AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2015 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
\(\frac{5 i}{7+i}\) సంకీర్ణ సంఖ్యకు సంయుగ్మం వ్రాయండి.
సాధన:
Z = \(\frac{5 i}{7+i}\) అనుకొనుము

ప్రశ్న 2.
1 – i ను మాప-ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
1 – i = √2[\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – i\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)]
= √2 [\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + i\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)]
= √2[cos(\(\frac{-\pi}{4}\) + i sin \(\frac{-\pi}{4}\))
= √2cis(\(\frac{-\pi}{4}\))

ప్రశ్న 3.
A, B, C లు త్రిభుజంలోని కోణాలు x = cis A, y = cis B, z = cis C, అయితే xyz విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు త్రిభుజంలోని కోణాలు కావున
∴ A + B + C = 180°
xyz = (cis A) (cis B) (cis C)
cis (A + B + C)
= cis 180°
= cos 180° + i sin(180°)
= -1 + i(0)
∴ xyz = -1

ప్రశ్న 4.
ఏయే x, విలువలకు 15 + 4x – 3x² సమాసం రుణాత్మకం అగును ?
సాధన:
15 + 4x – 3x² < 0
⇒ 3x² – 4x – 15 > 0
⇒ 3x² – 9x + 5x – 15 > 0
⇒ 3x(x – 3) + 5(x – 3) > 0
⇒ (3x + 5) (x – 3) > 0
⇒ x < \(\frac{-5}{3}\) (లేదా) x > 3

ప్రశ్న 5.
x⁴ + 5x³ + 11x + 3 = 0 సమీకరణం మూలాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగిన సంఖ్యలు మూలాలుగా గల రూపాంతర సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ + 5x³ + 11x + 3 అనుకొనుము.
f(x) = 0 సమీకరణం మూలాలకు వ్యతిరేక గుర్తులు కలిగిన సంఖ్యలు మూలాలుగా గల రూపాంతర సమీకరణము f(-x) = 0
⇒ (-x)⁴ + 5(-x)³ + 11(-x) + 3 = 0
⇒ x⁴ – 5x³ – 11x + 3 = 0

ప్రశ్న 6.
PISTON పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి కనీసం ఒక అక్షరమైనా పునరావృతం అయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
PISTON పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఏర్పరచగల 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య 6₄
PISTON పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఒక అక్షరం కూడా పునరా కాకుండా ఏర్పరచగల 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య ⁶P₄.
∴ PISTON పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించి కనీసం ఒక అక్షరమైన పునరావృతం అయ్యే 4 అక్షరాల పదాల సంఖ్య 6₄ – ⁶P₄.

ప్రశ్న 7.
10. ⁿC₂ = 3. ^{(n + 1)}C₃ అయితే n కనుక్కోండి.
సాధన:
10. ⁿC₂ = 3. ^{(n + 1)}C₃
⇒ 10.\(\frac{n(n-1)}{2 i}\) = 3.\(\frac{(n+1) n(n-1)}{3!}\)
⇒ 10.\(\frac{n(n-1)}{2}\) = 3.\(\frac{(n+1) n(n-1)}{6}\)
⇒ 10 = n + 1
⇒ n = 9

ప్రశ్న 8.
C₀ + 2. C₁ + 4. C₂ + 8. C₃ + ……. + 2ⁿ. C_n = 3ⁿ అని చూపండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ + ⁿC₁ . x +
ⁿC₂ . x² + ……. + ⁿC_n . xⁿ అని తెలియ
n = 2 వ్రాయగా
(1 + 2)ⁿ = C₀ + C₁.2 + C₂.2² + …… C_n.2ⁿ
∴ C₀ + 2.C₁ + 4.C₂ + …… + 2ⁿ.C_n = 3ⁿ

ప్రశ్న 9.
ఆవర్గీకృత దత్తాంశం 5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10 కు విస్తృతి కనుక్కోండి.
సాధన:
ఆవర్గీకృత దత్తాంశం 5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10
అంక మధ్యమము \(\bar{x}\) = \(\frac{5+12+3+18+6+8+2+10}{8}\)
= \(\frac{64}{8}\)
= 8
విస్తృతి σ² = \(\frac{1}{8}\) [(5 – 8) + (12 – 8) + (3 – 8)² + (18 – 8)² + (6 – 8)² +(8 – 8)² + (2 – 8)² + (10 – 8)²]
= \(\frac{1}{8}\) [9 + 16 + 25 + 100 + 4 + 0 + 36 + 4]
= \(\frac{1}{8}\) [194]
= 24.25

ప్రశ్న 10.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమ చేతివాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1; 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ద్విపద విభాజనము x లో పరామితులు n మరియు p.
ఇచ్చట n = 10 మరియు p = 0.1 = \(\frac{1}{10}\)
⇒ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఏడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత
p(x = 1) = 10c¹ p¹ q^{10 – 1}
= 10.(0.1)¹ (0.9)⁹
= (0.9)⁹

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
-27 + 7i, –\(\frac{3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో సమచతుర్భుజి (రాంబస్) శీర్షాలను సూచిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
ఆర్గాండ్ తలంలో బిందువులు A, B, C, D అనుకొనుము.

