AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2014 in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers and AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2014 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Question Paper March 2014 in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

Section – A 10 × 2 = 20

I. అతిస్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానములు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24 i కి వర్గమూలంను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
1 + i√3 అనే సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప- ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
1 + i√3 = r (cos θ + i sin θ) అనుకొనుము.
ఇరువైపులా వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
r cos θ = 1 మరియు r sin θ = √3
వర్గము చేసి కలుపగా
r² (cos²θ + sin²θ) = 1 + 3
r² = 4 ⇒ r = 2
∴ cos θ = \(\frac{1}{2}\) మరియు sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
θ మొదట పాదంలోని కోణం
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ 1 + i√3 = 2 cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin \(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 3.
x = cis θ అయితే (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\)) విలువ కనుక్కోండి.
x = cis θ ⇒ x = cos θ + i sin θ
⇒ x⁶ = (cos θ + i sin θ)⁶ = cos 6θ + i sin 6θ
\(\frac{1}{x^6}\) = \(\frac{1}{\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta}\) = cos 6θ – i sin 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = cos 6θ + i sin 6θ + cons 6θ – i sin 6θ
= 2 cos 6θ
∴ x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = 2 cos 6θ

ప్రశ్న 4.
2x – 7 – 5x² సమాస గరిష్ఠ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమాసము -5x² + 2x – 7
ఇచ్చట a = -5, b = 2, c = -7
a = -5 < 0
∴ గరిష్ఠ విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4(-5)(-7)-2^2}{4(-5)}\) = \(\frac{140-4}{-20}\)
= \(\frac{-136}{20}\) = \(\frac{-34}{5}\)

ప్రశ్న 5.
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 మూలాలు -1, 2, α అయితే α ను కనుక్కోండి.
సాధన:
2x³ + x² – 7x – 6 = 0 సమీకరణానికి మూలాలు -1, 2, α
⇒ S₁ = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ -1 + 2 + α = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ α = \(\frac{-1}{2}\) -1
⇒ α = \(\frac{-3}{2}\)

ప్రశ్న 6.
ⁿP₄ = 1680 అయితే ‘n’ విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది ⁿP₄ = 1680

ప్రశ్న 7.
¹⁵C_{2r – 1} = ¹⁵C_{2r + 4} అయితే విలువ కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది ¹⁵C_{2r – 1} = ¹⁵C_{2r + 4}
15 = 2r – 1 + 2r + 4
⇒ 12 = 4r
⇒ r = 3
⇒ 2r – 1 = 2r + 4 (లేదా)
2r – 1 = 2r + 4 ⇒ -1 = 4 ఇది అసంభవము
∴ r = 3

ప్రశ్న 8.
(2x + 3y + z)⁷ ద్విపద విస్తరణలో పదాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
n ధనపూర్ణాంకం అయితే (a + b + c)ⁿ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య = \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
∴ (2x + 3y + z)⁷ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య = \(\frac{(7+1)(7+2)}{2}\) = 36

ప్రశ్న 9.
వర్గీకృత దత్తాంశం : 6, 7, 10, 12, 13, 4, 12, 16 నకు మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన దత్తాంశము యొక్క అంకమధ్యమము
\(\bar{x}\) = \(\frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8}\)
= \(\frac{80}{8}\)
= 10
పరమమూల్య విచలనాలు = |x_i – \(\bar{x}\)|
= 10 – 6, 10 – 7, 10 – 10, |10 – 12|, |10 – 13|, 10 – 4, |10 – 12|, |10 – 16|
= 4, 3, 0, 2, 3, 6, 2, 6
∴ ఇచ్చిన దత్తాంశానికి మధ్యమ విచలనము = \(\sum_{i=1}^8 \frac{\left|x_i-\bar{x}\right|}{8}\)
= \(\frac{4+3+0+2+3+6+2+6}{8}\)
= 3.25

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తి పరుస్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = r) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}\), λ > 0
ఇచ్చిన P(X = 1) = P(X = 2)
⇒ \(\frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \cdot \lambda}{1!}\) = \(\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!}\)
⇒ \(\frac{\lambda}{1}=\frac{\lambda^2}{2}\)
λ² = 2λ
λ² – 2λ = 0
λ (λ – 2) = 0 > కావున
∴ λ = 2
P(X = 5) = \(\frac{e^{-2} \cdot 2^5}{5!}\)
= \(\frac{32}{120 \mathrm{e}^2}\)
= \(\frac{4}{15 \mathrm{e}^2}\)

