AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(3 + 4i) (2 – 3i) కి సంకీర్ణ సంయుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
z = (3 + 4i) (2 – 3i) అనుకొనుము.
= 6 – 9i + 8i – 12i²
= 6 – 9i + 8i + 12
= 18 – i
\(\bar{z}\) = 18 + i
∴ (3 + 4i) (2 – 3i) యొక్క సంకీర్ణ సంయుగ్మము 18 + i

ప్రశ్న 2.
Arg \(\bar{z}_1\) మరియు Arg \(\bar{z}_2\) లు వరుసగా \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{3}\) అయితే, (Arg z₁ + Arg z₂) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Arg (\(\bar{z}_1\)) = \(\frac{\pi}{5}\) ⇒ Arg z₁ = \(\frac{-\pi}{5}\)
Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ Arg z₁ + Arg z₂ = \(\frac{-\pi}{5}\) + \(\frac{\pi}{3}\)
= \(\frac{-3 \pi+5 \pi}{15}\)
= \(\frac{2 \pi}{15}\)

ప్రశ్న 3.
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు, x = cos A, y = cos B, z = cos అయితే x, y, z విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x = cos A, y = cos B, z = cos C
A, B, C లు త్రిభుజంలో కోణాలు కావున
∴ A + B + C = 180°
xyz = (cos A) (cos B) (cos C)
= cos (A + B + C)
= cos 180°
= cos 180° + i sin 180°
= – 1 + i(0)
= -1
∴ xyz = – 1

ప్రశ్న 4.
3x² + 7x + 2 = 0 సమీకరణం మూలాలు స్వభావాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
3x² + 7x + 2 = 0
ఇచ్చట a = 3, b = 7, c = 2
b² – 4ac = 49 – 4(3) (2)
= 49 – 24
= 25
= 52
∴ దత్త సమీకరణ మూలాలు అసమాన అకరణీయ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 5.
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0, మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 యొక్క మూలాలు α, β, 1
మూలాల మొత్తం = \(\frac{-(-2)}{1}\)
⇒ α + β + 1 = 2
⇒ α + β + 1 _____ (1)
మూలాల లబ్దం = \(\frac{-6}{1}\)
⇒ (α)(β)(1) = -6
⇒ αβ = – 6
(α – β)² = (a + β)² – 4αβ
= 1² – 4(-6)
= 1 + 24 = 25
⇒ α – β = 5 ______ (2)
1 + 2 ⇒ 2α = 6 ⇒ α = 3
1 – 2 ⇒ 2β = -4 ⇒ β = -2
∴ α = 3, β = -2

ప్రశ్న 6.
INTERMEDIATE అనే పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రసారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
INTERMEDIATE అను పదంలో 12 అక్షరాలు కలవు. వాటిలో 2 Iలు, 2T లు మరియు 3E లు కలవు. మిగిలినవి విభిన్నాలు.
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(12)!}{2!2!3!}\)

ప్రశ్న 7.
1080 కు ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
1080 = 2(540)
= 2²(270)
= 2³(135)
= 2³. 3(45)
= 2³. 3²(15) = 2³. 3³. 5¹
∴ 1080 కు ధన భాజకాల సంఖ్య = (3 + 1) (3 + 1) (1 +1)
= 4.4.2 = 32

ప్రశ్న 8.
(\(\frac{4}{x^3}\) + \(\frac{x^2}{2}\))¹⁴ విస్తరణలో 7వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:
T_{r + 1} = ⁿC_rx^{n – r}.a^r
T₇ = T_{6 + 1}
= ¹⁴C₆(\(\frac{4}{x^3}\))^{14 – 6} (\(\frac{x^2}{2}\))⁶
= ¹⁴C₆ \(\frac{4^8}{x^{24}} \cdot \frac{x^{12}}{2^6}\) = ¹⁴C₆\(\frac{4^5}{x^{12}}\)