ఇచ్చట AB = BC = CD = DA మరియు AC ≠ BD
∴ ABCD సమచతుర్భుజిని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) విలువ 1, 4 ల మధ్య ఉండదని నిరూపించండి.
సాధన:
y = \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\) అనుకొనుము
= \(\frac{x+1+3 x+1-1}{(3 x+1)(x+1)}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+3 x+x+1}\)
= \(\frac{4 x+1}{3 x^2+4 x+1}\)
⇒ 3yx² + 4yx + y = 4x + 1
⇒ 3yx² + (4y – 4)x + (y – 1) = 0
x ∈ R ⇒ (4y – 4)² – 4(3y) (y – 1) ≥ 0
⇒ 16y² – 32y + 16 – 12y² + 12y ≥ 0
⇒ 4y² – 20y + 16 ≥ 0
⇒ y² – 5y – 4 ≥ 0
⇒ (y – 1) (y – 4) ≥ 0
⇒ y ≥ 1 (లేదా) y ≥ 4
∴ \(\frac{1}{3 x+1}\) + \(\frac{1}{x+1}\) – \(\frac{1}{(3 x+1)(x+1)}\)
విలువ 1,4 ల మధ్య ఉండదు.

ప్రశ్న 13.
MASTER పదంలోని అక్షరాలలో ఏర్పడే అక్షరాల పదాలన్నింటిని నిఘంటువు క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో MASTER పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
REMAST పదంలోని అక్షరాల నిఘంటువు క్రమంలో వ్రాయగా A, E, M, R, S, T
A తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
E తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 5! = 120
MAE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MAR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 3! = 6
MASE తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
MASR తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య 2! = 2
తర్వాత పదం MASTER = 1
∴ MASTER పదం యొక్క కోటి = 120 + 120 +6 +6 + 2 + 2 + 1
= 257

ప్రశ్న 14.
\(\frac{{ }^{4 n} C_{2 n}}{{ }^{2 n} C_n}\) = \(\frac{1.3 .5 \ldots \ldots .(4 n-1)}{\{1.3 .5 \ldots \ldots(2 n-1)\}^2}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{A}{(x-1)}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+2}\) అనుకొనుము.
= \(\frac{A\left(x^2+2\right)+(B x+C)(x-1)}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\)
∴ 2x² + 3x + 4 = A(x² + 2) + (Bx + C) (x – 1) _______ (1)
x = 1 వ్రాయగా
∴ 2 + 3 + 4 = A(1 + 2)
3A = 9 ⇒ A = 3
(1) లో ఇరువైపులా x, x² పదాలను పోల్చగా
2 = A + B ⇒ 2 = 3 + B
⇒ B = -1
3 = -B + C ⇒ 3 = 1 + C
⇒ C = 2
∴ \(\frac{2 x^2+3 x+4}{(x-1)\left(x^2+2\right)}\) = \(\frac{3}{x-1}\) + \(\frac{2-x}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
A, B, C లు మూడు ఘటనలైతే
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
సాధన:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B ∪ C) – P{A ∩ (B ∪ C)}
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – P{(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)}
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – {P(A ∩ B) + P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ A ∩ C)}
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B ∩ C) – P(A ∩ B)- P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
∴ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P (B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C).

ప్రశ్న 17.
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, B లకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే సంభావ్యతలు వరసగా \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) వారిద్దరూ స్వతంత్రంగా సమస్యగా సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తే ఆ సమస్యను సాధించగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
కలన గణితంలోని ఒక సమస్యను ఇద్దరు విద్యార్థులు A, B లకు ఇస్తే వారు సమస్యను సాధించే ఘటనలను E₁, E₂ అనుకొనుము.
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{3}\) మరియు P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁ ∩ E₂)
E₁, E₂ స్వతంత్ర ఘటనలు కావున
= P(E₁) + P(E₂) – P(E₁) . P(E₂)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{3}\) . \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{4+3-1}{12}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే
(1 + i)ⁿ + (1 – i)ⁿ = \(2^{\frac{n+2}{2}}\) cos(\(\frac{n \pi}{4}\))
సాధన:

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 4x² + 8x + 35 = 0, సమీకరణం ఒక మూలం 2 + i√3 అయితే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
దత్తసమీకరణంనకు ఒక మూలం 2 + i√3 కావున
∴ 2 – i√3 కూడా దత్త సమీకరణానికి మూలము అగును.
2 ± i√3 లు మూలాలుగా గల సమీకరణం
x – [2 + i√3 + 2 – i√3] x + (2 + i√3) (2 – i√3) = 0
⇒ x² – 4x + (4 + 3) = 0
⇒ x² – 4x + 7 = 0
∴ x² – 4x + 7 x⁴ – 4x² + 8x + 35 = 0 సమీకరణంనకు ఒక కారణాంకం

x² + 4x + 5 = 0
⇒ x = \(\frac{-4 \pm \sqrt{16-4.1 .5}}{2}\)
= \(\frac{-4 \pm 2 i}{2}\)
= -2 ± 2i
∴ దత్త సమీకరణానికి మూలాలు 2 + i√3, -2 ± i.

