AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
Arg \(\bar{z}_1\), Arg \(\bar{z}_2\) లు వరుసగా \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{3}\) అయితే, (Arg z₁ + Arg z₂) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Arg (\(\bar{z}_1\)) = \(\frac{\pi}{5}\) ⇒ Arg z₁ = \(\frac{-\pi}{5}\)
Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ Arg z₁ + Arg z₂ = \(\frac{-\pi}{5}\) + \(\frac{\pi}{3}\)
= \(\frac{-3 \pi+5 \pi}{15}\)
= \(\frac{2 \pi}{15}\)

ప్రశ్న 2.
7 + 24i కి వర్గమూలం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 3.
(1 – i) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
1 – i = √2 [\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – i\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)]
= √2 [cos \(\frac{\pi}{4}\) – isin \(\frac{\pi}{4}\)]
∴ (1 – 1)⁸ = [√2 (cos \(\frac{\pi}{4}\) – isin \(\frac{\pi}{4}\))]⁸
= 2⁴ (cos \(\frac{\pi}{4}\) – isin \(\frac{\pi}{4}\))⁸
= 16 (cos 2π – i sin 2π)
= 16 ( 1 – i.0)
= 16
∴ (1 – i)⁸ = 16

ప్రశ్న 4.
ఏయే x విలువలకు, x² – 5x + 6 సమాసం ధనాత్మకం ?
సాధన:
x² – 5x + 6 > 0
⇒ x² – 2x – 3x + 6 > 0
⇒ x (x – 2) – 3 (x – 2) > 0
⇒ (x – 2) (x – 3) > 0
⇒ x < 2 (or) x > 3
⇒ x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, ∞)

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 మూలాలు 1, 1, α అయితే, α ను కనుక్కోండి.
0 మూలాలు 1, 1, యీ కావున –
సాధన:
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 మూలాలు 1, 1, α కావున
S₁ = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ α = 4

ప్రశ్న 6.
అయిదుగురు బాలురను, నలుగురు బాలికలను ఒక వరుసలో మొదటి స్థానంలో బాలుడు, చివరి స్థానంలో బాలిక ఉండేలా అమర్చే విధానాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
బాలుర సంఖ్య = 5
బాలికల సంఖ్య = 4
కావలసిన అమరిక కొరకు, ముందుగా మొదటి స్థానంలో బాలుడును అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 5, చివరి స్థానంలో బాలికను అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 4 మరియు మిగిలిన 7 స్థానాలలో మిగిలిన బాలురు మరియు బాలికలతో అమర్చగల విధానాల సంఖ్య 7!
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 5.4.7!
= 20(5040)
= 100800.

ప్రశ్న 7.
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
n భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\)
∴ 12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{12(12-3)}{2}\)
= \(\frac{12.9}{2}\)
= 54

ప్రశ్న 8.
(\(\frac{3 x}{7}\) – 2y)¹⁰ విస్తరణలో మధ్యపదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(\(\frac{3 x}{7}\) – 2y)¹⁰ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య = 11
∴ 6 వ పదం మధ్యపదం అగును.
∴ T₆ = T_{5 + 1}
= 10_C5(\(\frac{3 x}{7}\))^{10 – 5} (-2y)⁵
= 10_C5.\(\frac{3^5}{7^5}\).x⁵.(-2)⁵ y⁵
= 10_C5.\(\frac{6^5}{7^5}\) x⁵ y⁵

ప్రశ్న 9.
6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 దత్తాంశానికి, మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని గణనం చేయండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశము 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16
దత్తాంశాన్ని వాటి విలువల ఆధారంగా ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా 4, 6, 7, 10, 12, 12, 13, 16
10+12
∴ మధ్యగతం = \(\frac{10+12}{2}\) = 11
పరమ మూల్య విలువలు |11 – 4|, |11 – 6|, |11 – 7|, |11 – 10|, |11 – 12|, |11 – 12|, |11 – 13|, |11 – 16|
= 7, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 5
∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{7+5+4+1+1+1+2+5}{8}\)
= \(\frac{26}{8}\)
= 3.25

ప్రశ్న 10.
P(X = -2) = P(X = -1) = P(X = 2) = P(X = 1) = \(\frac{1}{6}\), P(X = 0) = \(\frac{1}{3}\) ను తృప్తిపరిచేటట్లు X యాదృచ్ఛిక చలరాశి. X అంక మధ్యమంను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = -2) = P(X = -1) = P(X = 2) = P(X = 1) = \(\frac{1}{6}\)
మరియు P(X = 0) = \(\frac{1}{3}\)
∴ యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క వ్యాప్తి = {-2, -1, 0, 1, 2}
∴ X యొక్క అంకమధ్యమం = (-2) P(X = -2) + (-1) P(X = -1) + 0
P(X = 0) + 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2)
= (-2)(\(\frac{1}{6}\)) + (-1)(\(\frac{1}{6}\)) + 0(\(\frac{1}{3}\)) + 1 (\(\frac{1}{6}\)) + 2(\(\frac{1}{6}\))
= \(\frac{-2}{6}\) – \(\frac{1}{6}\) + 0 + \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{2}{6}\)
= 0

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
z ≠ 2i అయి (\(\frac{z-4}{z-2 i}\)) వాస్తవ భాగం సున్నా అయ్యే 2 బిందుపదాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
z = x + iy అనుకొనుము.

