AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 10 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 10 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 10 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
x² + y² – 5x – 4y – 2 = 0 వృత్తం దృష్ట్యా (0, 5) స్పర్శ జ్యా సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము S₁ = 0
i.e., xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
వృత్త సమీకరణము S = x² + y² – 5x + 4y – 2 = 0
స్పర్శ జ్యా సమీకరణము x. 0 + y. 5 – \(\frac{5}{2}\) (x + 0) + 2(y + 5) – 2 = 0
2 తో గుణించగా 10y – 5x + 4y + 20 – 4 = 0
-5x + 14y + 16 = 0
లేదా 5x – 14y – 16 = 0

ప్రశ్న 2.
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0 పై బిందువు 30° వద్ద స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణము
x² + y² + 4x + 6y – 39 = 0
g = 2, f = 3
r = \(\sqrt{4+9+12}\) = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
θ = 30°
స్పర్శరేఖ సమీకరణము (x + g) cos 30° + (y + f) sin 30° = r
(x + 2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + (y + 3). \(\frac{1}{2}\) = 2\(\sqrt{13}\)
√3x + 2√3 + y + 3 = 4\(\sqrt{13}\)
√3x + y + (3 + 2√3 – 4\(\sqrt{13}\)) = 0

ప్రశ్న 3.
x² + y² + 6x – 10y – 135 = 0; x² + y² – 4x + 14y – 116 = సమీకరణాలు సూచించే వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
C₁ = (-3, 5)
r₁ = \(\sqrt{9+25+135}\)
r₁ = 13
C₂ = (2, -7)
r₂ = \(\sqrt{4+49+116}\)
r₂ = 13
C₁C₂ = \(\sqrt{(-3-2)^2+(5+7)^2}\) = 13
cos θ = \(\left|\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\right|\) = \(\frac{(13)^2-(13)^2-(13)^2}{2 \times(13)(13)}\)
= \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac{2 \pi}{3}\) θ = 2\(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 4.
y² = 16x పరావలయానికి 2x – y + 2 = 0 స్పర్శరేఖ అవుతుందని చూపి స్పర్శబిందువు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల 2x – y + 2 = 0 ⇒ y = 2x + 2
y = mx + c తో పోల్చగా m = 2, c = 2
y² = 16x ను y² = 4ax తో పోల్చగా 4a = 16 ⇒ a = 4
\(\frac{a}{m}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 = c
∴ స్పర్శబిందువు : (\(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}^2}\), \(\frac{2 a}{m}\)) = (\(\frac{4}{2^2}\), \(\frac{2(4)}{2}\)) = (1, 4)

ప్రశ్న 5.
నాభులు ( ± 5, 0), తిర్యక్ అక్షం పొడవు 8 గా గల అతిపరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
నాభులు S(+5, 0) ∴ ae = 5
తిర్యాక్షము పొడవు = 2a = 8 a = 4 = e = \(\frac{5}{4}\)
b² = a² (e² – 1) = 16(\(\frac{25}{16}\) – 1) = 9
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{16}\) – \(\frac{y^2}{9}\) = 1 ; 9x² – 16y² = 144

ప్రశ్న 6.
\(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right)\) dx ; x ∈ R విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) dx, x ∈ I = (-1, 1) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\); t = x³ ⇒ dt = 3x² dx
\(\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\) = \(\frac{1}{3} \int \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}\) = \(\frac{5}{4}\) sin^-1t + c = \(\frac{1}{3}\) sin^-1(x³) +c

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\) = \(\left[\frac{1}{a}{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_0^a\)
= \(\frac{1}{a}\) [Tan^-1 (1) – Tan^-1 (0)] = \(\frac{1}{a}\)(\(\frac{\pi}{4}\) – 0) = \(\frac{\pi}{4 a}\)

ప్రశ్న 9.
\(\int_2^3 \frac{2 x}{1+x^2}\) dx ను కనుక్కోండి.
సాధన:
I = \(\left[\ln \left|1+x^2\right|\right]_2^3\) = ln 10 – ln 5 = ln(10/5) = ln 2

