AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 2 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 2 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 5x – 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన. స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S, = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
వృత్త సమీకరణము
S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము
x. 0 + y. 5 – \(\frac{1}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా
10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 2.
(0, 0) కేంద్రంగా ఉంటూ (-2, 3) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C = (0, 0), P = (-2, 3)
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{(0+2)^2+(0-3)^2}\)
= \(\sqrt{13}\)
వృత్త సమీకరణము
(x – 0)² + (y – 0)² = (\(\sqrt{13}\))²
x² + y² = 13

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = 0 వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (-3, 5)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₁ = 13
C₂ = (2, -7)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₂ = 13
C₁C₂ = \(\sqrt{(-3-2)^2+(5+7)^2}\) = 13
cos θ = \(\left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\right|\) = \(\frac{(13)^2-(13)^2-(13)^2}{2 \times(13)(13)}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
θ = 2\(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
y² = 2x పరావలయంపై నాభి దూరం \(\frac{5}{2}\) గా గల బిందువులు కనుక్కోండి.
సాధన:
P(x₁, y₁) బిందువు పరావలయం మీద ఉంది
y² = 2x నాభి నుండి దూరం \(\frac{5}{2}\) కనుక
\(y_1^2\) = 2x₁ మరియు x₁ + a = \(\frac{5}{2}\)
⇒ x₁ + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ x₁ = 2
∴ \(y_1^2\) = 2(2) = 4 ⇒ y₁ = ±2
∴ కావలసిన బిందువులు (2, 2) మరియు (2, -2)

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 పై ఏ భీందువునుంచైనా అనంత స్పర్శ రేఖలకు గల లంబదూరాల లబ్దం కనుక్కోండి.
సాధన:
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 a² = 16, b² = 9
అనంత స్పర్శరేఖల మీద అతిపరావలయం మీది ఏదేని బిందువు నుండి లంబదూరాల లబ్దము
= \(\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\) = \(\frac{16 \times 9}{16+9}\) = \(\frac{144}{25}\)

ప్రశ్న 6.
R మీద \(\int \frac{1}{1+4 x^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{1}{1+4 x^2}\) dx = \(\int \frac{d x}{4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+x^2\right)}\) = \(\frac{1}{4}\) (2tan^-12x) + c
= \(\frac{1}{2}\) tan^-12x + c

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) dx, x ∈ I = (-1, 1) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\)
t = x³ ⇒ dt = 3x² dx
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) = \(\frac{1}{3} \int \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}\)
= \(\frac{1}{3}\) sin^-1 t + c = \(\frac{1}{3}\) sin^-1(x)

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^4 \frac{x^2}{1+x}\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^5 x}{\sin ^5 x+\cos ^5 x}\) ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 10.
x + y \(\frac{d y}{d x}\) = 0 సాధారణ సాధన కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం x + y.\(\frac{d y}{d x}\) = 0
x. dx + y. dy = 0
సమీకరణము చేయగా \(\frac{x^2}{2}\) + \(\frac{y^2}{2}\) = c
లేదా x² + y² = 2 c = c’.

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(-2, 3) కేంద్రంగా ఉంటూ 3x + 4y + 4 = 0 రేఖపై చేసే జ్యా పొడవు 2 అయ్యే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
కేంద్రం C (-2, 3) నుండి రేఖ మీదకు దూరం
d = \(\left|\frac{3(-2)+4(3)+4}{\sqrt{9+16}}\right|\) = \(\frac{10}{5}\) = 2
జ్యా AB పొడవు = 2 యూనిట్లు

వృత్త వ్యాసార్ధం (r) అనుకొనిన
⇒ 2 = 2 \(\sqrt{r^2-d^2}\)
⇒ r² – d² = 1
⇒ r² – 4 = 1 ⇒ r² = 5
వృత్త సమీకరణము
(x + 2)² + (y – 3)² = 5
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 4+ 9 – 5 = 0
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0, x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 వృత్తాలను లంబంగా ఖండిస్తూ 2x + 3y = 7 వ్యాస రేఖగా గల వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తం x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 అనుకుందాం
ఈ వృత్తం x² + y² – 4x – 6y + 11 = 0,
x² + y² – 10x – 4y + 21 = 0 లను లంబంగా ఖండిస్తుంది.
2g (-2) + 2f(-3) = 11 + c ______ (i)
2g (-5) + 2f(-2) = 21 + c ______ (ii)
తీసివేయగా
– 6g + 2f = 10 _______ (iii)
వృత్త కేంద్రం 2x + 3y = 7 మీద ఉంది
∴ -2g – 3f = 7 ______ (iv)
(iii), (iv) లను సాధించగా,
f = -1, g = -2, c = 3
వృత్త సమీకరణము x² + y² – 4x – 2y + 3 = 0

