AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2016 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
Arg (\(\bar{z}_1\)), Arg (z₂) లు వరుసగా \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{\pi}{3}\) అయితే (Arg (z₁ + Arg z₂ ను కనుక్కోండి.
సాధన:
Arg (\(\bar{z}_1\)) = \(\frac{\pi}{5}\)
⇒ Arg z₁ = \(\frac{-\pi}{5}\)
Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
Arg z₁ + Arg z₂ = \(\frac{-\pi}{5}\) + \(\frac{\pi}{3}\)
= \(\frac{-3 \pi+5 \pi}{1.5}\)
= \(\frac{2 \pi}{15}\)

ప్రశ్న 2.
(√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) అయిన a² + b² = 4 అని చూపండి.
సాధన:
(√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib)

⇒ 2[cos \(\frac{2 \pi}{3}\) + i sin \(\frac{2 \pi}{3}\)] = a + ib
⇒ 2[\(\frac{-1}{2}\) + i \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)] = a + ib
⇒ -1 + i√3 = a + ib
⇒ a = -1
b = √3
∴ a² + b² = 1 + 3 = 4

ప్రశ్న 3.
A, B, C లు త్రిభుజములోని మూడు కోణములు.
x = cos A, y = cos B, z = cos C అయితే xyz విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజములోని మూడు కోణములు కావున
∴ A + B + C = 180°
x = cos A, y = cos B, z = cos C
= xyz (cos A) (cos B) (cos C)
= cos (A + B + C)
= cos (180°)
= cos 180° + i sin 180°
= – 1 + i(0)
= -1
∴ xyz = – 1

ప్రశ్న 4.
ax² + bx + c = 0 సమీకరణము మూలాలు α, β అయితే \(\frac{1}{\alpha^2}\) + \(\frac{1}{\beta^2}\) విలువను a, b, c లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
ax² + bx + c = 0 సమీకరణము మూలాలు α, β

ప్రశ్న 5.
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β లను కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 సమీకరణము మూలాలు α, β, 1
∴ α + β + 1 = \(\frac{-(-2)}{1}\) = 2
= α + β = 1 ______ (1)
α. β. 1 = \(\frac{-6}{1}\)
αβ = – 6
(α – β)² = (a + β)² – 4αβ
= 1 – 4(-6)
= 1 + 24
= 25
⇒ α – β = 5 ______ (2)
(1) + (2) ⇒ 2α = 6 ⇒ α = 3
(1) – (2) ⇒ 2β = -4 ⇒ β = -2
∴ α = 3 మరియు β = -2

ప్రశ్న 6.
ⁿP_r = 5040 మరియు ⁿC_r = 210 అయిన n, r విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన:
ⁿP_r = 5040 మరియు ⁿC_r = 210
\(\frac{{ }^n P_r}{{ }^n C_r}\) = \(\frac{5040}{210}\)
⇒ r! = 24
⇒ r! = 4!
⇒ r = 4
∴ ⁿP_r = 5040
⇒ n(n – 1) (n – 2) (n – 3) = 10.9.8.7
∴ n = 10

ప్రశ్న 7.
1080 కు ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన:
1080 = 2.540
= 2².270
= 2³.135
= 2³.3.45
= 2³.3².15
= 2³.3³.51
1080 కు ధన భాజకాల సంఖ్య = (3 + 1) (3 + 1) (1 + 1)
= 4.4.2
= 32

ప్రశ్న 8.
(1 + x)²² విస్తరణలో గరిష్ఠ ద్విపద గుణకము ²²C_r అయితే ¹³C_r విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చట n = 22
∴ గరిష్ఠ ద్విపద గుణకము = \({ }^n C_{\left(\frac{n}{2}\right)}\) = ²²C₁₁
∴ r = 11
¹³C_r = ¹³C₁₁
= ¹³C₂
= \(\frac{13.12}{2}\) = 78
∴ ¹³C_r = ¹³C₁₁ = 78

ప్రశ్న 9.
క్రింది దత్తాంశానికి మధ్యగతము నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశం
13, 17, 16, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17
ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ క్రమములో వ్రాయగా
10, 11, 11, 12, 13, 13, 16, 16, 17, 17, 18
∴ మధ్యగతము = 13
పరమమూల్య విలువలు = |13 – 10|, |13 – 11|, |13 – 11|, |13 – 12|, |13 – 13, |13 – 16|, |13 – 16|, |13 – 17|, |13 – 17|, |13- 18|
= 3, 2, 2, 1, 0, 0, 3, 3, 4, 5
మధ్యగతము నుంచి నుంచి మధ్యమ విచలనము
= \(\frac{3+2+2+1+0+0+3+3+4+5}{11}\)
= \(\frac{27}{11}\)
= 2.45

