AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2018 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(2 + 5i) (-4 + 6i) కు సంకీర్ణ సంయుగ్మాన్ని వ్రాయండి.
సాధన.
Z = (2 + 5i) (-4 + 6i) అనుకొనుము.
= -8 + 12i – 201 + 30i²
= -8 – 8 – 30 [∵ i² = -1]
∴ \(\overline{\mathrm{Z}}\) = -38 + 8i

ప్రశ్న 2.
x + iy = cis α. cis β మరియు x² + y² విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
x + iy = cis α. cis β
= cis(α + β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
x = cos(α + β), y = sin(α + β)
∴ x² + y² = cos² (α + β) + sin²(α + β)
∴ x² + y² = 1.

ప్రశ్న 3.
ABC లు త్రిభుజములో కోణాలు, x = cis A, y = cis B, z = cis C మరియు xyz విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
త్రిభుజంలోని కోణాలు A, B, C కావున
∴ A + B + C = 180°
x = cis A, y = cis B, z = cis C
xyz = (cis A) (cis B) (cis C)
= cis (A + B + C)
= cis 180°
= cos 180° + i sin 180°
= −1 + i(0)
= -1
∴ xyz = -1

ప్రశ్న 4.
ఏయే x విలువలకు x² – 5x – 14 సమాసం ధనాత్మకం అవుతుంది.
సాధన:
x² – 5x – 14 > 0
⇒ x² – 7x + 2x – 14 > 0
⇒ x(x – 7) + 2(x – 7) > 0
⇒ (x + 2) (x – 7) > 0
⇒ x < -2 (లేదా) x > 7

ప్రశ్న 5.
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 మూలాలు 1, 1, α అయితే α ను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 6x² + 9x – 4 = 0 యొక్క మూలాలు 1, 1, α కావున
s₁ = \(\frac{-(-6)}{1}\)
⇒ 1 + 1 + α = 6
⇒ α = 6 – 2
⇒ α = 4

ప్రశ్న 6.
“MATHEMATICS” పదములోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
MATHEMATICS అనుపదంలో 11 అక్షరాలు కలవు. వాటిలో 2M’లు, 2A’లు మరియు 2T’లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
MATHEMATICS పదంలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య
= \(\frac{11!}{2!2!2!}\) = \(\frac{11!}{(2!)^3}\)

ప్రశ్న 7.
¹⁰C₅ + ^2.10C₄ + ¹⁰C₃ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
¹⁰C₅ + 2.¹⁰C₄ + ¹⁰C₃ = ¹⁰C₅ + ¹⁰C₄ + ¹⁰C₄
= ¹⁰C₃
= ¹¹C₅ + ¹¹C₄ [∵ ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r].
= ¹²C₅
= \(\frac{12.11 .10 .9 .8}{5.4 .3 .2 .1}\)
= 792
∴ ¹⁰C₅ + 2.¹⁰C₄ + ¹⁰C₃ = 792

ప్రశ్న 8.
(1 – \(\frac{5 x}{2}\))^-3/5 విస్తరణలో 8వ పదం వ్రాయండి.
సాధన:
(1 – \(\frac{5 x}{2}\))^-3/5 ను (1 – X)^-p/5 తో పోల్చగా
∴ X = \(\frac{5 x}{2}\), p = 3, q = 5

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశం నుండి 3, 6, 10, 4, 9, 10 మధ్యమము నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశము 3, 6, 10, 4, 9, 10
మధ్యమం = \(\frac{3+6+10+4+9+10}{6}\) = \(\frac{42}{6}\) = 7
పరమ మూల్య విచలనాలు
|3 – 7, |6 – 7|, |10 – 7|, |4 – 7|, |9 – 7|, |10 – 7|
= 4, 1, 3, 3, 2, 3
∴ మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనము = \(\frac{4+1+3+3+2+3}{6}\)
= \(\frac{16}{6}\) = \(\frac{8}{3}\) = 2.66

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద చలరాశి X అంక మద్యమము, విస్తృతిలు వరుసగా 2.4 మరియు 1.44 అయితే పరామితులు కనుక్కోండి.
సాధన:
X అనునది n, pలు పరామితులుగా ద్విపద విభాజనాన్ని పాటిస్తుంది.
అంకమధ్యమం np = 2.4 ………. (1)
విస్తృతి npq = 1.44 …………. (2)
\(\frac{n p q}{n p}\) = \(\frac{1.44}{2.4}\)
⇒ q = 0.6
∴ p = 1 – q = 1 – 0.6 = 0.4
(1) నుండి n (0.4) = 2.4 ⇒ n = 6
∴ n = 6, p = 0.4

