AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2014 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2014 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper May 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(3 + 4i) (2 – 3i) కి సంకీర్ణ సంయుగ్మాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = (3 + 4i)(2 – 3i) అనుకొనుము.
= 6 – 9i + 8i – 12i²
= 6 + i + 12
= 18 + i
∴ \(\bar{z}\) = 18 – i
∴ (3 + 4i)(2 – 3i) కి సంకీర్ణ సంయుగ్మం 18 – i

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1, z₂ = i, అయిన Arg (\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుగొనుము.
సాధన:
z₁ = -1
= -1 + i0
= cos π + i sin π
∴ Arg z₁ = π
z₂ = i
= 0 + i (1)
cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin (\(\frac{\pi}{2}\))
∴ Arg z₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg (\(\frac{z_1}{z_2}\)) – Arg z₁ – Arg z₁
= π – \(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
x = cis θ, అయితే (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువ కనుగొనుము.
సాధన:
ఇచ్చిన x = cis θ
= cos θ + i sin θ
x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶
= cos 6θ + isin 6θ
\(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = 2 cos 6θ

ప్రశ్న 4.
R మీద x మారుతున్నప్పుడు x⁶ – x + 7 సమాన గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త సమాసం x⁶ – x + 7
ఇచ్చట a =, 1, b = -1, c = + 7
a = 1 > 0 కావున
∴ గరిష్ట విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4(1)(7) -(-1)^2}{4(1)}\)
= \(\frac{27}{4}\)

ప్రశ్న 5.
2, 3, 6లు మూలాలుగా గల 3వ తరగతి ఏక బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
2, 3, 6 లు మూలాలుగా గల 3వ తరగతి ఏక బహుపది సమీకరణం
(x – 2)(x – 3)(x – 6) = 0
⇒(x² – 3x – 2x + 6) (x – 6) = 0
⇒ (x² – 5x + 6) (x – 6) = 0
⇒ x³ – 6x² – 5x² + 30x + 6x – 36 = 0
⇒ x³ – 11x² + 36x – 36 = 0

ప్రశ్న 6.
INTERMEDIATE పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన:
INTERMEDIATE పదంలోని 12 అక్షరాలలో 2I లు, 2Tలు మరియు 3Eలు కలవు.
మిగిలినవి విభిన్నాలు.
∴ కావలసిన ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{(12)!}{2!2!3!}\)

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయిన ¹³C_n విలువను కనుగొనుము.
సాధన:
ఇచ్చిన ⁿC₅ = ⁿC₆
∴ n = 5 + 6 = 11
¹³C_n = ¹³C₁₁
= ¹³C₂
= \(\frac{13.12}{2}\)
= 78

ప్రశ్న 8.
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
(2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య = \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\)
= 36

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశము 3, 6, 10, 4, 9, 10 నకు మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుగొనుము.
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తాంశము 3, 6, 10, 4, 9, 10
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యమము
\(\bar{x}\) = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\)
= 7
విచలనానికి పరమ మూల్య విలువలు |x_i – \(\bar{x}\)|
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{\Sigma\left|x_i-\bar{x}\right|}{6}\)
= \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\)
= \(\frac{8}{3}\)
= 2.66

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2)ను తృప్తిపరుస్తుంది. P(X = 5)ను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన P(X = 1) = P(X = 2)
⇒ \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^1}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}\)
⇒ λ = 2
P(X = 5) = \(\frac{e^{-2} \cdot 2^5}{5!}\)
= \(\frac{32}{120 \mathrm{e}^2}\)
= \(\frac{4}{15 \mathrm{e}^2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
2+i, 4+3i, 2+5i, 3i అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ సమతలంలో ఒక చతురస్ర శీర్షాలని చూపండి.
సాధన.
ఆర్గాండ్ తలములో దత్తబిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.
∴ A = (2, 1), B = (4, 3), C = (2, 5), D = (0, 3)
AB = \(\sqrt{(4-2)^2+(3-1)^2}\) = \(\sqrt{4+4}\) = √8

∴ AB = BC = CD = DA మరియు AC = BD
∴ A, B, C, D లు ఒక చతురస్ర శీర్షాలు అగును.

