AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 6 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 6 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
√3 + i = r (cos θ + i sin θ), అయితే θ విలువను రేడియన్లలో కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ √3 + i = r (cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = √3, r sin θ = 1
⇒ r² (cos² θ + sin² θ) = 3 + 1
⇒ r² = 4
⇒ r = 2
∴ cos θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sin θ = \(\frac{1}{2}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)

ప్రశ్న 2.
√5 + 3i గుణన విలోమాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
∵ a + ib గుణన విలోమం \(\frac{a-i b}{a^2+b^2}\)
√5 + 3i గుణన విలోమం
= \(\frac{\sqrt{5}-3 i}{(\sqrt{5})^2+3^2}\) = \(\frac{\sqrt{5}-3 i}{5+9}\) = \(\frac{\sqrt{5}-3 i}{14}\)

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు (ఒకటి) ఘన మూలాలు 1, ω, ω² లు అయిన, (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸) విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
1 – ω⁴ = 1 – (ω³) ω = 1 – (1) ω = 1 – ω
1 – ω⁸ = 1 – (ω³)² ω² = 1 – (1) ω² = 1 – ω²
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
= (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω) (1 – ω²)
= [(1 – ω) (1 – ω²)]²
= (1 – ω – ω² + ω³)²
= [1 – (ω + ω²) + 1]² ∵ 1 + ω + ω² = 0
= [1 – (- 1) + 1]² = (3)² = 9
∴ (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸) = 9

ప్రశ్న 4.
x² – 5x + 14, x విలువకు సమాసం ధనాత్మకం అని చూపండి.
సాధన:
ఇచ్చట a = 1, b = -5, c = 14,
Δ = b² – 4ac
= 25 – 56 = -31 < 0
∴ Δ < 0 ∵ a = 1 >0 మరియు Δ < 0

ప్రశ్న 5.
4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, αβ + βγ + γα విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
α, β, γ లు 4x³ – 6x² + 7x + 3 = 0 లు మూలాలు
α + β + γ = \(\frac{a_1}{a_0}\) = \(\frac{6}{4}\)
αβ + βγ + γα \(\frac{a_2}{a_0}\) = \(\frac{7}{4}\)

ప్రశ్న 6.
పునరావృతాన్ని అనుమతించినప్పుడు 1, 2, 3, 4, 5, 6 అంకెలతో ఏర్పరిచే 4 అంకెల సంఖ్యలలో ఎన్ని 2 తో భాగించబడతాయి?
సాధన:
2తో భాగించబడే సంఖ్యలు
4 ఖాళీస్థానాలు తీసుకొందాం. ఒక సంఖ్య 2తో భాగించ బడాలంటే

ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. కనుక ముందుగా ఒకట్ల స్థానాన్ని ఒక సరిసంఖ్య (2 లేదా 4 లేదా 6) తో ‘3’ విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలలో ఒక్కో స్థానాన్ని ఇచ్చిన 6 అంకెలలో దేనితోనైనా 6 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య
= 3 × 6³ = 3 × 216 = 648

ప్రశ్న 7.
ఏడుగురు పురుషులు, నలుగురు స్త్రీలను ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేకుండా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
ముందుగా ఏడుగురు పురుషులు ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య (7 – 1)! = 6!
వీరిలో ప్రతి ఇద్దరు పురుషుల మధ్య ఒక్కో ఖాళీ వంతున మొత్తం 7 ఖాళీలు ఉంటాయి.
ఈ ఖాళీలను ‘x’ తో గుర్తించటం జరిగింది.
ఇప్పుడు ఈ 7 ఖాళీలలో నలుగురు స్త్రీలను అమర్చే విధానాలు ⁷P₄
∴ ఏ ఇద్దరు స్త్రీలు పక్క పక్కన లేకుండ
అమర్చగల విధానాల సంఖ్య
= 6! x ⁷P₄

ప్రశ్న 8.
(4x³ + \(\frac{7}{x^2}\))¹⁴ ద్విపద విస్తరణలో x లేని పదం (స్థిర పదం) కనుక్కోండి.
సాధన:
(4x³ + \(\frac{7}{x^2}\))¹⁴ లో సాధారణ పదము
T_{r + 1} = ¹⁴C_r (4x³)^{14 – r}(\(\frac{7}{x^2}\))^r
= ¹⁴C_r (4)^{14 – r}. (7)^r x^{42 – 3r}. x^-2r
= ¹⁴C_r (4)^{14 – r} (7)^r.x^{42 – 5r} ____ (1)
x లేని పదము కొరకు 42 – 5r = 0 గా తీసుకుంటే
⇒ r = \(\frac{42}{5}\), ఇది పూర్ణాంకం కాదు.
కనుక x లేని పదము సున్న.

