AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 6 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా P (2, 3) బిందువుకు ధృవరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (2, 3) ⇒ x₁ = 2, y₁ = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 6x + 8y – 96 = 0
ధృవ రేఖ సమీకరణము S₁ = 0
(2, 3) యొక్క ధృవ రేఖ x . 2 + y . 3 + 3(x + 2) + 4(y + 3) – 96 = 0
2x + 3y + 3x + 6 + 4y + 12 – 96 = 0
5x + 7y – 78 = 0

ప్రశ్న 2.
(x – 3)² + (y – 4)² = 82 ప్రతీ వృత్తానికి పరామితీయ సమీకరణాలను రాయండి.
సాధన:
కేంద్రం (3, 4), r = 8
పరామితీయ సమీకరణాలు
x = 3 + 8 cos θ, y = 4 + 8 sin θ, 0 ≤ θ < 2π

ప్రశ్న 3.
(x – a)² + (y – b)² = c², (x – b)² + (y – a)² = c² (a ≠ b) వృత్తాల ఉమ్మడి జ్యాల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఉమ్మడి జ్యా సమీకరణము (x² + y² – 2xa – 2yb – c²)
-(x² + y² – 2xb – 2ya – c²) = 0
-2x (a – b) -2y(b – a) = 0 లేదా x – y = 0

ప్రశ్న 4.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుందని చూపి స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల 2x – y + 2 = 0 ⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా
4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు : (\(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{2^2}\), \(\frac{2(4)}{2}\)) = (1, 4)

ప్రశ్న 5.
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 30° గా గల అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 2θ = 30°
θ = 15°
tan θ = tan 15° = \(\frac{b}{a}\)
e² = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = 1 + tan² 15°
= sec² 15° = (\(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\))²
= \(\frac{8}{4+2 \sqrt{3}}\) × \(\frac{4-2 \sqrt{3}}{\overline{4}-2 \sqrt{3}}\)
= \(\frac{8(4-2 \sqrt{3})}{4}\)
= 8 – 4√3 = (√6 – √2)²
ఉత్కేంద్రత = e = √6 – √2

ప్రశ్న 6.
I = (-1, 1) మీద \(\int \frac{\left(\sin ^{-1} x\right)^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
f : I – R ను f(x) = sin^-1x అని నిర్వచిద్దాం.

ప్రశ్న 7.
I = (0, ∞) మీద \(\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
J = I = (0, ∞) అనుకుందాం
f : I → R ను f(t) = e^t, g : J → R ను
g(x) = x + \(\frac{1}{x}\) అని నిర్వచిద్దాం
అప్పుడు g(J) ⊂ I, g’ (x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}\)
సిద్ధాంతం నుంచి

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1 (1) – Tan^-1 (0)] = \(\frac{1}{a}\)(\(\frac{\pi}{4}\) – 0) = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
y – 2 – x²; y = x² వక్రాల మధ్య వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన:

y = 2 – x² ______ (1)
y = x² ______ (2)
x² = – (y – 2)
(2) నుండి
2 – x² = x²
2 = 2x² లేదా x² = 1
x = ±1
రెండు వక్రాల మధ్య వైశాల్యము

ప్రశ్న 10.
మూలబిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తాల కుటుంబపు అవకలన సమీకరణం పరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన:
మూల బిందువు కేంద్రంగా గల వృత్తం x² + y² = r²
పరిమాణం = యాదృచ్ఛిక స్థిరాంకాల సంఖ్య = 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి బాహ్య బిందువు అయిన P(x₁, y₁) నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు, వీటి స్పర్శ జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{r\left(S_{11}\right)^{3 / 2}}{S_{11}+r^2}\) (r వృత్త వ్యాసార్థం) అని చూపండి.
సాధన:
S = 0 కు P నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA, PB.
AB స్పర్శ జ్యా

B వద్ద స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము 0
tan = \(\frac{0}{2}\) = \(\frac{r}{\sqrt{S_{11}}}\)

ప్రశ్న 12.
x² + y² + 2gx + 2fy = 0, x² + y² + 2g’x + 2f’y = 0వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొంటే fg = fg’ అని చూపండి.
సాధన:
C₁ = (-g, -f) C₂ = (-g’, -f’)
r₁ = \(\sqrt{g^2+f^2}\) r₂ = \(\sqrt{\mathrm{g}^{\prime^2}+\mathrm{f}^{\prime^2}}\)
C₁ C₂ = r₁ + r₂
(C₁ C₂)² = (r₁ + r₂)²
(g’ – g)² + (f’ – f)² = g² + f² + g’² + f’² + 2 \(\sqrt{g^2+f^2} \sqrt{g^{\prime 2}+f^{\prime 2}}\) -2(gg’ + ff’) = 2{g²g’² + f²f’² + g²f’² + f²g’²}^1/2
మరల వర్గీకరించగా
(gg’ + ff’)² = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f²
g²g’² + f²f’² + 2gg’ff’ = g²g’² + ƒ²f’² + g²f’² + g’²f’²
2gg’ff’ = g²f’² + f²g’² ⇒ g²f’² + g’²f² – 2gg’ff’ = 0
లేదా (gf’ – fg’)² = 0 లేదా gf’ = fg’

