AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Thoroughly analyzing AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Papers Set 4 in Telugu Medium helps students identify their strengths and weaknesses.

AP Inter 2nd Year Maths 2A Model Paper Set 4 with Solutions in Telugu

Time: 3 Hours
Maximum Marks: 75

గమనిక : ఈ ప్రశ్నాపత్రంలో A, B, C అనే మూడు విభాగాలు ఉన్నాయి.

విభాగం – ఎ 10 × 2 = 20 మార్కులు.

I. అతి స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. అన్ని ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు రెండు మార్కులు.

ప్రశ్న 1.
(a + ib)² = x + iy అయితే x² + y² ను కనుక్కోండి.
సాధన.
(a + ib)² = x + iy
⇒ a² + 2aib + i²b² = x + iy
⇒ (a² – b²) + i(2ab) = x + iy
∴ x = a² – b², y = 2ab
∴ x² + y² = (a² – b²) + (2ab)²
= a⁴ – 2a²b² + b⁴ + 4a²b²
= a⁴ + 2a²b² + b⁴
= (a² + b²)²

ప్రశ్న 2.
z² + z^-2 = 2 ను తృప్తిపరిచే సంకీర్ణసంఖ్య z లు, అతిపరావలయంగా ఏర్పడతాయని చూపండి.
సాధన:
z = x + iy అనుకొనుము.
అపుడు \(\bar{z}\) = x – iy
దత్తాంశము నుండి z² + z^-2 = 2
⇒ (x + iy)² + (x – iy)² = 2
⇒ x² + 2ixy + i²y² + x² – 2ixy + i²y² = 2
⇒ 2(x² – y²) = 2
⇒ x² – y² = 1
z² + z^-2 = 2 ని తృప్తిపరిచే సంకీర్ణ సంఖ్యలన్ని x² – y² = 1
అనే అతి పరావలయంగా ఏర్పడుతాయి.

ప్రశ్న 3.
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² అయితే. \(\frac{1}{2+\omega}\) – \(\frac{1}{1+2 \omega}\) = \(\frac{1}{1+\omega}\) అని చూపండి.
సాధన:
ఏకకపు ఘనమూలాలు 1, ω, ω² కావున
∴ 1 + ω + ω² = 0 మరియు ω³ = 1
\(\frac{1}{2+\omega}\) – \(\frac{1}{1+2 \omega}\) = \(\frac{1+2 \omega+2+\omega}{(2+\omega)(1+2 \omega)}\)
= \(\frac{3(1+\omega)}{2+4 \omega+\omega+2 \omega^2}\)
= \(\frac{3(-\omega)^2}{2\left(1+\omega+\omega^2\right)+3 \omega}\)
= \(\frac{-3 \omega^2}{3 \omega}\) = -ω
= \(\frac{-\omega(1+\omega)}{1+\omega}\) = \(\frac{-\omega-\omega^2}{1+\omega}\) = \(\frac{1}{1+\omega}\)

ప్రశ్న 4.
7 ± 2√5 లు మూలాలుగా గల వర్గసమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన:
α + β = 7 + 2√5 + 7 – 2√5 = 14
αβ = (7 + 2√5) (7 – 2 √5) = 49 – 20 = 29
α, β లు మూలాలుగా గల వర్గసమీకరణం
x² – (α + β)x + αβ = 0
x² – 14x + 29 = 0

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0 సమీకరణం మూలాల వ్యుత్రమాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
f(x) = x⁴ – 3x³ + 7x² + 5x – 2 = 0 అనుకొనుము.
f(x) = 0 సమీకరణ మూలాల వ్యుత్రమాలు మూలాలుగా గల బహుపది సమీకరణం
f(\(\frac{1}{x}\)) = 0
⇒ \(\frac{1}{\mathbf{x}^4}\) – \(\frac{3}{\mathbf{x}^3}\) + \(\frac{7}{\mathbf{x}^2}\) + \(\frac{5}{x}\) – 2 = 0
చే గుణించగా x⁴
⇒ 1 – 3x + 7x² + 5x³ – 2x⁴ = 0
i.e., 2x⁴ – 5x³ – 7x² + 3x – 1 = 0

ప్రశ్న 6.
5 మూలకాలున్న సమితి A నుంచి 7 మూలకాలున్న సమితి Bకి గల అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి n(A) = 5 మరియు n (B) = 7
∴ A నుండి B కు అన్వేక ప్రమేయాల సంఖ్య = n(B)_pn(A)
= ⁷P₅ = 2,520.