ప్రశ్న 9.
5, 12, 3, 18, 6, 8, 2, 10 దత్తాంశానికి విస్తృతి, ప్రామాణిక విచలనాలను కనుగొనుము.
సాధన.
అంకమధ్యమం \(\bar{x}\) = \(\frac{\Sigma x_i}{n}\)
= \(\frac{5+12+3+18+6+8+2+10}{8}\)
= \(\frac{64}{8}\)
= 8
పట్టికను నిర్మిద్దాం

xi	xi – \(\bar{x}\)	(xi – \(\bar{x}\))2
5	-3	9
12	4	16
3	-5	25
18	10	100
6	-2	4
8	0	0
2	-6	36
10	2	4

Σ(x_i – \(\bar{x}\))² = 194
∴ విస్తృతి (σ²) = \(\frac{1}{n}\)Σ(x_i – \(\bar{x}\))² = \(\frac{1}{8}\) (194) = 24.25
∴ ప్రామాణిక విచలనం (σ) = \(\sqrt{24.25}\) = 4.95 (సుమారు)

ప్రశ్న 10.
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక వ్యక్తికి ఎడమచేతి వాటం (రాయడానికి సంబంధించి) ఉండే సంభావ్యత 0.1 10 మంది వ్యక్తుల సముదాయంలో ఒకరికి ఎడమ చేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట n = 10
p = 0.1
q = 1 – p = 1 – 0.1 = 0.9
10 మందిలో ఒకరికి ఎడమచేతి వాటం ఉండే సంభావ్యత
P(X = 1) = ¹⁰C₁ (0.1)¹ (0.9)^{10 – 1}
= 10 × 0.1 × (0.9)⁹ = 1 × (0.9)⁹ = (0.9)⁹

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
\(\frac{x-1}{3+i}\) + \(\frac{y-1}{3-i}\) = i అయ్యేటట్లు x, y లు వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే x, y విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\frac{x-1}{3+i}\) + \(\frac{y-1}{3-i}\) = i
⇒ \(\frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{9-i^2}\) = i
⇒ 3x – xi – 3 + i + 3y – iy – 3 – i = 10i
⇒ (3x + 3y – 6) + i (- x + y) = 0 + 10i
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
3x + 3y – 6 = 0 ⇒ x + y – 2 = 0 _____ (1)
-x + y = 10 ⇒ x – y + 10 = 0 ______ (2)
(1) + (2) ⇒ 2x + 8 = 0
⇒ x = -4
(1) నుండి ⇒ – 4+ y – 2 = 0
⇒ y = 6
∴ x = -4, y = 6

ప్రశ్న 12.
x యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువలకు 4x – 5x² + 2 గుర్తులలో మార్పులను కనుక్కోండి.
వాటి అంత్య విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
సమీకరణం 4x – 5x² + 2 = 0
⇒ 5x² – 4x – 2 = 0
x = \(\frac{4 \pm \sqrt{16+4 d}}{2(5)}\) = \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\)
∵ a = -5 < 0
∴ \(\frac{2-\sqrt{14}}{5}\) < x < \(\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) అయినపుడు
4x – 5x² + 2 ధనాత్మకం.
x < \(\frac{2-\sqrt{14}}{5}\) లేదా x < \(\frac{2+\sqrt{14}}{5}\) అయినపుడు
4x – 5x² + 2 ఋణాత్మకం.
x = \(\frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}\) అయినపుడు 4x – 5x² + 2 = 0
∵ a = -5 < 0, 4x – 5x² + 2కు గరిష్ఠ విలువ ఉంటుంది.
గరిష్ఠ విలువ = \(\frac{4 a c-b^2}{4 a}\)
= \(\frac{4(-5)(2)-(4)^2}{4(-5)}\) = \(\frac{-40-16}{-20}\)
= \(\frac{-56}{-20}\) = \(\frac{14}{5}\)
∴ గరిష్ఠ విలువ = \(\frac{14}{5}\)