ప్రశ్న 12.
R మీద \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) ప్రమేయం గరిష్ట విలువలను కనుగొనుము.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² + 2xy + 3y = x² + 14x + 9
⇒ (1 – y)x² + (14 – 2y)x + (9 – 3y) = 0
x ∈ R ⇒ (14 – 2y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 4(7 – y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ (7 – y)² – (1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – (9 – 3y – 9y + 3y²) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – 9 + 12y – 3y² ≥ 0
⇒ – 2y² – 2y + 40 ≥ 0
⇒ 2y² + 2y – 40 ≤ 0
⇒ y² + y – 20 ≤ 0
⇒ (y + 5)(y – 4) ≤ 0
⇒ – 5 ≤ y ≤ 4
∴ గరిష్ట విలువ = 4

ప్రశ్న 13.
1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
సాధన:
దత్త అంకెలు 1, 3, 5, 7, 9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄ = 120
ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. ఇదే విధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం
⁴P₃ × 1 + ⁴P₃ × 3 + ⁴P₃ × 5 + ⁴P₃ × 7 + ⁴P₃ × 9
= ⁴P₃ × (1 + 3 + 5 + 7 + 9)
= ⁴P₃ × 25 అవుతుంది.
ఇదేవిధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా వచ్చే అంకెల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 10
ఇదేవిధంగా వందల స్థానంలోని మరియు వేలస్థానంలోని అంకెల సంఖ్యల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 100 మరియు ⁴P₃ × 25 × 1000
∴ 1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం
= ⁴P₃ × 25 × 1 + ⁴P₃ × 25 × 10 + ⁴P₃ × 25 × 100 + ⁴P₃ × 25 × 1000
= ⁴P₃ × 25× (1 + 10 + 100 + 1000)
= ⁴P₃ × 25 × 1111
= 24 × 25 × 1111
= 6,66,600.

ప్రశ్న 14.
ఏడు మంది బ్యాట్స్మెన్, ఆరుగురు బౌలర్లు నుంచి కనీసం అయిదుగురు బౌలర్లు ఉన్న పదకొండు మంది క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఏర్పరచవచ్చు ?
సాధన:
కనీసము 5 గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

	బ్యాట్స్మెన్ (7)	బౌలర్లు (6)
మొదటి విధానము	6	5
రెండవ విధానము	5	6

మొదటి విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₆ . ⁶C₅ = 7.6 = 42
రెండవ విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = ⁷C₅ . ⁶C₆ = 21.1 = 21
∴ క్రికెట్ టీములో కనీసం 5గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 42 + 21 = 63

ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x+7}{x^2-3 x+2}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x(x – 2) – 1(x – 2)
= (x – 1)(x – 2)
\(\frac{3 x+7}{(x-1)(x-2)}\) = \(\frac{A}{x-1}\) + \(\frac{B}{x-2}\) అనుకొనుము.
⇒ 3x + 7 = A(x – 2) + B(x – 1)
x = 1 వ్రాయగా
3(1) + 7 = A(1 – 2)
10 = -A
⇒ A = -10

x = 2 వ్రాయగా
3(2) + 7 = B(2 – 1)
13 = B
B = 13
∴ \(\frac{3 x+7}{x^2-3 x+2}\) = \(\frac{-10}{x-1}\) + \(\frac{13}{x-2}\)

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అయిన
a) P(A ∩ B)
b) P(A ∪ B)
c) P(B/A)
d) P(A^C ∩ B^C) లను కనుగొనుము.
సాధన:
దత్తాంశము నుండి P(A) = 0.6, P(B) = 0.7
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు కావున

a) P(A ∩ B) = P(A) P(B)
= (0.6) (0.7)
= 0.42

b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 0.88

c) P(\(\frac{B}{A}\)) = P(B) = 0.7

d) P(A^C ∩ B^C) = P(\(\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}\))
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – 0.88
= 0.12

ప్రశ్న 17.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు సంభావ్య రెట్టింపు అయితే, A, B, C లు ఆ పందెం గెలవగల సంభావ్యతలేవి ?
సాధన:
A, B, C లు స్వతంత్ర ఘటనలు