ప్రశ్న 13.
నాభులు S.S’ లుగా గల దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1(a > b) పై P (x, y) ఏదైనా బిందువు అయితే SP + S’P స్థిరం అని చూపండి.
సాధన.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1, (a > b) ………(1)
నాభులు S, S’ ల అనురూప నియతరేఖలు ZM, Z’ M’ అనుకొందాం. దీర్ఘవృత్తంపై P ఏదైనా బిందువు. P నుంచి X- అక్షంపై లంబం PL1, నియతరేఖల పైకి గీసిన లంబం MM’
దీర్ఘవృత్తం నిర్వచనం నుంచి, SP = ePM = e(LZ).

∴ SP = e(CZ – CL) = e(\(\frac{a}{e}\) – x)
∴ SP = a – xe
∴ S’P = ePM’ = e(LZ’).
= e(CL + CZ’)
= e(x + \(\frac{a}{e}\)) = a + xe
∴ SP + S’ P = a – xe + a + xe
∴ SP + S’ P = 2a (స్థిరం) = దీర్ఘాక్షం పొడవు.

ప్రశ్న 14.
ఒక దీర్ఘ వృత్తం నాభులు S, T లు హ్రస్వాక్షపు ఒక కొన STB ఒక సమబాహు త్రిభుజం అయితే, దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1
S(ae, 0), T(-ae, 0) లు నాభులు
B(0, b) హ్రస్వాక్షం కొన
STB సమబాహు త్రిభుజం
SB = ST ⇒ SB² : ST²
a²e² + b² = 4a²e²
b² = 3a²e²
a²(1 – e²) = 3a²e²
1 – e² = 3e²
4e² = 1
e² = \(\frac{1}{4}\)
∴ దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత = e = \(\frac{1}{2}\).

ప్రశ్న 15.
x + 2y = 0 కు i) సమాంతరంగా ii) లంబంగా ఉంటూ అతి పరావలయం x² + 4y² = 4 కు స్పృశించే రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{x}{b}\) = 0 మరియు \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{x}{b}\) = 0

అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 20 అయితే
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2 θ = 2tan^-1(\(\frac{b}{a}\))
sec² θ = 1 + tan²θ = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e²
sec θ = e ⇒ θ = sec^-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము
= 2tan^-1(\(\frac{b}{a}\)) లేదా 2 sec^-1(e)

ప్రశ్న 16.
పరావలయాలు y² = 4x, x² = 4y లతో పరిబద్ధమైన ప్రదేశం వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన:
వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 4x ______ (1)
x² = 4y _______ (2)
(\(\frac{x^2}{4}\))² = 4x
\(\frac{x^4}{16}\) = 4x
x⁴ = 64x ⇒ x⁴ = 0 లేదా x³ = 64, x = 4

= \(\left(\frac{4}{3} x^{3 / 2}-\frac{x^3}{12}\right)_0^4\)
= \(\left(\frac{4}{3} \cdot 4^{3 / 2}-\frac{4^3}{12}\right)\)
= \(\frac{4}{3}\).8 – \(\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}\) – \(\frac{16}{3}\) = \(\frac{16}{3}\) చ॥ యూనిట్లు.

ప్రశ్న 17.
(x + y + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1 ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y + 1
\(\frac{d y}{d x}\) – x = y + 1
I.F. = \(e^{\int-d y}\) = e^-y
x. e^-y = ∫ e^-y (y + 1) dy
= -(y + 1). e^-y + ∫ e^-y.dy
= -(y + 1) e^-y – e^-y
= -(y + 2) e^-y + c
x = -(y + 2) + c. e^y

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శ బిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
C₁ (2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₂ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
– 10x – 24y – 38 = 0
5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ ని 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\))-2(x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² – 4x – 10y + 28 = 0; x² + y² + 4x – 6y + 4 = 0 వృత్తాల తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C₁ = (2, 5), C₂ = (-2, 3)
r₁ = \(\sqrt{4+25-28}\) = 1, r₂ = \(\sqrt{4+9-4}\) = 3
r₁ + r₂ = 4
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+2)^2+(5-3)^2}\)
= \(\sqrt{16+4}\) = \(\sqrt{20}\)
‘C’ బిందువు C₁C₂ ని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