ప్రశ్న 10.
ఒక ద్విపద విభాజనం అంక మధ్యమం విస్తృతి వరుసగా 4, 3. ఆ విభాజనాన్ని సంధానించి, P(X ≥ 1) ని కనుక్కోండి.
సాధన:
n, p లు పరామితులుగా గల ద్విపద విభాజనము X అనుకొనుము.
అంక మధ్యమము np = 4 మరియు విస్తృతి npq = 3
\(\frac{\mathrm{nPq}}{\mathrm{nP}}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ q = \(\frac{3}{4}\)
p + q = 1 ⇒ p + \(\frac{3}{4}\) = 1
⇒ p = \(\frac{1}{4}\)
np = 4 ⇒ n(\(\frac{1}{4}\)) = 4 ⇒ n = 16
∴ n = 16, p = \(\frac{1}{4}\), q = \(\frac{3}{4}\)
p(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)
= 1 – ¹⁶C₀ p⁰ q^{16 – 0} {∵ p(X = r) = ⁿC_r p^r q^{n – r}}
= 1 – ¹⁶C₀ p⁰(\(\frac{1}{4}\))⁰ (\(\frac{3}{4}\))¹⁶
= 1 – (\(\frac{3}{4}\))¹⁶

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
x + iy = \(\frac{1}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\) అయిన 4x² – 1 = 0 అని చూపండి.
సాధన:

ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా
x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ x² = \(\frac{1}{4}\)
⇒ 4x² = 1
⇒ 4x² – 1 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
EAMCET పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే 6 అక్షరాల పదాలన్నింటినీ నిఘంటువు క్రమంలో అమరిస్తే, ఆ క్రమంలో EAMCET పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్త పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమం A, C, E, E, M, T
నిఘంటువులో ముందుగా A తో మొదలయ్యే పదాలన్నీ వస్తాయి. కనుక మొదటి స్థానాన్ని A తో నింపితే మిగిలిన 5 అక్షరాలను \(\frac{5!}{2!}\) విధాలుగా అమర్చవచ్చు. (ఈ 5 అక్షరాలలో 2E లు ఉన్నాయి కావున)
A ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
C ————— = \(\frac{5!}{2!}\) = 60
EAC ————— = 3! = .6
EAE ————— = 3! = 6
EAMCET ————— = 1
EAMCET పదం యొక్క కోటి = 60 + 60 + 6 + 6 + 1
= 133

ప్రశ్న 14.
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన:
³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\)
= ³⁴C₅ + ³⁸C₄ + ³⁷C₄ + ³⁶C₄ + ³⁵C₄ + ³⁴C₄
= (³⁴C₅ + ³⁴C₄) + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ +³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁵C₅ + ³⁵C₄ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= () ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_r
= ³⁶C₅ + ³⁶C₄ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁷C₅ + ³⁷C₄ + ³⁸C₄
= ³⁸C₅ + ³⁸C₄ = ³⁹C₅
∴ ³⁴C₅ + \(\sum_{r=0}^4 38-r C_4\) = ³⁹C₅

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x+2}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+1}\) అనుకొనుము.
= \(\frac{A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(x+2)}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\)
∴ x² – 3 = A(x² + 1) + (Bx + C) (x + 2) ………. (1)
x = -2 వ్రాయగా
4 – 3 = A(4 + 1)
⇒ 1 = 5A
⇒ A = \(\frac{1}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా x² పదాలను పోల్చగా,
1 = A + B ⇒ B = 1 – A
⇒ B = 1 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ B = \(\frac{4}{5}\)
(1) లో ఇరువైపులా స్థిర పదాలను పోల్చగా,
– 3 = A + 2C ⇒ 2C = – 3 – A
⇒ 2C = – 3 – \(\frac{1}{5}\)
⇒ 2C = \(\frac{-16}{5}\)
⇒ C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ A = \(\frac{1}{5}\) ,B = \(\frac{4}{5}\) మరియు C = \(\frac{-8}{5}\)
∴ \(\frac{x^2-3}{(x+2)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{1 / 5}{x+2}\) = \(\frac{\frac{4}{5} x-\frac{8}{5}}{x^2+1}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టును పొందే సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\), భవనం కాంట్రాక్టును
పొందే సంభావ్యత \(\frac{5}{9}\). కనీసం ఒక కాంట్రాక్టు అయిన పొందే సంభావ్యత \(\frac{4}{5}\).అతడు రెండు కాంట్రాక్టులను పొందే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక కాంట్రాక్టరు రోడ్డు కాంట్రాక్టును పొందే ఘటనను A అని మరియు భవనం కాంట్రాక్టుకు పొందే ఘటనను B అని అనుకొనుము.
∴ P(A) = \(\frac{2}{3}\) P(B) = \(\frac{5}{9}\) మరియు
P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)
సంభావ్యతల సంకలన సిద్ధాంతంననుసరించి
P(A ∪ B) = = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
= \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{5}{9}\) – \(\frac{4}{5}\)
= \(\frac{30+25-36}{45}\)
= \(\frac{19}{45}\)
∴ కాంట్రాక్టరు రెండు కాంట్రాక్టులను పొందే సంభావ్యత = \(\frac{19}{45}\)

