AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 4 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
P (4, 10) నుంచి x² + y² = 25 వృత్తానికి గల స్పర్శరేఖ యుగ్మ సమీకరణాన్ని
కనుక్కోండి.
సాధన:
SS₁₁ = \(S_1^2\)
(x² + y² – 25) (16 + 100 – 25) = (4x + 10y – 25)²
91x² + 91y² – 2275
= [16x² + 100y² + 625 + 80 xy – 200x – 500y]
75x² – 9y² – 80 xy + 500y + 200 x – 2900 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² = 17 వృత్తం దృష్ట్యా (4, k), (2, 3) లు సంయుగ్మ బిందువులు అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
(x₁, y₁) = (4, k), (x₂, y₂) = (2, 3) మరియు 1S ≡ x² + y² – 17 = 0
దత్త బిందువుల సంయుగ్మాలు S₁₂ = 0
x₁ x₂ + y₁ y₂ – 17 = 0
4.2 + k. 3 – 17 = 0
3k = 17 – 8 = 9
k = \(\frac{9}{3}\) = 3

ప్రశ్న 3.
కింది వృత్తాలతో ఏర్పడిన మూలకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
x² + y² – 2x + 6y = 0 ______ (1)
x² + y² – 4x – 2y + 6 = 0 ______ (2)
x² + y² – 12x + 2y + 3 = 0 ______ (3)
సాధన:
(1), (2), (3) వృత్తాల మూలాక్షాలు
x + 4y – 3 = 0 ______ (4)
8x – 4y + 3 = 0 ______ (5)
10x + 4y – 3 = 0 _____ (6)
(4), (5) లను సాధిస్తే ఖండన బిందువు [0, \(\frac{3}{4}\)] ఇది దత్త వృత్త మూలకేంద్రము

ప్రశ్న 4.
ధన X – అక్షంపై మూలబిందువు నుంచి శీర్షం, నాభులు వరుసగా (a, a’) దూరాలలో గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

A నిరూపకాలు (a, 0) మరియు S నిరూపకాలు (a’, 0)
AS = a’ – a
పరావలయ సమీకరణము y² = 4(a’ – a) (x – a).

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{9-c}\) + \(\frac{y^2}{5-c}\) = 1 అతిపరావలయం సమీకరణం 5 < c < 9 అయితే (‘c’ ఏదైనా వాస్తవ స్థిరాంకం) సాధన: దత్త సమీకరణం \(\frac{x^2}{9-c}\) + \(\frac{y^2}{5-c}\) = 1 ఈ సమీకరణం అతిపరావలయాన్ని సూచిస్తే 9 – c > 0 మరియు 5 – c < 0 9 > c, 5 < c ie., 5 < c < 9

ప్రశ్న 6.
∫e^x (tan x + sec² x) dx.
x ∈ I ⊂ R\{(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\); n ∈ Z)}
సాధన:
f(x) = tanx
⇒ f'(x) = sec² x dx
1 = ∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x. f(x) + C
= e^x. tan x + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{(x+1)(x+2)}\) = \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{x+2}\)
\(\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}\) = \(\int \frac{d x}{x+1}\) – \(\int \frac{d x}{x+2}\)
= log |x + 1| – log |x + 2| + C
= log \(\frac{x+1}{x+2}\) + C

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^\pi \sqrt{2+2 \cos \theta}\) dθ ను గణించండి.
సాధన:
I = \(\int_0^\pi \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sqrt{\cos ^2 \frac{\theta}{2} d \theta}\)
= \(\int_0^\pi 2 \cdot \cos \theta / 2 d \theta\) = \([4 \sin \theta / 2]_0^\pi\)
= 4 (sin π/2 – sin 0) = 4

ప్రశ్న 9.
y = x² – 5x, y = 4 – 2x లతో ఆవృతమైన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y = x² – 5x ______ (1)
y = 4 – 2x ______ (2)
x² – 5x = 4 – 2x
x² – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0
x = – 1, 4

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y = \(\frac{e^x}{e^y}\) + \(\frac{x^2}{e^y}\)
∫e^y. dy = ∫(e^x + x²) dx

సాధన :
e^y = e^x + \(\frac{x^3}{3}\) + c

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
2x – 3y + 1 = 0 సరళ రేఖని (1, 1) వద్ద స్పృశించే \(\sqrt{13}\) యూనిట్ల వ్యాసార్ధంతో గల వృత్తాల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:

వృత్త కేంద్రాలు (1, 1) గుండా పోతూ 2x -3y + 1 = 0 రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ మీద ఉంటాయి.
కేంద్రాలు కలిగిన రేఖ 3x + 2y + k = 0
ఈ రేఖ (1, 1) గుండా పోతుంది.
3 + 2 + k = 0 ⇒ k = -5
AB సమీకరణాలు 3x + 2y – 5 = 0
ఈ కేంద్రాలు (1, 1) నుంచి \(\sqrt{13}\) యూనిట్ల దూరంలో ఉంటూ 3x + 2y – 5 = 0 రేఖపై ఉంటాయి. కాబట్టి ఈ కేంద్రాలు
(1 + \(\sqrt{13}\)(-\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)) 1 + \(\sqrt{13}\).\(\frac{3}{\sqrt{13}}\) మరియు
(1 – \(\sqrt{13}\)(\(\frac{-2}{\sqrt{13}}\), 1 – \(\sqrt{13}\).\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
(i.e.,) (1 – 2, 1 + 3) మరియు (1 + 2, 1 – 3) (-1, 4) మరియు (3, – 2)

సందర్భం (i) :
కేంద్రం (−1, 4), r = \(\sqrt{13}\) వృత్త సమీకరణము
(x + 1)² + (y – 4)² = 13
x² + 2x + 1 + y² – 8y + 16 – 13 = 0
x² + y² + 2x – 8y + 4 = 0

సందర్భం (ii) :
కేంద్రం (3, -2), r = \(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x – 3)² + (y + 2) ² = 13
x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 – 13 = 0
x² + y² – 6x + 4y = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 8x – 2y + 16 = 0 ______ (1)
x² + y² – 4x – 4y – 1 = 0 ______ (2)
వృత్తాలను లంబ ఛేదనం చేస్తూ, (1, 1) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం ______ (3)
(3) వృత్తం (1), (2) వృత్తాలకు లంబంగా వుంది.
∴ లంబంగా ఖండించుకొనే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే
2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 ______ (4)
2g (-2) + 2f(-2) = c – 1 _______ (5)
వృత్తం (3), (1,1) ల గుండా పోతుంది
∴ 1² + 1² + 2g(1) + 2f(1) + c = 0
2g + 2f + c + 2 = 0 ________ (6)
(4), (5) మరియు (6) లను సాధించగా
g = – \(\frac{7}{3}\), f = \(\frac{23}{6}\) c = -5
కావలసిన వృత్త సమీకరణము 3(x² + y² ) – 14x + 23y – 15 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభుల మధ్య దూరం 8, నియత రేఖల మధ్యదూరం 32 గా గల దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభుల మధ్యదూరము = 8
నియత రేఖల మధ్యదూరము = 32
2ae = 8
ae = 4
\(\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{e}}\) = 32
\(\frac{a}{e}\) = 16
(ae) (\(\frac{a}{e}\)) = 64
a² = 64
b² = a² – a²e² = 64 – 16 = 48
దీర్ఘవృత్తము సమీకరణము : \(\frac{x^2}{64}\) + \(\frac{y^2}{48}\) = 1

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తపు ఏదైనా స్పర్శరేఖ పైకి నాభుల నుంచి గీసిన లంబపాదాల బిందు పథం అనుబంధ (సహాయక) వృత్తం అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
దీర్ఘవృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
⇒ y – mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\) _______ (1)
(± ae, 0) నుండి స్పర్శరేఖ మీద గీయబడిన లంబం సమీకరణము
y = – \(\frac{1}{m}\)(x ± ae)
my = – (x ± ae)
my + x = ± ae _______ (2)
(1), (2) లను వర్గీకరించి కలుపగా
(y – mx)² + (my + x)² = a²m² + b² + a²e²
y² + m²x² – 2mxy + m²y² + x² + 2mxy
= a²m² + a² – a²e² + a²e²
(x² + y²) (1 + m²) = a²(1 + m²) ⇒ x² + y² = a²
బిందుపథము సహాయక వృత్తం.
ఇది దీర్ఘవృత్తానికి ఏక కేంద్రీయము.

