AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2017 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
సంకీర్ణ సంఖ్య (2 – 3i) (3 + 4i) ను A + iB రూపంలో రాయండి.
సాధన:
(2 – 3i) (3 + 4i) = 6 + 8i – 9i – 12i²
= 6 – i + 12 (-1)
= 6 – i + 12
= 18 – i = 18 + i(-1)
A + iB ఇచ్చట A = 18, B = -1

ప్రశ్న 2.
z₁ = -1, z₂ = i అయితే, Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
z₁ = -1 cos π + i sin π
∴ Arg z₁ = π
z₂ = -i = cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin\(\frac{\pi}{2}\)
∴ Arg z₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
Arg(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = Arg z₁ – Arg z₂
= π.\(\frac{\pi}{2}\)
= \(\frac{\pi}{2}\)
∴ Arg = z(\(\frac{z_1}{z_2}\)) = \(\frac{\pi}{2}\)

ప్రశ్న 3.
1 (ఏకకపు) ఘనమూలాలు 1, ω, ω² అయితే (a + b) (aω + bω²) (aω²
+ bω) = a³ + b³ అని చూపండి.
(a + b) (aω + bω²) (aω² + bω) = a³ + b³.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1
(a + b) (aω + bω²) (aω² + bω)
= (a + b) [a² ω³ + abω⁴ + bω⁴ + b² ω³]
= (a + b) [a² + ab (ω² + ω⁴) + b¹]
= (a + b) [a² + ab (ω² + 1.ω) + b²]
= (a + b) [a² + ab(-1) + b²]
= (a + b) (a² – ab + b²)
= a³ + b³
∴ (a + b)[aω + bω²) (aω² + bω) = a³ + b³

ప్రశ్న 4.
m యొక్క ఏ విలువలకు, x² – 15 – m (2x – 8) = 0 సమీకరణానికి సమాన మూలాలు ఉంటాయో కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము x² – 15 – m(2x – 8) = 0
x² – 2mx + 8m – 15 = 0
a = 1, b = -2m, c = 8m – 15
b² – 4ac = (-2m)² – 4(1) (8m – 15)
= 4m² – 32m + 60
= 4(m² – 8m + 15)
=4(m – 3) (m – 5)
(1) కు సమాన మూలాలు ఉన్నాయి కావున విచక్షణి ax² + bx + c = 0
⇒ b² – 4ac = 0
⇒ 4(m – 3) (m – 5) = 0
⇒ m – 3 = 0 or m – 5 = 0
∴ m = 3 or 5

ప్రశ్న 5.
4x³ + 16x² – 9x – a = 0 సమీకరణం మూలాల లబ్దం 9 అయితే a ను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త సమీకరణము 4x³ + 16x² – 9x – a = 0
మూలాల లబ్దము = \(\frac{a}{4}\) = 9 ⇒ a = 36

ప్రశ్న 6.
7 విభిన్నమైన రంగుల పూసలతో ఏర్పరచగల పూసల గొలుసుల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
7 విభిన్నమైన రంగుల పూసలతో ఏర్పరచగల పూసల గొలుసల సంఖ్య = \(\frac{1}{2}\) {(7 – 1)!}
= \(\frac{1}{2}\) (6!) = \(\frac{1}{2}\) (720) = 320.

ప్రశ్న 7.
ⁿP_r = 5040, ⁿC_r = 210 అయితే n, rలను కనుక్కోండి.
సాధన:
Hint: ⁿP_r = r! ⁿC_r and
ⁿP_r = n (n – 1) (n – 2) …. [n – (r – 1)]
ⁿP_r = 5040, ⁿC_r = 210
r! = \(\frac{{ }^n P_r}{{ }^n C_r}\) = \(\frac{5040}{210}\) = \(\frac{504}{21}\) = 24 = 4!
∴ r = 4
ⁿP_r = 5040 ⇒ ⁿP₄ = 5040 కావున = 10 × 504
= 10 × 9 × 56
= 10 × 9 × 8 × 7
= ¹⁰P₄
∴ n = 10
∴ n = 108 మరియు r = 4.