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘవృత్తం x² + 3y² = 37 పై ఏ బిందువుల వద్ద గీసిన అభిలంబ రేఖలు 6x – 5y = 2 కు సమాంతరంగా ఉంటాయో ఆబిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము x² + 3y² = 37
⇒ \(\frac{x^2}{37}\) + \(\frac{y^2}{\left(\frac{37}{3}\right)}\) = 1, a² = 37, b² = \(\frac{37}{3}\)
అభిలంబ రేఖ వాలు = \(\frac{\mathrm{a} \sin \theta}{\mathrm{b} \cos \theta}\) = \(\frac{\sqrt{37} \cdot \sin \theta}{\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \cdot \cos \theta}\) = √3 tan θ
అభిలంబ రేఖ 6x – 5y = 2 కు సమాంతరము
∴ √3 tan θ = \(\frac{6}{5}\)
tan θ = \(\frac{6}{5 \sqrt{3}}\) = \(\frac{2 \sqrt{3}}{5}\)

సందర్భం (i) : P నిరూపకాలు, θ మొదటి పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)

సందర్భం (ii) : P నిరూపకాలు, θ మూడవ పాదంలో కోణం (a cos θ, b sin θ)

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 కి సరళరేఖ y = mx + c స్పర్శరేఖ కావడానికి
నియమం c² = a²m² + b² అని చూపండి.
సాధన:
దత్త దీర్ఘవృత్తాన్ని y = mx + c ఖండించే బిందువుల ‘x’ నిరూపకాలు
(a²m² + b²) x² + 2a²c mx + a²(c² – b²) = 0 _____ (1)
యొక్క మూలాలు సరళరేఖ, దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ కావాలంటే, ఖండన బిందువులు రెండూ ఏకీభవించాలి.
అంటే (1)వ సమీకరణం మూలాలు సమానం కావాలి.
⇔ సమీకరణం (1) విచక్షిణి సున్న కావాలి.
⇔ 4a⁴c²m² – 4(a²m² + b²)a²(c² – b²) = 0
⇔ c² = a²m² + b² ⇔ c = ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)

ప్రశ్న 15.
అతిపరావలయంపై ఏదైనా బిందువు నాభి దూరాల భేదం స్థిరం అని చూపండి.
సాధన:
ఉపపత్తి : మూలబిందువు కేంద్రం గాను, నాభులు S, S’ లు గాను, నియత రేఖలు \(\overleftrightarrow{\mathrm{ZM}}\), \(\overleftrightarrow{Z^{\prime} M^{\prime}}\) లు గాను గల అతిపరావలయంపై P(x, y) ఏదైనా బిందువు అనుకొందాం.

P నుంచి X – అక్షం, నియత రేఖలపైకి గీసిన లంబాలు వరుసగా PN, PM, PM’ లు అనుకొందాం.
అప్పుడు SP = e(PM) = e(NZ) = e(CN – CZ)
∴ SP e(x – \(\frac{a}{e}\)) = ex – a
S’P = e(PM’) = e(NZ’) = e(CN + CZ’) = e(x + \(\frac{a}{e}\)) = ex + a.
∴ S, P – SP = 2a
పై సిద్ధాంతం దృష్ట్యా, కొన్నిసార్లు అతిపరావలయాన్ని ‘రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి దూరాల భేదం స్థిరంగా ఉండే బిందువు పథంగా’ కూడా నిర్వచిస్తాం.

ప్రశ్న 16.
y = x² – 5x, y = 4 – 2x లతో ఆవృతమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y = x² – 5x ______ (1)
y = 4 – 2x ______ (2)
x² – 5x = 4 – 2x
x² – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(x+y)^2}{2 x^2}\) సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(x+y)^2}{2 x^2}\)
y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x. \(\frac{d v}{d x}\)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం మీద ఏదైనా బిందువు నుంచి x² + y² + 2gx + 2fy + c sin² α + (g² + f²) cos²α = 0(0 < α < π/2) వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీసినట్లైతే ఆ స్పర్శరేఖా యుగ్మ రేఖల మధ్యకోణం
2α అని చూపండి.
సాధన:
[\(x_1^2\) + \(y_1^2\) + 2gx₁ + 2fy₁, + c sin² α + (g² + f²) cos² α ] (s)
= (xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c sin² α + (g² + f²) cos² α)² [(- c + c sin² α) + (g² + f²) cos² α ]S
= (x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin²α + (g² + f²) cos² a)² [cos² α (g² + f² – c)] S
= [x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c sin² α + (g² + f²) cos² α)₁
g² + f² – c = r²
[(cos² α)r²] S = [x (x₁ + g) + y (y₁ + f) + gx₁ + fy₁ + c + (cos² α).r²)²
x² యొక్క గుణకము r² cos² α – (x₁ + g)²
y² యొక్క గుణకము r² cos² α – (y₁ + f)²
xy యొక్క గుణకము
h. cos²a r² – 2 (x₁ + g) (y₁ + f)

cos θ = cos 2α
θ = 2α కనుక ఫలితము నిరూపంచబడింది.

