AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2015 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2015 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a + ib యొక్క గుణకార విలోమము = \(\frac{a-i b}{a^2+b^2}\)
∴ 7 + 24 i యొక్క గుణన విలోమము = \(\frac{7-24 i}{7^2+24^2}\)
= \(\frac{1}{625}\) (7 – 24i)
= \(\frac{7}{625}\) – i\(\frac{24}{625}\)

ప్రశ్న 2.
z = -√7 + i\(\sqrt{21}\) కి ధ్రువ రూపం వ్రాయండి.
సాధన:
z = -√7 + i\(\sqrt{21}\)
= √7(-1 + i√3)
= 2√7 (\(\frac{-1}{2}\) + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) i)
= 2/7 (cos \(\frac{2 \pi}{3}\) + i sin \(\frac{2 \pi}{3}\))
= 2√7 cis (\(\frac{2 \pi}{3}\)) కావలసిన ధృవ రూపం.

ప్రశ్న 3.
x² + x + 1 = 0 సమీకరణ మూలాలు ɑ, β అయిన ɑ⁴ + β⁴ + ɑ^-1β^-1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశము నుండి x² + x + 1 = 0 సమీకరణము మూలాలు α, β
⇒ α + β = -1 మరియు αβ = 1
α⁴ + β⁴ + α^-1β^-1 (α² + β²) – 2α²β² + \(\frac{1}{\alpha \beta}\)
= [(α + β)² – 2αβ]² – 2α²β² + \(\frac{1}{\alpha \beta}\)
= [(-1)² – 2(1)]² – 2(1)² + \(\frac{1}{1}\)
= 1 – 2 + 1
∴ α⁴ + β⁴ + α^-1β^-1 = 0

ప్రశ్న 4.
(x – a) (x – b) = h² సమీకరణం మూలాలు ఎప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలేనని నిరూపించండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము (x – a) (x – b) = h²
⇒ x² – (a + b) x + ab = h²
⇒ x² – ( a + b) x + (ab – h²) = 0
విచక్షిణి = (a + b)² – 4(ab – h²)
= a² + 2ab + b² – 4ab + 4h²
= (a – b)² + 4h² > 0
∴ దత్త సమీకరణము మూలాలు ఎప్పుడూ వాస్తవ సంఖ్యలు.

ప్రశ్న 5.
x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 సమీకరణం మూలాలు 1, 2, 3, 4 అయితే
a, b, c, d ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము మూలాలు 1, 2, 3, 4.
∴ x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) = 0
⇒ x² + ax³ + bx² + cx + d = (x² – 3x + 2) (x² – 7x + 12) = 0
⇒ x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = x⁴ – 10x³ + 35x² – 50x + 24 = 0
ఇరువైపులా x యొక్క ఘాతాలు గుణకాలను పోల్చగా
∴ a = -10, b = 35, c = -50 మరియుd = 24

ప్రశ్న 6.
¹²p_r = 1320 అయితే r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹²p_r = 1320
= 12(110)
= 12 × 11 × 10
= ¹²p₃
∴ r = 3

ప్రశ్న 7.
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
12 భుజాలు గల బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{12(12-3)}{2}\)
= 54.

ప్రశ్న 8.
(1 + x)²² విస్తరణలో గరిష్ట ద్విపద గుణకం ²²C_r అయితే ¹³C_r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n = 22 అనునది సరిసంఖ్య.
∴ (1 + x)²² విస్తరణలో \({ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)}\) = ²²C₁₁ ఒక్కటే గరిష్ట ద్విపద గుణకం.
⇒ ²²C_r = ²²C₁₁ ⇒ r = 11
∴ ¹³C_r = ¹³C₁₁ = ¹³C₂
= \(\frac{13(12)}{2!}\) = 13(6) = 78

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశము 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44.
మధ్యమము = \(\frac{38+70+48+40+42+63+46+54+44+55}{10}\)
= \(\frac{500}{10}\) = 50
విచలనాల పరమ మూల్యాలు
|50 – 38|, |50 – 70|, |50 – 48|, |50 – 40|, |50 – 42|,
|50 – 55|, |50 – 63|, |50 – 46|, |50 – 54|, |50 – 44|
= 12, 20, 2, 10, 8, 5, 13, 4, 4, 6
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం
= \(\frac{12+20+2+10+8+5+13+4+4+6}{10}\)
= \(\frac{84}{10}\)
= 8.4