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుక్కోండి.
3, 6, 10, 4, 9, 10.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 3, 6, 10, 4, 9, 10
\(\bar{x}\) = మధ్యమము = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\) = 7
విచలనాల పరమూల్యాలు |x_i – \(\bar{x}\)|
= |3 – 7|, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, 10 – 7|
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{\Sigma\left|x_i-\bar{x}\right|}{6}\)
= \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\)
= \(\frac{8}{3}\) = 2.66

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}\)
P(X = 1) = P(X = 2)
⇒ \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!}\)
⇒ \(\frac{\lambda}{1}\) = \(\frac{\lambda^2}{2}\) λ = 2
P(X = 5) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^5}{5!}\)
= \(\frac{\mathrm{e}^{-2} \cdot 2^5}{120}\)
= \(\frac{32}{120 \mathrm{e}^2}\) = \(\frac{4}{15 e^2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయిన 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) సమాసము వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
\(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) = y అనుకొనుము.
⇒ x + 2 = 2yx² + 3xy + 6y
⇒ 2yx² + (3y – 1) x + (6y – 2) = 0
x ∈ R ⇒ (3y – 1)² – 4(2y) (6y – 2) ≥ 0
⇒ 9y² – 6y + 1 – 48y² + 16y ≥ 0
⇒ -39y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 39y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 39y² – 13y + 3y – 1 ≤ 0
⇒ 13y (3y – 1) + (3y – 1) ≤ 0
⇒ (13y + 1) (3y – 1) ≤ 0
⇒ y ∈ [\(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)]
∴ \(\frac{x+2}{2 x^2+3 x+6}\) కు వ్యాప్తి \(\frac{-1}{13}\), \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన.
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం A, C, E, E, M, T
నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5!}{2!}\) విధాలుగా అమర్చవచ్చు. (ఈ 5 అక్షరాలలో 2E లు ఉన్నాయి కావున)
A ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
C ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
EAMCET ————— = 1
EAMCET పదం యొక్క కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133

ప్రశ్న 14.
ఏడుమంది బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండుమంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆ . ⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅ . ⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 42 + 21 = 63

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x+2}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+1}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x+2)}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\)
∴ x² – 3 = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 2) ………. (1)
x = -2 (1) ను ప్రతిక్షేపించగా
(-2)² – 3 = A[(-2)² + 1]
⇒ 4 – 3 = A(4 + 1)
⇒ 1 = 5A
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
1 = A + B ⇒ 1 = \(\frac{1}{5}\) + B
⇒ 1 – \(\frac{1}{5}\) = B
⇒ B = \(\frac{4}{5}\)
– 3 = A + 2C ⇒ 2C = – 3 – A
= – 3 – \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{-15-1}{5}\)
⇒ 2C = \(\frac{-16}{5}\)
⇒ C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{\frac{1}{5}}{x+2}+\frac{\frac{4}{5} x-\frac{8}{5}}{x^2+1}\) = \(\frac{1}{5(x+2)}+\frac{4 x-8}{5\left(x^2+1\right)}\)

ప్రశ్న 16.
A, B, C లు మూడు ఘటనలైతే,
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C) అని చూపండి.
సాధన:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B ∪ C) – P[(A ∩ B ∪ C)]
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – P[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – [P(A ∩ B) + P(A ∩ C) – P{(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)}]
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – P(A ∩ B) – P (A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
∴ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

ప్రశ్న 17.
ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో A, B, C లు మూడు స్వతంత్ర ఘటనలవుతూ
P(A ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{1}{4}\) P(A^C ∩ B∩ C^C) = \(\frac{1}{8}\)
P(A^C ∩ B^C ∩ C^C) = \(\frac{1}{4}\) అయినపుడు P(A), P(B), P(C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:

(1) నుండి \(\frac{1}{2}\).\(\frac{2}{3}\) P(C^C) = \(\frac{1}{4}\)
P(C^C) = \(\frac{3}{4}\)
∴ P(C) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
P(B) = \(\frac{1}{3}\)
P(C) = \(\frac{1}{4}\).

