AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 5 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 5 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 5 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(2, 3) బిందువు ద్వారా పోతూ x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0 వృత్తంలో ఏక కేంద్రంగా ఉండే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

కావలసిన వృత్తం దత్త వృత్తానికి ఏక కేంద్రము
x² + y² + 8x + 12y + 15 = 0
∴ కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 8x + 12y + c’ = 0
P(2, 3) గుండా వృత్తం పోతుంది.
∴ 4 + 9 + 16 + 36 + c = 0
c’ = – 65
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² + 8x + 12y – 65 = 0

ప్రశ్న 2.
క్రింద వృత్తాలకు ఎన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చో తెలపండి.
x² + y² + 6x + 6y + 14 = 0, x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
సాధన:
C₁ (-3, – 3) C₂ = (1, 2)
r₁ = \(\sqrt{9+9-14}\) = 2,

r₂ = \(\sqrt{1+4+4}\) = 0
C₁, C₂ = \(\sqrt{(-3-1)^2+(-3-2)^2}\)
= \(\sqrt{16+25}\) = \(\sqrt{41}\) > r₁ + r₂
ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య = 4.

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 4x – 14y + 28 = 0, x² + y² + 4x – 5 = 0 వృత్తాల మధ్యకోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² + 4x – 14y + 28 = 0, x² + y² + 4x -5 = 0
కేంద్రాలు C₁ (-2, 7), C₂ (2, 0)
C₁C₂ = \(\sqrt{(-2+2)^2+(7-0)^2}\) = \(\sqrt{0+49}\) = 7
r₁ = = \(\sqrt{4+49-28}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
r₁ = \(\sqrt{4+5}\)[/latex] = √9 = 3
దత్త వృత్తాల మధ్య కోణము θ అయితే
cos θ = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
cos θ = \(\frac{49-25-9}{2(5)(3)}\) = \(\frac{15}{2.5.3}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos 60°
దత్త వృత్తాల మధ్య కోణము θ = \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
4x² + 12x – 20y + 67 = 0 పరావలయం అక్షరేఖ, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
4x² + 12x = 20y – 67
x² + 3x = 5y – \(\frac{67}{4}\)
ఇరువైపులా \(\frac{9}{4}\) కలుపగా
x² + 3x + \(\frac{9}{4}\) = 5y – \(\frac{67}{4}\) + \(\frac{9}{4}\)
(x + \(\frac{3}{2}\))² = 5y – \(\frac{58}{4}\) = 5y – \(\frac{29}{2}\)
[x – (\(\frac{-3}{2}\))]² = 5[y – \(\frac{29}{10}\)]
(x – h)² = 4a(y – k) తో పోల్చగా
(h, k) (\(\frac{-3}{2}\), \(\frac{29}{10}\)) ; a = \(\frac{5}{4}\)
అక్ష సమీకరణము x – h = 0, ie., x + \(\frac{3}{2}\) = 0, 2x + 3 = 0
నియత రేఖా సమీకరణము, y – k + a = 0
y – \(\frac{29}{10}\) + \(\frac{5}{4}\) = 0 ⇒ 20y – 33 = 0.

ప్రశ్న 5.
3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12 సరళరేఖలు అతిపరావలయం S = 0 పై ఖండించుకొంటే S = 0 ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త రేఖలు 3x – 4y = 12, 3x + 4y = 12
ఖండన బిందువు P(4, 0)
P అతిపరావలయం = \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 మీద బిందువు
\(\frac{16}{a^2}\) = 1 ⇒ a² = 16
ఉత్కేంద్రత కనుగొనడానికి దత్తాంశం సరిపోదు.

ప్రశ్న 6.
x ∈ R కు \(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right) d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
∫e^x (1 + x²) dx ను గణించండి.
సాధన:
∫ e^x(1 + x²) dx = ∫ e^x dx + ∫ x². e^x dx
= e^x+ (x². e^x – 2 ∫ x. e^x dx)
= e^x + x². e^x – 2 (x. e^x – ∫ e^x dx)
= e^x + x². e^x – 2x. e^x + 2e^x + C
= e^x (x² – 2x + 3) + C

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^n x d x\) = \(\int_0^{\pi / 2} \cos ^n x d x\) అని చూపండి.
సాధన:
f(x) = sinⁿx.

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{1 / 2} \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
అవకలన సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = – p²y పరిమాణం తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) లో బహుపది 1లో తరగతి \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) గరిష్ట పరిమాణము 2.