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమము విస్తృతి వరసగా 4, 3 ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి P(X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
n, P లు పరామితులుగా యాదృచ్ఛిక చలరాశి X ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
అంకమధ్యమము = nP = 4 ______ (1)
విస్తృతి = nPq = 3 ______ (2)
⇒ \(\frac{\mathrm{nPq}}{\mathrm{nP}}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
∴ P = 1 – q = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
(1) నుంచి (\(\frac{1}{4}\)) = 4 ⇒ n = 16
∴ P(X ≥ 21) = 1 – P(X = 0)
= 1 – ¹⁶C₀(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))^{16 – 0}
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో 2 + 2i, – 2 – 2i, – 2√3 + 2√3i లను సూచించే బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
సాధన:

ఇచ్చిన సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఆర్గాండ్ తలంలో A (2, 2), B (- 2, – 2),
C (-2√3, 2√3) లను సూచిస్తున్నాయి అనుకుందాం.
AB² = (2 + 2)² + (2 + 2)²
= 16 + 16 = 32

BC² = (- 2 + 2√3)² + (- 2 – 2√3)²
= 4 + 12 – 8√3 + 4 + 12 + 8√3
= 32

AC² = (- 2√3 – 2)² +(2√3 – 2)²
= 12 + 4 + 8√3 + 12 + 4 – 8√3
= 32

AB² = BC² = AC²
⇒ АВ = BC = CA
∴ Δ ABC సమబాహు త్రిభుజంను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
R లోని ప్రతి x కి \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వాస్తవమైతే, అప్పుడు p హద్దులను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) అనుకొనుమ
yx² – 3yx + 2y = x – p
⇒ yx² + (- 3y – 1)x + (2y + p) = 0
x ∈ R ⇒ (- 3y – 1)² – 4y(2y + p) ≥ 0
⇒ 9y² + 6y + 1 – 8y² – 4py ≥ 0
⇒ y² + (6 – 4p) y + 1 ≥ 0
Y ∈ R కావున
⇒ Δ ≤ 0 ⇒ (6 – 4p)² – 4.1.1 ≤ 0 ⇒ 36 + 16p² – 48 – 4 ≤ 0.
⇒ 16p² – 148p + 32 ≤ 0
⇒ p² – 3p + 2 ≤ 0 ⇒ (p – 1) (p – 2) ≤ 0
p = 1 లేదా p = 2 అయితే \(\frac{x-p}{x^2-3 x+2}\) వ్యవస్థితము కాదు.
∴ 1 < p < 2

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షరాలను ప్రస్తారించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరుసలో MASTER పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
MASTER పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమము A, E, M, R, S, T.
A ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
E ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
MAE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MAR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MASE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
MASR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
తర్వాత పదం MASTER ________ 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 2(5!) + 2(3!) + 2(2!) + 1
= 2(120) + 2(6) + 2(2) + 1
= 240 + 12 + 4 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ 14 మంది వ్యక్తులు కూర్చోని ఉన్నారు. వారిలో ఇద్దరు వ్యక్తులను ప్రక్క ప్రక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన.

ఇచ్చిన 14 మంది వ్యక్తులు వృత్తాకార
బల్ల చుట్టూ పటంలో లాగ కూర్చొని ఉన్నారనుకొనుము.
ఈ 14 మంది వ్యక్తుల నుంచీ ఇద్దరుని
ఎంచుకొనే విధానాలు = ¹⁴C₂ = 91
ఈ విధానాలలో ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు
పక్క పక్కనే ఉండే విధానాలు a₁a₂, a₂a₃, a₃a₄, ……….a₁₂a₁₃, a₁₃a₁₄, a₁₄a₁₅ అనగా 14 విధాలు.
∴ ఎంచుకొన్న ఇద్దరు వ్యక్తులు పక్కపక్కన లేని విధానాలు = 91 – 14
= 77