C = [\(\frac{1 .(-2)+3.2}{1+3}\), \(\frac{1.3+3.5}{1+3}\)]
= [\(\frac{4}{4}\), \(\frac{9}{2}\)] = [1, \(\frac{9}{2}\)]
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సమీకరణము
\(S_1^2\) = SS₁₁
(x.1 + \(\frac{9}{2}\)y – 2(x + 1) – 5(y + \(\frac{9}{2}\)) + 28)²
= [1 + \(\frac{81}{4}\) – 4 – 10 × \(\frac{9}{2}\) + 28]
(x² + y² – 4x – 10y + 28)
(- x – \(\frac{1}{2}\)y + \(\frac{7}{2}\))² = \(\frac{1}{4}\) (x² + y² – 4x – 10y + 28)
(- 2x – y + 7)² = (x² + y² – 4x – 10y + 28)
4x² + y² + 4xy – 28x – 14y+ 49 = x² + y² – 4x – 10y + 28
3x² + 4xy – 24x – 4y + 21 = 0
(3x + 4y – 21); (x – 1) = 0
3x + 4y – 21 = 0; x – 1 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి (-2, 3) నియతరేఖ 2x + 3y – 4 = 0 గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి. నాభిలంబం పొడవు, అక్షరేఖ సమీకరణాలు కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:

P(x₁, y₁) పరావలయం మీది బిందువు.
S(-2, 3) నాభి
sp² = (x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² నియత రేఖ సమీకరణము 2x + 3y -4 – 0
PM = P నుండి నియత రేఖ మీదకు PM = \(\frac{\left|2 x_1+3 y_1-4\right|}{\sqrt{4+9}}\)
పరావలయ నిర్వచనం ప్రకారం SP = PM ⇒ SP² = PM²
= (x₁ + 2)² + (y₁ – 3)² = \(\frac{\left(2 x_1+3 y_1-4\right)^2}{13}\)
⇒ 13(\(x_1^2\) + 4x₁ + 4 + \(y_1^2\) – 6y₁ + 9) = (2x₁ + 3y₁ – 4)²
⇒ 13 \(x_1^2\) + 13\(y_1^2\) + 52 x₁ – 78 y₁ + 169
⇒ 4\(x_1^2\) + 9\(y_1^2\) + 16 + 12 x₁y₁ – 16x₁ – 24 y₁
⇒ 9\(x_1^2\) – 12 x₁y₁ + 4\(y_1^2\) + 68x₁ – 54y₁ + 153 = 0
బిందు పథము P(x₁, y₁)
9x² – 12xy + 4y² + 68x – 54y + 153 = 0
నాభి లంబము పొడవు = 4a
S నుండి నియత రేఖ మీదకు లంబదూరము
= \(\frac{|2(-2)+3.3-4|}{\sqrt{4+9}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
2a = \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
నాభి లంబం పొడవు 4a = \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
అక్షం, నియత రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.
నియత రేఖ సమీకరణాన్ని 3x – 2y + k = 0 గా తీసుకొనగలము.
ఈ రేఖ S (-2, 3) గుండా పోతుంది.
– 6 – 6 + k = 0 ⇒ k = 12
అక్షం సమీకరణము 3x – 2y + 12 = 0

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{2 \sin x+3 \cos x+4}{3 \sin x+4 \cos x+5}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
2 sin x + 3 cos x + 4
= A(3 sin x + 4 cos x + 5) + B (3 cos x – 4 sin x) + C అనుకోండి
sin x, గుణకాలు సమానం చేయు 3A – 4B = 2
cos x, గుణకాలు సమానం చేయు 4A + 3B = 3

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి.
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E) x
x సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x}\) dx ను సాధించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+2 y+3}{2 x+3 y+4}\) ను సాధించండి.
సాధన:
x = X + h y = Y + k అయితే \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{d y}{d x}\)
\(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{(X+h)+2(Y+k)+3}{2(X+h)+3(Y+k)+4}\)
= \(\frac{(X+2 Y)+(h+2 k+3)}{(2 X+3 Y)+(2 h+3 k+4)}\)
h, k విలువలకు h + 2k + 3 = 0
2h + 3k + 4 = 0 అయ్యే విధంగా ఎన్నుకొందాం


x= x – 1, Y = Y + 2 కనుక
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)[log(X + 3Y
– \(\frac{1}{2}\)(log(X + √3Y) + log (X – √3Y) – 2 logX) = log CX
log (X + √3Y)(\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) – \(\frac{1}{2}\)) – log (x – √3Y)
(\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) + log X = log c + log X
\(\frac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\) log (X + √3Y) \(\frac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}\) log (X – √3Y) = log c
\(\frac{(2-\sqrt{3})}{2}\) log (X + √3Y) – \(\frac{(2+\sqrt{3})}{2}\)
log (X – √3Y) = √3c’ ఇచ్చట c’ = log c
ఇచ్చట X = x – 1, Y = y + 2