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
(x – iy)^1/3 = a – ib అయితే, \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\)
= 4(a² – b²) అని చూపండి.
సాధన:
(x – iy)^1/3 = a – ib
⇒ x – iy = (a – ib)³
= a³ – 3a²ib + 3ai²b² + i³b³
= a³ – i3a²b – 3ab² + ib³
= (a³ – 3ab²) + i(b³ – 3a²b)
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
x = a³ – 3ab², -y = b³ – 3a²b ⇒ y = -(b³ – 3a²b)
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = \(\frac{a^3-3 a b^2}{a}\) + \(\frac{-\left(b^3-3 a^2 b\right)}{b}\)
= \(\frac{a^3-3 a b^2}{a}\) + \(\frac{3 a^2 b-b^3}{b}\)
= a² – 3b² + 3a² – b².
= 4a² – 4b²
= 4(a² – b²)
∴ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 4(a² – b²).

ప్రశ్న 12.
R మీద \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) ప్రమేయం గరిష్ఠ, విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² + 2xy + 3y = x² + 14x + 9
⇒ (1 – y)x² + (14 – 2y)x + (9 – 3y) = 0
x ∈ R ⇒ (14 – 2y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 4(7 – y)² – 4(1 – y) (9 – 3y) ≥ 0
⇒ (7 – y)² – (1 – y) (9 – 3y) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – (9 – 3y – 9y + 3y²) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – 9 + 12y – 3y² 2 0
⇒ -2y² – 2y + 40 ≥ 0
⇒ 2y² + 2y – 40 ≤ 0
⇒ y² + y – 20 ≤ 0
⇒ (y + 5)(y – 4) ≤ 0
⇒ -5 ≤ y ≤ 4
∴ గరిష్ఠ విలువ = 4
కనిష్ఠ విలువ = -5.

ప్రశ్న 13.
1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త అంకెలు 1, 3, 5, 7, 9 అనే 5 అంకెలతో ఏర్పరచగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = ⁵P₄
= 120
ఈ 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెల మొత్తం కనుక్కొందాం. ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉంచితే మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. ఇదే విధంగా 3, 5, 7, 9 అంకెలు ఒక్కొక్కటి ⁴P₃ సార్లు ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయి. ఈ అంకెలన్నీ కలిపితే మనకు 120 సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలోని మొత్తం
⁴P₃ × 1 + ⁴P₃ × 3 + ⁴P₃ × 5 + ⁴P₃ × 7 + ⁴P₃ × 9
= ⁴P₃ × (1 + 3 + 5 +7 +9)
= ⁴P₃ × 25 అవుతుంది.
ఇదేవిధంగా ఈ 120 సంఖ్యల పదుల స్థానంలో కూడా వచ్చే అంకెల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 10
ఇదేవిధంగా వందల స్థానంలోని మరియు వేలస్థానంలోని అంకెల సంఖ్యల మొత్తం ⁴P₃ × 25 × 100 మరియు ⁴P₃ × 25 × 1000
∴ 1, 3, 5, 7, 9 అంకెలను ఉపయోగించి ఏర్పరిస్తే వచ్చే 4 అంకెల సంఖ్యల
= ⁴P₃ × 25 × 1 + ⁴P₃ × 25 × 10 + ⁴P₃ × 25 × 100 + ⁴P₃ × 25 × 1000
= ⁴P₃ × 25 × (1 + 10 + 100 + 1000)
= ⁴P₃ × 25 × 1111
= 24 × 25 × 1111
= 6,66,600.

