Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.
AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2019 in Telugu
Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75
గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.
Section – A 10 × 2 = 20
I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.
ప్రశ్న 1.
7 + 24i యొక్క గణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a + ib యొక్క గుణకార విలోమము \(\frac{a}{a^2+b^2}\) – i\(\frac{b}{a^2+b^2}\)
∴ 7 + 24i యొక్క గుణకార విలోమము
= \(\frac{7}{7^2+24^2}\) – i\(\frac{24}{7^2+24^2}\)
= \(\frac{7}{49+576}\) – i\(\frac{24}{49+576}\)
= \(\frac{7}{625}\) – i\(\frac{24}{625}\)
ప్రశ్న 2.
i2 + i4 + i6 + ………… + (2n + 1) పదాల వరకు సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన:
i2 + i4 + i6 + ………..(2n + 1) పదాలు
(2n + 1) పదాలు
= i2 + (i2)2 + (i2)3 + ………..(2n + 1) పదాలు
= -1 + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + ……….. (2n + 1) పదాలు
= -1 + 1 – 1 + 1 – ………… (2n + 1) పదాలు.
= -1
∴ i2 + i4 + i6 + ………..(2n + 1) పదాలు = -1
ప్రశ్న 3.
x = cisθ అయితే x6 + \(\frac{1}{x^6}\) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cisθ
= cosθ + i sinθ
∴ x6 = (cosθ + i sinθ)6 = cos 6θ + i sin 6θ
\(\frac{1}{x^6}\) = \(\frac{1}{\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ x6 + \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – i sin 6θ
= 2cos 6θ
∴ x6 + \(\frac{1}{x^6}\) = 2cos 6θ.
ప్రశ్న 4.
\(\frac{p-1}{p+q}\) మరియు \(\frac{-(p+q)}{p-q}\) (p ≠ ± q) మూలాలు గల వర్గ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α = \(\frac{p-q}{p+q}\) మరియు β = \(\frac{-(p+q)}{p-q}\) అనుకొనుము.
α, β లు మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణము
x2 – (a + β) x + αβ = 0
⇒ x2 – \(\frac{-4 p q}{p^2-q^2}\) x + (-1) = 0
⇒ x2 + \(\frac{4 p q}{p^2-q^2}\) x – 1 = 0
⇒ (p2 – q2) x2 + 4pqx – (p2 – q2) = 0.
ప్రశ్న 5.
x5 – 2x4 + 3x3 – 2x2 + 4x + 3 = 0 సమీకరణం మూలాలకు 2 రెట్లున్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 2x2 + 4x + 3 అనుకొనుము.
f(x) = 0 సమీకరణం మూలాలకు 2 రెట్లున్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణం
f(\(\frac{x}{2}\)) = 0.
⇒ (\(\frac{x}{2}\))5 – 2(\(\frac{x}{2}\))4 + 3(\(\frac{x}{2}\))3 – 2(\(\frac{x}{2}\))2 + 4(\(\frac{x}{2}\)) + 3 = 0
⇒ (\(\frac{x^5}{32}\)) – 2.(\(\frac{x^4}{16}\)) + 3.(\(\frac{x^3}{8}\)) – 2.(\(\frac{x^2}{4}\)) + 4(\(\frac{x}{2}\)) + 3 = 0
⇒ x5 – 4x4 + 12x3 – 16x2 + 16x + 96 = 0
ప్రశ్న 6.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 4 మూలకాలున్న సమితి B కి నిర్వచించగల ప్రమేయాల సంఖ్య ఎన్ని ?
సాధన:
ఇచ్చట n(A) = 5 మరియు n(B) = 4
సమితి A నుండి సమితి B కు గల ప్రమేయాల సంఖ్య [n(B)]n(A).
∴ సమితి A నుండి సమితి B.కు గల ప్రమేయాల సంఖ్య = 45.
ప్రశ్న 7.
15C2r – 1 = 15C2r + 4 అయితే r ను కనుక్కోండి.