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n పూర్ణాంకం అయితే (1 + i)²ⁿ + (1 – i)²ⁿ = 2^{n + 1} cos \(\frac{n p}{2}\) అని చూపుము.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
x⁴ + 2x³ – 5x² + 6x + 2 = 0 సమీకరణం ‘ఒక మూలం 1 + i అయితే
సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
x⁴ + 2x³ – 5x² + 6x + 2 = 0 సమీకరణం ఒక మూలం 1 + i కావున
దత్త సమీకరణానికి 1 – i కూడా మూలం అగును.
1 ± i మూలాలుగా కలిగిన సమీకరణం.
x² – (1 + i + 1 – i)x + (1 + i) (1 – i) = 0
⇒ x² – 2x + 2 = 0
∴ x⁴ + 2x³ – 5x² + 6x + 2 = 0 యొక్క కారకం x² – 2x + 2

x⁴ + 4x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{-4 \pm \sqrt{16-4.1 .1}}{2.1}\)
= \(\frac{-4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}\)
= -2 ± √√3
దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 1 ± i,-2 ± √3

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకం, x శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య అయితే
C₀ + C₁\(\frac{x}{2}\) + C₂\(\frac{x^2}{3}\) + C₃ \(\frac{x^3}{4}\) + ….. + C_n\(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) …. ∞ అయితే 3x² + 6x విలువ కనుగొనుము.
సాధన:

⇒ (1 + x)² = \(\frac{5}{3}\)
⇒ 3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x – 2 = 0
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుగొనుము.

సాధన:
పరిశీలకాలను ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా

మధ్యగతం = 13, N = Σf_i = 30

Σf_i|x_i – మధ్యగతము | = 30 + 28 + 20 + 2 + 0 + 10 + 32 + 27 = 149
మధ్యగతము నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{1}{N}\)Σf_i|x_i – మధ్యగతము |
= \(\frac{1}{30}\)(149)
= 4.97

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించి, నిరూపించండి.
సాధన:

సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతము :
‘ప్రవచనము : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂ ఏవైనా రెండు ఘటనలు, P సంభావ్యతా ప్రమేయం అయితే
P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

సందర్భము (i) : E₁ ∩ E₂ = Φ అనుకొనిన
అపుడు P (E₁ ∩ E₂) = 0
E₁, E₂∈P(S) మరియు E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂)
= P (E₁) + P(E₂) – 0
= P (E₁) + P (E₂) – P(E₁ ∩ E₂)

సందర్భము (ii) : E₁ ∩ E₂ ≠ Φ అనుకొనుము.
అపుడు E₁ ∪ E₂ = E₁ ∪ (E₂ – E₁) మరియు
E₁ ∩ (E₂ – E₁) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁ ∪ (E₂ – E)) ₁))
= P (E₁) + P (E₂ – E₁)
= P (E₁) + P (E₂ – (E₁ ∩ E₂))
= P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂
∴ P (E₁∪E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యత విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వబడినది.

k విలువ అయితే, X యొక్క అంకమధ్యమము, విస్తృతిలను కనుగొనుము.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ 15k = 1
k = \(\frac{1}{15}\)
అంకమధ్యమము
μ = P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5)
= 1(k) + 2(2k) + 3(3k) + 4(4k) + 5(5k)
= k + 4k + 9k + 16k + 25k
= 55k
= 55(\(\frac{1}{15}\)) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి σ² = 1²P(X = 1) + 2²P(X = 2) + 3²P(X = 3) + 4²P(X = 4) + 5²P(X = 5) – μ²
= 1(k) + 4(2k) + 9(3k) + 16(4k) + 25(5k) – (\(\frac{11}{3}\))²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – \(\frac{121}{9}\)
= 225k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 (\(\frac{1}{15}\)) – \(\frac{121}{9}\)
= 15 – \(\frac{121}{9}\)
= \(\frac{135-121}{9}\) = \(\frac{14}{9}\)
∴ విస్తృతి σ² = \(\frac{14}{9}\)