AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Access to a variety of AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Papers Set 1 in Telugu Medium allows students to familiarize themselves with different question patterns.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

  1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
  2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
ax2 + bxy + 3y2 – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తే, a, b విలువలు కనుక్కోండి. వృత్తకేంద్రాన్ని వ్యాసార్థాన్ని కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
వృత్తాన్ని సూచిస్తే a = 3, h = 0
∴ ax2 + bxy + 3y2 – 5x + 2y – 3 = 0 వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ b = 0, a = 3
3x2 + 3y2 – 5x + 2y – 3 = 0
x2 + y2 – \(\frac{5}{3}\)x + \(\frac{2}{3}\)y – 1 = 0
g = –\(\frac{-5}{6}\); f = \(\frac{2}{6}\) c = -1
C = (-g, -f) = (\(\frac{5}{6}\), –\(\frac{1}{3}\))
వ్యాసార్ధము = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{9}+1}\)
= \(\frac{\sqrt{65}}{6}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
lx + my + n = 0, సరళరేఖ, x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 వృత్తానికి అభిలంబ రేఖ కావడానికి ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
lx + my + n = 0 రేఖ వృత్తానికి అభిలంబరేఖ
S = x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0
⇒ కేంద్రం (-g, -f)
lx + my + n = 0
l (- g) + m(- f) + n = 0
gl + fm = n

ప్రశ్న 3.
x2 + y2 – 12x – 6y + 41 = 0; x2 + y2 + 4x + 6y – 59 = 0 వృత్తాల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
C1 = (6, 3)
r1 = (36 + 9 – 41)1/2
r1 = 2

C2 = (-2, -3)
r2 = (4 + 9 + 59)1/2
r2 = (72)1/2 = 6√2

C1C2 = d = \(\sqrt{(6+2)^2+(3+3)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\) = 10
cos θ = \(\frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2 r_1 r_2}\)
\(\frac{100-4-72}{2 \times 2 . \sqrt{72}}\) = \(\frac{24}{4 \times 6 \sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
θ = 45°

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

ప్రశ్న 4.
నాభి S(1, -7), శీర్షం A(1, -2) గా గల పరావలయం సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
S = (1, -7), A(1, -2) అనుకుందాము.
h = 1, k = -2, a = -2 + 7 = 5
పరావలయం అక్షం Y – అక్షానికి సమాంతరము.
పరావలయ సమీకరణము
(x – h)2 = – 4a (y – k)
(x – 1)2 = – 20(y + 2)
x2 – 2x + 1 = -20y – 40
⇒ x2 – 2x + 20y + 41 = 0.

ప్రశ్న 5.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయానికి, అనంత స్పర్శరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 1
అనంత స్పర్శరేఖల సమీకరణాలు
\(\frac{x}{a}\) – \(\frac{y}{b}\) = 0 మరియు \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = θ
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 2θ అయితే
tan θ = \(\frac{b}{a}\) = అనంత స్పర్శరేఖ వాలు
θ = tan-1(\(\frac{b}{a}\))
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2θ
2tan-1(\(\frac{b}{a}\))
sec2 θ = 1 + tan2 θ = 1 + \(\frac{b^2}{a^2}\)
= \(\frac{a^2+b^2}{a^2}\) = \(\frac{a^2 e^2}{a^2}\) = e2
secθ = e ⇒ θ sec-1e
అనంత స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము = 2tan-1(\(\frac{b}{a}\)) లేదా 2 sec-1(e)

ప్రశ్న 6.
గణించండి : \(\int \frac{1}{(x+3) \sqrt{x+2}} d x\)
సాధన:
x + 2 = t2
dx = 2t dt
\(\int \frac{d x}{(x+3) \sqrt{x+2}}\) = \(\int \frac{2 t d t}{t\left(t^2+1\right)}\)
= \(2 \int \frac{d t}{t^2+1}\)
= 2 tan-1 (t) + C
= 2 tan-1 (\(\sqrt{x+2}\)) + C

ప్రశ్న 7.
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) = ∫ tan4 x. sec2 x dx
f : I → R ను f(x) గా నిర్వచిద్దాం.
= tan x, f'(x) = sec2x
\(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x\) = ∫[f(x)]4 . f'(x)dx
= \(\frac{[f(x)]^5}{5}\) + c.
\(\frac{1}{5}\) tan5 x + c.