సాధన:
15C2r – 1 = 15C2r + 4
⇒ 15 = 2r – 1 + 2r + 4
⇒ 15 = 4r + 3
⇒ 4r = 12
⇒ r = 3.
ప్రశ్న 8.
(1 + x)22 విస్తరణలో గరిష్ట ద్విపదగుణకం 22Cr అయితే 13Cr విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n = 22 (సరి పూర్ణాంకం)
∴ గరిష్ట ద్విపద గుణకము = \({ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)}\) = 22C11
∴ r = 11
∴ 13Cr = 13C11 = 13C2 = \(\frac{13 \times 12}{2}\) = 78.
ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మధ్యమము \(\bar{x}\) = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}\)
= \(\frac{80}{8}\) = 10
∴ పరమ మూల్య విలువలు |6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |10 – 12|, |10 – 13|, |10 – 4|, |10 – 12|, |10 – 16]
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2, 6
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+3+0+2+3+6+2+6}{8}\)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25.
ప్రశ్న 10.
అంకమధ్యమము 6, విస్తృతి 2 గల ఒక ద్విపద విభాజనంలోని మొదటి రెండు పదా కనుక్కోండి.
సాధన:
అంకమధ్యమము np = 6
విస్తృతి npq = 2
∴ \(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ q = \(\frac{1}{3}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ n(\(\frac{2}{3}\)) = 6 ⇒ n = 9
∴ ద్విపద విభాజనము = (q + p)n
= (\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\))9
మొదటి పదము = 9C0(\(\frac{1}{3}\))9 = (\(\frac{1}{3}\))9 = \([latex]\frac{1}{3^9}\)[/latex]
రెండవ పదము = 9C1(\(\frac{1}{3}\))8(\(\frac{2}{3}\))
= 9.\(\frac{1}{3^8}\).\(\frac{2}{3}\)
= \(\frac{2}{3^7}\)
Section – B 5 × 4 = 20
II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.
ప్రశ్న 11.
\(\frac{z+1}{z+i}\) యొక్క వాస్తవ భాగం 1 అయితే, z యొక్క బిందు పథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = x + iy
\(\frac{z+1}{z+i}\) యొక్క వాస్తవ భాగము 1 కావున
∴ \(\frac{x(x+1)+y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}\) = 1
⇒ x2 + x + y2 + y = x2 + y2 + 2y + 1
⇒ x – y – 1 = 0
∴ z యొక్క బిందు పథాన్ని x – y – 1 = 0.
ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
\(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము.
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx2 + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx2 + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R అయితే (4y – 4)2 – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y2 – 32y + 16 – 12y2 + 12y ≥ 0
⇒ 4y2 – 20y + 16 ≥ 0
⇒ 4y2 – 20y + 16 = 0
⇒ (y – 1) (y – 1) = 0 ⇒ y = 1, 4
⇒ 4y2 – 20y + 16 = 0 ⇒ y ≤ (or) y ≥ 4
y2 గుణకం, సమాసం ≥ 0.
⇒ y విలువ 1, 4ల మధ్య ఉండదు.
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1 మరియు 4ల మధ్య ఉండదు.
ప్రశ్న 13.
MIRACLE పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి 4 అక్షరాల పదాలు ఎన్ని తయారు చేయవచ్చు ? వాటిలో ఎన్ని పదాలు
i) అచ్చుతో మొదలవుతాయి ?
ii) అచ్చుతో మొదలయి, అచ్చుతో అంతమవుతాయి ?
iii) హల్లుతో అంతమవుతాయి ?
సాధన:
MIRACLE పదంలో 7 అక్షరాలున్నాయి. వీటిలో 3 అచ్చులు (I, A, E) మరియు 4 హల్లులు (M, R, C, L) లు కలవు.