ప్రశ్న 13.
2, 3, 5, 6, 8 అంకెలనుపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4 అంకెల సంఖ్యలు తయారు చేయవచ్చు? వాటిలో ఎన్ని i) 2 ii) 3 తో భాగించబడేవి ?
సాధన:
2, 3, 5, 6, 8 అనే 5 అంకెలనుపయోగించి తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్యలు ⁵P₄ = 120.
i) 2తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 2తో భాగించబడటానికి దాని చివర (ఒకట్ల) స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉండాలి. అంటే ఈ స్థానాన్ని 2 లేదా 6 లేదా 8తో నింపవచ్చు. ఇప్పుడు మిగిలిన 3 స్థానాలను

మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 2తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య = 3 × ⁴P₃ = 3 × 24 = 72

ii) 3తో భాగించబడేవి : ఒక సంఖ్య 3తో భాగించబడటానికి ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడాలి. మనకు ఇచ్చిన 5 అంకెల మొత్తం 24 కనుక వీటి నుంచి 4 అంకెలను ఆ అంకెల మొత్తం 3తో భాగించబడే విధంగా 2 రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.
i) 2, 5, 6, 8
ii) 2, 3, 5, 8
పైన చెప్పిన రెండు సందర్భాలలో ప్రతిసారి 4 అంకెలతో తయారు చేయగల 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 4!
(ఇవి అన్నీ 3తో భాగించబడతాయి). కనుక 3తో భాగించబడే 4 అంకెల సంఖ్యల సంఖ్య 2 × (4!) = 2 × 24 = 48.

ప్రశ్న 14.
పునరావృతాన్ని అనుమతించినపుడు NATURE పదంలోని అక్షరాలనుపయోగించి ఏర్పరిచే 5 అక్షరాల పదాలలో ఎన్ని పదాలు N తో మొదలవుతాయి ?
సాధన:

మొదటి స్థానాన్ని N తో నింపాలి. ఈ పనిని ఒకే ఒకవిధంగా చేయవచ్చును.
ఆ తరువాత మిగిలిన నాలుగు స్థానాలను పునరావృతాన్ని అనుమతిస్తున్నాం. కనుక 6 × 6 × 6 × 6 విధాలుగా నింపవచ్చును. = 6⁴
∴ N తో మొదలయ్యే 5 అక్షరాల పదాల సంఖ్య
= 1 × 6⁴ = 1296

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా వ్రాయండి.
సాధన:
\(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\) = \(\frac{A x+B}{x^2+2}\) + \(\frac{C x+D}{x^2+3}\) అనుకోండి.
= \(\frac{(A x+B)\left(x^2+3\right)+(C x+D)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\)
∴ x³ + x² + 1 = (Ax + B) (x² + 3) + (Cx + D) (x² + 2) _______ (1)
⇒ x³ + x² + 1 = (A + C)x³ + (B + D)x² + (3A + 2C)x + (3B + 2D)
సరిపదాల గుణకాలను పోల్చగా
A+ C = 1, B + D = 1, 3A + 2C = 0, 3B + 2D = 1
సాధించగా
3A + 2C = 0
2A + 2C = 2
A = -2, C = 3
3B + 2D = 1
2B + 2D = 2
B = -1, D = 2
∴ A = -2, B = -1, C = 3, D = 2
∴ \(\frac{x^3+x^2+1}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+3\right)}\)
= \(\frac{-2 x-1}{x^2+2}\) + \(\frac{3 x+2}{x^2+3}\) = \(\frac{3 x+2}{x^2+3}\) – \(\frac{2 x+1}{x^2+2}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక గుట్టలో గల 50 స్క్రూలలో 5 చెడిపోయినవి. ఈ గుట్టలో నుంచి మూడు స్క్రూలను యాదృచ్ఛికంగా తీశారు. (a) తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేసే విధంగా (b) తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయని విధంగా వీటిని ఎంపిక చేశారనుకుంటే, మూడు స్క్రూలు పనిచేసేవి అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
మొత్తం స్క్రూల సంఖ్య = 50
అందు చెడిపోయినవి = 5
మంచివి. = 45
E అనేది 3 స్క్రూలు చెడిపోయినవి అయ్యే ఘటన.
a) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకే చేర్చడం.
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) × \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) × \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) {తీసిన స్క్రూలను తిరిగి భర్తీ చేయబడినది}
= \(\frac{45}{50}\) × \(\frac{45}{50}\) × \(\frac{45}{50}\) = \(\frac{9}{10}\) × \(\frac{9}{10}\) × \(\frac{9}{10}\) = (\(\frac{9}{10}\))³