ప్రశ్న 8.
\(\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1}\) ను గణించండి.
సాధన:
\(\int_0^1 \frac{\left(x^2+1-1\right)}{x^2+1} d x\) = \(\int_0^1 d x-\int_0^1 \frac{d x}{x^2+1}\)
= \([x]_0^1-\left[\tan ^{-1} x\right]_0^1\)
= 1 – tan-1 1
= 1 – π/4

ప్రశ్న 9.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 2
(1), (2) లను కూడగా
2I = \(\int_0^{\pi / 2} \frac{0 d x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x}\) = 0
⇒ I = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

ప్రశ్న 10.
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right)^{\frac{6}{5}}\) = 6y అవకలన సమీకరణానికి పరిమాణం, తరగతి కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right)^{\frac{6}{5}}\) = 6y
i.e., \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + (\(\frac{d y}{d x}\))3 = \((6 y)^{\frac{5}{6}}\)
పరిమాణము = 2, తరగతి = 1

విభాగం- బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

  1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
  2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x2 + y2 – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (-1, 2) వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ x + y + 4x + 6y = 0 వృత్తాన్ని స్పృశిస్తుందని చూపండి. స్పర్శ బిందువులను కూడా కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 + y2 – 4x – 8y + 7 = 0 వృత్తానికి (−1, 2) వద్ద స్పర్శరేఖ S1 = 0
అంటే x(-1) + y(2) – 2 (x – 1) – 4(y + 2) + 7 = 0
⇒ – 3x – 2y + 1 = 0
⇒ 3x + 2y – 1 = 0
ఈ రేఖ x2 + y2 + 4x + 6y = 0 వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన r = d కావలయును.
ఇచ్చట వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\sqrt{4+9}\) = \(\sqrt{13}\)
d = వృత్త కేంద్రం C (-2, -3) నుండి రేఖ
3x + 2y – 1 = 0 మీదకు లంబదూరం
⇒ d = \(\frac{|3(-2)+2(-3)-1|}{\sqrt{13}}\) = \(\sqrt{13}\)
∴ r = d
⇒ రేఖ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
స్పర్శబిందువు P(x1, y1) అనుకుంటే, ఇది C ( -2, – 3) నుండి రేఖ మీదకు లంబపాదం అవుతుంది.
\(\frac{x_1+2}{3}\) = \(\frac{y_1+3}{2}\) = – \(-\left(\frac{-6-6-1}{13}\right)\) = 1
⇒ x1 + 2 = 3 ⇒ x1 = 1
y1 + 3 = 2 ⇒ y1 = -1
∴ స్పర్శబిందువు (1, -1)

ప్రశ్న 12.
x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0, x2 + y2 – 2x – 15 = 0 వృత్తాల ఖండన బిందువులు (1, 2) గుండా పోయే వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
x2 + y2 – 8x – 6y + 21 = 0 ______ (1)
x2 + y2 – 2x – 15 = 0 _______ (2)
(1), (2) వృత్తాల ఖండన బిందువు గుండా పోయే వృత్తం
(x2 + y2 – 8x – 6y + 21) + λ(x2 + y2 – 2x – 15) = 0 ______ (3)
ఈ వృత్తం (1, 2) గుండా పోతుంది.
(1 + 4 – 8 – 12 + 21) + λ(1 + 4 – 2 – 15) = 0
అంటే 6 + λ(-12) = 0
అంటే λ = \(\frac{1}{2}\)
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
(x2 + y2 – 8x – 6y + 21) + \(\frac{1}{2}\) (x2 + y2 – 2x – 15) = 0
అంటే 3(x2 + y2) – 18x – 12y + 27 = 0