⇒ x² + y² – 4x – 2y = 0
∴ Z యొక్క బిందు పథం x² + y² – 4x – 2y = 0

ప్రశ్న 12.
R మీద \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) ప్రమేయం గరిష్ఠ, విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² + 2xy + 3y = x² + 14x + 9
⇒ (1 – y)x² + (14 – 2y)x + (9 – 3y) = 0
x ∈ R ⇒ (14 – 2y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 4(7 – y)² – 4(1 – y) (9 – 3y) ≥ 0
⇒ (7 – y)² – (1 – y) (9 – 3y) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – (9 – 3y – 9y + 3y²) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – 9 + 12y – 3y² 2 0
⇒ -2y² – 2y + 40 ≥ 0
⇒ 2y² + 2y – 40 ≤ 0
⇒ y² + y – 20 ≤ 0
⇒ (y + 5)(y – 4) ≤ 0
⇒ -5 ≤ y ≤ 4
∴ గరిష్ఠ విలువ = 4

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన.
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం A, C, E, E, M, T
నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5!}{2!}\) విధాలుగా అమర్చవచ్చు. (ఈ 5 అక్షరాలలో 2E లు ఉన్నాయి కావున)
A ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
C ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
EAMCET ————— = 1
EAMCET పదం యొక్క కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133

ప్రశ్న 14.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్ల నుంచి కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు ఉండేలా11 మంది ఆటగాళ్ళతో క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఉండాలంటే టీమును కింద చూపిన విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

బౌలర్లు	వికెట్ కీపర్లు	బాట్స్మెన్	ఎంచుకొనే విధానాలు
4	2	5	6C4 × 2C2 × 7C5 = 15 × 1 × 21 = 315
5	2	4	6C5 × 2C2 × 7C4 = 6 × 1 × 35 = 210
6	2	3	6C6 × 2C2 × 7C3 = 1 × 1 × 35 = 35

కనుక కోరిన విధంగా క్రికెట్ టీముని ఎంచుకొనే విధానాలు
= 315 + 210 + 35
= 560

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన.
x³ – 1 = (x – 1) (x² + x + 1)
\(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B x+c}{x^2+x+1}\) అనుకొనుము.
= \(\frac{A\left(x^2+x+1\right)+(B x+c)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}\)
⇒ 2x² + 1 = A (x² + x + 1) + (Bx + c) (x – 1) ……… (1)
x = 1 వ్రాయగా
2 + 1 = A (1 + 1 + 1)
3 = 3A
⇒ A = 1
(1) లో, ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
2 = A + B ⇒ 2 = 1 + B
⇒ B = 1
(1) లో, ఇరువైపులా స్థిరపదాలను పోల్చగా
1 = A – c ⇒ 1 = 1 – c
⇒ c = 0
∴ \(\frac{2 x^2+1}{x^3-1}\) = \(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{x}{x^2+x+1}\)

ప్రశ్న 16.
‘ముందుగా 3ను దొర్లించిన వాళ్ళు ఆట గెలిచినట్లు’ అనే షరతుపై A,B అనే ఇద్దరు వ్యక్తులు ఒక పాచికను దొర్లించారు. ఆటను ముందుగా A మొదలు పెడితే, A,B లు వరుసగా ఆట గెలిచే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
p = ఒక పాచికను దొర్లించగా 3 పడటానికి సంభావ్యత = \(\frac{1}{6}\)
q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
సఫలం కావడానికి సంభావ్యత (p) = \(\frac{1}{6}\)
విఫలం కావడానికి సంభావ్యత (q) = \(\frac{5}{6}\)
A గెలవడానికి మొదటి ప్రయత్నం (లేదా) మూడవ ప్రయత్నం (లేదా) ఐదవ ప్రయత్నం…… లలో పాచికను దొర్లించిన 3 పడవలెను.
∴ A గెలిచే సంభావ్యత = p + q q p + q q q q p + ………
= p (1 + q² + q⁴ + ……)
= P(\(\frac{1}{1-q^2}\))
= \(\frac{1}{6}\)(\(\frac{1}{1-q^2}\))
= \(\frac{1}{6}\)(\(\frac{1}{1-\frac{25}{36}}\))
= \(\frac{1}{6}\)(\(\frac{36}{36-25}\))
= \(\frac{6}{11}\)
∴ గెలిచే సంభావ్యత B = 1 – \(\frac{6}{11}\)
= \(\frac{5}{11}\)