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత 2, నాభులు (4,2), (8, 2) గా గల అతిపరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు (4, 2), (8, 2),
కేంద్రం C నాభుల మధ్య బిందువు
∴ కేంద్రం (\(\frac{4 + 8}{2}\) + \(\frac{2 + 2}{2}\)) = (6, 2)
ae = 6 – 4 = 2
e = 2 ⇒ a = \(\frac{a e}{e}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1
b² = a² (e² – 1) = 1(4 – 1) = 3.
అతిపరావలయ సమీకరణం \(\frac{(x-h)^2}{a^2}\) – \(\frac{(y-k)^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{(x-6)^2}{1}\) – \(\frac{(y-2)^2}{3}\) = 1
3తో గుణించగా, 3(x – 6)² – (y – 2)² = 3
⇒ 3(x² – 12x + 36) – (y² – 4y + 4) = 3
⇒ 3x² – 36x + 108 – y² + 4y – 4 – 3 = 0
3x² – y² – 36x + 4y + 101 = 0

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{2 \pi}(1+\cos x)^5(1-\cos x)^3\) dx సమాకలనులను సాధించండి.
సాధన:

ఎగువ హద్దు : ⇒ cos 2π = t ⇒ 1 = t
దిగువ హద్దు : ⇒ cos 0 = t ⇒ 1 = t
= \(\int_1^1(1+t)^2 \cdot d t\)
= \(\left(\frac{(1+t)^3}{3}\right)_1^1\) = \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 0

ప్రశ్న 17.
వాలు \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – cos²\(\frac{y}{x}\), (x > 0, y > 0) అవుతూ (1, \(\frac{\pi}{4}\)) బిందువు
గుండా పోయే వక్రం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – cos²\(\frac{y}{x}\)
ప్రతిక్షేపించగా y = vx
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x.\(\frac{d v}{d x}\)
v + x. \(\frac{d v}{d x}\) = v – cos² vi
\(\int \frac{d v}{\cos ^2 v}\) = \(-\int \frac{d x}{x}\)
\(\int \sec ^2 v\) = \(-\int \frac{d x}{x}\)
tan v = -log |x| + c
వక్రం (1, \(\frac{\pi}{4}\)) నుంచి పోతాయి.
tan (\(\frac{\pi}{4}\)) = c – log ⇒ c = 1
∴ వక్రం సమీకరణం tan v = 1 – log |x|
tan (\(\frac{y}{x}\)) = 1 – log |x|

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
5x – 3y + 4 = 0; 2x + 3y – 5 = 0; x + y = 0 రేఖలతో ఏర్పడే త్రిభుజాల పరివృత్త సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
AB : 5x – 3y + 4 = 0; AC : 2x + 3y – 5 = 0; BC: x + y = 0
A : (\(\frac{1}{7}\), \(\frac{11}{7}\)) B : (-\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) C : (-5, 5)
AB : 5x – 3y + 4 = 0, BC : x + y = 0
వృత్త సమీకరణము x² + ² + 2gx + 2fy + c = 0
A, B, C లు వృత్తం మీది బిందువులు
\(\frac{1}{49}\) + \(\frac{121}{49}\) + \(\frac{2}{7}\)g + \(\frac{22}{7}\) f + c = 0 _____ (i)
25 + 25 – 10g + 10f + c = 0 ______ (ii)
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) – g + f + c = 0 _____ (iii)
(లేదా)
1 – 2g + 2f + 2c = 0,
(ii) – (iii) చేయగా (50 – \(\frac{1}{2}\)) – 9g + 9f = 0
\(\frac{11}{2}\) – g + f = 0 _____ (iv)