ప్రశ్న 13.
9x2 + 16y2 = 144 దీర్ఘ వృత్తానికి, హ్రస్వ, దీర్ఘాక్షాల పొడవులు, నాభిలంబం పొడవు, ఉత్కేంద్రతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణం 9x2 + 16y2 = 144
\(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1
∴ a = 4, b = 3
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 2.4 = 8
హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 2. 3 = 6
నాభిలంబం పొడవు = \(\frac{2 b^2}{a}\) = \(\frac{2.9}{4}\) = \(\frac{9}{2}\)
ఉత్కేంద్రత = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\) = \(\sqrt{\frac{16-9}{16}}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
కేంద్రం C(0, 0); నాభులు (±ae, 0) (± √7, 0)
నియత రేఖా సమీకరణాలు x = ± \(\frac{a}{e}\)
x = ± 4.\(\frac{4}{\sqrt{7}}\) = ± \(\frac{16}{\sqrt{7}}\) (√7x = ± 16

ప్రశ్న 14.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b) దీర్ఘ వృత్తం యొక్క లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన
బిందువులు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయని చూపండి.
సాధన:
దీర్ఘ వృత్త సమీకరణం + \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b) అనుకొందాం.
దీనికి వాలు-అంతర ఖండ రూపంలో ఏదైనా స్పర్శరేఖ
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు P(x1, y1) అనుకొందాం. ఏదో ఒక వాస్తవ విలువ m కు P బిందువు (1) పై ఉంటుంది.
అంటే y1 = mx1 ± \(\sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
∴ (y1 – mx1)2 = a2m2 + b2.
(లేదా) (\(x_1^2\) – a2) m2 – 2x1y1m + (\(y_1^2\) – b2) = 0. ఇది m లో వర్గ సమీకరణం. దీని మూలాలు m1, m2 అనుకొందాం. అప్పుడు P నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు వాలులు m1, m2.
m1m2 = \(\left(\frac{y_1^2-b^2}{x_1^2-a^2}\right)\)
∴ -1 = \(\left(\frac{y_1^2-b^2}{x_1^2-a^2}\right)\) [స్పర్శ రేఖలు పరస్పర లంబ రేఖలు కాబట్టి m1m2 = -1]
అంటే \(x_1^2\) + \(y_1^2\) = a2 + b2
అంతేగాక లంబ స్పర్శ రేఖలలో ఒకటి ఊర్ధ్వ రేఖ అయితే అది (± a, ± b) లలో ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి. ఈ బిందువులన్నీ x2 + y2 = a2 + b2 ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ S = 0 దీర్ఘ వృత్తం లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువులు
x2 + y2 = a2 + b2 అనే వృత్తంపై ఉంటాయి.

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 అతిపరావలయానికి రెండు లంబ స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు
x2 + y2 = a2 – b2 పై ఉంటుందని చూపండి..
సాధన:
పరస్పర లంబంగా ఉన్న అతిపరావలయాల స్పర్శరేఖల ఖండన బిందువు P(x1, y1)
అతిపరావలయ సమీకరణము \(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1
స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\) గా తీసుకొనవచ్చు.
ఈ స్పర్శరేఖ P(x1, y1) గుండా పోతుంది.
y1, = mx1 ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
(y1 – mx1)2 = a2m2 – b2
\(y_1^2\) + m2\(x_1^2\) – 2mx1y1 = a2m2 – b2
m2\(x_1^2\) – a2m2 – 2mx1y1 + \(y_1^2\) + b2 = 0
m2(\(x_1^2\) – a2) – 2mx1y1 + (\(y_1^2\) + b2) = 0
స్పర్శరేఖలు లంబాలు ⇒ m1m2 = -1
\(\frac{y_1^2+b^2}{x_1^2-a^2}\) = -1 ⇒ \(y_1^2\) + b2 = – \(x_1^2\) + a2
\(x_1^2\) + \(y_1^2\) a2 = b2
P(x, y) యొక్క బిందువృత్తం x2 + y2 = a2 – b2
ఈ వృత్తాన్ని అతిపరావలయ నియతవృత్తము అంటారు.