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 6y = 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శబిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x-6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
C₁(2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₁ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\) = \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
-10x – 24y – 38 = 0, 5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ నీ 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\)) – 2 (x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 20.
వృత్తాం x² + y² = 2a², పరావలయం y² = 8ax లకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు y = ±(x + 2a) అని చూపండి.
సాధన:
పరావలయ స్పర్శరేఖ సమీకరణము y² = 8ax,
y = mx + \(\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{m}}\)
m²x – my + 2a = 0 _____ (1)
(1) రేఖ x² + y² = 2a², వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుంది.
(0, 0) (1) కేంద్రం నుండి లంబదూరము a√2 వ్యాసార్థము.
\(\left|\frac{2 a}{\sqrt{m^2+m^4}}\right|\) = a√2 లేదా 4 = 2 (m⁴ + m²)
m⁴ + m² – 2 = 0
(m² + 2) (m² – 1) = 0 లేదా m = ±1
కావలసిన స్పర్శరేఖలు
y = (1) x + \(\frac{2 \mathrm{a}}{(1)}\), y = (-1) x + \(\frac{2 \mathrm{a}}{(-1)}\) ⇒ y = ±(x + 2a)

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{d x}{x^3+1}\) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{1}{x^3+1}\) = \(\frac{1}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(\frac{1}{x^3+1}\) = \(\frac{A}{x+1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2-x+1}\) అనుకోండి
⇒ 1 = A(x² – x + 1) + (Bx + C) (x + 1) ______ (1)
(1) లో x = -1 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A (1 + 1 + 1) + (-B + C) (0)
⇒ 3A = 1 ⇒ A = \(\frac{1}{3}\)
(1) లో x = 0 ప్రతిక్షేపించగా
1 = A (1) + C (1)
⇒ C = 1 – A = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
x² గుణకాలు సమానం చేయగా

ప్రశ్న 22.
\(\int \sqrt{\frac{5-x}{x-2}}\) dx X ∈ (2, 5) ను గణించండి.
సాధన:

5 – x = A. \(\frac{d}{d x}\)(7x – 10 – x²) + B
⇒ 5 – x = A(7 – 2x) + B
సజాతీయ పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
-2A = -1 ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
7A + B = 5
7 (+\(\frac{1}{2}\)) + B = 5 ⇒ B = 5 – \(\frac{7}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
∴ 5 – x = \(\frac{1}{2}\)(7 – 2x) + \(\frac{3}{2}\)
అయిన \(\frac{5-x}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\frac{(7-2 x)}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) + \(\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{\sqrt{7 x-10-x^2}}\) \(\int \frac{5-x}{\sqrt{7 x-10-x^2}} d x\)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x+\cos x}\) dx = \(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\) log(√2 + 1) అని చూపండి.
సాధన:


= \(\frac{\pi}{4 \sqrt{2}}\) 2log(√2 + 1)
= \(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\) log(√2 + 1)

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0 ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{10 x+8 y-12}{7 x+5 y-9}\) = 0
x = X + h, y = Y + k
⇒ \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) + \(\frac{10(X+h)+8(Y+k)-12}{7(X+h)+5(Y+k)-9}\) = 0
\(\frac{d Y}{d X}\) + \(\frac{(10 X+8 Y)+(10 h+8 k-12)}{(7 X+5 Y)+(7 h+5 k-9)}\)
h, k విలువలను 10h + 8k – 12 = 0
7h + 5k – 9 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


5V + 7 = A(V + 2) + B (V + 1)
V = -1 ⇒ 2 A(-1 + 2) = A ⇒ A = 2
V = -2 ⇒ -3 = B(-2 + 1) = -B, B = 3
\(\int\left(\frac{2}{(V+1)}+\frac{3}{(V+2)}\right) d V\) = \(-5 \int \frac{d X}{x}\)
2 log (V + 1) + 3 log (V + 2) = – 5 log X + c
c = 2 log (V + 1) + 3 log (V + 2) + 5 log X
= log (V + 1)². (V + 2)³. X⁵
log (\(\frac{Y}{X}\) + 1)² . (\(\frac{Y}{X}\) + 2)³ . X⁵
= log \(\frac{(Y+X)^2}{X^2}\)\(\frac{(Y+2 X)^3}{x^3}\) . X⁵
⇒ (Y + X)². (Y + 2X)³ = e^c = c^|
(Y + 1 – X – 2)² (Y + 1 – 2x – 4)³ = c
సాధన (x + y – 1)² (2x + y – 3)³ = c.