ప్రశ్న 14.
²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄ అని నిరూపించండి.
సాధన:
L.H.S = ²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\)
= ²⁵C₄ + ²⁹C₃ + ²⁸C₃ + ²⁷C₃ + ²⁶C₃ + ²⁵C₃
= ²⁵C₄ + ²⁵C₃ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁶C₄ + ²⁶C₃ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃ [∵ ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r
= ²⁷C₄ + ²⁷C₃ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁸C₄ + ²⁸C₃ + ²⁹C₃
= ²⁹C₄ + ²⁹C₃
= ³⁰C₄
= R.H.S
∴ L.H.S = R.H.S
∴ ²⁵C₄ + \(\sum_{r=0}^4(29-r) C_3\) = ³⁰C₄

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2+5 x+7}{(x-3)^3}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x – 3 = t అనుకొనుము.
⇒ x = t + 3

ప్రశ్న 16.
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 మరియు P(A ∩ B) = 0.3 అయ్యేటట్లు ఘటనలు A మరియు B ఉన్నాయనుకోండి
i) A జరగక పోవడానికి
ii) A గానీ B గానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
p(A) = 0.5, p(B) = 0.4 మరియు р(A ∩ B) = 0.3
i) A జరగకపోవడానికి సంభావ్యత = p(\(\overline{\mathrm{A}}\))
= 1 – p(A)
= 1 – 0.5
= 0.5

ii) A గానీ B గానీ (A, B లు రెండూ) జరగకపోవడానికి సంభావ్యత = p(\(\overline{\mathrm{A}}\) ∩ \(\overline{\mathrm{B}}\))
= p(\(\overline{A \cup B}\))
= 1 – p(A ∪ B)
= 1 – [p(A) + p(B) – p(A ∩ B)]
= 1 – [0.5 + 0.4 – 0.3]
= 1 – 0.6
= 0.4

ప్రశ్న 17.
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, B లకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరసగా \(\frac{1}{3}\) మరియు
\(\frac{1}{4}\). వారిద్దరూ స్వతంత్రంగా సమస్యను సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తే ఆ సమస్యను సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
A, B లతో సమస్య సాధించబడే ఘటనలు వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
ఇచ్చిన P(E₁) = \(\frac{1}{3}\) మరియు P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతంను అనుసరించి
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
E₁, E₂ లు స్వతంత్రాలు కావున
= P(E₁) + P(E₂) – P(E₁). P(E₂)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{3}\).\(\frac{1}{4}\) = \(\frac{4+3-1}{12}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే :
\((P+i Q)^{\frac{1}{n}}\) + \((P-i Q)^{\frac{1}{n}}\) = 2\(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) [cos\(\frac{1}{n}\)tan^-1(\(\frac{q}{p}\))] అని చూపండి.
సాధన:
p + iq = r(cos θ + i sin θ)
∴ p = r cos θ మరియు = r sin θ
వర్గం చేసి కూడగా q = r sin θ
p² + q² = r² cos²θ + r² sin²θ
= (cos²θ + sin²θ)
= r²
∴ r = (p² + q²)^1/2
\(\frac{q}{p}\)\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\) ⇒ tan θ = \(\frac{q}{p}\) ⇒ θ = tan^-1(\(\frac{q}{p}\))
p + iq = (p² + q²)^1/2 (cos + i sin 0)
(p + iq)^1/n = [(p² + q²)^1/2 (cos θ + i sin θ)]^1/n
= \(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) (cos\(\frac{1}{n}\) θ + i sin\(\frac{1}{n}\) θ ) ______ (1)
(p – iQ)^1/n = \(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) (cos\(\frac{1}{n}\) θ + i sin\(\frac{1}{n}\) θ ) ______ (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా
(p + iq)^1/n + (p – iq)^1/n = \(\) .2 cos \(\frac{1}{n}\) θ
= 2\(\left(p^2+q^2\right)^{\frac{1}{2 n}}\) [cos\(\frac{1}{n}\)tan^-1(\(\frac{q}{p}\))]

ప్రశ్న 19.
6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ – 31x² + 25x – 6 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చినది 6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ – 31x² + 25x – 6 = 0
∴ దత్త సమీకరణం రెండో కొనకు చెందిన సరి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ 1 మరియు – 1 లు దత్త సమీకరణానికి మూలాలు.
∴ 6x⁶ – 25x⁵ + 31x⁴ + 25x – 6 = 0 సమీకరణానికి (x + 1) మరియు
(x – 1)లు కారణాంకాలు

(x – 1) (x + 1) (6x⁴ – 25x³ + 37x² – 25x + 6) = 0
6x⁴ – 25x³ + 37x² – 25x + 6 = 0 ను సాధించాలి.
⇒ 6x² – 25x + 37x – 25.\(\frac{1}{x}\) + 6.\(\frac{1}{x^2}\) = 0
6(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – 25 (x + \(\frac{1}{x}\)) + 37 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = (x + \(\frac{1}{x}\))² -2
= t² – 2
∴ 6(t² – 2) – 25t + 37 = 0
⇒ 6t² – 12 – 25t + 37 = 0
⇒ 6t² – 25t + 25 = 0
⇒ 6t² – 10t – 15t + 25 = 0
⇒ 2t(3t – 5) – 5(3t – 5) = 0
⇒ (3t – 5) (2t – 5) = 0
⇒ 3t – 5 = 0 (లేదా) 2t – 5 = 0