వీటిని ఉపయోగించి ఏర్పరిచే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య = 7P4
= 7 × 6 × 5 × 4 = 840.
i) మొదటి స్థానాన్ని ఇచ్చిన పదంలోని 3 అచ్చులతో (I, A, E) ఏదో ఒకదానితో 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 6 అక్షరాలతో నింపగల విధానాల సంఖ్య = 6P3
∴ అచ్చుతో మొదలయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 3 × 6P3
= 3 × 6 × 5 × 4 = 360
ii) ముందుగా మొదటి, చివరి స్థానాలను అచ్చులతో (I, A, E) నింపే విధానాల సంఖ్య = 3P2 = 6 మిగిలిన 2 స్థానాలను మిగిలిన 5 అక్షరాలతో నింపగల విధానాల సంఖ్య = 5P2.
∴ అచ్చుతో మొదలై, అచ్చుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 3P2 × 5P2
= 3 × 2 × 5 × 4 = 120
iii) చివరిస్థానాన్ని 4 హల్లులలో (M, R, C, L) ఒకదానితో
నింపగల విధానాల సంఖ్య = 4P1 = 4.
మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 6 అక్షరాలతో నింప గల విధానాల సంఖ్య = 6P3.
∴ హల్లుతో అంతమయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 4 × 6P3
= 4 × 6 × 5 × 4 = 480.
ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots(4 x-1)}{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\}^2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)
= (x2 + x + 1) (x2 – x +,1)
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{A x+B}{x^2+x+1}\) + \(\frac{C x+D}{x^2-x+1}\) అనుకొనుము.
⇒ 3x3 – 2x2 – 1 = – (Ax + B) (x2 – x + 1) + (Cx + D) (x2 + x + 1)
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
A + C = 3 ……… (1) ⇒ C = 3 – A
– A + B + C + D = -2 …….. (2)
A – B + C + D = 0 ………. (3)
B + D = -1 (4) ⇒ D = -1 – B
C, D లను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
-A + B + 3 – A – 1 – B = -2
⇒ -2A = -4
A = 2
∴ C = 3 – 2 ⇒ C = 1
C, D లను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
A – B + 3 – A – 1 – B = 0
⇒ – 2B = – 2 ⇒ B = 1.
D = – 1 -1 ⇒ D= -2
∴ A = 2, B = 1, C = 1, D = -2
∴ \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\) + \(\frac{x-2}{x^2-x+1}\)
ప్రశ్న 16.
మూడు పరస్పర వివర్జిత ఘటనల సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1+3 P}{3}\), \(\frac{1-P}{4}\), \(\frac{1-2 P}{2}\) అయితే \(\frac{1}{3}\) £ P £ \(\frac{1}{2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:
0 ≤ \(\frac{1+3 P}{3}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 + 3p ≤ 3
⇒ -1 ≤ 3p ≤ 2
= \(\frac{-1}{3}\) ≤ p ≤ \(\frac{2}{3}\) ………. (1)
0 ≤ \(\frac{1-P}{4}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 – p ≤ 4
⇒ -1 ≤ – p ≤ 3
⇒ 1 ≥ p ≥ -3
⇒ -3 ≤ p ≤ 1 ………… (2)
0 ≤ \(\frac{1-2 P}{2}\) ≤ 1
⇒ 0 ≤ 1 – 2p ≤ 2
⇒ -1 ≤ – 2p ≤ 1
⇒ 1 ≥ 2p ≥ -1
⇒ -1 ≤ 2p ≤ 1
⇒ \(\frac{-1}{2}\) ≤ p ≤ \(\frac{1}{2}\) ………… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి
\(\frac{1}{3}\) ≤ p ≤ \(\frac{1}{2}\) ⇒ p ∈ (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{2}\))
ప్రశ్న 17.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలైతే, AC, BC రెండూ స్వతంత్ర ఘటనలని చూపండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు
∴ P(A B) = P(A). P(B)
P(ACBC) = P[(AUB)C]
= 1 – P(AUB)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(AB)]
= 1 [P(A) + P(B) – P(A). P(B)]
= 1 – P(A) = P(B) + P(A). P(B)
= [1 – P(A)] – P(B) [1 – P(A)]
= [1 – P(A)] [1 – P(B)] = P(AC). P(BC)
∴ AC, BC లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు.