ప్రశ్న 10.
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x – y} + x² e^-y ను సాధించండి.
సాధన.
e^y తో చూడండి.
e^y . \(\frac{d y}{d x}\) = e^x + x²
e^y . dy = (e^x + x²). dx
(e^x + x²) dx – e^y . dy = 0

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(-2, 3) కేంద్రంగా ఉంటూ 3x + 4y + 4 = 0 రేఖపై చేసే జ్యా పొడవు 2 అయ్యే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

కేంద్రం C (-2, 3) నుండి రేఖ మీదకు దూరం
d = \(\left|\frac{3(-2)+4(3)+4}{\sqrt{9+16}}\right|\)
= \(\frac{10}{5}\) = 2
జ్యా AB పొడవు = 2 యూనిట్లు
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) అనుకొనిన ⇒ 2 = 2 \(\sqrt{r^2-d^2}\)
⇒ r² – d² = 1
⇒ r² – 4 = 1 ⇒ r² = 5
వృత్త సమీకరణము (x + 2)² + (y – 3)² = 5
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 4+ 9 – 5 = 0
⇒ x² + y² + 4x – 6y + 8 = 0

ప్రశ్న 12.
x² + y² + 2gx + 2fy = 0, x² + y² + 2g’x + 2f’y = 0 వృత్తాలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకొంటే fg = fg’ అని చూపండి.
సాధన:
C₁ = (-g, -f)
r₁ = \(\sqrt{g^2+f^2}\)

C₂ = (-g’, -f’)
r₂ = \(\sqrt{\mathrm{g}^{\prime^2}+\mathrm{f}^{\prime^2}}\)

C₁ C₂ = r₁ + r₂
(C₁ C₂)² = (r₁ + r₂)²
(g’ – g)² + (f’ – f)² = g² + f² + g’² + f’² + 2 \(\sqrt{g^2+f^2} \sqrt{g^{\prime 2}+f^{\prime 2}}\) -2(gg’ + ff’) = 2{g²g’² + f²f’² + g²f’² + f²g’²}^1/2
మరల వర్గీకరించగా
(gg’ + ff’)² = g²g’² + f²f’² + g²f’² + g’²f²
g²g’² + f²f’² + 2gg’ff’ = g²g’² + ƒ²f’² + g²f’² + g’²f’²
2gg’ff’ = g²f’² + f²g’² ⇒ g²f’² + g’²f² – 2gg’ff’ = 0
లేదా (gf’ – fg’)² = 0 లేదా gf’ = fg’

ప్రశ్న 13.
నాభులు S, S’ లుగా గల దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1(a > b) పై P (x, y) ఏదైనా బిందువు అయితే SP + S’P స్థిరం అని చూపండి.
సాధన.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{a^2}\) = 1, (a > b) ………(1)
నాభులు S, S’ ల అనురూప నియతరేఖలు ZM, Z’ M’ అనుకొందాం.
దీర్ఘవృత్తంపై P ఏదైనా బిందువు. P నుంచి X- అక్షంపై లంబం PL, నియతరేఖల పైకి గీసిన లంబం MM’ దీర్ఘవృత్తం నిర్వచనం నుంచి, SP = ePM = e(LZ)

∴ SP = e(CZ – CL) = e(\(\frac{a}{e}\) – x)
∴ SP = a – xe
∴ S’P = ePM’ = e(LZ’). = e(CL + CZ’) = e(x + \(\frac{a}{e}\)) = a + xe
∴ SP + S’ P = a – xe + a + xe
∴ SP + S’ P = 2a (స్థిరం) = దీర్ఘాక్షం పొడవు.

