θ + 6 sin²θ
dx = (6 – 2) sin2θ dθ
dx = 4 sin2θ dθ

ఎగువ హద్దు :
x = 2 cos² θ + 6 sin²
6 = 2 cos² θ + 6 sin²
4 cos² θ = 0
cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు :
x = 2 cos² θ + 6 sin² θ
2 = 2 cos² θ + 6 sin² θ
4 sin² θ = 0
θ = 0
6 – x = 6 – (2 cos² θ + 6 sin² θ)
= (6 – 2) cos² θ
= 4 cos² θ
x – 2 = 2 cos² θ + 6 sin² θ – 2
= (6 – 2) sin² θ
= 4 sin² θ

ప్రశ్న 24.
(x – y – 2) dx + (x – 2y – 3) dy = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-x+y+2}{x-2 y-3}\)
x = X  + h, y = Y + k అనుకుంటే


(x² – 2y² – 2x – 4y – 1) = c\(\left(\frac{x-y \sqrt{2}-1-\sqrt{2}}{x+y \sqrt{2}-1+\sqrt{2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) కావలసిన సాధన.