AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2017 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(-5 + 12i) కి వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
Z₁ = -1, Z₂ = -i, అయితే Arg (Z₁Z₁) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Z₁ = -1 ⇒ Z₁ = -1 + i(0)
= cos π + i sin π
∴ Arg Z₁ = π
Z₂ = -i ⇒ Z₂ = 0 + i(-1)
= cos \(\frac{-\pi}{2}\) + i sin\(\frac{-\pi}{2}\)
∴ Arg Z₂ = \(\frac{-\pi}{2}\)
Arg(Z₁Z₁) = Arg Z₁ – Arg Z₂
= π + \(\frac{-\pi}{2}\)
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
x = cis θ, అయితే (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cis θ
⇒ x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶ = cos 6 θ + i sin 6 θ
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = \(\frac{1}{\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta}\)
⇒ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ x⁶ \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – i sin 6θ
= 2 cos 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = 2 cos 6θ.

ప్రశ్న 4.
m యొక్క ఏ విలువలకు x² – 15 – m(2x – 8) = 0 సమీకరణానికి సమాన మూలములు ఉంటాయో కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన వర్గసమీకరణం x² – 15 – m (2x – 8) = 0
⇒ x² – 15 – 2mx + 8m = 0
⇒ x² – 2mx + (8m – 15) = 0
ఈ సమీకరణంనకు సమాన మూలాలు ఉంటాయి కావున
∴ (-2m)² – 4.1 (8m – 15) = 0
⇒ 4m² – 32m + 60 = 0
⇒ m² – 8m + 15 = 0
⇒ m² – 3m – 5m + 15 = 0
⇒ m(m -3) – 5(m – 3) = 0
⇒ (m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m = 3, 5.

ప్రశ్న 5.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α, అయితే α ను కనుగొనుము.
సాధన:
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α కావున.
S₁ = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ – 1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ 1 + α = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-1}{2}\) – 1
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\).

ప్రశ్న 6.
ⁿP₇ = 42. ⁿP₅ అయితే n ఎంత ?
సాధన:
ⁿP₇ = 42. ⁿP₅
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6) = 42. n(n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4)
⇒ (n – 5) (n – 6) = 42
⇒ (n – 5) (n – 6) = 7 × 6
⇒ n – 5 = 7
⇒ n = 12.

ప్రశ్న 7.
¹⁷C_{2t + 1} = C_{3t – 5}, అయితే నీ విలువ ఎంత ?
సాధన:
¹⁷C_{2t + 1} = C_{3t – 5}

t అనునది పూర్ణాంకం కావున
∴ t = 6.

ప్రశ్న 8.
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలో పదుల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య
= \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\)
= \(\frac{8.9}{2}\)
= 36.

ప్రశ్న 9.
ఆవర్గీకృత దత్తాంశం : 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16.
మధ్యమం = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}\)
= \(\frac{80}{8}\) = 10
మధ్యమం ద్వారా పరమమూల్య విలువలు
= |6 – 10|, |7 – 10|, |10 – 10|, |12 – 10|, |13 – 10|, |4 – 10|, |12 – 10|, |16 – 10|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2, 6
∴ మధ్యమ విచలనం = \(\frac{4+3+0+2+3+6+2+6}{8}\)
= \(\frac{26}{8}\) = 3.25

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమము, విస్తృతి వరసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి P(X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మధ్యమం = 4 ⇒ n^p = 4
విస్తృతి = 3 ⇒ npq = 3
\(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\) …. n = (\(\frac{1}{4}\)) = 4 ⇒ n = 16
p(x ≥ 1) = 1 – p(x = 0)
= 1 – 16_co(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))^{16 – 0}
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos q+i \sin q}\) అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షాలను ప్రస్తావించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరసలో MASTER పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
MASTER పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమము A, E, M, R, S, T.
A ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
E ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
MAE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MAR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MASE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
MASR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
తర్వాత పదం MASTER ________ 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 2(5!) + 2(3!) + 2(2!) + 1
= 2(120) + 2(6) + 2(2) + 1
= 240 + 12 + 4 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
సూక్ష్మీకరించండి : ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\)
సాధన:
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁴C₅ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄ + ³⁴C₄
= ³⁴C₅ + ³⁴C₄ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ +³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ∵{ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r}
= ³⁶C₅ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁷C₅ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁸C₅ + ³⁸C₄
= ³⁹C₅
∴ ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁹C₅