ప్రశ్న 14.
దీర్ఘవృత్తం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 కేంద్రం C, AA’, BB’ లు వరుసగా దీర్ఘ, హ్రస్వాక్షాలు, దీర్ఘవృత్తంపై ఏదైనా బిందువు P యొక్క బిందు y నిరూపకం (PN) అయితే \(\frac{\mathrm{PN}^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{(B C)^2}{(C A)^2}\) అని చూపండి.
సాధన:

దీర్ఘవృత్తం సమీకరణం \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
P(a cos θ, b sin θ) దీర్ఘవృత్తం మీద ఏదేని బిందువు
PN = b sin θ; AN = a – a cos θ
A’N = a + a cos θ; BC = b, CA = a
(A’N). (AN) = (a + a cos θ) (a – a cos 0)
= a² – a² cos² 0
= a² (1 – cos² θ)
= a² sin² θ
\(\frac{(\mathrm{PN})^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{b^2 \sin ^2 \theta}{a^2 \sin ^2 \theta}\) = \(\frac{b^2}{a^2}\)
\(\frac{B C^2}{(C A)^2}\) = \(\frac{b^2}{a^2}\) ⇒ \(\frac{(\mathrm{PN})^2}{\left(\mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{N}\right)(\mathrm{AN})}\) = \(\frac{B C^2}{(C A)^2}\)

ప్రశ్న 15.
ఉత్కేంద్రత \(\frac{3}{2}\), ఒక నాభి (1,- 3), అనురూప నియతరేఖ y = 2గా గల అతి పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:

నాభి, S(1, -3) నియతరేఖ సమీకరణం y – 2 = 0
P(x₁, y₁) అతి పరావలయం మీది ఏదేని బిందువు SP కలుపు నియతరేఖ మీదకు PM అనే లంబాన్ని గీయండి.
S.P.= e. PM
⇒ Sp² = e². PM²
(x₁ – 1)² + (y₁ + 3)² = \(\frac{9}{4}\)\(\left|\frac{\left(y_1-2\right)}{\sqrt{1+0}}\right|^2\)
\(x_1^2\) + 1 – 2x₁ + \(y_1^2\) + 9 + 6y₁ = \(\frac{9}{4}\)(y₁ – 2)²
4\(x_1^2\) + \(y_1^2\) – 8x₁ + 24y₁ + 40 = (\(y_1^2\) + 4 – 4y₁) – 9\(y_1^2\) – 36y₁ + 36
4\(x_1^2\) – 5\(y_1^2\) – 8x₁ + 60y₁ + 4 = 0
P(x₁, y₁) యొక్క బిందుపథము 4x² – 5y² – 8x + 60y + 4 = 0
ఇది కావలసిన అతిపరావలయ సమీకరణము.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{2 \pi}(1+\cos x)^5(1-\cos x)^3\) dx ను గణించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
(1 + y²) dx = (tan^-1y – x) dy ను సాధించండి.
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0, x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0 వృత్తాలు స్పృశించుకుంటాయని చూపండి. ఇంకా స్పర్శ బిందువును, స్పర్శబిందువు వద్ద ఉమ్మడి స్పర్శరేఖను కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్తాల సమీకరణాలు x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0
మరియు x² + y² + 6x + 18y + 26 = 0
కేంద్రాలు C₁ (2, 3), C₂ = (-3, -9)
r₁ = \(\sqrt{4+9+12}\) = 5
r₂ = \(\sqrt{9+81-26}\) = 8
C₁C₂ = \(\sqrt{(2+3)^2+(3+9)^2}\)
= \(\sqrt{25+144}\) = 13 = r₁ + r₂
∴ వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.
ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి సర్పరేఖల సమీకరణము S₁ – S₂ = 0
– 10x – 24y – 38 = 0
5x + 12y + 19 = 0

స్పర్శబిందువు P, C₁C₂ ని 5 : 8 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
P నిరూపకాలు
(\(\frac{5(-3)+8 \cdot 2}{5+8}\), \(\frac{5(-9)+8 \cdot 3}{5+8}\)) = (\(\frac{1}{13}\), \(\frac{-21}{13}\))
స్పర్శబిందువు వద్ద స్పర్శరేఖా సమీకరణం
x(\(\frac{1}{13}\)) + (-\(\frac{21}{13}\))-2(x + \(\frac{1}{13}\)) – 3(y – \(\frac{21}{13}\)) – 12 = 0
i.e., 5x + 12y + 19 = 0

