AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 3 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 3 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0 ఒక వృత్తాన్ని సూచిస్తే a విలువను, వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్త సమీకరణాన్ని సూచిస్తే,
a = b, h = 0, g² + f² – c ≥ 0
2x² + ay² – 3x + 2y – 1 = 0
a = 2, అయితే పై సమీకరణము వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
x² + y² – \(\frac{3}{2}\) x + y – \(\frac{1}{2}\) = 0
2g = –\(\frac{3}{2}\) ; 2f = 1; c = –\(\frac{1}{2}\)
c = (- g, – f) = (\(\frac{+3}{4}\), \(\frac{-1}{2}\))
వ్యాసార్ధం = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{21}}{4}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువు (5, 4) నుంచి x² + y² + 2ky = 0 వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవు 1 అయితే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శరేఖ పొడవు
= \(\sqrt{S_{11}}\) = \(\sqrt{(5)^2+(4)^2+8 k}\)
స్పర్శరేఖ పొడవు = 1 కనుక
∴ 1 = \(\sqrt{25+16+8 k}\)
వర్గీకరించగా 1 = 41 + 8k
k = – 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
x² + y² – 2x – 4y – 1 = 0;
x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0. వృత్తాల మూలాక్షాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
S – S’ = 0 మూలాక్షము
(x² + y² – 2x – 4y – 1) – (x² + y² – 4x – 6y + 5) = 0
2x + 2y – 6 = 0 లేదా x + y – 3 = 0

ప్రశ్న 4.
y² – 7x – 8y + 14 = 0 పరావలయాన్ని, సరళరేఖ 7x + 6y = 13 స్పృశిస్తుందని చూపి, స్పర్శబిందువు నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తరేఖ సమీకరణము 7x + 6y = 13, పరావలయం సమీకరణము
y² – 7x – 8y + 14 = 0.
x ను తొలగిస్తే పరావలయం, రేఖల ఖండన బిందువులు నిరూపకాలు వస్తాయి.
కూడగా y² – 2y + 1 = 0.
i.e., (y – 1)² = 0 + y = 1, 1.
∴ దత్తరేఖ పరావలయానికి స్పర్శరేఖ,
y = 1 అయితే x = 1 స్పర్శబిందువు (1, 1).

ప్రశ్న 5.
ఒక అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత \(\frac{5}{4}\) అయితే దాని సంయుగ్మ అతిపరావలయ ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ, సంయుగ్మ అతిపరావలయాల ఉత్కేంద్రతలు e, e₁ అయితే
\(\frac{1}{\mathrm{e}^2}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
e = \(\frac{5}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
= \(\frac{16}{25}\) + \(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1
\(\frac{1}{\mathrm{e}_1^2}\) = 1 – \(\frac{16}{25}\) = \(\frac{9}{25}\)
\(e_1^2\) = \(\frac{25}{9}\) ⇒ e₁ = \(\frac{5}{3}\)

ప్రశ్న 6.
I = (0, 1) మీద \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
I → R. ను f(x) = sin^-1x అని నిర్వచిద్దాం
అప్పుడు f'(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\) dx = \(\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}\) dx = 2 \(\sqrt{f(x)}\) + C
= 2 \(\sqrt{\sin ^{-1} x}\) + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{1+\cos ^2 x}{1-\cos 2 x}\) dx, x ∈ I ⊂ R\{nπ : n ∈ Z}. ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x d x\) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x d x\) = \(\frac{3}{4}\).\(\frac{1}{2}\).\(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{3 \pi}{16}\)

ప్రశ్న 9.
[0, 2π] అంతలో f(x) = cos x వక్రం క్రింది వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
cos x ≥ 0 లో (0, \(\frac{\pi}{2}\)) ∪ (\(\frac{3 \pi}{2}\), π) ≤ 0 లో (\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\))
cos x ≤ 0

= sin \(\frac{\pi}{2}\) – sin 0 – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) + sin \(\frac{\pi}{2}\) + sin 2π – sin \(\frac{3 \pi}{2}\)
= 1 – 0 – (-1) + 1 + 0 – (-1)
= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

