AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2019 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) అయితే, a² + b² = 4 అని చూపండి.
సాధన:
(√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib)
⇒ |(√3 + i)¹⁰⁰|= 2⁹⁹ |a + ib|
⇒ |(√3 + i)¹⁰⁰|= 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
⇒ (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
⇒ 2¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
⇒ 2 = \(\sqrt{a^2+b^2}\)
∴ a² + b² = 4.

ప్రశ్న 2.
z = 2 – 3i అయితే, z² – 4z + 13 = 0 అని చూపండి.
సాధన:
z = 2 – 3i
⇒ z – 2 = – 3i
⇒ (z – 2)² = (- 3i)²
⇒ z² – 4z + 4 = 9i²
⇒ z² – 4z + 4 = -9
⇒ z² – 4z + 13 = 0.

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² అయితే (1 − w + w²)⁵ + (1 – w +
w²)⁵ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, w, w² కావున
∴ I + w + w² = 0 మరియు w² = 1
(1 – w + w²)⁵ + (1 + w – w²)⁵ = (- w – w)⁵ + (- w² – w²)⁵
= (-2 w)⁵ + (-2 w²)⁵
= -32 w⁵ – 32 w¹⁰
= -32 w² – 32 w
= -32 (w² + w)
= -32 (-1)
= 32
∴ (1) – w + w²)⁵ + (1 + w – w²)⁵ = 32.

ప్రశ్న 4.
m యొక్క ఏ విలువలకు, x² – 15 – m (2x – 8) = 0 సమీకరణ మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి.
సాధన:
x² – 15m (2x – 8) = 0
⇒ x² – 15 – 2mx + 8m = 0
⇒ x² – 2mx + (8m – 15) = 0 _______ (1)
(1) వ సమీకరణానికి మూలాలు సమానం కావున
∴ (- 2m)² – 4 (1) (8m – 15) = 0 ·
⇒ 4m² – 4 (8m – 15) = 0
⇒ m² – (8m – 15) = 0
⇒ m² – 8m + 15 = 0
⇒ m² – 3m – 5m + 15 = 0
⇒ m (m – 3) – 5 (m – 3) = 0
⇒ (m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m = 3, 5.

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల లబ్ధం 9 అయితే, a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
4x³ + 16x² – 9x – a = 0.
మూలాల లబ్ధం = 9.
⇒ \(\frac{-(-a)}{4}\) = 9.
⇒ a = 36.

ప్రశ్న 6.
INTERMEDIATE పదములోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
పదములోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{12!}{2!2!3!}\).
{∵ 2Iలు, 2Tలు, 2Eలు ఉన్నాయి కావున}

ప్రశ్న 7.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n విలువ కనుక్కోండి.
సాధన.
ⁿC₅ = ⁿC₆ అయితే ¹³C_n
∴ n = 5 + 6 = 11
¹³C₁₁ = ¹³C_n అయితే ¹³C_n
13_Cn = 13_C11 = \(\frac{13.12}{2!}\) = \(\frac{13.12}{2}\)
∴ 13_Cn = 78.

ప్రశ్న 8.
(\(\frac{2 x}{3}\) + \(\frac{3 y}{2}\))⁹ విస్తరణలో 6 వ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:
T₆ = T₅₊₁
= 9_C5(\(\frac{2 x}{3}\))^{9 – 5} (\(\frac{3 y}{2}\))⁵
= 9_C5 \(\frac{2^4 \cdot x^4}{3^4}\).\(\frac{3^5 \cdot y^5}{2^5}\) = 9_C5.\(\frac{3}{2}\) x⁴.y⁵.
(\(\frac{2 x}{3}\) + \(\frac{3 y}{2}\))⁹ విస్తరణలో 6వ పదం = 9_C5.\(\frac{3}{2}\) x⁴.y⁵.

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశం 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2 కి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం కనుక్కోండి.
సాధన:
అవర్గీకృత దత్తాంశం 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2 అవర్గీకృత దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13.
∴ మధ్యగతము = 6.
పరమ మూల్య విలువలు
|6 – 2|, |6 – 3|, |6 – 4|, |6 – 6|, |6 – 9|, |6 – 10|, |6 – 13|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7.
∴ మధ్యగతం నుండి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\)
= \(\frac{23}{7}\)
= 3.285.