ప్రశ్న 19.
x² + y² = 9, x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0 వృత్త యుగ్మాలకు అన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
వృత్త సమీకరణాలు x² + y² = 9
x² + y² – 16x + 2y + 49 = 0
కేంద్రాల A (0,0), B(8, -1)
r₁ = 3, r₂ = \(\sqrt{64+1-49}\) = 4
AB = \(\sqrt{(0-8)^2+(0+1)^2}\) = \(\sqrt{64+1}\) = \(\sqrt{65}\), > r₁ + r₂
వృత్తాలు ఒకదానికొకటి బాహ్యంగా ఉంటాయి.
A (0,0), B(8, -1)
-బాహ్యసరూప కేంద్రం S, AB ని బాహ్యంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
5 నిరూపకాలు (-24, + 3)
ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖ వాలు m అనుకొనుము.
y – 3 = m(x + 24)
= mx + 24m
mx – y + (24m + 3) = 0 _____ (1)
ఇది x² + y² = 9 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ సమీకరణము
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{m^2+1}}\)
9(m² + 1) = 9(8m + 1)² = 64m² + 10m + 1
63m² + 16m = 0
m(63m + 10) = 0
m = 0 లేదా \(\frac{-16}{63}\)

సందర్భం (i) : m = 0
(1) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖ సమీకరణము -y + 3 = 0
y – 3 = 0

సందర్భం (ii) : m = \(\frac{-16}{63}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము \(\frac{-16}{63}\) x – y + (\(\frac{-384}{63}\) + 3) = 0
⇒ \(\frac{-16}{63}\) x – y + \(\frac{195}{63}\) = 0
⇒ 16x + 63y + 195 = 0
అంతర సరూప కేంద్రము S’, AB ని అంతరంగా 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
S’ నిరూపకాలు (\(\frac{24}{7}\), \(\frac{-3}{7}\))
తిర్యక్ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖా సమీకరణము
y + \(\frac{3}{7}\) = m (x – \(\frac{24}{7}\))
\(\frac{7 y+3}{7}\) = \(\frac{m(7 x-24)}{7}\)
7y + 3 = 7mx – 24m
7mx – 7y – (24m + 3) = 0 ________(2)
స్పర్శరేఖా సమీకరణము x + y = 9
3 = \(\frac{|24 m+3|}{\sqrt{49 m^2+49}}\) = \(\frac{3}{7}\) \(\frac{28 m+1}{\sqrt{m^2+1}}\)
49 (m² + 1) = (8m + 1)²
49m² + 49 = 64m² +16m + 1
15m² + 16m – 48 = 0
(3m -4) (5m + 12) = 0
m = \(\frac{4}{3}\) లేదా \(\frac{-12}{5}\)

సందర్భం (i) : : (2) లో ప్రతిక్షేపిస్తే స్పర్శరేఖా సమీకరణము
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – (\(\frac{96}{3}\) + 3) = 0
\(\frac{28}{x}\)x – 7y – \(\frac{105}{3}\) = 0
\(\frac{7}{3}\)(4x – 3y – 15) = 0
4x – 3y – 15 = 0

సందర్భం (ii) :: m = \(\frac{-12}{5}\)
తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖాసమీకరణము
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y – (\(\frac{-228}{5}\) + 3) = 0
\(\frac{-84}{5}\) x – 7y + \(\frac{273}{5}\) = 0
\(\frac{-7}{5}\) (12x + 5y – 39) = 0
i.e., 12x + 5y – 39 = 0
∴ ప్రత్యక్ష స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
y – 3 = 0 మరియు 16x + 63y + 195 = 0
తిర్యక్ స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
4x – 3y – 15 = 0 మరియు 12x + 5y – 39 = 0

ప్రశ్న 20.
నాభి S(3, 5), శీర్షం A(1, 3) గా గల పరావలయ సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
అక్ష సమీకరణము y – 3 = \(\frac{3 – 5}{1 – 3}\) (x – 1) = x – 1
x – y + 2 = 0
నియత రేఖ, అక్షానికి లంబంగా ఉంది
నియత రేఖ, సమీకరణము x + y + k = 0
Z నిరూపకాలు (x, y) SZ మధ్య బిందువు A
A నిరూపకాలు (\(\frac{3+x}{2}\), \(\frac{5+y}{2}\)) = (1, 3)
\(\frac{3+x}{2}\) = 1
3 + x = 2
x = 2 – 3 = -1