Section – B 5 × 4 = 20

II. స్వల్ప సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
ఆర్గాండ్ తలంలో P సూచించే బిందువు Z అయి, z = x + iy అయితే |z – 3 + i| = 4 సమీకరణాన్ని తృప్తిపరిచే z బిందుపథాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చినది z = x + iy
|z – 3 + i| = 4
|x + iy – 3 + i| = 4
⇒ |(x – 3) + i (y + 1) | = 4
⇒ \(\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}\) = 4
⇒(x – 3)² + (y + 1)² = 16
⇒ x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 = 16
⇒ x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0
∴ z యొక్క బిందుపధము x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0

ప్రశ్న 12.
x వాస్తవ సంఖ్య అయితే \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{1}{11}\), 1 ల మధ్య ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన:
\(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) = y అనుకొనుము.
⇒ yx² – 5xy + 9y = x
⇒ yx² + (- 5y – 1) x + 9y = 0
x ∈ R ⇒ (- 5y – 1)² – 4. y. 9y ≥ 0
⇒ 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ 11y² – 10y – 1 ≤ 0
⇒ 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y (y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (11y + 1) (y – 1) ≤ 0
⇒ \(\frac{-1}{11}\) ≤ y ≤ 1
∴ \(\frac{x}{x^2-5 x+9}\) విలువ –\(\frac{-}{11}\) మరియు 1 ల మధ్య ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
PRISON పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే అక్షరాల పదాలన్నింటిని నిఘంటువులోని క్రమంలో అమరిస్తే ఆ క్రమంలో PRISON పదం యొక్క కోటిని కనుక్కోండి.
సాధన:
PRISON పదంలోని నిఘంటువు క్రమం
I, N, O, P, R, S
I తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
N తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
O తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 5!
P I తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 4!
P N తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 4!
P O తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 4!
P R I N తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
P R I O తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 2!
P R I S N తో మొదలయ్యే పదాల సంఖ్య = 1!
తర్వాత పదం PRISON = 1
∴ P R I S O N అనే పదం కోటి
= 3 (5!) + 3(4!) + 2 (2!) + 1! + 1
= 3 (120) + 3 (24) + 2 (2) + 1 + 1
= 360 + 72 + 4 + 1 + 1
= 438

ప్రశ్న 14.
ఏడుగురు బాట్స్మెన్, ఆరుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్ల నుంచి కనీసం నలుగురు బౌలర్లు, ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు ఉండేలా 11 మంది ఆటగాళ్ళతో క్రికెట్ టీమును ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు ?
సాధన:
కావలసిన క్రికెట్ టీము కొరకు ఈ క్రింద చూపిన విధాలుగా ఎన్నుకొనవచ్చును.

బౌలర్లు (6)	వికెట్ కీపర్లు (2)	బ్యాట్స్మెన్ (7)	క్రికెట్ టీమ్ను ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య
4	2	5	6C4 × 2C2 × 7C5 = 15.1.21 = 315
5	2	4	6C5 × 2C2 × 7C4 = 6.1.35 = 210
6	2	3	6C6 × 2C2 × 7C3 = 1.1.35 = 35

∴ కనీసము ఇద్దరు వికెట్ కీపర్లు మరియు 4గురు బౌలర్లు ఉండే విధంగా క్రికెట్ టీమును ఎన్నుకోగల విధానాల సంఖ్య = 315 + 210 + 35
= 560

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x+4}{\left(x^2-4\right)(x+1)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x+4}{(x+2)(x-2)(x+1)}\) = \(\frac{A}{x+2}\) = \(\frac{B}{x-2}\) + \(\frac{C}{x+1}\) అనుకొనుము.
= \(\frac{A(x-2)(x+1)+B(x+2)(x+1)+C(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}\)
∴ (x + 4) = A (x – 2) (x + 1) + B (x + 2) (x + 1) + C (x + 2) (x – 2) _____ (1)
(1) లో x = -2 వ్రాయగా
– 2 + 4 = A (- 2 – 2) (- 2 + 1)
2 = 4 A
⇒ A = \(\frac{1}{2}\)