ప్రశ్న 10.
యాదృచ్ఛిక స్థిర సంఖ్య అయితే y = c(x – c)² అనుగుణముగా ఉన్న అవకలన సమీకరణం పరిమాణము కనుక్కోండి.
సాధన:
y = c(x – c)² దత్త అవకలన సమీకరణము
\(\frac{d y}{d x}\) = 2c(x – c)
∴ అవకలన సమీకరణ తరగతి 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
P బిందువు నుంచి x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0, x² + y² – 2x – 8y + 1 = 0 వృత్తాలకు గీసిన స్పర్శ రేఖల పొడవుల నిష్పత్తి 2 : 1 అయ్యేటట్లు P చలిస్తుంటే, P బిందు పథ సమీకరణము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(x₁, y₁) బిందుపథము మీది బిందువులు \(\overline{\mathrm{PT}}_1\), \(\overline{\mathrm{PT}}_2\), నుండి
x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0,
x² + y² – 2x – 8y + 1 = 0 గీయబడిన స్పర్శరేఖలు
\(\frac{\overline{\mathrm{PT}_1}}{\overline{\mathrm{PT}_2}}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ PT₁² = 4. PT₂²
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ + 4y₁ – 20
= 4 (\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 8y₁ + 1)
= 4\(x_1^2\) + 4\(y_1^2\) – 8x₁ – 32y₁ + 4
3\(x_1^2\) + 3\(y_1^2\) – 6x₁ – 36y₁ + 24 = 0
⇒ \(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 2x₁ – 12y₁ + 8 = 0
P (x₁, y₁) బిందు పథము x² + y² – 2x – 12y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
క్రింది వృత్తాలలోని ప్రతి వృత్తాన్ని లంబ ఛేదనం చేసే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
S’ ≡ x² + y² + 3x + 2y + 1 = 0
S” ≡ x² + y² – x + 6y + 5 = 0
S” ≡ x² + y² + 5x – 8y + 15 = 0
సాధన:
S’ ≡ x² + y² + 3x + 2y + 1 = 0
S” ≡ x² + y² – x + 6y + 5 = = 0
S”” ≡ x² + y² + 5x – 8y + 15 = 0
కావలసిన వృత్త కేంద్రం దత్త వృత్తాల మూలకేంద్రం. మూలకేంద్రం నుండీ ఈ వృత్తాలకు గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవు కావలసిన వృత్త వ్యాసార్థము
(1), (2) ల మూలాక్షం x – y = 1 ………. (4)
(2), (3) ల మూలాక్షము 3x – 7y = -5 ……… (5)
(4), (5) ల ఖండన బిందువు (3, 2). (1), (2) మరియు (3) వృత్తాల మూలకేంద్రం (3, 2) (3, 2) నుండి (1) వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
పొడవు = \(\sqrt{3^2+2^2+3(3)+2(2)+1}\) = 3√3
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x – 3)² + (y – 2)² = (3√3)²
x² + y² – 6x – 4y – 14 = 0

ప్రశ్న 13.
X, Y అక్షాలు వరుసగా దీర్ఘాక్షం 1 హ్రస్వాక్షంగా కలిగి, నాభి లంబం పొడవు 4, నాభుల మధ్య దూరం 4√2 గా గల దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b)
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a^2}\) = 4 ⇒ b² = 2a
నాభులు S(ae, 0), S’ (-ae, 0)
నాభుల మధ్య దూరము 2ae = 4√2
ae = 2√2
b² = a²(1 – e²) = a² – (ae)²
2a = a² – 8 ⇒ a² – 2a – 8 = 0
(a – 4) (a + 2) = 0
a = 4 లేదా – 2
a > 0 ⇒ a = 4
b² = 2a = 2.4 = 8
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{8}\) = 1
x² + 2y² = 16