ప్రశ్న 7.
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య కనుక్కోండి.
సాధన:
n భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\)
12 భుజాలున్న ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{12(12-3)}{2}\) = 54

ప్రశ్న 8.
(3 – 4x)^3/4 ద్విపద విస్తరణలు చెల్లుబాటయ్యేటట్లు x విలువలుంటే సమితిని కనుక్కోండి.
సాధన:
(3 – 4x)^3/4 = ^3/4[1 – \(\frac{4 x}{3}\) ]^3/4
∴ (3 – 4x)^3/4 కు ద్విపద విస్తరణ వ్యవస్థితం కావాలంటే |\(\frac{4 x}{3}\)| < I
⇒ |x| < \(\frac{3}{4}\) ⇒ x ∈ (\(\frac{-3}{4}\), \(\frac{3}{4}\))

ప్రశ్న 9.
అవర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యమం మరియు మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనానికి సూత్రాలను వ్రాయండి.
సాధన:
వర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యమం నుంచి మధ్యమ విచలనం = \(\frac{1}{N}\)Σf_i|x_i – \(\bar{x}\)|
\(\bar{x}\) = మధ్యమం మరియు N = Σf_i
వర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం నుంచి మధ్యమ విచలనం
= \(\frac{1}{N}\)Σf_i |x_i – మధ్యగతం|, ఇక్కడ N = Σf_i

ప్రశ్న 10.
P(X = k) = \(\frac{(k+1) c}{2^k}\), k = 0, 1, 2, ………… సంభావ్యతా విభాజనంతో x యాదృచ్ఛిక చలరాశి అయితే, c అని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన P(X = k) = \(\frac{(k+1) c}{2^k}\), (k = 0, 1, 2, …)

విభాగం – బి 5 × 4 = 20 మార్కులు

II. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు నాలుగు మార్కులు.

ప్రశ్న 11.
– 2 + 7i, – \(\frac{3}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i, 4 – 3i, \(\frac{7}{2}\)(1 + i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచించే బిందువులు, ఆర్గాండ్ తలంలో ఒక రాంబస్ శీర్షాలను సూచిస్తాయని నిరూపించండి.
సాధన:
A(-2, 7), B(-\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)), C(4, -3), D(\(\frac{7}{2}\), \(\frac{7}{2}\)) అనే బిందువులు ఆర్గాండ్ తలంలో సంకీర్ణ సంఖ్యలను సూచిస్తాయి.

DA² = (\(\frac{7}{2}\) + 2)² + (\(\frac{7}{2}\) – 7)² = \(\frac{121}{4}\) + \(\frac{49}{4}\) = \(\frac{170}{4}\)
∴ AB² = BC² = CD² = DA²
⇒ АВ = BC = CD = DA ______ (1)
= AC² = (- 2 – 4)² + (7 + 3)²
= 36 + 100 = 136
BD2 = (- \(\frac{3}{2}\) – \(\frac{7}{2}\))² + (\(\frac{1}{2}\) – \(\frac{7}{2}\))²
= 25 + 9 = 34
AC ≠ BD ______ (2)
A, B, C, D లతో రాంబస్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 12.
R మీద \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) ప్రమేయం గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన:
y = \(\frac{x^2+14 x+9}{x^2+2 x+3}\) అనుకొనుము.
⇒ yx² + 2xy + 3y = x² + 14x + 9
⇒ (1 – y)x² + (14 – 2y)x + (9 – 3y) = 0
x ∈ R ⇒ (14 – 2y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 4(7 – y)² – 4(1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ (7 – y)² – (1 – y)(9 – 3y) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – (9 – 3y – 9y + 3y²) ≥ 0
⇒ 49 – 14y + y² – 9 + 12y – 3y² ≥ 0
⇒ – 2y² – 2y + 40 ≥ 0
⇒ 2y² + 2y – 40 ≤ 0
⇒ y² + y – 20 ≤ 0
⇒ (y + 5)(y – 4) ≤ 0
⇒ -5 ≤ y ≤ 4
∴ గరిష్ఠ విలువ = 4
కనిష్ఠ విలువ = -5

ప్రశ్న 13.
అయిదుగురు భారతీయులను, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను ఒక వృత్తాకార బల్ల చుట్టూ
i) భారతీయులంతా ఒకే చోట కలిసి ఉండేలా
ii) ఏ ఇద్దరు రష్యా దేశస్థులు పక్క పక్కన లేకుండా
iii) ఒక దేశానికి చెందిన వారందరూ ఒకే చోట ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు ?
సాధన:
i) భారతీయులంతా ఒకేచోట కలిసి ఉండేలా : కావలసిన అమరికకు అయిదుగురు భారతీయులను ఒక యూనిట్ భావిస్తే, నలుగురు అమెరికా దేశస్థులు, ముగ్గురు రష్యాదేశస్థులను 7 యూనిట్లుగా భావిస్తే ఈ యూనిట్లను ఒక వృత్తాకార బల్లచుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య (8 – 1)! = 7!
ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని 5! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 7! 5!

ii) ఏ ఇద్దరూ రష్యా దేశస్థులు పక్క పక్కన లేకుండా : కావలసిన అమరికకు, ముందుగా అయిదుగురు భారతీయులు మరియు నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను ఒక వృత్తాకార బల్లచుట్టూ అమర్చే విధానాల సంఖ్య = (9 -1)! = 8!
ఇప్పుడు ఈ 9 మంది వ్యక్తుల మధ్యలో 9 ఖాళీలు కలవు. ఈ 9 ఖాళీలలో ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను అమర్చే విధానాల సంఖ్య ⁹P₃
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 8! ⁹P₃

iii) ఒక దేశానికి చెందిన వారందరూ ఒకే చోట ఉండేలా : కావలసిన అమరికకు, అయిదుగురు భారతీయులను ఒక యూనిట్గాను, నలుగురు దేశస్థులను రెండో యూనిట్గాను, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను మూడో యూనిట్ ను భావిస్తే ఈ మూడు యూనిట్లతో వచ్చే వృత్తాకార ప్రస్తారాల సంఖ్య = (3 – 1)! = 2!

ఇప్పుడు అయిదుగురు భారతీయులను వారిలో వారిని అమర్చే విధానాలు 5! ఇదేవిధంగా నలుగురు అమెరికా దేశస్థులను 4! విధాలుగానూ, ముగ్గురు రష్యా దేశస్థులను 3! విధాలుగాను అమర్చవచ్చు.
∴ కావలసిన అమరికల సంఖ్య = 2! 5! 4! 3!

ప్రశ్న 14.
ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = ^{n + 1}C_n అని నిరూపించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) ను పాక్షిక భిన్నాలుగా విడగొట్టండి.
సాధన:
x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 – x² = (x² + 1)² – x² = (x² + x + 1) (x² – x + 1)
\(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(\frac{A x+B}{x^2+x+1}\) = \(\frac{C x+D}{x^2-x+1}\) అనుకొనుము.
3x³ – 2x² – 1 (Ax + B ) (x² – x + 1) + (Cx + D) (x² + x + 1)
ఇరువైపులా x³, x², x మరియు స్థిరపదాలను పోల్చగా
A + C = 3 ______ (1) ⇒ C = 3 – A
– A + B + C + D = – 2 ______ (2)
A – B + C + D = 0 ______ (3)
B + D = -1 _____ (4) ⇒ D = – 1 – B
C,D లను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా
– A + B + 3 – A – 1 – B = -2 ⇒ – 2A = – 4 ⇒ A = 2
C,D లను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
A – B + 3 – A – 1 -B = 0 ⇒ 2 2B ⇒ B = 1
∴ C = 3 – 2 = 1, D = -1-1 = -2
Ax + B = 2x + 1, Cx + D = x – 2
∴ \(\frac{3 x^3-2 x^2-1}{x^4+x^2+1}\) = \(\frac{2 x+1}{x^2+x+1}\) + \(\frac{x-2}{x^2-x+1}\)

ప్రశ్న 16.
ఒక సంచిలో 12 రెండు రూపాయి నాణేలు, 7 రూపాయి నాణేలు, 4 అర్థరూపాయి నాణేలు ఉన్నాయి. ఆ సంచి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా మూడు నాణేలను ఎంపిక · చేస్తే,
i) మూడు నాణేల మొత్తం గరిష్ఠం కావడానికి
ii) మూడు నాణేల మొత్తం కనిష్ఠం కావడానికి
iii) మూడు నాణేలు వేర్వేరు విలువలను కలిగి ఉండడానికి సంభావ్యతలను కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుంచి ఒక సంచిలో 12 రెండు రూపాయి నాణేలు 7 రూపాయి నాణేలు మరియు 4 అర్ధరూపాయి నాణేలు కలవు.
మొత్తం నాణేల సంఖ్య : = 12 + 7 + 4 = 23

i) మూడు నాణేల మొత్తం గరిష్ఠం శాంపుల్ ఆవరణం S లో మూడు రెండు రూపాయి నాణేలు అయ్యే ఘటన E₁ అనుకొనుము.
∴ n(S) = ²³C₃
n(E₁) = ¹²C₃
∴ P(E₁) = \(\frac{n\left(E_1\right)}{n(S)}\) = \(\frac{{ }^{12} C_3}{{ }^{23} C_3}\)

ii) మూడు నాణేల మొత్తం కనిష్ఠం శాంపుల్ ఆవరణం 5 లో మూడు అర్థరూపాయి నాణేలు అయ్యే ఘటనను E₂ అనుకొనుము. n(S) = ⁴C₃
n(E₂) = ⁴C₃
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_2\right)}{n(S)}\) = \(\frac{{ }^{4} C_3}{{ }^{23} C_3}\)

iii) మూడు నాణేలు వేర్వేరు విలువగల సంభావ్యత :
శాంపుల్ ఆవరణం S లో మూడు నాణేలు వేర్వేరు విలువ గల నాణేలు అయ్యే ఘటనను E₃ అనుకొనుము.
∴ n(S) = c₃ మరియు n(E₃) = ⁴C₃. ⁴C₃ ⁴C₃
∴ P(E₃) = \(\frac{n\left(E_3\right)}{n(S)}\) = \(\frac{{ }^{12} C_1 \cdot{ }^7 C_1 \cdot{ }^4 C_1}{{ }^{23} C_3}\)

ప్రశ్న 17.
సంభావ్యతకు గుణన సిద్ధాంతం ప్రవచించి నిరూపించండి.
సాధన:
ప్రవచనము : P(A) > 0, P(B) > 0 తో A, B లు ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగపు
ఘటనలు అయితే P (A ∩ B) = P(A) P(\(\frac{B}{A}\)) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
ఉపపత్తి : యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంతో సాహచర్యమైన శాంపుల్ ఆవరణాన్ని S అనుకొనుము. P(A) > 0, P(B) > 0 అయ్యేటట్లుగా A, B లు S లో ఘటనలు, అప్పుడు షరతు సంభావ్యత నిర్వచనం నుంచి
P(\(\frac{B}{A}\) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
∴ P(A ∩ B) P(A) P(\(\frac{B}{A}\))
P(B) > 0 కావున పై సమీకరణం A,B లను తారుమారు చేయగా
∴ P(A ∩ B) P(B) P(\(\frac{A}{B}\))
∴ P(A ∩ B) P(A) P(\(\frac{B}{A}\)) = P(B) P(\(\frac{A}{B}\))

విభాగం – సి 5 × 7 = 35 మార్కులు

III. దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు.

1. ఏవైనా అయిదు ప్రశ్నలకు సమాధానాలివ్వండి.
2. ప్రతి ప్రశ్నకు ఏడు మార్కులు.

ప్రశ్న 18.
n పూర్ణాంకం అయితే (1 + cos θ + i sin θ)ⁿ + (1 + cos θ – i sin θ)ⁿ = 2^{n + 1} cosⁿ (θ/2) cos (\(\frac{n \theta}{2}\))అని చూపండి.
సాధన:
L.H.S.
= (1 + cos θ + i sin θ)ⁿ + (1 + cos θ – i sin θ)ⁿ

ప్రశ్న 19.
పునరావృత మూలాలు ఉన్న x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 = 0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన:
ఇచ్చిన సమీకరణం x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 = 0
⇒ f(x) = x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 అనుకొనుము.
⇒ f'(x) = 4x³ – 18x² + 26x – 24
⇒ f'(3) = 4 (27) – 18(9) + 26(3) – 24
= 108 – 162 + 78 – 24 = 0
f(3) = 3⁴ – 6.3³ + 13.3² + 24.3 + 36
= 81 – 162 + 117 – 72 + 36 = 0
f'(x) మరియు f(x) ల ఉమ్మడి కారణాంకం x – 3
f(x) = 0 కు పునరావృత మూలం 3.

∴ x⁴ – 6x³ + 13x² – 24x + 36 = 0
⇒ (x – 3) (x – 3) (x² + 4) = 0
⇒ x = 3, 3, ± 2i
x² + 4 = 0 ⇒ x² =-4
⇒ x² = 4i² ⇒ x = ± 2i కావున
∴ దత్త సమీకరణం మూలాలు 3, 3, ±2i

ప్రశ్న 20.
C₀.C_r + C₁.C_{r + 1} + C₂. C_r+2+ …. C_n-r C_n = ²ⁿC_n+r అని చూపి తద్వారా \(C_0^2+C_1^2+C_2^2+\ldots \ldots \ldots+C_n^2\) = ²ⁿC_n అని నిరూపించండి.
సాధన:
(1 + x)ⁿ = C₀ + C₁x + C₂x².. …… + C_n xⁿ ………… (1) అని తెలియును.
x స్థానంలో \(\frac{1}{x}\) వ్రాయగా
(1 + \(\frac{1}{x}\))ⁿ = C₀ + C₁.\(\frac{1}{x}\) + C₂.\(\frac{1}{x^2}\) + ……… + C_n.\(\frac{1}{x^n}\) ……… (2)
(1) మరియు (2), ల లబ్ధం
(1 + x)ⁿ (1 + 1 ) ] = (1 + \(\frac{1}{x}\))ⁿ = C₀ + C₁.x + C₂.x² + ……… + C_n.xⁿ
[C₀ + C₁.\(\frac{1}{x}\) + C₂.\(\frac{1}{x^2}\) + …….. + C_n.\(\frac{1}{x^n}\)] ……… (3)
(3) లో ఎడమవైపు గల సమాసంలో x^r గుణకం = \(\) లో x^r గుణకం
= (1 + x)²ⁿలో x^{n + r} గుణకం
= ²ⁿC_{n + r}
(3) లో కుడివైపు గల విస్తరణలో x^r గుణకం
C₀.C_r + C₁.C_{r + 1} + C₂. C_r+2+ ……. + C_n-r C_n
C₀.C_r + C₁.C_{r + 1} + C₂. C_r+2+ ……. + C_n-r C_n = ²ⁿC_n+r
r = 0 ప్రతిక్షేపించగా ;
\(C_0^2+C_1^2+C_2^2+\ldots \ldots \ldots+C_n^2\) = ²ⁿC_n

ప్రశ్న 21.
x² ఆపై x ఘాతాలను వదిలివేసేంతగా |x| స్వల్పమైతే \(\frac{\left(1+\frac{3 x}{2}\right)^{-4}(8+9 x)^{1 / 3}}{(1+2 x)^2}\) ఉజ్జాయింపు విలువను కనుక్కోండి.
సాధన:

= 2(1 – 6x) (1 + \(\frac{3 x}{8}\) (1 – 4x)
= 2(1 – \(\frac{45}{8}\)x) (1 – 4x)
= 2(1 – \(\frac{77}{8}\)x)

ప్రశ్న 22.
10 ఇన్నింగులలో A, B అనే ఇద్దరు క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ స్కోరులు ఈ క్రింద ఇవ్వడమైంది. వీరిలో ఎక్కువ పరుగులు సాధించే ఆటగాడో, ఎవరు ఎక్కువ నిలకడ గల ఆటగాడో కనుక్కోండి.

సాధన:
ఆటగాడు A కి మధ్యమం
\(\bar{x}\) = \(\frac{40+25+19+80+38+8+67+121+66+76}{10}\)
= \(\frac{540}{10}\) = 54
ఆటగాడు B కి మధ్యమం
\(\bar{y}\) = \(\frac{28+70+31+0+14+111+66+31+25+4}{10}\)
= \(\frac{380}{10}\) = 38
పట్టికను నిర్మిద్దాం


∴ కనుక A ఎక్కువ స్కోరు సాధించే ఆటగాడు.
A విచలనాంకం < B విచలనాంకం కావున,
∴ A ఎక్కువ నిలకడగల ఆటగాడు.

ప్రశ్న 23.
A, B, C లు ఒక బుడగను పేల్చడానికి ప్రయత్నం చేస్తారు. 5 ప్రయత్నాలలో 4 సార్లు A సఫలమవుతాడు. 4 ప్రయత్నాలలో 3 సార్లు B సఫలమవుతాడు. 3 ప్రయత్నాలలో 2 సార్లు C సఫలం అవుతాడు. ముగ్గురూ ఏకకాలంలో బుడగను పేల్చడానికి సంసిద్ధం అయితే, కనీసం ఇద్దరు బుడగను పేల్చివేసే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
A, B, C లు ఒక బుడగను పేల్చే ఘటనలను వరుసగా A, B, C అనుకొనుము.

ప్రశ్న 24.
ఒక యాదృచ్ఛిక చలరాశి సంభావ్యతా విభాజనాన్ని క్రింద ఇవ్వడమైనది.

k విలువను, X యొక్క అంకమధ్యమము, విస్తృతిలను కనుక్కోండి.
సాధన:
X యొక్క వ్యాప్తి = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1
⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1
⇒ 15k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{15}\)
అంకమధ్యమము
μ = P(X = 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) + 4P(X = 4) + 5P(X = 5)
= 1(k) + 2(2k) + 3(3k) + 4(4k) + 5(5k)
= k + 4k + 9k + 16k + 25k
= 55k
= 55(\(\frac{1}{15}\)) = \(\frac{11}{3}\)
విస్తృతి σ² = 1²P(X = 1) + 2²P(X = 2) + 3²P(X = 3) + 4²P(X = 4) + 5²P(X = 5) – μ²
= 1(k) + 4(2k) + 9(3k) + 16(4k) + 25(5k) – (\(\frac{11}{3}\))²
= k + 8k + 27k + 64k + 125k – \(\frac{121}{9}\)
= 225k – \(\frac{121}{9}\)
= 225 (\(\frac{1}{15}\)) – \(\frac{121}{9}\)
= 15 – \(\frac{121}{9}\)
= \(\frac{135-121}{9}\) = \(\frac{14}{9}\)
∴ విస్తృతి σ² = \(\frac{14}{9}\)