(iii) – (i) చేయగా (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{122}{49}\)) – g – \(\frac{2}{7}\) g + f – \(\frac{22}{7}\) f = 0
\(\frac{-195}{2 \times 49}\) – \(\frac{9}{7}\)g – \(\frac{15}{7}\)f = 0
\(\frac{65}{2 \times 49}\) – \(\frac{3}{7}\)g – \(\frac{5}{7}\)f = 0 ______ (v)
(iv), (v) లు సాధించగా g = \(\frac{40}{14}\); f = \(\frac{-37}{14}\); c = \(\frac{70}{14}\)
x² + y² + \(\frac{80}{14}\)x – \(\frac{74}{14}\)y + \(\frac{70}{14}\) = 0
వృత్త సమీకరణము 7(x² + y²) + 40 x – 37y + 35 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0, x² + y² = 1 వృత్తాలకు గల అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు x² + y² – 2x – 6y + 6 = 0
మరియు x² + y² = 1
కేంద్రాలు A(1, 3), B(0,0),
r₁ = \(\sqrt{1+9-6}\) = 2; r₂ = 1
బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S నిరూపకాలు (y – 1) (4y + 3x – 5) = 0
(\(\frac{2.0-1.1}{2-1}\), \(\frac{2 \cdot 0-1 \cdot 3}{2-1}\)) = (-1, -3)
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
(x² + y² – 1) (1 + 9 – 1) = (x + 3y + 1)²
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(y – 1) (4y + 3x – 5) = 0
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు y – 1 = 0 మరియు 3x + 4y – 5 = 0
అంతర్ స్వరూప కేంద్రం S’, AB ని అంతరంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{2.0+1.1}{2+1}\), \(\frac{2.0+1.3}{2+1}\)) = (\(\frac{1}{3}\), 1)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము (\(\frac{x}{3}\) + y – 1)²
= (\(\frac{1}{9}\) + 1 – 1 (x² + y² – 1)
దీనిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చును.
(x + 1)(4x – 3y – 5) = 0
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు : x + 1 = 0
మరియు 4x – 3y – 5 = 0

ప్రశ్న 20.
రెండు పరావలయాలు ఒకే శీర్షం, సమాన నాభి లంబం పొడవులు కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అక్షాలు లంబంగా ఉన్నాయి. అప్పుడు వాటి ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ, పరావలయ నాభి లంబాగ్రాల వద్ద స్పృశిస్తుందని చూపండి.
సాధన:

పరావలయాల సమీకరణాలు y² = 4ax
x² = 4ay గా తీసుకుందాం.
x² = 4ay కు (2at, at²) వద్ద స్పర్శరేఖ
2atx = 2a(y + at²)
y = tx – at²
ఇది y² = 4ax కు స్పర్శరేఖ
∴ నియమము c = \(\frac{a}{m}\) – at² = \(\frac{a}{t}\)
t³ = -1 ⇒ t = -1
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = – x – a
x + y + a = 0
L’ (a, – 2a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము y (-2a) = = 2a (x + a)
x + y + a = 0
∴ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ y² = 4ax పరావలయాన్ని L (a, -2a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.
L (-2a, a) వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణము x² = 4ay
x(-2a) = 2a (y + a) ⇒ x + y + a = 0
స్పర్శరేఖల ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు పరావలయాన్ని L’ (-2a, a) వద్ద స్పృశిస్తాయి.

ప్రశ్న 21.
\(\int \sin ^n x d x\) కు లఘూకరణ సూత్రం, పూర్ణాంకం n ≥ 2.
సాధన:

= -sin^-1 x cos x + (n – 1) I_{n – 2} – (n – 1)I_n
కనక I_n = \(\frac{-\sin ^{n-1} x \cos x}{n}\) + \(\frac{(n-1)}{n}\)I_{n – 2}
ఇది ∫sinⁿ x dx కు లఘాకరణ సూత్రం.
n సరిసంఖ్య అయితే, పారంపరిక లఘూకరణలో చివరికి
I₀ = ∫(sin x)⁰ dx = x + c₁
n బేసి సంఖ్య అయితే, పారంపరిక లఘూకరణలో చివరికి
I₁ = ∫(sin x)¹ dx = -cosx + c₂

ప్రశ్న 22.
S\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 23.
\(\int_3^7 \sqrt{\frac{7-x}{x-3}}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
dx = (7 – 3) sin2θ dθ
dx = 4sin2θ dθ
ఎగువ హద్దు :
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
7 = 3 cos²θ + 7 sin²θ
4 cos²θ = 0, cos θ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)

దిగువ హద్దు :
x = 3 cos²θ + 7 sin²θ
3 = 3 sin²θ + 7 sin²θ
4 sin²θ = 0
sinθ = 0 = θ = 0
7 – x = 7 – (3 cos²θ + 7 sin²θ) = (7 – 3) cos²θ = 4 cos²θ
x – 3 = 3 cos²θ + 7 sin²θ – 3 = (7 – 3) sin²θ = 4 sin²θ

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y^2-2 x y}{x^2-x y}\) ను సాధించండి.
dx
సాధన:
ఇది సమఘాతాల సమీకరణం y = vx ప్రతిక్షేపిస్తే