ప్రశ్న 8.
ద్విపద విస్తరణ \((3-4 x)^{\frac{3}{4}}\) కు చెల్లుబాటయ్యేటట్లు x విలువలుంటే సమితి E ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3 – 4x)^3/4 = 3^3/4(1 – \(\frac{4 x}{3}\))^3/4
(3 – 4x)^3/4 కు ద్విపద వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{4 x}{3}\)| < 1
i.e., |x| < \(\frac{3}{4}\)
i.e., E = (\(\frac{-3}{4}\), \(\frac{3}{4}\))

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి. : 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2.
సాధన:
ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశం 4, 6, 9, 3, 10, 13, 2
ఇచ్చిన దత్తాంశం ఆరోహణ క్రమము 2, 3, 4, 6, 9, 10, 13
∴ మధ్యగతము = m = 6
|2 – 6|, |3 – 6|, |4 – 6|, |6 – 6|, |9 – 6|, |10 – 6|, |13 – 6|
= 4, 3, 2, 0, 3, 4, 7
∴ మధ్యమ విచలనం = \(\sum_{i=1}^n \frac{\left|x_i-m\right|}{n}\)
= \(\frac{4+3+2+0+3+4+7}{7}\) = \(\frac{23}{7}\) = 3.285

ప్రశ్న 10.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉంటే సంభావ్యత 0.1.10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట n = 10
p = 0.1
q = 1 – p = 1 – 0.1q = 0.9
P(X = 1) = ¹⁰C₁ P¹q^{10 – 1}
= 10 × (0.1)¹ × (0.9)⁹
= 10.\(\frac{1}{10}\)(0.9)⁹ (0.9)⁹
10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతివాటం ఉండే సంభావ్యత (0.9)⁹.

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ సమతలంలో P బిందువు సంకీర్ణ సంఖ్య z = x + iy ను సూచించినప్పుడు \(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ద కల్పిత సంఖ్య అయితే, P బిందు పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
z = x + iy
\(\frac{z-i}{z-1}\) = \(\frac{x+i y-i}{x+i y-1}\)
= \(\frac{x+i(y-1)}{x-1+i y}\)) = \(\frac{[x+i(y-1)][(x-1)-i y)]}{[(x-1)+i y][(x-1)-i y]}\)
= (\(\frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1)^2+y^2}\)) + i (\(\frac{1-x-y}{(x-1)^2+y^2}\))
\(\frac{z-i}{z-1}\) శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య కావున
⇔ z ≠ 1 and \(\frac{x^2+y^2-x-y}{(x-1)^2+y^2}\) = 0
⇔ x² + y² – x – y = 0 and (x, y) ≠ (1, 0).
∴ P బిందు పధము x² + y² – x – y = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
\(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము.
⇒ y = \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
⇒ y = \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R అయితే (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 = 0
⇒ (y – 1) (y – 1) = 0 ⇒ y = 1, 4
⇒ 4y² – 20y + 16 = 0 ⇒ y ≤ (or) y ≥ 4
y² గుణకం, సమాసం ≥ 0.
⇒ y విలువ 1, 4ల మధ్య ఉండదు.
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1 మరియు 4ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
PRISON పదంలోని అక్షరాలలో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటిని నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే (పునరావృతం లేకుండా) ఆ క్రమంలో PRISON పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన పదము : PRISON
ఇచ్చిన పదంలోని అక్షరాలను నిఘంటువు క్రమంలో I N O P R S
I —— తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య → 5! ways
N—— || → 5! = 120
O —— || → 5! = 120
P I ——|| → 4! = 120
P N—— || → 4! = 24
P O —— || → 4! = 24
P R I N —— || → 2! = 2
P R I O —— || → 2! = 2
P R I S N O → || 1 = 1
P R I S O N → || 1 = 1
చివరిపదం PRISON is 120 + 120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 2 + 2 + 1 + 1 = 438.