3 (x + \(\frac{1}{x}\)) – 5 = 0
⇒ 3x² + 3 – 5x = 0
⇒ 3x² – 5x + 3 = 0
x = \(\frac{5 \pm \sqrt{25-4.3 .3}}{2-3}\)
= \(\frac{5 \pm i \sqrt{11}}{6}\)

⇒ 2 (x + \(\frac{1}{x}\)) – 5 = 0
⇒ 2x² + 2 – 5x = 0
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
⇒ 2x² – 4x – x + 2 = 0
⇒ 2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (2x – 1) = 0
⇒ x = 2 లేదా \(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 1, -1, 2, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{5 \pm i \sqrt{11}}{6}\)

ప్రశ్న 20.
r = 0, 1, 2, …………. n కు :
C₀. C_r + C₁.C_{r + 1} + C₂. C_{r + 2} + ………… + C_{n – r}. C_n = ²ⁿC_{(n + r)} అని చూపి, తద్వారా :
i) \(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + ………. + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n
ii) C₀. C₁ + C₁. C₂ + C₂. C₃ + …….. + C_{n – 1}. C_n = ²ⁿC_{n + 1} అని రాబట్టండి.
సాధన:

(3) లో r = 0 వ్రాయగా
\(\mathrm{C}_0^2\) + \(\mathrm{C}_1^2\) + \(\mathrm{C}_2^2\) + ………. + \(\mathrm{C}_n^2\) = ²ⁿC_n
(3) లో r = 1 వ్రాయగా
C₀C₁ + C₁C₂ + C₂C₃ + ………. + C_{n – 1}
С_n = ²ⁿC_{n + 1}

ప్రశ్న 21.
\(\frac{7}{5}\)(1 + \(\frac{1}{10^2}\) + \(\frac{1.3}{1.2}\).\(\frac{1}{10^4}\) + \(\frac{1.3.5}{1.2.3}\).\(\frac{1}{10^6}\) + …..) శ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
సోపాన విచలన పద్ధతిని ఉపయోగించి, కింది దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి :

మార్కులు	విద్యార్థుల సంఖ్య
0 – 10	6
10 – 20	5
20 – 30	8
30 – 40	15
40 – 50	7
50 – 60	6

సాధన:
ఊహాజనిత మధ్యమం A = 35 అనుకొనుము.
అపుడు d_i = \(\frac{x_i-35}{10}\)

మధ్యమం \(\bar{x}\) = A + (\(\frac{\Sigma \mathrm{f}_i \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\))_n
= 35 + (\(\frac{-8}{50}\))10
= 35 – 1.6 = 33.4
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\) (659.2) = 13.18

ప్రశ్న 23.
a)సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
సంభావ్యతపై సంకలన సిద్ధాంతం : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘటనలు
E₁, E₂ అయితే P(E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
నిరూపణ :
సందర్భం (i) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే P (E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – 0 = P(E₁) + P(E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

సందర్భం (ii) :
E₁ ∩ E₂ = Φ అయితే
E₁ ∪ E₂ = (E₁ – E₂) మరియు E₁ (E₁ – E₂) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P [(E₁ – E₂) = P (E₁) + P(E₁ – E₂)
P (E₁) + P [E₂ – (E₁ ∩ E₂) = P (E₁) + P(E₂) – P (E₁ ∩ E₂)
∴ P (E₁∪ E₂) = P(E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

b) బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుకార్డు, ఇస్పేటుగాని అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
బాగా కలిపిన 52 పేకముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్కను తీస్తే అది ఆసుకార్డు అయ్యే ఘటన A అని, ఇస్ఫేటు కార్డు అయ్యే ఘటన B అని మరియు S అనునది రౌంపుల్ ఆవరణము అనుకొనుము.

ప్రశ్న 24.
P(X = k) = \(\frac{(k+1) C}{2^k}\), k = 0, 1, 2, 3, …………., సంభావ్యతా విభాజనంతో x యాదృచ్ఛిక చలరాశి అయితే C ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత విభాజనము.