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) = \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\)
Let \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A}{x}\) = \(\frac{B}{x^2}\) + \(\) + \(\frac{C}{x+1}\)
⇒ \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^2(x+1)}\) = \(\frac{A x(x+1)+B(x+1)+C x^2}{x^2(x+1)}\)
⇒ 2x² + 2x + 1 = Ax (x + 1) + B (x + 1) + Cx² …….. (1)
(1) లో x = 0 వ్రాయగా
0 + 0 + 1 = 0 + B(0 + 1) + 0
⇒ B = 1
(1) లో x = -1 వ్రాయగా
2(-1)² + 2(-1) + 1 = C(-1)²
⇒ 2 – 2 + 1 = C
⇒ C = 1
(1) లో ఇరువైపులా x² పదాలను పోల్చగా
2 = A + C
⇒ 2 = A + 1
⇒ A = 1
∴ A = 1, B = 1, C = 1
∴ \(\frac{2 x^2+2 x+1}{x^3+x^2}\) = \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) + \(\frac{1}{x+1}\)

ప్రశ్న 16.
సంభావ్యతా సంకలన సిద్ధాంతాన్ని వ్రాసి, నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘట E₁, E₂ అయితే P(E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P(E₁) + P(E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P(E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁∪ E₂) = P(E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 17.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అప్పుడు,
(i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∪ B) (iii) P(\(\frac{B}{A}\)) (iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు P(A) = 0.6, P(B) = 0.7

i) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 1.3 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C). P(B^C)
(A^C, B^C లు కూడ స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= [1 – P(A) [1 – P(B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= (0.4) (0.3)
= 0.12

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ = 2^{n + 1} cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
x² – 2x + 4 = 0

ప్రశ్న 19.
8x³ – 36x² – 18x + 81 = 0 సమీకరణం మూలాలు అంక శ్రేఢిలో ఉంటే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
8x³ – 36x² – 18x + 81 = 0
(1) సూచించే మూలాలు a – d, a, a + d అనుకొనుము.
S₁ = \(\frac{-(-36)}{8}\)
⇒ a – d + a + a – d = \(\frac{36}{8}\)
⇒ 3a = \(\frac{36}{8}\)
⇒ a = \(\frac{12}{8}\) ⇒ a = \(\frac{3}{2}\)
∴ (1) కు (x – \(\frac{3}{2}\)) అనునది ఒక కారణాంకం.

⇒ 8x² – 24x – 54 = 0
⇒ 4x² – 12x – 27 = 0
⇒ 4x² – 18x + 6x – 27 = 0
⇒ 2x (2x – 9) + 3(2x – 9) = 0
⇒ (2x + 3) (2x – 9) = 0
x = \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{9}{2}\)
∴ ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు \(\frac{-3}{2}\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{9}{2}\).

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకం, x శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయితే
C₀ + C₁\(\frac{x}{2}\) + C₂\(\frac{x^2}{3}\) + C₃ \(\frac{x^3}{4}\) + ….. + C_n\(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) …. ∞ అయితే 3x² + 6x విలువ కనుగొనుము.


⇒ (1 + x)² = \(\frac{5}{3}\)
⇒ 3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x – 2 = 0
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది అవిచ్ఛిన్న విభాజనానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
పట్టిక నిర్మించుము.

∴ మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σ f_i|x_i – మధ్యగతం |
= \(\frac{1}{1,000}\) (8,175)
= 8.175

ప్రశ్న 23.
ఒక పాత్ర B₁ లో 2 తెల్లటి, 3 నల్లటి బంతులున్నాయి. మరో పాత్ర B₂ లో 3 తెల్లటి, 4 నల్లటి బంతులున్నాయి. ఈ రెండింటిలో ఒక పెట్టెను యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొని అందులో నుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీసారు. అట్లా తీసిన బంతి నల్లటిది, అయితే, ఎన్నుకొన్న పెట్టె B₁ అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
B₁, B₂ సంచలను ఎన్కుకొనే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = P(E₂)
= \(\frac{1}{2}\)

= \(\frac{\frac{3}{5}}{\frac{21+20}{35}}\)
= \(\frac{3}{5}\).\(\frac{35}{41}\)
= \(\frac{21}{41}\)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం క్రింది విధంగా ఉంది.

i) k విలువ ii) అంకమధ్యమం iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8