ప్రశ్న 20.
(1 + x)ⁿ విస్తరణలోr, (r + 1), (r + 2) పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే n² – (4r + 1)n + 4r² – 2 = 0 అని చూపండి.
సాధన:


⇒ (n – r) (n – r + 1) = (r + 1) (2n – 3r + 2)
⇒ n² – nr + n – nr + r² – r = 2nr – 3r² + 2r + 2n – 3r + 2
⇒ n² – 4nr + 4r² – n – 2 = 0
⇒ n² – (4r + 1) n + 4r² – 2 = 0

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1.3}{3.6}\) + \(\frac{1.3.5}{3.6.9}\) + \(\frac{1.3.5.7}{3.6.9.12}\) + ………, అయితే 9x² + 24x = 11అని చూపండి.
సాధన:


⇒ 9x² + 24x + 16 = 27
⇒ 9x² + 24x = 11

ప్రశ్న 22.
క్రింద ఇచ్చిన అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి, మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనఁ కనుక్కోండి.

సాధన:

ఇచ్చట Σf_ix_i = 7100 మరియు Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)| = 1040
ఇచ్చట N = Σf_i = 100 మరియు \(\bar{x}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}\) = \(\frac{7100}{100}\) = 71
మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\) Σf_i |x_i – \(\bar{x}\)|
= \(\frac{1}{100}\)(1040)
= 10.4

ప్రశ్న 23.
బేయీ సిద్ధాంతమును ప్రవచించి, నిరూపించండి.
సాధన:
బేయీ సిద్ధాంతము : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో E₁, E₂, …………, E_nలు n పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణఘటనలు P(E_i) ≠ 0, i = 1, 2, 3, ……….., n అనుకొనుము. అపుడు P(A) ≠ 0 అయ్యే ఏదైనా ఘటన A కు

ఉపపత్తి : P(E_i) > 0, i = 1, 2, ……., n
దత్తాంశము నుండి i ≠ j, E_i ∩ E_j = మరియు \(\bigcup_{i=1}^n E_i=S\) = S
ఏదైన ఘటన A కు A ≤ S కావున
A = A ∩ S = A ∩ (\(\bigcup_{i=1}^n E_i\))
= \(\bigcup_{i=1}^n\left(A \cap E_i\right)\)
i ≠ j, (A ∩ E_i) ∩ (A ∩ E_j) = A ∩ (E_i ∩ E_j)
= A ∩ Φ = Φ
నియత సంఖ్యావ్యత ననుసరించి

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X వ్యాప్తి {0, 1, 2}.
P(X = 0) = 3C³, P(X = 1) = 4C – 10C², P(X = 2) = 5C అయినప్పుడు
i) C విలువ
ii) P(X < 1)
iii) P(1 < X ≤ 2) మరియు P(0 ≤ X ≤ 3) లను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = 0) = 3C³
P(X = 1) = 4C – 10C²
P(x = 2) 5C – 1
యాదృచ్ఛిక చలరాశి × వ్యాప్తి {0, 1, 2}
∴ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
⇒ 3C³ + 4C – 10C² + 5C-1 = 1
⇒ 3C³ – 10C² + 9C – 2 = 0

⇒ (C – 1) (C – 2) (3C – 1) = 0
⇒ C = 1, C = 2, C = \(\frac{1}{3}\)
C = 1 అయిన
P(X = 0) = 3 ఇది అసంభవం
C = 2 అయిన
P (X = 0) = 3.2³ = 24 ఇది అసంభం

i) C = \(\frac{1}{3}\)

ii) P(X < 1) = P(X = 0)
= 3C³
= 3(\(\frac{1}{3}\))³
= 3(\(\frac{1}{27}\))
= \(\frac{1}{9}\)

iii) P(1 < X ≤ 2) = P(X = 2)
= 5C – 1
= 5\(\frac{1}{3}\) – 1
= \(\frac{2}{3}\)
P(0 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= 4C – 10C² + 5C – 1
= 9C – 10C² – 1
= 9(\(\frac{1}{3}\)) – 10(\(\frac{1}{9}\)) – 1
= \(\frac{27-10-9}{9}\) = \(\frac{8}{9}\)