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంకమధ్యమం, విస్తృతి వరసగా 4, 3 అయితే, ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి, P( X ≥ 1) కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా X అనునది ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుందని అనుకొనుము.
మధ్యమం = 4 ⇒ np = 4
విస్తృతి = 3 ⇒ npq = 3.
\(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\).
∴ p = 1 – q = 1 – \(\frac{1 – 3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
np = 4 ⇒ n (\(\frac{1}{4}\)) = 4 ⇒ n = 16.
∴ n = 16 మరియు p = \(\frac{1}{4}\)
p(x ≥ 1) = 1 – p(x = 0)
= 1 – 16_co(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))^{16 – 0}
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos θ+i \sin θ}\) అయితే 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\) 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y- 1)² – 4.y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ \(\frac{-1}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షాలను ప్రస్తావించడం వల్ల వచ్చే పదాలను నిఘంటువు క్రమంలో రాస్తే ఆ వరసలో MASTER పదం కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
MASTER పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమము A, E, M, R, S, T.
A ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
E ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
MAE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MAR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 3!
MASE ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
MASR ………… తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
తర్వాత పదం MASTER ________ 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 2(5!) + 2(3!) + 2(2!) + 1
= 2(120) + 2(6) + 2(2) + 1
= 240 + 12 + 4 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) ను సూక్ష్మీకరించండి :
సాధన:
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁴C₅ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄ + ³⁴C₄
= ³⁴C₅ + ³⁴C₄ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ +³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ∵{ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r}
= ³⁶C₅ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁷C₅ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁸C₅ + ³⁸C₄
= ³⁹C₅
∴ ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁹C

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(x-1)(x+2)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
(x – 1) (x + 2) = x² + 2x – x – 2
= x² + x – 2

⇒ \(\frac{3 x-2}{(x-1)(x+2)}\) = \(\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}\)
⇒ 3x – 2 = A (x + 2) + B (x – 1)
x = 1 వ్రాయగా
3 – 2 = A (1 + 2)
⇒ 1 = 3A
⇒ A = \(\frac{1}{3}\)

x = – 2 వ్రాయగా
3 (-2) – 2 = B (-2 -1)
– 8 = – 3B
⇒ B = \(\frac{8}{3}\)
∴ \(\frac{3 x-2}{(x-1)(x+2)}\) = \(\frac{1 / 3}{x-1}+\frac{8 / 3}{x-2}\)
∴ \(\frac{3 x}{(x-1)(x+2)}\) = x – 1 + \(\frac{1}{3(x-1)}\) + \(\frac{8}{3(x+2)}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు, B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయితే, A, B, C లు ఆ పందెం గెలవగల సంభావ్యతేలేవి ?
సాధన:

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో A నిజం మాట్లాడతాడు. 80% సందర్భాలలో B నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి · సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఒక సంఘటన గురించి A, B లు నిజం చెప్పే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
P(\(E_1^c\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(E₂) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
= P(\(E_2^c\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
ఒక సంఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే ఘటన E అనుకొనుము. ఇది రెండు పరస్పర వివర్జిత విధాలుగా జరుగవచ్చును.
i) A నిజం చెబుతాడు, B అబద్ధం చెబుతాడు.
ii) A అబద్ధం చెబుతాడు, B నిజం చెబుతాడు.
∴ P(E) = P(E₁ ∩ \(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\) ∩ E₂)
= P(E₁). P(\(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\)). P(E₂)
= (\(\frac{3}{4}\))(\(\frac{1}{5}\)) + (\(\frac{4}{5}\))(\(\frac{4}{5}\))
= \(\frac{3}{20}\) + \(\frac{4}{20}\)
= \(\frac{7}{20}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణం మూలాలు α, β, లు అయితే n ∈ N కు, αⁿ, βⁿ
= 2^{n + 1}. cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) (\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
x² – 2x + 4 = 0