ప్రశ్న 16.
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x\) యొక్క లఘాకరణ సూత్రాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
n ధన పూర్ణాంకం, n ≥ 2 అయినప్పుడు
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 3
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 4
ఇది లఘకరణ సూత్రం.

ప్రశ్న 17.
సాధించండి : (1 + y2) dx = (tan-1y – x) dy
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 5

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

  1. ఏవైనా ఐదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
  2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
(1, 1), (- 6, 0), (- 2, 2), (- 2, – 8) బిందువులు చక్రీయాలని చూపండి.
సాధన:
కావలసిన వృత్త సమీకరణము
x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 ______ (i)
ఈ వృత్తము A (1, 1) గుండా పోతూ
1 + 1 + 2g + 2f + c = 0
⇒ 2g + 2f + c = 2 _______ (ii)
ఈ వృత్తము B (- 6, 0) గుండా పోతూ
36 + 0 – 12g + 0 + c = 0
– 12g + c = -36 _____ (iii)
ఈ వృత్తము C (- 2, 2) గుండా పోతూ
4 + 4 – 4g + 4f + c = 0
– 4g + 4f + c = -8 _______ (iv)
(iii) – (iv) చేయగా – 8g – 4f = 0
⇒ 2g + f = 7
(i) – (ii) చేయగా 14g + 2f = 34
7g + f = 17 ______ (v)
(iv) నుండి (v) సాధించగా g = 2, f = 3
g = 2, f = 3 అని (i) లో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 6 + c = – 2
c = -12
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0
(- 2, – 8) ను సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించగా
4 + 64 – 8 – 48 – 12 = 68 – 68 = 0
(- 2, – 8) బిందువుపై సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తాయి.
∴ A, B, C, D లు చక్రీయాలు.
వృత్త సమీకరణము x2 + y2 + 4x + 6y – 12 = 0

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

ప్రశ్న 19.
x2 + y2 + 22x – 4y – 100 = 0, x2 + y2 – 22x + 4y + 100 = 0 వృత్తాలకు ప్రత్యక్ష (ఏకపక్ష) ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు కనుక్కోండి.
సాధన:
C1 = (-11, 2)
r1 = \(\sqrt{121+4+100}\) = 15

C2 = (11, -2)
r2 = \(\sqrt{121+4-100}\) = 5

y = mx + c స్పర్శరేఖ అనుకొనుము.
mx – y + c = 0
\(\left|\frac{m(-11)-2+c}{\sqrt{1+m^2}}\right|\) = 15 ______ (1)
5 = \(\left|\frac{m(11)+2+c}{\sqrt{1+m^2}}\right|\) _______ (2)
(1) ÷ (2) చేయగా = \(\frac{3}{1}\) = \(\frac{-11 m-2+c}{m(11)+2+c}\)
= \(\frac{3 + 1}{3 – 1}\) = \(\frac{2 c}{-22 m-4}\)
C = – 22m – 4
∴ y = mx – 22m – 4
ఈ రేఖ రెండవ వృత్తానికి స్పర్శరేఖ
∴ \(\frac{|11 m+2-22 m-4|}{\sqrt{m^2+1}}\) = 5
వర్గీకరించి అడ్డ గుణకారము చేయగా
25 (1 + m2) = (11m + 2 – 22m – 4)2
96m2 + 44m – 21 = 0
⇒ 96m2 + 72m – 28m – 21 = 0
m = \(\frac{7}{24}\), \(\frac{-3}{4}\)
C = \(\frac{25}{2}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము y = – \(\frac{3}{4}\) x + \(\frac{25}{2}\)
4y + 3x = 50 3x + 4y – 50 = 0
C = – 22m – 4 = – 22(\(\frac{7}{24}\)) – 4
= \(\frac{-77-48}{12}\) = \(\frac{-125}{12}\)
y = \(\frac{7}{24}\) x – \(\frac{125}{12}\)
స్పర్శరేఖ సమీకరణము
⇒ 24y = 7x – 250
⇒ 7x – 24y – 250 = 0