ప్రశ్న 17.
P(A ∪ B) = 0.65, P(A ∩ B) = 0.15, అయ్యేటట్లు A, B లు రెండు ఘటనలు. అప్పుడు P(A^C) + P (B^C) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
P (A ∪ B) = 0.65, P (A ∩ B) = 0.15.
P(\(\overline{\mathrm{A}}\)) + P(\(\overline{\mathrm{B}}\)) = 1 – P (A) + 1 – P
= 2 – [P (A) + P(B)]
= 2 [P (A ∪ B) + P(A ∩ B)]
= 2 – [0.65 + 0.15]
= 2 – 0.8
= 1.2

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
\(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) యొక్క ఒక విలువ – 1 అని చూపండి.
సాధన:


= cos π + i sin π
= – 1 + i(0)
= -1
∴ \(\left(\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right)^{\frac{8}{3}}\) = -1

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x +1 = 0
సాధన:
ఇచ్చిన x⁴ – 10x³ + 26x² – 10x + 1 = 0
⇒ x² – 10x + 26 – 10.\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) = 0
⇒ (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 10(x + \(\frac{1}{x}\)) + 26 = 0 _____ (1)
x + \(\frac{1}{x}\) = a
x² + \(\frac{1}{x^2}\) = a² – 2 అయితే
ఈ విలువలను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
(a² – 2) – 10a + 26 = 0
⇒ a² – 2 – 10a + 26 = 0
⇒ a² – 10a + 24
⇒ (a – 4) (a – 6) = 0

ప్రశ్న 20.
C₀ +\(\frac{3}{2}\).C₁ + \(\frac{9}{3}\).C₂ + \(\frac{27}{4}\).C₃ + …….. + \(\frac{3^n}{n+1}\).C_n = \(\frac{4^{n+1}-1}{3(n+1)}\) అని నిరూపించండి
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) + ……… ∞, అయితే 3x + 6x విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

⇒ \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{1}{5}\) ⇒ x = \(\frac{2}{5}\)
∴ 1 + x = (1 – \(\frac{2}{5}\))^-1/2 = (\(\frac{3}{5}\))^-1/2 – (\(\frac{5}{3}\))^-1/2
⇒ (1 + x)² = \(\frac{5}{3}\)
⇒ 3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x – 2 = 0
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టికను నిర్మిద్దాం

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))h
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10 = 35 – 1.6 = 33.4
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18

ప్రశ్న 23.
మూడు పెట్టెలు B₁, B₂, B₃ లలోని బంతులు కింద వివరించిన రంగులలో ఉన్నాయి.

	తెల్లనివి	నల్లనివి	ఎర్రనివి
B1	2	1	2
B2	3	2	4
B3	4	3	2

ఒక పాచికను దొర్లించారు. పాచిక ముఖంపై 1 లేదా 2 వస్తే B₁ ను ఎన్నుకుంటారు, 3 లేదా 4 వస్తే B₂ ను ఎన్నుకుంటారు, 5 లేదా 6 వస్తే B₂ బంతిని యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. అలా ఎన్నుకొన్న బంతి ఎర్రనిదైతే అది పెట్టె B₂ నుంచి వచ్చే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
పెట్టెలు B₁, B₂, B₃ ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂, E₃ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
ఎన్నుకొన్న పెట్టెనుంచి తీసిన బంతి ఎర్రటిదయ్యే ఘటన R అనుకొనుము.
P(\(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{E}_1}\)) = \(\frac{2}{5}\), P(\(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{E}_2}\)) = \(\frac{4}{9}\) మరియు P(\(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{E}_3}\)) = \(\frac{2}{9}\) బేయీ సిద్ధాంతం నుంచి

ప్రశ్న 24.
రెండు పాచికలను యాదృచ్ఛికంగా దొర్లించారు. ఆ రెండింటిపై కనబడే సంఖ్యల మొత్తానికి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని కనుక్కోండి. యాదృచ్ఛిక చలరాశి అంక మధ్యమాన్ని
కనుక్కోండి.
సాధన:
S శాంపుల్ ఆవరణము మరియు రెండు పాచికలను యాదృచ్ఛికంగా దొర్లించగా కనబడే సంఖ్యల మొత్తానికి యాదృచ్ఛిక చలరాశి X అనుకొనుము.
యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క వ్యాప్తి = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

X యొక్క అంకమధ్యమం = 2P(X = 2) + 3 P(X = 3) + 4 P(X = 4) + 5P (X = 5) + 6 P(X = 6) + 7 P(X = 7) + 8 P(X = 8) + 9 P(X = 9) + 10 P(X 10) + 11 P(X = 11) + 12 P(X = 12)
= 2(\(\frac{1}{36}\)) + 3(\(\frac{2}{36}\)) + 4(\(\frac{3}{36}\)) + 5(\(\frac{4}{36}\)) + 6(\(\frac{5}{36}\)) + 7(\(\frac{6}{36}\)) + 8(\(\frac{5}{36}\)) + 9(\(\frac{4}{36}\)) + 10(\(\frac{3}{36}\)) + 11(\(\frac{2}{36}\)) + 12(\(\frac{1}{36}\))
= \(\frac{1}{36}\) [2 + 6 + 12 +20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12]
= \(\frac{1}{36}\)[252]
= 7
∴ X యొక్క అంకమధ్యమం = 7.