b) ఒక స్క్రూను ఎన్నుకొన్న వెంటనే తిరిగి అందులోకి చేర్చకపోవడం
P(E) = \(\frac{{ }^{45} C_1}{{ }^{50} C_1}\) × \(\frac{{ }^{44} C_1}{{ }^{49} C_1}\) × \(\frac{{ }^{43} C_1}{{ }^{48} C_1}\)
= \(\frac{45}{50}\) × \(\frac{44}{49}\) × \(\frac{43}{48}\) = \(\frac{1419}{1960}\)

ప్రశ్న 17.
ఒక సంచిలో 4 ఎర్రని, 5 నల్లని, 6 నీలం రంగును కలిగిన బంతులున్నాయి. యాధృచ్ఛికంగా ఏకకాలంలో ఎన్నుకొన్న రెండు బంతులలో ఒకటి ఎర్రది అయ్యే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
రెండు బంతులను ఒకసారి తీసినపుడు ఒకటి నల్ల బంతి, ఒకటి ఎర్రబంతి వచ్చే ఘటన ‘E’ మరియు ‘S’ అనేది శాంపుల్ ఆవరణం. సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 4 + 5 + 6 = 15
n(S) = ¹⁵C₂ = \(\frac{15.14}{2}\); n(E)= ⁴C₁. ⁵C₁
∴ P(E) = \(\frac{{ }^4 \mathrm{C}_1 \cdot{ }^5 \mathrm{C}_1}{{ }^{15} \mathrm{C}_2}\) = \(\frac{4.5}{105}\) = \(\frac{4}{21}\)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
ఏకకపు (ఒకటి ఘన మూలాలు 1, ω, ω² లు అయిన, (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘన మూలాలు 1, ω, ω²
∴ 1 + ω + ω² = 0, w³ = 1
ఇప్పుడు
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ _____ (1)
(aω + bω²)³ = [ω(a + bω)]³
= ω³(a + bω)³
= (1) (a + bω)³
= a³ + 3a²bω + 3ab² ω² + b³ω³
= a³ + 3a²b ω + 3ab² ω² + b³ ______ (2)
(aω² + bω)³ = [ω(aω + b)]³
= ω³(aω + b)³ = (1) (aω + b)³
= a³ω³ + 3a²ωb² + 3ab²ω + b³
= a³(1) + 3a²bω² + 3ab²ω + b³
∴ (aω² + bω)³ = a³ + 3a²bω² + 3ab²ω + b³  ________ (3)
(1), (2), (3) లను కలుపగా,
(a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
= 3a³ + 3a²b (1 + ω + ω²) + 3ab² (1 + ω + ω²) + 3b³
= 3(a³ + b³) + 3a²b (0) + 3ab²(0)
= 3(a³ + b³)
∴ (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
= 3 (a³ + b³)

ప్రశ్న 19.
3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16 = 0 పునరావృత మూలాలను సాధించండి.
సాధన:
f(x) = 3x⁴ + 16x³ + 24x² – 16
f'(x) = 12x³ + 48x² + 48x
= 12x(x² + 4x + 4) = 12x (x + 2)²
f'(-2) = 0
f(-2) = 3(-2)⁴ + 16(-2)³ + 24(-2)² – 16
= 48 – 128 + 96 – 16 = 0
కనుక f(x), f'(x) లకు (x + 2) కారణాంకం
∴ f(x) = 0 కు – 2 ఆవృత మూలం

3x² + 4x – 4 = 0
⇒ 3x² + 6x – 2x – 4=0
⇒ 3x(x + 2) – 2(x + 2) = 0 ⇒ (x + 2) (3x – 2) = 0
x = -2, x = \(\frac{2}{3}\)
∴ దత్త సమీకరణానికి -2, -2, -2, \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 20.
\(\frac{(1+x)^2}{\left(1-\frac{2}{3} x\right)^3}\) ద్విపద విస్తరణలో x⁸ గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
\(\frac{C_1}{2}+\frac{C_3}{4}+\frac{C_5}{6}+\frac{C_7}{8}\) + ……. = \(\frac{2^n-1}{n+1}\)
సాధన:

ప్రశ్న 22.
ఈ క్రింది పట్టిక, ఒక కర్మాగారంలో పనివాళ్ళ రోజు వారీ జీతాలను తెలుపుతుంది. ఈ – పనివాళ్ళ జీతాల ప్రామాణిక విచలనాన్ని, విచలనాంకంను గణనం చేయండి.

సాధన:
తరగతి అంతరాల మధ్యబిందువులు సంఖ్యాపరంగా పెద్దవి కనుక ఈ సమస్యను
సోపాన విచలన పద్ధతినుపయోగించి సాధిస్తాము.
ఇక్కడ h = 50
ఊహత్మక మధ్యమం A = 300
అపుడు y_i = \(\frac{x_i-300}{50}\)
పట్టికను నిర్మిద్దాం

∴ N = Σf_i = 72
Σf_iy_i = -31
Σf_iy_i = 239

ప్రశ్న 23.
ఒక కళాశాలలో 25% బాలురు, 10% బాలికలు గణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నారు. విద్యార్థుల సంఖ్యలో బాలికలు 60% యాధృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన ఒక విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత P(G) = \(\frac{60}{100}\) = \(\frac{6}{10}\)
⇒ ఎన్నుకోబడిన విద్యార్థి బాలుడు కాగల సంభావ్యత
P(B) = 1 – P(G) = 1 – \(\frac{6}{10}\) = \(\frac{4}{10}\)
బాలుడు గణితం అభ్యసించడానికి సంభావ్యత P(M/B) = \(\frac{25}{100}\) = \(\frac{1}{4}\)
ఇట్లే P(M/G) = \(\frac{10}{100}\) = \(\frac{1}{10}\)
ఎంపిక చేసిన విద్యార్థి గణితం చదువుతున్నట్లయితే, ఆ విద్యార్థి బాలిక కాగల సంభావ్యత (బేయీ సిద్ధాంతం ప్రకారం)

= \(\frac{\frac{6}{100}}{\frac{1}{10}+\frac{6}{100}}\) = \(\frac{6}{10+6}\)
= \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 24.

అనేది ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి X సంభావ్యతా విభాజనం k విలువ, X విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
సంభావ్యతల మొత్తం = 1
0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + k = 1
4k + 0.6 = 1
4k = 1 – 0.6 = 0.4
k = \(\frac{0.4}{4}\) = 0.1
అంకమధ్యమం (μ) = (-2) (0.1) + (-1) k + 0 (0.2) + 1 (2k) + 2(0.3) + 3k
= – 0.2 – k + 0 + 2k + 0.6 + 3k
= 4k + 0.4 = 4(0.1) + 0.4
= 0.4 + 0.4 = 0.8
μ = 0.8
విస్తృతి (σ²) = \(\sum_{i=1}^n x_i^2 P\left(x=x_i\right)-\mu^2\)
∴ విస్తృతి = 4(0.1) + 1(k) + 0(0.2) + 1(2k) + 4 (0.3) + 9k – μ²
= 0.4 + k + 0 + 2k + 4(0.3) + 9k – μ²
= 12k + 0.4 + 1.2 – (0.8)² = 12(0.1) + 1.6 – 0.64
= 1.2 + 1.6 – 0.64
∴ σ² = 2.8 – 0.64 = 2.16