ప్రశ్న 19.
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 సమీకరణం ఒక మూలం తక్కిన రెండు మూలాల మొత్తంలో. సగమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
18x³ + 81x² + 121x + 60 = 0 _______ (1)
ఒక మూలము తక్కిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగం కావున
∴ దత్త సమీకరణం (1) యొక్క మూలాలు A.P. లో ఉంటాయి.
దత్త సమీకరణం (1) యొక్క మూలాలు a – d, a, a + d అనుకొనుము.
∴ (a – d) + a + (a + d) = \(\frac{-81}{18}\)
⇒ 3a = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ a = \(\frac{-3}{2}\).
(a – d) (a) (a + d) = \(\frac{-60}{18}\)
⇒ a (a² – d²) = \(\frac{-10}{3}\)
⇒ \(\frac{9}{4}\) – d² = \(\frac{20}{9}\)
⇒ d² = \(\frac{9}{4}\) – \(\frac{20}{9}\)
⇒ d² = \(\frac{81-80}{36}\)
⇒ d² = \(\frac{1}{36}\)
⇒ d² = ±\(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 20.
(ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణల x¹⁰ గుణకం, (ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹¹ విస్తరణలో x^-10 గుణకం సమానమయితే a, b ల మధ్యగల సంబంధం కనుక్కోండి. (ఇక్కడ a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలు).
సాధన:
(ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణలో సాధారణ పదము
T_{r + 1} = ¹¹C_r (ax²)^{11 – r} (\(\frac{1}{b x}\))^r
11C_ra^{11 – r} . x^{22 – 2r}.\(\frac{1}{\mathbf{b}^r} \cdot \frac{1}{\mathbf{x}^r}\)
¹¹C_r.a^{11 – r}.\(\frac{1}{b^r}\).x^{22 – 2r}
x¹⁰ గుణకము కొరకు
22 – 3r = 10
⇒ 3r = 12
⇒ r = 4
∴ (ax² + \(\frac{1}{b x}\))¹¹ విస్తరణలో x¹⁰ గుణకము
¹¹C₄a⁷.\(\frac{1}{b^4}\) ______ (1)
(ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹¹ విస్తరణలో సాధారణ పదము
T_{r + 1} = ¹¹C_r(ax)^{11 – r} (\(\frac{-1}{b x^2}\))^r
= ¹¹C_ra^{11 – r}x^{11 – r}(-1)^r \(\frac{1}{b^r} \cdot \frac{1}{x^2 r}\)
= (-1)^{r 11}C_r a^{11 – r}.\(\frac{1}{b^r}\)x^{11 – 3r}
x^-10 గుణకము కొరకు
11 – 3r = -10
⇒ 3r = 21
⇒ r = 7
∴ (ax – \(\frac{1}{b x^2}\))¹⁰ విస్తరణలో x^-10 గుణకము = (-1)^{7 11}C₇ a^{11 – 7}.\(\frac{1}{b^7}\) = –¹¹C₇a⁴.\(\frac{1}{b^7}\) ______ (2)
దత్తాంశము నుండి (1) మరియు (2) లు సమానము.
∴ ¹¹C₄a⁴.\(\frac{1}{b^4}\) = –¹¹C₇a⁴.\(\frac{1}{b^7}\)
⇒ a³ = \(\frac{-1}{b^3}\)
⇒ a³b³ = -1
⇒ (ab)³ = -1
⇒ ab = -1

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) + ……… ∞, అయితే 3x² + 6x విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= (\(\frac{5}{3}\))^1/2
(x + 1)² = \(\frac{5}{3}\)
x² + 2x + 1 = \(\frac{5}{3}\)
3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
క్రింది విచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనం గణన చేయండి.

సాధన:
పట్టికను తయారుచేయగా

ఇచ్చట N = Σf_i = 30
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sum f_i x_i}{N}\) = \(\frac{430}{30}\) = 14
విస్తృతి (σ²) = \(\frac{1}{N}\)Σf_i(x_i – \(\bar{x}\))²
= \(\frac{1374}{30}\) = 45.8
= 45.8
ప్రామాణిక విచలనము = \(\sqrt{45.8}\) = 6.77.

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును నిర్వచించి, నిరూపించండి.
సాధన:
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, …… E_n లు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు
P(E_i) > 0 (i = 1, 2, 3, అనుకొనిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఏదైన ఘటన A కు

ప్రశ్న 24.
ఒక యాధృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం క్రింద ఇవ్వడమైంది.
k విలువను, X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
x యొక్క వ్యాప్తి = [1, 2, 3, 4, 5] \(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)
∴ P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
x అంకమధ్యమం µ = \(\sum_{r=1}^5 \text { r.p }\left(X=x_i\right)\)
= \(\sum_{r=1}^5 r(r k)\)
= 1.(k) + 2.(2k) + 3.(3k) + 4.(4k) + 5.(5k) = 55k
= 55 × \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి (σ²) = (1)². k + (2)² 2k + (3)² 3k + (4)² 4k + (5)² (5k) – μ²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – (\(\frac{11}{3}\))²
= 225 k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 × \(\frac{1}{15}\) – \(\frac{121}{9}\)