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(4, 1) (6, 5) బిందువుల గుండా పోతూ 4x + y – 16 = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
ఈ వృత్తం A(4, 1) గుండా పోతుంది.
16 + 1 + 8g + 2f + c = 0
8g + 2f + c = -17 _____ (1)
వృత్తం B(6, 5) గుండా పోతుంది.
36 + 25 + 12g + 10f + c = 0
12g + 10f + c = -61 ______ (2)
కేంద్రం (-g, -f), 4x + y – 16 = 0 రేఖమీద ఉంది
– 4g – f – 16 = 0
4g + f + 16 = 0 _______ (3)

f = \(\frac{-28}{7}\) = -4
(3) నుండి 4g – 4 = -16
4g = -12 ⇒ g = -3
(1) నుండి 8(-3) + 2(−4) + c = -17
c = 17 + 24 + 8 = 15
కావలసిన వృత్త సమీకరణము x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) + \(\frac{1}{c^2}\) అయితే x² + y² + 2ax + c = 0, x² + y² + 2by + c = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకుంటాయని చూపండి.
సాధన:
వృత్తాల కేంద్రాలు C₁ (-a, 0) మరియు C₂ (0, -b)
1వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{a^2-c}\) = r₁
2వ వృత్త వ్యాసార్థము \(\sqrt{b^2-c}\) = r₂
C₁C₂ = r₁ + r₂
(C₁C₂)² = (r₁ + r₂)²
(a² + b²) = a² – c + b² – c + 2 \(\sqrt{a^2-c}\)\(\sqrt{b^2-c}\)
c = \(\sqrt{a^2-c}\) . \(\sqrt{b^2-c}\)
c² = (a² – c) (b² – c)
c² = -c (a² + b²) + a²b² + c²
లేదా c(a² + b²) = a²b² లేదా \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\)

ప్రశ్న 13.
4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0 ను దీర్ఘవృత్తాలకు దీర్ఘాక్షం, హ్రస్వాక్షం, నాభిలంబం పొడవులు, ఉత్కేంద్రత, కేంద్రం, నాభులు నిరూపకాలు, నియత రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
4(x² – 2x) + (y² + 2y) 1
4(x – 1)2 + (y + 1)2 = 4 + 1 – 1 = 4
\(\frac{(x-1)^2}{1}\) + \(\frac{(y+1)^2}{1}\) = 1
a < b కనుక ⇒ Y – అక్షం దీర్ఘాక్షము
a = 1, b = 2
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2b = 4
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2a = 2
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 a^2}{b}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{b^2-a^2}{b^2}}\) = \(\sqrt{\frac{4-1}{4}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
కేంద్రం C (-1, 1)
be = 2.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = √3
నాభులు (−1, 1 ± √3)
నియత రేఖల సమీకరణాలు y + 1 = ± \(\frac{b}{e}\) = ±\(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
√3y + √3 = ±4
√3y + √3 ± 4 = 0

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) 1 పై బిందువులు ‘α’, ‘β’ లను కలిపే జ్యా సమీకరణం \(\frac{x}{a}\) cos(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) + \(\frac{y}{b}\)sin(\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)) = cos(\(\frac{\alpha-\beta}{2}\))
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం మీద బిందువులు
P(a cos α’, b sin α’) మరియు Q(a cos β, b sin β).

జ్యా PQ సమీకరణము

ప్రశ్న 15.
ఒక అతిపరావలయం, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు వరుసగా e, e¹ అయితే \(\frac{1}{e^2}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 అని చూపండి.
సాధన:
అతిపరావలయం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
∴ b² = a²(e² – 1) ⇒ e² – 1 = \(\frac{b^2}{a^2}\)
e² = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\)
∴ \(\frac{1}{e^2}\) = \(\frac{a^2}{a^2+b^2}\) ______ (1)
సంయుగ్మ అతిపరావలయ సమీకరణం
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = -1

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5 / 2} x}{\sin ^{5 / 2} x+\cos ^{5 / 2} x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
\(\frac{d y}{d x}\)(x²y² + xy) = 1 ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = xy + x²y²
ఇది బెర్నొలీ సమీకరణము
x^-2.\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{1}{x}\) .y = y³

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా kx + 3y – 1 = 0, 2x + y + 5 = 0 లు సంయుగ్మ రేఖలయితే, విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
దృవము (x₁, y₁) దృవరేఖ సమీకరణము
x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0
xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) – 2(y + y₁) – 4 = 0
x(x₁ – 1) + y(y₁ – 2) – x₁ – 2y₁ – 4 = 0 ____ (i)
2x + y + 5 = 0 (i) తో పోల్చగా
\(\frac{x_1-1}{2}\) = \(\frac{y_1-1}{1}\) = –\(\frac{x_1-2 y_1-4}{5}\)
\(\frac{x_1-1}{2}\) = \(\frac{2\left(y_1-2\right)}{2}\) = –\(\frac{-x-2 y_1-4}{5}\)
= \(\frac{x_1-1+2 y_1-4-x_1-2 y_1-4}{2+2+5}\) = \(\frac{-9}{9}\) = -1
x₁ = -1, y₁ = 1 దృవము (-1, 1)
kx + 3y – 1 = 0 దృవరేఖ అయితే (−1, 1) ను తృప్తిపరచవలెను.
k(-1) + 3(1) – 1 = 0
-k + 2 = 0
k = 2

ప్రశ్న 19.
S = x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తం యొక్క ఏదైనా జ్యా, మూలబిందువు వద్ద 90° కోణం ఏర్పరిస్తే మూలబిందువు నుంచి ఆ జ్యాకు గీసిన లంబ పాదాల బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