ప్రశ్న 14.
సూక్ష్మీకరించండి. : ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\)
సాధన:
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁴C₅ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄ + ³⁴C₄
= ³⁴C₅ + ³⁴C₄ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ +³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ∵{ⁿC_r + ⁿC_{r- 1} = ^{n + 1}C_r}
= ³⁶C₅ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁷C₅ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁸C₅ + ³⁸C₄ = ³⁹C₅
∴ ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁹C₅

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
Let \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x+2}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+1}\) అనుకొనుము.
⇒ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x+2)}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\)
⇒ x² – 3 = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 2) ………. (1)
ఇచ్చట = -2 అని వ్రాయగా
(-2)² – 3 = A[(-2)² + 1]
⇒ 4 – 3 = A(4 + 1)
⇒ 1 = 5A
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా x² పదాల గుణకాలను పోల్చగా
1 = A + B ⇒ B = 1 – A
⇒ B = 1 – \(\frac{1}{5}\) = B
⇒ B = \(\frac{4}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా స్థిర పదాలను పోల్చగా
– 3 = A + 2C ⇒ 2C = – 3 – A
⇒ 2C = – 3 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ 2C = \(\frac{-15-1}{5}\)
2C = \(\frac{-16}{5}\)
⇒ C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ A = \(\frac{1}{5}\), B = \(\frac{4}{5}\) మరియు C = \(\frac{8}{5}\)
∴ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{\frac{1}{5}}{x+2}+\frac{\frac{4}{5} x-\frac{8}{5}}{x^2+1}\) = \(\frac{1}{5(x+2)}+\frac{4 x-8}{5\left(x^2+1\right)}\)

ప్రశ్న 16.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతం వ్రాసి నిరూపించండి.
సాధన:
ఉపపత్తి : Case (i) E₁ ∩ E₂ = Φ
సందర్భం (i) : అప్పుడు P(E₁ ∩ E₂) = 0
∴ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
= P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – 0
⇒ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)

సందర్భం (ii) : E ∩ E₂ E₁ ∩ E₂ ≠ Φ అనుకొనుము.
అప్పుడు E₁ ∪ E₂ = E₁ ∪ (E₂ – E₁) మరియు E₁ ∩ (E₂ – E₁) = Φ
∴ P(E₁ ∪ E₂) = P[E₁ ∪ (E₂ – E₁)]
= P(E₁) + P(E₂ – E₁)
= P(E₁) + P[E₂ – (E₁ ∩ E₂)]
= P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
∴ P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + (E₂) – P(E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 17.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలనుకోండి. అప్పుడు,
(i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∪ B) (iii) P(\(\frac{B}{A}\)) (iv) P(A^C ∩ B^C) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 మరియు A, B లు స్వతంత్రాలు.

i) P(A ∩ B) = P(A) P(B) = 0.6 × 0.7 = 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 1.3 – 0.42
= 0.88

iii) P(B/A) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) = \(\frac{P(B) \cdot P(A)}{P(A)}\) = P(B) = 0.7

iv) P(A^C ∩ B^C) = P(A^C). P(B^C)
(A^C & B^C లు స్వతంత్రాలు)
= [1 – P(A) [1 – P(B)]
= (1 – 0.6) (1 – 0.7)
= 0.4 × 0.3
= 0.12

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n పూర్ణాంకం అయితే
(1 + cos θ + i sin θ)n + (1 + cos θ – i sin θ)n = 2n + 1 cosn (θ/2) cos(\(\frac{\mathrm{n} \theta}{2}\)) అని చూపండి.
సాధన:



∴ (1 + cos θ + i sin θ)ⁿ + (1 + cos θ – i sin θ)ⁿ = 2^{n + 1} cosⁿ(\(\frac{\theta}{2}\))cos(\(\frac{\mathrm{n} \theta}{2}\))

ప్రశ్న 19.
2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్తసమీకరణం 2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0
∴ -1 = 2(-1) + 1 – 12(-1 ) – 12(1) + (-1) + 2
= – 2 + 1 + 12 – 12 – 1 + 2 = 0
∴ f(x) కు x + 1 ఒక కారణాంకం
f(x) ను x + 1 చే భాగించగా