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) ను x ఘాత శ్రేణిగా విస్తరించగలిగే ప్రాంతాన్ని తెలుపుతూ, xⁿ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) = \(\frac{A}{(x-1)}\) + \(\frac{B}{(x-1)^2}\) + \(\frac{C}{(x-2)}\) అనుకొనుము
⇒ \(\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\) = \(\frac{A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^2}{(x-1)^2(x-2)}\)
⇒ x = A(x – 1) (x – 2) + B(x – 2) + C(x – 1)² ______ (1)
1 లో x = 1 వ్రాయగా
1 = B(1 – 2) ⇒ B = −1
1 లో x = 2 వ్రాయగా
2 = C(2 – 1)² ⇒ C = 2
1 లో ఇరువైపులా x² గుణకాలను పోల్చగా
O = A + C ⇒ 0 = A + 2
⇒ A = -2
∴ A = -2, B = -1, C = 2

= 2 – n – 1 – (\(\frac{1}{2}\))ⁿ
= 1 – n – (\(\frac{1}{2}\))ⁿ

ప్రశ్న 16.
{1, 2, 3 …… 100}, నుంచి ఒక సంఖ్య x ను యాదృచ్ఛికంగా తీయడం జరిగింది. (x + \(\frac{100}{x}\) ) > 29 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇక్కడ మొత్తము ఫలితాల సంఖ్య 100. S = {1, 2, 3, …….., 100} లో
యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొన్న x అనే సంఖ్య, x + \(\frac{100}{x}\) > 29 ని ధృవపరిచే ఘటనను
A అనుకొనుము.
∴ n(S) = 100
x + \(\frac{100}{x}\) > 29
⇒ x² + 100 > 29x
⇒ x² – 29x + 100 > 0
⇒ (x – 4) (x – 25) > 0
= x < 4 (or) x > 25
= A = {1, 2, 3, 26, 27, …….., 100}
n(A) = 78
P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)}\) = \(\frac{78}{100}\) = 0.78

ప్రశ్న 17.
కలన గుణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, B లకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరుసగా \(\frac{1}{3}\) మరియు \(\frac{1}{4}\). వారిద్దరూ స్వతంత్రంగా సమస్యను సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తే. ఆ సమస్య సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, B లతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
ఇచ్చిన P(E₁) = \(\frac{1}{3}\) మరియు P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతంను అనుసరించి
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
E₁, E₂ లు స్వతంత్రాలు కావున
= P(E₁) + P(E₂) − P(E₁). P(E₂)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{3}\).\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{4+3-1}{12}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే
\((p+i q)^{\frac{1}{n}}\) + \((p-i q)^{\frac{1}{n}}\) = \(2\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2n}}\).cos[\(\frac{1}{n}\)tan^-1\(\frac{q}{p}\)] అని చూపండి.
సాధన:
p + iq = r(cos θ + i sin θ) అనుకొనుము.
∴ p = r cos θ మరియు Q = r sin θ
వర్గం చేసి కూడగా q = r sin θ
p² + q² = r² cos²θ + r² sin²θ
= (cos²θ + sin²θ)
= r²
∴ r = (p² + q²)^1/2
\(\frac{q}{p}\) \(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\) ⇒ tan θ = \(\frac{q}{p}\) ⇒ θ = tan^-1(\(\frac{q}{p}\))
p + iq = (p² + q²)^1/2 (cos θ + i sin θ)
(p + iq)^1/n = [(p² + q²)^1/2 (cos θ + i sin θ)]^1/n
= \(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) (cos \(\frac{1}{n}\)θ + sin \(\frac{1}{n}\)θ) ______ (1)
(p – iQ)^1/n = \(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) (cos \(\frac{1}{n}\)θ + si \(\frac{1}{n}\)θ) ______ (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా
(p + iq)^1/n + (p – iq)^1/n = \(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) . 2cos\(\frac{1}{n}\)θ
= \(2\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2n}}\)[cos \(\frac{1}{n}\)tan^-1
(\(\frac{q}{p}\))]

ప్రశ్న 19.
6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ – 31x² + 25x – 6 = 0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చినది 6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ – 31x² + 25x – 6 = 0
∴దత్త సమీకరణం రెండో కొనకు చెందిన సరి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ 1 మరియు – 1 లు దత్త సమీకరణానికి మూలాలు.
∴ 6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ – 31x² + 25x – 6 = 0 సమీకరణానికి
(x + 1) మరియు (x – 1)లు కారణాంకాలు