\(\frac{5+y}{2}\) = 3
5 + y = 6
y = 6 – 5 = 1

Z నిరూపకాలు (-1, 1)
నియత రేఖ 2 (-1, 1) గుండా పోతుంది.
– 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0
నియతరేఖ సమీకరణము x + y = 0
పరావలయ సమీకరణము
(x – α)² + (y – β)² = \(\frac{(l x+m y+n)^2}{l^2+m^2}\)
(x – 3)² + (y – 5)² = \(\frac{(x+y)^2}{1+1}\)
⇒ 2(x² – 6x + 9 + y² – 10y + 25) = (x + y)²
⇒ 2x² + 2y² – 12x – 20y + 68 = x² + 2xy + y²
i.e., x² – 2xy + y² – 12x – 20y + 68 = 0.

ప్రశ్న 21.
e^x log (e^2x + 5e^x + 6) dx; R
సాధన:
∫e^x log (e^2x + 5e^x + 6)dx
∵ e^2x + 5e^x + 6 = (e^x + 2) (e^x + 3)
= ∫e^x. log ((e^x + 2) (e^x + 3)) dx
= ∫e^x{log (e^x + 2) + log (e^x + 3)} dx
= ∫e^x log (e^x + 2)dx + ∫e^x log (e^x + 3) dx
e^x = t ⇒ e^x dx = dt
= ∫log (t + 2) dt + ∫log (t + 3)dt

= t. log (t² + 5t + 6) – \(\int\left\{1-\frac{2}{t+2}\right\}\) dt – \(\int\left\{1-\frac{2}{t+2}\right\}\) dt
= t log (t² + 5t + 6) – t + 2 log |t + 2| – t + 3 log |t + 3| + C
= t. log (t² + 5t + 6) – 2t + 2 log |t + 2| + 3 log | t + 3| + C
= e^x log (e^2x + 5e^x + 6) – 2e^x + 2 log (e^x + 2) + 3 log (e^x + 3) + C

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx ను గణించండి.
సాధన:
\(\frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+4}\) + \(\frac{D x+E}{\left(x^2+4\right)^2}\) అనుకోండి.
2x + 1 = A (x² + 4)² + (Bx + C) + x (x² + 4) + (Dx + E) x
x సమఘాత పదాల గుణకాలు సమానం చేయగా
A + B = 0, C = 0, 8A + 4B + D = 0, 4C + E = 2, A = \(\frac{1}{16}\)
ఈ సమీకరణాలను సాధిస్తే
A = \(\frac{1}{16}\), B = –\(\frac{1}{16}\), C = 0, D = –\(\frac{1}{4}\), E = 2

ప్రశ్న 23.
y² = 12(x + 3), y² = 20 (5 – x) వక్రాల మధ్య ఆవృతమైన వైశాల్యం 64\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) అని చూపండి.
సాధన:

వక్రాల సమీకరణాలు
y² = 12 (x + 3) _______ (1)
y² = 20 (5 – x) _______ (2)
y ను తొలగించగా
12(x + 3) = 20(5 – x)
3x + 9 = 25 – 5x
8x = 16, x = 2
y² = 12(2 + 3) = 60
y = \(\sqrt{60}\) = ±2\(\sqrt{15}\)
ఖండన బిందువులు (2, 2\(\sqrt{15}\)) B’ (+2, -2\(\sqrt{15}\))
కావలసిన వైశాల్యము X – అక్షం దృష్ట్యా సౌష్ఠవము.

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\) ను సాధించండి.
సాధన:
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-\left(x^2+3 y^2\right)}{3 x^2+y^2}\)
Put y = vx
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x . \(\frac{d v}{d x}\)

(v + 1)³ తో గుణించగా
3 + v² = A(v + 1)² + B(v + 1) + C
v = 1 ⇒ 3 + 1 = C ⇒ C = 4
v² గుణకాలను సమానం చేయగా A = 1
v గుణకాలను సమానం చేయగా 0 = 2A + B, B = -2A = -2.