(1) లో x = 2 వ్రాయగా
2 + 4 = B (2 + 2) (2 + 1)
6 = 12 B
⇒ B = \(\frac{1}{2}\)

(1) లో 5 x = −1 (@on
– 1 + 4 = C(- 1 + 2) (-1 -2)
3 = -3C
⇒ C = -1
∴ \(\frac{x+4}{\left(x^2-4\right)(x+1)}\) = \(\frac{1}{2(x+2)}\) + \(\frac{1}{2(x-2)}\) – \(\frac{1}{x+1}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక పరుగు పందెంలో A, B, C మూడు గుర్రాలు. A పందెం గెలిచే సంభావ్యత B గెలుపు సంభావ్యతకు రెట్టింపు. B పందెం గెలిచే సంభావ్యత C గెలుపు ‘ సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయితే A, B, C లు ఆ పందెం గెలువగల సంభావ్యతలేవి ?
సాధన:
A, B, Cగుర్రాలు పరుగుపందెంలో గెలిచే ఘటనలను వరుసగా A, B, C అనుకొనుము. ఇచ్చిన దత్తాంశము ప్రకారము P(A) = 2 P(B), P(B) = 2P(C)
∴ P(A) = 2 P(B)
= 2 [2 P(C)]
= 4 P(C)

A, B, C గుర్రాలు పరుగుపందెంలో పాల్గొంటున్నాయి. కావున
∴ A ∪ B ∪ C = S మరియు A, B, C పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు :
∴ P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
P (S) = 4 P(C) + 2 P(C) + P(C)
1 = 7 P(C)
∴ P(C) = \(\frac{1}{7}\)
P(A) = 4 P(C) = 4 (\(\frac{1}{7}\)) = \(\frac{4}{7}\)
P(B) = 2 P(C) = 2 (\(\frac{1}{7}\)) = \(\frac{2}{7}\)
∴ P(A) = \(\frac{4}{7}\) P(B) = \(\frac{2}{7}\) మరియు P(C) = \(\frac{1}{7}\).

ప్రశ్న 17.
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 తో A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు అయితే అపుడు
(i) P(A ∩ B),
(ii) P(A ∪ B),
(iii) P(\(\frac{B}{A}\))
(iv) P(A^c ∩ B^c) లను కనుక్కోండి.
(iv) P (A^c ∩ B^c)
సాధన:
A, B లు స్వతంత్ర ఘటనలు మరియు
P(A) = 0.6, P(B) = 0.7

i) P (A ∩ B) = P(A). P(B) = (0.6) (0.7) = 0.42

ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.6 + 0.7 – 0.42
= 1.3 – 0.42
= 0.88

iii) P(\(\frac{B}{A}\)) = P(B) = 0.7

iv) P (A^c ∩ B^c) = P(A^c) P(B^c)
= [1 – P (A)] [1 – P (B)]
= [1 – 0.6] [1 – 0.7]
= [0.4] [0.3]
= 0.12

Section – C 5 × 7 = 35

III. దీర్ఘ సమాధాన తరహా ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x² – 2x + 4 = 0 సమీకరణ మూలాలు α, β లు అయితే n ∈ N కు αⁿ + βⁿ
= 2^{n + 1} cos(\(\frac{n \pi}{3}\)) అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చినది x² – 2x + 4 = 0
⇒ x = \(\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4.1 .4}}{2.1}\)
= \(\frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2}\)
= \(\frac{2 \pm \sqrt{12 i^2}}{2}\) = \(\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}\)
= 1 ± i√3
α = 1 + i√3 మరియు β = 1 – i√3 అనుకొనుము.
α = 1 + i√√3
= -2 (\(\frac{1}{2}\) – i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = 2(cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\)