⇒ 2x⁴ – x³ – 11x² – x + 2 = 0
⇒ 2x² – x – 11 – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
x² + \(\frac{2}{x^2}\) = t² – 2
∴ 2 (² – 2) – t – 11 = 0
⇒ 2t² – 4 – t – 11 = 0
⇒ 2t² – t – 15 = 0
⇒ 2t² – 6t + 5t – 15 = 0
⇒ 2t (t – 3) + 5 (t – 3) = 0
⇒(t – 3) + (2t + 5) = 0
⇒ t = 3 (or) -5/2
t = 3 అయితే
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x² – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{9-5}}{2}\) = \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
అయితే t = \(\frac{-5}{2}\)
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
⇒ \(\frac{x^2+1}{x}\) = –\(\frac{5}{2}\)
2x² + 2 = -5x
2x² + 5x + 2 = 0
= 2x² + 4x + x + 2 = 0
2x (x + 2) + (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) + (2x + 1) = 0
⇒ x = -2, (or) –\(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), -2, –\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 20.
(1 + x)n ద్విపద విస్తరణలో 4 వరుస పదాల గుణకాలు వరుసగా a₁, a₂, a₃, a₄ అయితే,
\(\frac{a_1}{a_1+a_2}\) + \(\frac{a_3}{a_3+a_4}\) = \(\frac{2 a_2}{a_2+a_3}\)
సాధన.
(1 + x)ⁿ ద్విపద విస్తరణలో 4 వరుస పదాల గుణకాలు a₁, a₂, a₃, a₄
Let a₁ = ⁿC_{r – 1}, a₂ = ⁿC_r, a₃ = ⁿC_{r + 1}
a₄ = ⁿC_{r + 2}

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ………, అయితే 9x² + 24x = 11 అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చిన x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.2}\) + ……..

⇒ 3x + 4 = 3√3
ఇరువైపుల వర్గం చేయగా
(3x + 4)² = (3√3)²
⇒ 9x² + 24x + 16 = 27
⇒ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి :

సాధన:
ఊహాత్మక మధ్యమం a = 25 మరియు h = 10

\(\bar{x}\) = (\(\frac{\Sigma f_1 d_i}{N}\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10
= 27
∴ మధ్యమం నుండి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{\mathrm{~N}}\)Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472)
= 9.44

ప్రశ్న 23.
మూడు పాత్రలు క్రింది విధంగా బంతులను కలిగి ఉన్నాయి..
పాత్ర I : 1 తెల్లనిది, 2 నల్లనివి
పాత్ర II : 2 తెల్లనివి, 1 నల్లనిది
పాత్ర III : 2 తెల్లనివి, 2 నల్లనివి
ఒక పాత్రను ‘యాదృచ్ఛికంగా ఎంపికచేసి దాని నుంచి ఒక బంతిని తీశారు. అది తెల్లనిదిగా గుర్తించారు. ఆ బంతి పాత్ర III నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
i పాత్రను ఎన్నుకొనే ఘటనను E_i (i = 1, 2, 3) తో సూచిస్తే అనే పాత్రను ఎన్నుకోవడానికి సంభావ్యత P(E_i)
ఇచ్చట P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\).
i పాత్ర నుండి తెల్లబంతి రావటం అనే ఘటనను P(W/E_i) తో సూచిస్తే దాని సంభావ్యత P(W/E_i) అవుతుంది.
ఇప్పుడు P(W/E₁) = \(\frac{1}{3}\)
P(W/E₂) = \(\frac{2}{3}\)
P(W/E₃) = \(\frac{2}{4}\)
తీసిన బంతి తెల్లనిది అయితే పౌత్ర (iii) నుండి రావటానికి సంభావ్యత (బెయిలీ సిద్ధాంతం నుండి)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైనది.

X = xi	P(X = xi)
1	k
2	2k
3	3k
4	4k
5	5k

k విలువను, X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
x యొక్క వ్యాప్తి = [1, 2, 3, 4, 5] \(\sum_{i=1}^5 P\left(X=x_i\right)=1\)
∴ P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
x అంకమధ్యమం µ = \(\sum_{r=1}^5 \text { r.p }\left(X=x_i\right)\)
= \(\sum_{r=1}^5 r(r k)\)
= 1.(k) + 2.(2k) + 3.(3k) + 4.(4k) + 5.(5k) = 55k
= 55 × \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి (σ²) = (1)². k + (2)² 2k + (3)² 3k + (4)² 4k + (5)² (5k) – μ²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – (\(\frac{11}{3}\))²
= 225 k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 × \(\frac{1}{15}\) – \(\frac{121}{9}\)