QL మీదకు మూల బిందువు నుండి గీయబడిన లంబ పాదము L (x₁, y₁)
QL వాలు = \(\frac{y_1}{x_1}\), QR వాలు = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
QR సమీకరణము y – y₁ = –\(\frac{x_1}{y_1}\)
yy₁ – \(y_1^2\) = -xx₁ + \(x_1^2\), xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
(లేదా) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) = 1 _____ (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ________ (2)
(2) సహాయంతో (1) ని సమఘాతపరచగా 0Q, OR ల ఉమ్మడి సమీకరణము
x² + y² + (2gx + 2fy) \(\frac{x x_1+y y_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{\left(x x_1+y y_1\right)^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) = 1
x²[1 + \(\frac{2 g \mathrm{x}_1}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{c x_1^2}{\left(x_1^2+y_1^2\right)^2}\) ]

2(\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) + 2gx₁ + 2fy₁ + c = 0
L (x₁, y₁) బిందు పథం
2(x² + y²) + 2gx + 2fy + c = 0

ప్రశ్న 20.
ప్రామాణిక రూపంలో పరావలయ సమీకరణంను వ్రాయండి.
సాధన:
ఒక వక్రం స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి దాని సమీకరణాన్ని అతి సులభరూపంలో తీసుకొంటాం. అటువంటి సమీకరణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రాబడదాం. పటంలో చూపినట్లు బిందువు S ను నాభి, సరళరేఖ l ను నియత రేఖ అని అనుకొందాం. నియతరేఖకు కుడివైపు నాభి ఉందనుకొందాం. l పై S లంబ విక్షేపాన్ని Z తో సూచిద్దాం. \(\overline{S Z}\) మధ్య బిందువును ‘A’ అనుకొందాం. SA = AZ కాబట్టి, A పరావలయంపై బిందువు, A ను పరావలయ శీర్షం అంటాం. A గుండా పోతూ నియత రేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖ YAY’ \(\overleftrightarrow{\mathrm{ZXZ}}\)‘ ను X-అక్షంగాను, \(\overleftrightarrow{Y Y}\) ను Yఅక్షంగాను తీసుకొంటదాం. అప్పుడు A(0,0) మూలబిందువు. S = (a, 0), (a > 0) అనుకొం. Z = (-a, 0), నియత రేఖ / సమీకరణం X + a = 0.
పరావలయంపై P(x, y) ఒక బిందువు, P నుంచి నియత రేఖ l కు లంబదూరం PM అయితే

\(\frac{S P}{P M}[latex] = e = 1.
∴ (SP)² = (PM)²
(x – a)² + y² = (x + a)²
∴ y² = 4ax.
విపర్యయంగా y² = 4ax ను తృప్తిపరచే బిందువు P (x, y) అయితే
SP = [latex]\sqrt{(x-a)^2+y^2}\) = \(\sqrt{x^2+a^2-2 a x-4 a x}\)
= \(\sqrt{(x+a)^2}\) = │x + a| = PM.
కాబట్టి బిందుపథంపై P (x, y) ఒక బిందువు. అంటే పరావలయంపై బిందువు P(x, y) ఉండటానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమం y² = 4ax.
కాబట్టి పరావలయం సమీకరణం y = 4ax.

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) = \(\int \frac{-t d t}{t^2+3 t+2}\)
= \(-\int \frac{t}{t^2+3 t+2} d t\) ______ (1)
\(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{t}{(t+1)(t+2)}\) అనుకోండి
= \(\frac{A}{t+1}\) + \(\frac{B}{t+2}\)
⇒ t = A(t + 2) + B(t + 1) _____ (2)
(2)లో t = -1 ప్రతిక్షేపించగా
– 1 = A(-1 + 2) ⇒ A = -1
(2)లో t = -2 ప్రతిక్షేపించగా
-2 = B(-2 + 1) ⇒ B = 2
∴ \(\frac{t}{t^2+3 t+2}\) = \(\frac{-1}{t+1}\) + \(\frac{2}{t+2}\) ____ (3)
∴ (1) & (3) ల నుండి
\(\int \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^2 x+3 \cos x+2}\) dx = \(\left[\int \frac{-1}{t+1} d t+2 \int \frac{1}{t+2} d t\right]\)
= \(\int \frac{1}{t+1} d t-2 \int \frac{1}{t+2} d t\)
= log |t + 1| – 2 log |t + 2| + C
= log |1 + cos x) – 2 log |2 + cos x| + C
= log |1 + cos x | – log (2 + cos x)² + C
= log|\(\frac{1+\cos x}{(2+\cos x)^2}\)| + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2} d x\) ను కనుక్కోండి
సాధన:
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E)x
X సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

(c = c₁ + c₂)

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^\pi x \sin ^7 x \cdot \cos ^6 x d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
x sec (\(\frac{y}{x}\)).(y dx + x dy) = y cosec (\(\frac{y}{x}\)) (x dy – y dx) ను సాధించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణాన్ని