(x – 1) (x + 1) (6x⁴ – 25x³ + 37x² – 25x + 6) = 0
6x⁴ – 25x³ + 37x² – 25x + 6 = 0 ను సాధించాలి.
⇒ 6x² – 25x + 37x – 25 . \(\frac{1}{x}\) + 6.\(\frac{1}{x^2}\) = 0
⇒ 6(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 25(x + \(\frac{1}{x}\)) + 37 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = (x + \(\frac{1}{x}\))² – 2
t² – 2
∴ 6(t² – 2) – 25t + 37 = 0
⇒ 6t² – 12 – 25t + 37 = 0
⇒ 6t² – 25t + 25 = 0
⇒ 6t² – 10t – 15t + 25 = 0
⇒ 2t(3t – 5) 5(3t – 5) = 0
⇒ (3t – 5) (2t – 5) = 0
⇒ 3t – 5 = 0 (లేదా) 2t – 5 = 0
⇒ 3(x + \(\frac{1}{x}\)) – 5 = 0
= 3x² + 3 – 5x = 0
= 3x² – 5x + 3 = 0
x = \(\frac{5 \pm \sqrt{25-4.3 .3}}{2-3}\)
= \(\frac{5 \pm i \sqrt{11}}{6}\)

⇒ 2(x + \(\frac{1}{x}\)) – 5 = 0
⇒ 2x² + 2 – 5x = 0
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
⇒ 2x² – 4x – x + 2 = 0
⇒ 2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (2x – 1) = 0
⇒ x = 2 లేదా \(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 1, -1, 2, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{5 \pm \mathrm{i} \sqrt{11}}{6}\)

ప్రశ్న 20.
(ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణల x¹⁰ గుణకం, (ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹¹ విస్తరణలో x^-10 గుణకం సమానమయితే a, b ల మధ్యగల సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు).
సాధన:
(ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణలో సాధారణ పదము
T_{r + 1} = ¹¹C_r (ax²)^{11 – r} (\(\frac{1}{b x}\))^r
11C_ra^{11 – r} . x^{22 – 2r}.\(\frac{1}{\mathbf{b}^r} \cdot \frac{1}{\mathbf{x}^r}\)
¹¹C_r.a^{11 – r}.\(\frac{1}{b^r}\).x^{22 – 2r}
x¹⁰ గుణకము కొరకు
22 – 3r = 10
⇒ 3r = 12
⇒ r = 4
∴ (ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణలో x¹⁰ గుణకము
¹¹C₄a⁷.\(\frac{1}{b^4}\) ______ (1)
(ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹¹ విస్తరణలో సాధారణ పదము
T_{r + 1} = ¹¹C_r(ax)^{11 – r} (\(\frac{-1}{b x^2}\))^r
= ¹¹C_ra^{11 – r}x^{11 – r}(-1)^r \(\frac{1}{b^r} \cdot \frac{1}{x^2 r}\)
= (-1)^{r 11}C_r a^{11 – r}.\(\frac{1}{b^r}\)x^{11 – 3r}
x^-10 గుణకము కొరకు
11 – 3r = -10
⇒ 3r = 21
⇒ r = 7
∴ (ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹⁰ విస్తరణలో x^-10 గుణకము = (-1)^{7 11}C₇ a^{11 – 7}.\(\frac{1}{b^7}\) = –¹¹C₇a⁴.\(\frac{1}{b^7}\) ______ (2)
దత్తాంశము నుండి (1) మరియు (2) లు సమానము.
∴ ¹¹C₄a⁴.\(\frac{1}{b^4}\) = –¹¹C₇a⁴.\(\frac{1}{b^7}\)
⇒ a³ = \(\frac{-1}{b^3}\)
⇒ a³b³ = -1
⇒ (ab)³ = -1
⇒ ab = -1

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ………, అయితే
9x² + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ……..

⇒ 4 + 3x = 3√3
⇒ (4 + 3x)² = 27
⇒ 16 + 9x² + 24x
∴ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మద్యమం నుండి మద్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

N = Σf_i = 50, Σf_id_i = 10 Σf_id_i|x_i – \(\bar{x}\)| = 472
∴ అంకమధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472) = 9.44

ప్రశ్న 23.
‘బేయీ సిద్ధాంతం’ వ్రాసి, నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, …… E_n లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(E_i) > 0 (i = 1, 2, 3, అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమద్యమము, విస్తృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణ S, దీనితో అనుబంధమయ్యే యాదృచ్ఛిక చలరాశిని X అనుకుందాం.
P(x) క్రింది పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడింది.