AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 5 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 5 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 5 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
7 + 24i యొక్క వర్గమూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
\(\sqrt{7+24 i}\) = ± (a + ib)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా 7 + 24i = = (a + ib)²
a² + i²b² + 2 iab
= a² – b² + 2i ab
వాస్తవ, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా
a² – b² = 7 _______ (1)
2ab = 24 ________ (2)
(a² + b²)² = (a² – b²)² + 4a²b²
= 49 + 576 = 625
a² + b² = 25 _______ (3)
a² – b² = 7 ________ (1)
కలుపగా 2a² = 32 ⇒ a² = 16
a = 4
తీసివేయగా 2b² = 18 ⇒ b² = 9
b = 3
\(\sqrt{7+24 i}\) = ± (4 + 3i)

ప్రశ్న 2.
x + iy = cis α. cis β అయితే x² + y² విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
x + iy = cis α. cis β
⇒ x + iy = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β)
⇒ x + iy = cos (α + β) + i sin (α + β)
వాస్తవ భాగాలను, సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చిన
x = cos (α + β), y sin (α + β)
∴ x² + y² = cos² (α + β) + sin² (α + β) = 1

ప్రశ్న 3.
(1 + i√3)³ విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:
(1 + i√3)³ = r (cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
r cos θ = 1, r sin θ = √3
= r² (1) = 1 + 3 = 4 ⇒ r = 2
∴ cos θ = \(\frac{1}{2}\), sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{3}\)
∴ 1 + i√3 = (2) cos\(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\)
(1 + i√3)³ = 2³ [cos \(\frac{\pi}{3}\) + i sin\(\frac{\pi}{3}\)]³
= 8 [cos 3(\(\frac{\pi}{3}\)) + i sin (\(\frac{\pi}{3}\))]
= 8 [cos π + i sin π ] = 8 (-1) = -8

ప్రశ్న 4.
x² – 4x – 21 ≥ 0 బీజయ పద్ధతిలో కనుక్కోండి.
సాధన:
x² – 7x + 3x – 21 ≥ 0
x(x – 7) + 3(x – 7) ≥ 0
(x + 3) (x – 7) ≥ 0
x² గుణకం = 1 > 0, సమాసం ≥ 0
x విలువ −3, 7 ల మధ్య ఉండదు.
i.e., x ∈ (-∞, -3] ∪ [7, ∞)

ప్రశ్న 5.
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ అయితే, \(\sum \frac{1}{\alpha^2 \beta^2}\) కనుక్కోండి.
సాధన:
x³ + px² + qx + r = 0 మూలాలు α, β, γ లు
కనుక α + β + γ = -p
aβ + βγ + γα = q
αβγ = -r

ప్రశ్న 6.
a⁴, b³, c⁵ పదంలోని అక్షరాలను విస్తరించి రాసి వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన. a⁴, b³, c⁵ విస్తరించి రాస్తే
aaaa bbb ccccc
దీనిలో 12 అక్షరాలున్నాయి. వాటిలో 4 ‘a’ లు, 3 ‘b’ లు, 5 ‘c’ లు. కనుక వాటిని
అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య \(\frac{12!}{4!3!5!}\)

ప్రశ్న 7.
¹²C_r = 495, అయితే r విలువను కనుక్కోండి.
సాధన.
సూచన : ⁿC_r = ⁿC_{n – r}
¹²C_r = 495 = 5 × 99
= 11 × 9 × 5 = \(\frac{12 \times 11 \times 9 \times 5 \times 2}{12 \times 2}\)
= \(\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{1.2 .3 .4}\) = ¹²C₄ లేదా ¹²C₈
∴ r = 4 లేదా 8.

ప్రశ్న 8.
\(\frac{1+2 x}{(1-2 x)^2}\) ద్విపద విస్తరణలో x¹⁰ గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన.
\(\frac{1+2 x}{(1-2 x)^2}\) = (1 + 2x) (1 – 2x)^-2
= (1 + 2x) [1 + 2(2x) + 3(2x)² + 4(2x)³ + 5(2x)⁴ + 6(2x)⁵ + 7(2x)⁶ + 8(2x)⁷ + 9(2x)⁸ + 10(2x)⁹ + 11(2x)¹⁰ + ………. + (r + 1). (2x)^r + ……]
∴ \(\frac{1+2 x}{(1-2 x)^2}\) లో x¹⁰ గుణకం = (11) (2)¹⁰ + 10 (2) (2⁹)
= 2¹⁰ (11 + 10) = 21 × 2¹⁰

ప్రశ్న 9.
రెండు విభాజనాల విచలనాంకాలు 60, 70 వాటి ప్రామాణిక విచలనాలు వరసగా 21, 16 వాటి అంకమాధ్యమాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన విభాజనాల విచలనాంకం C.V = 60
ప్రామాణిక విచలనం σ = 21
విచలనాంకం = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) × 100 ⇒ \(\bar{x}\) = \(\frac{\sigma}{C . V}\) × 100 = \(\frac{21}{60}\) × 100
అంకమధ్యమం = 35
ఇచ్చిన విభాజనాల విచలనాంకం C.V = 70
ప్రామాణిక విచలనం σ = 16
విచలనాంకం = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) × 100
\(\bar{x}\) = \(\frac{\sigma}{C . V}\) × 100 = \(\frac{16}{70}\) × 100
= 22.85

ప్రశ్న 10.
ఒక పాయిజాన్ చలరాశి P(X = 1) = P(X = 2) ను తృప్తిపరుస్తుంది. P(X = 5) ను కనుక్కోండి.
సాధన:
P(X = 1) = P(X = 2)
P(X = r) = \(\frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}\), λ > 0
\(\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}\)
λ = 2, (∵ λ > 0)
∴ P(X = 5) = \(\frac{2^5 e^{-2}}{5!}\) = \(\frac{32}{120 \mathrm{e}^2}\) = \(\frac{4}{15 \mathrm{e}^2}\)

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
1 – i సంకీర్ణ సంఖ్యను మాప – ఆయామ రూపంలో వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
1 – i = r (cos θ + i sin θ) అనుకుందాం.
ఇరువైపులా వాస్తవ సంకీర్ణ భాగాలను పోల్చగా r cos θ = 1
r sin θ = – 1 ⇒ θ నాల్గవ పాదంలో ఉంది. వర్గం చేసి కలుపగా
r² (cos² θ + sin² θ) = 1 + 1 = 2
r² = 2 ⇒ r = √2
tan θ = -1 ⇒ θ = -π/4
∴ 1 – i = √2 (cos(-\(\frac{\pi}{4}\)) + i sin(-\(\frac{\pi}{4}\)))

ప్రశ్న 12.
\(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\) సమాసం వ్యాప్తిని నిర్ణయించండి.
సాధన:
\(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\)
⇒ yx² – 3yx + 2y = 2x² – 6x + 5
⇒ (y – 2)x² + (6 – 3y)x + (2y – 5) = 0
x ∈ R ⇒ (6 – 3y)² – 4(y – 2) (2y – 5) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 4(2y² – 9y + 10) ≥ 0
⇒ 36 + 9y² – 36y – 8y² + 36y – 40 ≥ 0 ⇒ y² – 4 ≥ 0
y² – 4 = 0 ⇒ y² = 4 ⇒ y = ± 2
y² – 4 ≥ 0 ⇒ y ≥ -2 లేదా y ≥ 2
⇒ y విలువ −2, 2 ల మధ్య ఉండదు.
∵ y² గుణకం > 0, సమాసం ≥ 0
∴ \(\frac{2 x^2-6 x+5}{x^2-3 x+2}\) వ్యాప్తి (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

ప్రశ్న 13.
i) PERMUTATION, ii)COMBINATION పదాలలోని అక్షరాలను అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్యను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) PERMUTATION అనే పదంలో 11 అక్షరాలున్నవి. అందు 2T లు మిగిలినవి విభిన్నాలు. కనుక వాటిని అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య
= \(\frac{(11)!}{2!}\)
ii) COMBINATION అనే పదంలో 11 అక్షరాలున్నవి. అందు 2 ‘O’లు 2’I’లు, 2N లు మిగిలినవి విభిన్నాలు.
కనుక వాటిని. అమర్చడం ద్వారా వచ్చే ప్రస్తారాల సంఖ్య = \(\frac{(11)!}{2!2!2!}\)

ప్రశ్న 14.
0, 2, 4, 6, 8 అంకెలతో (వాడిన అంకెను వాడకుండా) 4000 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలు ఎన్ని ఏర్పరచవచ్చు ?
సాధన:
దత్త అంకెలలో ఏర్పడే 5 అంకెల సంఖ్యలు ప్రతీది 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది. అయితే మొదటి స్థానాన్ని 0 తప్ప మిగిలిన అంకెలలో {2, 4, 6, 8} నింపాలి. కనుక పదివేల స్థానాన్ని (మొదటి స్థానాన్ని) 4 విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 5 అంకెలున్న సంఖ్యలు 4 × 4! = 4 × 24 = 96.
4, 6, 8 తో మొదలయ్యే ప్రతి నాలుగు అంకెల సంఖ్య 4000 కంటే పెద్దది అవుతుంది. కనుక వేల స్థానాన్ని 3 విధాలుగా నింపవచ్చు. మిగిలిన 3 స్థానాలను మిగిలిన 4 అంకెలతో ⁴P₃ విధాలుగా నింపవచ్చు. కనుక 4000 కన్నా పెద్దవైన 4 అంకెలున్న స్థానాలు 3 × ⁴P³ = 3 × 24 = 72
∴ 4000 కన్నా పెద్దవైన సంఖ్యలు 96 + 72 = 168

ప్రశ్న 15.
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\) భిన్నమును పాక్షిక భిన్నముగా విడగొట్టండి.
సాధన:
\(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{A}{2 x-1}\) + \(\frac{B}{x-1}\) + \(\frac{c}{(x-1)^2}\) అనుకుందాం.
2x³ = (2x – 1) (x – 1)² + 2A(x – 1)² + 2B(2x – 1) (x – 1) + 2C(2x – 1)
x = \(\frac{1}{2}\) వ్రాస్తే ⇒ 2(\(\frac{1}{8}\)) = 2A(\(\frac{1}{4}\)) ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
x = 1 వ్రాస్తే ⇒ 2(1) = 2C(1) ⇒ C = 1
⇒ x = 0 వ్రాస్తే 0 = (−1) (1) + 2A(1) + 2B(-1) (-1) + 2C(-1)
⇒ 2A + 2B – 2C = 1
⇒ 2B = 1 + 2C – 2A = 1 + 2 – 1 = 2 ⇒ B = 1
∴ A = \(\frac{1}{2}\), B = 1, C = 1
∴ \(\frac{x^3}{(2 x-1)(x-1)^2}\) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2(2 x-1)}+\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-1)^2}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక చదరంగం బల్లపై రెండు చతురస్రాలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొన్నారు. వాటికి ఉమ్మడి భుజం ఉండటానికి గల సంభావ్యత \(\frac{1}{18}\) అని చూపండి.
సాధన:
మొదటి చతురస్రాన్ని 64 విధాలుగా, రెండోదాన్ని 63 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు. కాబట్టి రెండు చతురస్రాలను ఎన్నుకొనే విధాలు 64 × 63.
.ఈ చతురస్రాలు ఒక ఉమ్మడి భుజాన్ని కలిగిఉండే ఘటన E అనుకొందాం.
ఇప్పుడు E అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యను కనుక్కొందాం. మొదటగా ఎన్నుకొన్న చతురస్రం మూలనున్న నాలుగు చతురస్రాల్లో ఒకటి అయితే రెండో చతురస్రాన్ని (ఉమ్మడి భుజం ఉండేటట్లు) రెండు రకాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుకొన్న చతురస్రం చదరంగం బల్ల భుజం వెంబడి గల (మూలల వద్ద ఉన్నవాటిని మినహాయిస్తే) 24 చదరాల్లో ఒకటి అయితే, రెండో చతురస్రాన్ని 3 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
మొదటిగా ఎన్నుకొన్న చతురస్రం మిగిలిన 36 చతురస్రాల్లో ఒకటి అయితే రెండోదాన్ని 4 విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చు.
కాబట్టి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య
(4 × 2) + (24 × 3) + (36 × 4) = 224
∴ కావలసిన సంభావ్యత = \(\frac{224}{64 \times 63}\) = \(\frac{1}{18}\)

ప్రశ్న 17
A, B లు రెండు ఘటనలైతే
i) P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A ∩ B),
ii) A, B లలో ఒక్కటి మాత్రమే సంభావ్యత
P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B) అని చూపండి.
సాధన:
i) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c), (A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c) = Φ
∴ P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B^c)
∴ P(A ∩ B^c) = P(A) – P(A ∩ B) ·

ii) A, B లలో ఒక్కటి మాత్రమే జరిగే సంభావ్యత
= P[(A – B) ∪ (B – A)]
= P[(A ∩ B^C) ∪ (B ∩ A^C)]
= P[(A ∩ B^C) + P(B ∩ A^C] ∵ (A ∩ B^C)∩ (B ∩ A^C) = Φ
= P(A) – P(A ∩ B) + P(B) – P(A ∩ B)
∴ P(A) + P(B) – 2P(A ∩ B)

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
x¹² – 1 = 0, x⁴ + x² + 1 = 0 లకు ఉమ్మడి మూలాలు కనుక్కోండి.
సాధన:
x¹² – 1 = 0 ⇒ x¹² = (cos 0 + i sin 0)
⇒ x¹² = (cos 2kπ + i sin 2kπ), k ధన పూర్ణాంకం
⇒ x = (cos 2kπ + i sin 2kπ)^1/12
∴ x = cis \(\frac{2 \mathrm{k} \pi}{12}\) ⇒ x = cis \(\frac{\mathrm{k} \pi}{12}\), k = 0, 1, 2, 3 ….. 11
x = cis 0°, cis\(\frac{\pi}{6}\), cis \(\frac{\pi}{6}\), …… cis 11\(\frac{\pi}{6}\) ______ (1)
x⁴ + x² + 1 = 0
⇒ x² = \(\frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)}}{2}\) = \(\frac{-1 \pm \sqrt{3 i}}{2}\) = –\(\frac{1}{2}\) + i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) (లేదా)\(\frac{-1}{2}\) – \(\frac{\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న 19.
x⁴ – 16x³ + 86x² – 176x + 105 = 0 మూలాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 16x³ + 86x² – 176x + 105 అనుకొనుము.
f(1) = 1 – 16 + 86 – 176 + 105 = 0
∴ f(x) = 0 నకు ‘1’ మూలం
⇒ f(x) కు (x – 1) కారణాంకం

∴ f(x) = (x – 1) (x³ – 15x² + 71x – 105) = (x – 1) g(x)
ఇచ్చట g(x) = x³ – 15x² + 71x – 105
g(1) = 1 – 15 + 71 – 105 = -48 ≠ 0
g(2) = -15 ≠ 0
g(3) = 27 – 135 + 213 – 105 = 0
∴ g(x) = 0 నకు ‘3’ మూలం
⇒ x – 3, g(x) కు కారణాంకం

∴ g(x) = (x – 3) (x² – 12x + 35) = (x – 3) (x – 5) (x – 7)
∴ f(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 5) (x – 7)
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 1, 3, 5, 7

ప్రశ్న 20.
x = \(\frac{7}{2}\) అయితే (4 + 3x)¹⁵ ద్విపద విస్తరణలో సంఖ్యాపరంగా గరిష్ఠ పదం కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 21.
n ధన పూర్ణాంకం అయితే \(\sum_{r=1}^n r^3\left(\frac{{ }^n C_r}{{ }^n C_{r-1}}\right)^2\) = \(\frac{(n)(n+1)^2(n+2)}{12}\) అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 22.
10 ఇన్నింగులలో A, Bఅనే ఇద్దరు క్రికెట్ ఆటగాళ్ళు స్కోరులు ఈ క్రింద ఇవ్వడమైనది. వీరిలో ఎక్కువ పరుగులు సాధించిన ఆటగాడో, ఎవరు ఎక్కువ నిలకడగల ఆటగాడో కనుగొనుము.

సాధన:


∴ \(\bar{x}_A\) > \(\bar{x}_B\) కనుక A ఎక్కువ స్కోరు సాధించే ఆటగాడు.
A విచలనాంకం < B విచలనాంకం కాబట్టి A ఎక్కువ నిలకడగల ఆటగాడు.

ప్రశ్న 23.
A, B, C లు ఒక పట్టణం నుంచి వెలువడే వార్తాపత్రికలు. ఆ పట్టణ జనాభాలో 20% A ని, 16% Bని, 14% C ని, 8% A, B రెండింటిని, 5% A, C రెండింటిని, 4% B, C రెండింటిని, 2% మూడింటినీ చదువుతారు. కనీసం ఒక వార్తాపత్రికను చదివే జనాభా శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
P(A) = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
P(B) = \(\frac{16}{100}\) = 0.16
P(C) = \(\frac{14}{100}\) = 0.14
P(A ∩ B) = \(\frac{8}{100}\) = 0.08
P(B ∩ C) = \(\frac{4}{100}\) = 0.04
P(C ∩ A) = \(\frac{5}{100}\) = 0.05
P(A ∩ B ∩ C) = \(\frac{2}{100}\) = 0.02
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)
= 0.2 + 0.16 + 0.14 – 0.08 – 0.04 – 0.05 + 0.02
= 0.52 – 0.17 = 0.35 = \(\frac{35}{100}\)
∴ జనాభాలో కనీసం ఒక్క పత్రికైనా చదివేవారు 35%

ప్రశ్న 24.
X పాచికను దొర్లించారు. దాని ముఖంపై కనబడే సంఖ్య X యొక్క అంకమధ్యమం, విస్తృతులను కనుక్కోండి.
సాధన:
శాంపిల్ ఆవరణ S, దీనితో అనుబంధమయ్యే యాదృచ్ఛిక చలరాశిని X అనుకుందాం.
P(x) క్రింది పట్టిక ద్వారా ఇవ్వబడింది.