ప్రశ్న 17.
75% సందర్భాలలో Aనిజం మాట్లాడుతాడు. 80% సందర్భాలలో నిజం మాట్లాడతాడు. ఒక ఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించడానికి సంభావ్యత
ఎంత ?
సాధన:
A, B లు ఒక ఘటన గురించి నిజము చెప్పే ఘటనను వరుసగా E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ P(\(E_1^c\)) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(E₂) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\) ⇒ P(\(E_2^c\)) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
ఒక ఘటన గురించి వారు చెప్పే విషయం పరస్పరం విభేదించే విధాలుగా ఘటనను E అనుకొనిన అవి రెండు విధాలుగా పరస్పరము వివర్జితాలై ఉంటాయి.
i) A నిజము చెప్పటం మరియు B అబద్ధం చెప్పటం
ii) A అబద్ధం చెప్పటం మరియు B నిజం చెప్పటం
∴ P(E) = P(E₁ ∩ \(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\) ∩ E₂)
= P(E₁). P(\(E_2^c\)) + P(\(E_1^c\)). P(E₂)
= (\(\frac{3}{4}\))(\(\frac{1}{5}\)) + (\(\frac{1}{4}\))(\(\frac{4}{5}\))
= \(\frac{3}{20}\) + \(\frac{4}{20}\)
= \(\frac{7}{20}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
cos α + cos β + cos γ = 0 = sin α + sin β + sin γ అయిన cos² α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\)
= sin² α + sin² β + sin² γ అని చూపండి.
సాధన:
a = cos α + i sin α
b = cos β + i sin β
c = cos γ + i sin γ అనుకొనుము
a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
= (cos β + cos β + cos γ) + i (sin β + sin β + sin γ)
= 0 + i (0)
⇒ a + b + c = 0
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = \(\frac{1}{\cos \alpha+i \sin \alpha}\) + \(\frac{1}{\cos \beta+i \sin \beta}\) + \(\frac{1}{\cos \gamma+i \sin \gamma}\)
\(\frac{b c+c a+a b}{a b c}\) =
= cos α – i sin α + cos β – i sin β + cos γ – i sin γ
= (cos α + cos β + cos γ) i (sin α + sin β + sin γ)
= 0 – i (0) = 0
⇒ ab + bc + ca = 0
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 0 = a² + b² + c² + 2(0)
⇒ a² + b² + c² = 0
⇒ (cos α + i sin α)² + (cos β + i sin β)² + (cos γ + i sin γ)² = 0
⇒ cos 2α + i sin 2α + cos 2β + i sin 2β + cos 2γ + i sin 2γ = 0
⇒ (cos 2α + cos 2β + cos 2γ) + i (sin 2α + sin 2β + sin 2γ) = 0
ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను పోల్చగా.
cos 2α + cos 2β + 2cos γ = 0
⇒ 1 – 2 sin²α + 1 – 2 sin² β + 1 – 2 sin²γ = 0
⇒ 3 = 2 (sin²α + sin² β + sin²γ)
⇒ sin²α + sin² β + sin²γ = \(\frac{3}{2}\)
మరలా cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0
⇒ 2cos²α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1 = 0
⇒ 2(cos²a + cos²β + 2 cos²γ) = 3
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = \(\frac{3}{2}\)
∴ cos²α + cos² β + cos²γ = \(\frac{3}{2}\) = sin²α + sin² β + sin²γ

ప్రశ్న 19.
2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0 ను సాధించండి.
సాధన:
2x⁵ + x⁴ – 12x³ – 12x² + x + 2 = 0
దత్త సమీకరణం మొదట కోవకు చెందిన బేసి తరగతి వ్యుత్రమ సమీకరణం
∴ -1 ఒక మూలం.