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం 3x² + 13y² = 78 తో ఏక కేంద్రీయ వృత్త వ్యాసార్ధం 4 అయితే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ దీర్ఘాక్షంతో \(\frac{\pi}{4}\) కోణం చేస్తుందని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం 3x² + 13y² = 78
\(\frac{x^2}{26}\) + \(\frac{y^2}{6}\) = 1 _____ (1)
దీర్ఘవృత్త కేంద్రం (0, 0)
∴ వృత్త సమీకరణము x² + y² = 16 ______ (2)
P(θ) వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖా సమీకరణము
x cos θ + y sin θ = 16 _______ (3)
y = \(\frac{-\cos \theta}{\sin \theta}\) . x + \(\frac{16}{\sin \theta}\)
(3) రేఖ దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ. ∴ c² = a²m² + b²
\(\frac{256}{\sin ^2 \theta}\) = 26. \(\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta}\) + 6
16 = 26 cos² θ + 6 sin² θ
= 26 cos² θ + 6(1 – cos² θ)
= 26 cos² θ + 6 – 6 cos² θ
20 cos² θ = 10
cos² θ = \(\frac{10}{20}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = \(\frac{\pi}{4}\)

ప్రశ్న 15.
2x² – 3y² = 6 అతిపరావలయానికి (-2, 1) గుండా పోయే స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణం 2x² – 3y² = 6
\(\frac{x^2}{3}\) – \(\frac{y^2}{2}\) = 1
‘స్పర్శరేఖ వాలు ‘m’ అనుకొనుము. స్పర్శరేఖ P (-2,1) గుండా పోతుంది
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y – 1 = m(x + 2) = mx + 2m
y = mx + (2m + 1) _______ (1)
స్పర్శరేఖ నియమం c² = a²m² = b²
(2m + 1)² = 3m² – 2
4m² + 4m + 1 = 3m² – 2
m² + 4m + 3 = 0
(m + 1) (m + 3) =0
m = -1 (లేదా) – 3
సందర్భం : (i) : m = -1
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణం
y = -x -1
x + y + 1 = 0
Loxxjo: (ii): m = -3
స్పర్శరేఖ సమీకరణం y = -3x -5
3x + y + 5 = 0

ప్రశ్న 16.
\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\) కనుక్కోండి.
సాధన:

= 2 Ln 2 – 2 – (-1)
= Ln 4 – 1
కనుక Ln l = Ln 4 – 1
అంటే L = e^{Ln 4 – 1} = 4e^-1.

ప్రశ్న 17.
x(x – 1) \(\frac{d y}{d x}\) – (x – 2)y = x³(2x – 1) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{x-2}{x(x-1)}\) y = \(\frac{x^3(2 x-1)}{x(x-1)}\)
I.F. = \(e^{\int \frac{2-x}{x(x-1)}} d x\)
\(\frac{2-x}{x(x-1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x-1}\)
2 – x = A(x – 1) + B.x
x = 0 ⇒ 2 = -A ⇒ A = – 2
x = 1 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x + 4y – 14 = 0 రేఖ x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0 వృత్తాన్ని ఖండించే బిందువుల వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖల ఖండన బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త వృత్త సమీకరణము
x² + y² – 2x + 3y – 5 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క ధృవరేఖ

xx₁ + yy₁ – 1(x + x₁) + \(\frac{3}{2}\) (y + y₁) – 5 = 0
2xx₁ + 2yy₁ – 2x – 2x₁ + 3y + 3y₁ – 10 = 0
2(x₁ – 1)x + (2y₁ + 3) y – (2x₁ – 3y₁ + 10) = 0 _____ (1)
QR సమీకరణము x + 4y – 14 = 0 _______ (2)
(1) మరియు (2) పోల్చగా

ప్రశ్న 19.
lx + my + n = 0 రేఖపై ఉన్న బిందువుల నుంచి x² + y² = a² వృత్తానికి
గీసిన స్పర్శజ్యాల మధ్య బిందువుల బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P = (x₁, y₁) బిందు పథము P మీది బిందువు
x² + y² = a²
జ్యా సమీకరణము
lx + my + n = 0 ______ (1)
వృత్త సమీకరణము x² + y² = a²
(x₁, y₁) మధ్య బిందువుగా గల జ్యా సమీకరణము
S₁ = S₁₁
xx₁ + yy₁ = \(x_1^2\) + \(y_1^2\)
xx₁ + yy₁ – (\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) = 0
వృత్తం దృష్ట్యా (2) యొక్క ధృవము

lx + my + n = 0 రేఖ మీద P ఉంది.
l \(\frac{\left(a^2 x_1\right)}{x_1^2+y_1^2}\) + \(\frac{m\left(a^2 y_1\right)}{x_1^2+y_1^2}\) + n = 0
la²x₁ + ma²y₁ + n(\(x_1^2\) + \(y_1^2\)) = 0
P(x₁, y₁) బిందు పథము
n (x² + y²) + a² (lx + my) = 0