ప్రశ్న 20.
y2 = 4ax పరావలయంలో అంతర్లిఖించిన త్రిభుజం శీర్షాల y- నిరూపకాలు y1, y2, y3 అయితే త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{8 a}\) |(y1 – y2) (y2 – y3) (y3 – y1)| చ.యూ. అని చూపండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 6

ప్రశ్న 21.
\(\int \frac{9 \cos x-\sin x}{4 \sin x+5 \cos x}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 7

ప్రశ్న 22.
\(\int \frac{d x}{(1+x) \sqrt{3+2 x-x^2}}\) ను గణించండి.
సాధన:
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 8

AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu

ప్రశ్న 23.
\(\int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2}\) ను గణించండి.
సాధన:
x = tan θ ప్రతిక్షేపించగా
dx = sec2 θ dθ
x = 0 ⇒ θ = 0
x = 1 ⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 9
I = \(\int_0^{\pi / 4}[\log (1+\tan \theta) d \theta=\log 2 \cdot(\theta)]_0^{\pi / 4}\)
= (log2) \(\frac{\pi}{2}\)
∴ I = \(\frac{\pi}{8}\)log2

ప్రశ్న 24.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+y+3}{2 y+x+1}\) ను సాధించండి.
సాధన:
(2x + y + 3) dx = (2y + x + 1) dy
దత్త సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా రాయవచ్చు.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x+y+3}{2 y+x+1}\) ______ (i)
ఇక్కడ a = 2, b = 1, a’ = 1, b’ = 2
అందువల్ల b ≠ a’, \(\frac{a}{a}\) ≠ \(\frac{b}{b}\)
(i) లో x = X + h, y = Y + k అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d Y}{d X}\)
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 X+Y+2 h+k+3}{2 Y+X+2 k+h+1}\) ________ (ii)
2h + k + 3 = 0, h + 2k + 1 = 0
అయ్యే విధంగా h, k లను ఎంపిక చేసుకొంటే
h = –\(\frac{5}{3}\), k = \(\frac{1}{3}\)
కనుక (ii) నుంచి \(\frac{d Y}{d X}\) = \(\frac{2 X+Y}{2 Y+X}\) ______ (iii)
ఇది ఒక సమఘాతీయ సమీకరణం, Y = VX అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{d Y}{d X}\) = V + X\(\frac{d V}{d X}\)
కనుక (iii) కింది విధంగా మారుతుంది.
AP Inter 2nd Year Maths 2B Model Paper Set 1 with Solutions in Telugu 10
సమాకలనం చేస్తే, –\(\frac{3}{2}\) log (1 – V) –\(\frac{1}{2}\) log (1 + V) = 2 log X – log c
అంటే 3 log (1 – V) + log (1 + V) + 4 log X = 2 log c
అంటే log [(1 – V)3 (1 + V)X4] = log c2
కనుక x4 (1 – V)3 + (1 + V) = c2
అంటే X4(1 – \(\frac{Y}{X}\))3 (1 + \(\frac{Y}{X}\)) = c2 [V = \(\frac{Y}{X}\) కనుక]
అంటే (X + Y) (X – Y)3 = c2
X, Y లకు ప్రతిక్షేపిస్తే,
(x + \(\frac{5}{3}\) + y – \(\frac{1}{3}\)) ( x + \(\frac{5}{3}\) – y + \(\frac{1}{3}\) )3 = c3
లేదా (x + y + \(\frac{4}{3}\))(x – y + 2)3 = c2
ఇది దత్త సమీకరణ సాధన.

Leave a Comment