ప్రశ్న 19.
4x³ – 24x² + 23x + 18 = 0 సమీకరణం మూలాలు అంకశ్రేణిలో ఉంటే సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు a – d, a, a + d అనుకొనుము.
4x³ – 24x² + 23x + 18 = 0
∴ S₁ = \(\frac{-(-24)}{4}\)
⇒ a – d + a + a + d = 6
⇒ 3a = 6
⇒ a = 2
S₃ = \(\frac{-18}{4}\)
⇒ (a – d) a (a + d) = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ (2 – d) 2 (2 + d) = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ 4 – d² = \(\frac{-9}{4}\)
⇒ d² = 4 + \(\frac{9}{4}\)
⇒ d² = \(\frac{16+9}{4}\)
⇒ d² = \(\frac{25}{4}\)
⇒ d = ± \(\frac{5}{2}\)
d = \(\frac{5}{2}\) అయితే a – d = 2 – \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
a + d = 2 + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
d = \(\frac{-5}{2}\) అయితే a – d = 2 – (\(\frac{-5}{2}\)) = 2 + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
a + d = 2 + (\(\frac{-5}{2}\)) = 2 – \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{-1}{2}\)
∴ ఇచ్చిన సమీకరణానికి మూలాలు \(\frac{-1}{2}\), 2, \(\frac{9}{2}\)

ప్రశ్న 20.
n ఒక ధన పూర్ణాంకం, x ఒక శూన్యేతర సంఖ్య అయితే, C₀ + C₁.\(\frac{x}{2}\) + C2. \(\frac{x^2}{3}\) + C3. \(\frac{x^3}{4}\) + …… + Cn. \(\frac{x^n}{n+1}\) = \(\frac{(1+x)^{n+1}-1}{(n+1) x}\) నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
x = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1.3}{5.10}\) + \(\frac{1.3.5}{5.10.15}\) …. ∞ అయితే 3x² + 6x = 2 అని చూపండి.
సాధన:

∴ (1 + x)² = \(\frac{5}{3}\)
1 + 2x + x² = \(\frac{5}{3}\)
⇒ 3x² + 6x + 3 = 5
⇒ 3x² + 6x = 2

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభాజనానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుక్కోండి.

సాధన:
ఊహాత్మక అంకమధ్యమము A = 65 మరియు h = 10 పట్టికను నిర్మిద్దాం

ప్రశ్న 23.
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతాన్ని వ్రాసి, నిరూపించుము.
సాధన:
సంభావ్యతకు సంకలన సిద్ధాంతము :
ప్రవచనము : ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని రెండు ఘటనలు E₁, E₂ మరియు సంభావ్యతా ప్రమేయం P అయితే
P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ఉపపత్తి :

సందర్భము (i) : E₁ ∩ E₂ = Φ అనుకొనిన
అపుడు P (E₁ ∩ E₂) = 0

సంకలన స్వీకృతము నుండి
P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁) + P (E₂)
= P (E₁) + P(E₂) – 0
= P (E₁) + P (E₂) – P(E₁ ∩ E₂)

సందర్భము (ii) : E₁ ∩ E₂ ≠ Φ అనుకొనిన
అపుడు E₁ ∪ E₂ = E₁ ∪ (E₂ – E₁) మరియు
E₁ ∩ (E₂ – E₁) = Φ
∴ P (E₁ ∪ E₂) = P (E₁ ∪ (E₂ – E)) ₁))
= P (E₁) + P (E₂ – E₁)
= P (E₁) + P (E₂ – (E₁ ∩ E₂))
= P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂
∴ P (E₁∪E₂) = P (E₁) + P (E₂) – P (E₁ ∩ E₂)

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైంది.

‘k’ విలువను ‘X’ యొక్క అంక మధ్యమము, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి {1, 2, 3, 4, 5}
∴ P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ 15k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
అంకమధ్యమము μ = 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) + 3 P(X = 3) + 4 P(X = 4) + 5 P(X = 5)
= 1(k) + 2 (2k) + 3 (3k) + 4 (4k) + 5 (5k)
= k + 4k + 9k + 16k + 25k
= 55k
= 55 (\(\frac{1}{15}\))
= \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి (σ²) = \(\sum_{i=1}^5 x_i^2 P\left(X=x_i\right)-\mu^2\)
= 1 (k) + 4 (2k) + 9 (3k) + 16 (4K) + 25 (5k) – (\(\frac{11}{3}\))²
= k + 8k + 27k+ 64k + 125k – \(\frac{121}{9}\)
= 225k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 (\(\frac{1}{15}\)) – \(\frac{121}{9}\)
= 15 – \(\frac{121}{9}\)
= \(\frac{135 – 121}{9}\)
= \(\frac{14}{9}\)
విస్తృతి (σ²) = \(\frac{14}{9}\)