ప్రశ్న 20.
y² = 4ax పరావలయ స్పర్శరేఖ పైకి నాభి నుంచి గీసిన లంబపాదాలు, శీర్షం వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
పరావలయం యొక్క ఏదేని స్పర్శరేఖ సమీకరణము
y = mx + \(\frac{a}{m}\)
Q(x₁, y₁) లంబపాదం
∴ y₁ = mx₁ + \(\frac{a}{m}\) ______ (1)
SQ వాలు = \(\frac{y_1}{x_1-a}\)
SQ, PQ లు లంబంగా ఉన్నాయి.

∴ mx \(\frac{y_1}{x_1-a}\) = -1
m = \(\frac{-\left(x_1-a\right)}{y_1}\) = \(\frac{a-x_1}{y_1}\)
(1) లో ప్రతిక్షేపించగా
y₁ = \(\frac{x_1\left(a-x_1\right)}{y_1}\) + \(\frac{a \cdot y_1}{a-x_1}\)
⇒ y₁ = \(\frac{x_1\left(a-x_1\right)^2+a y_1^2}{y_1\left(a-x_1\right)}\)
⇒ \(y_1^2\) (a – x₁) = x₁ (a – x₁)² + a\(y_1^2\)
⇒ a\(y_1^2\) – x₁\(y_1^2\) = x₁ (a² + \(x_1^2\) – 2ax₁) + a\(y_1^2\)
⇒ x₁ [\(x_1^2\) – 2ax₁ + a² + \(y_1^2\)] = 0
⇒ x₁ [(x₁ – a)² + \(y_1^2\)] = 0
⇒ x₁ = 0
Q (x₁, y₁) బిందుపథం x = 0. i.e., ఇది పరావలయానికి శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ.

ప్రశ్న 21.
\(\int(3 x-2) \sqrt{2 x^2-x+1} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
(3x – 2) = A(4x – 1) + B అనుకుందాము
x గుణకాలను సమానం చేయగా 3 = 4A
A = \(\frac{3}{4}\)
స్థిరపదాలు సమానం చేయగా – 2 = – A + B
B = – 2 + A = -2 + \(\frac{3}{4}\) = –\(\frac{5}{4}\)
3x – 2 = \(\frac{3}{4}\) (4x – 1) – \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న 22.
n ధనపూర్ణాంకం, పూర్ణాంకం m ≥ 2, I^m,n = ∫ sin^m x cosⁿ x dx అయితే
I^m,n = –\(\frac{\sin ^{m-1} x \cos ^{n i+1} x}{m+n}\) + \(\frac{m-1}{m+n}\) I^{m-2, n} అని చూపండి.
సాధన:
= ∫ sin^m (x). cosⁿ x dx
= ∫ sin^{m – 1} (x) (cosx)ⁿ. sin x dx
= ∫ sin^{m – 1} (x) (cosx)ⁿ. (-sin x) dx

ప్రశ్న 23.
y² = 12(x + 3), y² = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 12 (x + 3) _______ (1)
y² = 20 (5 – x) _______ (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16
x = 2
y² = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)
ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.
వైశాల్యము ABCB’

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\) ను సాధించండి.
సాధన:

(v + 1)³ తో గుణించగా
3 + v² = A(v + 1)² + B(v + 1) + C
v = -1 ⇒ 3 + 1 = C ⇒ C = 4
v² గుణకాలను సమానం చేయగా
A = 1
V గుణకాలను సమానం చేయగా
0 = 2A + B
B = -2A = -2
\(\frac{v^2+3}{(v+1)^3}\) = \(\frac{1}{v+1}\) – \(\frac{2}{(v+1)^2}\) + \(\frac{4}{(v+1)^3}\)
\(\int \frac{v^2+3}{(v+1)^3}\) = – \(\int \frac{d x}{x}\)