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయిన cos² α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\)
= sin² α + sin² β + sin² γ అని చూపండి.
సాధన:
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
⇒ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) = cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
= (cos α + cos β + cos γ) i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i (0) = 0
⇒ ab + bc + ca = 0
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 0 = a² + b² + c² + 2(0)
⇒ a² + b² + c² = 0
⇒ (cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 1 – 2 sin²α + 1 – 2 sin² β + 1 – 2 sin²γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin²α + sin² β + sin²γ)
⇒ sin²α + sin² β + sin²γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos²α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
⇒ 2(cos²a + cos²β + 2 cos²γ) = 3
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos²α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\) = sin²α + sin² β + sin²γ

ప్రశ్న 19.
x⁵ – 5x⁴ + 9x³ – 9x² + 5x – 1 = 0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x⁵ – 5x⁴ + 9x³ – 9x² + 5x – 1 = 0
దత్త సమీకరణం రెండో కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం కావున ఈ సమీకరణానికి ‘1’ ఒక మూలం

∴ (x – 1) (x⁴ – 4x³ + 5x² – 4x + 1)
⇒ x – 1 = 0, x⁴ – 4x³ + 5x² – 4x + 1 = 0
⇒ x = 1, x² – 4x + 5 – \(\frac{4}{x}\) + \(\frac{1}{x^2}\) = 0
= (x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 4 (x + \(\frac{1}{x}\)) + 5 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = y వ్రాయగా
అపుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = y² – 2
∴ y² – 2 – 4y + 5 = 0
⇒ y² – 4y + 3 = 0
⇒ y² – y – 3y + 3 = 0
⇒ y(y – 1) – 3(y – 1) = 0
⇒ (y – 1) (y – 3) = 0
⇒ y = 1 (లేదా) y = 3

⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = 1
⇒ x² + 1 = x
⇒ x² – x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(1)}}{2(1)}\)
= \(\frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}\)
= \(\frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}\)

⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x² – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 1, \(\frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}\), \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకం అయితే, నిరూపించండి. (x ఒక శూన్యేతర వాస్తవసంఖ్య)
C0 + C1\(\frac{x}{2}\) + C2\(\frac{x^2}{3}\) + C3 \(\frac{x^3}{4}\) + ….. + Cn\(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ………, అయితే 9x² + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ……..

⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, విచలనాలను గణనం చేయండి.

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం
30 – 40	3
40 – 50	7
50 – 60	12
60 – 70	15
70 – 80	8
80 – 90	3
90 – 100	2

సాధన:

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును ప్రవచించి, నిరూపించుము.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, …… E_n లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(E_i) > 0 (i = 1, 2, 3, అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం కింది విధంగా ఉంది.

X = x	P(X = x)
0	0
1	k
2	2k
3	2k
4	3k
5	k
6	2k2
7	7k2 + k

i) k విలువ
ii) అంకమధ్యమం
iii) P(0 < X < 5) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = x) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ 10k(k + 1) – 1(k + 1) = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 (లేదా) \(\frac{1}{10}\) k > 0 కావున

i) ∴ k = \(\frac{1}{10}\)

ii) అంకమధ్యమం= 0(P = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5) + 6P(X = 6) + 7P(X = 7)
= 0(0) + 1(k) + 2(2k) + 3(2k) + 4(3k) + 5(k²) + 6(2k²) + 7(7k² + k)
= 0 + k + 4k + 6k + 12k + 5k² + 12k² + 49k² + 7k
= 66k² + 30k
= 66(\(\frac{1}{10}\))² + 30 (\(\frac{1}{10}\))
= 66(\(\frac{1}{100}\)) + 3
= 0.66 + 3
= 3.66

iii) P(0 < x < 5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= k + 2k + 2k + 3k
= 8k
= 8(\(\frac{1}{10}\))
= 0.8
∴ P(0 < x < 5) = 0.8