II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.
- ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
- ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.
ప్రశ్న 18.
x2 – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N n ∈ N కు, αn, βn
= 2n + 1. cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) (\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
x2 – 2x + 4 = 0
ప్రశ్న 19.
-2 తో మార్పు చెందిన x4 – 5x3 + 7x2 – 17x + 11 = 0 సమీకరణం మూలాల
విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x4 – 5x3 + 7x2 – 17x + 11 = 0 అనుకొనుము.
– 2 తో మార్పు చెందిన f(x) = 0 సమీకరణం మూలాల విలువలు మూలాలుగా గల బీజీయ సమీకరణం f(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)4 – 5(x + 2)3 + 7(x + 2)2 – 17(x + 2) + 11 = 0
∴ కావలసిన బీజీయ సమీకరణము x4 + 3x3 + x2 – 17x – 19 = 0.
ప్రశ్న 20.
(1 + x)n విస్తరణలో x9, x10, x11 ల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే
n2 – 41n + 398 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)n విస్తరణలో x9, x10, x11 యొక్క గుణకాలు వరుసగా nC9, nC10, nC11.
nC9, nC10, nC11. లు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి కావున
∴ nC9 + nC11 = 2.nC10
⇒ \(\frac{110+n^2-10 n-9 n+90}{11(n-9)}\) = 2
⇒ n2 – 19n + 200 = 22(n – 9)
⇒ n2 – 19n+ 200 = 22n – 198
⇒ n2 – 41n + 398 = 0.
ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.12}\) + …….., అయితే 9×2 + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)2 = 27
16 + 9x2 + 24x = 27
∴ 9x2 + 24x = 11.
ప్రశ్న 22.
క్రింది అవిచ్ఛిన్న విభాజనాలకు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధించిన మార్కులు | బాలుర సంఖ్య |
0 – 10 | 6 |
10 – 20 | 8 |
20 – 30 | 14 |
30 – 40 | 16 |
40 – 50 | 4 |
50 – 60 | 2 |
సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం.
∴ మధ్యగతము = L + \(\left(\frac{\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{Z}}-\text { Preceeding Cumulative Frequency }}{\mathrm{f}}\right)\)
i = 20 + (\(\frac{25 – 14}{2}\))10
= 20 + 7.857 = 27.857
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)\(\sum_{i=1}^6\)fi|xi – మధ్యగతం |
= \(\frac{1}{50}\)(517.1)= = 10.34.
ప్రశ్న23.
ఒక పెట్టె B1 లో 2 తెల్లటి, 3 నల్లటి బంతులున్నాయి. మరో పెట్టె B2 లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఈ రెండింటిలో ఒక పెట్టెను యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని అందులోంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. అట్లా తీసిన బంతి నల్లటిది అయితే, ఎన్నుకొన్న పెట్టె B1 అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
B1, B2 సంచలను ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా E1, E2 అనుకొనుము.
B1, B2 సంచలను ఎన్కుకొనే ఘటనలు వరుసగా E1, E2 అనుకొనుము.
∴ P(E1) = P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
ప్రశ్న24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యత విభాజనం కింది విధంగా ఉన్నది.
X = x | P(X = x) |
0 | 0 |
1 | k |
2 | 2k |
3 | 2k |
4 | 3k |
5 | k2 |
6 | 2k2 |
7 | 7k2 + k |
i) kవిలువ
ii) అంక మధ్యమం మరియు
iii) P (0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
0 + k + 2k + 2k + 3k + k2 + 2k2 + 7k2 + k = 1
10k2 + 9k = 1
10k2 + 9k – 1 = 0
10k2 + 10k – k – 1 = 0
10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
(k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున
i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)
ii) అంకమధ్యమం = 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) +6P(X = 6) +7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k2) + 6(2k2) + 7(7k2 + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k2 + 12k2 + 49k2 + 7k
= 66k2 + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))2 + 30(\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3 = 0.66 + 3 = 3.66
iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k = 8 = (\(\frac{1}{10}\)) = 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8