∴ దత్త సమీకరణానికి x + 1 ఒక కారణాంకం.
2x⁴ – x³ – 11x² – x + 2 = 0
∴ 2x² – x – 11 – \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{2}{x^2}\) = 0
⇒ 2(x² + \(\frac{1}{x^2}\)) – (x + \(\frac{1}{x}\)) – 11 = 0
x + \(\frac{1}{x}\) = t అనుకొనుము.
అప్పుడు x² + \(\frac{1}{x^2}\) = t² – 2
∴ 2 (t² – 2) – t – 11 = 0
⇒ 2t² – 4 – t – 11 = 0
⇒ 2t² – 1 – 15 = 0
⇒ 2t² – 6t + 5t – 15 = 0
⇒ 2t²(t – 3) + 5 (t – 3) = 0
⇒ (t – 3) + (2t + 5) = 0
⇒ t = 3 (లేదా) -5/2
t = 3 అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = 3
⇒ x² + 1 = 3x
⇒ x² – 3x + 1 = 0
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{9-4.1 .1}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{9-5}}{2}\)
= \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
t = \(\frac{-5}{2}\) అయిన
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
2x² + 2 = -5x
2x² + 5x + 2 = 0
2x² + 4x + x + 2 = 0
2x (x + 2) + (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0
⇒ x = -2, –\(\frac{1}{2}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు -1, \(\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\), -2, –\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 20.
(x + a)ⁿ ద్విపద విస్తరణలో బేసి పదాల మొత్తం P, సరిపదాల మొత్తం Q అయితే
i) p² – Q² =(x² – a²)ⁿ
ii) 4 PQ = (x + a)²ⁿ – (x – a)²ⁿ అని చూపండి.
సాధన:

i) p² – Q² = (P + Q) (P – Q)
= (x + a)ⁿ. (x – a)ⁿ
= [(x + a). (x – a)]ⁿ
= (x² – a²)ⁿ
∴ p² – Q² = (x² – a²)ⁿ

ii) 4PQ = (P + Q)² (P – Q)²
= [(x + aⁿ)]² – [(x – aⁿ)]²
= (x + a)²ⁿ. (x – a)²ⁿ
∴ 4PQ = (x + a)²ⁿ – (x – a)²ⁿ

ప్రశ్న 21.
క్రింది అనంతశ్రేణి మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
\(\frac{7}{5}\) (1 + \(\frac{1}{10^2}+\frac{1.3}{1.2} \cdot \frac{1}{10^4}+\frac{1.3 .5}{1.2 .3} \cdot \frac{1}{10^6}\) + ……..)
సాధన:

⇒ \(\frac{7}{5}\) . s = √2
⇒ \(\frac{7}{5}\) [1 + \(\frac{1}{10^2}+\frac{1.3}{1.2} \cdot \frac{1}{10^4}+\frac{1.3 .5}{1.2.3} \cdot \frac{1}{10^6}\) + ……..] = √2

ప్రశ్న 22.
క్రింది దత్తాంశానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము a = 25 మరియు h = 10
పట్టికను నిర్మిద్దాం.

N = Σf_i = 50, Σf_id_i = 10 Σf_id_i|x_i – \(\bar{x}\)| = 472
∴ అంకమధ్యమము \(\bar{x}\) = (\(\))h
= 25 + (\(\frac{10}{50}\))10 = 27
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{50}\)(472) = 9.44

ప్రశ్న 23.
I, II, III అంకెలను కలిగిన మూడు పెట్టెలలో క్రింది విధంగా బంతులు ఉన్నాయి.

ఒక పెట్టెను యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసి, దాని నుంచి ఒక బంతిని తీశారు. అది ఎర్రనిది అయితే, అది పెట్టె II నుంచి తీయగల సంభావ్యతను కనుగొనుము.
సాధన:
I, II, III అంకెలను కలిగిన పెట్టెలను ఎన్నుకొనే ఘటనలు వరుసగా B₁, B₂, B₃
అనుకొనుము.
∴ P(B₁) = P(B₂) = P(B₃) = \(\frac{1}{3}\)
P(\(\frac{R}{B_1}\)) = ఎన్నుకొన్న మొదటి పెట్టె నుండి ఎర్రబంతి కావడానికి సంభావ్యత
= \(\frac{3}{6}\)
P(\(\frac{R}{B_2}\)) = ఎన్నుకొన్న రెండవ పెట్టె నుండి ఎర్రబంతి కావడానికి సంభావ్యత
= \(\frac{1}{4}\)